3. Stabilnost konstrukcija 1 6. STABILNOST KONSTRUKCIJA VI čas
3. Stabilnost konstrukcija 1
6. STABILNOST KONSTRUKCIJA
VI čas
3. Stabilnost konstrukcija 2
6.8 Metoda početnih parametara Osnovne jednačine
štapa: Linearizovana teorija
II reda-tačno rešenje Linearizovana teorija
II reda-aproksimativno rešenje
R K q Q
0 g R K K q Q
3. Stabilnost konstrukcija 3
Matrice krutosti po K i Kg linearizovanoj Teoriji II reda, tačno i aproksimativno rešenje, znamo da odredimo.
Treba odrediti vektor ekvivalentnog opterećenja po linearizovanoj Teoriji II reda, tj, Q = ?
3. Stabilnost konstrukcija 4
Vektor ekvivalentnog opterećenja ćemoodrediti primenom metode početnihparametara iz nehomogenediferencijalne jednačine šapa.
Vrednost partikularnog integrala ćemoodrediti u zavisnosti od zadatogopterećenja.
3. Stabilnost konstrukcija 5
Metoda početnih parametara6.8.1 Pritisnut štap
Pritisnut štap – homogena dif.jednačina i rešenje
Ci su integracione konstante koje se određuju iz graničnih uslova štapa
kxCkxCkxCCxvEISkvkv
cossin)(
)(0
4321
22
3. Stabilnost konstrukcija 6
Integracione konstante se određuju iz graničnih uslova na početku štapa:
- ugib
- nagib
- momenat savijanja
- transverzalna sila
0 (0)v v)0(0 v
)0(0 vEIM
0 (0) (0)V EIv Sv
3. Stabilnost konstrukcija 7
Diferenciranjem se dobija
kxkCkxkCxv
kxkCkxkCxv
kxkCkxkCkCxv
sincos)(
cossin)(
sincos)(
34
33
24
23
432
3. Stabilnost konstrukcija 8
Unošenjem dobijenih izraza u granične uslove, dobija se sistem jednačina po konstantama Ci
0 1 4
0 2 3
0 4
0 3 2 3 2
(0)(0)(0) (0)
(0) (0) (0) ( )
v v C Cv C k C kM EIv M C SV EIv Sv V C kS S C k C k SkC
gde je S=k2EI
3. Stabilnost konstrukcija 9
Rešavanjem sistema jednačina dobija se:
02
04
01 0
0 03
,
,
,
,
VC
SkM
CS
MC v
SV
Ck Sk
3. Stabilnost konstrukcija 10
Rešenje homogene dif. jednačine pritisnutog štapa Metodom početnih parametara glasi:
gde su v0, , M0 i V0 početni parametri (ugib, nagib, momenat savijanja i transverzalna sila na početku štapa)
EIkkxkxV
EIkkxM
kkxvxv 302000
sincos1sin)(
3. Stabilnost konstrukcija 11
6.9 Nehomogena diferencijalna jednačina. Partikularni integral. 6.9.1 Opterećenje duž ose štapa py(x)=p(x)
d
p(x)
v0
V0
SM0
v(x)0
p( )d
x
x-
Nehomogena dif. jednačina: 2( ) ( ) ( )IV IIv x k v x p x
x
y
3. Stabilnost konstrukcija 12
Rešenje nehomogene diferencijealne jednačine je zbir rešenja homogenog dela vh(x) i partikularnog integrala vp(x) :
Partikularan integral pretpostavljamo u obliku:
x
p dpEIk
xkxkxv0 3 )()(sin)()(
( ) ( ) ( )h pv x v x v x
silapomeranje usled sile
3. Stabilnost konstrukcija 13
)()()()()(
)(sincossin)()(
)(cos1sincos)()(
)(sincos1sin)(
2
00
000
2000
302000
EISkdpVxvSxvEIxV
xvEIkkxVkxMkxkEIxvEIxM
xvEIk
kxVEIkkxMkxxvx
xvEIk
kxkxVEIk
kxMkkxvxv
x
p
p
p
Opšte rešenje se može prikazati u obliku:
3. Stabilnost konstrukcija 14
Ako uvedemo funkcije:
1 2
3 4
sin( ) 1, ( ) ,
1 cos sin( ) , ( )
kxF x F xk
kx kx kxF x F xS kS
3. Stabilnost konstrukcija 15
)()()(
)()()(cossin)(
)()()(sincos)(
)()()()()()()(
2
00
022000
033000
0440302010
EISkdpVxV
dxFpxFVkxMkxkEIxM
dxFpxFVEIkkxMkxx
dxFpxFVxFMxFxFvxv
x
x
x
x
Opšte rešenje nehomogene dif.jedačine
3. Stabilnost konstrukcija 16
Ako uvedemo nove funkcije Ij(x), j=1,2,3,4:
1 10
2 20
3 30
4 40
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
x
x
x
I x F x p d
I x F x p d
I x F x p d
I x F x p d
3. Stabilnost konstrukcija 17
dobijaju se izrazi za pomeranje, obrtanje i sile u preseku:
0 1 0 2 0 3 0 4 4
0 0 0 3 3
0 0 0 2 2
20 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin( ) cos ( ) ( )
( ) sin cos ( ) ( )
( ) ( ) ( )
v x v F x F x M F x V F x I xk kxx kx M V F x I x
SM x EI k kx M kx V F x I x
SV x V I x kEI
3. Stabilnost konstrukcija 18
6.9.2 Zategnut štap
Diferencijalna jednačina zategnutog štapa je :
Koriste se rešenja za pritisnut štap, u koja se unose sledeće izmene:
2 ( )IV p xv k vEI
1cos sinS S k ki i
iz chz i iz shz
3. Stabilnost konstrukcija 19
Za pritisnut štap je:
1 2
3 4
sin( ) 1 ( )
1 cos sin( ) ( )
kxF x F xk
kx kx kxF x F xS kS
3. Stabilnost konstrukcija 20
Za zategnut štap se dobija:1
2
3
4
( ) 1sin( )
1 cos 1( )
sin( )
z
z
z
z
F xikx i shkxF x
ik i kikx chkxF x
S Sikx ikx i kx shkxF x
ikS i kS
3. Stabilnost konstrukcija 21
Konačni izrazi za zategnuti štap su:
0 1 0 2 0 3 0 4 40
0 0 0 3 30
0 0 0 2 20
20
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
xz z z z z
xz z
xz z
x
v x v F x F x M F x V F x p F x d
ksh kxx ch kx M V F x p F x dS
M x EI k sh kx M ch kx V F x p F x d
SV x V p d kEI
3. Stabilnost konstrukcija 22
Ako uvedemo funkcije Ij(x), j=1,2,3,4, dobijaju se izrazi za pomeranje, obrtanje i sile u preseku:
0 1 0 2 0 3 0 4 4
0 0 0 3 3
0 0 0 2 2
20 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
z z z z z
z z
z z
z
v x v F x F x M F x V F x I xksh kxx ch kx M V F x I x
SM x EI k sh kx M ch kx V F x I x
SV x V I x kEI
3. Stabilnost konstrukcija 23
gde je:
1 10
2 20
3 30
4 40
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
xz z
xz z
xz z
xz z
I x F x p d
I x F x p d
I x F x p d
I x F x p d
3. Stabilnost konstrukcija 24
6.9.3 Stepenasto promenljivo opterećenje pravog štapa
Metoda početnih parametara
V0
M0
S
p0
p1
p2P1
M1
P2M2
a1
a2
x
3. Stabilnost konstrukcija 25
Funkcija ugib grede je oblika:
)()()(|
)()()(|
)()()()()(
22242232
11141131
04030200
2
1
axFaxFPaxFM
axFaxFPaxFM
xFxFVxFMxFvxv
pax
pax
p
3. Stabilnost konstrukcija 26
Nagib grede je:
)()()(sin|
)()()(sin|
)()(sincos)(
222322
2
111311
1
03000
2
1
axFaxFPS
axkkM
axFaxFPS
axkkM
xFxFVS
kxkMkxx
pax
pax
p
3. Stabilnost konstrukcija 27
Momenat savijanja je:
)()()(cos|
)()()(cos|
)()(cossin)(
2222222
1112111
02000
2
1
axFEIaxFPaxkM
axFEIaxFPaxkM
xFEIxFVkxMkxkEIxM
pax
pax
p
3. Stabilnost konstrukcija 28
Transverzalna sila je:
)(|
)(|)(
222
11100
2
1
axpP
axpPxpVxV
ax
ax
3. Stabilnost konstrukcija 29
Partikularan integral za pritisnut štap opterećen raspodeljenim opterećenjem je:
0
( ) sin ( )( ) ( )x
pk x k xF x p d
kS
3. Stabilnost konstrukcija 30
Za konstantno opterećenje p(x)=constpartikularan integral je:
2 2
2
2 2
2
( ) (cos 1 ) 0 ( .)2
( ) ( 1 ) 0 ( .)2
p
p
p k xF x kx za S pritk S
p k xF x chkx za S zatk S
3. Stabilnost konstrukcija 31
6.10 Stabilnost pravog štapa sa const. poprečnim presekom i aksijalnom silomprimenom metode početnih parametara
6.10.1 Pritisnut štap Kritično opterećenje je najmanje
opterećenje pri kojem homogenproblem po linearizovanoj teoriji II redaima netrivijalno rešenje.
2 20IV
c
Sv k v k
EI
3. Stabilnost konstrukcija 32
Homogeni granični uslovi: Slobodan oslonac – v = 0, M = 0 Uklještenje – v = 0, v’ = 0 Slobodan kraj – M = 0, V = 0
2
0 00 0
M vV v k v
3. Stabilnost konstrukcija 33
Imamo homogenu diferencijalnu jednačinu i homogene granične uslove. Tražimo vrednost parametra opterećenja k za koje postoji rešenje. Problem svojstvenih vrednostidiferencijalne jednačine Svojstvene funkcije problema (oblici izvijanja) i svojstveni brojevi (kritične sile)
3. Stabilnost konstrukcija 34
Svojstvene vrednosti: k1,k2,...km,...predstavljaju vrednosti k za koje homogena dif. jednačina ima netrivijalno rešenje.kmin - definiše Pcr
Svojstvene funkcije: v1,v2,...vm,...predstavljaju elastičnu liniju štapa za određenu vrednost ki (oblik izvijanja)
3. Stabilnost konstrukcija 35
6.10.3 Ojlerovi slučajevi izvijanja
Konstantan poprečni presek: EI = const Sila pritiska na krajevima štapa
(px=py=0) Diferencijalna jednačina je data sa:
IV 2 2 Sv k v 0 kEI
3. Stabilnost konstrukcija 36
Opšte rešenje je dato sa:
)()(
sincossin)(
cos1sincos)(
sincos1sin)(
20
000
2000
302000
EISkVxV
kkxVkxMkxkEIxM
EIkkxV
EIkkxMkxx
EIkkxkxV
EIkkxM
kkxvxv
3. Stabilnost konstrukcija 37
a) Prvi Ojlerov slučaj
Konzola Granični uslovi:x = 0: v0=0, x = l: M(l)=0,V(l)=0
Iz uslova ravnoteže vertikalnih sila V0=0
l
SEI
kxMxM cos)( 0
3. Stabilnost konstrukcija 38
Granični uslov na slobodnom kraju x = l:
Trivijalno rešenje: M0 = 0 Netrivijalno rešenje: cos(kl) = 0 k l = (2n-1) , n = 1,2,3,...
(svojstvene vrednosti)
0)cos(0)(: 0 klMlMlx
3. Stabilnost konstrukcija 39
Kako je
Svojstvene funkcije (M0):
2
22
n 2
S k EI Kriticna silaEIS ( 2n 1) n 1,2,3,
( 2l )
),3,2,1()cos1()( nxkCxv nn
22
322
222
1)2(
25)2(
9)2( l
EISl
EISl
EIS
3. Stabilnost konstrukcija 40
Prvi Ojlerov slučaj
3. Stabilnost konstrukcija 41
b) Drugi Ojlerov slučaj
Prosta greda Granični uslovi:x=0: v0=0, M0=0x=l: v(l)=0, M(l)=0
Iz uslova ravnoteže vertikalnih sila V0=0
Dobija se ugib u obliku:kkxxv )sin()( 0
Sl
3. Stabilnost konstrukcija 42
Iz graničnog uslova v(l) = 0 se dobija:
Takođe je:
0)sin(0
0)sin(0)(
0
0
klkkllv
0)()sin()( 0 lMkxkEIxM
3. Stabilnost konstrukcija 43
Svojstvene vrednosti:
Kritične sile izvijanja:
,3,2,1,0)sin( nnlkkl
22
322
222
1
222
94
,3,2,1
lEIS
lEIS
lEIS
nlEInS
lnk nn
3. Stabilnost konstrukcija 44
Drugi Ojlerov slučaj
3. Stabilnost konstrukcija 45
c) Treći Ojlerov slučaj
Uklješten-slobodno oslonjen štap
Granični uslovi x = 0: v0 = 0, x = l: v(l) = 0, M(l) = 0
l
S
3. Stabilnost konstrukcija 46
Granični uslovi na kraju x = l:
Homogen sistem linearnih algebarskih jednačina po M0 i V0.
0)sin()cos(0)(
0)sin()cos(10)(
00
00
kklVklMlM
SkklklV
SklMlv
3. Stabilnost konstrukcija 47
Uslov da postoji netrivijalno rešenje:
Karakteristična jednačina: Svojstvene vrednosti:
klklkl
kklkl
Skklkl
Skl
cossin0sincos
sincos1
1( ) 4.4934, ( ) (2 1) 2,3,4,2nkl kl n n
( )tg kl kl
3. Stabilnost konstrukcija 48
Kritične sile izvijanja:
Svojstveni oblici izvijanja:
21 22 2
254.4934 ,4
EI EIS Sl l
)sin()cos1()( 21 xkxkCxkCxv nnnn
3. Stabilnost konstrukcija 49
d) Četvrti Ojlerov slučaj
Obostrano uklještena greda
Granični uslovi: x = 0: v0 = 0, x = l: v(l) = 0, (l) = 0
l
S
3. Stabilnost konstrukcija 50
Granični uslovi na kraju x = l:
Homogen sistem linearnih algebarskih jednačina po M0 i V0.
0)cos(1)sin(0)(
0)sin()cos(10)(
00
00
SklV
SklkMl
SkklklV
SklMlv
3. Stabilnost konstrukcija 51
Uslov da postoji netrivijalno rešenje:
1 cos sin
0sin 1 cos
2sin( ) [2sin( ) cos( )] 02 2 2
kl kl klS k S
k kl klS S
kl kl klkl
3. Stabilnost konstrukcija 52
Karakteristična jednačina i svojstvene vrednosti
21 1 2
22 2
2 2
prva jednačina:2( ) sin 0 4
2 2druga jednačina:
( ) 4.4934 4 4.49342 2 2
4 39.478, 4 4.4934 80.763
kl kl EII k Sl l
kl kl kl EIII tg Sl
3. Stabilnost konstrukcija 53
6.10.4 Efektivna dužina izvijanja
Efektivna dužina izvijanja je dužina fiktivnog štapa, zglobno oslonjenog na oba kraja, čija je kritična sila ista kao i za posmatrani (realan) štap, sa datim graničnim uslovima
3. Stabilnost konstrukcija 54
Stvarna dužina posmatranog štapa ... l Koeficijent efektivne dužine izvijanja ... Efektivna dužina izvijanja ... li = l
kr
kri
kr
SEI
l
lEISodn
lEIS
2
22
2
)(.
3. Stabilnost konstrukcija 55
Efektivne dužine izvijanja za Ojlerove slučajeve
22
22
22
22
(1) 2.0(2 )
(2) 1.0
(3) . 4.4934 0.70
(4) . 0.50(0.5 )
kr
kr
kr
kr
EIKonzola Sl
EIProsta greda Sl
EIUklj Slob Sl
EIUklj Uklj Sl