Steinmetz CP Symbolic Representation of General Alternating Waves and Double Frequency Vectors 1

7/21/2019 Steinmetz CP Symbolic Representation of General Alternating Waves and Double Frequency Vectors 1

1/29


2/29

A

p a y e r f r e s e n t e d

a t t h e S i x t e e n t h

G e n e r a l

M e e t -

i n g

o f

t h e

A m e r i c a n I n s t i t u t e

o f

E l e c t r i c a l

E n g i n e e r s ,

B o s t o n ,

June 2 6 t h ,

z 8 9 9 ,

P r e s i d e n t

K e n n e l l y

i n t h e C h a i r .

SYMBOLIC

REPRESENTATION

O F

GENERAL

A L -

TERNATING

WAVES

AND

O F

DOUBLE

FREQUENCY

VECTOR

PRODUCTS.

BY CHARLES

PROTEUS

STEINMETZ.

P A R T

1 .

a .

G r a p h i c a l l y

a l t e r n a t i n g

c u r r e n t s

a n d

E .

M . F . ' s

a r e u s u a l l y

r e p r e s e l n t e d

b y

v e c t o r s .

A

v e c t o r

i s

a

q u a n t i t y

h a v i n g

l e n g t h

a n d

d i r e c t i o n .

T h e

l e n g t h

r e p r e s e n t s

t h e

i n t e n s i t y ,

t h e

d i r e c t i o n

t h e

p h a s e

o f

t h e


w a v e .

T h e

v e c t o r s

g e n e r a l l y

i s s u e

f r o m

t h e c e n t e r

o f

c o - o r d i n a t e s .

I n

t h e

t o p o g r a p h i c a l

m e t h o d ,

h o w e v e r ,

w h i c h

i s

m o r e

c o n v e n -

i e n t

f o r c o m p l e x

n i e t w o r k s ,

a s i n t e r l i n k e d

p o l y p h a s e

c i r c u i t s ,

t h e


w a v e

i s

r e p r e s e n t e d

b y

t h e

s t r a i g h t

l i n e

b e t w e e n

t w o

p o i n t s ,

t h e s e

p o i n t s

r e p r e s e n t i n g

t h e a b s o l u t e

v a l u e s

o f

p o t e n t i a l

( w i t h

r e g a r d

t o

a n v r e f e r e n c e

p o i n t

c h o s e n

a s c o - o r d i n a t e

c e n t e r )

a n d

t h e i r

c o n n e c t i o n

t h e

d i f f e r e n c e

o f

p o t e n t i a l ,

i n

p h a s e

a n d i n -

t e n s i t y .

A l g e b r a i c a l l y

t h e s e

v e c t o r s

a r e

r e p r e s e n t e d

b y

c o m p l e x

q u a n t i t i e s .

T h e

i m p e d a n c e ,

a d m i t t a n c e ,

e t c . ,

o f

t h e

c i r c u i t i s

a

c o m p l e x

q u a n t i t y

a l s o ,

I n

s y m b o l i c

d e n o t a t i o n .

T h u s

c u r r e n t ,

E .

M .

F . S

i m p e d a n e e

a n d

a d m i t t a n c e

a r e

r e l a t e d

b y

m u u l t i p l i c a t i o n

a n d d i v i s i o n

o f

c o m p l e x

q u a n t i t i e s

s i m i l a r

a s

c u r r e n t ,

E .

M .

F . ,

r e s i s t a n c e

a n d

c o n d u c t a n c e

a r e r e l a t e d

b y

O h m ' s

l a w

i n

d i r e c t

c u r r e n t

c i r c u i i t s .

I n

d i r e c t

c u r r e n t c i r c u i t s , p o w e r

i s

t h e

p r o d u c t

o f c u r r e n t

i n t o

E .

M . F .

I n


c u r r e n t

c i r c u i t s ,

i f

.

E=

' + j e i

2 6 9


3/29

2 7 0 STEINMJETZ

ON

S Y M B O LlC

REPRESEFNTATION

L J u n e

2 6 ,

T h e p r o d u c t :

P o 0

=

El

( e l

i

e l l

i l l )

+

( e l l 1

+

e l I t 1 1 )

i s n o t t h e

p o w e r ,

t h a t

i s

m u l t i p l i c a t i o n

a n d

d i v i s i o n i

w h i c h a r e

c o r r e c t

i n

t h e i n t e r - r e l a t i o l l

o f c u r r e n t , E .

M .

F . ,

i m p e d a n c e ,

d o

n o t

g i v e

a

c o r r e c t

r e s u l t

i n

t h e

i n t e r - r e l a t i o r n

o f

E . M .

F . ,

c u r r e n t

p o w e r .

T h e r e a s o n i s t h a t

E I a r e v e c t o r s

o f

t h e

s a m e

f r e -

q u e n c y , a n d Z a c o n s t a n t

n u m e r i c a l f a c t o r

w h i c h

t h u s

d o e s

n o t

c h a n g e t h e f r e q u e n c y .

T h e

p o w e r

P ,

h o w e v e r ,

i s

o f

d o u b l e f r e q u e n c y

e o m p a r e d

w i t h

E

a n d

1 ;

a n d

t h u s c a n n o t b e r e p r e s e n t e d b y

a v e c t o r

i n

t h e

s a m e

d i a g r a m w i t h

- L

a n d

1 .

P O

EI

i s

a

q u a n t i t y

o f

t h e same

f r e q u e n c y

w i t h E a n d

I

a n d

t h u s

c a n n o t

r e p r e s e n t

t h e p o w e r .

h .

S i n c e

t h e

p o w e r

i s

a

q u a n t i t y

o f d o u b l e f r e q u e n c y

o f Eand

I ,

a n d

t h u s

t h e

p h a s e a n g l e ( c

i n

E

a n d I c o r r e s p o n d s

t o

a

p h a s e

a n g l e

2

w

i n

t h e

p o w e r ,

i t

i s

o f

i n t e r e s t

t o

i n v e s t i g a t e

t h e

p r o -

d u c t

EJ

f o r m e d b y

d o u b l i n g

t h e p h a s e a n g l e .

A l g e b r a i c a l l y

i t

i s :

P

=

E I (

+j

e ) ( i

+

j

P)=

( e l

x l

+ f 2

e l i

i l l )

+

( j e i

l

+ e 1 j

i 1 l )

S i n c e

j 2

=

-

1 ,

t h a t

i s

1 8 0 0 r o t a t i o n f o r E a n d I , f o r

t h e d o u b l e

f r e q u e n c y

v e c t o r ,

P ,

j 2

1 ,

o r

3 6 0 0

r o t a t i o n ,

a n d

jx1=j

1 XJ=

-

H e n c e ,

s u b s t i t u t i n g

t h e s e

v a l u e s ,

i t

i s :

P

=

[E

I ]

= ( e l

P 1

+

e 1 l

i l l )

* j - j

( e ' 1

t 1

-

e '

i ' 1 )

T h e s y m b o l [ E l ]

h e r e

d e n o t e s

t h e

t r a n s f e r

f r o m

t h e f r e -

q u e n c y

o f E a n d 1

t o t h e

d o u b l e

f r e q u e n t c y

o f P .

T h e

p r o d u c t :

P_ [EI]

c o n s i s t s

o f

t w o

c o m p o n e n t s ;

t h e

r e a l

c o m i i p o n e n t :

P '

=

[ E l ] '

= ( e ' - 4

i l l )

a n d

t h e

i m a g i n a r y

c o m p o n e n t :

j

P =j

[ E l ] i =j ( e i

-

6 l

i )


4/29

1 8 9 9 . ]

O F

GENERAL

ALTERNA

T ' I N G

WA

V E S . 2 7 1

T h e c o m p o n e n t :

p i

=

[ E I ] '

=

( e l

+

e i

l 1 )

i s t h e

p o w e r

o f

t h e

c i r c u i t

- E

I

c o s

( E

I )

T h e c o m p o n e n t :

P i

=

[E

] J ( e l '

i t

l

i l )

i s w h a t

may b e

c a l l e d

t h e

s w a t t l e s s p o w e r ,

o r

t h e

p o w e r ] e s s

o r

q u a d r a t u r e

v o l t - a m p e r e s

o f

t h e

c i r c u i t ,

E

I

s i n

( E

1 ) .

T h e

r e a l

c o m p o n e n t w i l l

b e d i s t i n g u i i s h e d

b y

t h e

i n d e x

1 ,

t h e

i m a g i n i a r y o r

w a t t l e s s c o m i p o n e n t b y

t h e

i n d e x

j .

By

i n t r o d u , i n g

t h i s

s y m b o l i s m ,

t h e p o w e r

o f

a n


c i r c u i t

c a n

b e r e p r e s e n t e d

i n

t h e

s a m e

w a y

a s

i n

t h e

d i r e c t

c u r -

r e n t c i r c u i t , a s t h e s y m b o l i c p r o d u c t o f c u r r e n i t

a n d

E . M J F .

J u s t a s

t h e

s y m b o l i c e x p r e s s i o n

o f

c u r r e n t a n d

E . M . F . a s

c o i n -

p l e x q u a n t i t y d o e s n o t o n l y g i v e

t h e

m e r e i n t e n s i t y , b u t

a l s o

t l h e

p h a s e :

E

e t

j

e 1 '

2

2

E

\/e +

d l

t a n 5 o

=

, s o t h e d o u b l e

f r e q u i e n c y v e c t o r p r o d u c t

P

[ i

1 ]

d e n o t e s

m o r e t h a n

t h e

m n e r e

p o w e r ,

b y g i v i n g

w i t h

i t s t w o

c o u l p o n e n t s

P '

=

[ E

1 J ]

a n d

P i

-

[E

1

] i

t h e t r u e

e n e r g y

v o l t - a i m i p e r e s ,

a n d

t h e

w a t t l e s s v o l t - a m p e r e s .

I f :

~ E =

e t

+

j

e

: I

- i

+j

i 1 1

- t h u s

2 2

I

= V e i j

+

e l

i t

i s :


5/29

2 7 2 STEINMETZ

ON

S YXBOLI C

REPRESENTdTION

[ J u n i e

2 6 ,

p l ~ ~

~~~

tEll_,

+

e l l ' l

=

[ E I ] i

=

( e l 1 l i ' e ' i )

a n d :

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

- ( e '

+

e 1 1 ) ( j l

)

( E

I ) 2

w h e r e

Q =

t o t a l

v o l t - a m p e r e s

o f

c i r c u i t .

T h a t

i s :

T h e

t r u e

p o w e r

P l

a n d

t h e

w a t t l e s s

p o w e r P J

a r e

t h e

t w o

r e c t a n g u l a r

c o m p o n e n t s

o f

t h e

t o t a l

a p p a r e n t

p o w e r Q

o f

t h e

c i r c u i t .

H e r e f r o m

i t

f o l l o w s :

I n

s y m b o l i c

r e p r e s e n t a t i o n

a s

d o u b l e

f r e q u e n c y

v e c t o r

p r o -

d u c t s ,

p o w e r s

c a n

b e

c o m b i n e d

a n d r e s o l v e d

b y

t h e

p a r a l l e l o g r a m

o f

v e c t o r s

j u s t

a s c u r r e n t s

a n d

E . M . F . ' S

i n

g r a p h i c a l

o r

s y m b o l i c

r e p r e s e n W a t i o n .

H e r e b y

t h e

g r a p h i c a l

m e t h o d s

o f

t r e a t m e n t

o f


c u r -

r e n t

p h e n o m e n a

a r e

e x t e n d e d

t o

i n e l u d e

d o u b l e

f r e q u e n c y

q u a n t i t i e s , a s p o w e r ,

t o r q u e ,

e t c .

I t

i s :

pi

=

p

=

c o s

w

=

l p o w e r

f a c t o r .

Q

p j

q -

s i n

w a

=

i n d u c t a n c e

f a c t o r

Q

o f t h e c i r c u i t ,

a n d

t h e

g e n e r a l

e x p r e s s l o n o f

p o w e r i s :

P=

Q ( P + j q )

-

Q

( c o s

w

+j

s i n

w )

( G . )

T h e

i n t r o d u c t i o n o f

t h e

d o u b l e

f r e q u e n c y

v e c t o r

p r o d u c t

P

=

[ E I ]

b r i n g s u s

o u t s i d e

o f

t h e

l i i m i t s

o f

a l g e b r a ,

h o w e v e r ,

a n d

t h e

c o m m a t a t i v e

p r i n c i p l e

o f

a l g e b r a :

a

x

b

b

x

a ,

d o e s

n o t

a p p l y

a n y m o r e ,

b u t

i t

i s :

[ E l ]

u n l i k e

[ I

E]


6/29

1 8 9 9 . ]

0

G

ENERA L AL

ERNA

TING WA V E S .

2 7 3

[ E l ]

=

[ E l ] '

+j

[ E I ]

[IE]

=

[ I E ] '

+ j [ I E ] 3

_

[ E l ] ' - j

[ E I ] i

i t i s :

[ E l ] '

=

[ I E ]

[ E

l

] J

=

-

[E

] j

t h a t

i s , t h e

i m a g i n a r y

c o m p o n e n t r e v e r s e s

i t s s i g n

b y

t h e i n t e r -

c h a n g e o f

f a c t o r s .

T h e

p l h y s i c a l

m e a n i n g

h e r e o f

i s

:

i f

t h e

w a t t l e s s

p o w e r

[ E I _ J

i s

l a g g i n g w i t h

r e g a r d t o

E ,

i t

i s l e a d i n g

w i t h r e g a r d t o

1 .

T h e

w a t t l e s s c o m p o n e n t

o f

p o w e r

i s

a b s e n t ,

o r

t h e t o t a l

a p p a r -

e n t p o w e r

i s

t r u e

p o w e r ,

i f :

[ E l I ] 3 = e l

i '

_ e t

t i l )

- O 0 .

t h a t

i s :

1 1 t

* 1 1

e _

i

or:

t a n

( E )

= t a n

( 1 ) ,

t h a t

i s ,

E

a n d

I a r e

i n

p h a s e o r

i n i

o p p o s i t i o n .

T h e t r u e

p o w e r

i s

a b s e n t ,

o r t h e

t o t a l

a p p a r e n t

p o w e r w a t t l e s s ,

i f :

:

[ E l ]

-

( e l i l

+

e l

i l )

-

t h a t

i s :

1 1 l

, 1

o r :

t a n

E=

-cot

I

t h a t i s ,

E

a n d

I

a r e

i n

q u a d r a t u r e .

T h e w a t t l e s s

p o w e r

i s

l a g g i n i g ( w i t h r e g a r d t o

E ,

o r l e a d i n g

w i t h

r e g a r d

t o

I )

i f :

[ E ] i

>

0


7/29

2 7 4

S T E I N M 1 J T Z 1 ' 2

ON

S Y M B O L E l C

R E P R P i E S E N T A

TION

[ J u n e

2 & ,

a n d l e a d i n g

i f :

[ E

I j i

Steinmetz CP Symbolic Representation of General Alternating Waves and Double Frequency Vectors 1

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