Stefano Hajek Università di Perugia
Stefano HajekUniversità di Perugia
Contesto: ISVAP 577
Parte IV art. 16.1: “Per ciascuna delle fonti di rischio identificate dall’impresa come maggiormente significative sulla base dei processi di cui all’art. 15, l’impresa stessa è tenuta ad effettuare analisi prospettiche quantitative attraverso l’uso di stress test, per valutare l’impatto sulla sua situazione finanziaria di andamenti sfavorevoli dei fattori di rischio, singolarmente considerati o combinati in un unico scenario.”
Scenario Analysis WORKFLOW
Scenario Analysis OUTPUT
TOOLS
Interest rates
Volatility
Hedging
Distribution
Fitting
Stima della volatilità
Stima della volatilità
Interest rates modeling
Interest rates modeling
Distribution (frequency & severity) fitting
Distribution (frequency & severity) fitting
Fund rebalancing (Dynamic ALM)
Fund rebalancing (Dynamic ALM)
INTEREST RATES• “2.17 The observed data showed that in general higher
interest rates were associated with higher absolute changes in interest rates. The log-normal model exhibits this property and the calibration of the lognormal model appeared more robust than the normal model.
• 2.18 The log-normal model treats proportionate changes in interest rates as a log-normal process, so it has been assumed that the distribution of the n-year spot rate in 12 months is given by: R12(n) = R0(n)× eX , where x is distributed N(mn, sn
2)” – CEIOPS, QIS3 calibration paper, April 2007
INTEREST RATES
IN- Vettore Term Structure- Vettore Maturities- Vettore volatilità stimate
OUT- Matrice Forward Rates
INTEREST RATES
1,,'
,log,'log 1
ii ttWii
iiii
eTtrTtr
ttWTtrTtr
T
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,,0,0
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12
121 vv
vv
vrvrvrvr
Processo lognormale per i tassi d’interesse con drift log r(t,T) e varianza (ampiezza
della perturbazione stocastica nell’intorno di log
r(t, T))
Drift determinato secondo il principio di non arbitraggio
Interpolazione lineare delle rilevazioni storiche mancanti
INTEREST RATES (HJM) tdzTtpTtvdtTtptrTtdp ,,,,,
tdzTtvTtv
trTtpd
,,
2
,,,ln
2
12
2121
,ln,ln,
TT
TtpTtpTTtf
tdz
TT
TtvTtvdt
TT
TtvTtvTTtdf
12
21
12
21
22
21
,,,,
2
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2
10
2
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jijiji
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t
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12
2121
,ln,ln,
TT
TtpTtpdTTtdf
Processo per i tassi d’interesse
Applicando il lemma di Ito
Imponendo la condizione di non arbitraggio
Passando alla rappresentazione in tempo discreto
Sostituendo d ln[p(t,T)]
VOLATILITY
INVettore tassi di variazione storici
OUT- Vettore volatilità attese- Parametri modello- Statistiche accessorie
Variance Equation
C 0.0000 0.0000 3.1210 0.0018ARCH(1) 0.0772 0.0179 4.3046 0.0000
GARCH(1) 0.9046 0.0196 46.1474 0.0000
S.E. of regression 0.0083 Akaike info criterion -6.9186Sum squared resid 0.1791 Schwarz criterion -6.9118Log likelihood 9028.2809 Durbin-Watson stat 1.8413
VOLATILITY (GARCH)
unn21
21
2 1
uu
uu
nnn
nnn
21
22
22
2
21
22
22
2
1
11
u in
n
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in 2
1
120
2 1
00
0
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0
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'
'
0
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f
y
fy
y
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uv nn21
21
2
Il modello GARCH è sensibile alle più recenti dinamiche del tasso di variazione della serie storica su cui viene calibrato in quanto, ad ogni istante, incorpora un fattore correttivo della stima effettuata all’istante precedente: in pratica se il modello, ad esempio, tendesse mediamente a sovrastimare il dato, il termine correttivo risulterebbe pesato in modo tale da compensare tale sovrastima
Si dimostra semplicemente che tale formulazione equivale all’assunzione di una media mobile i cui termini sono pesati in misura esponenzialmente decrescente man mano che ci si allontana dal valore più recente:
Aggiungendo il termine di volatilità per il medio periodo:
La stima dei parametri è basata sul metodo iterativo di Newton
IN- Vettore frequenze osservate
OUT- Scalare parametri distribuzione- Scalare test Kolmogorov-Smirnov- Vettore Hill Plotting
Distribution Fitting (EVT)
Distribution Fitting (EVT)• Le distribuzioni di probabilità di impatto e frequenza
vengono ricondotte alle loro presunte forme archetipe, e per ciascuna forma vengono stimati i parametri per i quali la distribuzione meglio approssima i dati osservati.
Si suppoga ad esempio di dover stimare i parametri di una Pareto Generalizzata con funzione di densità
Per k≠0
Distribution Fitting (EVT)Consideriamo i momenti teorici della distribuzione:
Integriamo per sostituzione
Risolvendo rispetto ad e k:
Black & Scholes HEDGING
Offrire un minimo garantito ad un cliente equivale a vendergli una floor option e comporta per la compagnia la necessità di effettuare una copertura mediante la creazione di un portafoglio di replica; il valore di tale portafoglio è fornito dalle formule di Black & Scholes assieme alle quote di immunizzazione (da investire cioè in attività non rischiose)
IN- Scalare time horizon- Scalare minimo garantito- Scalare valore sottostante- Scalare interest rates- Scalare volatilità attesa- Scalare timestep
OUT- Scalare investment weight
Black & Scholes HEDGING
Black & Scholes HEDGING
Si consideri il prezzo di un’opzione secondo il modello Black & Scholes
Tale valore corrisponde a quello di un portafoglio con azioni per un valore di
ed obbligazioni per un valore di
Si calcoli il valore di un portafoglio costituito da un’opzione put ed un titolo sottostante