Curs 1: Mult , imi Structuri discrete (F.02.O.13) Radu Dumbr˘ aveanu Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘ alt , i Facultatea de S , tiint , e Reale Aceast˘ a prezentare este pus˘ a la dispozit ¸ie sub Licent ¸a Atribuire - Distribuire-ˆ ın-condit ¸ii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ a (CC BY-SA 3.0) B˘ alt , i, 2013 R. Dumbr˘ aveanu (USARB) Curs 1: Mult , imi B˘ alt , i, 2013 1 / 36
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Curs 1: Mult, imiStructuri discrete (F.02.O.13)
Radu Dumbraveanu
Universitatea de Stat “A. Russo” din Balt, iFacultatea de S, tiint,e Reale
Aceasta prezentare este pusa la dispozitie sub Licenta Atribuire -Distribuire-ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptata (CC BY-SA 3.0)
Balt, i, 2013
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 1 / 36
O mult, ime este o colect, ie neordonata de obiecte oarecare binedeterminate s, i distincte.
Obiectele colect, iei se numesc elemente ale mult, imii.
De obicei:
I pentru a descrie o mult, ime folosim simbolurile “”,“” s, i “,”;I de exemplu: 0, 1 sau 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F;I de exemplu: a, b, a, b, ab.
I mult, imile se noteaza prin majuscule, iar elementele acestora prinminusculele alfabetului latin sau grecesc;
I de exemplu: A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau Ω = α, β, δ, γ.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 2 / 36
Definit, ia [neformala a] mult, imii
O mult, ime este o colect, ie neordonata de obiecte oarecare binedeterminate s, i distincte.
Obiectele colect, iei se numesc elemente ale mult, imii.
De obicei:
I pentru a descrie o mult, ime folosim simbolurile “”,“” s, i “,”;
I de exemplu: 0, 1 sau 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F;I de exemplu: a, b, a, b, ab.
I mult, imile se noteaza prin majuscule, iar elementele acestora prinminusculele alfabetului latin sau grecesc;
I de exemplu: A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau Ω = α, β, δ, γ.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 2 / 36
Definit, ia [neformala a] mult, imii
O mult, ime este o colect, ie neordonata de obiecte oarecare binedeterminate s, i distincte.
Obiectele colect, iei se numesc elemente ale mult, imii.
De obicei:
I pentru a descrie o mult, ime folosim simbolurile “”,“” s, i “,”;I de exemplu: 0, 1 sau 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F;I de exemplu: a, b, a, b, ab.
I mult, imile se noteaza prin majuscule, iar elementele acestora prinminusculele alfabetului latin sau grecesc;
I de exemplu: A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau Ω = α, β, δ, γ.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 2 / 36
Definit, ia [neformala a] mult, imii
O mult, ime este o colect, ie neordonata de obiecte oarecare binedeterminate s, i distincte.
Obiectele colect, iei se numesc elemente ale mult, imii.
De obicei:
I pentru a descrie o mult, ime folosim simbolurile “”,“” s, i “,”;I de exemplu: 0, 1 sau 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F;I de exemplu: a, b, a, b, ab.
I mult, imile se noteaza prin majuscule, iar elementele acestora prinminusculele alfabetului latin sau grecesc;
I de exemplu: A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau Ω = α, β, δ, γ.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 2 / 36
Definit, ia [neformala a] mult, imii
O mult, ime este o colect, ie neordonata de obiecte oarecare binedeterminate s, i distincte.
Obiectele colect, iei se numesc elemente ale mult, imii.
De obicei:
I pentru a descrie o mult, ime folosim simbolurile “”,“” s, i “,”;I de exemplu: 0, 1 sau 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F;I de exemplu: a, b, a, b, ab.
I mult, imile se noteaza prin majuscule, iar elementele acestora prinminusculele alfabetului latin sau grecesc;
I de exemplu: A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau Ω = α, β, δ, γ.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 2 / 36
Definit, ia [neformala a] mult, imii
I faptul ca un obiect este element al unei mult, imi se noteaza prin “∈”sau “3” (simbolul relat, iei de apartenent, a);
I de exemplu: 0 ∈ A (citim: “0 este element a mult, ii A” sau “0 apart, ineA”);
I de exemplu: A 3 1 (citim: “A cont, ine 1);I 2, 3, 4, 5, 6, 7 ∈ A (citim: 2, 3, 4, 5, 6 s, i 7 apart, in A).
I faptul ca un obiect nu este element al unei mult, imi se noteaza prin”/∈“ sau ”63“;
I de exemplu: α /∈ A sau A 63 8.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 3 / 36
Definit, ia [neformala a] mult, imii
I faptul ca un obiect este element al unei mult, imi se noteaza prin “∈”sau “3” (simbolul relat, iei de apartenent, a);
I de exemplu: 0 ∈ A (citim: “0 este element a mult, ii A” sau “0 apart, ineA”);
I de exemplu: A 3 1 (citim: “A cont, ine 1);I 2, 3, 4, 5, 6, 7 ∈ A (citim: 2, 3, 4, 5, 6 s, i 7 apart, in A).
I faptul ca un obiect nu este element al unei mult, imi se noteaza prin”/∈“ sau ”63“;
I de exemplu: α /∈ A sau A 63 8.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 3 / 36
Definit, ia [neformala a] mult, imii
I faptul ca doua mult, imi au [exact] aceleas, i elemente se noteaza prin”=“; altfel ”6=“;
I de exemplu: 0, 1 = 1, 0;I de exemplu: 0, 1 6= 0, 1.
I numarul de elemente a mult, imii se numes, te cardinalul acesteia; dacaam notat mult, imea prin de exemplu A atunci cardinalul este |A|;
I de exemplu: |0, 1| = 2;I de exemplu: |0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F| = 16;I de exemplu: |0, 1| = 1.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 4 / 36
Definit, ia [neformala a] mult, imii
I faptul ca doua mult, imi au [exact] aceleas, i elemente se noteaza prin”=“; altfel ”6=“;
I de exemplu: 0, 1 = 1, 0;I de exemplu: 0, 1 6= 0, 1.
I numarul de elemente a mult, imii se numes, te cardinalul acesteia; dacaam notat mult, imea prin de exemplu A atunci cardinalul este |A|;
I de exemplu: |0, 1| = 2;I de exemplu: |0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F| = 16;I de exemplu: |0, 1| = 1.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 4 / 36
Definit, ia [neformala a] mult, imii
I faptul ca doua mult, imi au [exact] aceleas, i elemente se noteaza prin”=“; altfel ”6=“;
I de exemplu: 0, 1 = 1, 0;I de exemplu: 0, 1 6= 0, 1.
I numarul de elemente a mult, imii se numes, te cardinalul acesteia; dacaam notat mult, imea prin de exemplu A atunci cardinalul este |A|;
I de exemplu: |0, 1| = 2;I de exemplu: |0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F| = 16;I de exemplu: |0, 1| = 1.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 4 / 36
Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor
Cum descriem o mult, ime [astfel ıncıt sa fie limpede care sınt elementemult, imii s, i care nu]?
Din liceu sınt bine cunoscute cel putin doua modalitati de a descrie omultime:
I Prin enumerarea elementelor mult, imii;I de exemplu: 0, 1, 2;I de exemplu: 0, 1, 2, ...;I de exemplu: ...,−2,−1, 0, 1, 2, ....
I Prin specificarea unei proprietat, i caracteristice doar elementelormult, imii;
I de exemplu: a : a ≡ 3(mod2);I de exemplu: a : a este un numar par;I de exemplu: x : x2 − 1 = 0.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 5 / 36
Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor
Cum descriem o mult, ime [astfel ıncıt sa fie limpede care sınt elementemult, imii s, i care nu]?
Din liceu sınt bine cunoscute cel putin doua modalitati de a descrie omultime:
I Prin enumerarea elementelor mult, imii;I de exemplu: 0, 1, 2;I de exemplu: 0, 1, 2, ...;I de exemplu: ...,−2,−1, 0, 1, 2, ....
I Prin specificarea unei proprietat, i caracteristice doar elementelormult, imii;
I de exemplu: a : a ≡ 3(mod2);I de exemplu: a : a este un numar par;I de exemplu: x : x2 − 1 = 0.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 5 / 36
Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor
Cum descriem o mult, ime [astfel ıncıt sa fie limpede care sınt elementemult, imii s, i care nu]?
Din liceu sınt bine cunoscute cel putin doua modalitati de a descrie omultime:
I Prin enumerarea elementelor mult, imii;
I de exemplu: 0, 1, 2;I de exemplu: 0, 1, 2, ...;I de exemplu: ...,−2,−1, 0, 1, 2, ....
I Prin specificarea unei proprietat, i caracteristice doar elementelormult, imii;
I de exemplu: a : a ≡ 3(mod2);I de exemplu: a : a este un numar par;I de exemplu: x : x2 − 1 = 0.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 5 / 36
Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor
Cum descriem o mult, ime [astfel ıncıt sa fie limpede care sınt elementemult, imii s, i care nu]?
Din liceu sınt bine cunoscute cel putin doua modalitati de a descrie omultime:
I Prin enumerarea elementelor mult, imii;I de exemplu: 0, 1, 2;I de exemplu: 0, 1, 2, ...;I de exemplu: ...,−2,−1, 0, 1, 2, ....
I Prin specificarea unei proprietat, i caracteristice doar elementelormult, imii;
I de exemplu: a : a ≡ 3(mod2);I de exemplu: a : a este un numar par;I de exemplu: x : x2 − 1 = 0.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 5 / 36
Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor
Cum descriem o mult, ime [astfel ıncıt sa fie limpede care sınt elementemult, imii s, i care nu]?
Din liceu sınt bine cunoscute cel putin doua modalitati de a descrie omultime:
I Prin enumerarea elementelor mult, imii;I de exemplu: 0, 1, 2;I de exemplu: 0, 1, 2, ...;I de exemplu: ...,−2,−1, 0, 1, 2, ....
I Prin specificarea unei proprietat, i caracteristice doar elementelormult, imii;
I de exemplu: a : a ≡ 3(mod2);I de exemplu: a : a este un numar par;I de exemplu: x : x2 − 1 = 0.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 5 / 36
Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor
Cum descriem o mult, ime [astfel ıncıt sa fie limpede care sınt elementemult, imii s, i care nu]?
Din liceu sınt bine cunoscute cel putin doua modalitati de a descrie omultime:
I Prin enumerarea elementelor mult, imii;I de exemplu: 0, 1, 2;I de exemplu: 0, 1, 2, ...;I de exemplu: ...,−2,−1, 0, 1, 2, ....
I Prin specificarea unei proprietat, i caracteristice doar elementelormult, imii;
I de exemplu: a : a ≡ 3(mod2);I de exemplu: a : a este un numar par;I de exemplu: x : x2 − 1 = 0.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 5 / 36
Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor
I Metoda recursiva; de exemplu:I Definit, ia recursiva a mult, imii numerelor naturale, N
1. Baza: 0 ∈ N;2. Pas constructiv: Daca n ∈ N atunci n + 1 ∈ N;3. Nimic altceva nu mai este ın N.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 6 / 36
Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor
La fel din liceu sınt cunoscute urmatoarele mult, imi remarcabile:
I N - mult, imea numerelor naturale;I Z - mult, imea numerelor ıntregi;I Q - mult, imea numerelor rat, ionale;I I - mult, imea numerelor irat, ionale;I R - mult, imea numerelor reale;I C - mult, imea numerelor complexe.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 7 / 36
Exemple
Enumerati elementele multimilor urmatoare:
1. x ∈ N : x2 < 25
I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 42. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11
I Raspuns: 4, 6, 8, 103. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova
I Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin4. x ∈ R : x2 = −1
I Raspuns: 5. x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova
I Raspuns: Balt, i,Chis, inau6. x ∈ Z : |x| < 4
I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36
Exemple
Enumerati elementele multimilor urmatoare:
1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4
2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10
3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin
4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:
5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau
6. x ∈ Z : |x| < 4I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36
Exemple
Enumerati elementele multimilor urmatoare:
1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4
2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11
I Raspuns: 4, 6, 8, 103. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova
I Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin4. x ∈ R : x2 = −1
I Raspuns: 5. x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova
I Raspuns: Balt, i,Chis, inau6. x ∈ Z : |x| < 4
I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36
Exemple
Enumerati elementele multimilor urmatoare:
1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4
2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10
3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin
4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:
5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau
6. x ∈ Z : |x| < 4I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36
Exemple
Enumerati elementele multimilor urmatoare:
1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4
2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10
3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova
I Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin4. x ∈ R : x2 = −1
I Raspuns: 5. x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova
I Raspuns: Balt, i,Chis, inau6. x ∈ Z : |x| < 4
I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36
Exemple
Enumerati elementele multimilor urmatoare:
1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4
2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10
3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin
4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:
5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau
6. x ∈ Z : |x| < 4I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36
Exemple
Enumerati elementele multimilor urmatoare:
1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4
2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10
3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin
4. x ∈ R : x2 = −1
I Raspuns: 5. x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova
I Raspuns: Balt, i,Chis, inau6. x ∈ Z : |x| < 4
I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36
Exemple
Enumerati elementele multimilor urmatoare:
1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4
2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10
3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin
4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:
5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau
6. x ∈ Z : |x| < 4I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36
Exemple
Enumerati elementele multimilor urmatoare:
1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4
2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10
3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin
4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:
5. x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova
I Raspuns: Balt, i,Chis, inau6. x ∈ Z : |x| < 4
I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36
Exemple
Enumerati elementele multimilor urmatoare:
1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4
2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10
3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin
4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:
5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau
6. x ∈ Z : |x| < 4I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36
Exemple
Enumerati elementele multimilor urmatoare:
1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4
2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10
3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin
4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:
5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau
6. x ∈ Z : |x| < 4
I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36
Exemple
Enumerati elementele multimilor urmatoare:
1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4
2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10
3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin
4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:
5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau
6. x ∈ Z : |x| < 4I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36
Mult, imea vida
Mult, imea care nu cont, ine nici un element se numes, te mult, imea vida s, i senoteaza prin ∅ sau simplu .
Mult, imea vida este unica.
De exemplu:
I x ∈ R : x2 + 1 = 0 = ∅I x ∈ C : x2 + 1 = 0 6= ∅I ∅ 6= ∅
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 9 / 36
Mult, imea vida
Mult, imea care nu cont, ine nici un element se numes, te mult, imea vida s, i senoteaza prin ∅ sau simplu .
Mult, imea vida este unica.
De exemplu:
I x ∈ R : x2 + 1 = 0 = ∅I x ∈ C : x2 + 1 = 0 6= ∅I ∅ 6= ∅
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 9 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi
In afara de relat, ia de egalitate ”=“ ıntre doua mult, imi, este definita s, irelat, ia de incluziune.
Spunem ca o mult, ime A este inclusa ın alta mult, ime B daca oriceelement din A este s, i element al mult, imii B.
Expresia ”A este inclusa ın B“ are urmatoarele sinonime: ”A este osubmult, ime a lui B“ s, i ”A este o parte a lui B“.
Din definit, ie reiese ca pentru orice mult, ime A:
I ∅ ⊆ A;I A ⊆ A.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 10 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi
In afara de relat, ia de egalitate ”=“ ıntre doua mult, imi, este definita s, irelat, ia de incluziune.
Spunem ca o mult, ime A este inclusa ın alta mult, ime B daca oriceelement din A este s, i element al mult, imii B.
Expresia ”A este inclusa ın B“ are urmatoarele sinonime: ”A este osubmult, ime a lui B“ s, i ”A este o parte a lui B“.
Din definit, ie reiese ca pentru orice mult, ime A:
I ∅ ⊆ A;I A ⊆ A.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 10 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi
In afara de relat, ia de egalitate ”=“ ıntre doua mult, imi, este definita s, irelat, ia de incluziune.
Spunem ca o mult, ime A este inclusa ın alta mult, ime B daca oriceelement din A este s, i element al mult, imii B.
Expresia ”A este inclusa ın B“ are urmatoarele sinonime: ”A este osubmult, ime a lui B“ s, i ”A este o parte a lui B“.
Din definit, ie reiese ca pentru orice mult, ime A:
I ∅ ⊆ A;I A ⊆ A.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 10 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi
In afara de relat, ia de egalitate ”=“ ıntre doua mult, imi, este definita s, irelat, ia de incluziune.
Spunem ca o mult, ime A este inclusa ın alta mult, ime B daca oriceelement din A este s, i element al mult, imii B.
Expresia ”A este inclusa ın B“ are urmatoarele sinonime: ”A este osubmult, ime a lui B“ s, i ”A este o parte a lui B“.
Din definit, ie reiese ca pentru orice mult, ime A:
I ∅ ⊆ A;I A ⊆ A.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 10 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi
Pentru relat, ia de incluziune se folosesc doua categorii de simboluri:
1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B daca s, i numai daca A este osubmult, ime a lui B.
I De exemplu: 0, 1 ⊆ 0, 1 sau 0, 1 ⊆ 0, 1, 2;I De exemplu: 0, 1, 2 ⊇ 0, 1.
2. Simbolurile ”⊂“ sau ”⊃“ (incluziunea stricta). Scriem A ⊂ B dacas, i numai daca se ındeplines, te condit, ia: A este o submult, ime a lui B s, iA 6= B.
I De exemplu: 0 ⊂ 0, 1;I De exemplu: 0, 1 6⊂ 0, 1.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 11 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi
Pentru relat, ia de incluziune se folosesc doua categorii de simboluri:
1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B daca s, i numai daca A este osubmult, ime a lui B.
I De exemplu: 0, 1 ⊆ 0, 1 sau 0, 1 ⊆ 0, 1, 2;I De exemplu: 0, 1, 2 ⊇ 0, 1.
2. Simbolurile ”⊂“ sau ”⊃“ (incluziunea stricta). Scriem A ⊂ B dacas, i numai daca se ındeplines, te condit, ia: A este o submult, ime a lui B s, iA 6= B.
I De exemplu: 0 ⊂ 0, 1;I De exemplu: 0, 1 6⊂ 0, 1.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 11 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi
Pentru relat, ia de incluziune se folosesc doua categorii de simboluri:
1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B daca s, i numai daca A este osubmult, ime a lui B.
I De exemplu: 0, 1 ⊆ 0, 1 sau 0, 1 ⊆ 0, 1, 2;I De exemplu: 0, 1, 2 ⊇ 0, 1.
2. Simbolurile ”⊂“ sau ”⊃“ (incluziunea stricta). Scriem A ⊂ B dacas, i numai daca se ındeplines, te condit, ia: A este o submult, ime a lui B s, iA 6= B.
I De exemplu: 0 ⊂ 0, 1;I De exemplu: 0, 1 6⊂ 0, 1.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 11 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi
Pentru relat, ia de incluziune se folosesc doua categorii de simboluri:
1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B daca s, i numai daca A este osubmult, ime a lui B.
I De exemplu: 0, 1 ⊆ 0, 1 sau 0, 1 ⊆ 0, 1, 2;I De exemplu: 0, 1, 2 ⊇ 0, 1.
2. Simbolurile ”⊂“ sau ”⊃“ (incluziunea stricta). Scriem A ⊂ B dacas, i numai daca se ındeplines, te condit, ia: A este o submult, ime a lui B s, iA 6= B.
I De exemplu: 0 ⊂ 0, 1;I De exemplu: 0, 1 6⊂ 0, 1.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 11 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi
Pentru relat, ia de incluziune se folosesc doua categorii de simboluri:
1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B daca s, i numai daca A este osubmult, ime a lui B.
I De exemplu: 0, 1 ⊆ 0, 1 sau 0, 1 ⊆ 0, 1, 2;I De exemplu: 0, 1, 2 ⊇ 0, 1.
2. Simbolurile ”⊂“ sau ”⊃“ (incluziunea stricta). Scriem A ⊂ B dacas, i numai daca se ındeplines, te condit, ia: A este o submult, ime a lui B s, iA 6= B.
I De exemplu: 0 ⊂ 0, 1;I De exemplu: 0, 1 6⊂ 0, 1.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 11 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi
Fie A o mult, ime oarecare. Submult, imile lui A diferite de A s, i ∅ se numescsubmult, imi proprii, iar A s, i ∅ - submult, imi improprii ale lui A.
Sau echivalent: o mult, ime B este o submult, ime proprie a lui A daca oriceelement al lui B este ın A s, i ın plus exista cel put, in un element din A carenu este ın B.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 12 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi
Fie A o mult, ime oarecare. Submult, imile lui A diferite de A s, i ∅ se numescsubmult, imi proprii, iar A s, i ∅ - submult, imi improprii ale lui A.
Sau echivalent: o mult, ime B este o submult, ime proprie a lui A daca oriceelement al lui B este ın A s, i ın plus exista cel put, in un element din A carenu este ın B.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 12 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A
(Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A
(Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A
(Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)
4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A
(Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A
(Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)
2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A
(Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)
3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A
(Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)
4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A
(Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)
Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.
1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36
Diagramele Venn
Diagramele Venn sınt modele vizuale pentru reprezentarea relat, iilor dintremult, imi. Caracteristic pentru acestea este ca ın aceeas, i diagrama pot fireprezentate orice combinat, ie posibila de relat, ii ıntre mult, imi.
Zonele ın care sınt elemente se has, ureaza, iar zonele ın care nu-s elementenu se has, ureaza.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 14 / 36
Diagramele Venn. Exemple
A B
A = 0, 1, 2, 3,B = 3, 4, 5, 6.
A B
A = 0, 1, 2, 3,B = 0, 1, 2, 3.
A B
C
A = 0, 1, 2, 3, B = 0, 1, C = 2, 3, 4, 5, 6.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 15 / 36
Diagramele Venn. Exemple
A B
A = 0, 1, 2, 3,B = 3, 4, 5, 6.
A B
A = 0, 1, 2, 3,B = 0, 1, 2, 3.
A B
C
A = 0, 1, 2, 3, B = 0, 1, C = 2, 3, 4, 5, 6.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 15 / 36
Diagramele Venn. Exemple
A B
A = 0, 1, 2, 3,B = 3, 4, 5, 6.
A B
A = 0, 1, 2, 3,B = 0, 1, 2, 3.
A B
C
A = 0, 1, 2, 3, B = 0, 1, C = 2, 3, 4, 5, 6.R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 15 / 36
Diagramele Euler
Diagramele Euler sınt modele vizuale pentru reprezentarea relat, iilor dintremult, imi. Caracteristic pentru acestea este ca ıntr-o diagrama poatereprezentata doar o combinat, ie de relat, ii ıntre mult, imi.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 16 / 36
Diagramele Euler. Exemple
A B
A = 0, 1, 2, 3,B = 3, 4, 5, 6.
A B
A = 0, 1, 2, 3,B = 4, 5, 6.
AB
C
A = 0, 1, 2, 3, B = 0, 1, C = 2, 3, 4, 5, 6.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 17 / 36
Mult, imea putere
Fie A o mult, ime arbitrara. Familia tutror submult, imilor din A se numes, temult, imea putere a lui A.
Se noteaza P(A) sau P(A) sau 2A.
Cardinalul mult, imii putere se calculeaza dupa formula 2|A|.
De exemplu:
I Daca A = 0, 1 atunciI 2A = 0, 1,A, ∅ (s, i |2A| = 4 = 22)
I Daca A = 0, 1, 2 atunciI 2A = 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 2,A, ∅ (s, i |2A| = 8 = 23)
I Daca A = ∅ atunciI 2A = ∅ (s, i |2A| = 1 = 20)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 18 / 36
Mult, imea putere
Fie A o mult, ime arbitrara. Familia tutror submult, imilor din A se numes, temult, imea putere a lui A.
Se noteaza P(A) sau P(A) sau 2A.
Cardinalul mult, imii putere se calculeaza dupa formula 2|A|.
De exemplu:
I Daca A = 0, 1 atunciI 2A = 0, 1,A, ∅ (s, i |2A| = 4 = 22)
I Daca A = 0, 1, 2 atunciI 2A = 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 2,A, ∅ (s, i |2A| = 8 = 23)
I Daca A = ∅ atunciI 2A = ∅ (s, i |2A| = 1 = 20)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 18 / 36
Mult, imea putere
Fie A o mult, ime arbitrara. Familia tutror submult, imilor din A se numes, temult, imea putere a lui A.
Se noteaza P(A) sau P(A) sau 2A.
Cardinalul mult, imii putere se calculeaza dupa formula 2|A|.
De exemplu:
I Daca A = 0, 1 atunciI 2A = 0, 1,A, ∅ (s, i |2A| = 4 = 22)
I Daca A = 0, 1, 2 atunciI 2A = 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 2,A, ∅ (s, i |2A| = 8 = 23)
I Daca A = ∅ atunciI 2A = ∅ (s, i |2A| = 1 = 20)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 18 / 36
Mult, imea putere
Fie A o mult, ime arbitrara. Familia tutror submult, imilor din A se numes, temult, imea putere a lui A.
Se noteaza P(A) sau P(A) sau 2A.
Cardinalul mult, imii putere se calculeaza dupa formula 2|A|.
De exemplu:
I Daca A = 0, 1 atunciI 2A = 0, 1,A, ∅ (s, i |2A| = 4 = 22)
I Daca A = 0, 1, 2 atunciI 2A = 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 2,A, ∅ (s, i |2A| = 8 = 23)
I Daca A = ∅ atunciI 2A = ∅ (s, i |2A| = 1 = 20)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 18 / 36
Mult, imea putere
Fie A o mult, ime arbitrara. Familia tutror submult, imilor din A se numes, temult, imea putere a lui A.
Se noteaza P(A) sau P(A) sau 2A.
Cardinalul mult, imii putere se calculeaza dupa formula 2|A|.
De exemplu:
I Daca A = 0, 1 atunciI 2A = 0, 1,A, ∅ (s, i |2A| = 4 = 22)
I Daca A = 0, 1, 2 atunciI 2A = 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 2,A, ∅ (s, i |2A| = 8 = 23)
I Daca A = ∅ atunciI 2A = ∅ (s, i |2A| = 1 = 20)
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 18 / 36
Mult, imea putere; Exercit, iu
Determinat, i 2A daca A = ∅.
I 2A = ∅, ∅
Determinat, i 2A daca A = ∅, ∅, ∅, ∅.
I 2A = ..., |2A| = 8
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 19 / 36
Mult, imea putere; Exercit, iu
Determinat, i 2A daca A = ∅.
I 2A = ∅, ∅
Determinat, i 2A daca A = ∅, ∅, ∅, ∅.
I 2A = ..., |2A| = 8
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 19 / 36
Mult, imea putere; Exercit, iu
Determinat, i 2A daca A = ∅.
I 2A = ∅, ∅
Determinat, i 2A daca A = ∅, ∅, ∅, ∅.
I 2A = ..., |2A| = 8
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 19 / 36
Mult, imea putere; Exercit, iu
Determinat, i 2A daca A = ∅.
I 2A = ∅, ∅
Determinat, i 2A daca A = ∅, ∅, ∅, ∅.
I 2A = ..., |2A| = 8
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 19 / 36
Operat, ii cu mult, imi
O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.
De exemplu:
I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N
I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica
I a ÷ b pe R∗ este bine definita
Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .
In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36
Operat, ii cu mult, imi
O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.
De exemplu:
I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N
I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica
I a ÷ b pe R∗ este bine definita
Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .
In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36
Operat, ii cu mult, imi
O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.
De exemplu:
I a ÷ b pe N nu este bine definita
I 1÷ 2 /∈ NI a ÷ b pe R nu este bine definita
I a ÷ 0 nu este unicaI a ÷ b pe R∗ este bine definita
Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .
In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36
Operat, ii cu mult, imi
O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.
De exemplu:
I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N
I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica
I a ÷ b pe R∗ este bine definita
Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .
In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36
Operat, ii cu mult, imi
O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.
De exemplu:
I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N
I a ÷ b pe R nu este bine definita
I a ÷ 0 nu este unicaI a ÷ b pe R∗ este bine definita
Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .
In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36
Operat, ii cu mult, imi
O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.
De exemplu:
I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N
I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica
I a ÷ b pe R∗ este bine definita
Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .
In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36
Operat, ii cu mult, imi
O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.
De exemplu:
I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N
I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica
I a ÷ b pe R∗ este bine definita
Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .
In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36
Operat, ii cu mult, imi
O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.
De exemplu:
I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N
I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica
I a ÷ b pe R∗ este bine definita
Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .
In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36
Operat, ii cu mult, imi
O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.
De exemplu:
I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N
I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica
I a ÷ b pe R∗ este bine definita
Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .
In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36
Intersect, ia
A ∩ B = a : a ∈ A s, i a ∈ B
A B
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 21 / 36
Reuniunea
A ∪ B = a : a ∈ A sau a ∈ B
A B
|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 22 / 36
Diferent, a
A− B = a : a ∈ A s, i a /∈ B
A B
|A− B| = |A| − |A ∩ B|
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 23 / 36
Diferent, a simetrica
A∆B = (A− B) ∪ (B −A)
A B
|A∆B| = |A|+ |B| − 2|A ∩ B|
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 24 / 36
Complementul
Ac = U −A
A
|Ac| = |U| − |A|
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 25 / 36
Produsul cartezian
A× B = (a, b) : a ∈ A, b ∈ B
|A× B| = |A| · |B|
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 26 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i
I ???R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36
Generalizarea operat, iilor cu mult, imi
A1 ∩A2 ∩ ... ∩An =⋂n
i=1 Ai
A1 ∪A2 ∪ ... ∪An =⋃n
i=1 Ai
A1 ×A2 × ...×An = Πni=1Ai
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 28 / 36
Identitat, i cu mult, imi
Comutativitatea A ∩ B = B ∩AAsociativitatea A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ CDistributivitatea A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )DeMorgan (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
Absorbt, iea A ∩ (A ∪ B) = AIdempotent, a A ∩A = A
A ∩ ∅ = ∅
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 29 / 36
Identitat, i cu mult, imi
Comutativitatea A ∪ B = B ∪AAsociativitatea A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ CDistributivitatea A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )DeMorgan (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
Absorbt, iea A ∪ (A ∩ B) = AIdempotent, a A ∪A = A
A ∪ ∅ = A
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 30 / 36
Identitat, i cu mult, imi
Distributivitatea A ∩ (B \ C ) = (A ∩ B) \ (A ∩ C )A \A = ∅
Involut, iea (Ac)c = A
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 31 / 36
Tehnici s, i metode de demonstrare a identitat, ilor
In aplicat, ii putem sa ne ciocnim de necesitatea de a demonstra unelerelat, ii ıntre mult, imi.
In acest scop putem utiliza urmatoarele metode:
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 32 / 36
Metoda tabelului de apartenent, a
ExempluDemonstrat, i A ∩ (B ∪Ac) = B ∩A
Demonstratie.A B Ac B ∪Ac A ∩ (B ∪Ac) B ∩A0 0 1 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 0 0 01 1 0 1 1 1
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 33 / 36
Metoda tabelului de apartenent, a
ExempluDemonstrat, i A ∩ (B ∪Ac) = B ∩A
Demonstratie.A B Ac B ∪Ac A ∩ (B ∪Ac) B ∩A0 0 1 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 0 0 01 1 0 1 1 1
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 33 / 36
Metoda incluziunilor dubleExempluSa se demonstreze identitatea
(A ∪ B) \ C = (A \ C ) ∪ (B \ C )
Demonstrat, ie; Suficient, a.
x ∈ ((A ∪ B) \ C ) ⇒ x ∈ (A ∪ B) s, i x /∈ C⇒ (x ∈ A sau x ∈ B) s, i x /∈ C⇒ (x ∈ A s, i x /∈ C ) sau (x ∈ B s, i x /∈ C )⇒ (x ∈ A \ C ) sau (x ∈ B \ C )⇒ x ∈ (A \ C ) ∪ (B \ C )
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 34 / 36
Metoda incluziunilor dubleExempluSa se demonstreze identitatea
(A ∪ B) \ C = (A \ C ) ∪ (B \ C )
Demonstrat, ie; Suficient, a.
x ∈ ((A ∪ B) \ C ) ⇒ x ∈ (A ∪ B) s, i x /∈ C⇒ (x ∈ A sau x ∈ B) s, i x /∈ C⇒ (x ∈ A s, i x /∈ C ) sau (x ∈ B s, i x /∈ C )⇒ (x ∈ A \ C ) sau (x ∈ B \ C )⇒ x ∈ (A \ C ) ∪ (B \ C )
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 34 / 36
Metoda incluziunilor duble
Demonstrat, ie; Ncesitatea.
x ∈ (A \ C ) ∪ (B \ C ) ⇒ (x ∈ A \ C ) sau (x ∈ B \ C )⇒ (x ∈ A s, i x /∈ C ) sau (x ∈ B s, i x /∈ C )⇒ (x ∈ A sau x ∈ B) s, i x /∈ C⇒ (x ∈ A ∪ B) s, i x /∈ C⇒ x ∈ (A ∪ B) \ C
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 35 / 36
Metoda transformarilor echivalente
ExempluSa se demonstreze identitatea
(A ∪ B) \ C = (A \ C ) ∪ (B \ C )
Demonstratie.
(A ∪ B) \ C = (A ∪ B) ∩ C c
= (A ∩ C c) ∪ (B ∩ C c)= (A \ C ) ∪ (B \ C )
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 36 / 36
Metoda transformarilor echivalente
ExempluSa se demonstreze identitatea
(A ∪ B) \ C = (A \ C ) ∪ (B \ C )
Demonstratie.
(A ∪ B) \ C = (A ∪ B) ∩ C c
= (A ∩ C c) ∪ (B ∩ C c)= (A \ C ) ∪ (B \ C )
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 36 / 36