Statistical Modeling of Sunspot Cycles Yaming Yu Department of Statistics, Harvard University sunspot numbers April 19, 2005
Statistical Modeling of Sunspot Cycles
Yaming YuDepartment of Statistics, Harvard University
sunspot numbers April 19, 2005
Sunspots� What are they?
– Sunspots appear as dark spots on the surface of the Sun.
– Temperature lower than the surrounding photosphere.Strong magnetic fields.
– They typically last several days; some may live for weeks.
� The longest directly observed index of solar activity
– 1610: Galileo first viewed sunspots with his new telescope.
– 1749: Daily observations were started at the Zurich Observatory.
– 1849: Continuous (daily) observations were obtained with the addition ofmore observatories.
sunspot numbers April 19, 2005
Sunspot Number (SSN) Data� Sunspots occur in groups.
� Sunspot No. = No. of individual spots + 10 � � � No. of groups
� – The International Sunspot Number: compiled by the Sunspot Index DataCenter in Belgium.
– The NOAA sunspot number: compiled by the US National Oceanic andAtmospheric Administration.
� – Top: monthly averages of the International Sunspot Numbers.
– Middle: local smoother fit to sqrt(SSN).
– Bottom: residuals.
sunspot numbers April 19, 2005
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sunspot numbers April 19, 2005
Sunspot Cycles
Features of the sunspot number data
� A lot of noise.
� Quasi-periodicity: average cycle length is 11 years (Wolf 1852).
� Asymmetry: rise to maximum is faster than fall to minimum (Waldmeier1935, 1939).
� Waldmeier effect: stronger cycles tend to take less time to rise to maximumamplitude.
� Long-term (8–9 cycles) periodicity . . .
How to quantify the statistical significance?
sunspot numbers April 19, 2005
Statistical Modeling of Sunspot Cycles� Physical models of the solar dynamo are unfortunately lacking/flawed.
� But we can build statistical models.
Cycle lengths vary; purely periodic models don’t work.
� A Poisson model with a latent autoregressive process
Yt �� ξt � β �Yt �� ξt � β �Yt �� ξt � β � ind� Pois � eβ0� β1t� β2 cos 2πt T� t0 �� ξt
� ;ind� Pois � eβ0� β1t� β2 cos 2πt T� t0 �� ξt
� ;ind� Pois � eβ0� β1t� β2 cos 2πt T� t0 �� ξt
� ;
ξt �� ξ t � β � ρ � δ �ξt �� ξ t � β � ρ � δ �ξt �� ξ t � β � ρ � δ � � N� ρξt� 1 � δ2 ���� N� ρξt� 1 � δ2 � �� N� ρξt� 1 � δ2 � �
� Three posterior realizations
– Left: data with fitted curve
– Right: residuals
sunspot numbers April 19, 2005
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suns
pot n
umbe
rs
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050
100
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resi
dual
s
1750 1800 1850 1900 1950 2000
-50
050
100
150
200
sunspot numbers April 19, 2005
Modeling Each Cycle by Simple Functions
Notation for cycle iii
� t i �
0t
i �
0t
i �
0 : start of cycle iii
� t i �
maxt i �
maxt i �
max: time at cycle maximum
� t i� 1 �
0t
i� 1 �
0t
i� 1 �
0 : end of cycle iii
year
2040 2042 2044 2046 2048 2050
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
PS
fragreplacem
ents
t i �
0t
i �
0t
i �
0 t i �
maxt i �
maxt i �
max t i� 1 �
0t
i� 1 �
0t
i� 1 �
0
sunspot numbers April 19, 2005
� RtRtRt: “average solar activity level” at time ttt
– For the rising phase t � t i �
maxt � t i �
maxt � t i �
max
Rt� ci 1� t i �
max� t
t i �
max� t i �
0
α1
Rt� ci 1� t i �
max� t
t i �
max� t i �
0
α1
Rt� ci 1� t i �
max� t
t i �
max� t i �
0
α1
;
– For the declining phase t � t i �
maxt � t i �
maxt � t i �
max
Rt� ci 1� t� t i �
max
t i� 1 �
0
� t i �
max
α2
Rt� ci 1� t� t i �
max
t i� 1 �
0
� t i �
max
α2
Rt� ci 1� t� t i �
max
t i� 1 �
0
� t i �
max
α2
�
� cycle length = t i� 1 �
0
� t i �
0t i� 1 �
0
� t i �
0t i� 1 �
0
� t i �
0 ;
time to rise to maximum = t i �
max� t i �0t i �
max� t i �0t i �
max� t i �0 ;
amplitude = cicici.
� α1 � α2 � 1α1 � α2 � 1α1 � α2 � 1: the same shape parameters for all cycles.
sunspot numbers April 19, 2005
A Nonlinear Regression Model� Model sqrt of sunspot numbers to stablize the variance:
� Ytind� N� β0� β1t� Rt � σ2 �� Ytind� N� β0� β1t� Rt � σ2 �� Ytind� N� β0� β1t� Rt � σ2 �
� Cycle-specific parameters
– T0� � t i �
0 � i� 0 � 1 �� � � � k � ;T0� � t i �
0 � i� 0 � 1 �� � � � k � ;T0� � t i �
0 � i� 0 � 1 �� � � � k � ;– Tmax� � t i �
max � i� 0 �� � � � k� 1 � ;Tmax� � t i �
max � i� 0 �� � � � k� 1 � ;Tmax� � t i �
max � i� 0 �� � � � k� 1 � ;– C� � ci � i� 0 �� � � � k� 1 �C� � ci � i� 0 �� � � � k� 1 �C� � ci � i� 0 �� � � � k� 1 � �
Total number of available cycles k� 24k� 24k� 24.
sunspot numbers April 19, 2005
Priors� flat on t i �
0 � i� 1 �� � � � k� 1t i �0 � i� 1 �� � � � k� 1t i �0 � i� 1 �� � � � k� 1 and TmaxTmaxTmax subject to
t i �
0 � t i �
max � t i� 1 �
0t i �
0 � t i �
max � t i� 1 �
0t i �
0 � t i �
max � t i� 1 �
0 ;
� flat but with extra constraint on t 0 �
0 � t k �
0t 0 �
0 � t k �
0t 0 �
0 � t k �
0 and α� � α1 � α2 �α� � α1 � α2 �α� � α1 � α2 � ;
� standard prior on C � β� � β0 � β1 �C � β� � β0 � β1 �C � β� � β0 � β1 � , and σ2σ2σ2.
sunspot numbers April 19, 2005
Model-fitting Procedure� Gibbs sampler with M–H steps.
� Lots of local modes in simulations.
Note: Given T0 � TmaxT0 � TmaxT0 � Tmax and ααα, posterior of � C � β � σ2 �� C � β � σ2 �� C � β � σ2 � follows standardnormal-inverse χ2χ2χ2. So
� update � T0 � Tmax � α �� T0 � Tmax � α �� T0 � Tmax � α � one coordinate at a time according to its conditionaldensity, but with � C � β � σ2 �� C � β � σ2 �� C � β � σ2 � integrated out;
� draw � C � β � σ2 �� C � β � σ2 �� C � β � σ2 � given � T0 � Tmax � α �� T0 � Tmax � α �� T0 � Tmax � α � using OLS routines.
sunspot numbers April 19, 2005
MCMC chain 1
iteration
star
t pt o
f cyc
le 1
0 200 400 600 800 1000
7580
85
all 3 chains
iteration
star
t pt o
f cyc
le 1
0 200 400 600 800 1000
7580
85
iteration
max
pt o
f cyc
le 1
0 200 400 600 800 1000
145
155
165
175
iteration
max
pt o
f cyc
le 1
0 200 400 600 800 1000
145
155
165
175
iteration
0 200 400 600 800 1000
1.2
1.6
2.0
2.4
iteration
0 200 400 600 800 1000
1.2
1.6
2.0
2.4
iteration
0 200 400 600 800 1000
1.0
1.2
1.4
iteration
0 200 400 600 800 1000
1.0
1.2
1.4
PS
fragreplacem
ents
α 1α 1α1
α 1α 1α1
α 2α 2α2
α 2α 2α2
sunspot numbers April 19, 2005
Posterior Inference
Fitted model and residuals
� – Top: sqrt(SSN) with fitted values.Vertical lines represent one posterior draw of � T0 � Tmax �� T0 � Tmax �� T0 � Tmax � .
– Middle: residuals vs. time (year).
– Bottom: residuals vs. fitted values.
sunspot numbers April 19, 2005
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fitted values
abs(
resi
dual
s)
2 4 6 8 10 12 14
01
23
4
sunspot numbers April 19, 2005
� It’s a fairly good fit. Much better than the local smoother.� The fit is better for recent data (year � 1850year � 1850year � 1850) than for the less reliable data in
the past.
� The 45 degree streak is an artifact caused by zero SSN observations.
sunspot numbers April 19, 2005
Posterior Inference: Shape Parameters α1 � α2α1 � α2α1 � α2
mean s.e. 2.5% 97.5%
α1α1α1 1.46 0.10 1.29 1.66
α2α2α2 1.28 0.05 1.18 1.36
Pr� α2� α1 � 0 � Y � � 0� 94Pr� α2� α1 � 0 � Y � � 0� 94Pr� α2� α1 � 0 �Y � � 0� 94
1.2 1.4 1.6 1.8
010
030
0
shape parameters
-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2
020
040
060
0
1.15 1.25 1.35
010
030
0
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1.15
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PS
fragreplacem
entsα1α1α1
α1α1α1α 2α 2α
2
α2α2α2
α2� α1α2� α1α2� α1
sunspot numbers April 19, 2005
Cycle Length Patterns
cycle length
cycle #
year
s
0 5 10 15 20
910
12
time to fall - time to rise
cycle #
year
s
0 5 10 15 20
-22
46
8
sunspot numbers April 19, 2005
� Average cycle length is around 11 years( � � � ’s mark posterior means)
� Error bars are small(Vertical bars represent the 50% marginal credible intervals)
� The cycle length has no apparent upward or downward trend.
� With few exceptions, cycles take more time to decline than to rise.
� Only about half of Cycle # 0 is observed, hence the large error bars.
sunspot numbers April 19, 2005
Cycle Amplitude Patterns
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cycle amplitude
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0 5 10 15 20
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-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
02
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slope
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amplitude of previous cycle
ampl
itude
of c
urre
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ycle
6 8 10 12
68
1012
0.0 0.5 1.0
0.0
1.0
2.0
slope
sunspot numbers April 19, 2005
Evaluating Statistical Significance� Wrong procedure: simple linear regression using the posterior mean as the
true amplitudes.
� Ideally we should fit a hierarchical model.
� A two-stage simulation procedure:
– Draw posterior samples of the cycle amplitudes (done).
– For each sample, fit the regression model of amplitude vs. cycle #,and then draw from the posterior of the regression coefficient.
� Because error bars are small, results (histogram) are nearly identical tothose of simple linear regression (solid curve).
sunspot numbers April 19, 2005
Relationship Between Cycle Length and Amplitude
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-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.50.
00.
20.
40.
60.
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01.
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slope
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9 10 11 12 13
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itude
2 3 4 5 6
68
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-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
slope
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a posterior sample
time to rise
ampl
itude
2 3 4 5 6 76
810
12
sunspot numbers April 19, 2005
� Row 1: amplitude vs. cycle length
– Left: Scatterplot of the posterior means.Vertical (horizontal) bars are 50% credible intervals for cycle amplitude(length).
– Middle: Statistical significance of the regression slope.Little difference between simple linear regression and two-stagesimulation.
– Right: A posterior sample and its regression line.
� Row 2: amplitude vs. time to rise to cycle maximum
– Middle: the error bars are large enough to make a (very small) difference.
sunspot numbers April 19, 2005
Forecasting Problems� Predict the rest of a partially observed cycle
� Predict the length and amplitude of an unobserved future cycle
The amplitude-length (amplitude-period) relations:
� Length of the previous cycle is a fairly good predictor of the amplitude ofthe current cycle.
� Amplitude of the previous cycle has little correlation with the length of thecurrent cycle.
sunspot numbers April 19, 2005
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prediction
length of previous cycle
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itude
of c
urre
nt c
ycle
9 10 11 12 13
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dual
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amplitude of previous cycle
leng
th o
f cur
rent
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910
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amplitude of previous cycle
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dual
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-20
12
sunspot numbers April 19, 2005
Work in Progress� Data quality problems.
� Incorporating additional information, e.g., spatial location of sunspots,magnetic polarity information; joint modeling with 10.7cm flux, etc.
� A more elaborate model to link cycle length, time to rise, and amplitudethrough hyperparameters.
� Allowing the start of cycle i� 1i� 1i� 1 to be slightly different from the end of cycle iii.
� Comparison with similar models in the literature.
� Better algorithms. More efficient computer code.
��� � �� � �� � �
sunspot numbers April 19, 2005