Studio di funzione - s2085c30f13611db2.jimcontent.com · • Studio di funzione e rappresentazione grafica ... Notare che ogni funzione può avere solo una intersezione con l’asse

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Prof. Guido Franchini

INDICE TEORIA • Campo di esistenza • Intersezione con gli assi • Segno (positività e negatività) • Limiti • Asintoti • Derivata prima (crescenza e decrescenza) • Derivata seconda (concavità e convessità) • Punti di stazionarietà (massimi, minimi e flessi) ESERCIZI • Studio di funzione e rappresentazione grafica • Studio di funzione parametrica e rappresentazione grafica

Studio di funzioneScaricabile su: http://lezioni.jimdo.com/


PROCEDURA PER LO STUDIO DI FUNZIONE Per studiare e rappresentare graficamente ogni funzione del tipo

"")( xlacontenenteeespressionxf = bisogna svolgere i seguenti punti:

1. Campo di esistenza (o dominio) Per determinare il campo di esistenza (o dominio), cioè i valori delle x per i quali la funzione esiste, bisogna mettere a sistema una nuova condizione ogni volta che si trova nella funzione: • denominatore contenente l’incognita:

Condizione: tutto l’asse reale con però il denominatore posto diverso da zero

• radice pari, cioè alla seconda, alla quarta, alla sesta, ecc…: Condizione: porre il termine sotto radice maggiore o uguale a zero

• logaritmo: Condizione: porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero

Se né denominatori, né radici pari, né logaritmi sono presenti nella funzione, il campo di esistenza e' tutto l'asse reale. Tutti i punti delle estremità del campo di esistenza così trovato sono i punti di discontinuità della funzione e vanno segnati sul grafico con un pallino vuoto (o bianco)

2. Intersezioni con gli assi Il possibile punto di inteserzione con l’asse y si trova mettendo a sistema la funzione con l’equazione x = 0. Se il sistema dà risultato impossibile la funzione non interseca l’asse y. I possibili punti di intersezione con l’asse x si trovano mettendo a sistema la funzione col l’equazione y = 0. Se il sistema dà risultato impossibile la funzione non interseca l’asse x. Notare che ogni funzione può avere solo una intersezione con l’asse y, ma più di una con l’asse x. I punti così ottenuti vanno segnati sul grafico con un pallino pieno (o nero).

3. Segno (positività e negatività) Serve per individuare in quali parti del piano passera' il grafico della funzione. Si deve porre la funzione maggiore di zero e trovare per quali valori di x e' verificata: per tali valori il grafico sara' sopra l'asse delle x e quindi si “cancella” la parte sotto l’asse delle x, mentre per valori diversi sara' sotto e quindi si “cancella” la parte sopra.

TEORIA


4. Limiti Per vedere come la funzione si comporta si calcola il limite della funzione con x che tende a: • - ∞ , ma solo se è un valore compreso nel dominio

• tutti gli eventuali punti di discontinuità (cioè gli estremi degli intervalli del dominio)

• + ∞ , ma solo se è un valore compreso nel dominio Graficamente, per ogni limite i risultati ottenuti si indicano con delle linette nel piano cartesiano come se fossero dei punti: la coordinata x è il valore a cui tende la x nel limite, mentre la coordinata y è il risultato del limite. Tali linette rappresentano la funzione in quella zona del piano cartesiano.

5. Asintoti

Esistono 3 tipologie di asintoti: Orizzontale: esistono se il calcolo del limite con la x che tende a - ∞ o + ∞ aveva dato un “valore

finito” (cioè un numero). Corrispondono alla retta orizzontale del tipo y = “valore finito” e possono essere al massimo 2: uno riferito al limite con la x che tende a - ∞, l’altro a + ∞.

Obliquo: possono esistere se il calcolo del limite con la x che tende a - ∞ o + ∞ aveva dato un

“valore infinito”. Corrispondono alla retta obliqua del tipo y =m*x+q, dove m e q sono numeri da definire secondo il procedimento illustrato nell’esercizio [1] e possono essere al massimo 2: uno riferito al limite con la x che tende a - ∞, l’altro a + ∞.

Verticale: esistono se il calcolo del limite con la x che tende ad un punto di discontinuità aveva

dato un “valore infinito” (cioè + ∞ o - ∞). Corrispondono alla retta verticale del tipo x = “punto di discontinuità” e possono essere tanti quanti sono i punti di discontinuità.

Graficamente, sono delle rette tratteggiate a cui la funzione si avvicina sempre di più nella zona relativa al limite associato.

Questa è solo una anteprima dimostrativadei contenuti disponibili nel File Completo: Studio di funzione su http://lezioni.jimdo.it Qui sopra avete trovato una parte del capitolo"Teoria"


Data la funzione

si chiede di determinare

a) Il dominio , dove è continua , i limiti agli estremi del campo di definizione , eventuali asintoti;

b) Dove la funzione è derivabile , la sua derivata ed eventuali punti angolosi e cuspidi;

c) Gli intervalli di monotonia , massimi e minimi relativi e assoluti , estremo superiore ed

inferiore;

d) Un grafico qualitativo della funzione .

Svolgimento :

1.

2. Intersezioni Assi

=

ℜ∈∀/⇒

=

=⇒

=−

= ++

00

0

0

2

13

2

13

y

x

y

e

y

xx

ey

x

x

3. Segno della Funzione

2,0020)( 2 ><⇒>−> xxxxxf

2,0:.. ≠≠ℜ∈∀⇒ xxxEC

( )xx

exf

x

22

13

−=

+

Es. 3


4. Limiti

+∞=⇒

∞+∞+

=−

⇒

∞+∞+

=−

=−

+∞=−

−∞=−

−∞=−

+∞=−

+++

+

++

++

+∞→+∞→+∞→

−∞→

+→−→

+→−→

2

9

22

3

2

02

2,

2

2,

2

1313

2

13

2

13

2

13

2

13

2

13

2

13

limlimlim

lim

2lim

2lim

0lim

0lim

xxx

x

xx

xx

eH

x

eH

xx

e

xx

e

xx

e

xx

e

xx

e

xx

e

xxx

x

xx

xx

5. Asintoti

asintoti verticale , asintoto orizzontale

Verifica dell’esistenza dell’asintoto obliquo , qmxy += , per +∞→x

+∞=⇒

∞+∞+

=−

⇒

∞+∞+

=−

∞+∞+

=−

⇒

∞+∞+

=⋅−

+++

++

+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→=

6

27

46

9

43

3

2

1

2

1313

2

13

23

13

2

13

limlimlim

limlim

xxx

xx

eH

x

eH

xx

eH

xx

e

xxx

e

xxx

xxm

non esiste quindi l’asintoto obliquo.

0=y2,0 == xx


6. Derivata 1^

( ) ( )( )

( )( )

( )( )22

213

22

213

22

13213

2

283

2

2263

2

2223)('

xx

xxe

xx

xxxe

xx

xexxexf

xxxx

−

+−=

−

+−−=

−

−−−=

++++

3

104,

3

10402830)(' 2 +

>−

<⇒>+−⇒> xxxxxf

La ( )xf assume minimo relativo in 3

104 +=x e massimo relativo in

3

104 −=x .

Il grafico :


Riassumendo :

La ( )xf risulta continua in : ] [ ] [ ] [∞+∞−∈ ,22,00, UUx ; ( )xf risulta derivabile in :

] [ ] [ ] [∞+∞−∈ ,22,00, UUx .

La ( )xf risulta monotòna crescente in : ] [

∞+

+

−∞−∈ ,

3

104

3

104,00, UUx ;

monotòna decrescente in :

+

−∈

3

104,22,

3

104Ux .

La ( )xf assume minimo relativo in 3

104 +=x ; massimo relativo in

3

104 −=x .

La ( )xf ha come estremo superiore ( )+∞=fsup ; come estremo inferiore ( )−∞=finf .

Questa è solo una anteprima dimostrativadei contenuti disponibili nel File Completo: Studio di funzione su http://lezioni.jimdo.it Qui sopra trovate solo uno dei 55 esercizi svolti presenti nel capitolo "Esercizi"


Esercizio 691

Studio della funzione:

ln2 xf (x) = − lnx (82)

2

Soluzione Insieme di definizione La funzione e definita in X = (0,+∞). Intersezioni con gli assi

ln2 xf (x) = 0 − lnx = 0 (83) ⇐⇒

2

Per risolvere tale equazione poniamo:

t = ln x (84)

Quindi:

t2 (t

)

2 − t = 0 ⇐⇒ t

2 − 1 = 0 ⇐⇒ t = 0, t = 2 (85)

Ripristinando la variabile x:

43


t = 0 = ln x = 0 = x = 1⇒ ⇒2t = 2 = ln x = 2 = x = e⇒ ⇒

Percio:

A (1, 0) , B(e2 , 0

)∈ γ ∩ x (86)

Inoltre:

0 = x 6∈ X = ⇒ ∄P ∈ γ ∩ yStudio del segno

ln2 xf (x) > 0 − lnx > 0 (87) ⇐⇒

2

Eseguendo nuovamente il cambio (84):

t2

2 − t > 0 t < 0, t > 2⇐⇒

che corrispondono a

lnx < 0 x ∈ (0, 1) (88) ⇐⇒lnx > 2 x ∈ (2,+∞) ,⇐⇒

cio implica:

f (x) > 0 x ∈ (0, 1) ∪ (2,+∞)⇐⇒per cui il grafico giace nel semipiano y > 0 per x ∈ (0, 1) ∪ (2,+∞), e nel semipiano y < 0 per x ∈ (1, 2). Comportamento agli estremi Abbiamo:

(ln2 x

)

xlim f (x) =

xlim

2 − lnx = ∞−∞ (89)

0+ 0+→ →

Poniamo: t = ln x

(t2

) (1 1

)

lim f (x) = lim = lim t2 = x→0+ t→−∞ 2

− tt→−∞ 2

−t

+∞,

quindi l’asse y e asintoto verticale.

(t2

)

lim f (x) = lim 2 − t +∞,=

x t→+∞ →+∞

Esaminiamo la presenza di eventuali asintoti obliqui:

44


( )

f (x) (

ln2 x lnx)

m = lim = lim x→+∞ x x→+∞ 2x

− x

ln2 x lnx= lim lim ,

x→+∞ 2x−

x→+∞ x

ln2 x H lnx H 1 lim =

∞= lim =

∞= lim = 0

x→+∞ 2x ∞ x→+∞ x ∞ x→+∞ x

percio:

m = 0 = ∄ asintoti obliqui ⇒Calcolo delle derivate Un calcolo diretto porge:

f ′ (x) =lnx− 1

(90) x

f ′′ (x) =2 −

2

lnx

x

Studio della monotonia e ricerca degli estremi relativi ed assoluti Calcoliamo gli zeri di f ′ (x):

f ′ (x) = 0 lnx = 1 x = e⇐⇒ ⇐⇒pertanto x = e e un punto estremale. Studiamo il segno di f ′ (x):

f ′ (x) > 0 ln x− 1

> 0 x ∈ (e,+∞) ,⇐⇒ x

⇐⇒

per cui la funzione e strettamente crescente in (e,+∞) ed e strettamente decrescente in (0, e). Quindi x = e e punto di minimo relativo per f . Ed e anche punto di minimo assoluto:

1 m e,−

2

Studio della derivata seconda Determiniamo gli zeri di f ′′ (x):

f ′′ (x) = 0 lnx = 2 x = e2 ⇐⇒ ⇐⇒Il segno della derivata seconda:

f ′′ (x) > 0 lnx < 2 x ∈ (0, e2

),⇐⇒ ⇐⇒

per cui γ e concavo verso l’alto in (0, e2) e concavo verso il basso in (e2 ,+∞). Percio x = e2

e punto di flesso. Notiamo che tale punto e uno zero di f (x), quindi il flesso e il punto B(eq. 86).Il grafico completo e riportato in figura (25).

45


y

1 x=e x=e2x

1

2

3

4

Figure 25: Grafico della funzione f (x) = ln2

2 x − ln x

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pc

Rectangle

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