1 DAUGAVPILS UNIVERSIT ¯ ATE Dabaszin¯at¸ nuunmatem¯atikasfakult¯ate Matem¯atikaskatedra Studiju kurss Veselo skaitl ¸u teorija 4.lekcija Doc¯ et¯ajs: Dr. P. Daugulis 2009./2010.studiju gads Saturs S¯ akums Beigas J I Atpakal ¸ Aizv¯ ert Pilns ekr¯ ans
26
Embed
Studiju kurss Veselo skaitl¸u teorija 4.lekcija...1 DAUGAVPILS UNIVERSITATE¯ Dabaszin¯atnu¸ un matem¯atikas fakult¯ate Matem¯atikas katedra Studiju kurss Veselo skaitl¸u teorija
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
DAUGAVPILS UNIVERSITATEDabaszinatnu un matematikas fakultate
Matematikas katedra
Studiju kurss
Veselo skaitlu teorija
4.lekcijaDocetajs: Dr. P. Daugulis
2009./2010.studiju gads
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
Lekcijas kopsavilkums:• atlikumu klasu kopas var definet operacijas un petıt to ıpasıbas,
kas seko no veselo skaitlu ıpasıbam,• atlikumu operacijas var tikt izmantotas dazados veidos.
Svarıgakie jedzieni: atlikumu klase mod m, pilna un kanoniskaatlikumu klasu parstavju kopa, redukcija mod m, operacijas ar atli-kumu klasem, multiplikatıvi invertejama atlikumu klase, Eilera fun-kcija ϕ, pozicionalais pieraksts, dalamıbas pazımes.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
4
1. Atlikumu klasu gredzens
1.1. Salıdzinamıbas mod m ekvivalences klases
Salıdzinamıbas attiecıbai atbilstosa veselo skaitlu kopas sadalıjumaapakskopas vai klases sauc par atlikumu klasem mod m. Katra atli-kumu klase ir visi veselie skaitli, kas dalıjuma ar m dod vienu un topasu atlikumu.
1.1. piemers. m = 2, Z = C0
⋃C1, kur
C0 ir 0 klase - para skaitli, 2k,C1 ir 1 klase - nepara skaitli, 2k + 1.
m = 3, Z = C0
⋃C1
⋃C2, kur
C0 ir 0 klase - skaitli forma 3k,C1 ir 1 klase - skaitli forma 3k + 1,C2 ir 2 klase - skaitli forma 3k + 2.
1.1. teorema. Atlikumu klasu skaits mod m ir vienads ar |m|.Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
5
PIERADIJUMS Atlikums dalot ar m var but vesels skaitlis robezasno 0 lıdz |m| − 1, tatad klasu skaits ir |m|.¥
Jebkuru kopas Z apakskopu, kas satur tiesi vienu elementu nokatras atlikumu klases, sauksim par pilnu atlikumu klasu parstavjukopu (PAK).
Par kanonisko klasu parstavju kopu sauksim kopu
{0, 1, ..., |m| − 1}.Ja m ir nepara skaitlis, tad var izmantot arı atlikumu klasu par-
stavju kopu, kas ir simetriska attiecıba uz 0:
{−|m| − 12
, ...− 1, 0, 1, ...,|m| − 1
2}, ja m ir nepara skaitlis.
Skaitla r atlikuma klasi mod m, biezi apzıme ka mZ+ r.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
6
Atlikumu klasu sadalıjums (faktorkopa) mod m, kuru apzıme kaZ/mZ vai Zm define sirjektıvu funkciju - dabisko projekciju
πm : Z→ Zm,
kas katram skaitlim piekarto to atlikumu klasi, kurai tas pieder.
Skaitlim n atlikumu klasi πm(n) = n = [n] sauksim par n redukcijumod m. Stradajot ar atlikumu klasem parasti ekonomijas noluka [n]raksta ka n.
1.2. Operacijas ar atlikumu klasem
Fiksesim skaitli m. Par divu atlikumu klasu mod m C un Dsummu C + D, sauksim klasi πm(a + b), kur a ∈ C un b ∈ D.
Par divu atlikumu klasu C un D reizinajumu CD, sauksim klasiπm(ab), kur a ∈ C un b ∈ D.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
7
1.3. Atlikumu klasu operaciju ıpasıbas
1.2. teorema. (atlikumu operaciju pamatıpasıbas)1. Atlikuma klasu operacijas ir definetas korekti - nav atkarıgas no
parstavju izveles.
2. π(a + b) = π(a) + π(b).
3. π(ab) = π(a)π(b).
4. C + C ′ = C ′ + C.
5. CC ′ = C ′C.
6. (C + C ′) + C ′′ = C + (C ′ + C ′′).
7. (CC ′)C ′′ = C(C ′C ′′).
8. C(C ′ + C ′′) = CC ′ + CC ′′.
9. [0] + C = C + [0] = C.
10. [1] · C = C.
PIERADIJUMS
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
8
1. Pienemsim, ka a ≡ a′(mod m), b ≡ b′(mod m) - a un a′ parstavvienu klasi, b un b′ parstav vienu klasi.{
a ≡ a′(mod m)b ≡ b′(mod m) =⇒ a + b ≡ a′ + b′(mod m).
2., 3. Seko no klasu operaciju definıcijam.
4.-10. Seko no aritmetisko operaciju ıpasıbam. ¥
Atlikumu kopu mod m ar taja uzdotam saskaitısanas un reizina-sanas operacijam sauksim par atlikumu gredzenu mod m (Zm,+, ·).Atlikumu klasu vienadıbu apzımesim ar pierakstu ≡ (mod m).
1.1. piezıme. Par atlikumu klasu kopu var domat ka par veseloskaitlu kopu, kas ir ”uztıta” uz rinka lınijas. Atbilstosi var interpretetoperacijas ar atlikumu klasem.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
9
1.3. teorema. Atlikumu gredzena Zm ir speka sadas ıpasıbas:1. ∀ x ∈ Zm ∃ viens un tikai viens y ∈ Zm:
x + y ≡ 0(mod m)
(aditıvi inversa elementa eksistence un viennozımıgums),
2. p ∈ P =⇒(xy ≡ 0(mod p)
)=⇒
(x ≡ 0(mod p) vai y ≡ 0(mod p)
)
(nulles dalıtaju neeksistence),
3. p ∈ P =⇒ ∀ x ∈ Zp, x 6≡ 0(mod p) ∃ viens un tikai viensz ∈ Zp:
xz ≡ 1(mod p),
4. m 6∈ P =⇒ ∃ x, y ∈ Zm:
xy ≡ 0(mod m)x 6≡ 0(mod m)y 6≡ 0(mod m)
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
10
5. x ir invertejams attiecıba uz reizinasanu mod m (∃ y : xy ≡1(mod m)) ⇐⇒ LKD(x,m) = 1 (multiplikatıvi inversa ele-menta eksistence).
PIERADIJUMS1. ∀ x ∈ Z ∃ y ∈ Z : x + y = m =⇒ [x] + [y] = [0].x + y1 ≡ x + y2 ≡ 0(mod m) =⇒ y1 ≡ y2(mod m).
2. p ∈ P =⇒(p|xy =⇒ p|x vai p|y
). Partulkojot to atli-
kumu klasu terminos: xy ≡ 0(mod p) =⇒(x ≡ 0(mod p) vai y ≡
0(mod p)).
3. p ∈ P =⇒(1 ≤ x ≤ p−1 =⇒ LKD(x, p) = 1
)=⇒ saskana
ar LKD linearas kombinacijas ıpasıbu ∃ a, b ∈ Z : ax + bp = 1 =⇒ax + bp ≡ ax + b · 0 ≡ ax ≡ 1 (mod p).
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
11
4. m 6∈ P =⇒ ∃ vismaz divi skaitli a > 1 un b > 1 : ab = m =⇒ab ≡ m ≡ 0(mod m).
5. LKD(x, m) = 1 =⇒ ∃ a, b ∈ Z : ax + bm = 1 =⇒ax + bm ≡ ax + b · 0 ≡ ax ≡ 1(mod m).
Ja ∃ y : xy ≡ 1(mod m) =⇒ xy − 1 = mq un xy − mq = 1.Reducejot mod d = LKD(x,m) =⇒ 0 ≡ 1(mod d) =⇒ d = 1. ¥
Par n ∈ N Eilera funkciju ϕ(n) sauksim tadu x ∈ Z skaitu, kuriemizpildas nosacıjumi
• 0 ≤ x < n,
• LKD(x, n) = 1.
1.2. piezıme. No teoremas seko, ka to atlikuma klasu skaits mod m,kuram eksiste multiplikatıvi inversais elements, ir vienads ar ϕ(m).Sadas atlikumu klases sauksim par invertejamam mod m.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
12
Jebkuru sadu klasu parstavju kopu sauksim par reducetu atlikumuklasu kopu mod m. Kopas Zm multiplikatıvi invertejamo elementukopu apzımesim ar (Zm)× vai Um.
1.3. piemers. ϕ(p) = p − 1, jo visi skaitli kopa {1, ..., p − 1} ir sav-starpeji pirmskaitli ar p un LKD(0, p) = p.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
13
2. Modularas aritmetikas pielietojumi
2.1. Aritmetisko operaciju parbaude
Aritmetisko operaciju rezultatu pareizıbas parbaude var izmantotvienu no modularas aritmetikas ıpasıbam:
a = b =⇒ a ≡ b (mod m)∀m.
Pretejais apgalvojums:
∃m : a 6≡ b (mod m) =⇒ a 6= b.
Parbaudes algoritms:1. Atrodam operacijas rezultatu c = a ? b,
2. Atrodam c′ = a ? b (mod m) un c′′ = c (mod m)),
3. Ja c′ 6= c′′, tad konstatejam kludu.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
14
2.2. Pozicionalais pieraksts
2.2.1. Teorija
Senajos laikos cilveki izmantoja primitıvu skaitlu pierakstu, kaspec butıbas ir lıdzıgs svıtrinu vilksanai (nepozicionalas sistemas), pie-meram:
• viena svıtrina (I) - vieninieks vai viens objekts,
• parsvıtrota svıtrina (X) - desmitnieks vai desmit objekti,
• ıpasi simboli (hieroglifiskajas sistemas), kas apzıme 100 u.t.t.
• burti (alfabetiskas sistemas senaja Griekija un Izraela)
Sada pieraksta simbola vietai nav lielas nozımes. Parasti sim-boli tika sakartoti noteikta kartıba, piemeram, lielaka svara simboliatradas pieraksta sakuma.
Problemas - ar sadu pierakstu gruti veikt aritmetiskas operacijas.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
15
Butiskas izmainas notika tad, kad cilveki saka pierakstıt skaitlusta, lai simbola atrasanas vietai butu lielaka nozıme - pozicionalajassistemas. Tads pieraksts tika ieviests Indija ap 500 AD. Viduslaikostas tika parnemts Eiropa un tiek izmantots lıdz pat musu dienam.
2.1. teorema. m ∈ N. ∀ n ∈ N ir viennozımıgi izsakams forma
n =k∑
i=0
aimi, kur ak 6= 0, ∀ i : 0 ≤ ai < m.
PIERADIJUMS Aprakstısim algoritmu, ar kura palıdzıbu var at-rast skaitlus ai:
1. Izdalısim n ar m:n = q1m + a0;
2. Izdalısim q1 ar m:q1 = q2m + a1,
ieverosim, ka
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
17
tatad skaitlu virkne, kas ir deklareta teoremas apgalvojuma, eksiste.
Pieradısim sadas skaitlu virknes (a0, a1, ..., ak) vienıgumu. Pienem-sim, ka eksiste divi izvirzıjumi
n = akmk + ak−1mk−1 + ... + a2m
2 + a1m + a0 =
bkmk + bk−1mk−1 + ... + b2m
2 + b1m + b0
un saksim salıdzinat skaitlus ai un bi sakot no i = 0:1. n ≡ a0 ≡ b0 (mod m) =⇒ a0 = b0.
2. Reducesim n−a0m pec modula m:
n− a0
m= akmk−1 + ... + a2m + a1 ≡ a1 ≡
bkmk−1 + ... + b2m + b1 ≡ b1 (mod m),
tapeca1 = b1,
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
18
3. Reducesim n−a0−a1mm2 pec modula m:
n− a0 − a1m
m2= akmk−2 + ... + a3m + a2 ≡ a2 ≡
bkmk−2 + ... + b3m + b2 ≡ b2 (mod m),
tapeca2 = b2
¥
2.1. piezıme. Skaitla izvirzıjumu m pakapju linearas kombinacijasveida sauksim par skaitla m-aro pozicionalo pierakstu (vai par m-adisko pierakstu) un apzımesim ar akak−1...a0m vai kada vienkarsakaveida, ja nav riska parprast pierakstu. Pec noklusesanas pienemsimakak−1...a0 = akak−1...a010. Skaitli m sauksim par pieraksta bazi.
2.2.2. Parveidosanas algoritmi
2.2. piezıme. Musdienas cilveki gandrız vienmer strada ar decimalopierakstu (m = 10), arı ciparu skaits ir saskanots ar so m vertıbu.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
19
Plasak pielietotie pieraksti datorzinatnes un datortehnologijas -• m = 2 - binarais pieraksts, simbolus 0, 1 sauc par bitiem,
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
21
Algoritms skaitla n parveidosanai no m-aras sistemas uz decimalosistemu:
1. Ja ir dots skaitlis n = akak−1...a0m, aprekinat decimalaja pie-raksta summu
n = akmk + ak−1mk−1 + ... + a0.
2.2. piemers. Ja skaitlis 7-araja pieraksta ir 36217, tad decimalajapieraksta tas ir 3 · 73 + 6 · 72 + 6 · 71 + 1 = 1338.
Algoritms skaitla n parveidosanai no m1-aras sistemas uz m2-arosistemu:
1. Parveidot skaitli n no m1-ara pieraksta uz decimalo pierakstu,
2. Parveidot skaitli n no decimala pieraksta uz m2-aro pierakstu.
2.3. piemers. Parveidosim skaitli 36217 uz heksadecimalo pierakstu:
36217 → 1338 → 53A16
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
22
2.3. piezıme. Pozicionalas sistemas plusi:• simbolu ekonomija,• erti veikt aritmetiskas operacijas - algoritmi visiem ir zinami,
tos var visparinat no m = 10 uz jebkuru m vertıbu.
2.3. Dalamıbas pazımes
Dalamıbas ar m pazıme - ıpasıba, kas piemıt m daudzkartnu cipa-riem (parasti 10-araja pieraksta).
Saja sadala pienemam, ka
n = akak−1...a0 = ak · 10k + ... + a1 · 10 + a0.
2.3.1. Pamatideja
n ∈ N. Lai atrastu dalamıbas pazımi ar m, ir lietderıgi izteikt ndecimalaja pieraksta un apskatıt n(mod m):
n = akak−1...a0 = ak · 10k + ... + a1 · 10 + a0(mod m).
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
23
2.3.2. Dalamıba ar 3
Ta ka 10l ≡ 1 (mod 3), tad
n ≡ ak · 1 + ak−1 · 1 + ... + a0 ≡ ak + ak−1 + ... + a0 (mod 3).
Dalamıbas pazıme ar 3:
3|n ⇐⇒ 3|ak + ak−1 + ... + a0
(ja n ciparu summa dalas ar 3).
2.3.3. Dalamıba ar 11
Ta ka 10 ≡ −1 (mod 11), tad
102j ≡ (−1)2j ≡ 1 (mod 11)
un102j+1 ≡ (−1)2j+1 ≡ −1 (mod 11).
Redzam, ka
n ≡ ak(−1)k + ... + a2 − a1 + a0 (mod 11).
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
24
Dalamıbas pazıme ar 11:
11|n ⇐⇒ 11|a0 − a1 + a2 + ... + ak(−1)k
(ja n ciparu alternejosa summa dalas ar 11).
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
25
3. 4.majasdarbs
3.1. Obligatie uzdevumi
4.1 Atrodiet saskaitısanas un reizinasanas tabulas atlikumu klasemmod 7 un 8. Uzradiet visus elementus, kuriem eksiste multipli-katıvi inversie elementi.
4.2 Katram atlikumu gredzenam mod 3, 5, 7, 11, 13 atrodiet visasklases, kuru pakapes veido dota gredzena nenulles elementus (vi-sus a tadus, ka katrs x 6≡ 0(mod p) ir izsakams forma ak(mod p)).