STATISTIČKE METODE ZA POSLOVNO UPRAVLJANJE Josipa Rajić METODE PROGNOZIRANJA Za potrebe poslovnog upravljanja nužno je predviđanja procesa u poduzeću i njegovom relevantnom okruženju. Za to se koriste različite metode prognoziranja. Metode prognoziranja možemo podijeliti na: - Statističke metode koriste podatke za prognoziranje pojava. Statistička metoda je empirijska metoda, istraživanjem pojava u velikom broju njezinih pojavnih oblika nastoji se doći do općeg zaključka o toj pojavi. Takvi zaključci se mogu donositi uz određenu vjerojatnost i potrebno je provjeravati istinitost zaključaka (testiranje hipoteza). - Nestatističke metode se temelje na predviđanju kretanja pojava na osnovu analiza financijskih i drugih podataka kojima se raspolaže, zatim na subjektivnim procjenama na osnovama poznavanja tehnoloških promjena isl. Statističke metode dalje dijelimo: - Projekcijske - Kauzalne 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
STATISTIČKE METODE ZA POSLOVNO UPRAVLJANJE Josipa Rajić
METODE PROGNOZIRANJA
Za potrebe poslovnog upravljanja nužno je predviđanja procesa u poduzeću i njegovom
relevantnom okruženju. Za to se koriste različite metode prognoziranja.
Metode prognoziranja možemo podijeliti na:
- Statističke metode koriste podatke za prognoziranje pojava. Statistička metoda je
empirijska metoda, istraživanjem pojava u velikom broju njezinih pojavnih oblika
nastoji se doći do općeg zaključka o toj pojavi. Takvi zaključci se mogu donositi uz
određenu vjerojatnost i potrebno je provjeravati istinitost zaključaka (testiranje
hipoteza).
- Nestatističke metode se temelje na predviđanju kretanja pojava na osnovu analiza
financijskih i drugih podataka kojima se raspolaže, zatim na subjektivnim procjenama
na osnovama poznavanja tehnoloških promjena isl.
Statističke metode dalje dijelimo:
- Projekcijske
- Kauzalne
Projekcijske metode koriste analizu ponašanja pojave u prošlosti, i na osnovu utvrđenih
zakonitosti vrši se projekcija ponašanja pojave u budućnosti.
Modeli koji se rješavaju projekcijskim metodama imaju samo jednu varijablu. Nazivaju se još
i ekstrapolativne metode.
U ovu skupinu spadaju metode dekompozicije vremenske serije na komponente, metode
izglađivanja, ARIMA modeli.
Kauzalne metode vrše analizu efekata vanjskih utjecaja, a zatim se kreira model pomoću
kojeg se vrši prognoziranje. Kod ovih metoda imamo više varijabli, vrijednost pojave koja se
proučava prognozira se u zavisnosti od promjene drugih varijabli koje na nju utječu.Pojava
1
koja se proučava je zavisna varijabla, a pojave koje utječu na proučavanu varijablu su
nezavisne varijable. Zavisna varijabla je uvijek jedna pojava, a nezavisnih može biti jedna ili
više.U ovu skupinu metoda spadaju ekonometrijski modeli i regresijski modeli.
Podjela metoda prognoziranja s aspekta vremenskog perioda za koji se prognozira.
Prema ovom kriteriju imamo
- Dugoročne prognoze - prognoza na period od nekoliko godina unaprijed
- Srednjoročne prognoze – prognoze na period dvije do tri godine
- Kratkoročne prognoze – prognoze na period nekoliko tjedana, mjeseci do godinu
dana.
Primjena bilo koje statističke metode temelji se na raspoloživosti odgovarajućih podataka.
MODELI REGRESIJE
Razlikovanje determinističke i stohastične (ili statističke) zavisnosti pojava.
Određivanje smjera veze, jačine veze i oblika veze.
Opći oblik modela regresije je: Y= f (X , X , ... X ) + ε
Model se sastoji od determinističkog dijela, koji predstavlja matematičku funkciju kojom se
izražava zavisnost zavisne varijable od određenog broja nezavisnih varijabli, i stohastičnog
dijela koji predstavlja odstupanje od funkcionalne zavisnosti
Modele regresije možemo podijeliti s obzirom na broj nezavisnih varijabli uključenih u model
i s obzirom na oblik matematičke funkcije determinističkog dijela modela.
S obzirom na broj nezavisnih varijabli u modelu, modeli regresije se dijele na modele
jednostavne regresije i modele višestruke regresije.
Model jednostavne linearne regresije ima jednu zavisnu i jednu nezavisnu varijablu.
Model višestruke regresije ima jednu zavisnu i više nezavisnih varijabli.
2
Prema obliku matematičke funkcije determinističkog modela, modele regresije dijelimo na
linearne i nelinearne ili krivolinijske modele.
Veza među varijablama kod linearnog modela predočena je linearnom funkcijom, čiji je graf
pravac.
Veza između varijabli kod krivolinijske regresije ima oblik neke druge matematičke funkcije,
čiji je graf neka kriva linija.
Model jednostavne linearne regresije, opći oblik modela je:
U modelu jednostavne linearne regresije vrijednost zavisne varijable Y je linearna
kombinacija vrijednosti nezavisne varijable X, parametara modela i slučajne varijable.
Funkcionalni dio modela određen je ako su poznate vrijednosti parametara
Vrijednost parametara se procjenjuje na temelju uzorka ili izmjerenih n parova vrijednosti
varijable x i y.
Model sa procijenjenim parametrima je:
Vrijednost procijenjenih parametara se izračunava iz n izmjerenih parova vrijednosti x i y.
Regresijske vrijednosti se dobivaju uvrštavanjem odgovarajućih vrijednosti nezavisne
varijable x u model regresije.
Rezidualna odstupanja su odstupanja izmjerenih vrijednosti zavisne varijable od regresijskih
vrijednosti.
Model regresije je reprezentativniji što su manja rezidualna odstupanja.
Kakvoća modela se mjeri odgovarajućim pokazateljima, a najznačajniji su:
Varijanca ili prosječno kvadratno odstupanje, dobiva se tako da se zbroj kvadrata
rezidualnih odstupanja podijeli brojem podataka.
Standardna greška modela ili prosječno odstupanje podataka od regresijskih
vrijednosti, dobiva se kao pozitivni drugi korijen iz varijance.
3
y i=b0+b1 x i+e i
Koeficijent varijacije je omjer standardne devijacije i prosječne vrijednosti zavisne
varijable, pomnoženo sa 100.
U analizi reprezentativnosti regresijskog pravca koristi se koeficijent determinacije.
Koeficijent determinacije je relativna mjera prilagođenosti regresijskog pravca empirijskim
podacima.
Dobiva se kao omjer protumačenog dijela zbroja kvadrata odstupanja i ukupnog zbroja
kvadrata odstupanja.
Ukupno odstupanje empirijskih podataka (varijabla y) od prosječne vrijednosti varijable y se
rastavlja na dio odstupanja protumačen modelom regresije (razlika regresijske vrijednosti i
prosječne vrijednosti) i dio ne protumačen modelom (razlika izmjeđu izmjerene i regresijske
vrijednosti).
Koeficijent determinacije uzima vrijednosti iz intervala 0 i 1.
TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI PARAMETARA MODELA REGRESIJE
Parametri općeg modela se procjenjuju na temelju izračunate vrijednosti odgovarajućeg
parametra koristeći n izmjerenih parova vrijednosti x i y. Izmjerene vrijednosti čine uzorak, a
statističkim zaključivanjem se nastoji doći do općih zaključaka (za osnovni skup).
Zbog toga je potrebno postupkom testiranja statističke hipoteze provjeriti jesu li vrijednosti
parametara statistički značajni.
U modelu jednostavne linearne regresije u stvari je bitna vrijednost parametra uz nezavisnu
varijablu, jer on pokazuje promjenu zavisne varijable za jedinično povećanje nezavisne
varijable. Vrijednost slobodnog člana modela ima uglavnom matematičko, a ne stvarno
značenje za zavisnost analiziranih pojava.
Regresijski koeficijent ili parametar uz nezavisnu varijablu je značajan ako je različit od nule,
jer povećanjem vrijednosti nezavisne varijable povećava se (reg.koeficijent veći od 0) ili se
smanjuje (reg.koeficijent manji od 0) vrijednost zavisne varijable. Ako je regresijski
4
koeficijent jednak 0 onda promjena nezavisne varijable ne utječe na vrijednost zavisne
varijable.
Za testiranje značajnosti regresijskog koeficijenta može se koristiti tzv. t-test ili F-test
T-test
Postupak testiranja polazi od postavke hipoteza, nulte i alternativne, koje u ovom slučaju
imaju sljedeći oblik:
H : β≠ 0
Test statistika je empirijski t- omjer:
Test statistika je distribuirana po studentovoj distribuciji s (n-2) stupnja slobode.
Odluka se donosi usporedbom empirijske vrijednosti s kritičnom vrijednosti t distribucije za
danu razinu signifikantnosti (1- ∝) i broj stupnjeva slobode. Nulta hipoteza se prihvaća ako
je
a ako je
odbacuje se nulta i prihvaća alternativna hipoteza.
F- test ili analiza varijance (ANOVA)
Analiza varijance je metoda matematičke statistike koja se temelji na raščlanjivanju ukupnog
zbroja kvadrata odstupanja (SST) izmjerenih vrijednosti zavisne varijable od njezine
aritmetičke sredine na komponente koje opisuju određene izvore varijacija, a to su zbroj
protumačenih kvadrata odstupanja (SSP) i zbroj neprotumačenih (rezidualnih) kvadrata
odstupanja (SSR)
Rezultati izračuna se upisuju u tablicu tzv. tablicu ANOVA.
Postupak testiranja
Izračuna se vrijednost empirijskog F0 – omjera
5
H0 : β1=0
t0=b1
σ ( β1 )
|t0|≤t (α /2; n−2 )
|t0|>t (α /2 ;n−2 )
∑i=1
n
( y i− yi )2=∑i=1
n
( y i− yi )2+∑i=1
n
( yi− y i )2
F0 - omjerima F- oblik distribucije, što znači da se uspoređuje izračunata vrijednost sa
tabličnom vrijednosti F – distribucije, za izabranu razinu signifikantnosti testa ( 1 – α ) i za
odgovarajući broj stupnjeva slobode veličine u brojniku i veličine u nazivniku
Ako je izračunata vrijednost F0 -omjera manja od odgovarajuće tablične vrijednosti, to znači
da se razlika između protumačene i rezidualne procjene varijance mogu pripisati slučaju i da
treba prihvatiti nultu hipotezu (regresijski koeficijent nije značajan), u protivnom se odbacuje
nulta i prihvaća alternativna hipoteza da je regresijski koeficijent značajan .
INTERVALNA PROCJENA PARAMETARA MODELA REGRESIJE
Parametri modelaβ i β se procjenjuju intervalno i to pomoću parametara bi b koji su izračunati
pomoću podataka iz uzorka.
- Parametri b i b izračunati za različite uzorke predstavljaju slučajne varijable, koje imaju
normalan oblik distribucije (za uzorke preko 30 statističkih jedinica ili T oblik distribucije za
manje uzorke).
Očekivana vrijednost sampling-distribucije parametra b jednaka je parametru β općeg
modela (E(b ) = β ¿ , a standardna devijacija se označava i naziva se standardna greška
procjene parametraβ .
Intervalna procjena slobodnog člana modelaβ uz pouzdanost ( 1 – α ) dobiva se pomoću
izraza:
b - je slobodni član model procijenjen pomoću n izmjerenih parova vrijednosti varijabli X i Y-
(x , y )
σ ¿ ) - je standardna greška procjene parametra β a izračunava se pomoću izraza
U navedenom izrazu veličina je procijenjena varijanca općeg modela (osnovnog skupa), a
procjena se vrši na osnovu varijance procijenjenog modela (uzorka).
Veličina je kritična vrijednost t distribucije za vrijednost funkcije i (n-2) stupnja slobode.
6
Očekivana vrijednost sampling distribucije parametra jednaka je parametru općeg modela,
a standardna devijacija se naziva standardna greška procjene parametra .
Intervalna procjena regresijskog koeficijenta općeg modela uz pouzdanost dobiva
se pomoću izraza:
Standardna pogreška procjene parametraβse izračunava pomoću izraza:
Intervalna procjena vrijednosti zavisne varijable za poznatu vrijednost nezavisne varijable
Procjena vrijednosti zavisne varijable za zadanu vrijednost nezavisne varijable može biti
procjena brojem i intervalom.
Neka je zadana vrijednost nezavisne varijable x procijenjena vrijednost se dobiva pomoću
izraza
Intervalna procjena vrijednosti zavisne varijable za zadanu vrijednost nezavisne varijable ,
uz pouzdanost x ima oblik:
Standardna greška za intervalnu procjenu prosječne vrijednosti zavisne varijable za zadanu
vrijednost nezavisne varijable ima oblik
Standardna greška za procjenu intervala individualnih vrijednosti zavisne varijable za zadanu
vrijednost nezavisne varijable je
NELINEARNI REGRESIJSKI MODEL
Kod svih modela regresije radi se o statističkoj međuzavisnosti pojava, pa modeli imaju