Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 4 1.

Statistica economica (6 CFU)

Corso di Laurea in Economia e Commercioa.a. 2012-2013

Docente: Lucia BuzzigoliLezione 4

NUMERI INDICI ELEMENTARIn.i. elementari a base fissa

• Data la serie storica Xt osservata per t=1,2,...,N, si chiama serie indice a base fissa t=r la seguente

(a) la serie indice a base fissa è una serie a-dimensionale, cioè indipendente dall'unità di misura del fenomeno;(b) la serie indice a base fissa, dato che è ottenuta da quella originaria dividendo ciascun suo valore per la stessa costante Xr

(detta anche base della serie), conserva l'andamento della serie originaria. Tutto questo implica che se si vuole confrontare l'evoluzione di più serie misurate con unità di misura diverse, basta confrontare le rispettive serie con base tutte allo stesso tempo t=r;

(d) nota la serie degli indici rIXt e nota la base Xr della serie si può sempre risalire alla serie originaria visto che

NOTARE: è possibile cambiare base passando, per esempio alla base s; per fare questo basta dividere ciascun elemento di rIXt per rIXs

(c) rIXt misura la variazione che è intervenuta nel fenomeno rispetto al tempo base r, più in particolare:

Data la serie Xt, t=1,2,...,N, la serie degli indici a base mobile si ottiene dividendo ciascun elemento di Xt per quello immediatamente precedente Xt -1 . In simboli

Di solito t-1IXt viene moltiplicata per 100• la serie degli indici a base mobile è costituita da N-1 valori;• misura le variazioni che intercorrono fra il periodo corrente t e quello

immediatamente precedente t-1 e quindi mette in evidenza variazioni di breve periodo

• dato {t-1IXt, X1-1} possiamo sempre risalire iterativamente ad Xt:

n. i. elementaria base mobile

Operatore all’indietro (backward) B

• Data una serie storica

• l’operatore B serve a trasformare un termine di tale sequenza in uno che lo precede di uno o più posti:

Operatore in avanti (forward) F• Operatore inverso di B : stessa definizione, salvo che F

trasforma in avanti:

ttt zzz ,,..., 12

jttj

tj

tt zzBBzBzzB

)( 11

jttj

1tt zzFzzF

1BF

OPERATORE ALL’INDIETRO

OPERATORE ALLE DIFFERENZE

B1

jtttj

tj

tttt

zzzz

zzzBz

1

1)1(

2112 2)( ttttttt zzzzzzzAd esempio:

cioè 21

222 2)21(1 tttttt zzzzBBzBz

A COSA SERVONO ?Se la serie Zt ha un trend lineare, la serie Zt è stazionaria in media:Zt = a+bt

Zt = a+bt-[a+b(t-1)] = a+bt-a-bt+b = b

Se la serie Zt ha un trend quadratico, la serie 2Zt è stazionaria in media:Zt = a+bt+ct2

Zt = a+bt+ct2-[a+b(t-1)+c(t-1)2]

= a+bt+ct2-a-bt+b-ct2+2ct-c=b-c+2ct RETTA2Zt =2c

IN GENERALE:Se la serie Zt ha un trend polinomiale di grado p, la serie pZt è stazionaria in media

QUINDI:Nel caso di serie con trend polinomiale le differenze prime, eventualmente iterate, servono a raggiungere la stazionarietà in media.La differenziazione di un polinomio ne riduce il grado di una unità

OVVIAMENTE:Le serie storiche reali non presentano andamenti deterministici

Effetto di su valori anomali

Supponiamo che la serie Xt presenti al tempo s un valore eccezionalmente grande. In termini formali si può, anche se solo approssimativamente, supporre che sia

dove - a è una costante positiva molto più elevata di Ys - Yt è la serie che si otterrebbe se da Xt fosse rimosso il

valore eccezionale

Quando si applicano le differenze prime:

quindi, se si costruisce il grafico di Zt questo presenterà due picchi uno per t=s ed uno per t=s+1. In particolare, per a >0:• Zs sarà eccezionalmente grande• Zs+1 sarà eccezionalmente piccolo • |Zs|≈|Zs+1|.

Se in Xt, per t=s, vi è un valore “eccezionalmente piccolo”, quantoabbiamo detto continua a valere con l'unica differenza che Zs risultapiccolo mentre Zs+1 grande

G ra fi co va ri a b i l e :

d i ffe re n ze p rim e

-1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0

t

-5 0 0 0

-4 0 0 0

-3 0 0 0

-2 0 0 0

-1 0 0 0

0

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 0 0 0

5 0 0 0

-5 0 0 0

-4 0 0 0

-3 0 0 0

-2 0 0 0

-1 0 0 0

0

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 0 0 0

5 0 0 0

G ra fi co va ri a b i l e :

-1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0

t

-2 0 0 0

0

2 0 0 0

4 0 0 0

6 0 0 0

8 0 0 0

1 0 0 0 0

1 2 0 0 0

-2 0 0 0

0

2 0 0 0

4 0 0 0

6 0 0 0

8 0 0 0

1 0 0 0 0

1 2 0 0 0

Supponiamo che la serie Xt presenti una variazione del suo livello medio complessivo a partire dalla osservazione Xs+1. In termini formali:

Effetto di su variazioni di livello

dove :• a è una costante positiva se il nuovo livello è maggiore di

quello precedente e negativa nel caso opposto• Yt è la serie che si sarebbe osservata se in Xt non si fosse

avuto il cambiamento di livello.

Questo vuol dire che:- se a è positivo, il grafico di Zt presenta un valore eccezionalmente alto, dovuto all'aumento del livello in s ;- se a è negativo, lo stesso grafico presenta un valore eccezionalmente basso, dovuto ad una diminuzione del livello in s .

Quando si applicano le differenze prime:

Di ffe re n ze p rim e

-1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0

t

-5 0 0

0

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

2 5 0 0

3 0 0 0

3 5 0 0

4 0 0 0

4 5 0 0

Y

-5 0 0

0

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

2 5 0 0

3 0 0 0

3 5 0 0

4 0 0 0

4 5 0 0

se ri e o ri g i n a ri a

-1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0

t

-2 0 0 0

0

2 0 0 0

4 0 0 0

6 0 0 0

8 0 0 0

1 0 0 0 0

1 2 0 0 0

1 4 0 0 0

1 6 0 0 0

1 8 0 0 0

Y

-2 0 0 0

0

2 0 0 0

4 0 0 0

6 0 0 0

8 0 0 0

1 0 0 0 0

1 2 0 0 0

1 4 0 0 0

1 6 0 0 0

1 8 0 0 0