-
15
STUDI GAMBARAN VISUAL DALAM SISTEM KENDALI NONLINEAR
Dr. Ir. Timbang Pangaribuan, MT
Prodi Teknik Elektro, Fakultas Teknik, Universitas HKBP
Nommensen, Medan
[email protected]
ABSTRAK
Dunia teknik tidak terlepas dari dunia matematika, dunia system
kendali tidak terlepas dari pemodelan, desain,dan analisis.
Persamaan yang sering digunakan adalah persamaan diferensial, baik
dalam bentuk linier maupun dalam bentuk nonlinear. Solusi persamaan
diferensial sistem linear dapat diperoleh secara analitik, tetapi
solusi persamaan diferensial nonlinear tidak dapat dengan mudah
diperoleh secara analitik. Secara khusus pada Program Studi Teknik
Elektro yang mencakup keutamaan Dasar Konversi, Telekomunikasi dan
Teknik Kendali, solusi persamaan diferensial sangat diperlukan
untuk dapat memahami perilaku sistem dinamik yang diamati. Oleh
karena itu dalam melakukan rancangan, simulasi dan analisis,
diperlukan satu metoda khusus yang dapat memberikan solusi
persamaan sistem nonlinear secara analitik hingga ke bentuk
numerik, dan hasilnya dapat ditampilkan secara visual. Pemograman
komputer VISUAL BASIC adalah salah satu solusi untuk menjawab
persoalan untuk mendemontrasikan hasil simulasi dan analisis
dimaksud. Perangkat lunak visual basic jarang digunakan dalam dunia
teknik elektro, untuk menampilkan gerak visual dan gerak grafis
dari hasil komputasi analaitik. Oleh karena itu solusi suatu sistem
yang memiliki persamaan diferensial baik linier maupun nonlinear
dirasa sangat perlu untuk diungkapkan, terutama jika solusi
dimaksud ditampilkan secara visual.
1. PENDAHULUAN
Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas HKBP
Nommensen Medan, memiliki sejumlah matakuliah yang berkaitan dengan
rumus-rumus yang bervariasi dan memiliki sejumlah persamaan yang
sangat kompleks terutama dalam bentuk persamaan diferensial. Di era
tahun 2019 ini, para mahasiswa di program studi teknik elektro
menggunakan perangkat lunak paling canggih yaitu Matrix Laboratory
atau dikenal dengan nama MATLAB-SIMULINK. Pada program komputasi
dengan matlab, semua program disusun sedemikan rupa untuk
menampilkan hasil berupa grafik atau tabel data; pada program
simulasi dengan simulink, program komputasi tidak terlihat
dalam
-
16
simulasi, karena proses komputasi dilakukan hanya dalam tampilan
blok demi blok. Untuk dapat membuka atau melakukan perubahan pada
isi setiap blok function yang sudah terpilih, cukup dan melakukan
double-click pada blok dimaksud. Dalam workspace di matlab hanya
akan ditampilkan pesan-pesan kesalahan dalam membangun diagram blok
simulink. Suatu contoh dalam suatu proses yang akan dikomputasi
dengan menggunakan simulink ditunjukkan pada Gambar 1.1. Dari
uraian yang ditunjukkan pada Gambar 1.1, hasil yang diperoleh
adalah hasil dalam bentuk grafis yang dapat dilihat melalui blok
scope. Sejumlah blok yang disusun sedemikian bentuknya, dapat
dipilih satu demi satu melalui library pada sistem simulink.
Setelah semua dibentuk blok demi blok tersebut dan hubungannya
melalui garis penghubung dalam blok, selanjutnya harus dilakukan
pengaturan pada sisi input dan sisi output serta pada menu simulasi
yang akan dilakukan. Pada menu dapat di setting besaran angka untuk
perubahan waktu, metoda yang digunakan dan hal-hal lainnya yang
diperlukan dalam simulasi. Selanjutnya pada sisi output harus
dipilih yang mana dari sistem yang diamati harus ditampilkan pada
scope, dapat dilakukan secara terpisah pada masing-masing scope
atau secara bersama-sama dalam satu scope.
Gambar 1.1. Contoh Proses Simulasi dengan Simulink
Jika diinginkan gerakan dari suatu plant yang sedang diamati
responnya yaitu gerakan visual dari plant yang dimodelkan, misalnya
gerakan visual seperti sistem kendali posisi, pada program matlab
hal ini sangat sulit ditampilkan dengan mudah dan berdiri sendiri.
Oleh karena itu dirasa perlu meneliti suaatu metode untuk melakukan
demonstrasi dari hasil suatu simulasi sehingga setiap perubahan
yang dilakukan langsung dapat diamati akibat yang terjadi pada
plant dimaksud, sehingga memberikan pemahaman yang lebih baik pada
mahasiswa. Yang menjadi masalah dalam penelitian ini adalah
bagaimana membangun rancangan proses berbagai simulasi yang
diperlukan pada dunia teknik elektro dalam bentuk visual, sehingga
analisis akan solusi setiap model
-
17
yang di disain dapat ditampilkan dengan mudah secara visual.
Selain itu untuk melakukan analisis yang berulang-ulang dengan
cepat dalam memilih parameter tertentu yang diperlukan dalam
desain, tentunya akan lebih mudah jika dimiliki suatu proses
simulasi visual. Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk
memberikan tahapan-tahapan dalam menyelesaikan berbagai persamaan
diferensial linier-nonlinier dalam suatu proses desain, dan
kemudian mendefinisikan semuanya menjadi bagian dari visual dalam
program visual basic. Penelitian ini diharapkan memberi sumbangsih
yang besar dalam komputasi dan simulasi khususnya desain dan
analisis secara visual, sehingga secara bertahap mahasiswa teknik
elektro akan familiar menggunakan program berbasis visual.
Penelitian ini akan memberikan kontribusi kepada ilmuwan khususnya
Mahasiswa dan Dosen di Program Studi teknik Elektro dalam beberapa
hal yaitu:
1. Lebih memahami proses solusi komputasi dan simulasi bidang
teknik elektro.
2. Mendapat pengetahuan tambahan dalam penggunaan teknik
komputasi dan simulasi yang familiar dengan bentuk visual, sehingga
mahasiswa dapat menambah pilihan jenis komputasi selain program
matlab-simulink, wolfram dan program simulasi lainnya yang sudah
ada.
3. Sebagai salah satu motivasi mendorong mahasiswa agar lebih
semangat membahas desain sistem yang lebih kompleks yang terkait
dengan penggunaan persamaan diferensial linier dan nonlinear.
4. Sebagai salah satu kegiatan Tridarma Perguruan Tinggi Program
Studi Teknik Elektro (PSTE), ikut serta dalam meningkatkan
akreditasi PSTE.
2. TINJAUAN PUSTAKA
2. 1. Bentuk Umum Persaman Plant
Secara umum bentuk persamaan plant dalam bidang teknik elektro
ada dua jenis, jenis yang pertama menggunakan hanya bentuk linier
dan jenis yang kedua menggunakan bentuk nonlinear. Pada persamaan
nonlinier tersebut ada juga bentuk persamaannya yang dilakukan
berulang-ulang, misalnya dari fungsi-fungsi khusus seperti sinus,
cosinus dan lain sebagainya. Khusus dalam bidang sistem kendali,
deskripsi matematik dari karakteristik dinamik suatu plant disebut
model matematik. Langkah pertama dalam analisis suatu sistem
dinamik sistem kendali adalah menurunkan model
-
18
matermatiknya, dan secara umum bentuk persamaan diferensial orde
ke-n yang bersifat linier dapat dituliskan seperti pada persamaan
(2-1).
)()()(........)()( 0111
1 tutyadttdya
dttyda
dttyd
n
n
nn
n
(2-1) dimana, an-1, a1, a0 : adalah konstanta y(t) : variabel
output sebagai fungsi dari waktu u(t) : variabel input sebagai
fungsi dari waktu
Persamaan (2-1) di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan
metoda persamaan ruang keadaan. Persamaan diferensial tersebut
dapat diuraikan menjadi sejumlah persamaan diferensial orde satu
seperti dituliskan seperti pada persamaan (2-2). Dalam hal ini
terdapat sejumlah variabel x1, x2, ......., xn yang disebut dengan
variabel keadaan dalam persamaan ruang keadaan orde ke-n, sebagai
persamaan diferensial orde kesatu sebanyak n buah.
uxaxaxadt
yddtdx
xdt
yddtdx
xdt
yddt
dx
xdtdy
dtdx
yx
nnn
n
nn
nn
n
nn
12110
1
1
11
32
22
21
1
......
.......... (2-2)
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial sedemikian yang
dibentuk dengan persamaan keadaan, dan untuk memperoleh hasil untuk
setiap keadaan dalam bentuk grafis, maka tidak lagi diperlukan
suatu program komputasi untuk pengintegrasian, karena hal ini telah
tersedia dalam library simulink. Selanjutnya hasil pengintegrasian
harus diperoleh akurat, dan pengambilan keputusan dalam menentukan
respon sistem yang didesain apakah sudah memenuhi kriteria atau
spesifikasi yang diinginkan atau akan dapat dilakukan dengan lebih
baik dan lebih mudah, hal ini tentu dilakukan dengan trial and
error.
-
19
2. 2. Bentuk Umum Solusi Persaman Diferensial Solusi untuk
pengintegralan persamaan diferensial (2-2) adalah dengan Metode
Integrasi Runge-Kutta orde keempat, dan bentuk persamaan yang umum
digunakan dan persamaan ini dituliskan sebagaiberikut: yi+1 = yi +
a1 k1 + a2 k2 + a3 k3 + a4 k4 (2-3) Pada metoda ini, ditentukan a1
= a4 = 1/6 dan a2 = a3 = 2/6 sehingga persamaan (2-3) dapat
dituliskan menjadi: yi+1 = yi + ( k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4 ) / 6 (2-4)
Selanjutnya keempat variabel Runge-Kutta di atas yaitu k1, k2, k3
dan k4 diperoleh sebagaiberikut: k1 = h (m yi + c u) k2 = h (m (yi
+ k1/2)+ c u) k3 = h (m (yi + k2/2)+ c u) k4 = h (m (yi + k3)+ c u)
(2-5) Nilai h sangat menentukan dalam membuat smooth graphics dan
tingkat kestabilan dalam simulasi yang akan dilakukan.
3. METODOLOGI Metoda Penelitian yang akan dilakukan adalah
dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Memilih dan menentukan bentuk-bentuk persamaan yang akan
digunakan untuk pelaksanaan simulasi visual.
2. Menguraikan algoritma dan proses simulasi yang akan digunakan
secara bersamaan untuk mencari hasil komputasi dan simulasi
termudah dan terbaik.
3. Menentukan proses penyelesaian persamaan-persamaan yang
dipilih, dan jika memiliki persamaan yang sangat kompleks, maka
sistem harus dibangun menggunakan sub program.
4. Dapat membuat pengembangan untuk sistem desain yang lebih
besar dengan multi input multi output yaitu dengan berbagai masukan
dan berbagai keluaran yang diharapkan secara simultan.
-
20
3.1. Proses Penggambaran Fungsi Selain bentuk persamaan yang
linier, fungsi sinus, kosinus, pangkat dan kuadrat, mungkin akan
digunakan dalam simulasi visual yang diinginkan. Fungsi dari sinus
dan kosinus dituliskan dalam bentuk umum sebagaiberikut: (3-1)
Penggambaran kedua fungsi pada persamaan (3-1) di atas dengan
menggunakan matlab ditunjukkan seperti pada Gambar 3.1.
Gambar 3.1. Fungsi Sinus dan Cosinus
Warna merah adalah fungsi sinus untuk satu periode (2 ) , warna
biru adalah fungsi cosinus untuk periode yang sama. Jika ada suatu
alat seperti pada Gambar 3.2 ingin digerakkan dengan fungsi sinus
dan cosinus, tentu untuk setiap waktu akan dapat diamati perubahan
yang terjadi akibat gerakan sinus-cosinus dimaksud. Pada kondisi
awal, posisi sinus bernilai 0 dan posisi cosinus bernilai 1, tetapi
seperempat periode berikutnya posisi sinus bernilai 1 dan posisi
cosinus bernilai 0. Pada posisi setengah perioda, posisi sinus
bernilai 0 dan posisi cosinus bernilai -1, sedang pada posisi tiga
perempat perioda, posisi sinus bernilai -1 dan posisi cosinus
bernilai 0. Pada posisi satu perioda, posisi sinus kembali bernilai
0 dan posisi cosinus kembali bernilai 1, hal ini ditunjukkan pada
Tabel 3.1.
Mengacu kepada gerakan pada gambar 3.1 dan Gambar 3.2,
pergerakan bola sinus dan cosinus untuk setiap periode /4 akan
dijelaskan seperti pada Tabel 3.1.
-
21
Gambar 3.2. Model Gerakan Sinus-Cosinus
Bisa dibayangkan, jika gerakan dari stick pada Gambar 3.2 akan
menggunakan data pada tabel 3.1, maka gerakan awal stick adalah,
ujung stick teratas pada posisi (0,1) berimpit dengan sumbu-y, dan
ujung stick bawah berada pada posisi (1,-1) pada sumbu (x,y).
Seperempat perioda berikutnya posisi berikutnya akan berubah sesuai
data pada Tabel 3.1, demikianlah seterusnya sampai simulasi akan
dihentiikan. Jika gerakan tersebut akan dibuat secara visual, akan
terlihat suatu gerakan stick yang berulang-ulang sesuai dengan
fungsi sinus-cosinus. Perubahan yang terjadi pada sinus juga
ditunjukkan pada Gambar 3.3. Grafik sinus diberikan dengan tiga
jenis perioda, sinus (t) berwarna merah, sinus (2 t) berwarna biru
dan sinus (3 t) berwarna hitam. Jika gerakan tersebut akan dibuat
secara visual, akan terlihat sekaligus tiga gelombang sinus
tergambarkan secara bersamaan, dan sesuai periode yang diberikan,
gerakan sinus tersebut akan terjadi secara berulang-ulang. 3.2.
Proses Penggambaran Respon Waktu Penggambaran respon waktu dari
sebuah plant dalam sistem kendali, tergantung pada blok diagram
sistem yang diamati. Jika yang diamati adalah blok diagram seperti
pada Gambar 3.1, ada tiga kemungkinan respon waktu yang dapat
digambarkan dari plant tersebut yaitu, respon waktu sistem lup
terbuka, respon waktu sistem lup tertutup dan respon waktu
menggunakan komponen pengendali nonliniernya. Suatu sistem saturasi
tersebut langsung pada sinyal input sinusoida seperti pada diagram
Gambar 3.3, maka pengaruh saturasi dapat terlihat jelas seperti
pada Gambar 3.4.
-
22
Gambar 3.3. Pengaruh Saturasi Pada Sinyal Sinusoida
Sinyal input berwarna merah, sinyal setelah Gain berwarna biru
dan besarnya dua kali sinyal input, sedang sinyal output saturasi
berwarna Kuning, hanya memotong amplitudo sinyal berwarna biru
karena dibatasi oleh saturasi.
Gambar 3.4. Pengaruh Saturasi Pada Sinyal Sinusoida
4. HASIL PENELITIAN
4.1. Program Visual Basic Metodologi penelitian didasarkan pada
program simulasi visual
menggunakan visual basic (VB) versi 6,0. Program VB jarang
digunakan untuk membuat hasil gerakan visual untuk mengamati
gerakan suatu proses yang sedang berlangsung, mungkin alasannya
adalah karena memerlukan proses integrasi yang sangat rumit dan
proses pembuatan algoritma matematika yang sangat kompleks dalam
pemogramannya. Keuntungan dari proggram ini adalah, program
berjalan dalam Under Windows, program memiliki hasil akhir yang
dapat executable berdiri sendiri
-
23
menjadi HASIL_PROGRAM.EXE yang dapat dijalankan tanpa membuka
software VB.
4.2. Penggambaran Grafik
Penggambaran grafik hasil simulasi adalah salah satu yang
terpenting dalam bidang teknik elektro. Grafik tersebut dapat
diperoleh dari hasil integrasi persamaan diferensial sedemikian
rupa, baik pada sistem linier maupun sistem nonlinier. 4.2.1.
Penggambaran Respon Waktu Sistem Orde Pertama
Penggambaran respon waktu sistem orde pertama didasarkan pada
persamaan 4.1. (4-1) Sinyal R(s) dapat diberikan sebagai unit step
yang selalu bernilai satu. K dan p adalah gain dan pole sistem yang
menentukan kecepatan respon dan amplitudonya. Hasil simulasi
menggunakan VB untuk persamaan (4-1) di atas ditunjukkan pada
Gambar 4.1 berikut.
Gambar 4.1. Respon Sistem Orde Pertama
-
24
Penggambaran hasil Gambar 4.1 di atas dibuat untuk K = 1
bernilai tetap, sedangkan nilai letak pole p diubah dari 1 sampai
5. Semakin besar nilai dari p maka amplitude respon akan semakin
kecil. Jika nilai K dan p selalu dibuat sama, maka tinggi amplitude
respon akan selalu sama tetapi kecepatannya akan berbeda, letak
pole semakin jauh membuat kecepatan akan naik.
4.2.2. Penggambaran Respon Waktu Sistem Orde Kedua
Penggambaran respon waktu sistem orde kedua didasarkan pada
persamaan 4.2. Suatu sistem memiliki persamaan yang memeiliki
faktor redaman dan frekuensi alamiah n seperti pada persamaan
berikut: (4-2) Ada dua cara penggambaran grafik untuk persamaan
(4-4) di atas, yang pertama untuk faktor redaman berubah dan
frekuensi alamiah tetap, dan yang kedua untuk frekuensi alamiah dan
faktor redaman berubah tetap seperti hasil yang ditunjukkan pada
Gambar 4.2 untuk perubahan faltor redaman dan Gambar 4.5 untuk
perubahan frekuensi alamiah. Faktor redaman diubah dari nilai 0
sampai 1,0 dengan kenaikan 0,2. Semakin besar factor redaman, maka
respon semakin teredam. Menurut aturan Katsuhiko Ogata dalam buku
Teknik Automatik Kontrol, nilai terbaik factor redaman adalah
0,707.
Gambar 4.2. Respon dengan Faktor Redaman Berubah
-
25
4.2.3. Penggambaran Respon Waktu Sistem Orde Ketiga
Penggambaran sistem orde ketiga dengan hanya memberikan nilai
parameter tertentu tanpa mengetahui nilai letak pole adalah
menggunakan persamaan berikut:
(4-3)
Hasil perhitungan dan simulasi untuk menggambarkan grafik respon
ditunjukkan pada Gambar 4.3.
Gambar 4.3. Respon Sistem Orde Ketiga
Orde ketiga digambarkan dengan parameter bebas tetapi bernilai
positip untuk menjaga kestabilan sistem. Dalam simulasi sedemikian,
hasil tidak dapat diprediksi, tetapi si mahasiswa pengguna program
simulasi visual ini akan dapat memahami makna perubahan pada setiap
parameter, jika satu parameter diubah-ubah sementara parameter
lainnya dibuat konstan. 4.3. Penggambaran Respon Waktu Sistem
Optimal
Penggambaran reespon sistem optimal orde kedua didasarkan pada
beberapa persamaan berikut ini:
-
26
atau (4-4)
(4-5) (4-6)
(4-7) Untuk dapat melakukan simulasi, nilai matrik konstan A
sudah diketahui
terlebih dahulu. Nilai P akan dihitung dalam simulasi, nilai K
juga akan dihitung dalam simulasi, selanjutnya respon system lup
tertutup akan digambarkan dengan grafis seperti pada respon yang
dihasilkan pada Gambar 4.4.
Pada simulasi ini bahwa parameter yang diubah adalah R dan Q
dimana parameter Q ini memiliki persamaan,
(4-8)
Nilai R, diubah sedemikian misalnya dari 0,1 sampai 0,5
sedangkan
nilai q1 dan q2 diubah misalnya dari 1 sampai 10. Si Pengguna
dapat mengubah-ubah parameter sampai diperoleh respon tertentu
dengann speseifikasi tertentu yang diinginkannya. Nilai-nilai
parameter dapat diisikan sedemikian rupa pada layar simulasi, dan
setelah nilai diisikan maka tombol Lihat Respon dapat di click
untuk melihat hasil dengan nilai parameter yang diberikan itu.
Gambar 4.4. Sistem Kendali Optimal Orde Kedua
-
27
4.4. Penggambaran Trayektori
Respon setiap state dari hasil simulasi dihasilkan dengan sumbu
horizontal adalah waktu. Penggambaran trayektori berbeda halnya,
pada sumbu-x yang diberikan adalah nilai posisi dari suatu respon,
sedangkan pada sumbu-y diberikan nilai kecepatan dari suatu respon
yang sama, dan hal inilah yang disebut trayektori. Penggambaran
trayektori dapat dilakukan dengan beberapa metoda, salah satu
diantaranya adalah metoda isoclin. Berikut ini diberikan simulasi
untuk mengamati trayektori dari suatu sistem orde ketiga yang
memiliki faktor redaman dan frekuensi alamiah, dimana persamaan
karakteristiknya adalah seperti berikut ini: (4-9) Hasil simulasi
visual ditunjukkan pada Gambar 4.5.
Gambar 4.5. Simulasi Penggambaran Trayektori
Nilai-nilai parameter dapat diisikan sedemikian rupa pada
layar
simulasi, dan setelah nilai diisikan maka tombol Respon dan
Trayektori dapat di click untuk melihat hasil dengan nilai
parameter yang diberikan itu.
4.5. Penggambaran Gerak Visual Sistem Kendali Posisi
Dalam sistem kendali, Kendali Posisi adalah model terbaik dari
suatu respon. Kendali Posisi diartikan, bahwa letak posisi respon
output dari suatu
-
28
peralatan dapat dikendalikan dengan memberikan input saja dengan
posisi yang sama. Ada dua hal yang diinginkan pada sistem kendali
posisi, yaitu ketepatan posisi yang diinginkan dan kecepatan
posisinya, tetapi diperlukan juga pemahaman bahwa ayunan yang
dihasilkan haruslah sekecil mungkin. Mari ditinjau sebuah sistem
kendali posisi versi Katsuhiko Ogata dalam buku “Modern Control
Engineering” Third Edition page 143 seperti ditunjukkan pada Gambar
4.6.
Gambar 4.6. Schematic Diagram of Servo System
Dua posisi input potentiometer dan output potentiometer akan
disimulasikan seperti pada Gambar 4.7. Dalam simulasi visual
tersebut, ditunjukkan sekaligus dua gerakan yaitu pada pergerakan
posisi output potentiometer dan pergerakan grafik respon
waktunya.
Tahapan-tahapan melakukan simulasi: - Mula-mula diisikan nilai
posisi yang diinginkan (dalam derajat) - Di click block Isikan Set
Point - Selanjutnya di click bLihat Respon.
Jika diamati dalam literature Google, penggambaran simulasi
visual seperti ini belum ada dijumpai, itulah salah satu kebaruan
dari penelitian ini.
Pada simulasi visual juga ditampilkan nilai posisi input yang
diberikan dan nilai posisi output yang dicapai. Dalam contoh di
atas, input diberikan 70o dan output 70,44o.
Sejumlah hasil lainnya akan diberikan pada Gambar berikut
ini.
-
29
Gambar 4.7. Simulasi Visual Respon Posisi Sistem Servo
Gambar 4.8. Hasil Simulasi Visual Berbagai Posisi
-
30
Gambar 4.9. Hasil Setelah Dibuat Berbeda Set Point ke -60 o
Gambar 4.9. Hasil Setelah Dibuat Berbeda Set Point ke -60 o
Dapat dikatakan, bahwa penelitian ini sangat sukses, banyak
mahasiswa sudah menguji coba dan semua menginginkan untuk memiliki
program eksekusinya. Penelitian ini masih dapat dikembangkan lagi
untuk tingkat kesulitan tertentu, sehingga tingkat batas kemampuan
visual basic suatu ketika akan ditemukan.
5. KESIMPULAN
Sebagai kesimpulan dari hasil simulasi visual ini, diberikan
sebagai berikut:
1. Simulasi penggambaran respon waktu untuk sistem orde pertama,
kedua dan ketiga berhasil dilakukan seperti ditunjukkan pada Gambar
4.1 sampai Gambar 4.6.
2. Simulasi penggambaran respon waktu untuk sistem optimal orde
kedua berhasil dilakukan seperti ditunjukkan pada Gambar 4.7.
3. Simulasi penggambaran respon waktu dan trayektori untuk
sistem orde ketiga berhasil dilakukan seperti ditunjukkan pada
Gambar 4.8 sampai Gambar 4.14.
4. Simulasi penggambaran respon waktu untuk sistem kendali
posisi servo berhasil dilakukan seperti ditunjukkan pada Gambar
4.16 sampai Gambar 4.21.
-
31
DAFTAR PUSTAKA
Glenn W. Stagg, 1983, Komputer Method in Power Sistem Analysis,
McGraw-Hill Interational Book Company, London.
Jaan Kiusalaas, 2005, Numerical Methods in Engineering with
Matlab,
Cambridge University Press, New York. Katsuhiko Ogata, 1994,
Solving Control Engineering Problems with Matlab,
Prentice-Hall, Inc., London. Katsuhiko Ogata, 1997, Modern
Control Engineering, Prentice-Hall, Inc.,
London. Mikhaylo Andriychuk, 2012, Numerical Simulation, from
Theory to Industry,
InTech Publishers, Croatia. Shoiciro nakamura, 1991, Applied
Numerical Methods with Software, Prentice-
Hall, Inc., London. Steven C. Chapra, 1993, Metode Numerik,
Penerbit Erlangga, Jakarta. Vasilios N. Katsikis, 2012, Matlab – A
Fundamental Tool For Scientific
Computing and Engineering Applications, InTech Publishers,
Croatia. Wai-Kai Chen, 2005, A Mathematical Introduction to Control
Theory, World
Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., London. Wahana Komputer,
2004, Tutorial Membuat Program dengan Visual Basic,
Penerbit Salemba Inpotek, Semarang.