Sveučilište u Rijeci Fakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvu SVEUČILIŠNI PREDDIPLOMSKI STUDIJ »Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu» Priručnik iz predmeta S T A T I S T I K A Šifra kolegija: PST0103 ECTS bodovi: 5,5 Nositelj predmeta: Dr. sc. SUZANA MARKOVIĆ, docent
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Sveučilište u Rijeci Fakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvu SVEUČILIŠNI PREDDIPLOMSKI STUDIJ »Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu»
Priručnik iz predmeta S T A T I S T I K A Šifra kolegija: PST0103 ECTS bodovi: 5,5 Nositelj predmeta: Dr. sc. SUZANA MARKOVIĆ, docent
2
GRAFIČKO PRIKAZIVANJE STATISTIČKIH NIZOVA PRIMJER 1. Uvoz u Primorsko goranskoj županiji
Godina Uvoz (u mil. USD) 2000. 449 2001. 532 2002. 478 2003. 638 2004. 739
Izvor: Statistički ljetopis Primorsko-goranske županije 2005, str.249. Podatke iz tabele prikažite grafički linijskim grafikonom. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza? RJEŠENJE: Grafikon: Uvoz u Primorsko goranskoj županiji
0
100
200
300
400
500
600
700
800
2000. 2001. 2002. 2003. 2004.
Godina
Uvoz
(u m
il. U
SD)
Uvoz (u mil. USD)
Izvor: Statistički ljetopis Primorsko-goranske županije 2005, str.249.
3
PRIMJER 2. Broj registriranih domena pri Carnetu od siječnja do lipnja 2006. godine Mjesec Broj domena Siječanj 717 Veljača 731 Ožujak 1 061 Travanj 777 Svibanj 812 Lipanj 596
Izvor: www.dns.hr, 28.7.2006. Podatke iz tabele prikažite grafički jednostavnim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza? RJEŠENJE: Grafikon: Broj registriranih domena pri Carnetu od siječnja do lipnja 2006. godine
0
200
400
600
800
1000
1200
Siječa
nj
Veljač
a
Ožujak
Travanj
Svibanj
Lipanj
Mjesec
Bro
j dom
ena
Broj domena
Izvor: www.dns.hr, 28.7.2006. PRIMJER 3. Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do lipnja 2006. godine: Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn) Austrija 1 865 3 253 Italija 7 100 9 932 Njemačka 3 066 8 935 Slovenija 2 335 3 915
Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006 Podatke iz tabele prikažite grafički dvostrukim i razdijeljenim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
4
RJEŠENJE: Grafikon: Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do svibnja 2006. godine
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Austrija Italija Njemačka Slovenija
Zemlja
Izvo
z/Uv
ozIzvozUvoz
Izvor: www.dzs.hr Grafikon: Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do svibnja 2006. godine
02000400060008000
1000012000140001600018000
Austrija Italija Njemačka Slovenija
Zemlja
Izvo
z/U
voz
UvozIzvoz
Izvor: www.dzs.hr PRIMJER 4. Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn) Banka Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit Erste Bank 3 191 365 - Slavonka banka 1 417 78 387 Međimurska 117 43 46 Volksbank 250 1 089 320
Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str. 50. Podatke iz tabele prikažite grafički višestrukim i razdijeljenim stupcima (s apsolutnim frekvencijama). Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
5
RJEŠENJE: Grafikon: Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn)
0500
100015002000250030003500
Erste bank Slavonskabanka
Međimurskabanka
Volksbank
Banka
Izno
skre
dita
Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit
Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str. 50. Grafikon: Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn)
0500
1000150020002500300035004000
Erste bank Slavonskabanka
Međimurskabanka
Volksbank
Banka
Izno
s kr
edita
Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit
Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str. 50. PRIMJER 5. Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do lipnja 2006. godine: Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn) Austrija 1 865 3 253 Italija 7 100 9 932 Njemačka 3 066 8 935 Slovenija 2 335 3 915
Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006. Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim krugovima i proporcionalnim strukturnim krugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
6
RJEŠENJE: Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn) Isječak - izvoz Isječak - uvoz Austrija 1 865 3 253 46,74o 44,96o
Italija 7 100 9 932 177,92o 137,28o
Njemačka 3 066 8 935 76,83o 123,50o
Slovenija 2 335 3 915 58,51o 54,25o
Ukupno 14 366 26 045 360,00o 360,00o
x0 = 0360⋅cjelina
dio
Grafikon: Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do lipnja 2006. godine Izvoz Uvoz
Austrija
Italija
Njemačka
Slovenija
Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006. PRIMJER 6. Dolasci turista u RH
Br. turista (u tis.) Turisti 2004. godina 2005. godina
Domaći turisti 1 500 1 528 Strani turisti 7 912 8 467 Ukupno 9 412 9 995
Izvor: Priopćenje DZS, Zagreb, veljača 2006., str.1. Podatke iz tabele prikažite grafički strukturnim polukrugovima i proporcionalnim strukturnim polukrugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
7
RJEŠENJE:
Br. turista (u tis.) Turisti 2004. godina 2005. godina
Isječak 2004.g. Isječak 2005.g.
Domaći turisti 1 500 1 528 28,69o 27,52o
Strani turisti 7 912 8 467 151,31o 152,48o
Ukupno 9 412 9 995 180,00o 180,00o
00 180⋅=cjelina
diox
Grafikon: Dolasci turista u RH
8
RELATIVNI BROJEVI PRIMJER 1. Fizički obujam telekomunikacijskih usluga od siječnja do lipnja 2006. godine
Broj usluga (u mil.) Vrsta usluge 2005. godina 2006. godina
Utrošene minute u nepokretnoj mreži
5 162 4 463
Utrošene minute u pokretnoj mreži
1 215 1 831
SMS poruke 1 153 1 235 Izvor: www.dzs.hr, 8.8.2006. Izračunajte strukturu broja telekomunikacijskih usluga u 2005. i 2006. godini. Strukturu prikažite grafički strukturnim stupcima. Što se može zaključiti na temelju grafičkog prikaza? RJEŠENJE:
Grafikon: Fizički obujam telekomunikacijskih usluga od siječnja do lipnja 2006. godine
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
2005. 2006.
Godina
Stru
ktur
a
sms poruke
utroš.min. u pokret.mrežiutroš.min. u nepokret.mreži
9
PRIMJER 2. Stanovništvo i površina odabranih europskih zemalja:
Zemlja Broj stanovnika u 000 Površina u km 2 Austrija 8 148 83 871 Hrvatska 4 743 56 594 Mađarska 10 083 93 032 Slovenija 1 933 20 273
Izvor: SLJRH 2004., str. 783. Pomoću navedenih podataka izračunajte broj stanovnika na km2, tj. izračunajte relativne brojeve koordinacije. Dobivene veličine prikažite grafički Varzarovim znakom. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza? RJEŠENJE:
Zemlja Broj stanovnika u 000 Površina u km 2 RBK Austrija 8 148 83 871 97,15 Hrvatska 4 743 56 594 83,81 Mađarska 10 083 93 032 108,38 Slovenija 1 933 20 273 95,35
Površina
ovnikasBrffRBK tan.
2
1 ==
Grafički prikaz relativnih brojeva koordinacije jednostavnim stupcima:
PRIMJER 3. Odobreni krediti po bankama u Hrvatskoj (stanje 31.12.2005.) Banka Odobreni krediti (u mil.kn) Zagrebačka banka 38 126 Privredna banka 29 801 Raiffeisenbank 16 587 Hypo Alpe-Adria Bank 13 739 Erste und Steiermärkische Bank 19 365
Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str.49. Izračunajte indekse odobrenih kredita u 2005. godini. Za osnovu uzmite iznos odobrenih kredita u Hypo Alpe-Adria banci. Indekse prikažite grafički odgovarajućim grafikonom. Što se može zaključiti na temelju izračunatih indeksa? RJEŠENJE: Banka Odobreni krediti (u mil.kn) Indeksi Zagrebačka banka 38 126 277,50 Privredna banka 29 801 216,91 Raiffeisenbank 16 587 120,73 Hypo Alpe-Adria Bank 13 739 100 Erste und Steiermärkische Bank 19 365 140,95
1002
1 ⋅=ff
I
RBK
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
baza Austrija Hrvatska Mađarska Slovenija
11
Grafikon: Indeksi odobrenih kredita po bankama u Hrvatskoj
277,5
216,91
120,73100
140,95
0
50
100
150
200
250
300
Zagr
ebač
kaba
nka
Priv
redn
aba
nka
Rai
ffeis
en
Hyp
oba
nka
Ers
teba
nka
Banka
Inde
ks
Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str.49.
12
NUMERIČKI NIZ: Srednje vrijednosti (potpune i položajne) PRIMJER 1. Zadan je slijedeći numerički niz:
Xi 110 110 114 110 115 115 105 114 106 100 Izračunajte: izračunajte potpune i položajne srednje vrijednosti. RJEŠENJE:
NUMERIČKI NIZ: srednje vrijednosti, mjere disperzije, mjere asimetrije, mjere zaobljenosti PRIMJER 1. Prodaja šećera u trgovini X tijekom radnog tjedna bila je sljedeća:
202 206 190 196 198 208 Izračunajte:
a) aritmetičku sredinu i harmonijsku sredinu b) medijan, donji i gornji kvartil c) varijancu, standardnu devijaciju d) koeficijent asimetrije i koeficijent zaobljenosti.
METODA UZORAKA: Procjena aritmetičke sredine, totala i proporcije osnovnog skupa PRIMJER 1. Na otoku koji ima 1620 domaćinstava slučajno smo izabrali 100 domaćinstava i zabilježili za svako od njih koliko hektara obradive zemlje posjeduje. Izračunali smo aritmetičku sredinu tog uzorka koja je iznosila 1,83 ha. Pomoću standardne devijacije tog uzorka procijenili smo standardnu devijaciju osnovnog skupa i dobili s = 1,36 ha. Izračunajte s 99% pouzdanosti kolika je prosječna površina obradive zemlje svih domaćinstava na tom otoku. RJEŠENJE: N=1 620 n=100 x =1,83 s=1,36 99%
xxstxXstx ⋅+<<⋅−
t=2,58
06,01620100
==Nn
> 0,05
13,011620
100162010036,1
1=
−−
⋅=−−
⋅=N
nNnss
x
17,249,1
13,058,283,113,058,283,1
<<
⋅+<<⋅−
X
X
Prosječna površina obradive zemlje na promatranom otoku nalazi se između 1,49ha i 2,17ha uz 99% pouzdanosti. PRIMJER 2. Od 186 elemenata jednog osnovnog skupa slučajno smo izabrali 20 jedinica. Aritmetička sredina tog uzorka iznosi 2,5, a standardna devijacija je 1,204. Uz 95% vjerojatnosti procijenite aritmetičku sredinu promatranog osnovnog skupa.
30
RJEŠENJE: N=186 n=20 x =2,5 σ=1,204 95%
xxstxXstx ⋅+<<⋅−
191201 =−=−= nk t=2,093
1,018620
==Nn
> 0,05
27,0118620186
12024,1
11=
−−
⋅−
=−−
⋅−
=N
nNnss
x
24,1120
20204,11
=−
⋅=−
⋅=n
ns σ
07,394,1
27,0093,25,227,0093,25,2
<<
⋅+<<⋅−
X
X
Aritmetička sredina promatranog osnovnog skupa nalazi se između 1,94 i 3,07 uz 95% pouzdanosti. PRIMJER 3. U svrhu ispitivanja vremena potrebnog za dolazak na rad, od 915 djelatnika jedne tvrtke anketirano je 150 osoba. Pomoću tog uzorka dobiveni su ovi rezultati: prosječno vrijeme u uzorku = 47 minuta, standardna greška aritmetičke sredine uzorka = 0,0747. Izračunajte 99% pouzdan interval procjene totala osnovnog skupa, tj. ukupno vrijeme potrebno za dolazak na rad svih djelatnika te tvrtke. Zaključak? RJEŠENJE: N=915 n=150 x =47
xs =0,0747
99%
31
∑ ∑∑ ∑⋅+<<∑⋅− '' '' xx stxXstx
4300547915' =⋅=⋅=∑ xNx t=2,58
35,680747,0915' =⋅=⋅=∑ xx sNs
4318142828
35,6858,24300535,6858,243005
∑∑
<<
⋅+<<⋅−
X
X
Ukupno vrijeme potrebno za dolazak na rad svih djelatnika tvrtke nalazi se između 42 828min i 43 181min uz 99% pouzdanosti. PRIMJER 4. U pošiljci limuna (N=90 000) potrebno je utvrditi postotak škarta. Iz pošiljke je odabano 100 limuna, od kojih se 6 počelo kvariti. Procijenite uz 95% pouzdanosti proporciju škarta u toj pošiljci. Zaključak? RJEŠENJE: N=90 000 n=100 m=6 95%
pp stpPstp ⋅+<<⋅−
06,0100
6===
nmp 94,006,011 =−=−= pq
t=1,96
01,090000100
==Nn < 0,05
02,0110094,006,0
1=
−⋅
=−⋅
=n
qps p
11,001,002,096,106,002,096,106,0
<<⋅+<<⋅−
PP
Proporcija škarta u promatranoj pošiljci limuna nalazi se između 0,01 i 0,11, tj. između 1% i 11% uz 95% pouzdanosti.
32
KORELACIJSKA I REGRESIJSKA ANALIZA. KORELACIJA RANGA PRIMJER 1. Na prvom i drugom kolokviju iz kolegija „Statistika“ šest studenata dobilo je bodove prikazane u tablici. Odredite:
a) pravce regresije b) koeficijent korelacije c) koeficijent korelacije ranga d) napišite zaključak e) nacrtajte dijagram rasipanja.
I. kolokvij 88 62 55 96 78 49 II. kolokvij 47 63 70 80 70 40
Korelacija (veza) između bodova na prvom i drugom kolokviju iz kolegija „Statistika je srednja i pozitivna. Dijagram rasipanja
0102030405060708090
0 20 40 60 80 100 120
X
Y
34
VREMENSKI NIZ: Individualni indeksi (verižni i bazni), trend modeli (linearni trend) PRIMJER 1.
Godina 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Broj noćenja 54 43 53 83 67
Na temelju podataka iz tablice izračunajte:
a) verižne indekse b) bazne indekse (1997=100) c) jednadžbu linearnog trenda s ishodištem na početku niza d) jednadžbu linearnog trenda s ishodištem u sredini niza e) izračunajte sve trend vrijednosti f) grafički prikažite podatke iz tablice i napišite zaključak g) grafički prikažite verižne i bazne indekse i napišite zaključak.
- harmonijska sredina - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n
51
• Geometrijska sredina
Jednostava (negrupirani podaci)
∑=
⋅=N
iix
NG
1log1log
ili N
NxxxG ⋅⋅⋅= ...21 Vagana (grupirani podaci)
∑∑ =
=
⋅⋅=n
iiin
ii
xff
G1
1
log1log
ili N f
kff kxxxG ⋅⋅⋅= ...21
21
Gfi Nxi
log
- geometrijska sredina - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n - Logaritam
• Mod Grupirani podaci (distribucija frekvencija s razredima)
( ) ( ) icbab
abLMo ⋅−+−
−+= 1
MoL1 b
aci
- mod - donja granica modalnog razreda - najveća frekvencija u nizu (najveća korigirana frekvencija kod nejednakih razreda) - frekvencija iznad b - frekvencija ispod b - veličina modalnog razreda
if
f ic =
fc fi i
- korigirana frekvencija - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n - veličina razreda čija se frekvencija korigira
• Medijan Negrupirani podaci
2
1+=
Nr
21Nr =
112 += rr
2
21 rr xxMe +=
r
r1, r2
N
Mexr1, xr2
- redni broj podatka, koji predočuje medijan u uređenom nizu s neparnim brojem članova (jedinica) - redni brojevi podataka u uređenom nizu s parnim brojem članova (jedinica) - ukupan broj članova (jedinica) u nizu - medijan - podatak s rednim brojem r1 tj. r2
52
Grupirani podaci (distribucija frekvencija s razredima)
if
fN
LMemed
⋅−
+=∑ 1
12
L1 ∑ f1 fmed
i
- donja granica medijalnog razreda - zbroj frekvencija do medijalnog razreda - frekvencija medijalnog razreda - veličina medijlanog razreda
Mjere disperzije
• Raspon varijacije minmax xxR −=
Rxmax xmin
- raspon varijacije - najveća vrijednost numeričkog obilježja - najmanja vrijednost numeričkog obilježja
• Kvartili Donji kvartil Negrupirani podaci
41Nr =
112 += rr
2
211
rr xxQ
+=
Grupirani podaci (distribucija frekvencija s razredima)
if
fN
LQQ
⋅−
+=∑
1
1
114
r1, r2
N
Q1 xr1, xr2
L1 ∑ f1 fQ1
i
- redni brojevi podataka u uređenom nizu kojima se određuje donji kvartil - ukupan broj članova (jedinica) u nizu - donji kvartil - podatak s rednim brojem r1 tj. r2 - donja granica kvartilnog razreda - zbroj frekvencija do kvartilnog razreda - frekvencija kvartilnog razreda - veličina kvartilnog razreda
Gornji kvartil Negrupirani podaci
4
31
Nr =
112 += rr
53
2
213
rr xxQ
+=
Grupirani podaci (distribucija frekvencija s razredima)
if
fN
LQQ
⋅−
+=∑3
1
134
3
r1, r2
N
Q3 xr1, xr2
L1 ∑ f1 fQ3
i
- redni brojevi podataka u uređenom nizu kojima se određuje gornji kvartil - ukupan broj članova (jedinica) u nizu - gornji kvartil - podatak s rednim brojem r1 tj. r2 - donja granica kvartilnog razreda - zbroj frekvencija do kvartilnog razreda - frekvencija kvartilnog razreda - veličina kvartilnog razreda
• Interkvartil 13 QQIQ −=
IQ Q1 Q3
- interkvartil - donji kvartil - gornji kvartil
• Koeficijent kvartilne devijacije
13
13
QQQQ
VQ +−
=
VQ Q1 Q3
- koeficijent kvartilne devijacije - donji kvartil - gornji kvartil
• Standardna devijacija
2µσ = σµ2
- standardna devijacija - varijanca ili drugi moment oko sredine
- k-ti moment oko nule, k=0,1,... - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n
∑
∑
=
== n
ii
n
iii
f
xfm
1
1
3
3 , ∑
∑
=
== n
ii
n
iii
f
xfm
1
1
4
4
• Momenti oko sredine Negrupirani podaci
( )N
xxkN
ii
k
∑=
−= 1µ ,
( )N
xxN
ii
2
12
∑=
−=µ ,
( )N
xxN
ii
3
13
∑=
−=µ ,
( )N
xxN
ii
4
14
∑=
−=µ
µk mk xi Nxfi
- k-ti moment oko sredine, k=0,1,... - k-ti moment oko nule, k=0,1,... - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - aritmetička sredina - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n
55
Grupirani podaci
( )
∑
∑
=
=
−= n
ii
kn
iii
k
f
xxf
1
1µ , ( )
∑
∑
=
=
−= n
ii
n
iii
f
xxf
1
2
12µ ,
( )
∑
∑
=
=
−= n
ii
n
iii
f
xxf
1
3
13µ ,
( )
∑
∑
=
=
−= n
ii
n
iii
f
xxf
1
4
14µ
10 =µ , 01 =µ
Pomoću momenata oko nule 2122 mm −=µ
312133 23 mmmm +−=µ
412
213144 364 mmmmmm −+−=µ
• Koeficijent asimetrije
33
3 σµ
α = α3 µ3 σ
- koeficijent asimetrije - treći moment oko sredine - standardna devijacija
- Bowleyjeva mjera asimetrije - donji kvartil - gornji kvartil - medijan
56
• Koeficijent zaobljenosti
44
4 σµ
α = α4 µ4 σ
- koeficijent zaobljenosti - četvrti moment oko sredine - standardna devijacija
KOMBINATORIKA
• Permutacije Bez ponavljanja !nP = P
P
- permutacije bez ponavljanja - permutacije s ponavljanjem
S ponavljanjem
!!...!
!
21 krrrnP =
nr
- broj elemenata - razred
• Varijacije Bez ponavljanja
)!(
!rn
nV−
=
S ponavljanjem rnV =
VVnr
- varijacije bez ponavljanja - varijacije s ponavljanjem - broj elemenata - razred
• Kombinacije Bez ponavljanja
)!(!
!rnr
nrn
K−⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
S ponavljanjem
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
rrn
K1
KKnr
- kombinacije bez ponavljanja - kombinacije s ponavljanjem - broj elemenata - razred
57
VJEROJATNOST
• Matematička vjerojatnost ili vjerojatnost a priori
nmAP =)( P(A)
mn
- vjerojatnost događaja A - broj povoljnih mogućnosti - broj svih mogućnosti
• Statistička vjerojatnost ili vjerojatnost a posteriori
nAfAP )()( = P(A)
f(A)n
- vjerojatnost događaja A - frekvencija događaja A - broj izvršenih pokusa
• Suprotna vjerojatnost
)(1)( APAQ −= Q(A)
- suprotna vjerojatnost
1)()( =+ AQAP
P(A) - vjerojatnost događaja A
• Zbrajanje vjerojatnosti – vjerojatnost „ili-ili“ u ekskluzivnom smislu
)()()( BPAPBAP +=∪
P(A)P(B)
- vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja B
• Množenje vjerojatnosti – vjerojatnost „i-i“
)()()( BPAPBAP ⋅=∩
P(A)P(B)
- vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja B
• Vjerojatnost barem jedan – vjerojatnost „ili“ u inkluzivnom smislu
)()(1 BQAQP ⋅−=
)()()()()( BPAPBPAPBAP ⋅−+=∪
P(A)P(B)Q(A)Q(B)
- vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja B - suprotna vjerojatnost događaja A - suprotna vjerojatnost događaja B
58
• Vjerojatnost samo jedan
)()()()( BPAQBQAPP ⋅+⋅=
P(A)P(B)Q(A)Q(B)
- vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja B - suprotna vjerojatnost događaja A - suprotna vjerojatnost događaja B
• Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju
npP =1
npQ )1( −= npP )1(12 −−=
P1 QP2
pn
- vjerojatnost da događaj nastupi n-puta - vjerojatnost da događaj n-puta ne nastupi - vjerojatnost da događaj u n pokusa nastupi barem jedanput - vjerojatnost da će se dogoditi neki događaj - broj ponavljanja (pokusa)
• Uvjetna vjerojatnost
)()()/(
BPBAPBAP ∩
=
)()()/(
APBAPABP ∩
=
P(A/B)
P(B/A)
P(A)P(B)
- vjerojatnost događaja A uz uvjet događaja B - vjerojatnost događaja B uz uvjet događaja A - vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja B
• Totalna vjerojatnost
)/()(...)/()()/()()( 2211 ii BAPBPBAPBPBAPBPAP ⋅++⋅+⋅=
P(A)
P(Bi)
- vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja Bi, i=1, 2,..
• Bayesova formula
∑ ⋅⋅
=)/()(
)/()()/(
ii
iii BAPBP
BAPBPABP
P(A)P(Bi)
- vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja Bi, i=1, 2,..
59
TEORIJSKE DISTRIBUCIJE
• Binomna distribucija
xnx qpxn
xP −⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=)( P(x)
- vjerojatnost da slučajna varijabla ima vrijednost x
pnXxE ⋅==)(
qpnxV ⋅⋅=)(
pnqV⋅
⋅= 100
qpn ⋅⋅=σ
qpnpq⋅⋅
−=3α
qpnqp
⋅⋅⋅⋅−
+=6134α
ppnMoqpn +⋅≤≤−⋅
E(x)xnpq
V(x)Vσα3 α4
Mo
- matematičko očekivanje - broj nastupanja događaja A u n pokusa - broj elemenata u uzorku ili broj pokusa - vjerojatnost ostvarenja događaja A - vjerojatnost nenastupanja događaja A - varijanca - koeficijent varijacije - standardna devijacija - koeficijent asimetrije - koeficijent zaobljenosti - mod
• Poissonova distribucija
λλ −⋅= ex
xPx
!)(
λ−= eP )0(
P(x)
e
- vjerojatnost da slučajna varijabla ima vrijednost x - baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...
• Testiranje hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina dvaju osnovnih skupova
210 : XXH =
211 : XXH ≠
H0 H1
1X2X
- nul-hipoteza - alternativna hipoteza - aritmetička sredina prvog osnovnog skupa - aritmetička sredina drugog osnovnog skupa
21
21
xxs
xxz
−
−=
z1x
2x
21 xxs
−
- z-vrijednost - aritmetička sredina uzorka iz prvog osnovnog skupa - aritmetička sredina uzorka iz drugog osnovnog skupa - standardna greška razlike aritmetičkih sredina
63
n>30
2
22
1
21
21 ns
ns
sxx +=
−
n<30
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=
−21
21
11nn
ssxx
221
222
211
−++
=nn
snsns
• Testiranje hipoteza o jednakosti proporcija dvaju osnovnih skupova
210 : PPH =
211 : PPH ≠
H0 H1
1P
2P
- nul-hipoteza - alternativna hipoteza - proporcija prvog osnovnog skupa - proporcija drugog osnovnog skupa
21
21
ppspp
z−
−=
z1p
2p
21 pps −
- z-vrijednost - proporcija uzorka iz prvog osnovnog skupa - proporcija uzorka iz drugog osnovnog skupa - standardna greška razlike proporcija
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⋅=−
21
1121 nn
QPs pp
21
21
nnmmP
++
=
PQ −= 1
PQ
m1
m2
- prosječna proporcija - procječna suprotna proporcija - broj jedinica iz prvog uzorka s nekim odabranim svojstvom - broj jedinica iz drugog uzorka s nekim odabranim svojstvom
- ukupan broj jedinica - vjerojatnost odabrane teorijske distribucije - veličina razreda (interval između dviju vrijednosti numeričkog obilježja - standardna devijacija - ordinate gustoće jedinične normalne distribucije
1−= nk - uniformna distribucija
2−= nk - binomna i Poissonova
3−= nk - normalna distribucija
kn
- stupnjevi slobode - broj teorijskih frekvencija
KORELACIJSKA I REGRESIJSKA ANALIZA Linearna korelacija
• Jednadžbe pravaca regresije Jednadžba prvog pravca regresije
xbaYc ⋅+=
∑∑
∑ ∑−
−=
XXXYXXY
b2
XbYa ⋅−=
Yc
a, bXiYi
- vrijednost prvog pravca regresije - parametri prvog pravca regresije - frekvencije jedne pojave, i=1,...,n - frekvencije druge pojave, i=1,...,n
NX
X i∑= , N
YY i∑=
X
Y
N
- aritmetička sredina (prosječna vrijednost) prve pojave - aritmetička sredina (prosječna vrijednost) druge pojave - broj frekvencija u pojavi X ili Y
Jednadžba drugog pravca regresije
ybaXc ⋅+= ''
∑ ∑∑ ∑
−
−=
YYYXYXY
b2
'
YbXa '' −=
Xca', b'
- vrijednost drugog pravca regresije - parametri drugog pravca regresije
65
• Pearsonov koeficijent korelacije
∑ ∑∑
−⋅−
−⋅−=
22 )()(
)()(
YYXX
YYXXr
ii
ii r
XiYi
- koeficijent korelacije - frekvencije jedne pojave, i=1,...,n - frekvencije druge pojave, i=1,...,n
'bbr ⋅=
bb'
- parametar u prvoom pravcu regresije - parametar u drugom pravcu regresije