FER – ZAVOD ZA PRIMJENJENU MATEMATIKU MATEMATIČKA ANALIZA 2 1. DIO AUTORI: studenti grupe GHI, 2001/02 PRIREDIO: dr. Mervan Pašić, docent PROVJERA: Lana Horvat, asistent ZAGREB, 2002
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
FER – ZAVOD ZA PRIMJENJENU MATEMATIKU
MATEMATIČKA ANALIZA 2
1. DIO
AUTORI: studenti grupe GHI, 2001/02 PRIREDIO: dr. Mervan Pašić, docent PROVJERA: Lana Horvat, asistent
ZAGREB, 2002
2
Štovane kolege. Ova zbirka, čiji su autori studenti grupe GHI, sadrži jedan mali izbor zadataka od njih 770, koji su poslani na Zavod za primjenjenu matematiku, u sklopu akcije DOCR (dodatna ocjena za kreativnost). Od ukupnog broja zadataka, iz 14 dijelova Matematičke analize 2, se može sastaviti nekoliko metodičkih zbirki, među kojima je ovo prva. Svaki zadatak počinje sa imenom i prezimenom autora, a završava sa rezultatom. Iako su rezultati svih zadataka provjereni na zavodu, smatramo da odgovornost za njihovu točnost preuzimaju sami autori zadataka. Stoga, dragi rješavatelju, ukoliko prepoznate grešku u nekom od zadataka, slobodno nam javite e-mailom, na dole raspoloživu adresu. Zadaci su poredani po težini. Na početku svakog dijela od njih 14, se pojavljuju jednostavniji zadaci, dok na kraju tog dijela se nalaze zahtjevniji zadaci. Postupci svih zadataka su pohranjeni na zavodu, kao dokaz njihove točnosti. Svi prijedlozi i kritike vezano uz ovu zbirku su dobro došli. Pozdrav, doc. dr. Mervan Pašić P.S. Čestitam svim studentima grupe GHI na iskazanoj kreativnosti i profesionalnosti. Posebno se zahvaljujem svom Wordu, koji se doista pitomo ponašao za vrijeme sastavljanja ove zbirke.
2
3
ABECEDNI POPIS AUTORA ZBIRKE Ana Cindrić Andrija Antolaš Dario Miculinić Domagoj Madić Goran Božić Goran Kukolj Goran Pavlov Igor Krupička Igor Vukmirović Ivan Bašić Ivana Ilić Jelena Jurišić Katija Šeparović Lilit Štefan Luka Novosel Marko Filić Marko Marović Nina Livun Petar Džaja Petar Marović Saša Mesarić Saša Potkonjak Saša Žigić Sven Novak Tanja Gamberger Ivan Klarić Zvonimir Oroz Siniša Kušanić Igor Vukmirović Nina Livun Barbara Zagajšek Ognjen Jović Ehlimana Purić Vjekoslav Težak Ana Živić Iva Škunca Ivan Petrović Ivan Vidaković Vedran Šustić Nenad Vujatović Tomislav Tomašek
3
4
SADRŽAJ
1. EKSTREMI EKSPLICITNO DANIH FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI (str. 5) 2. EKSTREMI IMPLICITNO DANIH FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI (str.7) 3. EKSTREMI FUNKCIJA TRIJU VARIJABLI (str 7.) 4. EKSTREMI FUNKCIJA- TEKSTUALNI ZADACI (str 8.) 5. UVJETNI EKSTREMI FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI (str.8) 6. UVJETNI EKSTREMI FUNKCIJA TRIJU VARIJABLI (str. 10) 7. UVJETNI EKSTREMI – TEKSTUALNI ZADACI (str.11) 8.DOMENA FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI (str. 13) 9. PROMJENA POREDKA INTEGRACIJE U DVOSTRUKOM INTEGRALU (str. 18) 10. RJEŠAVANJE DVOSTRUKIH INTEGRALA PROMJENOM POREDKA INTEGRACIJE (str.21) 11. PRIJELAZ NA DRUGI SUSTAV U DVOSTRUKOM INTEGRALU (str.23) 12. RJEŠAVANJE DVOSTRUKIH INTEGRALA PRIJELAZOM NA DRUGI SUSTAV (str.24) 13. KRIVULJNI INTEGRALI 1. VRSTE (str. 27) 14. KRIVULJNI INTEGRALI 2. VRSTE (str. 31)
4
5
1. EKSTREMI EKSPLICITNO DANIH FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI
• (Saša Žigić) Naći ekstreme funkcije . 22 67 yyxyxxz −+++=
[R: Tstacionarna( -4 , 1 )].
• (Tanja Gamberger) Naći ekstreme funkcije . yyxeyxz x 2),( 2 −+−=
[R: Tmin(0,1) ].
• (Ivan Bašić) Naći ekstreme funkcije: z(x,y)= - 2x2 + 4x2y2 - 2y2
[R: )22,
22( ±±estacionarnT , Tmax(0,0) ].
• (Goran Pavlov) Odredite ekstreme funkcije , ako je x,y ∈ (0,π).
)cos(sin 2 yxyyxz +−++=
[R:
127,
127
maxππT ,
1211,
1211
minππT ].
• (Petar Džaja) Naći ekstreme funkcije ( ) 2244 816821
21, yxyxyxyxz −−−+= .
[R: . Tmax(0,0), Tmin(4,4), Tmin(-4,-4) .]
• (Lilit Štefan) Naći ekstreme funkcije . yyxyxz cossincos),( +=
[R: Tmax(0, π /4), Tmin(0,5π , T)4/ min(π ,3π , T)4/ max(π ,7π ]. )4/
5
6
• (Ana Cindrić) Naći i ispitati ekstreme funkcije:
1
sin 22 ++=
yxxz .
[R: Tmax(1,0); Tmin(-1,0) ].
• (Ivan Klarić) Odredi lokalne ekstreme funkcije 1
1ln),( 22 ++=
yxyxf .
[R: Tmin(0,0) ].
• (Igor Krupička) Naći ekstreme funkcije : yxeyxyxz +⋅=),( .
[R: Tmin(-1,1) .]
• (Zvonimir Oroz) Naći ekstreme funkcije: . 22 2)(2),( yxyarctxyxf ++=
[R: Tmin(0,0) ].
• (Andrija Antolaš) Odrediti ekstreme funkcije: f(x,y) = lnx2 + lny2 - x2 - y2 + xy .
[R: Tmax( 2 , 2 ) ; Tmax(- 2 ,- 2 ); Tmax( 32 ,-
32 ); Tmax(- 3
2 ,32 ) ].
• (Sven Novak) Odrediti ekstreme funkcije xx yxeyxf +−=),( . [R: nema ekstrema].
• (Siniša Kušanić) Naći ekstreme funkcije: 2002)2sin()4cos(),( += yxyxz , tako da je ]. ]2,0[ ],2,0[ ππ ∈∈ yx
[R: )4
,0(maxπT , )
4,0(min
π−T ].
6
7
• (Goran Kukolj) Naći i ispitati ekstreme funkcije: . xy xyz 545 ⋅+⋅⋅=
[R: ))2ln(2
1,)5ln(
1(min−−T ].
• (Igor Vukmirović) Naći ekstreme funkcije ( ) ( )( )22222 1ln yxyxarctgz ++++= .
[R: T ]. ( 0,0min )
• (Nina Livun) Odredi stacionarne točke i ekstremne vrijednosti funkcije: ),cos(sincos)cos(sinsin),( xyxtgxyxxctgxyxz −−+= 0≤ x ≤π, 0≤y≤π.
[R: Tstacionarna(π/4,3π/4), Tmin(3π/4,π/4) ].
2. EKSTREMI IMPLICITNO DANIH FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI
• (Ana Cindrić) Naći i ispitati ekstreme funkcije z(x,y), koja je implicitno zadana:
012523346 222 =+−−−+++++ zyxyzxyxzzyx .
[R:
−
3023,
61,
154
minT ].
3. EKSTREMI FUNKCIJA TRIJU VARIJABLI • (Petar Marović) Naći ekstreme funkcije: . xyzzyxu 22322 −−++=
[R :
32,
32,1minT ].
7
8
• (Marko Marović) Naći ekstreme funkcije: . zxyzyxu 46223 ++++=
[R: Tmin (6, -18, -2)].
• (Barbara Zagajšek) Naći ekstreme funkcije u(x,y,z)=ex-y(x2-2zy). [R: T1 (0,0,0) nije ekstrem, T2 (-2,0,-2) nije ekstrem].
• (Ivana Ilić) Naći ekstreme funkcije: 2221
2)(ln zyxzyx yx −
+⋅⋅= ⋅u .
[R:
−
−−
−21,
21,
21,
21,
21,
21,
21,
21,
21
maxmaxmax eeT
eeT
eeT i
−−21,
21,
21
eemaxT .]
4. EKSTREMI FUNKCIJA- TEKSTUALNI ZADACI
• (Jelena Jurišić) Odrediti koeficijente a i b tako da vrijednost integrala I bude maksimalna:
I= . ( )( )[ ]∫ −−+1
0
2221ln dxxbxaxab
[R: a1 =-22 ,b1 i a1−=
22
=2 , b 2 =1 ].
5. UVJETNI EKSTREMI FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI
• (Ognjen Jović) Odrediti ekstreme funkcije z = xy uz uvjet . 822 =+ yx
[R: Tmax(2,2); Tmax(-2,-2); Tmin(2,-2); Tmin(-2,2)].
8
9
• (Ehlimana Purić) Odredite ekstreme funkcije z = ln (x +y) uz uvjet x² + 2y² = 4 .
[R: )32,
322(maxT ].
• (Saša Potkonjak) Nađi ekstreme funkcije uz uvjet 22 22 yxz −= 122 =+ yx
[R: T , T , T , T ]. )0,2(max )0,2(max − )1,0(min )1,0(min −
• (Ana Cindrić) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije f(x,y) = , yx 22 cossin2 +
uz uvjet : 4 gdje je 1sin2sin =+ yx2π
<< x0 i ππ
<< y2
.
[R:
65,
6maxππT uz
21
=λ ].
• (Andrija Antolaš) Odrediti uvjetne ekstreme funkcije: f(x,y) = x2 + xy + y2 uz uvjet 4x2 + 4xy + y2 = 1 .
[R: Tmin( 21 ,0) uz λ =
41
− ; Tmax(- 21 ,0) uz λ =
41
− ].
• (Luka Novosel) Nađi ekstreme funkcije uz uvjet da je .
23 2),( yxyxf +=5=+ yx
[R: 3
100),325,
310(max −=− λT ;T ]. 12),3,2(min −=λ
• (Saša Mesarić) Odrediti uvjetne ekstreme funkcije: 33),( yxyxz =uz uvjet .16244 =+ yx [R: T i T , ; T i T , ]. )3,3(min − )3,3(min − 729min −=z )3,3(max )3,3(max −− 729max =z
9
10
• (Vjekoslav Težak) Odrediti ekstreme funkcije uz uvjet
. 2482),( 44 ++= yxyxz
148 =+ yx
[R: Tmin( 201,
101 ) za = -λ
10001 ].
6. UVJETNI EKSTREMI FUNKCIJA TRIJU VARIJABLI
• (Goran Kukolj) Naći i ispitati ekstreme funkcije: f(x,y,z) = x + y + 3z , uz uvjet : . 3694 222 =++ zyx
[R: )34,1,4(min −−−T ; )
34,1,4(maxT ].
• (Barbara Zagajšek) Naći ekstreme funkcije u(x,y,z) = x2+y2+z2
uz uvjete: 2y2 + (z-2)2 = 1.
[R: T1 (0,0,3), λ1=-3 nije ekstrem, Tmin(0,0,1), λ=1 ].
• (Marko Filić) Nađi maksimum f(x, y, z) = xyz uz uvjet x³ + y³ + z³ = 1 , gdje je x ≥ 0 y ≥ 0 z ≥ 0.
[R: Tmax( 3 3/1 , 3 3/1 , 3 3/1 ) ].
• (Ana Živić) Naći ekstreme funkcije f (x,y,z) = x2 + y2 + z2 uz uvjet: x2/36 + y2/16 +z2/4 = 1.
[R: Tmin(0,0,2) ; Tmin(0,0,-2) ; Tmax(6,0,0) ; Tmax(-6,0,0) ; T(0,4,0) i T(0,-4,0) nisu ekstremi].
• (Nina Livun) Naći ekstreme funkcije
61321uvjet uz 321
222 =++++=zyxzyx
u .
[R: Tmax(6,6,6), Tmin(-6,-6,-6) ].
10
11
• (Zvonimir Oroz) Naći ekstreme funkcije: uz uvjete i .
zyxzyxf ++= 222),,(12 =+ zy 1=+ xy
[R: )81,
43,
41(minT ].
• (Lilit Štefan) Naći ekstreme funkcije uz uvjete: zyxzyyu ++++= 2lnln2
42 =+ yx i . 0=−+ zyx [R: Tmin(-1,-3,0) , za λ =0 ii Tmax(1,-3,2), za λ =-2 .]
• (Saša Žigić) Naći ekstreme funckije uz uvjete i .
xyzu = 5=++ zyx8=++ yzxzxy
[R: T ; ( )1,2,2min
37,
34,
34
maxT ; T ; ( )2,1,2min
34,
37,
34
maxT ; T , )2,2,1(min
34,
34,
37
maxT ].
• (Iva Škunca) Naći ekstreme funkcije: , uz uvjete: zyxzyxf −−= 2),,(
1222 =++ zyx i . 12 =+− zyx
[R:
−−
32,
32,
31
maxT , T ]. ( )1,0,0min
7. UVJETNI EKSTREMI – TEKSTUALNI ZADACI
• (Marko Marović) Naći točke na krivulji koje su najbliže i najdalje ishodištu!
04727 22 =−++ yxyx
[R: )21,
21(minT ; )
21,
21(min −−T ; )
33,
33(max −T ; )
33,
33(max −T ].
• (Goran Božić) Napraviti kutiju sa poklopcem volumena 1 m3 uz što manji utrošak
materijala.
[R: X=Y=Z=1 (kocka)].
11
12
• (Dario Miculinić) U elipsoid s poluosima 2,4,2 upisati kvadar najvećeg volumena i izračunati volumen.
[R:
93128 ].
• (Ivan Bašić) Naći točku na plohi z= - 242 22 ++ yx koja je najbliža točki T(5,3,0).
[R: T( 3,53,
35
− ) za λ = - 6 ].
• (Igor Krupička) Nači jednadžbu normale kroz točku na sferi
koja je najbliža točki T(3 ,3 ,3). 4222 =++ zyx
[R:
332,
332,
332
Τ , normala ..... x = y = z].
• (Jelena Jurišić) Jadan mali izgladnjeli mrav Janko bezuspješno hoda po plastičnoj
posudici oblika elipsoida, jednadžbe 196
222
=++ zyx unutar koje se nalazi
slastan zalogaj-prava Samoborska kremšnita, njegova najomiljenija poslastica.Da bi došao do svog nesuđenog obroka Janko se trudi pronaći točku koja je najmanje udaljena od ravnine 3x+4y+12z=228 kojom mozemo aproksimirati hrskavu koricu kremšnite.Pronađite danu točku i spasite Janka od gladi .
[R: T( 9, 81 ,
83 ) ].
• (Ivan Klarić) Mali Ivica je od malih nogu bio strastveni planinar. Kao mali,
Sljeme je bio njegov Mont Everest, ali kako je rastao, zajedno sa njime su rasli i njegovi penjački apetiti. I tako, jednog sunčanog dana, dok se penjao po sedlu jednog egzotičnog planinskog lanca u Južnoj Americi koje se može aproksimirati jednadžbom , pao mu je na pamet jedan problem iz svakodnevnog života: “Koje su ekstremne vrijednosti visina koje dostignem krećući se po ovom sedlu kružnicom polumjera 4 i središta u točki (0, 2). Vaš je zadatak pomoći sada već velikom Ivici jer uskoro će mrak i mora naći zaklon, a matematički problem ga je toliko zaokupio da je jednostavno zaboravio na takve “prizemne” stvari.
22 4),( yxyxf −=
[R: U točki T1(0,0) Ivica se nalazi u stacionarnoj točki, ali to nije ekstremna vrijednost.U točki T2(0,16/7) Ivica postiže minimalnu vrijednost na svojoj šetnji po kružnici. ].
12
13
8.DOMENA FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI
• (Andrija Antolaš) Odrediti domenu funkcije:
f(x,y) = )2y-2x-arcsin(4 12x
1ln +−
.
[R:
].
• (Sven Novak) Odrediti domenu funkcije ))arcsin(ln(),(yxyxf = .
[R: ].
• (Goran Božić) Naći područje definicije funkcije:
xy
2y4x-2x8
2xsin arc)y,x(f ++
−= .
[R:
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Y
4 0 -6 10
].
X
13
14
• (Goran Kukolj) Naći i skicirati područje definicije :
yxyxxyyxyxz−−−+
⋅+−++−⋅−+=3
)3ln()3ln()3ln(12 22
[R: 1
21
22 ≥+
yx , , , , , ]. 3+< xy 3−> xy 3−−> xy 3+−≤ xy 3+−≠ xy
].
• (Barbara Zagajšak) Naći i skicirati područje definicije : z=arcth(x2-y) + 1/(xy)1/2 + ln[x3/2 + x2(1-y/2) + x(y2-y-1/2) – y3 + y/2] .
[R: y>x2+1 → iznad te parabole
y<x2-1 → ispod te parabole xy>0 → 1. i 3. kvadrant y>x → iznad pravca y = x (x+1)2 + 2y2 < 2 → unutar te elipse
].
14
15
• (Igor Vukmirović) Naći područje definicije funkcije . ( ) ( )( )1ln, += xyarcthyxf
[R: ( ) ( ) ( )( )
>∨
<∧<<∨>>
xy
xeyyxyxyx 110,00,0:, 2
].
• (Ivan Klarić) Izračunaj i skiciraj domenu funkcije xy
xyyxf sin),( −= .
[R:
.]
15
16
• (Nina Livun) Odredi područje definicije funkcije:
yx123456789yx9
112
1*
2-x11
2lny)z(x, 22
++−−+
−++
=
y
[R:
].
• (Ivana Ilić) Odrediti domenu funkcije:
41)5()4ln()(),( 22
2223 23 2
−+++−−+−+++=
yxyxarchyxyxarcthyxz .
[R:
].
16
17
• (Jelena Jurišić) Odrediti područje definicije zadane funkcije:
( )1164lnln)524(),( 222
3/222 ++−−+
−
−++−−+= yyx
xyxycthyxyxyxz .
[R:
].
• (Lilit Štefan) Odrediti domenu slijedeće funkcije:
z = )213( 2xarcth − + ln(arcsin(2x –y -4)) + arch(2x -4y –x2 – y2).
[R:
17
18
• (Ivan Petrović) Odrediti područje definicije funkcije:
z x y arth x y sh yx
xy x( , ) ln( ( )) log ( )= + − + + −2 2 3 1+ 2 .
[R:
]. 9. PROMJENA POREDKA INTEGRACIJE U DVOSTRUKOM INTEGRALU
• (Ivan Vidaković) Promijeniti poredak u integralu:
∫ ∫ ∫∫−
+2
0
3
1
23
0
1
0
),(),(x
x
dyyxfdxdyyxfdx
[R: ∫ ∫−1
0
23
),(y
y
dyyxfdx ].
18
19
• (Goran Kukolj) Promjeni poredak integracije u integralu : ∫∫−
−−
2
2
4
)42(2
2
0
),(xx
x
dyyxfdx
[R: ∫∫−
−
−−
4)4(4
42
4
0
2
),(
y
y
dxyxfdy ].
• (Saša Žigić) Promjeni poredak integracije u integralu ∫∫−
x
xx
dyyxfdx2
2
2
0 2
),( .
[R: ∫ ∫∫ ∫ ∫ ++−−
−+
1
0
2
1
2
2
11
2
1
0
2
11 2
2
2 2
),(),(),(y
y
y y
dxyxfdydxyxfdydxyxfdy ∫ ].
• (Saša Mesarić) Promjeni poredak integracije u integralu:
∫ ∫ ∫ ∫+
−
−−
+−
+2
0
2
2
2
0
2
2
),(),(y
y
y
y
dxyxfdydxyxfdy .
[R: ∫ ∫ ∫∫+− −
−
− − −
++2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 22
),(),(),(x xx
dyyxfdxdyyxfdxdyyxfdx∫ ∫ ].
• (Ivan Klarić) Promijeni poredak integracije u integralu:
∫ ∫ ∫ ∫−
−
−
+=0
2
sin
sin
2
0
sin
sin
),(),(π
πx
x
x
x
dyyxfdxdyyxfdxI .
[R:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫− −
−
− − −
+++0
1
arcsin
2
1
0
arcsin
2
0
1
1
0
2
arcsin
2
arcsin
),(),(),(),(y y
yy
dxyxfdydxyxfdydxyxfdydxyxfdyπ π
ππ
].
19
20
• (Tanja Gamberger) Zamjeni poredak integracije u dvostrukom integralu:
. ∫ ∫− −−
1
3
2
42
),(x
x
dyyxfdx
[R:
∫∫∫∫∫∫∫∫ +++−−−−
−
−
−−−
−
−
−
1
log
2
81
1
3
81
4
1
4
4
5
4
3
4
7 2
),(),(),(),(yy
y
dxyxfdydxyxfdydxyxfdydxyxfdy ].
• (Ivan Petrović) Promjeni poredak integracije u integralu:
I dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dxy
y
y
y
y
y
= + ++
−− − −
+
−∫∫ ∫∫ ∫∫( , ) ( , ) ( , )
/ /33
3
3 2
0
3
3
0
1
3
33
3 2
0
[R:
]. ),(),(
),(),(),(),(
1
2/1
0
33
2/1
0
0
3
0
2/1
3/3
0
1
3
0
3/3
1
3
0
3
2/1
1
0
33
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫
−−
− − −
−
− −−
++
++++=
xx
xxxx
dyyxfdxdyyxfdx
dyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxI ∫
• (Ivana Ilić) Promijeni poredak integracije u dvostrukom integralu:
∫∫∫∫∫∫∫∫−
+−
−−
+−
−−−
+−−−
−−−
−−
−
−
+++
2
2
2
2
2
2
2
2
43
2
)1(932
2
1
)1(932
)1(932
1
0
)1(932
)1(932
0
1
)1(932
432
1
2
),(),(),(),(x
x
x
x
x
x
x
x
dyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdx .
[R:
]. ),(),(),(),(
2
2
2
2
2
2
2
2
31621
1423
2
324
31621
1423
324
0
1423
31621
0
324
1423
31621
324
2∫∫∫∫∫∫∫∫−
+−
−
−−
+−−
−−−
−−−
−−
−
−
+++y
y
y
y
y
y
y
y
dxyxfdydxyxfdydxyxfdydxyxfdy
20
21
10. RJEŠAVANJE DVOSTRUKIH INTEGRALA PROMJENOM POREDKA INTEGRACIJE
• (Vedran Šustić) Promjenom poretka integracije izračunati integral: ∫ ∫3
22
23
2
x
x
ydyxdx
[R:504
518257 ].
• (Dario Miculinić) Promjenom poretka integracije riješi integral: ∫ ∫−2
1
0
3 2
2
x
y
xdxdy
[R: 960697 ].
• (Nenad Vujatović) Promjenom poretka integracije riješiti integral: ∫ ∫−
−−
1
0
1
1
2
2
y
y
ydxxdy .
[R: 121 ].
• (Saša Potkonjak) Riješiti integral zamijenom poretka integracije: ∫ ∫1
0
1
y
arctgxdxdy
[R: 12
2ln22 +−π ].
• (Siniša Kušanić) Promjenom poretka integracije riješiti sljedeći integral:
∫∫ +y
dxyxdy0
4
0
)ln(
π
.
[R: )163
2ln
4ln
82ln
2(
16
2
−−−ππππππ ].
• (Ehlimana Purić) Promjenom poretka integracije izracunajte integral:
dyedxx
x
x∫∫+
−
+
323
121
21
0 2
.
[R:45
21 2 −e ].
21
22
• (Vjekoslav Težak) Izračunaj sljedeći integral promjenom poretka integracije:
∫∫−
+56
0
5
1
)(x
dyyxchdx .
[R: 1527130
71 chchchch +−− ].
• (Igor Vukmirović) Riješiti slijedeći integral promjenom poretka integracije : ( )
∫ ∫ +
3
0 021
1xarctg
dyx
dx .
[R: 18
2π ].
• (Ana Cindrić) Promjenom poretka integracije izračunati integral :
dyy
ydxdy
y
ydx
xx e
ex
e
ex
∫ ∫∫∫−−
++
+
−−
1
033
0
1
22
11
[R:
3104 +e ].
• (Petar Džaja) Odredi parametar u dvostrukom integralu λ
∫ ∫−λ λ
03
222
x
dyy
xydxx
ako je rješenje integrala 9 . Integral izračunati promjenom poretka integracije. π [R: 212=λ ].
22
23
11. PRIJELAZ NA DRUGI SUSTAV U DVOSTRUKOM INTEGRALU
• (Goran Božić) Izvrši prijelaz na polarni sustav u integralu:
∫∫D
dxdy y)f(x,
gdje je D područje određeno sa: i . 4x yx 22 ≤+ 8yyx 22 ≤+
[R: ∫∫∫∫ϕϕ
ϕϕϕ+ϕϕϕ4cos
0
2π
21arctg
8sin
0
21 arctg
0
dr)r rsin,(rcosddr)r rsin,(rcosd ].
• (Tanja Gamberger) Prijelaz na polarni sustav u dvostrukom integralu:
∫∫−
−
2
2
45
1645
54
0
),(y
y
dxyxfdy .
[R: ∫∫+ ϕϕ
ϕϕϕ
22 sin41cos4
1
1
8,21
0
20)sin2,cos10( rdrrrfdo
].
• (Tomašek Tomislav) Prijelaz na polarni sustav u dvostrukom integralu:
∫∫−
=11
1 2
)(x
dyxyfdxI .
[R: ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫∫ ++=4
0
43
4
cossin
04
3
sin1
0
cossin
0
22π π
π
ϕϕ
π
π
ϕϕϕ
ρρϕϕρρϕϕρρϕϕ ddtgfddtgfddtgfI ∫ ].
23
24
12. RJEŠAVANJE DVOSTRUKIH INTEGRALA PRIJELAZOM NA DRUGI SUSTAV
• (Saša Potkonjak) Prelaskom na polarne koordinate rijesi integral:
∫ ∫ −
+2
0
2
0
22
2xx
dyyxdx
[R: 9
16 ].
• (Goran Kukolj) Prijelazom u polarne kordinate riješi integral :
dyxyxdxxx
323
0
22
2
0
)29
(2
−+∫∫−
.
[R: 163π
− ].
• (Ivan Vidaković) Izračunati dvostruki integral:
∫∫ +D
dxdyyx 22sin ,
gdje je D područje omeđeno s krivuljama x2+y2 = π2 i x2+y2 = 4π2. [R: -6 π2 ].
• (Ivan Bašić) Riješiti integral prijelazom na polarni sustav: dxdyyx
S∫∫ + 22 ,
gdje je S područje u ravnini određeno nejednadžbama:
1)1( 22 ≤++ yx , i xy ≤ xy 3−≤ .
[R: 9
210+11 ].
24
25
• (Ehlimana Purić) Prijelazom na polarne koordinate izračunajte integral:
dxdyexP
yx∫∫ + 222 ,
gdje je P podrucje omedjeno krivuljama x²+y²=4, x²+y²=1, y =0 i y= 3 x.
[R:16
)334(4 +πe ].
• (Andrija Antolaš) Prelaskom na polarne koordinate izračunaj dvostruki integral:
dxdyyxS∫∫ + 22 ,
gdje je S područje omeđeno sa krivuljama: (y - 1)2 + x2 = 1 i y2 + x2 = 1 .
[R: 9
2 3
3
π+
37− ].
• (Saša Mesarić) Prijelazom na polarne kordinate riješiti :
∫ ∫−
++2
0
425
2
4224x
x
yyxx dyyedxx .
[R: )115(192
1 16 += eI ].
• (Ana Cindrić) Prijelazom na polarne kordinate riješiti :
dxdyyx
xyxIS∫∫
+
++=
22
22 2
gdje je područje S omeđeno sa krivuljama: te pravcima ( ) 11 22 =−+ yxxy 3−= i . xy =
[R: 23
927
37
−− ].
25
26
• (Nenad Vujatović) Prijelazom na polarne kordinate riješiti :
dxdyyx
x
D∫∫
+ 522
2
)(,
gdje je D lik u ravnini određen nejednadžbama
21,0,
21,122 ≥≥≤≤+ yxxyx .
[R:128
352 π−− ].
• (Goran Kukolj) Prijelazom u polarne kordinate riješiti integral :
dyxyxdxxx
323
0
22
2
0
)29
(2
−+∫∫−
.
[R: 163π
− ].
• (Saša Žigić) Riješiti dvostruki integral ∫ ∫
P
dxdyxy ako je P omeđeno krivuljom
622
422 xyyx=
+ u prvom kvadrantu.
[R: 4 61 ].
• (Katija Šeparović) Izračunajte:
dxdyyexyx
D
2)1(422
⋅−++
∫∫ ,
gdje je D … za koji je y>0, x>2. 1)2( 22 =+− yx
[R: 8π ].
26
27
• (Luka Novosel) Izračunaj integral:
dxdyyyx
arctgD
)2
1764(
22
∫∫+−+
,
po području D gdje D omeđuje 14
)3( 22 =
−+
yx i . 0>x
[R: )23()2(33
4 2
−−− πππ arctg ].
• (Ivana Ilić) Izračunaj dvostruki integral:
∫∫ ⋅−
D
dxdyyxyxarcctg
2
22
,
gdje je D omeđeno krivuljama : , ( ) i 422 =+ yx ( 22222 4 yxyx −=+ ) 2=y uz uvjet da je . 0≥y [R: ]. ππ 22 +=I
13. KRIVULJNI INTEGRALI 1. VRSTE
• (Nenad Vujatović) Riješiti krivuljni integral prve vste:
dsyx 22∫Γ
, gdje je Γ krivulja zadana parametarski jednadžbama:
x(t)=cost, y(t)=sint, t ∈ [0, 2π] .
[R: 4π ].
• (Andrija Antolaš) Riješi krivuljni integral prve vrste:
∫ +c
22 ds)y (x ,
gdje je c luk evolvente kružnice na djelu t∈[o,π] zadane parametarski c… x = a(cost + t⋅sint), y = a(sint - t⋅cost) .
[R: ) 2(
4a 2
32
π+π ].
27
28
• (Saša Potkonjak) Riješiti krivuljni integral prve vrste:
∫Γ
dsxy gdje je: Γ... od A(0,0) do B(1,4) 24xy =
[R: )165(
38
− ].
• (Petar Marović) Izračunati krivuljni integral prve vrste:
dsxy
xI ∫Γ +
=368
3
,
gdje je Γ dio krivulje 3
21 xy = od točke A, za koju je , do točke B za
koju je .
2−=Ax
3=Bx
[R : ( )148733361
− ].
• (Goran Božić) Riješiti integral:
∫D
y)ds-(x
gdje je D krivulja . 5xyx 22 =+
[R: 2
25π ].
• (Goran Kukolj) Izračunati :
∫Γ
⋅+ dsyyx 222 )( ,
gdje je Γ luk krivulje koji se nalazi u drugom kvadrantu. 4)1( 22 =+− yx
[R: 393
20−
π ]
• (Vjekoslav Težak) Izračunati:
∫ +P
x ydsxe )( 2 ,
gdje je P presječnica ploha i 2874 22 =+ yx 07232 =−− yz .
[R: )(473
1127 77 ee −−− −56 ].
28
29
• (Jelena Jurišić) Izračunati: , ∫ dsxy xx
po krivulji x(x od točke s ordinatom 22223222 )(4) yxyxy −+=+33 do točke s
ordinatom 3 .
[R: -2+3
2 ].
• (Ivan Petrović) Izračunati :
x zx y
ds2 2
2 2
+
+∫Γ
gdje je Γ prvi zavoj cilindrične spirale: x = a cos t, y = a sin t, z = bt, a > 0.
[R: π
πa b a b
2 22 23 8
++( )
a32 ].
• (Saša Mesarić) Riješiti integral ∫ , gdje je Γ presječnica ploha :
Γ
dsx5
44xy = i y+2z=5 .
[R:
−+= 1)52001(
28801 2
3
I .
• (Siniša Kušanić) Izračunaj:
dszxK
)214( 2 ++∫ ,
gdje je K presječnica krivulje i ravnine 432 22 =+ yx 72 += zy . [R: π22 ].
• (Igor Vukmirović) Riješiti krivuljni integral prve vrste
∫Γ
xyds ,
gdje je Γ presječnica ploha i , uz uvjete . 25259 222 =++ zyx xz 4= 0,0 ≥≥ yx
[R: ( )1125121
− ].
29
30
• (Petar Džaja) Izračunati:
( )∫Γ
− dszy 22 ,
gdje je presječnica ploha i x=z u drugom i trećem oktantu. Γ 16222 =++ zyx [R: 16π ].
• (Ivan Klarić) Riješiti krivuljni integral 1. vrste:
dsyx
yx∫Γ +
−22161
,
gdje je Γ presječnica krivulja .
=−+
=−−
010
22
22
yxzyx
[R: 0 ].
• (Dario Miculinić) Riješiti krivuljni integral prve vrste:
∫Γ
+ dszyx 222
gdje je Γ dio presječnica ploha 2x2 + y2 + 2z2 = 4 i y = z koji se nalazi u prvom oktantu.
[R: ( )6621632
31
− ].
• (Novosel Luka) Izračunaj integral:
xzdsyyey
)2)(2(2
+−∫Γ
pri čemu je Γ zadana presjekom i y = z u prvom oktantu. 122 =+ yx
[R: 23
−e ].
30
31
• (Ivana Ilić) Izračunaj integral
ydszzxxex
⋅+−
+++∫Γ
+
541)22(
2
21
gdje je Γ zadana presjekom ploha 42
22 yxz += i s time da je . 1=+ zx 0≥y
[R:
+
−=
321
36
3
32 π
eeI ].
14. KRIVULJNI INTEGRALI 2. VRSTE
• (Saša Potkonjak) Riješiti krivuljni integral druge vrste:
gdje je Γ … , a ∫Γ
−+− dyyrdxyr )()2( )sin( ttrx −= )cos1( try −=
[R: ]. π2r
• (Andrija Antolaš) druge vrste:
dyy1
yx dx
xy
x1
333
2
c
33
2
3
++
+∫
za t ∈[ 6π ,
4π ] , gdje je zadano c zadano parametarski: c… x =
93 ⋅cos3t,
y = 93 ⋅sin3t .
[R:
32ln ].
31
32
• (Goran Božić) Riješiti integral:
∫ +AB
32 dy3xydx2x
gdje jeAB je dio krivulje od točke A(0,0) do točke B(2,8). 3xy =
[R: 3
352I = ].
• (Ivan Bašić) Riješiti integral:
∫ −AB
ydyxdxyx 232 22
gdje je AB je dio krivulje xy = od točke A(0,0) do B(2, 2 ).
[R: 38
92 2
13
− ].
• (Goran Kukolj) Riješi integral :
∫ +++c
dyxxydxyxy )52()3( 22 ,
gdje je c ... . 1)2()1( 22 =++− yx
[R: 7 ]. π
• (Domagoj Madić) Izračunati
∫ +−
K yxydydxx2
,
gdje je K kontura koju zatvara pravac y = -x-2 sa koordinatnim osima.
[R: 2/3 ].
32
33
• (Igor Vukmirović) Riješiti krivuljni integral druge vrste:
∫Γ +
+221 yx
ydxxdy ,
gdje je Γ dio sinusoide , od ishodišta do točke s apscisom ( )xy sin=2π .
[R:
221 πarctg ].
• (Saša Mesarić) Riješiti krivuljni integral
∫+
+k
xdydxy 32 ,
gdje je pozitivno orijentirana granica područja određenog nejednadžbama +k04,04,04 222222 ≤++≤−+≤−+ xyxyyxxyx .
[R: ]. 84 += πI
• (Marko Marović) Izračunati krivuljni integral druge vrste:
∫Γ
−+ dyxydx )1( ,
gdje je Γ dio krivulje 232 −+−= xxy od točke O(0,0) do točke A(4,0).
[R: -2 ].
• (Ivana Ilić) Izračunaj integral:
dyyx
yxdxeK
yx
+−+∫
+
2221 222
gdje je K dio Arhimedove spirale , ( od do . ϕ2=r )0≥r 0=r π4=r
[R: 32
31622 πππ π +−e ].
• (Dario Miculinić) Riješiti krivuljni integral druge vrste: zdzyyzdyxxydx 22 4810 −−∫
Γ
,
gdje je Γ dio pravca od točke A(5,4,2) do točke B(0,-2,7). [R: 2290].
33
34
• (Ana Živić) Izračunati:
4222
222
+++++
∫ zyxdzzdyydxx
AB
pri čemu je AB usmjerena dužina od točke A(0,2,-2) do točke B(2,4,0).
[R: 4 – 32 arctg2 ].
• (Katija Šeparović) Izračunajte:
( )[ ] ( ) ( )dzydyyyzdydxxxdxe yx 222 sincos22 −−++∫Γ
+
gdje je Γ je parametarski zadan sa ( ): [ ] 31,0: Rr →
( )
+−
=tttetr t
121,arcsin,
2
.
[R: 212
2+−
∏++
ee
e ].
• (Ana Cindrić) Riješiti integral :
∫3
,,2
0,2
,1
ππ
π
sdf rr
r
,
gdje je . ( ) ( ) ( )kzxyjzxizxyfrrr
sincos2 22 −++++=
[R: 32
7 2ππ+ ].
• (Igor Krupička) Riješiti krivuljni integral 2. vrste:
∫ ++k
dzzdyydxx 222
gdje je k presječnica sfere i ravnine z=x uz y>0. Rxzyx 2222 =++
[R: -23
3R ].
34
35
• (Luka Novosel) Izračunaj integral
∫Γ
+ ydyxdxxy 22
pri čemu je krivulja Γ zadana presjekom 1164
222 =++
zyx i uz uvjet da
je x > 0.
xz 2=
[R: 0 ].
• (Marko Filić) Rješi krivuljni integral 2. vrste :
∫ ++k
dzxdyzdxy 222 ,
gdje je k presječnica ploha: x² + y² + z² = 16 i x² + y² = 4x.
[R: ∫k
= -16π ].
35