ALMA MATER STUDIORUM - UNIVERSIT DI BOLOGNA
SCUOLA DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA DIPARTIMENTO: Din
CORSO DI LAUREA
InIngegneria Meccanica
TESI DI LAUREA
inMeccanica degli azionamenti
Progettazione di un prototipo di un robot parallelo a 6 cavi
CANDIDATORELATORE:
Giacomo QuercioliIng. Marco Carricato
CORRELATORE/CORRELATORI
Ing. Alessandro Berti
Anno Accademico 2012/2013 sessione II
[Digitare il titolo del documento]
A mio zio, ai miei familiari,a Federica e ai miei amici
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59
SommarioIntroduzione5Capitolo 1 : I robot paralleli a cavi71.1:
Introduzione71.2: I robot Seriali71.3: I robot paralleli91.4: I
robot a cavi111.4.1: La skycam141.4.2: Applicazione in ambito dei
trasporti141.4.3: Applicazioni nella neuro-riabilitazione16Capitolo
2 : Elementi di teoria per lo studio dei robot a cavi192.1:
Descrizione del modello192.2: Coordinate di Plcker212.3: Problema
cinematico inverso232.4: Studio della statica del
manipolatore272.5: Definizioni di aree di lavoro282.6:
Modellizzazione della struttura292.7: La scelta della geometria
ottimale per base ed end-effector34Capitolo 3 : La scelta dei
motoriduttori e delle pulegge383.1: Principali problematiche di
progettazione e controllo383.1.1: Cavi non in tensione383.1.2:
Deformazione elastica e curvatura383.1.3: Avvolgimento dei
cavi.393.2: La scelta del diametro ottimale della puleggia413.3: La
scelta dei moto-riduttori443.3.1: La curva caratteristica e il
PWM463.3.2: Limitazioni sui motoriduttori483.3.3: I risultati
ottenuti50Capitolo 4 Progettazione del prototipo544.1: le soluzioni
costruttive adottate544.1.1: Geometria del motore e della scheda di
controllo544.1.2: Calettamento della puleggia allalbero554.1.3: La
prima soluzione costruttiva564.1.4: La seconda soluzione
costruttiva584.4.5 la terza soluzione costruttiva644.2: La prima
versione del prototipo664.2.1: Il telaio674.2.2: Il bloccaggio dei
vari organi al telaio684.3: Confronto tra larea di lavoro teorica e
quella effettiva70Conclusioni72Appendice A73Appendice
B76Bibliografia79
IntroduzioneLo scopo di questo lavoro di tesi quello di
illustrare il lavoro svolto nellambito della progettazione di un
prototipo di un robot a 6 cavi. Questi robot, infatti, pur avendo
numerosi limiti, mostrano elevate potenzialit che stanno rendendo
loro oggetto di molti studi, nonch di numerose applicazioni. Nel
primo capitolo viene definito cos un robot e vengono messe in luce
le differenze tra le due principali classi di architetture, ovvero
i robot seriali e i robot paralleli, illustrando pregi e difetti di
entrambe le categorie. In seguito viene illustrata una
sotto-categoria dei robot paralleli, ovvero i manipolatori a cavi,
di cui sono esposte le peculiarit, nonch le problematiche relative
a questa architettura, illustrando alcuni esempi che hanno riscosso
successo a livello applicativo.Nel secondo capitolo vengono esposte
le basi teoriche necessarie allo studio dei robot a cavi, in
particolar modo quelle richieste per affrontare lo studio del
problema geometrico-statico inverso e dellindividuazione dellarea
di lavoro. Viene poi mostrata lapplicazione di questi concetti nel
caso in esame, illustrando il modello adottato nella stesura di uno
script Matlab utilizzato per determinare una geometria del robot
efficace ad ottenere elevate aree di lavoro.Nel terzo capitolo
vengono illustrate le principali problematiche inerenti i robot a
cavi, che devono essere considerate nella progettazione, in seguito
si affronta la scelta del diametro ottimale della puleggia su cui
vanno arrotolati i fili che muovono il robot. Vengono poi
illustrate le caratteristiche dei motori in corrente continua. Una
volta note le caratteristiche generali si sceglie da catalogo i
motoriduttori in grado di garantire larea di lavoro maggiore.Nel
quarto capitolo sono presentate tre soluzioni costruttive inerenti
il bloccaggio di un motoriduttore ad un telaio, il calettamento
della puleggia al riduttore e, solamente nella seconda e nella
terza soluzione, il montaggio di una coppia di cuscinetti radiali.
Queste soluzioni sono disegnate mediante il software Autodesk
Inventor. In seguito si vede come la prima soluzione stata
applicata al robot effettivamente costruito che viene presentato;
infine vengono illustrati i risultati ottenuti nelle prove
effettuate sul robot, in particolar modo verificando che larea di
lavoro stimata al capitolo 3 corrisponda a quella effettivamente
ottenibile.
Introduzione
5: I robot paralleli a cavi
1.1: IntroduzioneUn robot un sistema meccanico, controllato, che
consente il movimento di un membro/organo terminale nello spazio
rispetto ad una base fissa. L'insieme dei movimenti che il robot pu
compiere (in generale 3 traslazioni dirette secondo gli assi di un
sistema cartesiano e 3 rotazioni attorno ad essi) vengono chiamati
gradi di libert. Prima di affrontare i vari aspetti dei robot a
cavi, utile fare una preliminare distinzione tra robot seriali e
robot paralleli.
1.2: I robot SerialiUn robot seriale un sistema articolato in
catena aperta, dove ogni organo vincolato al precedente e al
successivo da una coppia (tipicamente rotoidale o prismatica). Tale
struttura presenta in genere una prima estremit fissa vincolata ad
un telaio e una seconda (opposta a quella fissa) libera di muoversi
nello spazio; questultima viene chiamata end - effector. Si pu dare
una seconda definizione di robot seriale. Se si definisce grado di
connessione di un giunto, il numero di corpi rigidi vincolati a
tale giunto, si pu dire che una catena cinematica aperta, e quindi
il robot di tipo seriale, se ogni membro possiede un grado di
connessione pari a due, ad eccezione del telaio e
dell'end-effector, per il quale tale valore pari ad uno. In questi
robot ogni giunto attuato e conferisce un grado di libert al
sistema. Figura 1.1:Esempio di robot seriale: Il robot Scara da
[1]
Come riportato da Merlet in [1], questi tipi di robot offrono
grossi vantaggi, a cominciare dal punto di vista dell'analisi
dell'area di lavoro, essendo facilmente valutabile il movimento
possibile dei vari membri dal punto di vista dell'interferenza che
questi possono avere nel loro movimento. Inoltre, anche l'analisi
cinematica, sia diretta che inversa, sono di facile risoluzione. Di
contro, queste strutture, hanno lo svantaggio di avere grossi
problemi flessionali dato che ogni membro deve sorreggere il peso
dei membri che lo seguono. Per ovviare a questo problema si ricorre
a strutture notevolmente appesantite per conferire loro la rigidit
voluta, ottenendo per un basso rapporto tra la massa movimentata
dallend-effector e la massa totale del manipolatore. Un secondo
problema dei robot seriali la carenza di precisione causata
anch'essa dalla loro scarsa rigidit flessionale. Infatti le
deformazioni che la struttura subisce, una volta che viene
applicato un carico allend-effector, non sono misurabili dai
sensori interni agli attuatori e causano un errato posizionamento
dellorgano di presa. Oltre che dalla flessione, la bassa precisione
dei robot seriali pu essere causata da altri fattori quali
l'accuratezza dei sensori, oppure una scarsa tolleranza geometrica.
Questi ultimi due tipi di errori, possono essere presenti anche sui
robot paralleli, ma nelle architetture seriali vengono
"amplificati". Difatti un errore, anche piccolo, di posizione in
uno dei primi organi (i pi vicini al telaio), comporta un errore
molto elevato nella posizione finale dell'end-effector. Infine
questi robot presentano un ulteriore svantaggio, dato dalle scarse
velocit e accelerazioni che possono conferire al membro terminale.
Infatti, se per limitare i problemi flessionali, si fa ricorso a
strutture massicce, queste, ovviamente, una volta messe in moto,
danno luogo ad elevate forze inerziali che rendono difficile il
controllo del robot e rischiano di stressarne eccessivamente i
motori e i componenti strutturali. Un esempio di robot seriale il
robot Scara in fig.1.1.
1.3: I robot paralleliI robot paralleli sono manipolatori che
presentano una o pi catene cinematiche chiuse allinterno della loro
struttura. Una catena cinematica si definisce chiusa quando
allinterno vi almeno un membro, che non sia il telaio, avente un
grado di connessione maggiore o uguale a 3. Questa architettura,
diversamente da quella di un robot seriale, ha la peculiarit di
offrire un miglior rapporto tra la massa movimentabile e il peso
stesso della struttura, inoltre garantisce una migliore precisione
di posizionamento. Di contro, per, tali strutture presentano
difficolt di studio dal punto di vista cinematico. Risulta infatti
di difficile soluzione il problema cinematico diretto, ossia quello
in cui, note le coordinate di giunto, necessario ricavare la posa
dell'end-effector, ovvero la posizione di un punto su di esso e
l'orientamento di una terna solidale ad esso rispetto a un sistema
di riferimento fisso. Questo problema, infatti, ha spesso pi di una
soluzione e talvolta non nemmeno possibile prevedere a priori il
numero di esse. Di pi facile soluzione invece il problema
cinematico inverso dove, nota la posizione dell'end-effector e il
suo orientamento, si ricercano i valori delle coordinate di giunto.
I primi studi riguardo una struttura parallela risalgono al 1813
grazie a Cauchy che per primo ne affront lo studio. Uno dei pi
importanti esempi di robot parallelo, nonch il primo funzionante,
la struttura di Stewart-Gough (fig. 1.2), il cui primo esemplare
risale al 1947. Questo robot (e le sue varianti) ha riscosso un
notevole successo a partire dagli anni 60 dal punto di vista
applicativo come simulatore di volo. La sua struttura costituita da
6 arti, disposti simmetricamente a formare 3 coppie di triangoli,
collegati al telaio e alla piattaforma mobile da coppie sferiche.
Ogni gamba costituito da due membri collegati tra loro per mezzo di
coppie prismatiche, attuate mediante dispositivi idraulici o motori
lineari che permettono, quindi, di variare la lunghezza di ogni
membro e conseguentemente la posizione della piattaforma. Tale
struttura prende anche il nome di 6-SPS, dove 6 indica il numero di
gambe di cui costituito il robot, mentre il suffisso SPS si
riferisce alla sequenza delle coppie cinematiche di ogni catena
(sferica, prismatica, sferica). E' frequente la sostituzione di una
coppia sferica con un giunto universale, o giunto di Cardano, per
eliminare i gradi di libert passivi che consentirebbero la
rotazione delle gambe intorno al proprio asse (in questo caso la
struttura diventa del tipo 6-SPU). Questo robot possiede 6 gradi di
libert ed evidente come questo tipo di struttura consenta di
sostenere elevati carichi, infatti, nella posizione centrale, ogni
braccio deve sopportare 1/6 del peso totale, inoltre ognuno di essi
risulta caricato a solo sforzo normale, conferendo cos una rigidit
molto pi elevata rispetto ad un robot seriale dove ogni membro
lavora a flessione. Il risultato , ovviamente, la possibilit di
avere una struttura pi snella e leggera e conseguentemente una
dimensione minore degli attuatori e dei giunti, con anche un'ovvia
riduzione dei consumi energetici.Figura 1.2: La struttura do
Stewart-Gough
Vi sono ulteriori vantaggi derivanti da questa architettura. Uno
di questi il miglioramento per quanto riguarda la precisione nel
posizionamento dell'end-effector. Infatti, limitando il problema
della flessione, si vanno a ridurre le deformazioni che i vari
membri hanno; queste deformazioni sono difficilmente prevedibili e
misurabili, perci una limitazione di queste comporta un
miglioramento nella precisione di posizionamento del robot. Un
ulteriore vantaggio, di una struttura parallela, sta nella limitata
influenza che un eventuale errore di un sensore interno al robot
(che per esempio potrebbe misurare la lunghezza di una delle gambe
della piattaforma di Gough) ha nella posizione finale dell'end
effector. Se per esempio tale errore avvenisse su tutti e 6 i
membri del robot, il risultato sarebbe un errore nella posizione
dell'end-effector solamente in direzione assiale e pari all'errore
nella singola gamba. E possibile perci affermare che con
architetture di tipo parallelo gli errori vengono compensati. Come
stato detto inizialmente, queste strutture hanno per alcuni
inconvenienti legati soprattutto alla risoluzione del problema
cinematico diretto, infatti, per la piattaforma di Gough-Stewart,
dopo anni di ricerca stato possibile dimostrare che ammette 40
soluzioni. Inoltre individuare l'area effettiva di lavoro non un
problema di facile risoluzione, poich facile incorrere in punti di
singolarit (dove cio il moto del robot non risulta essere
controllabile) oppure in punti in cui i vari membri del robot
possano interferire tra di loro. Questi problemi non sussistono per
robot seriali o sono di entit sensibilmente inferiore.
1.4: I robot a caviUna interessante sotto categoria dei robot
paralleli sono i robot a cavi. Questi sono costituiti da un certo
numero di attuatori i quali, ruotando, avvolgono oppure svolgono
dei cavi su delle pulegge. Questa soluzione presenta il vantaggio
di conferire un maggiore spazio di lavoro dal momento in cui
l'ingombro dei cavi decisamente inferiore a quello che potrebbe
avere un qualsiasi organo di un giunto in un robot parallelo
tradizionale. Un minore ingombro si traduce, ovviamente, in un
minor numero di configurazioni in cui i membri (in questo caso i
cavi) vanno ad interferire tra di loro. Si ha poi un aumento dello
spazio di lavoro grazie anche alla possibilit di arrotolare e
srotolare notevoli lunghezze di cavi, non ottenibili mediante un
equivalente attuatore lineare. Un ulteriore vantaggio una notevole
riduzione delle masse in movimento, fattore che contribuisce a
migliorare il comportamento dinamico dei robot a cavi. Tutto ci fa
s che questi robot possano operare anche a velocit molto elevate
(se controllati opportunamente), che abbiano un elevato spazio di
lavoro, una grande capacit di essere trasportati grazie al peso
contenuto del robot e alla semplicit costruttiva e di montaggio. Vi
sono per numerosi svantaggi causati soprattutto dalla necessit di
mantenere sempre in tensione i cavi dato che, come noto, essi
possono esercitare sforzi di pura trazione. Questo fa s che, per
mantenere l'equilibrio del robot rispetto alle coppie e forze
esterne applicate, spesso si fa uso di un numero di cavi maggiore
al numero di gradi di libert del robot. Un robot a cavi si
definisce pienamente vincolato o fully-constained se la posa nota,
quando tutti gli attuatori sono bloccati, per mezzo delle sole
equazioni di vincolo geometrico, senza che debbano essere
considerate anche le equazioni di equilibrio statico. Affinch ci
sia possibile, necessario che tali robot abbiano almeno 6 cavi in
tensione nella posa assunta dallend effector e dunque la posa della
piattaforma sia completamente determinata dai soli vincoli
geometrici imposti dalla lunghezza dei cavi. Tuttavia, questa una
condizione necessaria ma non sufficiente, infatti possibile avere
configurazioni in cui, un robot avente 6 cavi, si comporta come se
ne avesse un numero inferiore, poich alcuni di essi non sono pi
tesi. Per ovviare a questo inconveniente spesso si fa ricorso a
strutture ridondanti in modo che nessun cavo abbia tensione nulla
nella configurazione di lavoro. Inoltre adottare sistemi ridondanti
non comporta un sensibile aumento dei costi e permette anzi di
ottenere quasi sempre un aumento dell'area in cui la tensione ha
valore positivo in ogni cavo. Di contro questa soluzione porta ad
un aumento delle configurazioni in cui i cavi interferiscono tra di
loro. Viceversa un robot detto sotto vincolato o under-constrained
se l'end-effector presenta ancora qualche grado di libert quando
tutti gli attuatori sono stati bloccati. In tal caso la posa della
piattaforma non pu essere determinata dai soli vincoli geometrici,
ma necessario introdurre le equazioni di equilibrio statico. In
generale, questi robot possiedono meno di 6 cavi in tensione. Alle
volte tale soluzione accettata in casi in cui si possono avere
problemi di interferenza tra i fili oppure se lo scopo ridurre i
costi, il tempo di preparazione o ridurre la complessit del
sistema. Una seconda distinzione pu essere fatta tra robot a cavi
distinguendoli in:
Completamente attuati se dove il numero di cavi e il numero di
gradi di libert del sistema. Sotto attuati se ; tale soluzione
permette di ottenere una maggiore manipolazione con l'inconveniente
di aumentare il rischio di interferenza dei cavi. Ridondante se .In
alcuni casi le forze esterne, come per esempio la forza peso,
possono essere considerate come dei cavi aggiuntivi.
E quindi evidente come, diversamente dai robot tradizionali,
unarchitettura a cavi necessiti di almeno cavi, per controllare n
gradi di libert. Infatti, in quelle tradizionali, ogni attuatore
solitamente in grado di conferire 1 gdl in pi allend effector e
quindi sono sufficienti solamente n attuatori per controllare
gdl.
Spesso questi robot vengono distinti in base al numero di cavi
che collegano base fissa e base mobile. In [8] viene proposto un
modo generico per indicare un robot a cavi: un robot viene chiamato
quando vi sono cavi che collegano la piattaforma fissa e quella
mobile mediante punti di ancoraggio differenti.I robot a cavi hanno
trovato numerosi impieghi potenziali in vari settori: in quello
delle telecomunicazioni in ambito sportivo per effettuare riprese
dall'alto negli stadi (skycam), in quello delle costruzioni come
sistema di posizionamento di oggetti e utensili, in quello medico
venendo usati come facilitatori della riabilitazione e in ambito
scientifico come sistemi di movimentazione per telescopi.Figura
1.3: La skycam
1.4.1: La skycamLa prima applicazione di robot a cavi per fini
televisivi la skycam, che stata utilizzata per la prima volta nel
1984 durante la partita di preseason di NFL tra Chargers e 49ers.
Tale tecnologia ha avuto una lenta crescita nei suoi primi anni di
vita fino agli novanta, a causa dei limiti di calcolo dei computer
e dei controlli dei motori, successivamente, invece, ha avuto un
rapido sviluppo sempre in ambito sportivo. Il robot costituito da 4
motori disposti nei 4 angoli dello stadio. Su ciascun motore
calettato un tamburo che arrotola/srotola un cavo. Il cavo scorre
su una puleggia che funziona da guida, ed posta su un pilone a
decine di metri sopra lo stadio. Dalla puleggia il cavo arriva poi
alla camera. Tutti i cavi convergono in un solo punto della
piattaforma. Questo Robot viene comandato da un operatore mediante
dei Joystick e possiede tre gradi di libert (a conferma del fatto
che possibile controllare 3 gdl mediante 4 cavi), essendo libero di
muoversi nello spazio nelle tre direzioni semplicemente variando la
lunghezza dei cavi, ma essendo impossibilitato a cambiare
orientamento dal momento che i cavi convergono in un solo punto.
Attualmente sono in commercio diverse versioni della Skycam, la
quale prende un nome diverso a seconda del produttore. Le pi
importanti sono: Skycam, Spidercam e CableCam.
1.4.2: Applicazione in ambito dei trasporti
Sempre all'inizio degli anni ottanta stato proposto da Albus e
dal suo team l'uso di robot a cavi per realizzare una gru, che non
solo consentisse la traslazione di un corpo (come farebbe una
normale gru), ma che ne permettesse anche lorientamento nello
spazio. La struttura analoga alla struttura di Gough-Stewart in
cui, al posto di attuatori lineari, vengono utilizzati dei cavi. A
questo manipolatore venne dato il nome di Robocrane (fig. 1.4).
Come riportato in [2] il telaio del robot ha una forma ottaedrica
ed costituita da tre triangoli realizzati per mezzo di tubi in
alluminio lunghi 6 m e con un diametro pari a . I triangoli sono
invertiti e uniti nei vertici superiori a formare un quarto
triangolo. Da ogni vertice del triangolo superiore partono 2 cavi
che vanno a collegarsi con i 3 vertici di un secondo triangolo
detto triangolo inferiore. E importante specificare che i 2 cavi
che partono da ogni vertice del triangolo superiore si collegano a
due vertici diversi nel triangolo inferiore; se cos non fosse,
infatti, si otterrebbe un robot under-constrained, dal momento in
cui sarebbe perfettamente equivalente ad un robot 3-3. Anche la
piattaforma inferiore realizzata in alluminio. I cavi che lo
supportano sono in acciaio e hanno un diametro pari a . Grazie alla
sua struttura ottaedrica tutte le forze nel telaio sono dirette in
direzione prevalentemente assiale. Il risultato che ogni membro
soggetto a sola compressione e a nessuna coppia flettente, se non
quella generata dal proprio peso, con ovvi miglioramenti dal punto
di vista della rigidezza.Figura 1.4: Il Robo-crane da [2]
Sei motori, ognuno dei quali in grado di supportare un carico
massimo pari a controllano i cavi, i quali determinano la posizione
della piattaforma inferiore. Questi motori sono coordinati tramite
un computer, che riceve in input i comandi da parte di un operatore
che, per mezzo di un joystick a 6 assi, ne governa tutti i 6 gradi
di libert. L'operatore perci in grado di muovere il robot in
maniera stabile per qualunque carico applicato alla piattaforma
all'interno di un grande volume di lavoro. Ogni motore equipaggiato
da degli encoder ottici, che sono attaccati ad un sistema a rulli
mobili, che rimane sempre in contatto con il cavo di cui misura lo
spostamento. Ogni encoder perci manda un segnale alla scheda di
controllo degli input, situata nel computer di controllo. Negli
anni questo robot si evoluto in diverse varianti, tra cui opportuno
citare la struttura NOWFFR (NIST Oil Well Fire Fighting Robot),
utilizzata durante la guerra del golfo per spegnere gli incendi nei
pozzi petroliferi e la struttura Spider (Stewart Platform
Instrumented Drive Environmental Robot) che ha trovato numerose
applicazione in vari ambiti come quello delle macchine utensili,
degli scavi, sollevamento e posizionamento di oggetti, trasporto di
manipolatori etc. In generale il Robocrane o i suoi derivati
vengono utilizzati in vari settori quali quello della raccolta dei
rifiuti, l'ispezione e la manutenzione di aerei, costruzione di
barche etc.
1.4.3: Applicazioni nella neuro-riabilitazioneI robot paralleli
a cavi trovano numerose applicazioni anche in campo medico, a
livello di prototipi, soprattutto in quello della fisioterapia e
della riabilitazione. Infatti sono numerosi gli aspetti che gli
rendono utili per scopi fisioterapici: Potenzialmente i robot a
cavi possono avere elevati spazi di lavoro permettendo cos un
esercizio degli arti che coinvolga i movimenti di tutto il corpo
L'efficienza strutturale di questi robot consente di poter
esercitare forze anche elevate in confronto al peso della struttura
Facilit di smontaggio e posizionamento Modularit Economicit
Limitato impatto fisico della struttura a livello di peso e di
ingombro rispetto ai robot tradizionali
Di contro questi robot hanno il problema della potenziale
interferenza tra i cavi del robot e il paziente e un carico
irregolare e dipendente dalla posizione dellend effector nello
spazio di lavoro. Inoltre i robot paralleli, in generale, hanno
sempre il problema di presentare punti di singolarit nei quali il
modo non controllato. Se per un robot tradizionale questo problema
pu essere risolto spegnendo tutti i giunti e rendendo cos la
struttura isostatica, la stessa cosa non pu essere fatta per un
robot a cavi. Un esempio di applicazione di robot a cavi al mondo
della fisioterapia il Macarm (fig. 1.5 e 1.6) sviluppato da D.
Mayhew, B.Bachrach, W.Z.Rymer e R.F.Beer e illustrato nel dettaglio
in [3]. Si tratta di un robot finalizzato alla riabilitazione degli
arti superiori. E' costituito da 8 moduli attivi posizionati sugli
8 spigoli di un telaio avente la forma di un cubo. Il telaio
realizzato in tubi di alluminio estruso aventi una lunghezza pari a
. Il terminale di questo robot ha sei gradi di libert.Figura 1.5 Il
Mac-Arm da [3]Figura 1.6 dettaglio del modulo attivo nel Macarm a
destra e dellend effectord a sinistra da [3]
Ogni modulo costituito da un motore in corrente continua senza
spazzole ad alte prestazioni, che trasmette il moto ad un riduttore
armonico, da un encoder con una risoluzione di 500 cpr (impulsi al
giro), una bobina su cui si avvolge un cavo in nylon e un sistema
passacavo. Ogni modulo in grado di produrre sul cavo una tensione
di ad una velocit di. Gli otto cavi sono bloccati ad una
piattaforma mobile di forma rettangolare di realizzata in tubi. Il
bloccaggio dei cavi alla piattaforma avviene per mezzo di
moschettoni. Un'altra applicazione al campo medico il Nerebot
(NEuro Rehabilitation roBOT) (fig.1.7) un robot a cavi progettato
dal dipartimento di innovazione meccanica e gestionale
dell'universit di Padova. Come riportato in [4] questo robot
applicato per la riabilitazione degli arti superiori e pu essere
usato sul paziente direttamente a letto. E' costituito da un
basamento a forma di c, sul quale posta una colonna verticale,
sulla quale si trovano 4 bracci orizzontali dotati di moto
rotatorio rispetto alla colonna centrale. Su 3 dei quattro bracci
sono posti 3 motori elettrici che muovono 3 cavi in Nylon che
controllano la posa di un ortesi in materiale termoplastico. Questa
collegata ai cavi per mezzo di un sistema magnetico, che pu
permettere lo sgancio dell'end-effector quando la forza agente su
di esso (e quindi sul braccio del paziente) supera un valore
limite. I movimenti che l'end effector pu compiere sono controllati
per mezzo di un computer posto sopra il bancale.Figura 1.7: Il
NereBot da [5]
Capitolo 1: I robot paralleli a caviProgettazione di un
prototipo di un robot parallelo a 6 cavi
7: Elementi di teoria per lo studio dei robot a cavi
2.1: Descrizione del modelloNel corso dellesposizione di questo
capitolo e dei seguenti, si far riferimento ad un modello di
struttura rappresentativo del robot. In questo paragrafo si va a
descrivere la geometria mediante il quale vengono comunemente
raffigurati i robot a cavi.
In maniera indipendente dal numero di cavi di cui costituito il
robot (3 in fig.2.1 ma saranno poi 6 nel robot che verr progettato)
si rappresenta la base fissa con un insieme di punti e la base
mobile con un insieme di punti . Ciascun punto viene collegato,
mediante un cavo, alli-esimo punto sulla piattaforma mobile. Siaun
sistema di riferimento fisso, solidale alla base e si scelga di
fissare lorigine in corrispondenza del punto della piattaforma
fissa, con gli assi diretti in modo tale che lasse sia verso il
basso.
Bisogna poi definire un secondo sistema di riferimento
cartesiano, mobile e solidale con lend-effector, la cui origine
coincide con , baricentro della piattaforma.
Fissati i due riferimenti cartesiani, si definiscono i vettori
congiungenti lorigine del sistema di riferimento fisso con i punti
.
Si indichi poi con il vettore congiungente lorigine del sistema
di riferimento fisso con lorigine del sistema di riferimento mobile
e con il vettore congiungente il punto con ciascun punto . Siano
poi rispettivamente la lunghezza e la tensionecavo, mentre con si
indica il carico applicato allend-effector. I termini sono invece
le coordinate di Plcker che esprimono le rette d azione dei cavi e
del carico applicato. I vettori di Plcker sono oggetto del secondo
paragrafo di questo capitolo.Figura 2.1: Rappresentazione di un
manipolatore 3-3 da [8]
Vengono imposte poi due condizioni sulla geometria del
robot:
la prima di queste condizioni fa s che in ogni istante di tempo
la lunghezza dei cavi sia maggiore di zero, ossia che punto non
coincida con li-esimo punto sulla piattaforma fissa. La seconda
disequazione, invece, impone che il segmento che congiunge due
punti e , sulla base fissa, proiettato sul piano , sia strettamente
maggiore del segmento che congiunge i corrispondenti punti e sulla
piattaforma mobile. Questa condizione fa s che si possano non
prendere in considerazione alcune geometrie di scarso interesse
ingegneristico.Per lo studio del problema geometrico statico per
prima cosa necessario introdurre alcuni concetti di geometria,
necessari per comprendere le sezioni seguenti.Figura 2.2:
Rappresentazione dei punti P1 e P2 da [9]
2.2: Coordinate di Plcker
Le coordinate di Plcker sono un sistema per assegnare 6
coordinate omogenee ad ogni linea in uno spazio proiettivo. La
trattazione rigorosa di questo tema non oggetto di questa tesi,
Tuttavia vengono fornite alcune nozioni di base, che saranno utili
in seguito. Si consideri una terna cartesiana (fig. 2.2): presi due
punti nello spazio, di coordinate :
dove ogni elemento una coordinata del punto nel sistema di
riferimento. Detta S la retta passante per i due punti, si
definisce il vettore arbitrario applicato sulla retta S:
Preso il vettore posizione del punto , si definisce il momento
della retta S:
E possibile allora introdurre le coordinate di Plcker della
retta S definite come:
In maniera del tutto analoga, anche una forza pu essere
rappresentata come un vettore di Plcker. Noto il punto di
applicazione della forza e quindi il suo vettore posizione rispetto
al punto , origine di un sistema di riferimento cartesiano il
modulo della forza, la retta d'azione e il verso in cui agisce, si
pu definire le coordinate di Plcker della forza il sistema di
coordinate:
Dove le prime tre componenti del vettore rappresentano le tre
componenti della forza e le seconde tre il momento della forza
rispetto al polo. Quando le coordinate di Plcker sono utilizzate
per descrivere una forza si parla di wrench. Per completezza
necessario dire che queste coordinate sono utilizzate anche per
descrivere la cinematica di un corpo rigido, in questo caso si
parla di Twist.
E' importante notare come solo quattro coordinate di Plcker
siano indipendenti. Infatti sono, di fatto, le componenti nelle 3
direzioni del vettore che congiunge i punti. Inoltre, per le
propriet del prodotto vettoriale, S ed S0 risultano ortogonali tra
loro e quindi il loro prodotto scalare deve dare 0. E' perci
possibile pervenire a due equazioni:
In robotica le coordinate di Plcker permettono di poter scrivere
le equazioni cinematiche e statiche dei manipolatori in maniera
compatta e di facile implementazione nei codici di calcolo. In
particolare, nel caso in esame, sono utilizzate per formulare il
problema statico e valutare le tensioni nei cavi del manipolatore,
una volta nota la posizione dell'end-effector, il suo orientamento
(quindi la posa) e il carico esterno applicato.
2.3: Problema cinematico inverso
Come detto nel precedente capitolo, affinch la posa di un robot
possa essere completamente definita dai soli parametri geometrici
necessario che esso sia controllato da almeno 6 cavi. Questa
condizione per non sufficiente. Infatti assai probabile che uno dei
cavi possa perdere tensione trasformando un robot con cavi, in uno
con , ecc. Risulta quindi evidente come non sia sempre possibile
fare una distinzione tra robot over-costrained e under-costrained,
dal momento in cui possibile avere manipolatori che sono pienamente
vincolate in alcuni pose e sotto-vincolati in altre. E necessario
quindi, per affrontare lo studio di un robot a cavi considerare
anche tutti i robot da esso derivati con . Tuttavia, una volta
assegnata la geometria della base e della piattaforma mobile,
possibile valutare in quali punti dello spazio di lavoro il robot
mantiene in tensione tutti i cavi di cui esso dispone. In quei
punti, infatti, per un robot fully-costrained, le sole equazioni di
vincolo geometrico sono sufficienti per determinare le lunghezze
dei cavi, nota la posa finale della piattaforma. Attraverso poi lo
studio della statica del robot, possibile pervenire alle tensioni
nei cavi.
Lo stesso discorso non vale invece per robot under-costrained,
per i quali le equazioni di vincolo geometrico non sono sufficienti
a determinare la posa dell'end-effector, ed necessario considerare
anche le equazioni di equilibrio statico della piattaforma. Se con
si indica il numero di cavi in tensione del robot allora possibile
pervenire ad equazioni di vincolo geometrico:
alle quali bisogna aggiungere le 6 equazioni di equilibrio
statico (3 equazioni di equilibrio per le forze e 3 per i momenti)
in incognite (tensioni nei cavi). Complessivamente il problema
cinematico ha dunque equazioni in incognite: ovvero le lunghezze e
le tensioni dei cavi () pi 6 parametri che definiscono la posa
dellend-effector, che possibile indicare con due vettori e , dove
un vettore che rappresenta, tramite 3 coordinate, la posizione di
un punto dellend-effector e un vettore, anchesso costituito da 3
componenti, che rappresenta lorientamento di una terna solidale
alla piattaforma, rispetto a quella del sistema di riferimento
fisso. Per poter risolvere il problema, sar allora necessario
fissare parametri. Quando sono note variabili riguardanti la posa
della piattaforma allora si ha a che fare con un problema
cinematico inverso, viceversa quando sono assegnate le lunghezze
dei cavi, si ha un problema cinematico diretto.
E possibile dimostrare che, se il robot sotto-vincolato, non
possibile risolvere il problema cinematico inverso, separatamente
da quello statico. Infatti per robot sotto-vincolati possibile
assegnare solamente un numero parametri di posa allend-effector.
Per esempio in un robot a 3 cavi si potrebbero assegnare 3
coordinate del baricentro della piattaforma mobile, oppure 3
parametri che descrivono lorientamento della base rispetto agli
assi fissi. Questi parametri non consentono di definire da soli la
posa assunta dalla piattaforma, senza fare intervenire le equazioni
di equilibrio statico. In questo caso necessario ricorrere a metodi
di eliminazione delle tensioni da alcune delle equazioni di
equilibrio. E possibile comprendere come non sia possibile
assegnare pi di parametri alla posa dellend effector, dal momento
in cui ogni cavo, quando lavora in maniera corretta (quindi
tensione positiva e assenza di configurazioni di singolarit),
permette di eliminare un solo grado di libert. Se si posiziona, ad
esempio, lend effector di un robot sotto vincolato in un punto
dello spazio di lavoro con un dato orientamento (assegnando di
fatto cos 6 parametri di posa), si potrebbe aver scelto una
configurazione in cui il robot non in equilibrio e da cui poi
tenderebbe a spostarsi, per raggiungerne una in cui sono
soddisfatte le equazioni di equilibrio statico e in cui lenergia
potenziale assume il valore minimo. In questo lavoro viene
esaminato un robot a 6 cavi per il quale cio possibile tenere
separati i due problemi. Una volta assegnati i 6 parametri di posa
allend-effector, si potr risolvere in maniera piuttosto semplice il
problema cinematico inverso. Tuttavia questa procedura ha senso
solamente in tutti quei punti in cui le tensioni si mantengono
strettamente positive. Se cos non fosse, infatti, il robot si
comporterebbe come se avesse solamente 5, 4, 3, ecc. cavi e non
sarebbe quindi pi possibile, assegnando la posa della piattaforma,
garantire lequilibrio statico del robot. E quindi evidente come,
pur potendo risolvere il problema cinematico inverso e quello
statico, in maniera separata, essi siano comunque sempre
strettamente correlati, dal momento che, le ipotesi che permettono
di risolvere in maniera indipendente il problema cinematico, devono
essere verificate mediante quello statico. Per questa ragione si
parla in generale di problema geometrico-statico.
Un manipolatore a 6 cavi (detto anche manipolatore 6-6)
costituito da una base fissa e da una piattaforma mobile collegate
per mezzo di sei cavi. Si rammenta che con si indica un generico
punto sulla base fissa e con un generico punto sulla piattaforma
mobile.
Se si considera un sistema di riferimento fisso e uno mobile ,
solidale con la piattaforma, allora possibile esprimere la
posizione di un generico punto rispetto al sistema di riferimento
mediante la relazione:
che espressa rispetto alle coordinate del generico punto nel
sistema di riferimento fisso:
Dove sono i versori del sistema di riferimento fisso, sono i
versori del sistema di riferimento mobile e infine sono le
componenti del vettore posizione del punto, origine del sistema di
riferimento mobile, nel sistema di riferimento fisso, mentre sono
le componenti del vettore posizione del punto rispetto al sistema
di riferimento . Introducendo la matrice di rotazionedescritta
mediante i coseni direttori, possibile esprimere la posizione del
punto nella direzione definita da un generico versore solidale al
sistema di riferimento fisso: Figura 2.3: Schema robot 6-UPS da
[1]
dove un generico versore solidale al sistema di riferimento
mobile e la matrice dei coseni direttori tra il versore e il
versore .
L'analisi cinematica inversa di un manipolatore a cavi 6-6,
quando tutti i cavi sono tesi, analoga a quella di un manipolatore
6-UPS (derivato da una piattaforma di Gough-Stewart) in tutti quei
punti in cui il robot si comporta come un robot fully-costrained.
Lobbiettivo che ci si prefigge , perci, quello di determinare la
lunghezza dei cavi, nota la posa dellend-effector. E possibile
ricavare modulo direzione e verso del vettore a partire dalla
conoscenza della geometria della piattaforma fissa (e quindi la
posizione del punto nel sistema di riferimento fisso) e della
piattaforma mobile (quindi la posizione di rispetto al sistema di
riferimento mobile).
E' possibile esprimere il vettore rispetto al valore della
coordinata di giunto, ossia la lunghezza del cavo e del versore
funzione di due angoli (fig. 2.3).
Si pu calcolare il valore di direttamente dall'equazione
precedente come:
E' possibile fare gli stessi ragionamenti per gli altri segmenti
e pervenire cosi a 6 sistemi di equazione, ognuno indipendente
dall'altro che consentono, una volta nota la posa
dell'end-effector, di ricavare i valori delle lunghezze dei
cavi.
2.4: Studio della statica del manipolatore Come noto, affinch un
corpo sia in equilibrio statico, necessario che la somma delle
forze e quelle dei momenti agenti su di esso siano nulle:
Lo studio della statica del robot perci prevede l'analisi delle
forze che agiscono sulla piattaforma mobile in modo da valutarne
modulo, direzione e verso. Come stato gi detto nel capitolo
precedente lo studio statico del robot non pu prescindere da quello
cinematico. Infatti, se ci si basa sulla conoscenza dei parametri
di posa, allora si parla di problema geometrico-statico inverso, se
invece sono note le lunghezze dei cavi si ha un problema
geometrico-statico diretto.Oltre alle tensioni dei cavi,
sull'end-effector agisce anche un insieme di forze e momenti
esterni che il robot deve vincere. Queste forze e coppie possono
essere, per esempio, il peso di un corpo che il robot devo
spostare, oppure le forze di taglio, generatesi in una generica
operazione (ad esempio se il robot utilizzato per delle lavorazioni
meccaniche).Per studiare la statica dellend-effector allora
necessario scomporre tutte le forze nelle 3 direzioni e, fissato un
polo di riduzione, esprimere tutti i momenti generati da esse. Nel
paragrafo 2.2 si visto come ci non sia difficile servendosi delle
coordinate di Plcker. Nel paragrafo 2.5 si vedr come tutto ci sar
applicato sul caso in esame.
2.5: Definizioni di aree di lavoroOccorre ancora introdurre
alcuni concetti, prima di iniziare lo studio specifico per una data
geometria, riguardanti lo spazio di lavoro. Nellambito dei robot a
cavi possono essere date svariate definizioni di area di lavoro, a
seconda delle caratteristiche del robot che vogliono essere messe
in evidenza L'area di manovra di un robot parallelo pu esser
limitata da vari fattori quali: limiti meccanici, giunti passivi,
interferenza tra i componenti del robot, limitazioni a causa degli
attuatori e presenza di punti di singolarit. Per un robot a cavi
tale area poi limitata da tutti quei punti in cui un filo non in
tensione.
Un secondo problema l'impossibilit di rappresentare in maniera
grafica lo spazio di lavoro disponibile per robot aventi pi di 3
gradi di libert. Si pensi, per esempio, ad un robot avente 4 gdl:
tre traslazioni e una rotazione. Per questo robot sarebbe possibile
rappresentare in un piano cartesiano tutti quei punti in cui egli
in grado di muoversi per un dato angolo di inclinazione. Se questo
angolo venisse poi variato sarebbe possibile ottenere una seconda
rappresentazione dell'area di lavoro per quel dato angolo, che
potrebbe differire dalla prima. La stessa stima potrebbe essere
fatta per gli infiniti valori che l'angolo di inclinazione pu
assumere. Il problema si complica ulteriormente nel caso di robot a
6 gdl (come il robot in studio) dove sono 3 gli angoli mediante il
quale possibile descrivere la posa del robot. Una regola generale
perci per poter rappresentare l'area di lavoro di un robot avente
gdl quella di fissare n-3 parametri e lasciare liberi tutti gli
altri. A seconda del tipo di parametri fissati si ottengono diversi
tipi di spazio di lavoro. Genericamente vengono fissati tre
parametri di rotazione e vengono fatti variare i restanti 3
relativi alla posizione dellend-effector.Si definisce Spazio di
lavoro raggiungibile (Reachable Workspace) l'insieme di tutte le
pose dell'end-effector che non violano alcun vincolo. Tale
definizione poco rilevante e non viene quasi mai utilizzata nei
robot a cavi, soprattutto in quelli sotto-vincolati, dal momento
che molte pose teoricamente raggiungibili non sono posizioni di
equilibrio statico.
Una definizione che risulta pi utile quelli di Wrench Feasible
Workspace (WFW): ovvero l'insieme delle posizioni di equilibrio
statico del robot nelle quali quando esso viene sottoposto ad uno
specifico wrench esterno, ovvero da un insieme di forze e momenti
esterni, mantiene la tensione nei cavi limitate entro certi valori.
In generale si pu dire che la tensione deve essere contenuta
allinterno di un certo intervallo: . Riguardo il limite superiore,
entro cui devono essere limitate le tensioni, esso sar trattato nel
dettaglio nel paragrafo 3.2, poich, come si vedr in seguito, la
scelta dei motoriduttori influenza tale valore. Sul valore minimo,
invece, evidente come esso debba essere preso uguale a zero.Unaltra
definizione molto utilizzata quella di Static Equilibrium Workspace
(spazio di lavoro di equilibrio statico, SEW): ovvero linsieme
delle pose dellend-effector in cui possibile mantenere il robot in
equilibrio statico, sotto la sola azione data dalla forza di
gravit. E evidente che, valutando il WFW con un Wrench di carichi
dato dalla sola forza peso del robot, si ottiene lo spazio di
lavoro di equilibrio statico. Nei paragrafi successivi si valuter
il WFW applicando alla piattaforma un carico dato dalla sola forza
peso del robot, supponendo che essa sia pari ad 1kg. Perci, quello
che dopo verr chiamato WFW, sarebbe a rigore lSEW.
2.6: Modellizzazione della strutturaPer lo studio del WFW stato
realizzato un codice Matlab che permette di calcolare le tensioni
nei cavi in un insieme di punti campione dello spazio di lavoro del
robot.Occorre innanzitutto fare alcune ipotesi iniziali utili a
semplificare e schematizzare il modello. Per prima cosa si suppone
che i cavi, di cui costituito il robot, siano inestensibili, privi
di massa e se ne trascurano i problemi di interferenza (situazione
in cui i cavi entrano in contatto). Inoltre lend-effector viene
considerato come un corpo rigido, di cui sono noti i punti di
attacco dei cavi e il centro di massa (che si suppone coincidere
con il baricentro della figura piana con cui raffigurato
lend-effector). E poi nota la posizione di attacco di ogni fune ai
motori e si suppone che ciascuno di essi controlli solamente un
cavo. Le prime due ipotesi, pur non essendo rigorosamente vere,
possono comunque essere considerate una approssimazione accettabile
in virt del basso carico. Per quanto riguarda lipotesi relativa
allinterferenza dei cavi, difficilmente non verrebbe verificata,
grazie al piccolo spessore che essi hanno nel modello reale e
soprattutto grazie al numero contenuto di essi, che limita le
configurazioni in cui i fili si vanno ad incrociare. Le altre
assunzioni fatte sono sufficientemente valide. Sui limiti delle
prime tre ipotesi si rimanda al capitolo 3 dove questi problemi
vengono spiegati nel dettaglio.
La struttura del robot schematizzata tramite un parallelepipedo
di base esagonale. I sei vertici dell'esagono sono i punti di
attacco dei cavi nella base fissa. I punti di questo esagono sono
definiti come punti appartenenti ad un cerchio di raggio. Viene
fissato un sistema di riferimento solidale alla base fissa con
origine nel centro della circonferenza e con l'asse positivo verso
il basso. E' definito un angolo , mediante il quale possibile
stabilire la forma della piattaforma mobile. Infatti viene
introdotta una matrice degli angoli:
Dove lelemento della matrice rispettivamente l'angolo formato
dalla congiungente del puntocon l'origine rispetto all'asse. Allora
possibile introdurre la matrice delle coordinate dei punti , nel
sistema di riferimento fisso definendo ogni colonna di nel seguente
modo:
Se si pone langolo il risultato una base triangolare analoga a
quella del Robo-crane, mentre con un angolo si ottiene una base a
forma di esagono regolare.
E' stato poi fissato un sistema di riferimento mobile, solidale
all'end-effector. La piattaforma mobile stata costruita definendo
un raggio di base pari a e un angolo, analoghi al raggio e
all'angolo della base fissa. Sempre analogamente alla base fissa si
introduce la matrice:
dove ogni elemento della matrice corrisponde all'angolo formato
tra la congiungente del punto con il punto , origine del sistema di
riferimento mobile e l'asse . Si introduce allora la matrice delle
coordinate dei punti sull'end-effector rispetto al sistema di
riferimento mobile, definendo ogni colonna di nel seguente
modo:
E' evidente come ponendo oppure la forma dellend-effector
diventi un triangolo equilatero.
A questo punto, per poter definire completamente la posizione
dell'end-effector, occorre introdurre la matrice di rotazione , la
quale avr sempre gli stessi valori, poich, come detto all'inizio
del paragrafo, non possono essere cambiate pi di tre variabili
contemporaneamente nella posa dell'end-effector, per poter avere
una rappresentazione 3-D dell'area di lavoro. Va poi definita la
posizione di un punto, solidale alla base mobile, nel sistema di
riferimento fisso. Per comodit si sceglie il punto origine del
sistema di riferimento mobile, coincidente per costruzione al
baricentro dellend-effector. Allora, si introduce la matrice , che
esprime le coordinate dei punti della piattaforma mobile rispetto
al sistema di riferimento fisso, ogni colonna della matrice
calcolata per la come:
Dove la matrice di rotazione che stata posta uguale alla matrice
identica, e che corrisponde ad una posa dellend-effector, in cui
gli assi della terna sono paralleli a quelli della terna :
A questo punto possibile muovere il punto all'interno dell'area
di lavoro (variandone le coordinate) e ricavare il valore della
lunghezza dell'i-esimo cavo, che unisce il punto (espresso per nel
sistema di riferimento fisso) al punto.
Il problema geometrico inverso perci risolto. Resta ora da
risolvere il problema statico cos da ottenere la stima del WFW.
Si suppone perci che all'end-effector sia applicato un carico
esterno costituito dalla sola forza peso della piattaforma che, per
semplicit, si assume pari ad 1kg (questa infatti il carico massimo
trasportabile per la taglia di robot che ci si prefigge di
progettare). Il carico applicato nel baricentro della piattaforma
mobile, ovvero il punto . Tale carico pu essere rappresentato
tramite uno scalare pari al peso assunto dal robot in Newton :
E' stato preso come polo di riduzione dei momenti il punto sulla
piattaforma fissa. La tensione agente in ogni cavo pu essere
rappresentata mediante delle coordinate di Plcker. Queste infatti
possono essere utilizzate per risolvere le equazioni della statica,
dal momento che rappresentano la linea dazione di ogni cavo e il
momento di tale linea. Infatti, supponendo che i cavi siano
perfettamente tirati, le tensioni in ogni cavo agiscono lungo la
congiungente dei punti di attacco alle due piattaforme, (a priori
non cosi, vedi effetto curvatura). Allora il wrench applicato
dalli-esimo cavo sulla piattaforma pu essere scritto come:
Dove sono due scalari corrispondenti il primo alle tensioni
incognite nei cavi, mentre il secondo alla lunghezza del cavo
i-esimo. il vettore di Plcker della retta passante per i punti .
Prendendo il punto come polo di riduzione dei momenti il vettore
per ogni cavo pu essere espresso come:
Infatti le prime tre componenti del termine sono le tre
componenti della tensione nel sistema di riferimento assegnato,
mentre le seconde tre componenti rappresentano i momenti generati
da tali forze. Il termine necessario per normalizzare il vettore di
Plcker. Oltre che per i cavi possibile ricavare anche il wrench
dato dalla forza peso. La retta d'azione di questa forza diretta
come l'asse z, orientata verso il basso ed passante per il
baricentro del corpo. Questo permette di esprimere il wrench dei
carichi esterni come:
Dove il vettore di Plcker del carico esterno normalizzato nella
sua retta dazione. Se si indica con il versore parallelo alla retta
dazione della forza esterna (che nel caso della forza peso deve
valere ) allora:
Quindi, affinch la piattaforma sia in equilibrio, necessario per
che:
Ossia:
Da cui possibile ricavare le tensioni nei cavi risolvendo il
sistema:
Dove una matrice che dipende solamente dalla posa della
piattaforma. In generale una matrice dove il numero di cavi. Questa
routine viene ripetuta per un numero di punti campione allinterno
dello spazio di lavoro, cos da poter mappare la distribuzione di
tensioni dei cavi. A questo punto vengono rappresentati nel grafico
solo quei punti in cui la tensione in tutti i cavi assume valore
positivo, dove quindi lanalisi fin qui condotta rispetta il vincolo
monolaterale imposto dai cavi e dove il robot completamente
controllabile.
2.7: La scelta della geometria ottimale per base ed
end-effector
Una volta descritto il metodo attraverso il quale viene risolto
il problema geometrico-statico inverso, necessario utilizzarlo per
valutare la configurazione che massimizzi larea di lavoro assumendo
come limite inferiore e senza prendere alcun valore come limite
superiore alla tensione.
Per fare queste valutazioni si risolve il problema
geometrico-statico assegnando un valore costante alla coordinata e
allorientamento assunto dallend-effector e si vedono quali sono i
punti di posa dellend-effector in cui tutte le tensioni sono
positive. Sono state considerate le seguenti configurazioni:
Configurazione triangolo-triangolo: in cui sia la base che
lend-effector hanno la forma di un triangolo equilatero, dove i
cavi uscenti da un punto del triangolo di base vanno a collegarsi
su due punti distinti nellend effector (altrimenti la matrice della
statica diventa singolare, essendo il robot, di fatto, equivalente
ad un manipolatore3-3) Configurazione triangolo-esagono: La base ha
la forma di un triangolo, mentre lend-effector ha la forma di un
esagono regolare. Configurazione esagono-triangolo: La base ha la
forma di un esagono regolare (ogni punto dellesagono un punto di
attacco da cui passa il cavo) mentre lend-effector un triangolo
equilatero. Configurazione esagono-esagono: La base un esagono
regolare, mentre lend-effector un poligono a 6 lati, costruito
assegnando il valore , se cos non fosse infatti si otterrebbe una
configurazione singolare.
E stata fissata unaltezza e si sono ottenuti i seguenti
risultati. Base fissa ed end-effector sono stati costruiti, come
nel paragrafo precedente, definendo un raggio per la base fissa e
un raggio per lend-effector. A seconda dei casi sono stati variati
gli angoli per costruire la base e lend-effector.
Configurazione:Area di lavoro a quota
triangolo-triangolo
triangolo-esagono
esagono-triangolo
esagono-esagono
Tabella 2.1: Aree di lavoro per ogni configurazione
esaminataRisulta evidente come la configurazione ottimale sia
quella in cui la posizione dei punti di attacco alla base e quelli
di attacco sullend-effector sono dei triangoli equilateri. Questa
configurazione, inoltre, risulta piuttosto comoda poich limita il
numero di punti attraverso cui far passare i cavi, rendendo la
disposizione dei motori pi ordinata e facile.
Capitolo 2: Elementi di teoria per lo studio dei robot a
cavi
19: La scelta dei motoriduttori e delle pulegge
3.1: Principali problematiche di progettazione e controlloNel
corso della progettazione di un manipolatore a cavi e soprattutto
durante la pianificazione del moto necessario affrontare numerose
problematiche. In questa sezione se ne presentano le
principali.
3.1.1: Cavi non in tensione
Questa la problematica principale per questo tipo di robot, dato
che, come gi detto, un cavo non pu lavorare in compressione. In
caso di tensione nulla, infatti, un robot con cavi, si comporta
come se ne avesse , con problematiche notevoli dal punto di vista
del controllo, date dallimpossibilit di determinare con sicurezza
la posa attuale dellend-effector. Si gi visto in che modo possibile
valutare i punti in cui per un dato wrench esterno uno o pi cavi
perdono tensione risolvendo la statica del robot (si trascurano
tuttavia gli aspetti dinamici che, inevitabilmente, entrano in
gioco durante il moto).
3.1.2: Deformazione elastica e curvatura
Un corpo di lunghezza , sezione , di materiale avente modulo
elastico , soggetto ad una forza normale , si deforma in campo
elastico di . Al fine di rendere il posizionamento del robot
sufficientemente preciso necessario poter stimare tale allungamento
oppure mettersi in condizioni tali da poterlo trascurare con
sufficiente precisione. La prima soluzione prevede limplementazione
del modello elastico del cavo allinterno dellalgoritmo di
controllo, nota la curva caratteristica (e quindi il valore di ),
la sezione dei cavi, la posa dellend-effector e il carico esterno.
Queste ultime informazioni, infatti, consentono di conoscere la
tensione agente in ogni cavo e stimare lerrore sulla lunghezza di
ognuno. La seconda strada pu essere valida nel caso di robot aventi
cavi con alto modulo elastico che devono movimentare carichi in
proporzione modesti, per i quali cio il valore di pu essere
ragionevolmente trascurato.Oltre alle deformazioni elastiche, i
cavi possono presentare anche fenomeni di creep, ovvero una
deformazione plastica permanente che si verifica per valori della
tensione inferiori a quella di. Tale fenomeno tipico dei cavi in
kevlar e pu essere annullato pre-stirando il filo fino a un certo
valore dellallungamento, oltre il quale tale problema non si
presenta. Questa problematica, se non viene accuratamente
analizzata pu portare da errori anche rilevanti con una conseguente
sotto-stima delleffettiva lunghezza dei cavi. Un altro problema col
quale si ha a che fare la curvatura. Quando un cavo viene teso, in
generale, non mantiene sempre una configurazione lineare, ma tende
ad incurvarsi leggermente sotto leffetto del proprio peso,
esercitando cos una forza che non diretta esattamente come la
congiunte delle estremit del cavo. Il risultato una sovrastima
della distanza tra i due punti e una sottostima della tensione nel
cavo. Questo effetto marcato nei robot in cui la massa del cavo
paragonabile come ordine di grandezza a quella dellend-effector.
Inoltre si verifica soprattutto quando i cavi risultano avere
tensione molto basse, per le quali la forza peso del cavo ha un
effetto importante sulla sua configurazione. E evidente quindi come
la richiesta di avere un effetto di curvatura stringente possa
spesso essere in antitesi con quello di avere limitati errori
dovuti alle deformazioni elastiche. Infatti, se si prende ad
esempio un cavo in acciaio, questo ha sicuramente basse
deformazioni elastiche, per potrebbe avere un marcato effetto di
curvatura (essendo piuttosto elevata la densit dellacciaio) se il
peso dellend-effector non sufficientemente elevato.
3.1.3: Avvolgimento dei cavi. Durante le operazioni di manovra
del robot ciascun cavo viene avvolto (e svolto) in genere attorno
ad un tamburo/puleggia. Al fine di evitare sovrapposizioni tra i
cavi, con conseguente usura, necessario che lavvolgimento (e di
conseguenza anche lo svolgimento) dei cavi, avvenga in maniera
ordinata.
Inoltre un avvolgimento ordinato permette di avere una misura
indiretta sulla lunghezza dei cavi pi attendibile. Si consideri un
cavo di spessore che si avvolge su una puleggia di raggio . Ad ogni
rotazione dellalbero di uscita del motoriduttore viene arrotolata
una lunghezza di filo pari a: . Se si suppone, in via del tutto
teorica, che ad ogni giro il cavo si avvolga sempre nello stesso
punto: al secondo giro viene arrotolata una lunghezza di filo pari
, al terzo una lunghezza e cos via. Dal momento che, il modo in cui
il cavo si avvolge non noto a priori, risulta complesso stimare,
per una determinata rotazione del motore, leffettiva lunghezza del
cavo. Tale problema lo si ha poich, senza lausilio di sensori
esterni, l'unica informazione sulla lunghezza dei cavi viene data
dalla posizione angolare del motore misurata dallencoder. Una
soluzione a questo problema potrebbe essere l'utilizzo di un
meccanismo che preveda una vite a ricircolo di sfere per spostare
la puleggia in senso assiale mentre viene arrotolata, oppure la
realizzazione di scanalature all'interno della puleggia per
"guidare" il cavo.
Unaltra possibile soluzione pu essere quella proposta da Merlet
in [15], ovvero di utilizzare degli attuatori lineari al posto di
motori rotativi. Questa soluzione (fig. 3.1), infatti, fa uso di un
sistema costituito da pi pulegge calettate su due piattaforme. La
prima fissa, mentre la seconda libera di muoversi su di una rotaia.
Il moto di questa piattaforma regolato da un attuatore lineare
avente unaccuratezza nel posizionamento dellordine di grandezza di
Il cavo parte da un punto fisso sulla piattaforma fissa, si
arrotola su pi pulegge, arriva in un punto anchesso solidale alla
base fissa e da l arriva allend-effector. Tramite questo sistema lo
spostamento dellattuatore lineare viene amplificato di un fattore ,
consentendo perci di avere elevati allungamenti del cavo a fronte
di piccoli spostamenti dellattuatore lineare. In questo modo si
mantiene uno dei punti di forza dei robot a cavi, ovvero quello di
avere ampie aree di lavoro grazie alla possibilit di poter
allungare, anche di molto la lunghezza dei cavi. Ovviamente anche
la forza agente sullattuatore risulta essere amplificata di un
fattore . Figura 3.1: Rappresentazione schematica dell'avvolgimento
dei cavi del Marionet da [15]
3.2: La scelta del diametro ottimale della puleggiaDopo aver
presentato le principali problematiche inerenti alla costruzione e
al controllo dei manipolatori a cavi, si procede con la
presentazione dell'attivit di progettazione.Tale lavoro prevede
innanzitutto la valutazione del diametro ottimale della puleggia su
cui si vanno ad arrotolare i fili, poi la scelta dei motori pi
idonei ad assolvere il compito preposto e infine la progettazione
di alcune soluzioni per bloccare un gruppo motore-puleggia-scheda
di controllo ad un telaio.
Per la scelta del diametro ottimale della puleggia ci si basa su
quella scelta che minimizzi l'errore compiuto nella valutazione
della lunghezza di ogni cavo. Questa grandezza, infatti, ad
eccezione di rari casi (vedi Marionet) viene ricavata sapendo il
diametro della puleggia e misurando, tramite l'encoder, i passi
angolari compiuti dal motore. Si consideri, ad esempio, l'encoder
montato sul motore 3260E-0, che ha una risoluzione di (Cycle Per
Revolution), ovvero 360 cicli di quadratura sullencoder per ogni
giro dell'albero motore. Allora, per quel motore, possibile,
teoricamente controllare uno spostamento angolare pari a di un
angolo giro, ossia uno spostamento angolare di 1. Sullalbero di
uscita del motoriduttore questo si traduce, teoricamente, nella
possibilit di controllare una rotazione pari a: dove linverso del
rapporto di riduzione che avviene allinterno del motoriduttore (per
questo motore vale 50). La risoluzione angolare teorica sullalbero
di uscita del riduttore per quel moto-riduttore vale . Questo per
solamente un valore teorico. Infatti non si tenuto conto di tutte
quelle fonti di imprecisioni sullo spostamento angolare che
intervengono tra lalbero del motore e lalbero di uscita del
motoriduttore, dovute perlopi agli inevitabili giochi presenti sui
denti degli ingranaggi del motoriduttore e allelasticit degli
stessi. Infatti, da prove condotte su un motoriduttore 3260E-0, si
visto che, imprimendo una rotazione inferiore ai 10 passi angolari
allencoder, non si ottiene alcuna rotazione dellalbero di uscita,
segno che solamente per vincere i giochi e le elasticit tra i denti
necessario imprimere tale rotazione per pre-caricare gli ingranaggi
e vincerne le elasticit. E perci evidente come la precisione
teoricamente ottenibile non sia quella effettiva, la quale vale
almeno un ordine di grandezza in pi. Aumentando il raggio della
puleggia, la risoluzione in termini di posizione angolare
dell'albero motore non cambia, mentre varia la risoluzione in
termini di allungamento della fune. Infatti possibile controllare
l'allungamento del cavo di un termine
La risoluzione in termini di allungamento del cavo risulta poi
influenzata dal problema dell'arrotolarsi del cavo sui suoi stessi
avvolgimenti. Se si ipotizza che il filo vada ad arrotolarsi sempre
su se stesso, allora, partendo da una situazione in cui il cavo di
lunghezza completamente srotolato, la lunghezza che viene
arrotolata in un numero di giri e vale:
Allora possibile calcolare il numero di giri risolvendo
l'equazione di secondo grado nell'incognita n:
Dopo alcune prove condotte su un singolo motore sul quale
calettata una piccola puleggia in plastica che avvolge e svolge un
cavo, alla cui estremit attaccato un oggetto di peso tale da non
gravare in maniera eccessiva sul motoriduttore si visto che,
disponendo un sistema di guida del cavo tale da portare alla
puleggia il filo perfettamente orizzontale, si verifica una
tendenza dei cavi a disporsi su tutta la puleggia e a non
sovrapporsi. E stato allora scritto uno script che valutasse
linfluenza che il diametro della puleggia ha sui vari parametri che
influenzano il comportamento del robot una volta messo in opera. Si
sono per prima cosa definite le caratteristiche dei motori quali:
coppia nominale; coppia di stallo; velocit di sincronismo; rapporto
di riduzione interno al motoriduttore; risoluzione dellencoder.
E stata poi definita una velocit angolare minima accettabile
pari al 99% della velocit di sincronismo e una massima tensione
radiale (che il valore massimo del carico radiale per tutti i
motori esaminati). Si fatto variare il diametro della puleggia in
un intervallo compreso tra 1 e 100mm e si valutato, per ciascun
diametro, il valore massimo della tensione . Questo valore stato
ricavato facendo assumere alla tensione valori compresi tra 0 e e
considerando gli effetti che una eventuale sovratensione di avrebbe
sul motore a livello di velocit angolare. Si assunto come il valore
massimo di che rende valide due condizioni:
Dove la velocit angolare del motore, nel funzionamento a piena
potenza, per un valore della coppia pari a . Tale valore
ricavabile, conoscendo la caratteristica meccanica del motore,
quindi noti i valori di coppia di stallo e velocit e coppia
nominale. Tali valori, per ogni motore, sono forniti dal
costruttore.
Con questo script sono stati esaminati diversi motori presenti
nel catalogo del fornitore. Viene scelto, per ogni motore, il
diametro pi grande che permette di avere una tensione limite pari
alla tensione massima .
A posteriori, assumendo come diametro ottimo il diametro
commerciale immediatamente inferiore a quello ricavato, viene
controllato che, per dato diametro e lunghezza della puleggia
(anche questultimo valore viene preso da catalogo una volta fissato
il diametro) un filo di spessore e lunghezza (valore determinato
sulla base di stime preliminari sulla dimensione del telaio del
prototipo) si avvolga uniformemente sulla puleggia e che la
precisione teoricamente ottenibile sia almeno inferiore a , in modo
tale da avere una precisione effettiva (che si visto essere circa
un ordine di grandezza inferiore a quella teorica) avente ordine di
grandezza di circa .Si sono ottenuti i seguenti valori di diametro
ottimale per i vari motori:Motore
326044 mm43.42 mm14.5 mm0.72150.0077 mm
325917.5 mm17.96 mm14.5 mm1.270.0121 mm
325810.5 mm////
Tabella 3.1: Diametro ottimale per ciascun motoriduttori
Phidgets
Il diametro commerciale ottimale allora quello di che soddisfa
le condizioni sopra citate.
3.3: La scelta dei moto-riduttoriLaspetto primario di cui tener
conto nella scelta di un motoriduttore, per questo tipo di
progetto, quello di massimizzare larea di lavoro. E importante
considerare il WFW soprattutto nelle zone pi vicine agli attacchi
dei cavi, dove le tensioni sono pi elevate e dove il moto del robot
risulta meno sensibile alle piccole variazioni di lunghezza nei
cavi. In questarea, infatti, i valori elevati della tensione,
conferiscono una notevole rigidezza al robot, precisione nel
movimento. Il WFW sinora stato definito come l'insieme di quei
punti in cui, per unassegnata posa dellend-effector, tutte le
tensioni nei cavi rimangono strettamente positive, dato un wrench
applicato allorgano terminale. Ora occorre limitare superiormente
la tensione nei cavi. Tale limite determinato dalle caratteristiche
del moto-riduttore e del filo. L'area di lavoro di conseguenza si
restringe escludendo tutti quei punti molto prossimi alla quota
della base, dove le tensioni raggiungono valori molto elevati.
Perci, prima di affrontare la scelta del motore pi adatto e
illustrare il metodo utilizzato per arrivare a tale scelta, occorre
fare il punto sulle esigenze che esso deve soddisfare: coppia: il
primo aspetto da tenere in considerazione per avere un WFW di
grande dimensione la necessit di avere un motore in grado di
erogare una coppia piuttosto elevata, poich, a parit di diametro
della puleggia, un valore pi elevato consente di avere tensioni
massime nei cavi maggiori. carichi radiali e assiali: una seconda
esigenza legata alla resistenza ai carichi radiali e assiali.
Infatti sarebbe importante avere un elevato limite di resistenza
(del moto-riduttore) a questi, cos da poter accettare, anche in
questo caso, tensioni elevate nei cavi. stress sui denti: anche da
tener conto il massimo stress sui denti del riduttore, valore
limite che non deve mai essere superato, neanche in caso di
situazioni occasionali, per evitare la rottura precoce del motore
velocit angolare: di secondaria importanza la velocit angolare
nominale del motore. Infatti, possibile accettare un valore basso
di essa, dal momento in cui, inizialmente, non si vuole operare in
condizioni di velocit elevate per limitare il problema delle
oscillazioni legate alle forze dinerzia. Inoltre tale parametro va
sempre rapportato al raggio della puleggia, per stimare la velocit
lineare del cavo. I motori che vengono valutati sono il Phidgets
3260E_0 e il 3259E_0.
Modello Motoriduttore:3259 E_03260 E_0
7 W7 W
Velocit nominale 202 rpm73 rpm
Coppia nominale
Coppia di stallo
Coppia limite ingranaggi
Carico radiale limite
Carico assiale limite
Risoluzione encoder
Tabella 3.2: Caratteristiche dei motoriduttori Phidgets
esaminati 3.3.1: La curva caratteristica e il PWMPer un dato
voltaggio in alimentazione, possibile dimostrare che la curva
caratteristica di un motore in corrente continua costituita da una
retta che parte da un valore massimo della coppia, in
corrispondenza di una velocit di rotazione nulla del motore (detta
coppia di stallo) e arriva ad una velocit, detta velocit di
sincronismo, per il quale la coppia motrice nulla. Il punto di
lavoro in corrispondenza della coppia di stallo molto critico,
poich in quella situazione il motore attraversato da una corrente
elevata che genera un quantit di calore che non in grado di
dissipare tramite la rotazione. Lavorando nellintorno di questo
punto perci si corre il forte rischio di rottura del motore. Di
solito il valore massimo della corrente viene limitato da una
soglia definita in base alla capacit di dissipazione del calore del
motore stesso. Tramite i due punti gi trovati possibile definire la
retta di funzionamento del motore alla potenza massima (la retta in
corrispondenza del valore 100%, fig. 3.2).
Per poter scegliere il punto di funzionamento pi adatto alle
esigenze richieste, ovvero poter lavorare liberamente con valori di
coppia e velocit angolare che non si trovano sulla caratteristica
meccanica del motore, ma che stanno comunque alla sua sinistra nel
grafico (quindi condizioni di lavoro in generale meno gravose dal
punto di vista della potenza richiesta), le schede di controllo
utilizzano un sistema a modulazione di larghezza d'impulso
(Pulse-Width-Modulation). Con questa soluzione il motore lavora
alternando momenti in cui il voltaggio massimo a momenti in cui
esso pari a 0 (in questo modo possibile lavorare sulle retta a 80%,
60% etc. della potenza, fig. 3.2). Se per esempio si ha un motore
che lavora con un voltaggio di e si ha la necessit di farlo
funzionare in un punto che si trova sulla curva caratteristica
corrispondente ad un voltaggio di (per avere il desiderato valore
di coppia e velocit), allora necessario far s che, durante un
periodo dell'onda quadra, data dal PWM, per met del tempo sia
applicato al motore di differenza di potenziale, mentre nel
restante periodo di tempo. Figura 3.2:Illustrazione caratteristica
meccanica motori c.c. con modulazione della potenza e distinzione
zone di lavoro
A questo punto si viene ad identificare una zona di lavoro del
motore definita dall'area sottesa alla caratteristica meccanica al
voltaggio massimo. Quest'area divisa in tre zone (fig. 3.2). C' una
zona di sicurezza, che l'area in cui il motore ruota alla massima
efficienza. Questa zona parte dal punto di coppia e velocit
angolare nominale e arriva fino al punto di coppia nulla e velocit
di sincronismo. Tutta l'area a sinistra di questi due punti fa
parte della zona di sicurezza. C' poi una zona, detta di uso
occasionale, che ha un limite superiore dato dal valore massimo
della coppia, che rende critica la resistenza dei denti del
riduttore, con la relativa velocit angolare e come punto inferiore
ha la coppia e velocit angolare nominale (che erano il limite
superiore alla zona di sicurezza). In quella zona possibile andare
a lavorare solo per brevi periodi di tempo, poich li si ha una
perdita di efficienza nel motore e conseguentemente un
accorciamento della vite utile del motoriduttore. La terza zona ha
come limite inferiore la coppia critica per i denti e come punto
superiore la coppia di stallo del motore. Lavorando in questa zona
si vanno a mettere in crisi i denti del riduttore e si va a
surriscaldare il motore, riducendone di molto la vita utile. Questa
zona detta zona di pericolo. Per quelle che sono le esigenze di un
manipolatore a cavi, ovvero poter operare in continuit ed
eventualmente poter rimanere fermo in condizioni di carico anche
per tempi lunghi, necessario restare sempre in zona di sicurezza,
in modo da cautelarsi il pi possibile da un guasto ai motori. E'
quindi evidente come la coppia massima, oltre il quale il motore
non deve andare ad erogare potenza sia la coppia nominale.
3.3.2: Limitazioni sui motoriduttoriPer la scelta e la verifica
dei vari motoriduttori perci necessario considerarne i limiti al
fine di poter valutare quello che soddisfa nel modo migliore le
esigenze richieste. Carico assiale: ovvero la massima forza che il
riduttore pu sopportare in una direzione parallela a quella
dell'albero di uscita del moto-riduttore. Se il valore di tale
forza supera il valore massimo del moto-riduttore il risultato una
perdita di efficienza e un accorciamento della vita utile del
moto-riduttore. Per il robot in esame, se la disposizione dei cavi
accurata, ovvero il cavo arriva in direzione perpendicolare
rispetto allasse dellalbero, tale criticit non sussiste o comunque
trascurabile. Carico Radiale: Quello che potrebbe potenzialmente
essere un problema il carico radiale, che definito come la massima
forza che il riduttore pu sopportare in direzione perpendicolare
all'albero di uscita. E' noto anche dalla meccanica degli
azionamenti che il carico radiale uno di quei parametri che va
sempre verificato nella scelta di un moto-riduttore. Questo carico,
infatti, va a sollecitare a flessione l'albero e i relativi
cuscinetti e va sommato alle altre forze agenti sull'albero che in
generale dipendono dalla direzione del carico e dal verso di
rotazione dellalbero. Perci, come viene riportato in [17] quando su
un catalogo viene indicato il valore massimo del carico radiale,
questo da intendersi nella situazione pi sfavorevole. Va poi tenuto
in considerazione che, allungando l'albero di uscita del
moto-riduttore, il leveraggio aumenta e conseguentemente aumenta lo
sforzo sui cuscinetti. Una soluzione per eliminare il carico
radiale quello di ricorrere ad un montaggio della puleggia su
cuscinetti volventi. Coppia: Al fine di mantenere intatta
lefficienza dei motoriduttori (quindi operare nella zona di
sicurezza), necessario che, in ogni punto dellarea di lavoro, essa
abbia valori inferiori a quello nominale.A questo punto, il
precedente script per il calcolo del WFW, stato integrato inserendo
le condizioni sulla tensione massima, data da quella che l'esigenza
pi stringente tra carico radiale massimo e coppia inferiore alla
coppia nominale. E stata considerata una geometria della base e
dellend-effector ottimale, secondo quanto esposto al paragrafo 2.6,
ovvero quella in cui sia base che end-effector hanno la forma di un
triangolo equilatero. Per valutare i limiti sulle coppie necessario
operare una riduzione delle tensioni all'albero di uscita del
moto-riduttore.
Dove linverso del rapporto di riduzione e il rendimento della
riduzione e la tensione ridotta allalbero di uscita del
motoriduttore. Allora, esprimendo la condizione sulla tensione:
Dove il raggio della puleggia, che viene preso pari al diametro
commerciale scelto, e il suo rendimento, che pu essere preso pari a
0.98. Ciascun valore della tensione stato poi diviso per un
coefficiente di sicurezza pari a 1.2. Allora si pu giungere a 2
condizioni:
Di queste due condizioni, ovviamente, si va ad imporre quella pi
stringente. Tale valore dipende solamente dal motore e dal diametro
della puleggia. A questo punto il WFW dato dall'insieme dei punti
che soddisfano su tutti e sei cavi, contemporaneamente la
relazione:
Dove la tensione sulli-esimo cavo e la tensione massima
ammissibile.
3.3.3: I risultati ottenutiPer il modello 3260, con il valore
del diametro commerciale della puleggia, scelto al paragrafo 3.2 il
limite pi stringente dato dal carico radiale. Infatti:
Per quanto riguarda il modello 3259, si ha invece un limite
sulla coppia nominale, infatti:
La scelta pi appropriata sul motore, gi con questa prima
osservazione, sembra essere quella del modello 3260. Analizzando
poi i volumi nei due casi abbiamo conferma di ci. Infatti, se si
considera larea di lavoro che si ottiene con i due modelli
valutandola ad alcune altezze fissate, si ha che il modello 3260
nei punti pi vicini alla base, dove si ha un moto dellend-effector
pi preciso, ma dove le tensioni sono decisamente pi elevate, ha un
WFW sensibilmente maggiore.Son state considerate le aree di lavoro
alle seguenti distanze dalla piattaforma fissa:
. I risultati sono schematizzati nelle due tabelle, dove vengono
riportati, per ogni altezza, i valori minimi e massimi assunti
dalle tensioni massime in quellarea:
Modello: 3259Spazio di lavoro alla quota Min. Max.
Nessun punto trovato
Nessun punto trovato
Nessun punto trovato
6 N9.2 N
2 N6 N
Tabella 3.3: Aree di lavoro ottenibili adottando il
motoriduttore 3259
Modello:3260Spazio di lavoro alla quota Min. Max.
Nessun punto trovato
15 N20.8 N
14 N20.8 N
6 N14 N
2 N6 N
Tabella 3.4: Aree di lavoro ottenibili adottando il
motoriduttore 3260
E qui ancora pi evidente come la scelta migliore debba essere il
motoriduttore 3260E_0 dal momento che ha un volume notevolmente pi
elevato, potendo operare ad altezze maggiori rispetto al
3259E_0.Inoltre la qualit e la precisione nel movimento del
manipolatore risulta nettamente superiore quando si opera vicini
alla base, in punti che per il motoriduttore 3259 sarebbero
proibitivi, ma che sono invece perfettamente utilizzabile per il
3260. Se si considera per esempio di operare ad una distanza di
dalla base: adottando il motoriduttore 3260 non si hanno problemi,
dato che il valore massimo della tensione risulta sensibilmente
inferiore al valore limite, e larea di lavoro quella massima per
questa geometria di base ed end-effector. Operando con il 3259 si
ha unarea di lavoro sensibilmente inferiore racchiusa dai punti di
posa per il quale la tensione raggiunge il valore limite di . La
precisione di movimentazione con i due modelli per la stessa, dal
momento in cui si pu pensare che essa dipenda in un certo modo
dalla tensione minima, dato che come detto un aumento della
tensione comporta in genere un aumento della rigidezza del robot e
conseguentemente una migliore precisione. Un caso pi emblematico pu
essere quello di considerare una altezza per la quale adottando i
motoriduttori 3260 si ha unarea che quasi pari a quella massima
ottenibile, mentre per il modello 3259 non si hanno punti di lavoro
a causa delle tensioni troppo elevate. Perci la scelta ricade sul
modello 3260E_0.
Capitolo 3: La scelta dei motoriduttori e delle pulegge
Progettazione del prototipo
4.1: le soluzioni costruttive adottateIn questo capitolo vengono
esaminate alcune soluzioni costruttive per quando riguarda il
fissaggio del motore al telaio, il calettamento delle pulegge (di
diametro ottimizzato secondo quanto riportato nel paragrafo 3.2) ai
motori e infine lalloggiamento delle schede di controllo. Vengono
presentati i modelli CAD di tre diverse soluzioni costruttive. La
prima viene considerata la soluzione 0, di semplice costruzione e
impiegata nella prima versione del prototipo. In questa prima
variante infatti il robot non sar soggetto a carichi rilevanti e
anzi se ne analizzer soprattutto il comportamento cinematico (la
precisione dei motori, la bont di un eventuale algoritmo di
controllo scritto per stabilire il movimento del robot e la
verifica dellarea di lavoro). La seconda e la terza soluzione sono
pensate per robot che operano con carichi importanti e dove
necessario proteggere i motori da eccessivi carichi radiali. Queste
due soluzioni vanno intese come proposte di primo tentativo, atte
ad analizzare i problemi di montaggio e di realizzazione dei
componenti. Il dimensionamento quindi dei vari componenti non
oggetto di questa tesi.
4.1.1: Geometria del motore e della scheda di controlloIl
produttore del motoriduttore fornisce sul sito un pdf della tavola
2D, nonch il file .step per l'apertura del disegno 3D con un
software Cad. (in appendice disponibile il 2D del motore). Il
moto-riduttore 3260E-0 un corpo di forma cilindrica, avente un
albero di uscita (eccentrico rispetto all'asse del cilindro) che ha
un diametro di 6 mm, una lunghezza di 15 mm e presenta una
spianatura di 0.5 mm per una lunghezza di 11.5 mm. L'eccentricit
dellalbero rispetto all'asse del cilindro di 7 mm. Sulla faccia da
cui esce lalbero sono presenti 6 fori M3 profondi 3.5 mm, i cui
centri sono posti su una circonferenza di diametro 31 mm. Sulla
faccia opposta sono presenti due linguette necessarie per
l'alimentazione del motore. La scheda di controllo adottata la
scheda 1065, anche per essa disponibile un pdf del disegno 2D e un
file .step per il disegno 3D (in appendice disponibile il
2D.Affinch il robot, una volto scritto l'algoritmo di controllo,
funzioni in modo corretto, e tutte le valutazione fatte per il WFW
siano valide, necessario che la base fissa, con cui stata valutata
l'area di lavoro, sia definita in modo accurato, e in particolar
modo la posizione della puleggia di ogni motore rispetto a quella
degli occhielli, attraverso cui passano i cavi. Infatti, se si
vuole limitare il pi possibile i carichi assiali, necessario che la
posizione relativa tra i due sia ben definita. Un'altra esigenza la
capacit di poter variare facilmente la posizione di ogni
motoriduttore, per poter posizionare liberamente i motori al
telaio. Per soddisfare questa esigenza una soluzione pu essere
creare un unico blocco che tenga fisso a se il motore, cosi che,
spostando e riferendo quest'ultimo si riesce a soddisfare entrambe
le esigenze. Un'ulteriore richiesta quella di adottare componenti
facilmente montabili e realizzabili, dato che la molteplicit dei
moto-riduttori/scheda di controllo da bloccare (6) fa s che un
risparmio in termini di tempo nell'esecuzione di un componente,
oppure in quella di un montaggio, si traduca in un risparmio sei
volte maggiore nella realizzazione complessiva del robot. Proprio
per ridurre i tempi di esecuzione dei pezzi, una buona scelta pu
essere quella di cercare di adottare, quando possibile, un numero
maggiore di componenti in serie. Unulteriore vantaggio di
utilizzare componenti in serie che, se questi sono comprati da un
fornitore esterno, la molteplicit dei pezzi pu portare ad una
riduzione del prezzo.
4.1.2: Calettamento della puleggia allalberoPrima di presentare
le soluzione complessive possibile fare alcune considerazioni
costruttive sul calettamento della puleggia. Per scegliere il tipo
pi opportuno necessario per prima cosa valutare la geometria
dellalbero su cui va calettata la puleggia. Dalla sua osservazione,
infatti, si pu andare ad escludere subito alcune soluzioni che
richiederebbero lavorazioni meccaniche su di esso o che comunque
risulterebbero impraticabili. Figura 4.1: Modello della puleggia
scelta, con boccola interna e foro radiale filettato
Considerando la presenza della spianatura una soluzione che si
rivelata vincente quella che prevede luso di grani filettati per il
bloccaggio. In questa soluzione si va a realizzare un foro
filettato nella puleggia, entro il quale si avvita un grano di
pressione, che va a battuta sulla spianatura nellalbero. Il grano
filettato completamente annegato dentro alla puleggia.La puleggia
commerciale acquistata per presenta un diametro interno pi grande
di quello dellalbero, infatti ha un diametro interno di 8 mm a
fronte di un diametro dellalbero di 6 mm. Allora, nelle situazioni
in cui la puleggia viene calettata direttamente sullalbero,
necessario interporre una boccola, forzata allinterno, in modo tale
da portare il diametro interno al valore prefissato. Ovviamente
anche la boccola deve avere un foro filettato, necessario a far
passare il grano di pressione.
4.1.3: La prima soluzione costruttivaNella prima soluzione
adottata si cercato di realizzare una struttura estremamente
compatta in grado di ospitare in poco spazio il motore. E evidente
dalla sua geometria, che lunico modo per bloccarlo ad un telaio sia
quello di fissarlo mediante delle viti M3, che si vanno ad
impegnare su alcuni dei 6 fori filettati.Figura 4.2: Modello della
prima soluzione
Si pensato allora di adottare una soluzione in cui il motore
viene calettato su un profilo in alluminio a forma di L. Questo
supporto ha spessore 5 mm e su una faccia sono realizzati 6 fori
che permettono il calettamento del motore. Sempre sulla stessa
faccia stato eseguito il foro, eccentrico rispetto al centro della
circonferenza delle viti, avente diametro pari al collare del
motore. In questa maniera, infatti, il motore, viene correttamente
riferito a beneficio di una buona ripetibilit di montaggio. I 6
fori per il collegamento tramite viti devono essere eseguiti con
tolleranze adeguate al fine di garantire la intercambiabilit dei
supporti con ciascun motore. Oltre ai 6 fori precedenti, ne sono
stati eseguiti altri 4 sulla superficie inferiore del supporto a L,
per consentire il bloccaggio al telaio mediante delle viti. Per
montare il gruppo motore-scheda di controllo necessario per prima
cosa inserire lalbero duscita e il risalto cilindrico allinterno
del foro di supporto facendo andare a battuta il corpo cilindrico
del motore con il supporto a L. A questo punto possibile fissare il
motore sul supporto tramite le viti e si pu quindi montare la
puleggia sullalbero andando a inserire il grano di pressione e
bloccandolo. In questultima operazione necessario prestare
attenzione affinch la puleggia non vada a contatto con il risalto
sul riduttore. Lultima operazione vincolare il supporto al
telaio.Figura 4.3: Dettaglio della lavorazione sull'albero di
uscita del motoriduttore
4.1.4: La seconda soluzione costruttivaCome gi stato detto
durante lintroduzione al paragrafo 4.1, nel caso si scelga di
passare ad un prototipo di taglia maggiore, in grado di muovere
oggetti aventi peso pi elevato, necessario adottare delle soluzioni
che consentano al motoriduttore di resistere in maniera efficiente
ai carichi imposti. In particolare modo, lavorando a pieno carico,
necessario preoccuparsi di andare a limitare linfluenza del carico
radiale. Fino a questo momento, infatti, stato demandato ai
cuscinetti, gi presenti allinterno del motoriduttore, il compito di
resistere a queste sollecitazioni. Quando per la massa da
movimentare inizia ad essere rilevante, non pi possibile fare pieno
affidamento in essi, ed perci necessario pensare ad una soluzione
che vada a scaricare le sollecitazioni, causate dalle tensioni dei
cavi, sul telaio. E perci necessario iniziare lo studio di una
soluzione che preveda il montaggio di una coppia di cuscinetti
(opportunamente distanziati) che devono poi essere bloccati e
precaricati mediante un organo apposito (quale per esempio una
ghiera). La prima soluzione (fig. 4.6 e 4.7) pensata di fatto
unevoluzione di quella proposta al paragrafo precedente. Infatti
ancora presente un blocco a forma di L che, in questo caso, ha
dimensioni maggiori e presenta un numero pi elevato di fori sulla
faccia centrale. Come sempre per iniziare a fare delle valutazioni
costruttive necessario partire dallosservazione della geometria del
motore. Per svincolarsi dalle diverse lunghezze dellalbero duscita
(che a seconda della taglia dei motori pu essere molto variabile),
si pensato di non calettare direttamente su di esso i due
cuscinetti e i relativi organi di fissaggio e precarico. E stato
quindi necessario adottare delle soluzioni che prevedono un
componente intermedio, calettato sullalbero di uscita, sul quale
poi vengono bloccati i due cuscinetti e la puleggia. Per quanto
riguarda la scelta dei cuscinetti si osserva che, indirizzando in
maniera opportuna la fune rispetto allasse del motoriduttore
(mediante un occhiello), possibile scegliere la direzione in cui
agisce la tensione nei cavi. Allora possibile guidare il cavo in
modo tale che esso eserciti su tutti gli organi uno sforzo
puramente radiale, senza quindi dare alcuna componente assiale.
Allora possibile adottare come prima soluzione una coppia di
cuscinetti radialiPer prima cosa bisogna stabilire alcune
dimensioni del bicchiere (fig.4.4) ossia lorgano intermedio tra la
puleggia e il motore. E evidente come questo debba avere un
diametro interno pari allalbero del motoriduttore. Per quanto
riguarda la lunghezza dellorgano, questa deve essere determinata
dalle dimensioni dei restanti componenti. Come calettamento del
bicchiere sullalbero lidea pi appropriata quella di adottare dei
grani filettati, che vanno a premere contro la spianatura
dellalbero. Figura 4.4:Il bicchiere di collegamento tra puleggia e
albero,
Oltre al grano per necessario prevedere un sistema per riferire
in direzione assiale la posizione del bicchiere rispetto allalbero.
Infatti, avendo a che fare con dei cuscinetti, uneventuale errore
di posizionamento del bicchiere in direzione assiale, comporterebbe
limpossibilit di montarli. Per riferire in direzione assiale il
bicchiere rispetto allalbero necessario effettuare delle
lavorazioni su questultimo atte a creare uno spallamento, oppure a
realizzare una cava in cui andare a inserire un seager per esterni.
La soluzione rappresentata (fig. 4.3) quella che prevede la
realizzazione di uno spallamento. E perci necessario andare ad
effettuare delle lavorazioni sullalbero di uscita, che prevedano
eventualmente la riesecuzione della spianat