STK352 Analisis Deret Waktu Identiﬁkasi Model ARIMA · SIFAT SACF Fungsi Autokorelasi Contoh Sebaran Percontohan Autokorelasi Contoh PACF SPACF KETIDAKSTASIONERAN METODE IDENTIFIKASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 1 / 24

STK352Analisis Deret Waktu

Identifikasi Model ARIMAPertemuan 8

Farid Mochamad AfendiDepartemen Statistika IPB

30 April 2008

MATERI PEMBAHASAN

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN

METODEIDENTIFIKASILAINNYA

RINGKASAN POLAACF-PACF


MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN

METODE IDENTIFIKASI LAINNYA

RINGKASAN POLA ACF-PACF

MODEL BOX-JENKINS

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

Model Box-JenkinsLangkah-langkahPemodelan Box-Jenkins

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




Model Box-Jenkins

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Pendekatan berupa proses AR dan MA terhadap data time

series dimulai oleh Yule.

Model Box-Jenkins

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





series dimulai oleh Yule.■ Box dan Jenkins lewat bukunya ’Time Series Analysis:

Forecasting and Control’ mengajukan upaya sistematisuntuk identifikasi dan pendugaan model AR dan MA sertagabungan keduanya (ARMA).

Model Box-Jenkins

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN







■ Dari sinilah model ARMA (ARIMA) juga dikenal denganModel Box-Jenkins.

Model Box-Jenkins

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN








■ Tahapan dalam pemodelan Box-Jenkins:

Model Box-Jenkins

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN









◆ Identifikasi model

Model Box-Jenkins

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN









◆ Identifikasi model◆ Pendugaan model

Model Box-Jenkins

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN









◆ Identifikasi model◆ Pendugaan model◆ Validasi model

Langkah-langkah Pemodelan Box-Jenkins

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




Gambar 1: Langkah-langkah Pemodelan Box-Jenkins

SIFAT SACF

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACFFungsi AutokorelasiContohSebaran PercontohanAutokorelasi Contoh

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




Fungsi Autokorelasi Contoh

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Dalam pembahasan sebelumnya telah diungkapkan polaautokorelasi (riil) untuk ketiga proses


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





◆ MA(q) ⇒ cut off setelah lag q


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN






◆ AR(p) ⇒ tail off atau menurun eksponensial


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN






◆ AR(p) ⇒ tail off atau menurun eksponensial◆ ARMA(p, q) ⇒ tail off atau menurun eksponensial


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN







■ Namun, perlu diingat bahwa autokorelasi yang diperolehdari data merupakan autokorelasi contoh, sehingga polayang ditemukan tidak persis sama dengan autokorelasi riil.


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN








■ Sebagai ilustrasi, untuk pola MA(2), autokorelasi contohlag ≥ 3 bisa tidak nol (ingat, dalam statistika nol dapatberarti lebih atau kurang sedikit dari nol).


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN








■ Sebagai ilustrasi, untuk pola MA(2), autokorelasi contohlag ≥ 3 bisa tidak nol (ingat, dalam statistika nol dapatberarti lebih atau kurang sedikit dari nol).

■ Karena itu, kita memerlukan sebaran percontohan dariautokorelasi contoh.

Sebaran Percontohan Autokorelasi Contoh

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




Untuk n besar, sebaran bagi autokorelasi contoh lag k (rk)dapat didekati sebaran normal dengan nilai tengah ρk danragam:


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





■ AR(1) ⇒ V ar(rk) ≈ 1n

[

(1+φ2)(1−φ2k)1−φ2 − 2kφ2k

]


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS


PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





■ AR(1) ⇒ V ar(rk) ≈ 1n

[

(1+φ2)(1−φ2k)1−φ2 − 2kφ2k

]

■ MA(1)

V ar(rk) =

{

1 − 3ρ21 + 4ρ4

1 untuk k = 1

1 + 2ρ21 untuk k > 1

PACF

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACFFungsi AutokorelasiParsialPenggunaan PACFuntuk AR(1)

Penggunaan PACFuntuk AR(p)

Penggunaan PACFuntuk MA

Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




Fungsi Autokorelasi Parsial

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Plot autokorelasi tepat untuk digunakan menentukan ordo q

pada model MA(q), namun tidak dapat digunakan untukmenentukan ordo pada model AR(p) maupun ARMA(p, q).


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN






■ Untuk kedua model terakhir, digunakan autokorelasiparsial.


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN







■ Autokorelasi parsial lag k adalah korelasi antara Zt danZt−k setelah dihilangkan pengaruh peubah ’penyela’Zt−1, Zt−2, . . . , Zt−k+1.


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN








■ Bila Zt adalah proses stokastik bersebaran normal, maka


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN









φkk = Corr(Zt, Zt−k|Zt−1, Zt−2, . . . , Zt−k+1)


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN









φkk = Corr(Zt, Zt−k|Zt−1, Zt−2, . . . , Zt−k+1)

Dengan kata lain, φkk adalah koefisien korelasi padasebaran bersama antara Zt dan Zt−k dengan syaratZt−1, Zt−2, . . . , Zt−k+1

Fungsi Autokorelasi Parsial (lanjutan)

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




Bila sebaran Zt bukan normal, maka pengertian autokorelasiparsial adalah sebagai berikut ini


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





■ Misalkan β1Zt−1 + β2Zt−2 + . . . + βk−1Zt−k+1 merupakanpenduga bagi Zt yang meminimumkan kuadrat tengahgalat penduga.


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN






■ Dengan merunut ke belakang, penduga terbaik bagi Zt−k

juga berdasarkan Zt−1, Zt−2, . . . , Zt−k+1 adalah


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN








β1Zt−k+1 + β2Zt−k+2 + . . . + βk−1Zt−1


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN








β1Zt−k+1 + β2Zt−k+2 + . . . + βk−1Zt−1

■ Autokorelasi parsial lag k selanjutnya adalah korelasi antarakedua galat penduga


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN








β1Zt−k+1 + β2Zt−k+2 + . . . + βk−1Zt−1

■ Autokorelasi parsial lag k selanjutnya adalah korelasi antarakedua galat penduga

φkk = Corr(Z1 − β1Zt−1 − β2Zt−2 − . . . − βk−1Zt−k+1,

Zt−k − β1Zt−k+1 − β2Zt−k+2 − . . . − βk−1Zt−1

Penggunaan PACF untuk AR(1)

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Sebagai konvensi, φ11 = ρ1


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





■ Selanjutnya


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





■ Selanjutnya

φ22 =ρ2 − ρ2

1

1 − ρ21


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





■ Selanjutnya

φ22 =ρ2 − ρ2

1

1 − ρ21

■ Untuk AR(1), karena ρk = φk maka


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





■ Selanjutnya

φ22 =ρ2 − ρ2

1

1 − ρ21


φ22 =φ2 − φ2

1 − φ2= 0


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





■ Selanjutnya

φ22 =ρ2 − ρ2

1

1 − ρ21


φ22 =φ2 − φ2

1 − φ2= 0

■ Dapat ditunjukkan bahwa φkk = 0 untuk k > 1 (cut off

setelah lag 1)

Penggunaan PACF untuk AR(p)

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Penduga terbaik bagi Zt berdasarkanZt−1, Zt−2, . . . , Zt−p, . . . , Zt−k+1 untuk k > p adalah


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + . . . + φpZt−p


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + . . . + φpZt−p

■ Sementara penduga terbaik bagi Zt−k merupakan suatufungsi h(Zt−k+1, Zt−k+2, . . . , Zt−1)


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + . . . + φpZt−p


■ Dengan demikian,


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + . . . + φpZt−p



Cov(Zt, Zt−k) = Cov[Z1 − φ1Zt−1 − φ2Zt−2 − . . . − φpZt−p,

Zt−k − h(Zt−k+1, Zt−k+2, . . . , Zt−1)]

= Cov [at, Zt−k − h(Zt−k+1, Zt−k+2, . . . , Zt−1)]

= 0


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + . . . + φpZt−p



Cov(Zt, Zt−k) = Cov[Z1 − φ1Zt−1 − φ2Zt−2 − . . . − φpZt−p,

Zt−k − h(Zt−k+1, Zt−k+2, . . . , Zt−1)]

= Cov [at, Zt−k − h(Zt−k+1, Zt−k+2, . . . , Zt−1)]

= 0

■ Sehingga untuk AR(p), φkk = 0 untuk k > p (cut off

setelah lag p)

Penggunaan PACF untuk MA

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Untuk MA(1)


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Untuk MA(1)

◆ PACF lag 2:


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Untuk MA(1)

◆ PACF lag 2:

φ22 =−θ2

1 + θ2 + θ4


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Untuk MA(1)

◆ PACF lag 2:

φ22 =−θ2

1 + θ2 + θ4

◆ Secara umum:


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Untuk MA(1)

◆ PACF lag 2:

φ22 =−θ2

1 + θ2 + θ4

◆ Secara umum:

φkk =−(θk)(1 − θ2)

1 − θ2(k+1)untuk k ≥ 1


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Untuk MA(1)

◆ PACF lag 2:

φ22 =−θ2

1 + θ2 + θ4

◆ Secara umum:

φkk =−(θk)(1 − θ2)

1 − θ2(k+1)untuk k ≥ 1

◆ Dengan kata lain PACF MA(1) menurun eksponensial.


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Untuk MA(1)

◆ PACF lag 2:

φ22 =−θ2

1 + θ2 + θ4

◆ Secara umum:

φkk =−(θk)(1 − θ2)

1 − θ2(k+1)untuk k ≥ 1

◆ Dengan kata lain PACF MA(1) menurun eksponensial.

■ Untuk MA(q), pola PACF-nya mirip dengan pola ACFAR(p) (menurun eksponensial / tail off )

Penghitungan PACF

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Untuk lag k, φkk memenuhi persamaan Yule-Walker

Penghitungan PACF

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





ρj = φk1ρj−1 + φk2ρj−2 + . . . + φkkρj−k, j = 1, 2, . . . , k

Penghitungan PACF

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF




Penghitungan PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





ρj = φk1ρj−1 + φk2ρj−2 + . . . + φkkρj−k, j = 1, 2, . . . , k

■ Lebih jelasnya

ρ1 = φk1 + φk2ρ1 + . . . + φkkρk−1

ρ2 = φk1ρ1 + φk2 + . . . + φkkρk−2

...

ρk = φk1ρk−1 + φk2ρk−2 + . . . + φkk

SPACF

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACFFungsi AutokorelasiParsial Contoh

KETIDAKSTASIONERAN




Fungsi Autokorelasi Parsial Contoh

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF


KETIDAKSTASIONERAN




■ Persamaan Yule-Walker yang dikemukakan sebelumnyadapat diselesaikan secara rekursif untuk mendapatkan φkk:


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF


KETIDAKSTASIONERAN





φkk =ρk −

∑k−1j=1 φk−1.jρk−j

1 −∑k−1

j=1 φk−1.jρj

di mana

φkj = φk−1.j − φkkφk−1.k−j untuk j = 1, 2, . . . , k − 1


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF


KETIDAKSTASIONERAN





φkk =ρk −

∑k−1j=1 φk−1.jρk−j

1 −∑k−1

j=1 φk−1.jρj

di mana

φkj = φk−1.j − φkkφk−1.k−j untuk j = 1, 2, . . . , k − 1

■ Dengan menggunakan r sebagai penduga bagi ρ, persamaandi atas dapat digunakan untuk mendapatkan SPACF φ̂kk

KETIDAKSTASIONERAN

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN

Ketidakstasioneran




Ketidakstasioneran

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN

Ketidakstasioneran




■ Sebagai dijelaskan pada pertemuan sebelumnya,ketidakstasioneran dalam rataan dapat terlihat dari polaautokorelasi yang menurun perlahan.

Ketidakstasioneran

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN

Ketidakstasioneran




■ Sebagai dijelaskan pada pertemuan sebelumnya,ketidakstasioneran dalam rataan dapat terlihat dari polaautokorelasi yang menurun perlahan.

■ Ketidakstasioneran dalam ragam dapat terdeteksi melaluiPlot Range-Mean.

METODE IDENTIFIKASI LAINNYA

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN

METODEIDENTIFIKASILAINNYAMetode IdentifikasiLainnya



Metode Identifikasi Lainnya

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




■ Banyak pendekatan lain yang dikembangkan untukidentifikasi model ARIMA selain yang diusulkan oleh Boxdan Jenkins.


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN





■ Akaike menawarkan statistik Akaike Information Criterion(AIC) untuk memilih model


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN






AIC = -2 log(maksimum likelihood) + 2k


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN







dengan k adalah total banyaknya parameter AR dan MAdalam model.


MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN







dengan k adalah total banyaknya parameter AR dan MAdalam model.

■ Model terpilih adalah yang memiliki AIC terkecil.

RINGKASAN POLA ACF-PACF

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN


RINGKASAN POLAACF-PACFRingkasan polaACF-PACF


Ringkasan pola ACF-PACF

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




Tabel 1: Ringkasan pola ACF-PACF

Model Plot PolaAR(p) ACF tail off

PACF cut off setelah lag p

MA(q) ACF cut off setelah lag q

PACF tail off

ARMA(p, q) ACF tail off setelah lag max(0,q − p)PACF tail off setelah lag max(0,p − q)

MATERIPEMBAHASAN

MODEL BOX-JENKINS

SIFAT SACF

PACF

SPACF

KETIDAKSTASIONERAN




TERIMA KASIH

STK352 Analisis Deret Waktu Identiﬁkasi Model ARIMA · SIFAT SACF Fungsi Autokorelasi Contoh Sebaran Percontohan Autokorelasi Contoh PACF SPACF KETIDAKSTASIONERAN METODE IDENTIFIKASI

Documents