Stato di tensione e di deformazione - Corsi di Laurea a Distanza - …corsiadistanza.polito.it/on-line/CMM/pdf/U2_L6.pdf · modulo elastico “E”, detto anche “modulo di Young”,
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Comportamento meccanico dei materiali Legami tra tensioni e deformazioni
Deformazioni-tensioni, in assi principali, dei materiali isotropiDeformazioni-tensioni in assi non principali IComponenti sferica e deviatriceDeformazioni-tensioni in assi non principali IITensione piana, deformazione pianaRelazioni grafiche tra cerchi di Mohr di tensione e di deformazione
Comportamento meccanico dei materiali Legami tra tensioni e deformazioni
Assi principali: esistono sempre, per tensioni e deformazioniMateriale isotropo: comportamento indifferente alla direzione
Se l’asse 1 è principale per le tensioni: segmentidiretti secondo l’asse 1 subiscono spostamenti secondo l’asse 1; infatti, per simmetria, non ci sono spostamenti ortogonali all’asse 1…
1
23
Deformazioni sotto tensione uni-assiale (1/4)
Comportamento meccanico dei materiali Legami tra tensioni e deformazioni
Sperimentalmente si trova anche che secondo le direzioni 2 e 3:
( ) 1212 b σ=σε
( ) 1313 b σ=σε
dove deve necessariamente essere per l’isotropia del materiale, e dove si trova che si tratta di “contrazioni”, quindi negative, espresse usualmente come:
32 bb =
Ebb 32
ν−==
in cui: ν è il coefficiente di Poisson
Deformazioni sotto tensione uni-assiale (4/4)
8
( )
( )
( )
1 1 1
1 2 1 1
3 1 1
1E
E
E
ε σ σ
νσ ε σ σ
νε σ σ
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪→ =−⎨⎪⎪⎪⎪⎪ =−⎪⎪⎪⎩
Per l’isotropia:
( )
( )
( )
1 2 2
2 2 2 2
3 2 2
E1E
E
νε σ σ
σ ε σ σ
νε σ σ
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪→ =−⎨⎪⎪⎪⎪⎪ =−⎪⎪⎪⎩( )
( )
( )
1 3 3
3 2 3 3
3 3 3
E
E1E
νε σ σ
νσ ε σ σ
ε σ σ
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪→ =−⎨⎪⎪⎪⎪⎪ =−⎪⎪⎪⎩
Effetto delle tensioni tri-dimensionali (1/3)
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Ammettiamo ora che la deformazione dovuta all’applicazione delle tre tensioni principali sia additiva, e non dipenda quindi dall’ordine di applicazione Così stando le cose, la legge generale:
( ) kjikjii EEE1
,, σν
−σν
−σ≅σσσε
Notiamo quindi che il nostro modello del materiale isotropo dipende da due assunzioni: la linearità e l’additività. Ci accontentiamo qui del fatto che ambedue siano supportate dalla sperimentazione
Effetto delle tensioni tri-dimensionali (2/3)
10
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
σσσ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν−ν−ν−ν−ν−ν−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
εεε
3
2
1
3
2
1
11
1
E1
Da questa relazione lineare è agevole, invertendo, ricavare le in funzione delle Rimandiamo questa operazione
iσ kji ,, εεε
Il modello del materiale isotropo stabilisce quindi la seguente relazione (legge costitutiva)tra deformazioni e tensioni:
Effetto delle tensioni tri-dimensionali (3/3)
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Invece, ci proponiamo ora di conoscere il legame tra tensioni e deformazioni non in assi principali (1,2,3), ma in assi qualsiasi (x1, x2, x3). Troveremo che i materiali isotropi hanno relazioni tra le σ e le ε della stessa struttura indipendentemente dai tipi di assi si riferimentoSi noti, per ora, che le relazioni ottenute in assi principali dipendono da due soli parametri: il modulo elastico “E”, detto anche “modulo di Young”, e il coefficiente ν, detto coefficiente di “Poisson”
Numero dei parametri del materiale
Legame tra tensioni e deformazioni
Comportamento meccanico dei materiali Legami tra tensioni e deformazioni
Che dovendo valere per tutte le direzioni e quindi anche per quelle giacenti su piani coordinati:
Si ottiene una relazione tra le sole e :
( )jkjk E
12τ
ν+=γ
;0ni = ;0nj ≠ 0nk ≠
dà le tre relazioni:
ikγ jhτ
( )[ ]zyyzzxxzyxxy
zyyzzxxzyxxy
nnnnnnE
12
nnnnnn
τ+τ+τν+
=
=γ+γ+γ
i
j
k
Trasformazione (7/7)
24
[ ]( ) ( ) ( ) ( )
( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
τν+
=γ
=
νσ−νσ−σ=σν
−σν+
=ε
yz,xz,xyjk:perE
12
y,x,z,x,z,y,z,y,xk,j,i:perE1
E3
E1
jkjk
kkjjiimiiii
In conclusione, abbiamo trovato che per unmateriale isotropo, in assi qualsiasi le componenti di deformazione sono legate a quelle di tensione secondo le 6 equazioni:
“modulo di taglio”( ) G12E
=ν+
Relazioni deformazioni-tensioni
Comportamento meccanico dei materiali Legami tra tensioni e deformazioni
Invertire queste 6 equazioni relazioni non pone grossi problemi.
Vale tuttavia la pena di compiere uno sforzo per trovare una strada ancora più elegante, che passa attraverso l’utile introduzione di due nuovi concetti:
La parte “media” (anche detta “idrostatica”o “sferica”)La parte “deviatrice” di un tensore.
Introduzione
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