STEREOMETRIA STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE METRIA: MISURAZIONE
STEREOMETRIASTEREOMETRIA
STEREOS: SOLIDOSTEREOS: SOLIDO
METRIA: MISURAZIONEMETRIA: MISURAZIONE
Postulati di appartenenzaPostulati di appartenenza
A1 : una retta r contiene almeno due puntiA1 : una retta r contiene almeno due punti
A2 : tre punti appartengono ad uno e un A2 : tre punti appartengono ad uno e un solo pianosolo piano
A3 : Se due punti appartengono ad un A3 : Se due punti appartengono ad un piano, l’intera retta passante per tali punti piano, l’intera retta passante per tali punti appartiene al pianoappartiene al piano
A4 : Non tutti i punti appartengono allo A4 : Non tutti i punti appartengono allo stesso piano stesso piano
GEOMETRIA SOLIDA
Mutua posizione Mutua posizione di rette nello spaziodi rette nello spazio
Rette incidenti: hanno un punto in comune. Due rette incidenti sono complanari e il loro piano è unico.
Rette parallele: appartenenti allo stesso piano e ivi parallele
Rette sghembe: quattro punti non complanari individuano rette sghembe, cioè rette non aventi punti in comune e non appartenenti al medesimo piano.
Mutua posizione di pianiMutua posizione di piani
Piani paralleliPiani paralleli: non hanno alcun punto in : non hanno alcun punto in comune o sono coincidenticomune o sono coincidenti
Piani incidenti: hanno in comune una retta che è detta intersezione dei due piani
FASCIO DI PIANI: INSIEME DI PIANI PASSANTI FASCIO DI PIANI: INSIEME DI PIANI PASSANTI PER UNA STESSA RETTAPER UNA STESSA RETTA
STELLA DI RETTE : INSIEMI DI RETTE STELLA DI RETTE : INSIEMI DI RETTE PASSANTIPER UN PUNTOPASSANTIPER UN PUNTO
Ps
d
π
r
t
Teorema Se una retta (r) è perpendicolare a altre due (t e s), passanti per un medesimo punto P, allora essa è perpendicolare ad ogni altra retta del loro fascio (p), ma a nessun altra retta della loro stella (d).
p
Perpendicolarità tra rette e pianiPerpendicolarità tra rette e piani
Una retta che incontra il piano senza essergli perpendicolare si dice obliqua rispetto al piano (d obliqua a π)
Definizioni
Una retta è perpendicolare ad un piano quando incontrandolo è perpendicolare ad ogni retta passante per quel punto e appartenente al piano(r perpendicolare a π)
Si dice distanza di un punto da un piano il segmento di perpendicolare condotto dal punto al piano
Ps
d
π
r
t p
r
P
s
t
α
β
Teorema delle tre perpendicolariSe una retta r è perpendicolare ad un piano α in un punto P e da questo si conduce una retta s perpendicolare ad una retta t di α, questa è perpendicolare al piano β individuato da r e da s.
H
H intersezione tra s e tPrendiamo A su rPrendiamo B e C su t tali che HB = HC PHB e PHC congruenti PB=PC APB e APC congruenti AB=ACABC isoscele AH mediana AH altezza t è perpendicolare a AH e PH, ovvero a β generato da esse
A
B
C
Angolo diedro
L’angolo diedro è ciascuna delle due parti nelle quali lo spazio viene diviso da due semipiani aventi l’origine in comune
Angolo diedro convesso
Faccia
Spigolo
Sezione normale
Angolo piano ottenuto intersecando un angolo diedro con un piano perpendicolare allo spigolo
Le sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti
Due angoli diedri si dicono congruenti quando sono congruenti le loro sezioni normali
Si può definire ampiezza di un angolo diedro l’ampiezza dell’angolo piano , sua sezione normale
Due piani si dicono perpendicolari quando incontrandosi formano angoli diedri retti
Se due piani sono perpendicolari , ogni retta dell’uno, che sia perpendicolare alla loro intersezione, è perpendicolare anche all’altro
Se una retta è perpendicolare ad un piano α, tutti i piani che la contengono sono perpendicolari al piano α
ANGOLOIDIDefinizione: Si consideri un poligono p e un punto V non appartenente ad esso. Si definisce angoloide la figura determinata da tutte le semirette aventi origine in V e passanti per i punti del poligono.
• V si chiama vertice• Le semirette passanti per i vertici del poligono si dicono spigoli• Gli angoli formati da due spigoli consecutivi si chiamano facce
V
p
Si può pensare come intersezione di più diedri
Esempio: Triedro
E’ un angoloide con tre facce
Faccia
Triedro è l’intersezione tra tre diedri
V
a
b
c
In un angoloide la somma delle facce è minore di un angolo giro
V
A
B
C
POLIEDRIDefinizione Un poliedro è una figura intersezione di più semispazi.
Il suo confine è rappresentato da almeno quattro poligoni, detti facce.
Ogni spigolo individua un diedro e un vertice un angoloide
( Può essere pensato come l’intersezione di più angoloidi)
4 Tetraedro5 Pentaedro6 Esaedro8 Ottaedro12 dodecaedro20 icosaedro
Un poliedro prende il nome dal numero di facce
Formula di Eulero
f = numero facces = numero spigoliv = numero vertici
f + v = s + 2Esempio: pentaedro
f = 5s = 8v = 5
ClassificazioneClassificazione
POLIEDRI
PRISMI
POLIEDRI REGOLARI
PIRAMIDI
CUBI TETRAEDRI REGOLARI
POLIEDRI REGOLARI
Definizione: Solido convesso avente come facce poligoni regolari tutti uguali fra loro
TETRAEDRO
OTTAEDRO
ESAEDRO (CUBO)
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
Definizione: Consideriamo un angoloide di vertice V ed un piano π non passante per V che incontra tutti i suoi spigoli. Si dice piramide l’intersezione del semispazio individuato dal piano π e contenente V con l’angoloide.
PIRAMIDI
Base: poligono intersezione tra angoloide e piano
Altezza: distanza vertice V dal piano della base
Piramide retta: ha per base un poligono circoscrittibile ad una circonferenza il cui centro è il piede dell’altezza
Piramide retta regolare: la base è un poligono regolare
Apotema di una piramide retta: altezza di una faccia. Congiunge V con i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenza. E’ uguale in tutte le facce.
Tetraedro regolare : poliedro regolare
PRISMI
Superficie prismatica: insieme delle rette aventi la direzione fissata passanti per i punti dei lati di un poligono fissato.
Prisma indefinito: parte di spazio delimitato da una superficie prismatica
Prisma è la parte di prisma indefinito delimitato da una coppia di piani paralleli
Basi : poligoni individuati dai due piani paralleli
Facce laterali : parallelogrammi che delimitano il prisma
Altezza: distanza tra i piani delle basi
Prisma retto: gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi
Prisma retto regolare: i poligoni di base sono poligoni regolari.
Cubo:Poliedro regolare
SOLIDI di ROTAZIONESono i solidi che si ottengono dalla rotazione di 360° di una figura piana attorno ad una retta
CILINDRO – rotazione di un rettangolo
CONO – rotazione di un triangolo rettangolo
SFERA – rotazione di una semicirconferenza
Le sezioni ottenute tagliando il solido con un piano perpendicolare alla figura piana che ha dato origine al solido stesso sono tutte circonferenze.