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Elementi di Statistica descrittiva – Parte I

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Elementi diStatistica descrittiva

Parte I

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Che cos’è la statisticaChe cos’è la statistica

La statistica si occupa di carattericaratteri (ossia aspetti osservabili) variabilivariabili (possono assumere valori diversi).

Essi devono poter essere rilevatirilevati su soggetti (unità unità statistichestatistiche).

Scopi della statistica:• Sintetizzare: predisporre i dati raccolti in una forma

che consenta di comprendere meglio i fenomeni.(STATISTICA DESCRITTIVA)

• Generalizzare: estendere con metodi di induzione i risultati ottenuti da un gruppo limitato di unità statistiche (campione) all’intera collettività (universo, popolazione).

(STATISTICA INFERENZIALE)

“Metodo di studio di caratteri variabili, rilevabili su collettività”.

I caratteri possono essere:

•Quantitativi, quando sono espressi da un numero (spesso una misura), esempio:l’età di un individuo, il numero di componenti di una famiglia, l’altezza di un albero;

•Qualitativi, quando sono espressi mediante un giudizio o una qualità, esempio:il colore degli occhi di un individuo, la serie in cui milita una squadra di calcio (A,B,C,..).

La statistica inferenziale usa i metodi del calcolo delle probabilità, che qui non viene considerato.

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Che cos’è la statistica descrittivaChe cos’è la statistica descrittiva

Raccolta dei dati:• attraverso procedure di campionamentocampionamento, oppure:• registrando le risposte a date sollecitazioni in un

ambiente sperimentalesperimentale, oppure:• osservando ripetutamente un processo nel tempo,

(serie storicheserie storiche).Tecniche di rappresentazione:

– Tabulari: Si usano tabelle per sintetizzare i dati; – Grafiche: Si usano grafici per sintetizzare i dati;– Numeriche: Si calcolano certi valori per sintetizzare i

dati.

“Insieme di tecniche usate per sintetizzare una serie di dati”.

La statistica descrittiva ha per scopo la sintesi di dati raccolti secondo vari criteri e in vari contesti.

Per campionamento si intende il rilevare caratteri da un campione, ossia un sottoinsieme della popolazione che ci interessa.

I tre tipi di tecniche rappresentative elencati sono logicamente consecutivi (prima si genera una tabella, poi si ottiene un grafico, infine si determinano dei numeri significativi), in ogni caso verranno esposti in tale sequenza.

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Variabili aleatorie, unità statistiche e campionamentoVariabili aleatorie, unità statistiche e campionamento

L’oggetto del nostro studio è una popolazionepopolazione.Variabile aleatoria X:

– È una caratteristica della popolazione che a noi interessa;

– La popolazione è costituita da unità statisticheunità statistiche;– Campione: un sottoinsieme della popolazione.

Esempio 1:– Popolazione: studenti universitari di Milano;– Variabile X: numero di film visti in un certo periodo;– Campione: 40 studenti.

“A un gruppo di 40 studenti universitari si chiede quante volte sono stati al cinema negli ultimi due mesi.”

In statistica i termini "aleatorio", "casuale", "stocastico" sono sinonimi e sono aggettivi che si associano ai risultati di una prova.

Quando il risultato di un esperimento:

1. Non è prevedibile con certezza (ossia è non deterministico);

2. È esprimibile tramite un numero (ossia ci troviamo in presenza di un carattere quantitativo),

allora tale risultato costituisce una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica - random variable).

Ad esempio, il risultato del lancio di un dado a sei facce è una variabile casuale avente come possibili valori gli interi da 1 a 6.

Un altro esempio di variabile casuale è il risultato dell’operazione di scegliere a caso una persona e rilevare la sua altezza (o il peso, o l’età).

La terminologia “variabile casuale” è soggetta a critiche: una variabile casuale è da considerarsi piuttosto come una funzione che fa corrispondere a degli eventi dei numeri reali.

I 40 studenti dell’Esempio 1 costituiscono un campione perché a noi interessa una caratteristica una popolazione (che è costituita da tutti gli studenti universitari di Milano e che è certamente molto più numerosa di 40) e da questa popolazione estraiamo un sottoinsieme su cui effettuiamo il rilevamento.

I criteri secondo cui scegliere il campione in modo tale che i risultati ottenuti siano applicabili a tutta la popolazione fanno parte della statistica inferenziale.

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Rilevazione di una variabile aleatoriaRilevazione di una variabile aleatoria

• Il campione è costituito da n unità: dimensione n;

(nell’esempio n = 40)

• u1, u2,. . ., un: valori di X ottenuti dal campione;

(nell’esempio 40 risposte: u1, u2,. . ., u40)

Una stessa risposta può venir fornita da più di uno studente, si dice che tale risposta ha una frequenza maggiore di 1.

Esempio: il rilevamento fornisce il risultato seguente:

Gli indici con cui distinguiamo le unità statistiche (nell’esempio gli studenti intervistati) servono solo a distinguere un’unità dall’altra e non hanno in genere grande importanza:

nel nostro esempio u1 sarà lo studente intervistato per primo, u40 lo studente intervistato per ultimo. Tale informazione non ha interesse per noi.

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Vicino a ogni unità statistica ui è riportato il corrispondente valore rilevato (ossia la risposta ottenuta).

Notiamo che:

1. Le risposte sono comprese fra un minimo (=1) e un massimo (=9), quindi possono assumere solo 9 valori distinti;

2. Di conseguenza alcune risposte saranno date da più di un intervistato (hanno frequenza >1);

3. Di questi 9 valori due non figurano mai (hanno frequenza =0). In definitiva si sono rilevate solo 7 risposte distinte.

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Esempio 1 Esempio 1 –– dati grezzi rilevatidati grezzi rilevati

“40 valori rilevati. Di essi solo 7 risultano distinti”

In genere: su n valori solo k sono distinti.

u01 3u02 1u03 5

u01 3u02 1u03 5u04 4u05 2u06 3u07 4u08 9u09 3u10 6

u11 3u12 2u13 4u14 4u15 2u16 4u17 3u18 6u19 2u20 3

u21 5u22 5u23 3u24 4u25 6u26 6u27 2u28 2u29 3u30 5

u31 5u32 3u33 4u34 4u35 4u36 4u37 4u38 3u39 5u40 4

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N.B.: se il carattere rilevato è qualitativo (ossia non numerico) si hanno ancora k valori distinti, ognuno con la propria frequenza associata. Si possono avere due sottocasi:

1. Il carattere è ordinabile (ossia esiste un ordine secondo si possono disporre i valori distinti. Esempio: il giudizio ottenuto da uno studente in una prova scritta: insufficiente, sufficiente, buono, ottimo). In questo caso l’ordine sarà quello (nell’esempio x1= insufficiente, x4= insufficiente);

2. Il carattere non è ordinabile (Esempio: bianco, rosso, verde, blu). In questo caso l’ordine sarà arbitrario.

La frequenza (campionaria) è anche il numero di volte che un dato valore è stato osservato.

Il caso k=n corrisponde a frequenze tutte =1 (ognuno fornisce una risposta diversa da tutti gli altri).

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Valori distinti e loro frequenzaValori distinti e loro frequenza

• I k valorivalori distintidistinti osservati vengono ordinati in senso crescente (x1, x2,. . ., xk)

• Invece di considerare gli n valori osservati (u1, u2,. . ., un) conviene considerare i k valori distinti osservati, a ognuno di essi si associa una frequenzafrequenza campionaria;

• Frequenza (campionaria) ni: numero di unità statistiche del campione che hanno l’i-esimo valore distinto.

Risulta quindi:

– k ≤≤≤≤ n;– x1 < x2 <. . . < xk

– n1 + n2 +. . . + nk = n

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Con la tabella delle frequenze si riduce la dimensione dell’elenco (k righe invece di n) e si evidenziano i valori ottenuti in un ordine crescente.

Informazione perduta: l’ordine con cui si è ottenuto un certo valore (non importante, come già detto).

xk sono i valori distinti, ordinati.

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Aggreghiamo i valori osservati in k classi di frequenza:

Tabella delle frequenzeTabella delle frequenze

��

��

��

��

��

��

FrequenzaCumulativa

FrequenzaRelativa

FrequenzaAssoluta

�

p1=n1/n, p2=n2/n, . . ., pk=nk/np1 +p2 +p3 + … +pk = 1F1 =p1, F2 =F1+p2, F3 =F2+p3, … , Fk =Fk-1+pk = 1

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Questa figura riassume, relativamente ai diversi tipi di frequenza, le definizioni e le proprietà viste prima,

L’indice i identifica la generica unità statistica ui.

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Frequenze del valore iFrequenze del valore i--esimoesimo

Frequenza assoluta ni: numero di elementi della classe

Frequenza cumulativa Fi: somma delle frequenze relative dei valori ≤xi

nnk

ii =�

=1

Frequenza relativa pi: rapporto fra la frequenza assoluta e n, numero totale dei dati osservati (dimensione del campione)

nn

p ii = 1

1

=�=

k

iip

�=

=i

jji pF

111 pF = 1=kF

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La colonna con intestazione “classe” riporta i valori distinti ordinati. Il motivo della dizione “classe” è dovuto a uniformità di terminologia con il caso di variabile continua, come risulta meglio più avanti.

Dato che il tipo di carattere che stiamo considerando (ossia la variabile aleatoria “numero di spettacoli visti in due mesi”) può assumere tutti i valori interi compresi fra il minimo rilevato (=1) e il massimo rilevato (=9), nella colonna dei valori distinti si riportano tutti questi valori, compresi quindi il 7 e l’8 a cui corrisponde frequenza zero.

In definitiva in questo caso abbiamo: k=9, x1=1, x9=9.

Notiamo che queste scelte sono in parte arbitrarie e potrebbero non essere adeguate, ad esempio nel caso che si volesse ripetere il campionamento utilizzando un campione diverso che potrebbe fornire risposte diverse.

Una prima modifica potrebbe consistere nel porre x1=0 (nel nostro campione la risposta “non ho visto alcuno spettacolo nei due mesi” non figura, ma è del tutto possibile), inoltre conviene prevedere valori massimi maggiori di 9 che a priori non possiamo escludere.

In definitiva la tabella come organizzata in figura è adeguata solo per il campione utilizzato nell’esempio.

L’ultima riga riporta i totali a scopo di controllo. La somma delle frequenza cumulative non ha senso.

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Tabella delle frequenze dell’Esempio 1Tabella delle frequenze dell’Esempio 1

min= 1max= 9

valori rilevaticlasse

frequenza assoluta

frequenza relativa

frequenza cumulativa

1 1 0,025 0,025

2 6 0,150 0,175

3 10 0,250 0,425

4 12 0,300 0,725

5 6 0,150 0,875

6 4 0,100 0,975

7 0 0,000 0,975

8 0 0,000 0,975

9 1 0,025 1,000

TOTALE 40 1

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Tabella delle frequenze della figura precedente, a cui sono state aggiunte le due colonne “frequenza percentuale”, “frequenza cumulativa percentuale”.

La frequenza percentuale è la frequenza relativa moltiplicata per 100 e corrisponde allafrequenza assoluta di un ipotetico campione di dimensione 100.

La somma delle frequenze percentuali è 100.

La frequenza cumulativa percentuale è la frequenza cumulativa moltiplicata per 100.

L’ultima frequenza cumulativa percentuale (quella dell’ultima classe) è 100.

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Frequenze percentuali dell’Esempio 1Frequenze percentuali dell’Esempio 1

classefrequenza assoluta

frequenza relativa

frequenza percentuale


frequenza cumulativa percentuale

1 1 0,025 2,50 0,025 2,50

2 6 0,150 15,00 0,175 17,50

3 10 0,250 25,00 0,425 42,50

4 12 0,300 30,00 0,725 72,50

5 6 0,150 15,00 0,875 87,50

6 4 0,100 10,00 0,975 97,50

7 0 0,000 0,00 0,975 97,50

8 0 0,000 0,00 0,975 97,50

9 1 0,025 2,50 1,000 100,00

TOTALE 40 1 100

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Oltre al tipo di istogramma illustrato esistono molte varianti, tutte basate sull’idea di rappresentare il valore di una frequenza (assoluta o relativa) tramite la lunghezza di una barra.

Per una visualizzazione delle opzioni più diffuse si può ad esempio ricorrere alla voce di menu[Inserisci]->[Grafico]

di Excel.

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Esempio 1 Esempio 1 -- istogrammaistogramma

In un sistema cartesiano poniamo:in ascissa i valori che definiscono la classein ordinata la frequenza

Costruiamo un grafico formato da rettangoli la cui base è centrata in corrispondenza dei valori che definiscono la classe e la cui altezza rappresenta la frequenza:

“La base di tutti i rettangoli è fissa.

L’area di un rettangolo è proporzionale alla frequenza”

Frequentazione cinema

0

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5 6 7 8 9

No spettacoli visti

freq

uen

za a

sso

luta

13


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Variabili discrete e variabili continueVariabili discrete e variabili continue

La variabilevariabile X dell’esempio precedente è numerica, numerica, discreta e finitadiscreta e finita, perché assume un numero finito di valori numerici interi.

Una variabile continuacontinua può assumere valori reali, in genere limitati entro un intervallo finito.In questo caso i valori possibili sono infiniti.Di conseguenza ogni valore rilevato avrà in genere frequenza = 1 e i dati distinti tendono a coincidere coi dati grezzi.Per rappresentare i dati essi vengono allora aggregati in classi di frequenzeclassi di frequenze, come nell’esempio che segue.

Stiamo considerando il caso di un carattere quantitativo il cui valore è un numero reale (ad esempio una misura fisica).

In tal caso abbiamo una variabile che può assumere infiniti valori in un dato intervallo.

La probabilità di estrarre in maniera casuale più di una volta lo stesso valore è trascurabile.

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La variabilevariabile è in questo caso numerica e continua numerica e continua perché assume valori numerici reali, di cui si riportano delle approssimazioni.

Si sono misurate le lunghezze di un campione di 20 pezzi prodotti da una macchina:

Esempio 2 Esempio 2 –– dati grezzidati grezzi

u01 17,2u02 17,9u03 18,0u04 18,0u05 18,2u06 18,4u07 18,5u08 18,6u09 18,6u10 19,0

u11 19,1u12 19,2u13 20,3u14 20,4u15 20,4u16 20,4u17 20,7u18 20,8u19 20,8u20 21,1

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Si considera per l’intervallo chiuso [17.0,21.5] e lo si suddivide in sottointervalli (“classi”) di ampiezza costante.

Tali sottointervalli sono chiusi a destra, quindi:

classe 1 = [17.0,17.5]

classe 2 = (18.0,18.5]

classe 3 = (18.5,19.0]

. . .

classe 9 = (21.0,21.5]

Quindi ad esempio il valore 18.5 appartiene, in modo non ambiguo, alla classe 2 e non alla classe 3.

Si noti che con questa suddivisione escludiamo a priori la possibilità ottenere valori minori di 17 o maggiori di 21.5, considerati valori anomali.

Dato che conviene tener conto anche dei valori anomali (sempre possibili ad esempio in seguito a un errore di misura) la suddivisione precedente viene di solito modificata come segue:

•La classe 1 viene ridefinita come (0,17.5] e comprenderà tutti i valori minori o uguali a 17.5. (Nel caso in esame è fisicamente impossibile ottenere valori negativi, se così non fosse si assumerebbe come classe 1 l’intervallo (-∞,17.5] );

•Si aggiunge un’ulteriore classe: classe 10 = (21.5, ∞) comprendente tutti i valori >21.5.

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I dati rilevati sono organizzati in classi di frequenzaclassi di frequenza, ponendo in ciascuna classe le ui i=1,…,20 che assumono valori appartenenti a sottointervalli dell’intervallo (17.0,21.5) di ampiezza δδδδ=0.5 (δδδδ può essere scelto arbitrariamente)

Esempio 2: tabella delle frequenzeEsempio 2: tabella delle frequenze

classe No classefrequenza assoluta

frequenza relativa


1 17,5 1 0,050 0,050

2 18,0 3 0,150 0,200

3 18,5 3 0,150 0,350

4 19,0 3 0,150 0,500

5 19,5 2 0,100 0,600

6 20,0 0 0,000 0,600

7 20,5 4 0,200 0,800

8 21,0 3 0,150 0,950

9 21,5 1 0,050 1,000

TOTALE 20 1

min= 17,2max= 21,1

valori rilevati

16


Questo istogramma è del tutto simile a quello dell’esempio 1, con la differenza che qui ogni classe corrisponde a un intervallo di valori possibili.

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Esempio 2: istogrammaEsempio 2: istogrammaIn un sistema cartesiano, in cui poniamo in ascissa i valori chedefiniscono la classe e in ordinata fa o fr, si costruisce un grafico (istogramma) formato da rettangoli la cui base è l’intervallo che definisce la classe e la cui altezza rappresenta la frequenza (fa o fr)

20

152121

321520

452020

020519

151919

419518

351818

318517

151717

tot

.

.

.

.

.

.

.

.

.

faclasse

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

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Esempio di grafico, di tipo diverso dal precedente, ma che riporta informazioni della stessa natura.

Rispetto al precedente notiamo:

•Le frequenze sono relative e non assolute;

•Le nove classi sono state aggregate in 5 classi si ampiezza doppia, allo scopo di rendere più immediata la comprensibilità del grafico (perdendo ovviamente alcune informazioni).

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Esempio 2: tortaEsempio 2: torta

La visualizzazione dei dati è molto varia.Ad esempio si possono utilizzare grafici “a torta” (pie-chart):

19-205%

17-1820%

18-1935%

20-2135%

21-225%

“L’area dello spicchio è proporzionale alla frequenza”20

152121

321520

452020

020519

151919

419518

351818

318517

151717

tot

.

.

.

.

.

.

.

.

.

faclasse

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

%

%

%

%

%

%

%

%

%

fc

100

95

80

60

60

55

35

20

5

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Le frequenze cumulative percentuali dell’Esempio 2 sono riportate sul diagramma cartesiano (“pallini”), i punti vengono poi collegati con segmenti di retta.

Il tutto riporta il grafico approssimato della frequenza cumulativa percentuale in funzione della classe.

Il punto iniziale ha sempre ordinata uguale alla frequenza della classe 1, il punto finale ha ordinata 100.

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OgivaOgiva

Si chiama ogivaogiva la linea che rappresenta la frequenza cumulativafrequenza cumulativa di una variabile numerica. Graficamente si presenta come una spezzataspezzata che unisce i punti che hanno per ascisse i valori osservati (caso discreto) o gli estremi degli intervalli (caso continuo) e per ordinate i valori della frequenza cumulativa.

Per costruire l’ogiva relativa all’Esempio 2 si congiungono i punti:P1(17.5,5), P2(18,20), P3(18.5,35), P4(19,55), P5(19.5,60), P6(20,60), P7(20.5,80), P8(21,95), P9(21.5,100).

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Il carattere che stiamo considerando è qualitativo e non ordinabile: la sequenza A, B, C,… è arbitraria nel senso che si sarebbe potuto indicare con A qualunque dei sei tipi di guasto considerati.

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La tipologia di causa del guasto è stato attribuita ad una variabile variabile x, ottenendo:

AxDxCxAxAxDxAxFx

ExDXDxBxCxAxBxAx

161514131211109

87654321

================================

================================

La variabilevariabile x è in questo caso qualitativaqualitativa perché non assume valori numerici.

Si sono rilevate le cause del guasto di un’automobile in un dato periodo

Esempio 3Esempio 3

incidente:Fbenzina:Eisospension:D

aelettronic:Ccambio:Bmotore:A

20


20

I dati rilevati possono essere organizzati in classi di frequenzaclassi di frequenza. Le classi sono determinate dalle tipologie assunte dalla variabile x.

16tot2F1E3D2C2B6Afaclasse

Esempio 3: tabelle di frequenzaEsempio 3: tabelle di frequenza

1tot1250162

0625016118750163125016212501623750166

fr

././././././

========================

%%.%.%.

%.%.%.

100tot512

2567518512512537

fp

fa: frequenza assolutafrequenza assolutafr: frequenza relativafrequenza relativafp:frequenza percentualefrequenza percentualeNon ha senso la fc

Si costruisce una tabella in cui si affianca a ciascuna classe il numero di volte in cui, nel periodo osservato, si realizza la tipologia di causa:

21


21

Esempio 3: istogrammaEsempio 3: istogrammaIn un sistema cartesiano, in cui poniamo in ascissa le tipologie di classi e in ordinata fa o fr, si costruisce un grafico (istogramma) formato da rettangoli la cui base di misura costante rappresenta la classe ovvero la categoria di causa guasto e la cui altezza rappresenta il numero di volte di realizzazione di tale causa

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