STK352 Analisis Deret Waktu Model Deret Waktu …Di dalam pembahasan ini, {Zt} adalah data deret waktu dan {at} adalah white noise Proses linier Umum {Zt} adalah suatu proses yang

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 1 / 30

STK352Analisis Deret Waktu

Model Deret Waktu StasionerPertemuan 5-6

Farid Mochamad AfendiDepartemen Statistika IPB

26 Maret 2008

contents

contents

PROSES LINIERUMUM

PROSES MOVINGAVERAGE

PROSESAUTOREGRESSIVE

MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


PROSES LINIER UMUM

PROSES MOVING AVERAGE

PROSES AUTOREGRESSIVE

MODEL ARMA

INVERTIBILITAS

PROSES LINIER UMUM

contents

PROSES LINIERUMUM

Definisi

Kasus Khusus



MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


Definisi

contents

PROSES LINIERUMUM

Definisi

Kasus Khusus



MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


■ Di dalam pembahasan ini, {Zt} adalah data deret waktudan {at} adalah white noise

■ Proses linier Umum {Zt} adalah suatu proses yangmerupakan kombinasi linier dari white noise sekarang dansebelumnya

Zt = at + ψ1at−1 + ψ2at−2 + . . .

denganΣ∞

i=1ψ2i <∞

Definisi

contents

PROSES LINIERUMUM

Definisi

Kasus Khusus



MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


■ Di dalam pembahasan ini, {Zt} adalah data deret waktudan {at} adalah white noise

■ Proses linier Umum {Zt} adalah suatu proses yangmerupakan kombinasi linier dari white noise sekarang dansebelumnya

Zt = at + ψ1at−1 + ψ2at−2 + . . .

denganΣ∞

i=1ψ2i <∞

Kasus Khusus

contents

PROSES LINIERUMUM

Definisi

Kasus Khusus



MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


Perhatikan bila ψi = φi dengan −1 < φ < 1 maka

Zt = at + φ1at−1 + φ2at−2 + . . .

■ Nilai harapan

E(Zt) = E(at + φat−1 + . . .)

= E(at) + φE(at−1) + . . .

= 0

■ Ragam

V ar(Zt) = V ar(at + φat−1 + φ2at−2 + . . .)

= V ar(at) + φ2V ar(at−1) + φ4V ar(at−2) + . . .)

= σ2a(1 + φ2 + φ4 + . . .)

= σ2a

1

1 − φ2

Kasus Khusus

contents

PROSES LINIERUMUM

Definisi

Kasus Khusus



MODEL ARMA

INVERTIBILITAS



Zt = at + φ1at−1 + φ2at−2 + . . .

■ Nilai harapan

E(Zt) = E(at + φat−1 + . . .)

= E(at) + φE(at−1) + . . .

= 0

■ Ragam



= σ2a(1 + φ2 + φ4 + . . .)

= σ2a

1

1 − φ2

Kasus Khusus

contents

PROSES LINIERUMUM

Definisi

Kasus Khusus



MODEL ARMA

INVERTIBILITAS



Zt = at + φ1at−1 + φ2at−2 + . . .

■ Nilai harapan

E(Zt) = E(at + φat−1 + . . .)

= E(at) + φE(at−1) + . . .

= 0

■ Ragam



= σ2a(1 + φ2 + φ4 + . . .)

= σ2a

1

1 − φ2

Kasus khusus (lanjutan)

contents

PROSES LINIERUMUM

Definisi

Kasus Khusus



MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


■ Koragam

Cov(Zt, Zt−1) = Cov(at + φat−1 + φ2at−2 + . . . , at−1 + φat−2 + . . .)

= Cov(φat−1, at−1) + Cov(φ2at−2, φat−2) + . . .

= φσ2a + φ3σ2

a + φ5σ2a + . . .

= φσ2a(1 + φ2 + φ4 + . . .)

=φσ2

a

1 − φ2

■ sehingga Corr(Zt, Zt−1) =φσ2

a

1−φ2

σ2a

1−φ2

= φ

■ Selain itu, γk = Cov(Zt, Zt−k) =φkσ2

a

1−φ2

dan Corr(Zt, Zt−k) = φk untuk k = 0, 1, 2, . . .

PROSES MOVING AVERAGE

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)

Contoh Pola DataMA(1)

Macro MINITAB untukMA(1)

Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


Ide Dasar

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


■ Merupakan proses linier umum dengan hanya beberapa ψyang tidak bernilai nol.

Zt = at − θ1at−1 − θ2at−2 − . . .− θqat−q

■ Model tersebut dinamakan Model Moving Average ordo qatau MA(q)

Ide Dasar

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS





Ide Dasar

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS





Proses MA(1)

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


■ Nilai harapan: E(Zt) = E(at − θat−1) = 0■ Ragam: γ0 = V ar(Zt) = σ2

a(1 + θ2)■ Koragam:

◆ lag k = 1:

Cov(Zt, Zt−1) = Cov(at − θat−1, at−1 − θat−2)

γ1 = Cov(−θat−1, at−1) = −θσ2a

◆ lag k ≥ 2:


γ2 = 0

■ Korelasi:

ρk =

{

−θ1+θ2 jika k = 1

0 jika k ≥ 2

Proses MA(1)

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS




◆ lag k = 1:



◆ lag k ≥ 2:


γ2 = 0

■ Korelasi:

ρk =

{


0 jika k ≥ 2

Proses MA(1)

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS




◆ lag k = 1:



◆ lag k ≥ 2:


γ2 = 0

■ Korelasi:

ρk =

{


0 jika k ≥ 2

Contoh Pola Data MA(1)

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


Plot MA(1): θ = 0.9 Plot Zt vs Zt−1

Plot Zt vs Zt−2

Gambar 1: Contoh MA(1)

Macro MINITAB untuk MA(1)

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


Ketikkan program berikut di NOTEPAD. Untuk menjalankan,setelah MTB>, ketikkan % < namafile >

Begin Code

1 gmacro2 ma13 noecho4 note5 note: Ketikkan berturut-turut ukuran contoh dan koefisien MA(1)6 note: Ketik END dan tekan ENTER untuk mengakhiri input7 set c3;8 file "terminal".9 let k1=c3(1)+1

10 let k2=c3(2)11 random k1 c1;12 normal 0 1.13 lag c1 c214 let c1=c1-k2*c215 copy c1 c1;16 exclude;17 where "c1=’*’".18 erase k1 k2 c219 name c1 ’MA(1)’20 note: Hasil simulasi MA(1) di C121 endmacro

End Code

Proses MA(2)

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


Bila q = 2 maka: Zt = at − θ1at−1 − θ2at−2

■ Nilai harapan: E(Zt) = 0■ Koragam:

Lag k = 0 :

γ0 = V ar(Zt)

= V ar(at − θ1at−1 − θ2at−2)

= (1 + θ21 + θ2

2)σ2a

Lag k = 1 :

γ1 = Cov(Zt, Zt−1)

= Cov(at − θ1at−1 − θ2at−2, at−1 − θ1at−2 − θ2at−3)

= Cov(−θ1at−1, at−1) + Cov(−θ2at−2,−θ1at−2)

= (−θ1 + θ1θ2)σ2a

Proses MA(2)

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS




Lag k = 0 :

γ0 = V ar(Zt)

= V ar(at − θ1at−1 − θ2at−2)

= (1 + θ21 + θ2

2)σ2a

Lag k = 1 :




= (−θ1 + θ1θ2)σ2a

Proses MA(2)

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS




Lag k = 0 :

γ0 = V ar(Zt)

= V ar(at − θ1at−1 − θ2at−2)

= (1 + θ21 + θ2

2)σ2a

Lag k = 1 :




= (−θ1 + θ1θ2)σ2a

Proses MA(2) (lanjutan)

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


■ Koragam (lanjutan)

Lag k = 2 :



= −θ2σ2a

■ Korelasi:

ρk =

8

>

>

<

>

>

:

−θ1+θ1θ2

1+θ2

1+θ2

2

jika k = 1−θ2

1+θ2

1+θ2

2

jika k = 2

0 jika k ≥ 3

Proses MA(2) (lanjutan)

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


■ Koragam (lanjutan)

Lag k = 2 :



= −θ2σ2a

■ Korelasi:

ρk =

8

>

>

<

>

>

:

−θ1+θ1θ2

1+θ2

1+θ2

2

jika k = 1−θ2

1+θ2

1+θ2

2

jika k = 2

0 jika k ≥ 3

Contoh Pola Data MA(2)

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


Plot MA(2): θ1 = 1; θ2 = −0.6 Plot Zt vs Zt−1

Plot Zt vs Zt−2

Gambar 2: Contoh MA(2)

Macro MINITAB untuk MA(2)

contents

PROSES LINIERUMUM


Ide Dasar

Proses MA(1)



Proses MA(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS



Begin Code

22 gmacro23 ma224 noecho25 note26 note: Ketikkan berturut-turut ukuran contoh dan kedua koefisien MA27 note: Ketik END dan tekan ENTER untuk mengakhiri input28 set c3;29 file "terminal".30 let k1=c3(1)+231 let k2=c3(2)32 let k3=c3(3)33 random k1 c1;34 normal 0 1.35 lag c1 c236 lag c2 c337 let c1=c1-k2*c2-k3*c338 copy c1 c1;39 exclude;40 where "c1=’*’".41 erase k1 k2 k3 c242 name c1 ’MA(2)’43 note: Hasil simulasi MA(2) di C144 endmacro

End Code

PROSES AUTOREGRESSIVE

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)

Pola Autokorelasi AR(1)

Contoh Pola Data AR(1)

Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)

Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


Ide Dasar

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


■ Sesuai dengan namanya, proses ini merupakan regresidengan data time series itu sendiri sebagai peubah X.

■ Secara umum, bila {Zt} adalah proses autoregresi ordo p(AR(p)) maka

Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + · · · + at

Ide Dasar

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS




Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + · · · + at

Ide Dasar

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS




Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + · · · + at

Proses AR(1)

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


■ Karena stasioner, diasumsikan E(Zt) = 0

■ Karena γ0 = φ2γ0 + σ2a, maka γ0 =

σ2

a

1−φ2

di mana |φ| < 1 (stationary condition)■ Bila model AR(1) kedua sisi dikalikan dengan

Zt−k (k = 1, 2, . . .) maka

E(ZtZt−k) = φE(Zt−1Zt−k) + E(atZt−k)

γk = φγk−1 untuk k = 1, 2, . . .

◆ untuk k = 1 → γ1 = φγ0 = φσ2a/(1 − φ2)

◆ untuk k = 2 → γ2 = φγ1 = φ2σ2a/(1 − φ2)

◆ secara umum: γk =φkσ2

a

1−φ2 untuk k = 0, 1, 2, . . .

■ Dengan demikian ρk = γk

γ0

= φk untuk k = 0, 1, 2, . . .

Proses AR(1)

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS




σ2

a

1−φ2


Zt−k (k = 1, 2, . . .) maka


γk = φγk−1 untuk k = 1, 2, . . .

◆ untuk k = 1 → γ1 = φγ0 = φσ2a/(1 − φ2)

◆ untuk k = 2 → γ2 = φγ1 = φ2σ2a/(1 − φ2)


a

1−φ2 untuk k = 0, 1, 2, . . .


γ0

= φk untuk k = 0, 1, 2, . . .

Proses AR(1)

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS




σ2

a

1−φ2


Zt−k (k = 1, 2, . . .) maka


γk = φγk−1 untuk k = 1, 2, . . .

◆ untuk k = 1 → γ1 = φγ0 = φσ2a/(1 − φ2)

◆ untuk k = 2 → γ2 = φγ1 = φ2σ2a/(1 − φ2)


a

1−φ2 untuk k = 0, 1, 2, . . .


γ0

= φk untuk k = 0, 1, 2, . . .


contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


Struktur autokorelasi AR(1) menurun ekponensial (tail off )

φ = 0.9 φ = 0.4

φ = −0.7

Gambar 3: Pola autokorelasi AR(1)


contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


Plot AR(1): φ = 0.7 Plot Zt vs Zt−1

Plot Zt vs Zt−2

Gambar 4: Contoh AR(1)

Macro MINITAB untuk membangkitkan AR(1)

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS



Begin Code

45 gmacro46 ar147 noecho48 note49 note: Ketikkan berturut-turut ukuran contoh dan koefisien AR(1)50 note: Ketik END dan tekan ENTER untuk mengakhiri input51 set c3;52 file "terminal".53 let k1=c3(1)+5154 let k2=c3(2)55 random k1 c1;56 normal 0 1.57 lag c1 c258 do k10=1:5059 let c2=k2*c2+c160 lag c2 c261 enddo62 copy c2 c1;63 include;64 rows 52:k1.65 erase k1 k2 k10 c266 name c1 ’AR(1)’67 note: Hasil simulasi AR(1) di C168 endmacro

End Code

Proses AR(2)

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


■ Bila p = 2 didapatkan

Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + at

■ Stationarity conditions bagi AR(2) adalah

φ1 + φ2 < 1, φ2 − φ1 < 1, |φ2| < 1

■ Struktur koragam

γk = φ1γk−1 + φ2γk−1, k = 1, 2, . . .

■ Struktur autokorelasi

ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−1, k = 1, 2, . . .

Proses AR(2)

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS





φ1 + φ2 < 1, φ2 − φ1 < 1, |φ2| < 1


γk = φ1γk−1 + φ2γk−1, k = 1, 2, . . .


ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−1, k = 1, 2, . . .

Proses AR(2)

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS





φ1 + φ2 < 1, φ2 − φ1 < 1, |φ2| < 1


γk = φ1γk−1 + φ2γk−1, k = 1, 2, . . .


ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−1, k = 1, 2, . . .

Proses AR(2)

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS





φ1 + φ2 < 1, φ2 − φ1 < 1, |φ2| < 1


γk = φ1γk−1 + φ2γk−1, k = 1, 2, . . .


ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−1, k = 1, 2, . . .


contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


Struktur autokorelasi AR(2) juga menurun ekponensial (tail off )

φ1 = 0.5, φ2 = 0.25 φ1 = 1.0, φ2 = −0.25

φ1 = 1.5, φ2 = −0.75 φ1 = 1.0, φ2 = −0.6

Gambar 5: Pola autokorelasi AR(2)


contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


φ1 = 1.5; φ2 = −0.75 φ1 = 0.5; φ2 = 0.25

Gambar 6: Contoh AR(2)

Macro MINITAB untuk membangkitkan AR(2)

contents

PROSES LINIERUMUM



Ide Dasar

Proses AR(1)




Proses AR(2)




MODEL ARMA

INVERTIBILITAS


Begin Code

69 gmacro70 ar271 noecho72 note73 note: Ketikkan berturut-turut ukuran contoh dan koefisien AR(2)74 note: Ketik END dan tekan ENTER untuk mengakhiri input75 set c3;76 file "terminal".77 let k1=c3(1)+5178 let k2=c3(2)79 let k3=c3(3)80 random k1 c1;81 normal 0 1.82 lag c1 c283 lag c2 c484 do k10=1:5085 let c5=k2*c4+k3*c2+c186 lag c4 c287 enddo88 copy c5 c1;89 include;90 rows 52:k1.91 erase k1 k2 k3 k10 c2 c4 c592 name c1 ’AR(2)’93 note: Hasil simulasi AR(2) di C194 endmacro

End Code

MODEL ARMA

contents

PROSES LINIERUMUM



MODEL ARMA

Ide Dasar

Model ARMA(1,1)

INVERTIBILITAS


Ide Dasar

contents

PROSES LINIERUMUM



MODEL ARMA

Ide Dasar

Model ARMA(1,1)

INVERTIBILITAS


Model ARMA merupakan kombinasi dari AR(p) dan MA(q),sehingga biasa dituliskan ARMA(p, q)

Zt = φ1Zt−1+φ2Zt−2+. . .+φpZt−p+at−θ1at−1−θ2at−2−. . .−θqat−q

Model ARMA(1,1)

contents

PROSES LINIERUMUM



MODEL ARMA

Ide Dasar

Model ARMA(1,1)

INVERTIBILITAS


■ Bila p = 1 dan q = 1 maka

Zt = φZt−1 + at − θat−1


γk =(1 − θφ)(φ− θ)

1 − φ2φk−1σ2

a untuk k ≥ 1

■ Struktur korelasi

ρk =(1 − θφ)(φ− θ)

1 − 2θφ+ θ2φk−1σ2

a untuk k ≥ 1

■ Dengan demikian, autokorelasi Model ARMA juga menuruneksponensial

Model ARMA(1,1)

contents

PROSES LINIERUMUM



MODEL ARMA

Ide Dasar

Model ARMA(1,1)

INVERTIBILITAS





γk =(1 − θφ)(φ− θ)

1 − φ2φk−1σ2

a untuk k ≥ 1


ρk =(1 − θφ)(φ− θ)

1 − 2θφ+ θ2φk−1σ2

a untuk k ≥ 1


Model ARMA(1,1)

contents

PROSES LINIERUMUM



MODEL ARMA

Ide Dasar

Model ARMA(1,1)

INVERTIBILITAS





γk =(1 − θφ)(φ− θ)

1 − φ2φk−1σ2

a untuk k ≥ 1


ρk =(1 − θφ)(φ− θ)

1 − 2θφ+ θ2φk−1σ2

a untuk k ≥ 1


Model ARMA(1,1)

contents

PROSES LINIERUMUM



MODEL ARMA

Ide Dasar

Model ARMA(1,1)

INVERTIBILITAS





γk =(1 − θφ)(φ− θ)

1 − φ2φk−1σ2

a untuk k ≥ 1


ρk =(1 − θφ)(φ− θ)

1 − 2θφ+ θ2φk−1σ2

a untuk k ≥ 1


INVERTIBILITAS

contents

PROSES LINIERUMUM



MODEL ARMA

INVERTIBILITAS

Invertibilitas


Invertibilitas

contents

PROSES LINIERUMUM



MODEL ARMA

INVERTIBILITAS

Invertibilitas


■ Model AR dapat diungkapkan dalam bentuk Model MA,demikian pula sebaliknya

STK352 Analisis Deret Waktu Model Deret Waktu …Di dalam pembahasan ini, {Zt} adalah data deret waktu dan {at} adalah white noise Proses linier Umum {Zt} adalah suatu proses yang

Documents