Středověká matematika

Středověká matematika

Nejstarší období (6.-10. stol.)

Boethius (480-524), politik, filozof a teolog; autor učebnic k celému kvadriviu (aritmetika, geometrie, astronomie, muzika) – jednalo se o překlady částí klasických řeckých spisů (Nikomachos z Gerasy, Eukleides)

Aritmetika obsahuje kapitoly o sudých a lichých číslech, o úměrách, figurálních číslech, ap.

Geometrie obsahuje definice, postuláty a axiomy prvních pěti knih, znění většiny tvrzení z prvních čtyřech knih a důkazy tří vět z první knihy Eukleidových Základů.

Alkuin (735 - 804), mnich a vychovatel; autor sbírky úloh Úlohy k bystření mladíků.

Anicius Manlius Severinus Boethius(480-524)

Alkuin: Úlohy k bystření mladíků (Propositiones ad acuendos iuvenes)

Mačák, K.: Tři středověké sbírky matematických úloh. Dějiny matematiky sv. 15. Praha 2001.

Alkuin (735 - 804) byl v letech 766 - 782 představeným školy při katedrále v Yorku. V roce782 se připojil ke dvoru Karla Velikého v Cáchách. Na konci života působil jako opatv klášteře sv. Martina v Tours.

Převoznické úlohy (4)Úlohy vedoucí na soustavu diofantických rovnic (7)Úlohy na posloupnosti (2)Geometrické úlohy (12)Úlohy vedoucí na jednu lineární rovnici o jedné neznámé (8)Převádění jednotek (3)Různé početní úlohy (12)Úlohy s nematematickou základní úvahou (3)Úlohy zcela nematematické (2)

Již za vlády Arabů navštěvují Pyrenejsky poloostrov lidé, kteří se zde seznamují s arabskou,a tedy i řeckou starověkou vědou. Jedním z prvních byl Gerbert v letech 967-966.Ovšem nejen Pyrenejský poloostrov byl oblastí kontaktu evropské a arabské matematiky. Šlo dále o jižní Itálii a Sicílii.

Po postupném osvobozování tohoto území od arabské nadvlády zde dochází od 12. století k překladům arabských textů do latiny. Často vznikaly celé školy překladatelů a na překladechse podílely týmy či alespoň dvojice.

Mezi nejvýznamnější překladatele patří: Adelhard z Bathu, Joannes Sevilský (Toledský),Plato z Tivoli, Robert z Chesteru, Gherardo z Cremony, Campano z Novary, Willem de Merbecke a Federico Commandino.

Pronikání arabské vědy na západ

Leonardo Pisánský ovládal arabský jazyk a procestoval Egypt, Sýrii, Řecko a Sicílii. Po návratu z cest napsal v roce 1202 knihu Liber abaci. Seznámil zde Evropus indickým početním systémem a také se znakem nula. Kniha obsahuje mnoho úlohs hospodářskou i obchodní tématikou. Podle ní se učilo dlouhou na školách.

Kromě této knihy napsal ještě Practica geometriae (nejen aplikace, ale i teorie geometriea trigonometrie) či Liber quadratorum (teorie čísel).

Leonardo Pisánský – Fibonacci(okolo 1170 - po 1250)

Socha Leonarda Pisánského v Pise

Obsah Liber Abaci

• Zápis čísel a aritmetické operace; rozklady čísel na prvočinitele.• Počítání se zlomky a smíšenými čísly.• Kupecké počty.• Úlohy na posloupnosti.• Výpočet druhých a třetích odmocnin.• Lineární rovnice a jejich soustavy.• Kvadratické rovnice (arabská teorie)

12 římských mincí odpovídá 31 pisánským, 23 pisánských odpovídá 12 janovským, 13janovských 12 turínským, 11 turínských 12 barcelonským. Kolik barcelonských dostaneme za 15 římských?

Sedm stařen míří do Říma, každá má sedm mulů, na každém je sedm pytlů, v každém pytlije sedm chlebů, u každého chleba sedm nožů a každý nůž je v sedmi pochvách. Kolik je všehodohromady.

Pár králíků přivede každý měsíc na svět pár mladých králíků. Králíci počínají rodit ve dvouměsících svého věku. Kolik párů králíků budeme mít za jeden rok.

B T J P R

12 13 31 12

12 11 12 23 15

12.12.12.31.1511.13.23.12

7 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 = 137 256

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

Rozvoj vědy, o kterém jsme mluvili v souvislosti s Pyrenejským poloostrovem a jižní Itálií, nenastal ve zbývající části Evropy. Na církevních školách a na univerzitách byla pěstovánascholastika, jejímž hlavním problémem bylo smíření víry s rozumem, tj. Bible a Aristotela.

Vrcholnými představiteli scholastiky té doby byli Albert Veliký (1193-1280) a jeho žák Tomáš Akvinský (1225-1274). Výuka na univerzitách nepřinášela žádný přínos k rozvoji vědy. Bylo tomu však i v pozdějším období a nejen ve středověku.

Bylo studováno dílo Aristotela, které křesťanské učence přitahovalo, ale současně znepokojovalo. Mnohé myšlenky totiž odporovaly křesťanské dogmatice. Nicméně studium Aristotelovy fyziky postupně vytvářelo podmínky k „experimentální“ vědecké práci. Ukazovalo se, že ne všechny jeho principy platí a je třeba zkoumat reálný svět a nejen důvěřovat autoritám.

Období scholastiky

1. Zdali zkušený geometr může geometrickými nástroji neklamně nalézt délky, výšky, hloubky a vzdálenosti těles. (Zadal Křišťan z Prachatic Janu Husovi)2. Zdali má matematická věda určité důkazy, jejichž všechny prvky jsou nepostradatelné.3. Je studium filozofie příjemnějším potěšením dospělého věku než stařeckého?4. Řekl správně Platón, že lidé dostali oči pro astronomii?5. Má se při volbě úředníků zachovávat aritmetický, či spíše geometrický poměr?

Středověké univerzity

1088 Bologna, 1150 Paříž, 1167 Oxford, 1209 Cambridge, 1220 Padova, 1224 Neapol, 1254 Sevilla, 1290 Lisabon, 1303 Řím, 1343 Pisa, 1348 Praha, 1349 Florencie, 1364 Krakov, 1365 Vídeň, 1367 Pécs, 1368 Heidelberg, 1389 Buda, 1402 Würzburg, 1409 Lipsko, 1410 St. Andrews, 1419 Rostock, 1456 Greifswald, 1457 Freiburg, 1460 Basilej, 1467 Bratislava, 1476 Tübingen, 1477 Upsalla, ...

V čele školy stál rektor, volený na jeden rok a později jen na půl roku. Mohl to být i student, minimální věk byl 25 let. V čele fakult byli děkani, kteří byli voleni dvakrát ročně. Zájmy církve zastupovali kancléři. Na univerzitách dále pracovali pedelové (sluhové a ochránci děkanů a rektorů) a je třeba se ještě zmínit o tom, že k univerzitě patřili i poddaní z vesnic, které byly majetkem univerzity.

Pedagogický sbor tvořili: bakaláři, licentiáti, mistři svobodných umění a doktoři. Bakaláři svobodných umění (po dvou až čtyřech letech studia) tedy mohli již konat základní přednáškyz logiky a něco málo z kvadrivia. Po dvou letech mohli získat oprávnění přednášet a stali se licentiáty. Titul mistra svobodných umění mohl získat až při veřejných schůzích a stálo topoměrně hodně peněz, takže mnozí zůstávali velmi dlouho pouze licentiáty. Studium, které bylo nezbytné k získání titulu mistra trvalo tedy pět až osm let. Pak musel mistr dva roky zdarma přednášet. Teprve potom mohl vypisovat libovolné přednášky.

Pražská univerzita ve středověku

Univerzita měla čtyři fakulty: artistickou, teologickou, právnickou a lékařskou. Chyběla vědecká práce, univerzitní vzdělání nikdo nepožadoval (ani pro kněžskou službu). Za výuku se platilo, za jednotlivé přednášky zvlášť.

Akademické tituly: na artistické fakultě mohli postupně získat tituly bakaláře a magistra. Na dalších fakultách se již uděloval doktorát.

Obsah výuky matematiky na univerzitě v Praze ve středověku

V aritmetice se přednášel tzv. algoritmus, tj. počítání v desítkové početní soustavě. Nejznámějším spisem byl Algoritmus Angličana Jana Sacrobosca.

V geometrii šlo o první knihy Eukleidových Základů a pak o další Sacroboscův spis Tractatus de sphaera seu sphaera materialis.

Celá řada spisů sloužila pro výuku astronomie, zde jmenujme alespoň Ptolemaiův Almagest.

Trivium:

gramatika (výuka latiny, čtení, psaní a memorování latinských textů), logika (vedla k tříbení a vyjasňování pojmů, rozvíjela umění dialogu a disputace) a rétorika (řečnictví, ale ve středověku šlo především o sestavování listin, dopisů a dokumentů)

Kvadrivium:

aritmetika (počítání na prstech a s pomocí abaku), astronomie (zejména výpočet církevních svátků), geometrie (nejelementárnější poznatky z Eukleida) a muzika (církevní zpěv).

Sice se neučilo jako samostatný předmět náboženství, ale to pronikalo do celého systému vyučování.

Sedmero svobodných umění

Pozdní středověk

14. a 15. stol. bylo krokem zpět. Mohly za to i války, mor a neúrody, které vedly k dalšímuúpadku univerzit, chyběly elity.

Ve vědě se věnovala pozornost Aristotelově fyzice a matematika při tom začala sloužitjako pomocný prostředek.

Thomas Bradwardinus (1290-1349) hledal vztahy mezi rychlostí pohybu, působící siloua odporem proti pohybu. Studoval rovněž hvězdicové mnohoúhelníky.

Všestranný filozof, teolog a matematik Mikuláš Oresme (1323-1382) použil geometrickou metodu ke znázorňování pohybu.

William Occam (1290-1349) formuloval myšlenku, že těleso uvedené do pohybu již nepotřebuje ničeho ani nikoho, kdo by je postrkoval a pohybuje se plynule samo, dokudse nevyskytne příčina ke změně jeho pohybu.

V Německu působil obrovský počet tzv. Rechenmeistrů, kteří vydávali četné učebnicearitmetiky, ve kterých prezentovali jak počítání na linách, tak počítání s arabskými čísly.