Stochastic Geometry Architecture of Communication Networks

8/2/2019 Stochastic Geometry Architecture of Communication Networks

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S t o c h a s t i c G e o m e t r y a n d A r c h i t e c t u r e o f

C o m m u n i c a t i o n N e t w o r k s

F r a n o i s B A C C E L L I

y

M a u r i c e K L E I N

z

M a r c L E B O U R G E S

x

S e r g u e i Z U Y E V

y

S e p t e m b e r 6 , 1 9 9 5

T h i s p a p e r p r o p o s e s a n e w a p p r o a c h f o r c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s p l a n n i n g ;

t h i s a p p r o a c h i s b a s e d o n s t o c h a s t i c g e o m e t r y . W e r s t s u m m a r i z e t h e s t a t e o f

t h e a r t i n t h i s d o m a i n , t o g e t h e r w i t h i t s e c o n o m i c i m p l i c a t i o n s , b e f o r e s k e t c h i n g

t h e m a i n e x p e c t a t i o n s o f t h e p r o p o s e d m e t h o d . T h e m a i n p r o b a b i l i s t i c t o o l s a r e

p o i n t p r o c e s s e s a n d s t o c h a s t i c g e o m e t r y . W e s h o w h o w s e v e r a l p e r f o r m a n c e e v a l u -

a t i o n a n d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s w i t h i n t h i s f r a m e w o r k c a n a c t u a l l y b e p o s e d a n d

s o l v e d b y c o m p u t i n g t h e m a t h e m a t i c a l e x p e c t a t i o n o f c e r t a i n f u n c t i o n a l s o f p o i n t

p r o c e s s e s . W e m a i n l y a n a l y z e m o d e l s b a s e d o n P o i s s o n p o i n t p r o c e s s e s , f o r w h i c h

a n a l y t i c a l f o r m u l a e c a n o f t e n b e o b t a i n e d , a l t h o u g h m o r e c o m p l e x m o d e l s c a n a l s o

b e a n a l y z e d , f o r i n s t a n c e v i a s i m u l a t i o n .

A M S 1 9 9 1 S u b j e c t C l a s s i c a t i o n . P r i m a r y : 6 0 D 0 5 , 9 0 B 1 2 , 9 3 A 3 0

S e c o n d a r y : 5 2 A 2 2 , 5 2 C 2 0 , 6 0 G 1 0 , 6 0 G 5 5 , 6 0 K 3 0 , 9 0 A 2 5 , 9 0 A 5 8 , 9 0 B 1 5 ,

9 3 A 1 3 , 9 3 A 1 5 , 9 3 C 3 5 , 9 3 E 2 3

T h e w o r k w a s s u p p o r t e d b y C N E T t h r o u g h t h e t w o r e s e a r c h g r a n t s 9 3 5 B a n d C T I

1 B 1 0 4

y

I N R I A , S o p h i a - A n t i p o l i s , F r a n c e

z

F r a n c e T E L E C O M , C N E T , I s s y L e s M o u l i n e a u x

x

F r a n c e T E L E C O M , D i r e c t i o n d u P l a n e t d e l a S t r a t g i e , P a r i s

1


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K e y w o r d s : S t o c h a s t i c m o d e l i n g , m a c r o s c o p i c m o d e l i n g , c e l -

l u l a r n e t w o r k s , V o r o n o i t e s s e l l a t i o n , h i e r a r c h i c a l m o d e l , m o -

b i l e c o m m u n i c a t i o n s , t e l e t r a f f i c , p o i n t p r o c e s s e s , P o i s s o n p r o -

c e s s

1 I n t r o d u c t i o n

T h i s p a p e r p r o p o s e s a n e w a p p r o a c h b a s e d o n s t o c h a s t i c g e o m e t r y t o m o d e l

t e l e c o m m u n i c a t i o n s n e t w o r k a r c h i t e c t u r e s f o r p u r p o s e s o f s t r a t e g i c p l a n n i n g

a n d e c o n o m i c a n a l y s i s . F i r s t w e s u m m a r i z e t h e s t a t e - o f - t h e - a r t i n t h e s e t w o

e l d s , b e f o r e s t a t i n g t h e b a s i c s a n d t h e a d v a n t a g e s o f t h e p r o p o s e d m e t h o d .

P r o b a b i l i s t i c m o d e l s , b a s e d o n g e o m e t r i c c o n s t r u c t i o n s r e l a t e d t o s t o c h a s t i c

p o i n t p r o c e s s e s , a r e t h e n i n t r o d u c e d ( 2 ) . I n 3 , w e s h o w h o w s e v e r a l c l a s s e s

o f p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n o r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s c a n b e r e d u c e d t o t h e

c a l c u l a t i o n o f m o m e n t s o f f u n c t i o n a l s o f t h e u n d e r l y i n g p o i n t p r o c e s s e s . W e

m a i n l y s u m m a r i z e h e r e a n a l y t i c a l r e s u l t s o b t a i n e d f o r t h e h o m o g e n e o u s P o i s -

s o n m o d e l . M o r e c o m p l e x m o d e l s c a n b e a n a l y z e d b y s p a c e t r a n s f o r m a t i o n

o r b y s i m u l a t i o n ( s e e 1 ] ) . T h e m o d e l s i n t r o d u c e d i n t h e p a p e r s e e m g e n e r i c

a n d s h o u l d n d a p p l i c a t i o n s f o r o t h e r t y p e s o f p u b l i c n e t w o r k s .

1 . 1 S i t u a t i o n o f t h e p r o b l e m

T h e m o d e l i n g a p p r o a c h p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r s e e m s r e l e v a n t i n t w o r e s e a r c h

d o m a i n s : s t r a t e g i c p l a n n i n g a n d e c o n o m i c a l m o d e l i n g o f t e l e c o m m u n i c a t i o n s

n e t w o r k . W e r s t b r i e y s u r v e y t h e s h o r t c o m i n g s o f c u r r e n t m e t h o d o l o g y i n

t h e s e d o m a i n s a n d t h e n e x p l a i n w h y o u r a p p r o a c h s h o u l d i m p r o v e e x i s t i n g

p r a c t i c e .

1 . 1 . 1 C u r r e n t m e t h o d s f o r s t r a t e g i c p l a n n i n g

C u r r e n t s t r a t e g i c p l a n n i n g m e t h o d s u s e a d e t a i l e d g e o g r a p h i c a l d e s c r i p t i o n

o f t h e n e t w o r k b o t h f o r t h e p r e s e n t a n d f o r t h e f u t u r e . T h e d e s c r i p t i o n o f t h e

f u t u r e r e s u l t s f r o m a n e x t r a p o l a t i o n o f t h e c u r r e n t n e t w o r k s t a t e f o r a f e w

e v o l u t i o n s c e n a r i o s . T o m e e t t h e f o r e c a s t d e m a n d , s t r a t e g i c p l a n n i n g h a s t o

c h o o s e b e t w e e n a f e w p o t e n t i a l a r c h i t e c t u r e s . T h e i r c o s t s a n d p e r f o r m a n c e s

a r e e v a l u a t e d v i a d e t a i l e d c a l c u l a t i o n s o f f u t u r e n e t w o r k c o n g u r a t i o n s . T h e

2


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a n a l y t i c a l r e s u l t s , s y n t h e s i z e d i n t o d i s c r i m i n a t i n g i n d i c a t o r s , h e l p t o c h o o s e

t h e b e s t a r c h i t e c t u r e a m o n g t h o s e t e s t e d . T h i s p r o c e s s u s u a l l y r e q u i r e s t h e

d e v e l o p m e n t o f s p e c i c s o f t w a r e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m s a d a p t e d t o e a c h n e t -

w o r k a r c h i t e c t u r e .

T h i s a p p r o a c h u s e s a c o n s i d e r a b l e a m o u n t o f p a r a m e t e r s o u t o f w h i c h o n l y

s o m e s t a t i s t i c a l c h a r a c t e r i s t i c s a r e a c t u a l l y r e l e v a n t f o r s t r a t e g i c p l a n n i n g .

B u t t h e c l a s s i c a l a n a l y t i c a l n e t w o r k m o d e l s a r e n o t m e a n t t o i d e n t i f y s u c h

s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s , w h i c h c a n o n l y b e e m p i r i c a l l y p e r c e i v e d b y e x p e r t s .

A s s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s a r e n o t f o r m a l l y i d e n t i e d , t h e s e n s i t i v i t y o f

s t r a t e g i c p l a n n i n g c h o i c e s t o i n p u t d a t a a n d h y p o t h e s i s c a n o n l y b e e v a l u a t e d

o n e m p i r i c a l g r o u n d s . I t i s i n p a r t i c u l a r i m p o s s i b l e , w i t h t h i s m e t h o d o l o g y ,

t o k n o w t o w h a t e x t e n d t h e c o n c l u s i o n s o f a s t u d y s t a y v a l i d f o r d i e r e n t

n e t w o r k s , d i e r e n t e v o l u t i o n s c e n a r i o s o r d i e r e n t c o s t s o r p e r f o r m a n c e s h y -

p o t h e s i s .

1 . 1 . 2 N e t w o r k m o d e l i n g f o r e c o n o m e t r i c a l a n a l y s i s

T h e e c o n o m e t r i c s o f t e l e c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s a r e b a s e d o n g l o b a l s t a t i s -

t i c s o n t h e n e t w o r k a n d t h e d e m a n d . U n t i l n o w , o n e i s n o t r e a l l y a b l e t o

i n t e g r a t e t h e s p a t i a l c h a r a c t e r i s t i c s o f n e t w o r k s . T h e p r o d u c t i o n a n d c o s t o f

t h e e s s e n t i a l n e t w o r k f u n c t i o n w h i c h c o n s i s t s i n c o n n e c t i n g p a i r s o f d i s t a n t

s u b s c r i b e r s , i s n o t i d e n t i e d . A n o t h e r s p e c i c i t y o f n e t w o r k s i s t h e i r a b i l i t y

t o s h a r e t h e r e s o u r c e s n e e d e d t o s e r v e d i e r e n t c o n n e c t i o n s r e q u e s t s . O p e r a -

t i o n R e s e a r c h m e t h o d s , a p p l i e d t o n e t w o r k d e s i g n p r o b l e m s , m o d e l c o r r e c t l y

t h e s e s p a t i a l c h a r a c t e r i s t i c s , b u t o n l y o n d e t a i l e d g e o g r a p h i c a l n e t w o r k d e -

s c r i p t i o n , a n d h a v e n o t b e e n t r a n s l a t e d i n t o m a c r o s c o p i c l a w s , a l l o w i n g f o r

i n s t a n c e t h e e x p r e s s i o n o f t h e n e t w o r k c o s t f u n c t i o n 4 ] .

1 . 1 . 3 T h e s t o c h a s t i c g e o m e t r y a p p r o a c h

A m a c r o s c o p i c n e t w o r k m o d e l , c a t c h i n g t h e e s s e n t i a l s p a t i a l c h a r a c t e r i s t i c s

o f n e t w o r k s e c o n o m y t h r o u g h a m i n i m u m n u m b e r o f s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s ,

i s t h u s a n i m p o r t a n t r e s e a r c h s u b j e c t . T h e p r o p o s e d a p p r o a c h m o d e l s t h e

s p a c e w h e r e t h e n e t w o r k o p e r a t e s b y s t o c h a s t i c g e o m e t r y m e t h o d s . T h e

o b j e c t i v e s o f t h e m o d e l a r e :

t o l i m i t t h e p a r a m e t e r s t o t h o s e w h i c h d e t e r m i n e t h e n e t w o r k o p t i m a l

a r c h i t e c t u r e ;

3


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t o p r o v i d e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r c o s t s o r p e r f o r m a n c e i n d i c a t o r s , i n

t e r m s o f t h e s e p a r a m e t e r s ; s u c h e x p r e s s i o n s c o n s t i t u t e t h e n t h e n e t w o r k

p r o d u c t i o n f u n c t i o n a n d l e a d t o m o r e e c i e n t c o m p a r i s o n s b e t w e e n

s t r a t e g i c a l t e r n a t i v e s ;

t o i n t e g r a t e n a t u r a l c o n s t r a i n t s o n t h e s p a t i a l r e p a r t i t i o n o f n e t w o r k

e l e m e n t s .

T h e b a s i c p r i n c i p l e c o n s i s t s i n a s t o c h a s t i c m o d e l o f t h e s p a t i a l c h a r a c t e r i s -

t i c s . T h e n e t w o r k d e s c r i p t i o n i s r e d u c e d t o t h e p a r a m e t e r s o f t h e s t o c h a s t i c

p r o c e s s e s a n d t h e d e c i s i o n v a r i a b l e s a r e f u n c t i o n a l s o f t h e s e p r o c e s s e s : t h e

c o m p a r i s o n b e t w e e n d e c i s i o n v a r i a b l e s i s t h e n b a s e d o n t h e p a r a m e t e r s o f t h e

s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . B y t h i s w a y , t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n o f t e l e c o m m u n i -

c a t i o n s e r v i c e s c a n b e a n a l y t i c a l l y e x p r e s s e d .

2 S t o c h a s t i c m o d e l i n g

T h e s p a t i a l s t r u c t u r e s o b s e r v e d i n c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s a r e u s u a l l y f a r

f r o m b e i n g r e g u l a r . F o r e x a m p l e , t h e z o n e s s e r v e d b y t e l e p h o n e c o n c e n t r a t o r s

o r t h e c e l l s h a n d l e d b y b a s e s t a t i o n s i n m o b i l e c o m m u n i c a t i o n s a r e f a r f r o m

t h e r e g u l a r h e x a g o n a l s h a p e w h i c h i s o f t e n t a k e n a s a r e f e r e n c e m o d e l .

I g n o r i n g t h e s e s t r u c t u r a l u c t u a t i o n s o f t h e g e o m e t r i c o b j e c t s m a y c a u s e

i m p o r t a n t b i a s o n t h e e v a l u a t i o n o f k e y s y s t e m c h a r a c t e r i s t i c s .

T h e s t o c h a s t i c m o d e l w h i c h w e p r o p o s e i n t h e p r e s e n t p a p e r a l l o w s o n e

t o t a k e t h e s e u c t u a t i o n s i n t o a c c o u n t . I t i s b a s e d o n a r e p r e s e n t a t i o n o f

t h e m a i n o b j e c t s o f t h e t e l e c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k ( s u b s c r i b e r s , s t a t i o n s ,

c a b l e s , m o b i l e s ) a s a r e a l i z a t i o n o f a f a m i l y o f s t o c h a s t i c p r o c e s s e s b e l o n g i n g

t o s i m p l e p a r a m e t r i c c l a s s e s .

I n w h a t f o l l o w s , w e r s t i n t r o d u c e a b a s i c c e l l m o d e l a n d s h o w t h a t s o m e

o f t h e k e y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e n e t w o r k c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f s i m p l e

f u n c t i o n a l s o f t h e s e p r o c e s s e s . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , w e w i l l s h o w h o w

t h e s e c h a r a c t e r i s t i c s c a n b e a n a l y t i c a l l y e v a l u a t e d .

2 . 1 T h e b a s i c c e l l m o d e l

T h e s i m p l e s t p r o b a b i l i s t i c m o d e l o f a t e l e p h o n e n e t w o r k i s t h a t w i t h a s i n g l e

h i e r a r c h i c a l l e v e l .

4


5/24

T h e s u b s c r i b e r s a n d t h e s t a t i o n s a r e r e p r e s e n t e d t h r o u g h t h e i r c o o r d i -

n a t e s i n t h e p l a n e R

2

. E a c h s t a t i o n s e r v e s s u b s c r i b e r s l o c a t e d i n a c e r t a i n

a r e a . E q u i v a l e n t l y , t h e p l a n e i s s u b - d i v i d e d i n t o c e l l s , e a c h o f w h i c h i s s e r v e d

b y a u n i q u e s t a t i o n .

I n t h i s p a p e r , w e t a k e t h e a s s u m p t i o n t h a t s u b s c r i b e r s a r e s e r v e d b y t h e

t h e i r c l o s e s t s t a t i o n ; t h e y a r e l i n k e d t o t h i s s t a t i o n , e i t h e r b y a c a b l e o r b y a

r a d i o c h a n n e l a s i n m o b i l e c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s .

T h u s t h e c e l l s e r v e d b y a s t a t i o n x

i

i s a c o n v e x p o l y g o n C

i

k n o w n a s

t h e V o r o n o i c e l l w i t h n u c l e u s x

i

, c o n s t r u c t e d w i t h r e s p e c t t o t h e s e t f x

j

g o f

s t a t i o n s . T h e V o r o n o i c e l l C

i

i s t h e i n t e r s e c t i o n o f h a l f p l a n e s H

i j

b o u n d e d

b y t h e b i s e c t o r s o f t h e s e g m e n t s x

i

; x

j

] a n d c o n t a i n i n g x

i

. T h e s y s t e m o f

a l l t h e c e l l s c r e a t e s a t e s s e l l a t i o n o f t h e p l a n e c a l l e d t h e V o r o n o i t e s s e l l a t i o n

( s e e F i g u r e 1 ) .

T h e m a i n i d e a o f o u r s t o c h a s t i c m o d e l i n g c o n s i s t s i n c o n s i d e r i n g t h e c o n -

g u r a t i o n o f t h e s u b s c r i b e r s a n d t h e s t a t i o n s a s r e a l i z a t i o n s o f s t o c h a s t i c

p o i n t p r o c e s s e s . I n m a n y a p p l i c a t i o n s t h e s e p r o c e s s e s c a n b e t a k e n i n d e p e n -

d e n t a n d P o i s s o n . T h e m a i n a d v a n t a g e o f a P o i s s o n p r o c e s s i s i t s s i m p l i c i t y .

T h e d i s t r i b u t i o n o f a P o i s s o n p r o c e s s i s c o m p l e t e l y d e n e d t h r o u g h t h e

i n t e n s i t y m e a s u r e r e p r e s e n t i n g t h e m e a n d e n s i t y o f p o i n t s . M o r e a c c u -

r a t e l y , t h e n u m b e r o f t h e p r o c e s s p o i n t s i n a B o r e l s e t B f o l l o w s t h e P o i s s o n

d i s t r i b u t i o n w i t h t h e p a r a m e t e r ( B ) a n d t h e n u m b e r o f p o i n t s i n d i s j o i n t

B o r e l s u b s e t s a r e i n d e p e n d e n t . A n a t u r a l t e c h n i c a l a s s u m p t i o n i s t h a t t h e

m e a s u r e i s l o c a l l y n i t e , e . g . ( B ) > 1 , w h i c h r e e c t s t h e

p o l i c y t o s e t m o r e s t a t i o n s i n t h e p l a c e s w h e r e t h e r e a r e m o r e s u b s c r i b e r s .

T h e b o u n d a r i e s o f t h e V o r o n o i c e l l s w h i c h n o w b e c o m e a r a n d o m c l o s e d

s e t , h a v e L e b e s g u e m e a s u r e 0 . I f t h e i n t e n s i t y m e a s u r e s a r e d i u s e , i . e .

t h e y h a v e d e n s i t y w i t h r e s p e c t t o t h e L e b e s g u e m e a s u r e , e a c h

0

- p o i n t ( e a c h

s u b s c r i b e r ) l i e s w i t h p r o b a b i l i t y 1 i n a u n i q u e V o r o n o i c e l l c o n s t r u c t e d w i t h

r e s p e c t t o t h e p r o c e s s

1

( i n o t h e r w o r d s , b e l o n g s t o t h e z o n e o f s e r v i c e o f

a u n i q u e s t a t i o n ) . T h e t y p e o f c o n n e c t i o n s b e t w e e n s t a t i o n s a n d b e t w e e n

5


6/24

t h e s t a t i o n a n d i t s s u b s c r i b e r s a r e t h e s u b j e c t o f f u r t h e r s p e c i c a t i o n . F o r

e x a m p l e , t h e s t a t i o n s c a n b e d i r e c t l y l i n k e d i f t h e i r c e l l s a r e n e i g h b o u r s i n

t h e V o r o n o i t e s s e l l a t i o n . I n t h i s c a s e , t h e s e l i n k s f o r m t h e s o c a l l e d D e l a u n a y

t r i a n g u l a t i o n . A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t o c o n n e c t d i r e c t l y a l l t h e s t a t i o n s w i t h i n

a s p e c i e d d i s t a n c e R . S i m i l a r l y , t h e s u b s c r i b e r s c a n b e c o n n e c t e d t o t h e i r

s t a t i o n e i t h e r v i a d i r e c t c a b l e s r e p r e s e n t e d b y s e g m e n t s ( s t a r n e t w o r k ) , o r

v i a i n t e r m e d i a t e c o n c e n t r a t o r s ( m u l t i - l e v e l h i e r a r c h i c a l n e t w o r k a s d e s c r i b e d

i n t h e n e x t s e c t i o n ) , o r b y s o m e s p a n n i n g g r a p h , o r b y s o m e m i x t u r e o f t h e s e

a r c h i t e c t u r e s .

A t y p i c a l c o n g u r a t i o n o f t h e d e s c r i b e d m o d e l i n t h e h o m o g e n e o u s s t a r

n e t w o r k c a s e i s s h o w n i n F i g u r e 1 .

H e r e a r e t h e m a i n d i s t r i b u t i o n s o f i n t e r e s t f o r t h i s m o d e l :

t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e g e o m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e c e l l s ; e . g . t h e

s u r f a c e , t h e b o u n d a r y l e n g t h , t h e n u m b e r o f a d j a c e n t c e l l s e t c . ;

t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f s u b s c r i b e r s w i t h i n a c e l l ;

t h e t o t a l l e n g t h o f c o n n e c t i o n s b e t w e e n s u b s c r i b e r s a n d t h e s t a t i o n t o

w h i c h t h e y a r e c o n n e c t e d ;

t h e d i s t r i b u t i o n o f g e o m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e c o n n e c t i o n s b e t w e e n

t h e s t a t i o n s .

2 . 2 H i e r a r c h i c a l m o d e l

R e a l t e l e c o m m u n i c a t i o n s n e t w o r k s h a v e c o m p l i c a t e d s t r u c t u r e s , w h e r e t h e

s t a t i o n s p l a y d i e r e n t r o l e s d e p e n d i n g o n t h e i r l e v e l o f h i e r a r c h y .

H e r e w e u s e t h e t e r m s t a t i o n s i n a b r o a d s e n s e , i n c l u d i n g f o r i n s t a n c e t h e

c o n c e n t r a t i o n n o d e s w h e r e c a b l e s m e e t . T h e l e v e l o f a s t a t i o n c o r r e s p o n d s

m o r e o r l e s s t o t h e m i n i m a l n u m b e r o f s t a t i o n s s t a n d i n g b e t w e e n t h i s s t a t i o n

a n d a n e t w o r k s u b s c r i b e r . W e w i l l c a l l 0 - l e v e l s t a t i o n s t h e s u b s c r i b e r s t h e m -

s e l v e s . T h e 1 - s t l e v e l s t a t i o n s a r e t h e s t a t i o n s d i r e c t l y c o n n e c t e d t o 0 - l e v e l

s t a t i o n s . T h e 2 - n d l e v e l s t a t i o n s s e r v e t h e 1 - s t l e v e l s t a t i o n s t o w h i c h t h e y

a r e d i r e c t l y c o n n e c t e d e t c . T h e h i e r a r c h i c a l s t r u c t u r e o f e x i s t i n g s y s t e m s

i s w e l l s e e n i n t h e f o l l o w i n g c h a i n : s u b s c r i b e r s , d i s t r i b u t i o n p o i n t s , r e m o t e

d i s t r i b u t i o n p o i n t s , r e m o t e c o n c e n t r a t o r s , l o c a l e x c h a n g e e t c . , t h o u g h i n r e -

a l i t y i t i s r a r e l y o b s e r v e d i n a p u r e f o r m . N e v e r t h e l e s s , t h e f o l l o w i n g m o d e l

6


7/24

0

W(0)

S t a t i o n s

S u b s c r i b e r s

C a b l e s

C e l l b o u n d a r i e s

F i g u r e 1 : T h e B a s i c m o d e l w i t h a s i n g l e h i e r a r c h i c a l l e v e l o f s t a t i o n s ( t h e

c o n n e c t i o n s b e t w e e n s t a t i o n s a r e n o t s p e c i e d )

7


8/24

s e e m s r e a s o n a b l e a s t h e r s t a p p r o a c h t o t h e d e s c r i p t i o n o f s u c h m u l t i - l e v e l

s y s t e m s .

I n t h i s m o d e l t h e r e a r e N l e v e l s o f s t a t i o n s , w h e r e N c a n t a k e a n y i n t e g e r

v a l u e . T h e c a s e N = 1 i s n o t e x c l u d e d . T h e s t a t i o n s o f l e v e l i a r e r e p r e -

s e n t e d b y a r e a l i z a t i o n o f a h o m o g e n e o u s P o i s s o n p r o c e s s

i

. T h e p r o c e s s e s

0

;

1

; : : : ;

N

a r e s u p p o s e d t o b e i n d e p e n d e n t w i t h d e c r e a s i n g i n t e n s i t i e s :

0

>

1

> : : : >

N

E x c e p t f o r s t a t i o n s o f l e v e l N , i n t h e p u r e h i e r a r c h i c a l m o d e l , s t a t i o n s

w i t h t h e s a m e l e v e l h a v e n o d i r e c t c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e m . A s i n t h e b a s i c

m o d e l t h e s t a t i o n s o f l e v e l j ( j = 0 ; : : : ; N ? 1 ) a r e c o n n e c t e d t o t h e i r c l o s e s t

s t a t i o n s o f l e v e l j + 1 . T h e s t r u c t u r e o f t h e b a s i c m o d e l r e p e a t s i t s e l f a t

e a c h l e v e l : t h e c e l l s o f t h e s t a t i o n s o f l e v e l j f o r m t h e V o r o n o i t e s s e l l a t i o n

o f t h e p l a n e w i t h r e s p e c t t o t h e p r o c e s s

j

a n d t h e s t a t i o n s o f l e v e l j ? 1

c o n t a i n e d i n a c e l l o f a s t a t i o n x

( j )

o f l e v e l j a r e d i r e c t l y c o n n e c t e d t o t h e

l a t t e r . T h a n k s t o t h a t s i m i l a r i t y , t h e m a i n c h a r a c t e r i s t i c s o f t h i s m o d e l c a n

b e e x p r e s s e d b y t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e b a s i c m o d e l .

F i g u r e 2 s h o w s a t y p i c a l c o n g u r a t i o n o f a h i e r a r c h i c a l s t a r n e t w o r k

m o d e l .

2 . 3 M o d e l i n g r e q u e s t s f o r c o m m u n i c a t i o n s

T h e s i m p l e s t m o d e l o f r e q u e s t s i s b a s e d o n t h e h i e r a r c h i c a l c e l l m o d e l . F i x

t h e c o n g u r a t i o n s o f a l l p r o c e s s e s

i

= f x

( i )

1

; x

( i )

2

; : : : g i = 0 ; 1 ; : : : ; N ;

a n d d e n o t e b y f V

( i )

( x

( i )

k

) g

1

k = 1

t h e V o r o n o i c e l l o f s t a t i o n x

( i )

k

o f l e v e l i , w i t h

r e s p e c t t o t h e p r o c e s s

i

. F o r a l m o s t a l l x 2 R

2

t h e r e e x i s t s a u n i q u e c e l l

V

( i )

( x ) ( a c e l l o f l e v e l i ) w h i c h c o n t a i n s x . L e t n

( i )

( x ) d e n o t e i t s n u c l e u s , i . e .

t h e i - l e v e l s t a t i o n w h i c h i s t h e c l o s e s t t o x

I n o u r m o d e l , a s t a t i o n o f l e v e l i c a l l s a s t a t i o n o f a l e v e l j l o c a t e d a t t h e

d i s t a n c e r o f i t w i t h i n t e n s i t y f

i j

( r ) , i n d e p e n d e n t l y o f a l l o t h e r s t a t i o n s a n d

o f o n g o i n g c o m m u n i c a t i o n s . T h e c o n d i t i o n s

N

X

j = 0

Z

1

0

r f

i j

( r ) d r


9/24

F i g u r e 2 : H i e r a r c h i c a l s t a r n e t w o r k m o d e l w i t h 3 l e v e l s o f s t a t i o n s .

9


10/24

W e n o w d e s c r i b e t h e c i r c u i t s w i t c h i n g s c h e m e . G i v e n t h e a v a i l a b i l i t y o f

t h e r e q u i r e d r e s o u r c e s , a c o m m u n i c a t i o n r e q u e s t f r o m x

( i )

t o x

( j )

i s r o u t e d

a s f o l l o w s . L e t h = h ( x

( i )

; x

( j )

) b e t h e m i n i m a l h i e r a r c h y l e v e l s u c h t h a t

V

( h )

( x

( i )

) = V

( h )

( x

( j )

) o r h = N i f t h e r e i s n o s u c h i . T h e c o m m u n i c a t i o n i s

e s t a b l i s h e d v i a d i r e c t l i n k s f r o m x

( i )

t o n

( i + 1 )

( x

( i )

) , t h e n f r o m n

( i + 1 )

( x

( i )

) t o

n

( i + 2 )

( x

( i )

) e t c . , t o n

( h )

( x

( i )

) ; a f t e r t h a t v i a l i n k s f r o m n

( h )

( x

( i )

) t o n

( h )

( x

( j )

)

( v i a c o n n e c t i o n s b e t w e e n s t a t i o n s o f t h e h i g h e s t l e v e l N i f h = N ) a n d n a l l y

v i a l i n k s f r o m n

( h )

( x

( j )

) t o n

( h ? 1 )

( x

( j )

) , e t c . a n d f r o m n

( j + 1 )

( x

( j )

) t o x

( j )

I n

t h e c a s e w h e n V

( h )

( x

( i )

) = V

( h )

( x

( j )

) f o r a c e r t a i n h , t h e r e e x i s t s a u n i q u e

r o u t e o f t h e d e s c r i b e d f o r m b e t w e e n x

( i )

a n d x

( j )

. T h e v a r i a b l e h w i l l b e

c a l l e d t h e h e i g h t o f c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n x

( i )

a n d x

( j )

2 . 4 M o b i l e c o m m u n i c a t i o n s

W i r e l e s s c o m m u n i c a t i o n s y s t e m s c a n b e i n t e g r a t e d w i t h i n o u r f r a m e w o r k b y

a d d i n g :

1 . a m o d e l f o r t h e r o a d s y s t e m ;

2 . a m o d e l o f t r a c o n t h e r o a d s ;

3 . a m o d e l f o r t h e r a d i o c o m m u n i c a t i o n h a n d l i n g ( a l l o c a t i o n , c a p t u r i n g ,

r e l e a s e , h a n d o v e r ) .

T h e b a s i c m o d e l c a n b e u s e d a s f o l l o w s : t h e e m i s s i o n / r e c e p t i o n s t a t i o n s

( a n t e n n a s ) a r e r e p r e s e n t e d b y a p o i n t p r o c e s s ( e q u i v a l e n t t o t h e r s t l e v e l

s t a t i o n s ) w i t h r e s p e c t t o w h i c h a r a n d o m p r o c e s s o f r a d i o t e l e p h o n e u s e r s

p l a y s t h e s a m e r o l e a s t h e p r o c e s s o f x e d s u b s c r i b e r s i n t h e b a s i c m o d e l .

I n c o n t r a s t , o n e o f t h e m a i n p e c u l i a r i t i e s o f m o b i l e c o m m u n i c a t i o n s y s t e m s

i s t h e p h e n o m e n o n o f h a n d o v e r w h i c h c o n s i s t s i n r e r o u t i n g t h e c a l l w h e n a

m o b i l e w i t h c o m m u n i c a t i o n i n p r o g r e s s m o v e s f r o m o n e c e l l t o a n o t h e r .

A s a m o d e l f o r t h e r o a d s y s t e m , w e p r o p o s e t h e s o - c a l l e d P o i s s o n l i n e

p r o c e s s , w h e r e e a c h l i n e i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s :

p i s t h e d i s t a n c e f r o m t h e l i n e t o t h e o r i g i n , t a k e n p o s i t i v e i f t h e l i n e i s

a b o v e 0 a n d n e g a t i v e o t h e r w i s e ( f o r v e r t i c a l l i n e s , p i s t h e a b s c i s s a o f

t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t o f t h e l i n e w i t h t h e a b s c i s s a a x i s ) .

( 0 < ) i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e l i n e a n d t h e a b s c i s s a a x i s

( i n c l i n a t i o n ) ;

1 0


11/24

i s t h e t y p e o f t h e r o a d r e p r e s e n t e d b y t h e l i n e ( h i g h w a y , o n e - w a y

r o a d , e t c . ) ;

i s t h e p a r a m e t e r d e n i n g t h e t r a c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e r o a d .

T h e r o a d s y s t e m i s m o d e l e d b y a r e a l i z a t i o n o f a P o i s s o n p r o c e s s i n t h e

p h a s e s p a c e R 0 ; ) S T , w h e r e t h e p a r t E = R 0 ; ) S r e p r e s e n t s

t h e p o s i t i o n a n d t h e t y p e o f t h e r o a d a n d T i s t h e s p a c e o f t r a c p a r a m e t e r s

o n a r o a d , i . e . t h e p a r a m e t e r s a l l o w i n g o n e t o c h a r a c t e r i z e t h e p o s i t i o n s a n d

t h e v e l o c i t i e s o f t h e v e h i c l e s o n a r o a d .

I n t h e h o m o g e n e o u s c a s e ( i . e . w h e n t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e p r o c e s s i s l e f t

i n v a r i a n t b y s h i f t s i n t h e p l a n e ) , t h e i n t e n s i t y m e a s u r e t a k e s t h e f o r m :

r

d p O ( d ) Q ( ; d ) T ( ; ; d ) ;

w h e r e

r

i s t h e d e n s i t y o f r o a d s ,

t h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e O ( d ) o n 0 ; ) g i v e s t h e o r i e n t a t i o n d i s t r i b u -

t i o n o f a t y p i c a l r o a d ,

Q ( ; d ) i s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e t y p e o f a r o a d h a v i n g i n c l i n a t i o n ,

T ( ; ; d ) i s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e t r a c p a r a m e t e r s o n a r o a d o f

t y p e a n d i n c l i n a t i o n

I f t h e o r i e n t a t i o n d i s t r i b u t i o n O i s u n i f o r m , w e o b t a i n a n i s o t r o p i c r o a d

m o d e l . I f , i n c o n t r a s t , O h a s t w o a t o m s f 0 g a n d f = 2 g , w e o b t a i n t h e M a n -

h a t t a n t y p e m o d e l , w h e r e t h e m a s s e s o f t h e a t o m s r e p r e s e n t t h e f r e q u e n c i e s

o f t h e r o a d s i n e a c h d i r e c t i o n .

U s i n g m e a s u r e Q , o n e c a n t a k e i n t o a c c o u n t d i e r e n t c h a r a c t e r i s t i c s o n

r o a d s o f d i e r e n t d i r e c t i o n s ( i n M a n h a t t a n t h e a v e n u e s a r e l a r g e r t h a n t h e

s t r e e t s )

T h e s i m p l e s t t r a c m o d e l o n a r o a d i s a P o i s s o n m a r k e d p r o c e s s . F o r

e a c h r o a d D

i

= ( p

i

;

i

;

i

) o f t h e l i n e p r o c e s s , l e t x

( i )

d e n o t e t h e l o c a l c o o r -

d i n a t e s a n d c o n s i d e r a s e t o f i n d e p e n d e n t P o i s s o n p r o c e s s e s a s s o c i a t e d w i t h

t h e l i n e s o f t h e p r o c e s s . T h e p r o c e s s

i

o n a x e d l i n e D

i

i s d e n e d o n

t h e p h a s e s p a c e R R a n d d r i v e n b y t h e i n t e n s i t y m e a s u r e

( i )

t

d x

( i )

V

( i )

( d v )

1 1


12/24

H e r e t h e p a r a m e t e r

( i )

t

g i v e s t h e d e n s i t y o f t h e t r a c a n d V

( i )

( d v ) i s t h e

v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n o f a t y p i c a l v e h i c l e ( w h i c h c a n b e p o s i t i v e o r n e g a t i v e

w i t h r e s p e c t t o t h e l o c a l c o o r d i n a t e s ) . A l l t h e s e p a r a m e t e r s d e p e n d o n t h e

i n c l i n a t i o n a n d t h e t y p e o f t h e r o a d D

i

. A r e a l i z a t i o n o f t h i s p r o c e s s h a s t h e

f o l l o w i n g f o r m

i

( 0 ) =

X

j

( x

( i )

j

; v

j

)

;

w h e r e t h e r s t t e r m g i v e s t h e p o s i t i o n o f t h e j - t h v e h i c l e a t a x e d t i m e , s a y ,

0 a n d t h e s e c o n d o n e g i v e s i t s v e l o c i t y . A f t e r a t i m e t t h e p r o c e s s b e c o m e s

i

( t ) =

X

j

( x

( i )

j

+ v

j

t ; v

j

)

A n i m p o r t a n t p r o p e r t y o f a h o m o g e n e o u s P o i s s o n p r o c e s s i s t h a t t h e d i s t r i -

b u t i o n o f t h e p r o c e s s

i

( t ) c o i n c i d e s w i t h t h a t o f

i

( 0 ) ( t h i s r e s u l t i s k n o w n

a s B a r l e t t ' s T h e o r e m ( c f 7 ] , p p . 5 9 - 6 0 a n d 4 9 ] ) .

W h e n u s i n g t h i s t r a c m o d e l , o n e c a n t a k e f o r s p a c e T t h e s p a c e o f

c o u n t i n g m e a s u r e s o n R

2

. T h e n T ( ; ; ) i s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e P o i s s o n

p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y m e a s u r e

t

( ; ) d x V ( ; ) ( d v ) ( i n t h e p r e v i o u s n o t a -

t i o n s

t

(

i

;

i

) =

( i )

t

a n d V (

i

;

i

) ( d v ) = V

( i )

( d v ) ) . F o r t h i s m o d e l , h e r e a r e

t h e m o s t i m p o r t a n t d i s t r i b u t i o n s o f i n t e r e s t :

t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f v e h i c l e s i n a x e d c e l l ;

t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f c e l l b o u n d a r y c r o s s i n g s i n a s p e c i e d

t i m e u n i t ( t h e h a n d o v e r e e c t e x p l a i n e d e a r l i e r ) ;

t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e s o j o u r n t i m e o f a t y p i c a l v e h i c l e i n a c e l l e t c .

3 A n a l y t i c a l r e s u l t s

3 . 1 B a s i c c e l l m o d e l

R a n d o m V o r o n o i a n d D e l a u n a y t e s s e l l a t i o n s a r e w e l l k n o w n o b j e c t s i n s t o c h a s -

t i c g e o m e t r y . T h e r s t t w o m o m e n t s o f t h e d i s t r i b u t i o n s o f t h e m a i n g e o -

m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c s c a n b e f o u n d , e . g . i n 1 0 ] , 8 ] .

F r o m t h i s , o n e o b t a i n s t h e m o m e n t s o f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e s u r f a c e

o f a t y p i c a l c e l l , i t s p e r i m e t e r e t c . A t y p i c a l c e l l h e r e m e a n s t h e c e l l o f a

1 2


13/24

s t a t i o n " c h o s e n a t r a n d o m " a m o n g a l l t h e s t a t i o n s o f

1

. A n a p p r o p r i a t e

m a t h e m a t i c a l d e n i t i o n i s p r o v i d e d b y P a l m t h e o r y . B y t h e e r g o d i c t h e o r e m

( c f . 5 ] , p . 4 8 5 ) , t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f s o m e c h a r a c t e r i s t i c Z o f a p o i n t ,

o b t a i n e d t h r o u g h a n o b s e r v a t i o n o f t h e p r o c e s s i n a l a r g e s q u a r e ( w i n d o w )

o f s i z e R , c o n v e r g e s a s R g r o w s t o i n n i t y , t o t h e P a l m d i s t r i b u t i o n o f t h a t

c h a r a c t e r i s t i c . O n t h e o t h e r h a n d , S l i v n y a k ' s T h e o r e m ( c f . 1 1 ] , p p . 1 1 4

1 1 5 ] ) s t a t e s t h a t t h e P a l m d i s t r i b u t i o n o f Z c o i n c i d e s w i t h t h e d i s t r i b u t i o n

o f t h e c h a r a c t e r i s t i c Z o f p o i n t 0 , w h e r e t h e p o i n t a t 0 i s a d d e d t o e a c h

c o n g u r a t i o n o f t h e h o m o g e n e o u s P o i s s o n p r o c e s s . T h e V o r o n o i c e l l o f p o i n t

0 i s d e n o t e d C

0

M a n y i n t e r e s t i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f a t y p i c a l

1

- p o i n t ( s t a t i o n ) f a l l i n t o

t h e f o l l o w i n g c l a s s o f f u n c t i o n a l s :

S

f

d e f

=

X

x

i

2

0

f ( x

i

) 1 f x

i

2 C

0

g ;

w h e r e f ( x ) : R

2

7! R

+

i s a g i v e n n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n . O f t e n i n p r a c t i c e t h e

f u n c t i o n f ( x ) d e p e n d s o n l y o n t h e d i s t a n c e j x j a n d h a s t h e f o r m f ( x ) = D j x j

f o r s o m e n o n - n e g a t i v e p a r a m e t e r s ; D

T h e m o s t i n t e r e s t i n g c a s e s a r e :

N , t h e n u m b e r o f

0

- p a r t i c l e s ( s u b s c r i b e r s ) i n a t y p i c a l c e l l ( h e r e =

0 ; D = 1 ) ;

L , t h e s u m o f t h e d i s t a n c e s b e t w e e n a l l

0

- p a r t i c l e s ( s u b s c r i b e r s ) i n a

t y p i c a l c e l l a n d i t s n u c l e u s ( t h e i r c o r r e s p o n d i n g s t a t i o n ) .

T h e v a r i a b l e L c o r r e s p o n d s t o t h e v a l u e s = 1 ; D = 1 a n d g i v e s a n e s t i m a t e

o f t h e t o t a l c a b l e l e n g t h f o r c o n n e c t i n g s u b s c r i b e r s t o s t a t i o n s . A b e t t e r

e s t i m a t e t o t h e t o t a l c a b l e l e n g t h c a n b e o b t a i n e d b y a d j u s t i n g t h e p a r a m e t e r

r e l a t i n g t h e g e o g r a p h i c d i s t a n c e t o t h e c o r r e s p o n d i n g c a b l e l e n g t h ; t h i s

p a r a m e t e r c a n b e e s t i m a t e d t h r o u g h t h e a n a l y s i s o f r e a l d a t a .

I n t h e r e s t o f t h i s s u b s e c t i o n , w e p r e s e n t a n a l y t i c a l r e s u l t s o b t a i n e d i n

6 ] .

T h e o r e m 1 L e t f ; f

1

a n d f

2

b e n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n s d e n e d o n R

2

f o r

w h i c h t h e i n t e g r a l s b e l o w e x i s t . T h e n

( i ) E S

f

=

0

Z

f ( x ) e

?

1

x

2

d x ; ( 1 )

1 3


14/24

( i i ) c o v ( S

f

1

; S

f

2

) =

0

Z

f

1

( x ) f

2

( x ) e

?

1

x

2

d x

+

2

0

Z Z

f

1

( x

1

) f

2

( x

2

) e

?

1

A ( x

1

; x

2

)

? e

?

1

( x

1

2

+ x

2

2

)

] d x

1

d x

2

; ( 2 )

w h e r e A ( x

1

; x

2

) i s t h e a r e a o f t h e u n i o n o f t w o d i s c s o f r a d i i x

1

a n d x

2

c e n t e r e d

i n x

1

; x

2

, r e s p e c t i v e l y .

I n p a r t i c u l a r , t h e r s t t w o m o m e n t s o f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e v a r i a b l e s N

a n d L a r e g i v e n b y :

E N =

0

1

( 3 )

E L =

0

2

3 = 2

1

( 4 )

v a r N =

0

1

+ 0 2 8 0

2

0

2

1

( 5 )

v a r L =

0

2

1

+ 0 1 4 7

2

0

3

1

( 6 )

c o v ( N ; L ) =

0

2

3 = 2

1

+ 0 1 9 7

2

0

5 = 2

1

( 7 )

T h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m i s b a s e d o n t h e P a l m t h e o r y o b s e r v a t i o n s , i n

p a r t i c u l a r , o n C a m p b e l l ' s T h e o r e m ( c f . 1 1 ] , p . 9 9 ) .

T h e n e x t r e s u l t c o n c e r n s t h e t a i l d e c a y o f t h e d i s t r i b u t i o n o f S

f

, w h e n

f ( x ) = D j x j

. I t i s b a s e d o n l a r g e d e v i a t i o n t e c h n i q u e s .

T h e o r e m 2 T h e r e e x i s t p o s i t i v e c o n s t a n t s A

1

; A

2

; C

1

a n d C

2

d e p e n d i n g o n

0

a n d

1

o n l y , s u c h t h a t f o r a l l p o s i t i v e x

A

1

x

? 1 = ( 2 + )

e x p ( ? C

1

x

2 = ( 2 + )

) x g < A

2

e x p ( ? C

2

x

2 = ( 2 + )

) ( 8 )

I n p a r t i c u l a r , f o r a l l n 2 N ,

( 1 + 4

1

=

0

)

? n


15/24

T h e c o n s t a n t s A

i

; C

i

( i = 1 ; 2 ) a r e t h e u n i q u e s o l u t i o n s o f c e r t a i n e q u a -

t i o n s . I n t h e l i m i t i n g c a s e , w h e n

d e f

=

1

=

0

v a n i s h e s , t h e d e c a y r a t e c o n -

s t a n t s C

i

b e c o m e :

C

1

=

1

2 = ( 2 + )

0

2

2 +

2 D

!

2 = ( 2 + )

( 1 + o ( 1 ) ) ;

C

2

=

1

2 = ( 2 + )

0

2 +

D

!

2 = ( 2 + )

( 1 + o ( 1 ) )

M o r e c o m p l e t e r e s u l t s c a n b e f o u n d i n 6 ] . T h e s e r e s u l t s a r e u s e f u l f o r

s t a t i s t i c a l e s t i m a t i o n o f t h e n u m b e r o f s u b s c r i b e r s a n d t h e t o t a l c a b l e l e n g t h

i n a c e l l .

3 . 2 T r a c i n t h e h i e r a r c h i c a l m o d e l

W e u s e t h e n o t a t i o n s o f S e c t i o n 2 . 3 . R e p l a c i n g t h e p r o c e s s e s

0

a n d

1

b y

i

a n d

i + 1

, o n e o b t a i n s t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e n u m b e r o f s t a t i o n s o f l e v e l

i i n a c e l l o f t h e l e v e l i + 1 a n d t h e l e n g t h o f c a b l e s c o n n e c t i n g t h e m b y u s i n g

t h e r e s u l t s o f t h e S e c t i o n 3 . 1 .

L e t Q ( ) b e t h e p r o b a b i l i t y t h a t t w o x e d p o i n t s o f t h e p l a n e , d i s t a n t o f

, b e l o n g t o t h e s a m e V o r o n o i c e l l o f a t e s s e l l a t i o n c o n s t r u c t e d w i t h r e s p e c t

t o a h o m o g e n e o u s P o i s s o n p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y 1 . S i m p l e s c a l i n g c o n s i d e r -

a t i o n s g i v e t h a t t h e s a m e p r o b a b i l i t y f o r a P o i s s o n p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y

i s Q (

p

) . U s i n g t h e i n d e p e n d e n c e b e t w e e n t h e p r o c e s s e s

0

; : : : ;

N

, w e

o b t a i n t h a t t h e p r o b a b i l i t y H

i j

( r ; h ) t o h a v e a c o m m u n i c a t i o n o f a h e i g h t h

b e t w e e n a s t a t i o n x

( i )

o f l e v e l i a n d a s t a t i o n x

( j )

o f l e v e l j d i s t a n t o f r f r o m

i t , c a n b e e x p r e s s e d b y t h e f o l l o w i n g f o r m u l a e :

H

i j

( r ; h ) =

8

>

:

0 ; i f h < i _ j o r h = i = j < N ;

e x p ( ?

i _ j

r

2

) ; i f h = i _ j < N ; i 6= j ;

1 ; i f h = i _ j = N ;

H

i j

( r ; h ) =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

( 1 ? e x p ( ?

i _ j

r

2

) ) Q ( r

p

h

)

Q

h ? 1

m = i _ j + 1

( 1 ? Q ( r

p

m

) ) ;

i f h = i _ j + 1 ; : : : ; N ? 1 ; i 6= j ;

( 1 ? e x p ( ?

i _ j

r

2

) )

Q

N ? 1

m = i _ j + 1

( 1 ? Q ( r

p

m

) ) ;

i f h = N ; i 6= j ;

1 5


16/24

a n d

H

i i

( r ; h ) =

8

>

:

Q ( r

p

h

)

Q

h ? 1

m = i + 1

( 1 ? Q ( r

p

m

) ) ; i f h = i + 1 ; : : : ; N ? 1 ;

Q

N ? 1

m = i + 1

( 1 ? Q ( r

p

m

) ) ; i f h = N ,

w h e r e i _ j = m a x f i ; j g

T h e t e r m 1 ? e x p ( ?

i _ j

r

2

) a b o v e i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e s t a t i o n

x

( m i n f i ; j g )

o f t h e l o w e r l e v e l d o e s n o t b e l o n g t o t h e c e l l o f t h e s t a t i o n x

( m a x f i ; j g )

o f t h e h i g h e r l e v e l ( t h a t i s a l w a y s t r u e i f i = j ) . T h e o t h e r t e r m s g i v e t h e

p r o b a b i l i t y t h a t t h e l e a s t l e v e l c e l l c o n t a i n i n g t h e t w o s t a t i o n s h a s l e v e l h

T h i s d i s t r i b u t i o n a l l o w s o n e t o e x p r e s s m a n y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m o d e l .

I n 1 ] , t h e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i s t i c s w e r e o b t a i n e d :

T h e m e a n n u m b e r o f c a l l s o f h e i g h t h g i v e n b y a x e d s t a t i o n o f l e v e l

i b y u n i t o f t i m e :

M

i

( h ) = 2

N

X

j = 0

j

Z

+ 1

0

r f

i j

( r ) H

i j

( r ; h ) d r

I n a s y s t e m w i t h o u t c a p a c i t y c o n s t r a i n t s , t h e m e a n n u m b e r o f c o m m u -

n i c a t i o n s o f l e v e l h f o r a s t a t i o n o f l e v e l i :

2

N

X

j = 0

j

Z

+ 1

0

r f

i j

( r ) T

i j

( r ; h ) H

i j

( r ; h ) d r ;

w h e r e T

i j

( r ; h ) i s t h e m e a n d u r a t i o n o f a c o m m u n i c a t i o n o f h e i g h t h

f r o m a i - l e v e l s t a t i o n t o a j - l e v e l s t a t i o n a t d i s t a n c e r o f i t .

T h e f u n c t i o n 1 ? Q ( ) i s k n o w n a s t h e l i n e a r c o n t a c t d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f

a p l a n a r V o r o n o i t e s s e l l a t i o n ( c f . 9 ] ) . I t s n u m e r i c a l v a l u e s a s w e l l a s e x p l i c i t

u p p e r a n d l o w e r b o u n d s a r e g i v e n i n 1 ] .

3 . 3 M o b i l e c o m m u n i c a t i o n m o d e l s

W e u s e t h e n o t a t i o n s o f t h e m o d e l f o r m o b i l e c o m m u n i c a t i o n s i n t r o d u c e d i n

S e c t i o n 2 . 4 .

W e a r e i n t e r e s t e d h e r e i n s o m e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e t r a c , e x p r e s s e d

a s a n o n - n e g a t i v e r a n d o m v a r i a b l e , t h e d i s t r i b u t i o n o f w h i c h , d e n o t e d b y T ,

d e p e n d s o n t h e p o s i t i o n a n d t h e t y p e o f t h e r o a d u n d e r c o n s i d e r a t i o n . M o r e

s p e c i c a l l y ,

1 6


17/24

D

w i l l b e a f a m i l y o f r a n d o m v a r i a b l e s w i t h d i s t r i b u t i o n s T

D

i n d e x e d

b y D 2 E = R 0 ; ) S t h e p h a s e s p a c e o f t h e r o a d p r o c e s s .

D

( ) w i l l d e n o t e t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e d i s t r i b u t i o n T

D

G i v e n a r e a l i z a t i o n =

P

i

D

i

o f t h e r o a d p r o c e s s , c o n s i d e r t h e s y s t e m o f

i n d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s

i

d e f

=

D

i

a s s o c i a t e d w i t h t h e r o a d s y s t e m .

T h i s i s j u s t a n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e P o i s s o n p r o c e s s i n t r o d u c e d i n S e c -

t i o n 2 . 4 .

T h e m a i n q u a n t i t y o f i n t e r e s t i s t h e a d d i t i v e f u n c t i o n a l

d e f

=

P

i

i

. U s i n g

t h e i n d e p e n d e n c e o f t h e s y s t e m f

i

g , o n e o b t a i n s t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n f o r

t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e v a r i a b l e :

( ) = E

Y

D

i

2 s u p p

D

i

( )

N o w u s i n g t h e e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r t h e P o i s s o n p r o c e s s g e n e r a t i n g f u n c -

t i o n a l ( c f . 5 , p . 2 2 5 ] ) , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m :

T h e o r e m 3

( ) = e x p

Z

E

(

D

( ) ? 1 ) M ( d D )

; ( 1 0 )

w h e r e M ( d D ) =

r

d p O ( d ) Q ( ; d ) i s t h e i n t e n s i t y m e a s u r e o f t h e r o a d

p r o c e s s . I n p a r t i c u l a r , i f t h e i n t e g r a l b e l o w e x i s t , t h e n

E =

Z

E

E

T

D

M ( d D ) ; ( 1 1 )

v a r =

Z

E

E

T

2

D

M ( d D ) ; ( 1 2 )

w h e r e E

T

d e n o t e s e x p e c t a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e d i s t r i b u t i o n T

D

T y p i c a l e x a m p l e s o f s u c h a d d i t i v e f u n c t i o n a l a r e t h e n u m b e r o f c o m m u -

n i c a t i n g v e h i c l e s w i t h i n a c e l l , a n d t h e n u m b e r o f t h e c e l l b o u n d a r y c r o s s i n g s

p e r u n i t t i m e .

F o r Z a d o m a i n o f R

2

, l e t

h i t ( Z )

d e f

= f ( p ; ) 2 R 0 ; ) : t h e l i n e ( p ; ) i n t e r s e c t s Z g

F o r D = ( p ; ; ) w i t h ( p ; ) 2 h i t ( Z ) , l e t

D

b e t h e n u m b e r N ( Z ) o f v e h i c l e s

i n c o m m u n i c a t i o n o n r o a d ( p ; ) a n d w i t h i n Z . W e t a k e

D

= 0 i f ( p ; ) 62

1 7


18/24

h i t ( Z ) . A s a d i r e c t a p p l i c a t i o n o f t h e l a s t t h e o r e m , w e o b t a i n t h e d i s t r i b u t i o n

o f t h e n u m b e r o f t h e v e h i c l e s i n c o m m u n i c a t i o n i n s i d e Z

C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , t h e t r a c m o d e l d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2 . 4 . T h e

p o s i t i o n s o f c o m m u n i c a t i n g v e h i c l e s o n a r o a d ( p ; ; ) a t a x e d i n s t a n t a r e

g i v e n b y a h o m o g e n e o u s P o i s s o n p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y

t

( ; ) . L e t l ( p ; )

b e t h e l e n g t h o f t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e r o a d ( p ; ) w i t h Z . T h e n u m b e r o f

t h e v e h i c l e s i n t h i s p a r t o f t h e r o a d h a s P o i s s o n d i s t r i b u t i o n w i t h p a r a m e t e r

t

( ; ) l ( p ; ) . S o t a k i n g

D

( ) = e x p f

t

( ; ) l ( p ; ) ( e

? 1 ) g

i n ( 1 0 ) , w e o b t a i n t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f N ( Z )

I n t h e c a s e o f a n i s o t r o p i c r o a d s y s t e m , F o r m u l a ( 1 0 ) b e c o m e s

( ) = e x p

(

r

Z

S

Q ( d )

Z

h i t ( Z )

( e x p f

t

( ) l ( p ; ) ( e

? 1 ) g ? 1 ) d d p

)

( 1 3 )

a n d t h e m o m e n t s o f t h e d i s t r i b u t i o n o f N ( Z ) a r e g i v e n b y

E N ( Z ) =

r

j Z j

Z

S

t

( ) Q ( d ) ( 1 4 )

v a r N ( Z ) = E N ( Z ) +

r

Z

S

2

t

( ) Q ( d )

Z

h i t ( Z )

l

2

( p ; ) d d p : ( 1 5 )

H e r e w e h a v e u s e d t h e f o l l o w i n g e l e m e n t a r y f a c t t h a t

R

h i t ( Z )

l ( p ; ) d d p e q u a l s

t i m e s t h e a r e a j Z j o f t h e d o m a i n Z

A s i m i l a r c a l c u l a t i o n c a n b e d o n e w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h e b a s i c c e l l

m o d e l , w h e n w e t a k e t h e V o r o n o i c e l l C

0

( a r a n d o m s e t ! ) a s t h e d o m a i n Z

I n 1 ] w e o b t a i n e d t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s

E N ( C

0

) =

r

t

1

;

v a r N ( C

0

) =

r

t

1

+ 0 6 7 2

r

2

t

3 = 2

1

+ 0 2 8 0

r

t

2

1

;

w h e r e

k

t

d e f

=

Z

S

k

t

( ) Q ( d )

A n o t h e r p r o b l e m o f t h i s t y p e i s t h e n u m b e r o f b o u n d a r y c r o s s i n g s . T h e

s a m e m a c h i n e r y c a n b e u s e d t o n d t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e t o t a l n u m b e r o f

1 8


19/24

c r o s s i n g s o f a x e d l i n e s e g m e n t i n t h e p l a n e d u r i n g a t i m e u n i t . F o r t h i s

t a k e

D

t o b e t h e n u m b e r o f c r o s s i n g s o f a n i n t e r s e c t i o n p o i n t o f t h e l i n e

D = ( p ; ; ) w i t h t h e s e g m e n t a n d a p p l y T h e o r e m 3 . U n f o r t u n a t e l y , t h i s i s

t h e o n l y s i t u a t i o n w h e n T h e o r e m 3 i s d i r e c t l y a p p l i c a b l e . T h e p r o b l e m w i t h

g e n e r a l d o m a i n Z i s t h a t , w i t h p o s i t i v e p r o b a b i l i t y , t h e r e a r e m o r e t h a n o n e

i n t e r s e c t i o n p o i n t , a n d t h e n u m b e r o f c r o s s i n g s i n t h e s e p o i n t s a r e s t r o n g l y

d e p e n d e n t ( i n f a c t , i t c a n b e s h o w n t h a t t h e s e v a r i a b l e s a r e a s s o c i a t e d ) . T h i s

d o e s n o t m a t t e r f o r c o m p u t i n g t h e r s t m o m e n t o f t h e t o t a l n u m b e r F ( Z )

o f t h e b o u n d a r y c r o s s i n g s s i n c e t h e e x p e c t a t i o n i s a l w a y s a d d i t i v e r e g a r d l e s s

t h e d e p e n d e n c e o f t h e s u m m a n d s . N e v e r t h e l e s s , l o w e r a n d u p p e r b o u n d s c a n

b e d e r i v e d f o r h i g h e r m o m e n t s a n d g e n e r a l d o m a i n s Z a s i t i s s h o w n b e l l o w .

C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , a n i s o t r o p i c r o a d s y s t e m w i t h a h o m o g e n e o u s

P o i s s o n p r o c e s s a s t h e t r a c m o d e l o n t h e r o a d s . A s a b o v e

t

( ) i s t h e

i n t e n s i t y o f c o m m u n i c a t i n g v e h i c l e s o n a r o a d o f t y p e a n d e a c h v e h i c l e i s

u n i f o r m l y m a r k e d b y a v e l o c i t y w i t h d i s t r i b u t i o n V

( d v ) . I t c a n b e s h o w n

t h a t t h e n u m b e r o f c r o s s i n g s o f a x e d p o i n t o n s u c h a r o a d f o l l o w s t h e

P o i s s o n d i s t r i b u t i o n w i t h p a r a m e t e r

t

( ) E

j V j , w h e r e t h e l a s t t e r m i s t h e

m e a n o f t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e v e l o c i t y o n a r o a d o f t y p e ( e x p e c t a t i o n

w i t h r e s p e c t t o t h e m e a s u r e V

) . N o w , a d i r e c t a p p l i c a t i o n o f F o r m u l a ( 1 4 )

l e a d s t o

T h e o r e m 4 T h e m e a n n u m b e r o f c r o s s i n g s o f a x e d d o m a i n Z e q u a l s

E F ( Z ) =

2

j @ Z j

r

M

1

;

w h e r e j @ Z j i s t h e l e n g t h o f t h e b o u n d a r y o f Z a n d

M

1

=

Z

t

( ) E

j V j Q ( d )

F o r a t y p i c a l V o r o n o i c e l l i n t h e b a s i c m o d e l , t h i s n u m b e r i s

E F ( C

0

) =

8

r

p

1

M

1

T h e f o l l o w i n g r e s u l t c a n a l s o b e f o u n d i n 1 ] :

T h e o r e m 5 T h e v a r i a n c e o f t h e n u m b e r o f b o u n d a r y c r o s s i n g s o f a c o n v e x

d o m a i n Z i s b o u n d e d b y

2

r

j @ Z j M

2

v a r F ( Z )

4

r

j @ Z j M

2

;

1 9


20/24

w h e r e

M

2

=

Z

(

t

( ) E

j V j + (

t

( ) E

j V j )

2

) Q ( d )

F o r t h e b a s i c c e l l m o d e l

r

"

0 ; 9 4 5 M

1

1

+

8 M

2

p

1

#

v a r F ( C

0

)

r

"

0 ; 9 4 5 M

1

1

+

1 6 M

2

p

1

#

3 . 4 E x a m p l e o f a r c h i t e c t u r e o p t i m i z a t i o n

C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g o p t i m i z a t i o n p r o b l e m : f o r c o n n e c t i n g e a c h s u b s c r i b e r

t o o n e c o n c e n t r a t o r , o n e c a n e i t h e r u s e a d i r e c t l i n k , o r a n i n d i r e c t l i n k v i a

s o m e d i s t r i b u t i o n p o i n t . A d i s t r i b u t i o n p o i n t i s a l o c a t i o n w h e r e s e v e r a l

l i n k s o r i g i n a t i n g f r o m s u b s c r i b e r s c a n b e g r o u p e d i n t o o n e f u r t h e r l i n k t o

s o m e c o n c e n t r a t o r w i t h s o m e e c o n o m y o f s c a l e . T h e g e n e r a l a s s u m p t i o n i s

s t i l l t h a t c o n n e c t i o n s a r e a l w a y s t o t h e c l o s e s t p o i n t ( i . e . e a c h s u b s c r i b e r i s

c o n n e c t e d t o t h e c l o s e s t d i s t r i b u t i o n p o i n t , a n d e a c h d i s t r i b u t i o n p o i n t t o

t h e c l o s e s t c o n c e n t r a t o r )

W h a t i s t h e o p t i m a l i n t e n s i t y o f s u c h d i s t r i b u t i o n p o i n t s ? C o n s i d e r 3

i n d e p e n d e n t h o m o g e n e o u s P o i s s o n p r o c e s s e s

i

( i = 0 ; 1 ; 2 ) i n t h e p l a n e R

2

w i t h i n t e n s i t i e s

i

, r e p r e s e n t i n g s u b s c r i b e r s ( p r o c e s s

0

) , d i s t r i b u t i o n p o i n t s

( p r o c e s s

1

) a n d c o n c e n t r a t o r s ( p r o c e s s

2

) , r e s p e c t i v e l y . E a c h p o i n t o f

t h e p r o c e s s

0

i s c o n n e c t e d t o a p o i n t o f p r o c e s s

1

a c c o r d i n g t o t h e l e a s t

d i s t a n c e p r i n c i p l e . S i m i l a r l y , e a c h p o i n t s o f

1

i s c o n n e c t e d t o t h e c l o s e s t

p o i n t o f t h e p r o c e s s

2

I n a t y p i c a l e x a m p l e , t h e s e c o n n e c t i o n s r e p r e s e n t c a b l e s . E a c h c a b l e h a s

a n a s s o c i a t e d c o s t w h i c h c o n s i s t s o f t w o p a r t s :

1 . t h e c o s t o f t h e c a b l e i t s e l f , a n d

2 . t h e c o s t o f t h e c i v i l e n g i n e e r i n g ( t r e n c h , p o s t s u p p o r t s e t c . )

T h e c o s t o f a c a b l e c o n n e c t i n g a p o i n t o f

i

t o t h e c l o s e s t p o i n t o f

i + 1

, i s

g i v e n b y a p o l y n o m i a l f u n c t i o n C

i ; i + 1

r

i i + 1

, w h e r e r i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n

t h e p o i n t s a n d C

i ; i + 1

;

i ; i + 1

a r e s o m e n o n - n e g a t i v e p a r a m e t e r s .

T h e c o s t o f t h e c i v i l e n g i n e e r i n g i s g i v e n i n t h i s c a s e b y t h e f u n c t i o n

E

i ; i + 1

r

"

i i + 1

, w h e r e E

i ; i + 1

; "

i ; i + 1

> 0

N o t e , t h a t t h e c a b l e s f r o m a d i s t r i b u t i o n p o i n t t o a c o n c e n t r a t o r s h a r e

t h e s a m e c i v i l e n g i n e e r i n g , a n d i t i s r e a s o n a b l e t o a s s u m e t h a t t h e c o s t o f

2 0


21/24

c i v i l e n g i n e e r i n g d o e s n o t d e p e n d o n t h e n u m b e r o f c a b l e s w h i c h a r e g r o u p e d

t h e r e .

O u r g o a l h e r e i s t o n d t h e o p t i m a l r a t i o b e t w e e n i n t e n s i t i e s o f t h e p r o -

c e s s e s w h i c h m i n i m i z e s t h e a v e r a g e c o s t o f t h e c o n n e c t i o n s o f a t y p i c a l c o n -

c e n t r a t o r .

M o r e p r e c i s e l y , t h e c o s t f u n c t i o n i s t h e f o l l o w i n g :

G

d e f

= E

2

8


22/24

I n p a r t i c u l a r c a s e w h e n "

0 1

=

0 1

d e f

= w e o b t a i n

1

=

"

( A

3

+ A

4

)

2 A

1

#

2 = ( 2 + )

a n d t h e m i n i m a l v a l u e o f t h e c o s t f u n c t i o n i s e q u a l t o

G (

1

) =

+ 2

A

= ( 2 + )

1

"

2

( A

3

+ A

4

)

#

2 = ( 2 + )

+ A

2

F o r = 1 w e o b t a i n r e s p e c t i v e l y

1

=

2

"

0

( C

0 1

+ E

0 1

)

2 E

1 2

+ 4 D

1

3 = 2

2

#

2 = 3

a n d

G (

1

) =

3

2 = 3

0

2

5 = 2

3 = 2

2

( E

1 2

+ 2 D

1

3 = 2

2

)

1 = 3

( C

0 1

+ E

0 1

)

2 = 3

+

C

1 2

0

1 2

= 2

1 2

= 2 + 2

2

?

1 2

2

+ 1

!

4 P e r s p e c t i v e s

T h e p r o p o s e d a p p r o a c h t o t h e m o d e l i n g o f t e l e c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s c a n

b e u s e d f o r s e v e r a l v a r i a t i o n s o n t h e b a s i c m o d e l s i n t r o d u c e d h e r e . A s a n

i l l u s t r a t i o n o f t h i s a s s e r t i o n , c o n s i d e r a g a i n h i e r a r c h i c a l m o d e l . T h e m a i n

d r a w b a c k o f t h e m o d e l i s t h a t i t o n l y c o n t a i n s h i e r a r c h i c a l l i n k s b e t w e e n

s t a t i o n s . H o w e v e r , r e a l s y s t e m s m a y h a v e c o n n e c t i o n s t o s e v e r a l s t a t i o n s

o f t h e h i g h e r l e v e l , f o r r e l i a b i l i t y r e a s o n s . T h e s e a u x i l i a r y c o n n e c t i o n s c a n

e a s i l y b e t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n . I t i s s u c i e n t t o c o n n e c t t h e l o w e r l e v e l

s t a t i o n s n o t o n l y t o t h e i r c l o s e s t , b u t t o t h e s e c o n d c l o s e s t , t h i r d c l o s e s t e t c .

s t a t i o n s o f t h e n e x t l e v e l . T h i s c o n s t r u c t i o n l e a d s t o a t h i n n e r t e s s e l l a t i o n

t h a n t h e V o r o n o i t e s s e l l a t i o n , w h i c h w a s a l s o s t u d i e d i n t h e l i t e r a t u r e . O n e

c a n d e r i v e g e o m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s e a u x i l i a r y c o n n e c t i o n s a s w e d o

i n 1 ] .

U n f o r t u n a t e l y , a n a l y t i c a l m e t h o d s a r e n o t a l w a y s p o s s i b l e f o r c o m p l e x

m o d e l s ( a s e . g . n o n - h o m o g e n e o u s , n o n - P o i s s o n m o d e l s e t c . o r e v e n m a n y

c o m p l e x p h e n o m e n a o f P o i s s o n m o d e l s ) . F o r s u c h s i t u a t i o n s s i m u l a t i o n s a r e

s o m e t i m e s t h e o n l y p o s s i b l e w a y o f s t u d y i n g t h e s y s t e m b e h a v i o r . I n c o n -

n e c t i o n w i t h t h i s , w e w o u l d q u o t e t h e s t o c h a s t i c g r a d i e n t m e t h o d s d e v e l o p e d

b y t h e a u t h o r s i n 2 ] a n d 1 ] .

2 2


23/24

S o m e n o n - h o m o g e n e o u s m o d e l s c a n a l s o b e t r e a t e d b y c h a n g e o f s p a c e

m e t h o d s d e s c r i b e d i n 1 ] . T h i s i s i m p o r t a n t s i n c e r e a l s y s t e m s a r e r a t h e r f a r

f r o m b e i n g h o m o g e n e o u s .

2 3


24/24

R e f e r e n c e s

1 ] F . B a c c e l l i , M . K l e i n , M . L e b o u r g e s , a n d S . Z u y e v . G o m t r i e a l a t o i r e

e t a r c h i t e c t u r e d e r s e a u x d e c o m m u n i c a t i o n s . A n n a l e s d e s T l c o m m u -

n i c a t i o n s , 1 9 9 6 .

2 ] F . B a c c e l l i , M . K l e i n , a n d S . Z u y e v . P e r t u r b a t i o n a n a l y s i s o f f u n c t i o n a l s

o f r a n d o m m e a s u r e s . A d v . i n A p p l . P r o b a b . , 2 7 : 3 0 6 3 2 5 , 1 9 9 5 .

3 ] F . B a c c e l l i a n d S . Z u y e v . O p t i m a l p o i s s o n s p a n n i n g ; o p t i m i z a t i o n o f

d i s t r i b u t i o n i n a c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k . O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 1 9 9 5 ,

s u b m i t t e d .

4 ] N . C u r i e n a n d M . G e n s o l l e i n . E c o n o m i e d e s T l c o m m u n i c a t i o n s . O u -

v e r t u r e e t r g l e m e n t a t i o n . E c o n o m i c a - E N S P T T , P a r i s , 1 9 9 2 .

5 ] D . J . D a l e y a n d D . V e r e - J o n e s . A n I n t r o d u c t i o n t o t h e T h e o r y o f P o i n t

P r o c e s s e s . S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 8 8 .

6 ] S . F o s s a n d S . Z u y e v . O n a c e r t a i n V o r o n o i a g g r e g a t i v e p r o c e s s r e l a t e d

t o a b i v a r i a t e P o i s s o n p r o c e s s . A d v . i n A p p l . P r o b a b . , 1 9 9 5 .

7 ] J . F . C . K i n g m a n . P o i s s o n P r o c e s s e s . O x f o r d S t u d i e s i n P r o b a b i l i t y .

O x f o r d U n i v . P r e s s , 1 9 9 3 .

8 ] J . M l l e r . L e c t u r e s o n r a n d o m V o r o n o i t e s s e l a t i o n s , v o l u m e 8 7 o f L e c t .

N o t e s i n S t a t i s t . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 4 .

9 ] L . M u c h e a n d D . S t o y a n . C o n t a c t a n d c h o r d l e n g t h d i s t r i b u t i o n s o f t h e

P o i s s o n V o r o n o i t e s s e l a t i o n . J . A p p l . P r o b a b . , 2 9 : 4 6 7 4 7 1 , 1 9 9 2 .

1 0 ] A . O k a b e , B . B o o t s , a n d K . S u g i h a r a . S p a t i a l t e s s e l a t i o n s . W i l e y s e r i e s

i n p r o b a b i l i t y a n d m a t h e m a t i c a l s t a t i s t i c s . W i l e y , 1 9 9 2 .

1 1 ] D . S t o y a n , W . S . K e n d a l l , a n d J . M e c k e . S t o c h a s t i c G e o m e t r y a n d i t s

A p p l i c a t i o n s . W i l e y s e r i e s i n p r o b a b i l i t y a n d m a t h e m a t i c a l s t a t i s t i c s .

W i l e y , C h i c h e s t e r , 1 9 8 7 .

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Stochastic Geometry Architecture of Communication Networks

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