STOCHASTIC FLOW SHOPS, OPEN SHOPS, DAN JOB SHOP · Web viewJob 1 mempunyai waktu proses yang deterministik 11 menit per unit. Job 2 memiliki waktu proses deterministik 10 menit per

STOCHASTIC FLOW SHOPS, OPEN SHOPS, DAN JOB SHOP

Model stochastik flow shop, open shop, dan job shop di batasi oleh

deterministik. untuk flow shop, kebijakan statis nonpreemtive, penjadwalan

permutasi menjadi perhatian yang pertama. Penjadwalan permutasi yang optimal

sering terdapat sisa optimal pada dinamis non preemptive seperti halnya pada

dinamis preemptive. Untuk open shop dan job shop hanya termasuk dinamis

nonpreemtive dan preemptive dinamis perlu dipertimbangkan.

Hasil yang diperoleh untuk stochastic flow shop dan job shop setidaknya

menyerupai deterministic flow shop dan job shop. Stochastic open shop sangat

berbeda dengan deterministiknya.

Bagian pertama mendiskusikan stochastic flow shop dengan waktu antar

mesin tidak terbatas dan antar job tidak ada hambatan. Bagian yang kedua dibahas

flow shop dengan zero antar mesin dan job ada hambatan. Di bagian terakhir

membahas stochastic open shop dan stochastic jobshop.

11.1 STOKASTIK FLOW SHOP TANPA BATASAN WAKTU ANTAR

MESIN

Anggap ada dua mesin seri, tidak ada batas antara mesin tersebut dan tidak

ada hambatan. Disana ada n job. Waktu proses job j pada mesin i adalah Xij,

distribusi eksponensial dengan rata – rata λ j. Waktu proses job j pada mesin 2

adalah X2j, distribusi eksponensial dengan dengan rata – rata μj. Tujuannya adalah

untuk menemukan kebijakan statis nonpreemtive atau penjadwalan permutasi,

yang meminimasi probabilitas makespan E(Cmax).

Catatan bahwa masalah ini adalah stokastik dengan memperhatikan

masalah deterministik F2 .Cmax ׀׀ Masalah dua mesin yang deterministik

memiliki solusi yang simpel. Akan tetapi jika menggunakan model stokastik

dengan waktu proses yang eksponensial akan memiliki solusi yang lebih baik.

Teorema 11.1.1. ” aliran job akan mengurang jumlah order ketika λ j - μj

meminimasi probabilitas makespan pada kategori kebijakan statis nonpreemtive,

kategori kebijakan dinamis nonpreemtive, dan kategori kebijakan dinamis

preemtive”.

Bukti.Bukti bahwa titik optimal pada kategori kebijakan statis

nonpreemtive adalah menyerupai dengan bukti titik optimal pada kasus

deterministik. Itu sangat bertentangan. Perkiraan aliran yang lain optimal.

Dibawah aliran ini disana ada dua job yang berurutan, katakanlah job j diikuti job

k. Terlihat bahwa λj - μj – λk – μk . itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa

pasangan perubahan dari dua job mengurangi probabilitas makespan. Asumsi job

I mendahului job j dan C1i (C2i) dinotasikan (random) completion time dari job I

mesin 1 (2) dan Di = C2i – C1i.

Performansi pada perubahan yang bersebelahan pada job j dan job k.

Notasikan C1k dan C2k untuk completion time dari job k pada dua mesin tersebut,

menurut dugaan adalah jadwal optimal dan notasikan C1j dan C2j untuk

completion time job j untuk penjadwalan yang diperoleh setelah terjadi

perubahan. Notasikan m, job yang mengikuti job k. Jelas bahwa perubahan tidak

berpengaruh pada waktu mulai job m pada mesin 1 karena waktu mulai

diformulasikan dengan C1k =C1i + X1j + X1k. Anggap sebagai variabel random

Dk = C2k – C1k

Dan

D’j = C’2j – C’1j

Jalas bahwa Cik + Dk adalah waktu mesin 2 menjadi tersedia untuk job m dibawah

jadwal aslinya. Dan Cik + Dj adalah sesuai dengan waktu setelah selesai

dekerjakan. Yang pertama, menunjukkan bahwa variabel random D’j adalah

stokastik yang lebih kecil dari pada variabel random Dk , jikan Di ≥ Xij +Xik

kemudian jelas Dk = D’j . pada Di ≤ Xij + Xik adalah kurang lengkap. Sekarang

P(Dk > t│Dt ≤ Xij + Xik) =

Ekspresi ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Karena Di ≤ Xij + Xik kemudian

ketika job j mulai pada mesin 2, job k juga dimulai atau masih diproses pada

1

mesin i. Terminologi yang pertama pada RHS bersesuaian dengan kejadian

dimana job j sedang diproses pada mesin 2, selesai sebelum job k yang sedang

diproses pada mesin i, yang mana kejadiannya memiliki probabilitas ∕( ).

Terminologi yang kedua sesuai dengan kejadian dimana job j selesai pada mesin 2

setelah job k selesai pada mesin 1; pada kasus ini distribusi Dk adalah

eksponensial dengan dengan rata – rata dan .

Sebagai ekspresi untuk P(D΄j > t│Dt ≤ Xij + Xik) dapat diperoleh dengan

cara mengubah subscrip j dengan subscrip k. Sekarang

P(D΄j > t│Dt ≤ Xij + Xik) - P(Dk > t│Di ≤ Xij + Xik)

= < 0

Maka, D΄j lebih kecil stokastiknya dari pada Dk . itu dapat ditunjukkan lebih

mudah, secara langsung dengan alur analisa yang sederhana ( misalnya perbaikan

waktu proses pada job m dan semua job yang mengikuti job m ), yang jika

direalisasikan dengan D΄j lebik kecil dari pada Dk , kemudian aktual makespan

setelah terjadi perubahan adalah lebih kecil atau sama dengan aktual makespan

pada aliran awalnya sebelum terjadi perubahan. Maka diperoleh bahwa D΄ j lebih

kecil stokastiknya dari pada Dk , probabilitas makespan berkurang dengan daanya

perubahan. Ini merupakan bukti lengkap yang optimal pada nonpreemtive statis.

Cara optimal nonpreemtive statis juga optimal untuk nondinamis

preemtive dapat disanggah sebagai berikut. Ini menjadi jelas bahwa aliran pada

mesin 2 tidak tepat, hal ini disebabkan karena waktu proses mesin 2, tersedia job.

Secara sederhana jumlah waktu proses dan job yang ada tidak mempengaruhi

makespan. Anggap bahwa keputusan yang diambil untuk setiap mesin i adalah

bebas. Keputusan akhir yang diambil ketika hanya terdapat dua job yang tersisa

diproses pada mesin i. Dari perubahan susunan yang dijelaskan diatas, dengan

seketika bahwa job dengan tertinggi akan dikerjakan lebih awal. Dengan

menganggap bahwa disana ada tiga job yang diproses pada mesin I. Dari argumen

sebelumnya dikatakan bahwa dua dari tiga job yang diproses mengurangi .

Jika tiga job yang pertama tidak bernilai yang tertinggi, perubahan susunan

2

antara job pertama dan job kedua mengurangi probabilitas makespan. Maka tiga

job yang terakhir pada urutannya akan mengurangi . Maka dengan cara ini

ditunjukkan bahwa aliran job yang mengurangi adal optimal pada

nonpreemtif dinamis.

Cara nonpreemtive akan sama optimalnya dengan preemtive dinamis akan

ditunjukkan sebagai berikut. Telah ditunjukkan diatas bahwa pada dinamis

nonpreemtive akan optimal pada saat berkurang, selam proses di mesin i.

Situasi ini pada intinya tidak berbeda dengan kondisi pada saat job telah mulai

(karena berdistribusi eksponensial). Maka, setiap waktu keputusan yang optimal

adalah memelihara aliran job pada mesin.

Dari teorema, terlihat bahwa jadwal yang optimal pada kasus eksponensial sering

lebih kecil dari pada jadwal optimal pada kasus deterministik. Contoh berikut ini

akan membuat lebih jelas.

Contoh 11.1.2

Anggap n job dengan waktu proses berdistribusi eksponensial. Satu job tidak

melalui mesin 1 dan waktu proses pada mesin 2 dengan rata – rata sangat besar.

Asumsi bahwa rata – rata lebih besar dari pada jumlah probabilitas waktu proses

untuk n-1 job pada mesin 1. berdasarkan teorema 11.1.1 n -1 job yang tersisa akan

mengurangi untuk aliran yang meminimasi probabilitas makespan.

Jika semua waktu proses adalah deterministik dengan waktu proses sama dengan

rata – rata waktu proses eksponensial, maka tidak akan cocok dengan sisa n-1 job

yang diurutkan.

Meskipun tidak terlihat, teorema 11.1.1 tidak terlihat sama dengan teorema

5.1.4 jadwal yang optimal dengan waktu proses berdistribusi optimal sedikit

banyak sama dengan jadwal optimal dengan waktu proses yang deterministik. Jika

job k mengikuti job j pada aliran yang optimal dengan waktu proses optimal,

maka

Atau

3

Atau

Yang mana, dengan waktu proses eksponensial, equivalent pada

E ( min (X1j, X2k )) ≤ E ( min (X1k,, X2j))

kondisi ini cukup sama dengan kondisi untuk job k mengikuti job j pada kasus

deterministik, yaitu

min ( Pij, P2k ) ≤ min ( Pik, P2j)

Ini juga sama dengan kasus eksponensial dan deterministik yang lain. Anggap

kasus dimana waktu proses job j pada dua mesin yang berdistribusi eksponensial

dengan rata – rata yang sama, λj, untuk masing – masing j. Berdasarkan teorema

semua aliran harus sama probabilitas makespannya. Hasilnya sama dengan

proporsi deterministik flowshop, dimana semua aliran juga menghasilkan

makespan yang sama.

Bagian ini fokus pada m mesin permutasi flowshop. Untuk flow shop ini

hanya menggunakan statis nonpreemtive karena order yang dikerjakan, terbatas

dan tidak terjadi perubahan.

Anggap sebuah permutasi flow shop m mesin dimana waktu proses job j apda m

mesin adalah sesuai dengan distribusi Fj dengan rata – rata 1/λj. Untuk kasus flow

shop lebih mudah menghasilkan lebih kecil E ( Cmax ).

Lemma 11.1.3. Dengan aliran yang banyak

E ( Cmax ) ≥

Bukti. Probabilitas waktu yang dibutuhkan dengan probabilitas waktu

proses yang terbesar, untuk flowshop sedikitnya m max (1/λ1,..., 1/λn). Pada mesin

1 dimulai oleh Job dengan waktu yang besar yang merupakan jumlah dari waktu

proses pada mesin pertama dari job yang dijadwalkan sebelum job yang

terpanjang. Setelah job yang terpanjang selesai sampai mesin terakhir, mesin ini

memiliki sisa waktu sedikit yang sama sedikitnya dengan jumlah waktu proses

pada mesin setelahnya dari sumua job yang dijadwalkan setelah job yang terbesar.

4

Satu kelas aliran memiliki perana yang sangat penting didalam permutasi

flow shop stokastik. Aliran j1,...,jn disebut aliran SEPT-LEPT jika job jk

Dan

Teorema 11.1.4. Jika F1 ≤as F2 ≤as ... ≤as Fn , maka

I. Beberapa aliran SEPT – LEPT meminimasi probabilitas makespan pada

statis nonpreemtive, yaitu

E(Cmax ) =

II. Aliran SEPT yang meminimasi probabilitas total waktu selesai pada statis

nonpreemtive, sehingga

E

Bukti,

I. Bagian pertama dari teorema merupakan observasi bahwa job pada aliran

SEPT tidak pernah menunggu mesin ketika dikerjakan didalam sistem. Ini

termasuk job yang besar yang merupakan job terakhir pada aliran SEPT.

Job pada aliran LEPT (termasuk yang pertama yang merupakan job yang

terbesar) mempunyai waktu tunggu untuk tiap – tiap mesin yang merupakan

akhir proses pada satu mesin sebelum mesin selanjutnya siap. Mesin tidak

pernagh menunggu job. Makespan sama dengan lebih rendah dari pada

batasan lemma 11.13.

II. Bagian kedua mengikuti aliran SEPT yang meminimasi probabilitas

terjadinya makespan. Untuk meminimasi probabilitas completion time dari

job ke k didalam aliran, k adalah job terkecil yang dikerjakan pertama kali

dan k job memiliki aliran yang sesuai yang sesuai dengan aliran yang

meminimasi probabilitas completion time. Maka job terkecil k mungkin

alirannya sesuai dengan aliran SEPT. Ini benar untuk setiap k. Ini jelas

bahwa pada aliran SEPT probabilitas completion time job minimum. SEPT

5

meminimasi jumlah probabilitas completion time. Nilai aktual dari total

probabilitas completion time mudah dihitung.

Mudah untuk menemukan contoh dengan F1 ≤as F2 ≤as ... ≤as Fn dimana aliran yang

tidak SEPT-LEPT juga optimal. Akan tetapi akan tetapi ada perbedaan dengan

deterministik flowshop katika waktu proses stokastik dan F1 ≤as F2 ≤as... ≤asFn tidak

semua aliran selalu optimal.

Contoh 11.1.5.

Anggap sebuah flowshop dengan 2 mesin dan 3job. Job 1 mempunyai waktu

proses yang deterministik 11 menit per unit. Job 2 memiliki waktu proses

deterministik 10 menit per unit waktu proses untuk job 3 adalah nol dengan

probabilitas 0.5 dan 10 dengan probabilitas 0.5. ini dapat dipilih dengan mudah

hanya dengan SEPT-LEPT yang meminimasi probabilitas makespan. Jika waktu

proses job 1 dirubah dari 11 menjadi 20, kemudian semua aliran memiliki

probabilitas makespan yang sama.

Model pada teorema 11.14. asumsi bahwa waktu proses pada job j pada m mesin

akan dihasilkan oleh m independen sama distribusi Fj. Jika waktu proses m pada

job j akan sama dengan variabel random dari distribusi Fj, kemudian model

disusun kembali dengan deterministik flow shop yang lebih tertutup. Maka, pada

kasus ini,

X1j = X2j = ... = Xmj = Xj

Mudah untuk melihat kasus ini, seperti pada kasus deterministik flow shop,

makespan adalah independen dari aliran job ( bukan stokastik tertentu dominan

terhadap n distribusi ).

Anggap kasus dimana waktu proses masing – masing job j pada m mesin

adalah sama dengan variabel random Xj dari distribusi Fj dan

F1 ≤ex F2 ≤ex ... ≤ex Fn

Probabilitas waktu proses adalah sama tetapi variansi mungkin berbeda. Anggap

bahwa total probabilitas completion time . Masalah ini akan ditemui

pada kasus yang variansinya kecil ( SV). Yang mana setiap waktu pada mesin

6

pertama adalah beba, kemudian pilih job yang tersisa dengan variansi yang

terkecil untuk dikerjakan berikutnya.

Teorema 11.1.6. SV meminimasi total probabilitas completion time pada kasus

statis nonpreemtive

Bukti. buktinya adalah kebalikannya. Anggap aliran yang lain optomal,

misalnya job j diikuti oleh job k seperti pada Fj ≤ex Fk . Asumsi job h mendahului

job j dan job l mengikuti job k anggap Cih merupakan notasi dari completion time

pada job h di mesin i. A adalah notasi waktu proses untuk semua job yang

mendahului dan termasu job h. B adalah maksimum waktu proses antara job yang

mendahului dan termasuk h. Maka,

Cih = A

Dan Cih = A + (i – 1) B

Performansi perubahan antar job j dan k tidak berpengaruh terhadap job l pada

sistem. Juga tidak berpengaruh pada completion time pada job l atau job yang

mengikuti l. Terjadinya perubahan hanya berpengaruh pada probabilitas jumlah

completion time job j dan job k. Completion time pada job k sebelum terjadi

perubahan adalah sama dengan completion time setelah terjadi perubahan. Untuk

menganalisa perubahan yang terjadi cukup dengan membandingkan completion

time job j sebelum terjadi perubahan dengan completion job k setelah terjadi

perubahan. Notasi Cij adalah untuk completion time job j sebelum terjadi

perubahan. Dan C’ik adalah notasi completion time job k setelah terjadi

perubahan. Jelasnya

Cmj = A +Xj + ( m - 1 ) max (B, Xj )

Dan Cmk = A +Xk + ( m - 1 ) max (B, Xk )

Probabilitas completion time job k setelah terjadi perubahan susunan adalah lebih

kecil dari pada probabilitas completion time job j sebelum terjadi perubahan jika

Integral tersebut merupakan fungsi yang meningkat dan bertambah pada t. Maka,

ketidaksamaan akn terjadi ketika Fk ≤ ex Fj. Aplikasi ini adalah aliran sebelum

7

terjadi perubahan tidak bisa optimal dan menbutuhkan bukti yang lengkap. Hasil

ini berbeda dengan hasil pada latihan 10.18 pada kasus mesin paralel LV

meminimasi probabilitas total completion time.

11.2 STOKASTIK FLOW SHOP DENGAN HAMBATAN

Anggap stokastik pada F2│block │Cmax dengan waktu proses job j pada mesin 1

(2) menjadi variabel random X1j (X2j) dari distribusi F1j (F2j). Disana tidak ada

waktu antar dua mesin ( zero intermediate storage ). Tujuannya adalah

meminimasi probabilitas makespan pada penggunaan statis nonpreemtive.

Ketika job mulai diproses pada pada mesin 1, job yang mendahului mulai

proses pada mesin 2. jika job j mengikuti job k didalam alirannya, kemudian

probabilitas waktu job j yang tersisa pada mesin 1, yang lain diproses atau akan

menjadi hambatan, yaitu sebesar E( max( X1j , 2k )). Jika job j merupakan job yang

pertama dalam aliran, kemudian job j hanya menggunaka probabilitas jumlah

waktu E( Xij ) pada mesi 1 ketika mesin 2 mulai idle. Jika job j adalah job yang

terakhir pada aliran maka akan menggunaka probabilitas jumlah waktu E ( X2k )

pada mesin 2 ketika mesin 1 idle. Dengan cara yang sama deterministik F2│block

│Cmax eqivalent dengan deterministik TSP, model stokastik ini eqivalen dengan

deterministik TSP. Akan tetapi algoritma yang efisien digambarkan dibagian 3.6,

yang mana hanya bisa diterapkan pada deterministik F2││Cmax, dan tidak bisa

diterapkan pada model stokastik. Ruang matrik TSP ditetapkan sebagai berikut :

d0k = E (X1k )

dj0 = E (X2j )

djk = E ( max (X2j, X1k) )

=

=

Jelas sudah bahwa nilai untuk djk dapat dihitung, tetapi nilai ini sekarang bukanlah

fungsi yang simpeldari kedua parameter seperti dijelaskan dibagian 3.6 dan 5.2.

8

TSP yang digambarkan diatas setidaknya bisa lebih simpel. Masalah eqivalen TSP

dengan ruang matrik yang terkecil yang mana jumlah totalnya dimaksimumkan.

Ruang matrik dimodefikasi dengan pengurangan probabilitas waktu proses dari

masing – masing job yang terlibat dan perkalian dari waktu yang tersisa dengan-1.

d0k = 0

dj0 = 0

djk = E ( min (X2j, X1k) )

=

Contoh 11.2.1

Anggap kasus Fij adalah berdistribusi eksponensial dengan rata dan F2j

berdistribusi eksponensial dengan rata – rata . Dengan ruang

Meskipun deterministik TSP memiliki susunan yang baik, ini tidak jelas apa yang

dapat dipecahkan di dalam waktu yang polynomial.

Ini adalah kasus yang menarik untuk dipelajari dengan susunan tambahan untuk

mendapatkan pengertian yang mendalam. Anggap kasus dimana F1j = F2j = Fj .

variabel random Xij dan X2j adalah independen dari distribusi Fj. Model ini

setidaknya sama dengan model deterministik flow shop karena distribusi waktu

proses tiap – tiap job pada dua mesin yang identik. Akan tetapi realisasi yang

aktual dari dua waktu proses yang tidak perlu identik.

Teorema 11.2.2. Jika F1 ≤ st F2 ≤st ... ≤st Fn kemudian aliran 1,2,3,...,n, 6, 4,

2 dan 2, 4, 6, ...,n,...,5, 3,1 minimasi probabilitas makespan pada statis

nonpreemtive.

Bukti. Anggap aliran

j1,...,jk-1, jk,...,jk+1,...,jl-1, jl, jl+1,...,jn.

Partisi aliran ke dalam sub aliran, yang pertama akan menjadi j1,...,jk-1, yang kedua

jk,..., jl, yang ketiga jl+1,...,jn. Susun aliran baru dengan membalik subaliran yang

kedua. Aliran baru adalah

9

j1,...,jk-1, jk,...,jl-1,...,jk+1, jl, jl+1,...,jn.

Jika E (Cmax ) adalah notasi probabilitas makespan aliran asli dan E (C’max ) adalah

probabilitas makespan pada aliran baru, maka

E (Cmax ) - E (C’max ) = E (max (X2,jk-1, X1,jk) ) + E(max(X2,jt, X1,jt+1))

- E (max (X2,jk-1, X1,jk) ) - E(max(X2,jk, X1,jt+1))

= - E (min (X2,jk-1, X1,jk) ) - E(max(X2,jt, X1,jt+1))

+ E (max (X2,jk-1, X1,jt) ) +E(max(X2,jk, X1,jt+1))

Maka probabilitas makespan pada aliran kedua lebih kecil dari pada probabilitas

makespan pada aliran pertama, jika

(

t)

Makespan di bawah aliran sembarang tidak berubah jika dua job

ditambahkan, keduanya dengan waktu pemrosesan nol pada kedua mesin, yang

satu dijadwalkan lebih dahulu dan yang lainnya terakhir. Distribusi waktu

pemrosesan dari kedua job ini secara stokastik kurang dari distribusi manapun

dari n job. Jadi, pada pembuktian asumsi dapat dibuat bahwa ada dua job

tambahan dengan waktu pemrosesan sama dengan nol dan bahwa salah satu job

berlangsung lebih dulu dan job lainnya terakhir. Pada situasi apakah kedua job ini

disebut sebagai job 0 dab job 0’.

Diketahui 4 distribusi waktu pemrosesan Fj ≥st Fk ≥st Fp ≥ st Fq , dapat

ditentukan bahwa:

10

Sisa bagian dari pembuktian didasarkan pada kontradiksi pendapat. Aliran

yang sembarang tidak berdasarkan teorema dapat ditingkatkan dengan

menggunakan pembalikan urutan aliran sampai aliran dari teorema didapatkan.

Tentukan aliran:

0, j1, …, 1, jk+1, …, jl, 2, jl+1, …, jn-2

dimana j1 , …, jn-2 adalah permutasi dari 3, 4,…, n . Dari pertidaksamaan diatas

maka akan mengikuti bahwa pembalikan subaliran menghasilkan aliran

0, 1, jk, …, j1, jk+1, …, jl, 2, jl+1, …, jn-2, 0’

dengan makespan harapan yang lebih kecil. Makespan dapat dikurangi bahkan

melebihi pembalikan aliran kedua yang dihasilkan dalam

0, 1, jk, …, j1, jk+1, …, jl, jl+1, …, jn-2, 2, 0’

cara kerja ini dapat terlihat secara jelas bahwa semua sequene dapat dikembalikan

dengan pembalikan subaliran sampai salah satu dari aliran diperoleh.

Secara jelas 1, 3, 5, ..., n, ..., 6, 4, 2 adalah aliran SEPT-LEPT. Yaitu aliran

optimal yang dapat diharapkan. Job-job yang pendek dapat dijadwalkan di awal

untuk memastikan bahwa mesin 2 tidak mengurangi idle secara efektif, padahal

job yang pendek seharusnya juga dijadwalkan langsung di akhir aliran untuk

menghindari kemungkinan mesin 2 yang sibuk untuk waktu yang lama setelah

mesin 1 menyelesaikan semua pemrosesannya. Aliran optimal sedikit berbeda

ketika n ganjil atau genap. Jika genap, aliran optimalnya adalah 1, 3, 5, ..., n-1, n,

n-2, ..., 6, 4, 2 , sedangkan jika n ganjil maka aliran optimalnya adalah 1, 3, 5, ...,

n-1, n, ..., 6, 4, 2.

Teorema 11.2.2 memberikan indikasi dampak dari rata-rata waktu

pemrosesan pada aliran optimal. Generalisasi hasil dari teorema 11.2.2 menjadi 2

kali lebih dari 2 mesin adalah tidak mungkin. Contoh yang bertolak belakang

telah ditemukan.

Diketahui model yang sama dengan F1j = F2j = Fj . j = 1, ..., n tapi dengan

rataan distribusi F1 , F2 ,..., Fn menjadi identik dan sama dengan 1. Bagaimanapun

variansi distribusinya yang sekarang berbeda. Diasumsikan bahwa distribusinya

memiliki fungsi padat probabilitasnya simetris dan F1 ≥sv F2 ≥sv ... ≥ sv Fn. Ini

11

menandakan bahwa variabel random terletak di antara 0 dan 2. Untuk model 2

mesin dengan tidak menggunakan perantara buffer, teorema yang sama tetap

digunakan.

Teorema 11.2.3. Jika F1 ≥sv F2 ≥sv ... ≥ sv Fn maka 1, 3, 5, ..., n, ..., 6, 4, 2

dan 6, 4, 2, ..., n, ..., 1, 3, 5 meminimasi makespan harapan pada kelas kebijakan

nonpreemptive daftar statis

Bukti. Pertama ditunjukkan bahwa sembarang aliran dapat diubah menjadi

aliran yang lebih baik (dengan makespan harapan yang lebih kecil) dari bentuk 1,

j1, ..., jn-2 dari bentuk j1, ..., jn-2 adalah permutasi dari job 3, ..., n. Bandingkan

aliran

j1, …, j1, 1, jk+1, …, jl, 2, jl+1, …, jn-2

dengan aliran

1, j1, …, j1 , jk+1, …, jl, 2, jl+1, …, jn-2

pengurangan makespan aliran kedua dari yang pertama

E (max (X1, Xjl+1)) - E (max (Xj1, Xjk+1)) = E (min (Xj1, Xjk+1)) - E (min (X1, Xjl+1))

≥ 0

Oleh karena itu lebih baik untuk menjadwalkan job 1 lebih dulu. Pendapat serupa

ditunjukkan job 2 yang telah dijadwalkan sebelumnya.

Langkah selanjutnya menunjukkan bahwa sembarang aliran dapat diubah

menjadi bentuk 1, 3, j1 , ..., jn-2 , 2 dengan makespan harapan yang lebih kecil.

Bandingkan aliran

1, j1, …, jk, 3, jk+1, …, jn-3, 2

dengan aliran

1, 3, j1, …, jk, jk+1, …, jn-3, 2

12

Makespan harapan dari aliran pertama dikurangi makespan harapan dari aliran

kedua adalah

E (max (X1, Xjl)) - E (max (X3, Xjk+1)) - E (max (X1, X3)) - E (max (Xj1, Xjk+1))

= E (min (X1, X3)) + E (min (Xj1, Xjk+1)) - E (min (X1, Xjl)) - E (max (X3, Xjk+1))

Maka aliran optimal harusnya menjadi bentuk 1, 3, j1 , ..., jn-2 , 2 . Cara kerja pola

ini merupakan optimalisasi dari 2 aliran yang telah ditetapkan pada teorema yang

dapat diverivikasi secara mudah.

Hasil ini menyatakan bahwa aliran yang optimal meletakkan job–job

dengan variansi yang lebih luas terhadap titik awal dan akhir aliran, dan

meletakkan job-job dengan variansi yang lebih kecil terhadap titik tengah dari

aliran. Aliran seperti ini dapat disebut sebagai Aliran LV-SV.

Hal tersebut tidak akan jelas jika hasil yang sama tertahan ketika ada lebih

dari 2 mesin yang seri. Hasil dari kasus dengan mesin lebih dari satu sangat susah

untuk dibuat karena kompleksitas problem meningkat secara signifikan ketika

terjadi kenaikan jumlah mesin dari 2 ke 3 mesin.

Namun, beberapa sifat dapat ditunjukkan pada m mesin seri dengan

blocking, yaitu untuk kasus stokastik yang sama Fm

block Cmax . diasumsikan bahwa F1j = F2j = ... = Fmj = Fj dengan rata-rata 1/j

dan X1j ,..., Xmj adalah independen.

Teorema 11.2.4 Jika F1 ≤as F2 ≤as ... ≤as Fn maka aliran meminimasi

makespan jika dan hanya jika merupakan aliran SEPT-LEPT.

Bukti. Karena bukti dari teorema ini sudah dijelaskan dengan gamblang,

maka hanya sedikit uraian yang diberikan. Bukti tersebut serupa dengan teorma

5.2.4 dan terdiri dari 2 bagian. Pada bagian pertama ditunjukkan tiap aliran SEPT-

13

LEPT mencapai batas bawah dari Lemma 11.1.3 dan pada bagian kedua

ditunjukkan bahwa aliran yang bukan SEPT-LEPT mencapai makespan harapan

yang lebih luas dari batas bawahnya.

11.3 STOKASTIK OPEN SHOP

Diketahui 2 mesin open shop dimana waktu pemrosesan dari job j pada

mesin 1 adalah variabel random X1j , terdistribusi sesuai F1j dan pada mesin 2

adalah variabel random X2j , terdistribusi sesuai F2j . Tujuannya adalah untuk

meminimasi makespan harapan. Seperti sebelumnya, distribusi eksponensial

dipertimbangkan lebih dahulu. Pada kasus ini, bagaimanapun, tidak diketahui

apakah kebijakan optimal ketika F1j adalah eksponensial dengan tingkat rataan j

dan F2j adalah eksponensial dengan tingkat rataan j . Ini memunculkan bahwa

kebijakan optimal tidak mungkin memiliki struktur yang sederhana dan mungkin

tergantung pada nilai s dan s . Kasus khusus dimana j = j dan waktu

pemrosesan job j pada 2 mesin adalah i.i.d. eksponensial dengan tingkat j dapat

di analisis. Berbeda dengan hasil yang didapat pada stochastic flow shops,

kebijakan yang optimal sekarang tidak dapat dianggap sebagai aliran permutasi,

tetapi cukup sebagai kebijakan yang menetapkan tindakan yang diberikan

tergantung oleh keadaan sistem.

Teorema 11.3.1 Kebijakan nonpreemtive meminimasi makespan harapan

pada kelas kebijakan nonpreemtive dinamis sebaik kelas kebijakan preemtive

dinamis sebaik: kapanpun mesin bebas, penjadwal memilih dari job-job yang

belum menjalani pemrosesan pada salah satu dari dua mesin job dengan waktu

pemrosesan harapan yang terbesar. Jika tidak ada job yang tersisa, pengambil

keputusan dapat mengambil sembarang job yang hanya membutuhkan

pemrosesan pada mesin yang bebas. Preemtif tidak menggantikan.

Bukti. Teorema pada awalnya ditunjukkan untuk kelas kebijakan

nonpreemtive dinamis. Hanya dalam kasus deterministic, 2 mesin sibuk secara

14

kontinyu dengan kemungkinan pengecualian, sebagian besar, periode idle tunggal

pada sebagian besar satu mesin. Periode idle dapat salah satu dari tipe 1 dan tipe

2. pada kasus tidak ada periode idle sama sekali atau idle tipe 2, makespan setara

dengan maksimum beban kerja pada kedua mesin, adalah:

Pada kasus periode idle tipe 1, makespan lebih luas dari RHS dari ekspresi diatas.

Sebenarnya, pada kasus ini makespan adalah:

Dimana I1 adalah panjang periode idle dan I2 adalah makespan dikurangi beban

kerja mesin yang tidak berpengalaman pada periode idle. Sangat jelas bahwa term

pertama pada RHS dari expresi diatas tidak tergantung pada kebijakan yang

digunakan. Untuk membuktikan teorema ini mencukupi untuk

menunjukkanbahwa kebijakan yang dideskripsikan meminimasi nilai harapan dari

term pada RHS, yaitu E(min(I1,I2). Term ini sangat jelas tidak tergantung pada

kebijakan yang digunakan.

Untuk mendapatkan pengertian yang lebih pada term kedua ini,

pertimbangkan hal berikut. Misal job j adalah job yang mengakibatkan periode

idle, dimana job j adalah job terakhir yang harus diselesaikan. Diketahui bahwa

job j mengakibatkan periode idle tipe 1. seperti contoh 8.13, dimana:

Jika q’j menyatakan probabilitas job j yang menyebabkan periode idle tipe 1 di

bawah kebijakan , sehingga

Dimana

Dari teori dynamic programming, sama pengertiannya bahwa untuk membuktikan

optimalitas kebijakan yang sudah ditetapkan pada teorema, katakanlah kebijakan

15

*, itu cukup untuk menunjukkan bahwa dengan memakai * dari waktu

sembarang t menuju hasil dengan makespan harapan yang lebih kecil dari yang

digerakkan secara berbeda pada waktu t dan menggunakan * dari keputusan

pergerakkan kemajuan berikutnya. Dua tipe dari gerakan pada waktu t melanggar

*. Pertama, hal tersebut mungkin untuk memulai job yang bukan job terbesar

diantara job-job yang tidak diproses pada mesin lain; kedua, tidak mungkinuntuk

memulai job yang sudah diproses pada mesin lainyaketika masih ada job yang

belum menerima pemrosesan pada mesin lainnya.

Pada bagian akhir pembuktian, notasi berikut digunakan, ditentukan J1

mewakili seperangkat job tersebut, pada waktu t, yang pemrosesan pertamanya

belum selesai dan ditentukan J2 mewakili seperangkat job tersebut, pada waktu t,

yang pemrosesan keduanya belum dimulai. Secara jelas, tentukan J2 serta

tentukan J1 J2 . Job-job yang sudah selesai tapi belum memulai proses kedua

ada di J2 tetapi tak ada di J1 .

Kasus 1. Misal π’ menyatakan kebijakan bahwa pada waktu t, meletakkan

job k pada mesin yang bebas, dengan k Є J1 ,dan k bukan job terbesar di J1, dan

kembali pada * dari keputusan saat maju yang berikutnya. Biarkan job 0 menjadi

job yang sedang diproses ,pada waktu t , pada mesin yang sibuk. Biarkan r’j (rj*)

menyatakan probabilitas bahwa job j adalah job terakhir yang diselesaikan pada

pemrosesan pertama dibawah kebijakan π’ (π*) oleh karena itu menjadi pengganti

untuk mengakibatkan periode idle. Missal job j diproses pada mesin 1. Pada job j

untuk membuat periode idle tipe 1, memiliki daur hidup pada job-job tersebut

yang masih harus menerima dari pemrosesan kedua. Pemrosesan pada mesin 2,

memiliki daya tahan lama untuk semua job yang sudah menerima pemrosesan

kedua ; pada mesin 1. Sehingga qj* = rj*

dan q’j = r’

j

juga q’0 = q*

0

16

Memperhatikan bahwa q*0 dan q’

j tidak tergantung pada mesin dimana job i, i Є

{J2 – j} menerima pemrosesan kedua: pemrosesan job i untuk kedua kalinya pada

mesin yang sama pada pemrosesan pertama, nilai hasil untuk q*j dan q’j yang sama

ketika job i diproses untuk kedua kalinya pada mesin yang tidak diproses pada

pemrosesan pertama. Untuk menunjukkan bahwa E(H*) ≤ E(H’), maka akan

ditunjukkan sebagai berikut

Memperhatikan bahwa jika λa ≤ λb , maka

Misalkan aliran dimana job-job pada J1 dimulai setelah pemrosesan pertama

dibawah π’’ adalah 0, k, 1, 2, ..., k-1, k+1, ... dimana

λ1 ≤ λ2 ≤ ...≤ λk-1 ≤ λk ≤ λk+1 ≤...

melakukan pertukaran pada aliran ini menghasilkan 0, k, 1, 2, ..., k-1, k+1, ...

Biarkan aliran baru ini menyesuaikan dengan kebijakan π’’. Sekarang Lemma

10.1.1 dapat digunakan untuk π’(π’’) menyesuaikan dengan aliran X0, X0, X0, ...,

X0 (X0, X0, X0, ..., X0) dan r’j (r’’j) mennyesuaikan dengan rj (qj) pada Lemma

10.1.1 dan pertidaksamaan di atas, hal ini ditetapkan bahwa E(H’’) ≤ E(H’).

Memproses pola ini, untuk tiap langkah pertukaran yang dapat digantikan kembali

dilakukan antara job k dan job yang mengikuti tepat di belakangnya, alirannya 1,

2, ..., k-1, k+1, ... diperoleh. Pada setiap tahap ditunjukkan bahwa makespan

harapan berkurang.

Kasus 2. Misal π’ pada kasus ini menyatakan kebijakan yang menyusun

penjadwal pada waktu t untuk memulai job l dengan rataan λ1, 1 Є {J2 – j} dan

untuk mengadopsi kebijakan π* dari keputusan saat maju yang berikutnya. Yaitu

job l mulai pada pada waktu t dengan pemrosesan keduanya ketika masih ada job

di Jl yang belum selesai melakukan pemrosesan pertamanya. Misalkan r’j, j Є Jl

pada kasus ini menyatakan probabilitas job j di bawah π’ menyelesaikan

17

pemrosesan pertama setelah semua job pada Jl selesai mengerjakan pemrosesan

pertama dan setelah job l menyelesaikan pemrosesan keduanya. Misal r’j

menyatakan probabilitas job l dibawah π’ menyesaikan pemrosesan kedua setelah

semua job pada Jl telah menyelesaikan pemrosesan pertamanya. Diasumsikan

bahwa ketika menggunakan π* dari t menuju penjadwal, setelah memulai semua

job di Jl , pilih job l sebagai job pertama yang munuju ke perosesan kedua dan

dapat melakukan hal ini pada mesin yang dapat digunakan pertama kali ( pada

kasus 1 hal tersebut menjadi jelas bahwa probabilitas job j, j ≠ l menyebabkan

periode idle tipe 1tidak tergantung pada mesin mana job l diproses untuk yang

kedua). Misal r*j sekarang dinyatakan sebagai probabilitas bahwa job j

menyelesaikan pemrosesan pertama setelah job Jl – j menyelesaikan pemrosesan

pertamanya dan setelah job j menyelesaikan pemrosesan keduanya. Misal r*j

menyatakan probabilitas bahwa job l menyelesaikan pemrosesan keduanya setelah

semua job di Jl sudah menyelesaikan pemrosesan pertamanya. Jadi,

qj* = rj*

untuk semua j pada J l , dan

q’j = r’

j

untuk semua j pada J l , Kemudian

untuk menunjukkan bahwa E(H*) ≤ E(H’), cukup akan ditunjukkan bahwa:

Dari Lemma 10.1.1, mengikuti bahwa r*l ≥ r’l dan r*l ≥ r’l , j ≤ Jl. Maka akan

mengikuti E(H*) ≤ E(H’). Pendapat standard ditunjukkan bahwa kebijakan

nonpreemptive dinamis juga optimal dalam kelas kebijakan preemptive dinamis.

Hal tersebut melengkapi bukti teorema. Bukti tersebut muncul menjadi sangat

sulit untuk generalisasi hasil ini menjadi distribusi kelas yang lebih luas.

Contoh 11.3.2

18

Misal waktu pemrosesan job j pada mesin i, i = 1, 2 menjadi campuran

eksponensial dengan rataan λj dan nol dengan probabilitas yang selalu berubah.

Kebijakan optimalnya adalah untuk memproses pada waktu 0 untuk semua job

untuk tiap periode yang pendek pada kedua mesin hanya untuk memastikan jika

waktu pemrosesan pada kedua mesin adalah nol atau positif. Setelah semua sifat

dasar dari waktu pemrosesan ditentukan , permasalahannya adalah mengurangi

pada skenario yang dicakup oleh Teorema 11.3.1

Teorema 11.3.1 menetapkan bahwa job-job yang masih harus melalui

pemrosesan pada kedua mesin memiliki prioritas semua job yang harus diproses

pada satu mesin. Secara akal sehat, kebijakan yang digambarkan pada teorema

11.3.1 memiliki kesamaan dengan aturan LAPT yang diperkenalkan pada bagian

6.1 untuk permasalahn deterministik O2 ||Cmax .

Dari teorema 11.3.1 hal tersebut mengikuti bahwa permasalahan mudah

dikerjakan serta jika waktu pemrosesan job j pada mesin 1 sebaik mesin 2

terdistribusi eksponensial dengan rataan 2. Kebijakannya untuk meminiasi

makespan harapan selalu memberikan prioritas pada job yang belum melalui

pemrosesan pada mesin lainnya. Aturan umum ini tidak membutuhkan preemptive

apapun. Pada literatur, aturan ini disamakan dengan skenario aturan Longest

Expected Remaining Processing Time First (LERPT).

Sesungguhnya, jika pada kasus dua mesin semua waktu pemrosesan

adalah eksponensial dengan rataan 1 dan jika preemptive diijinkan, maka jumlah

waktu penyelesaian harapan dapat juga dianalisa. Model ini adalah perimbangan

eksponensial dari O2 | prmp. Pij = 1 | ΣCi. Total waktu penyelesaian harapan

secara jelas membutuhkan kebijakan yang berbeda. Satu kebijakan umum adalah

menarik pada kebijakan kelas preemptive dinamis: pertimbangkan kebijakan

yang menentukan penjadwal proses, jika memungkinkan, pada setiap salah satu

dari mesin job yang sudah diproses pada mesin lainnya. Kebijakan ini mungkin

membutuhkan penjadwal pada saat itu untuk menyela pemrosesan sebuah job dan

memulai dengan pemrosesan job yang baru saja selesai dioperasi pada mesin yang

19

lain. Pada situasi tertentu kebijakan ini dikenal dengan Shortest Expected

Remaining Processing Time First (SERPT)

Teorema 11.3.3. Kebijakan preemptive SERPT meminimasi total waktu

penyelesaian harapan pada dua mesin open shop pada kebijakan kelas

preemptive dinamis.

Bukti. Misal Aij, i = 1, 2 , j = 1, …, n menyatakan waktu j job telah

menyelesaikan kebutuhan pemrosesan mereka pada mesin i. Periode idle pada

mesin 2 dapat terjadi hanya jika

A1, n-1 ≤ A2, n-1 ≤ A1, n

Dan periode idle pada mesin 1 dapat terjadi jika

A1, n-1 ≤ A1, n-1 ≤ A2, n

Misal j1, j2, ..., jn menyatakan aliran pada job yang meninggalkan sistem, adalah,

job j1 merupakan yang pertama menyelesaikan kedua operasi, job j2 yang kedua

dan seterusnya.

Kebijakan SERPT

Cji = max (A1,k , A2,k ) = k = 1,..., n-1

Ini menandakan bahwa jangka waktu dari k penyelesaian job, k = 1,..., n-1 adalah

variabel random yang memaksimumkan dua variabel independen random,

keduanya dengan distribusi Erlang (k). Distribusi penyelesain job terakhir,

makespan, adalah berbeda. Ini sangat jelas bahwa di bawah kebijakan preemptive

SERPT jumlah waktu penyelesaain harapan pada awal n-1 job yang meninggalkan

sistem diminimasi. Hal ini tidak secara langsung nyata bahwa SERPT

meminimasi jumlah harapan dari semua waktu penyelesaian. Misal

B = max (A1, n-1 ≤ A1, n-1 ≤ A2, n)

Variabel random B adalah bebas dari kebijakan. Pada waktu B, tiap mesin

memiliki paling banyak satu operasi untuk diselesaikan. Perbedaan dapat dibuat

antara 2 kasus.

Pertama, tentukan kasusnya dimana, pada B, job yang tersisa yang harus

diselesaikan pada salah satu mesin. Pada kasus ini, tidak dari probabilitas

20

penyebab maupun biaya tunggu mendatangkan job terakhir untuk meninggalkan

sistem tergantung pada kebijakan. Karena SERPT meminimaasi jumlah total

waktu penyelesaian dari semua job.

Kedua, tentukan kasusnya dimana, pada waktu B, job yang tersisa yang

harus diproses pada kedua mesin. (i) Ada 1 job yang tertinggal, dimana

membutuhkan pemrosesan pada kedua mesin atau (ii) ada 2 job yang tersisa,

masing-masing membutuhkan pemrosesan satu mesin. Dibawah (i) total waktu

penyelesaian harapan dari dua job terakhir untuk menyelesaikan proses mereka

adalah E(B) + E(B+2), mengingat dibawah (ii) adalah E(B) +1+ E(B) +1. Pada

kedua subkasus total waktu penyelesaian harapan dari dua job terakhir adalah

sama. Karena SERPT meminimasi total waktu penyelesaian harapan dari n-2 job

terakhir untuk meninggalkan sistem, maka SERPT meminimasi total waktu

penyelesaian harapan dari semua job.

Yang disayangkan, tidak ada hasil yang dilaporkan pada literatur dengan kaitan

stokastik open shop dengan jumlah mesin lebih dari 2.

11.4 STOKASTIK JOB SHOP

Ditentukan sekarang dua mesin job shop dengan job j memiliki waktu pemrosesan

pada mesin 1 adalah terdistribusi eksponensial dengan rataan λj dan pada mesin 2

terdistribusi eksponensial dengan rataan μi. Beberapa harus diproses pertama pada

mesin 1 kemudian mesin 2, selain itu job yang tersisa harus diproses pertama pada

mesin 2 kemudian meisn 1. Misal J1,2 menyatakan seperangkat job yang pertama

dan J2,1 menyatakan yang kedua. Meminimasi perubahan makespan harapan

menjadi lebih mudah untuk diperpanjang dari 2 mesin flowshop model dengan

waktu pemrosesan eksponensial.

Teorema 11.4.1. kebijakan yang ada meminimasi makespan harapan

pada kelas kebijakan nonpreemptive dinamis sebaik kelas kebijakan preemptive

21

dinamis: ketika mesin 1 menganggur, pengambil keputusan memilih dari J1,2 job

dengan λj - μi tertinggi; jika semua job dari J1,2 telah menerima pemrosesan pada

mesin 1, ia dapat mengambil job manapun J2,1. Ketika mesin 2 menganggur,

pengambil keputusan memilih dari J1,2 job dengan λj - μi tertinggi; jika semua job

dari J2,1 telah menerima pemrosesan pada mesin 2, ia dapat mengambil job

manapun J1,2.

Bukti. Bukti terdiri dari 2 bagian. Pertama ditunjukkan dengan job dari J2,1

memiliki prioritas yang lebih rendah pada mesin 1 dari job J1,2 yang dipesan pada

mesin 1 dalam pengurangan pesanan λj - μi dan job dari J2,1 yang dipesan dari

mesin 2 dalam pengurangan pesanan λj - μi.

Untuk menunjukkan bagian pertama, kondisi realisasi dari semua 2n

waktu pemrosesan. Pendapatnya kontradiksi, misal jadwal optimal dimana titik

jadwal tertentu job dari J2,1 pada mesin 1 sebelum job dari J1,2. Pertimbangkan job

terakhir dari J2,1 yang diproses pada mesin 1 sebelum job dari J1,2. Lakukan

perubahan berikut pada jadwal. Bawa job ini dari J2,1 dan tunda pemrosesannya

sampai job terakhir J1,2 selesai dikerjakan. Semua job dari J1,2 setelah perubahan

ini, diselesaikan lebih cepat pada mesin 2. Hal tersebut menandakan bahwa mesin

1 akan menyelesaikan semua pemrosesan pada saat yang sama seperti sebelum

pergantian. Bagaimanapun mesin 2 dapat selesai dengan semua proses lebih

dahulu dari sebelum pergantian karena job dari J1,2 akan dapat lebih cepat dari

mesin 2.

Untuk membuktikan bagian kedua, tahapnya sebagai berikut. Pertama

tentukan J1,2 untuk menunjukkan bahwa job dari J1,2 harus dijadwal mengurangi

pesanan λj - μi , kondisi pertama pada waktu pemrosesan pada kedua mesin dari

semua job pada J2,1. job dari J2,1 memiliki prioritas yang tinggi pada mesin 2 dan

prioritas rendah pada mesin 1. Diasumsikan dua batasan job dari J1,2 tidak

dijadwalkan mengurangi pesanan λj - μi . melakukan penggentian dengan cara

yang sama seperti yang dilakukan pada teorema 11.1.1 menghasilkan makespan

harapan yang lebih kecil. Ini menunjukan bahwa job dari J1,2 harus dijadwalkan

pada mesin 1 mengurangi pesanan λj - μi. Pendapat yang sama ditunjukkan bahwa

job dari J2,1 harus dijadwalkan pada mesin 2 mengurangi pesanan λj - μi.

22

Hasil yang digambarkan pada Teorema 11.4.1 memiliki kesamaan dengan

hasil yang digambarkan pada bagian 6.2 dengan memperhatikan J2 || Cmax. Pada

penjadwalan deterministik, penelitian lebih lanjut J2 || Cmax dihapuskan pada

prosedur / cara heuristik dan enumeratif. Pada penjadwalan stokastik belum

banyak penelitian yang telah dilakukan pada job shop dengan jumlah mesin lebih

dari 2.

23