Stabilit` a profili aperti, ver1.1, LW 1 Stabilit` a di travi con profili aperti in parete sottile Walter Lacarbonara 20 novembre 2006 Indice 1 La torsione uniforme 2 1.1 La funzione d’ingobbamento riferita al centro di torsione ........... 3 2 La torsione non uniforme 4 2.1 Effetto della rigidezza all’ingobbamento .................... 5 3 Sezioni di interesse tecnico 7 3.1 Sezione a T .................................... 7 3.2 Sezione a L .................................... 7 3.3 Sezione a doppio T ................................ 8 3.4 Sezione a doppio T con ali diseguali ...................... 8 3.5 Sezione a C .................................... 9 4 Le equazioni di equilibrio linearizzate 10 4.1 L’Energia potenziale totale ........................... 11 4.1.1 La stazionariet` a dell’energia potenziale totale ............. 13 5 Casi notevoli di instabilit` a flesso-torsionale 13 5.1 Trave a profilo aperto compressa ........................ 13 5.1.1 Sezioni monosimmetriche ........................ 14 5.2 Esempio ...................................... 15 5.3 Trave a profilo aperto soggetta a coppie flettenti d’estremit` a ......... 15 5.3.1 Sezioni monosimmetriche ........................ 17 5.4 Altri casi notevoli di sollecitazione ....................... 17 5.4.1 Il lavoro delle forze esterne ....................... 19 Draft: 20 novembre 2006
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Stabilita profili aperti, ver1.1, LW 1
Stabilita di travi con profili aperti in parete sottile
Walter Lacarbonara
20 novembre 2006
Indice
1 La torsione uniforme 2
1.1 La funzione d’ingobbamento riferita al centro di torsione . . . . . . . . . . . 3
dove dΩ e l’area settoriale spazzata dal vettore y nel percorrere l’elemento d’arco ds. A
meno di una costante inessenziale, la funzione d’ingobbamento si esprime come ω = −2Ω.
Di conseguenza, il centro di torsione, posto dA= b(s)ds, assume le coordinate
xT
:=2Ix
∫
DΩ(s) y(s)b(s) ds, y
T:= − 2
Iy
∫
DΩ(s) x(s)b(s) ds (1.6)
La parte puramente deformativa della funzione d’ingobbamento, univocamente determinabile,
si ottiene come
ωd = ω − (ω0 − xT y + yT x) = −2Ω − ω0 + xT y − yT x (1.7)
dove ω0 = −2/A∫D Ω(s)b(s)ds.
s = 0
s = c
b(s)
T
yT
ydΩ
dΩT
G
sds
x
y
C
Figura 1: Profilo aperto in parete sottile: centro di torsione, aree settoriali riferite al
baricentro e al centro di torsione.
1.1 La funzione d’ingobbamento riferita al centro di torsione
Se si assume come polo di riduzione il centro di torsione, si ottiene la funzione d’ingob-
bamento riferita al centro di torsione stesso e indicata con ωT .
Poiche v = θ × (y− yT )
dωT = −(y− yT ) × ds · a = rT (s)ds = −2dΩT (1.8)Draft: 20 novembre 2006
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Quindi, ωT = −2ΩT + ω0. Se si determina la costante ω0 (cio corrisponde anche a scegliere
un’opportuna origine del sistema d’ascissa curvilinea) in modo da soddisfare la condizione∫
Dω
TdA = 0 (1.9)
la funzione d’ingobbamento2 si esprime come
ωT
= 2(ΩT− Ω
T) (1.10)
dove ΩT esprime il valor medio della funzione ΩT sulla sezione. Si riassumono le proprieta
notevoli di ΩT.
Proprieta I: La funzione d’ingobbamento ωT, Eq. (1.10), corrisponde alla parte puramente
deformativa dell’ingobbamento ωd, Eq. (1.7).
Proprieta II: La funzione d’ingobbamento ωT verifica le seguenti identita∫
Dω
Tx dA = 0,
∫
Dω
Ty dA = 0 (1.11)
Infatti per la Proprieta I, ωT = ωd = −2Ω− ω0 +xT y−yT x. Sostituendo questa espressione
di ωT
nelle (1.11), e sfruttando proprieta geometriche banali, si verificano le identita.
2 La torsione non uniforme
Nelle condizioni in cui l’ingobbamento della sezione sia impedito oppure sia applicato un
momento torcente variabile lungo la linea d’asse, insorge uno stato di tensione longitudinale
autoequilibrato a cui si associa, per l’equilibrio allo scorrimento, uno stato di tensione
tangenziale detto secondario. Poiche nelle condizioni predette (ingobbamento impedito o
momento torcente variabile), la curvatura torsionale non e piu uniforme; inoltre, stante la
w(z, s) = θ′(z)ωT (s), segue che l’elongazione (ε = w′) e la tensione longitudinale sono date,
rispettivamente, da
ε = θ′′(z)ωT(s) σ = Eω
Tθ′′ (2.12)
Dall’equilibrio di un concio di trave in direzione z, si ottiene il seguente sforzo di scorrimento
il cui carattere secondario e dichiarato con il pedice 2:
q2 = τ2b = −∫ s
0σ′b(s)ds = −Eθ′′′
∫ s
0ωT b ds (2.13)
2La ΩT , avente come polo il centro di torsione e l’origine tale da soddisfare l’Eq. (1.9), descrive la
cosiddetta area settoriale principale.
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Si genera quindi una coppia torcente secondaria data da
MT2 =∫ c
0(y− yT ) × q2ds · a =
∫ c
0q2 rT ds = −EΓθ′′′ (2.14)
dove
Γ = −∫ c
0
(∫ s
0
ωTb ds
)dω
T(2.15)
Posto Λ(s) =∫ s0 ωT b ds, integrando per parti Γ, si ottiene
Γ = −∫ c
0ΛdωT = −ΛωT
∣∣∣∣c
0
+∫ c
0ωT
dΛds
ds =∫ c
0ω2
Tb ds =
∫
Dω2
TdA (2.16)
La funzione Γ e detta rigidezza all’ingobbamento (warping rigidity). Sommando gli effet-
ti della torsione primaria di De Saint Venant, MT1 = G Jθ′, e quelli della torsione non
uniforme, si ottiene
MT = G Jθ′ − E Γθ′′′ (2.17)
2.1 Effetto della rigidezza all’ingobbamento
L’equazione di equilibrio di una trave soggetta ad una densita di coppie torcenti mT si
scrive M ′T
+ mT = 0, ovvero, in virtu della (2.17),
EΓθ′′′′ − GJθ′′ = mT(2.18)
Se si trascura l’effetto della rigidezza aggiuntiva EΓ dovuto alla torsione non uniforme
−GJθ′′ = mT (2.19)
Nel secondo caso le condizioni al contorno sono θ = 0 se la rotazione torsionale e impedita
o GJθ′ = 0 se la rotazione e libera; nel caso di torsione non uniforme, sono necessarie
ulteriori condizioni al contorno, ovvero occorre aggiungere informazioni sul tipo di vincolo.
Un vincolo atto ad impedire la rotazione torsionale consentendo tuttavia l’ingobbamento e
detto ritegno torsionale. In questo caso,
θ = 0, EΓθ′′ = 0 (2.20)
La condizione vincolare impone l’annullamento delle tensioni normali σ = EΓθ′′ corrispon-
dente al libero ingobbamento della sezione.
Al fine di apprezzare l’effetto della rigidezza aggiuntiva da torsione non uniforme, si
integrano le equazioni (2.19) e (2.18) con mT uniforme e considerando ritegni torsionali. La
(2.19) conduce a
θ1 =mT `2
2GJ
(z
`− z2
`2
)(2.21)
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L’integrazione della (2.18), unitamente alle condizioni (2.20), fornisce
θ = θ1 +mT `2
GJλT
[e√
λT
z` + e
√γ(1− z
`)
1 + e√
λT
](2.22)
dove λT
= `2GJ/(EΓ) quantifica la snellezza torsionale. L’effetto della maggiore rigidezza
torsionale fa sı che le rotazioni torsionali siano ridotte rispetto alla teoria della torsione
uniforme. Infatti, calcolando il rapporto tra θ e θ1 in mezzeria si ottiene
θ
θ1
= 1 − 8λT
(e√
λT /2 − 1)2
1 + e√
λT
< 1 (2.23)
In Fig. 2(a) si riportano gli andamenti della rotazione torsionale di una trave in acciaio C
310x31 di luce ` = 4 m, con ritegni torsionali, soggetta ad un momento torcente mT = 500
Nm/m. In Fig. 2(b) si riporta il rapporto percentuale tra θ e θ1 in mezzeria. Per la trave
considerata, GJ = 10699 N m2, EΓ = 6098 N m4, λT = 43.9. La rotazione ottenuta e
l’83 % di quella fornita dalla teoria della torsione uniforme. Per elevate snellezze torsionali,
l’effetto della torsione non uniforme diventa inapprezzabile.
λ0 1 2 3 40
0.02
0.04
0.06
0.08
z
θ
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
(a) (b)
%
T
C 310x31
T G
Figura 2: (a) Rotazione torsionale in una trave C 310x31 di luce ` = 4 m senza il contrib-
uto di MT2
(linea sottile) e con il contributo da torsione non uniforme (linea spessa); (b)
rotazione in mezzeria calcolata con la (2.22) rapportata a quella ottenuta con la (2.21) in
funzione di λT .
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3 Sezioni di interesse tecnico
Si riportano nel seguito alcune sezioni di interesse tecnico con il centro di torsione,
l’inerzia torsionale J e la rigidezza all’ingobbamento Γ.
3.1 Sezione a T
J =bt3 + d∗w3
3, Γ =
b3t3
144+
d∗3w3
64≈ 0 (3.24)
T
GTG
Figura 3: Sezione a T, d∗ = d − t/2
3.2 Sezione a L
J =(b∗ + d∗)t3
3, Γ = (d∗)3(b∗)3
t3
36≈ 0 (3.25)
T
T
TG
Figura 4: Sezione a L, d∗ = d− t/2, b∗ = b− t/2.
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3.3 Sezione a doppio T
J =2bt3 + d∗w3
3, Γ =
d∗2b3t
24(3.26)
Figura 5: Sezione a doppio T, d∗ = d − t
3.4 Sezione a doppio T con ali diseguali
J =b1t
31 + b2t
32 + d∗w3
3, Γ =
(d∗)2(b1)3t1α12
, α =1
1 + (b1/b2)3t1/t2(3.27)
T
G
G
T d1
Figura 6: Sezione a doppio T asimmetrica, d∗ = d − (t1 + t2)/2.
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3.5 Sezione a C
J =2b∗t3 + d∗w3
3, Γ = (d∗)2(b∗)3t
[1 − 3α
6+
α2
2
(1 +
d∗w
6b∗t
)]
α =1
2 + (d∗w)/(3b∗t)
(3.28)
La posizione del centro di torsione e data da
xT = xG + b∗α − w
2(3.29)
T
T Gd1
G
Figura 7: Sezione a C, d∗ = d − t, b∗ = b− w/2.
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4 Le equazioni di equilibrio linearizzate
Lo stato di presollecitazione della trave si pensa essere indotto da azioni d’estremita -
forza centrata di compressione P, coppia flettente m = Mxax + Myay , forza di taglio T ap-
plicata nel centro di taglio3 - e da forze distribuite trasversali. Gli effetti della torsione e del
conseguente ingobbamento delle sezioni sono tenuti in conto solo nel passaggio dalla config-
urazione di riferimento a quella variata. Lo stato di tensione indotto dalla presollecitazione
si puo, percio, esprimere come
σ0 = −P
A+
Mx(z)Ix
y − My(z)Iy
x, τ 0 = τ0xax + τ0
y ay (4.30)
Lo stato di deformazione e descritto dal tensore di Green-Lagrange D il quale, adottando
la notazione tensoriale, si scrive4
D =∇u + ∇u>
2+
∇u>∇u2
= E + D(2), D(2)ij =
12uk,iuk,j (4.31)
La parte di primo ordine e il tensore della deformazione infinitesima la cui unica compo-
nente non nulla e l’elongazione longitudinale che consta di un contributo flessionale, k×y ·a,
e di un contributo indotto dalla torsione non uniforme, θ′′ωT,
ε = k× y · a + θ′′ωT
= −kyx + kxy + θ′′ωT
= −u′′Gx − v′′
Gy + θ′′ω
T(4.32)
stanti le equazioni di congruenza5 kx = −v′′G
e ky = u′′G
di una trave assunta indeformabile
a taglio. Lo spostamento di un punto materiale generico della trave e dato da
v(y, z) = vG
+ θ × (y− yT), w(y, z) = θ′ω
T(4.33)
Le componenti della parte del secondo ordine del tensore di Green-Lagrange nelle quali
spendono lavoro le tensioni di presollecitazione sono
D(2)11 =
12(u′2 + v′2 + w′2)
D(2)13 =
12(u,xu′ + v,xv′ + w,xw′), D
(2)23 =
12(u,yu
′ + v,yv′ + w,yw
′)(4.34)
Trascurando i gradienti dello spostamento longitudinale rispetto a quelli associati allo
spostamento nel piano della sezione e adottando la notazione ingegneristica, posto γ(2)ij =
2D(2)ij , si ottiene
ε(2) =12(u′2 + v′2), γ(2)
xz = u,xu′ + v,xv
′, γ(2)yz = u,yu
′ + v,yv′ (4.35)
3Coincidente con il centro di torsione T.4Si adotta la convenzione classica fk,i = ∂fk/∂xi, con i = 1, 2, 3 e x1, x2, x3 → x, y, z.5Le equazioni di congruenza linearizzate si possono scrivere come segue: ε = εa + γ = u′
G− φ × a,
k = φ′. Decomposto uG = wGa + vG (con vG = uGax + vGay) segue che γ = v′G− φ × a. Dal vincolo di
indeformabilita a taglio, γ = 0, si ottiene φx = −v′G
e φy = u′G
. Quindi, kx = −v′′G
e ky = u′′G
.
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Sostituendo la (4.33) nella (4.35) si ottengono le equazioni di congruenza nonlineari in
funzione degli spostamenti generalizzati (vG(z), θ(z))
ε(2) =12
u′2
G+ v′2
G+ θ′2
[(x − xT )2 + (y − yT )2
]+ 2θ′
[v′
G(x − xT ) − u′
G(y − yT )
]
γ(2)xz = θ
[v′
G+ θ′(x − x
T)], γ(2)
yz = −θ[u′
G− θ′(y − y
T)] (4.36)
Nel paragrafo seguente si calcola l’energia potenziale totale.
4.1 L’Energia potenziale totale
L’energia potenziale totale U si esprime come
U = WE + WG − L (4.37)
dove WE e WG sono, rispettivamente, l’energia potenziale elastica e geometrica. L’energia
elastica si calcola come
WE
=12
∫
V
Eε2dV +12
∫ `
0
GJθ′2dz
=12
∫ `
0
[EIy(u′′
G)2 + EIx(v′′G)2 + EΓ(θ′)2 + GJθ′2
]dz
(4.38)
L’energia geometrica e il lavoro delle tensioni di presollecitazione nelle componenti del
secondo ordine del tensore della deformazione e si esprime come
WG =∫
Vσ0
ijD(2)ij dV =
∫
Vσ0ε(2)dV +
∫
Vτ 0 · γ(2)dV =
∫ `
0
(W ′
G[σ0] + W ′
G[τ0)
]dz (4.39)
avendo posto γ(2) = γ(2)xz ax + γ
(2)yz ay , W ′
G[σ0] e l’energia elastica specifica (per unita di
lunghezza di trave) associata alle tensioni longitudinali di presollecitazione mentre W ′G[τ ] e
l’energia geometrica specifica associata alle tensioni tangenziali. Si ottiene
W ′G[σ0] =
∫
Dσ0ε(2)dA
=12
∫
D
(−P
A+
Mx(z)Ix
y − My(z)Iy
x
)
u′2
G+ v′2
G+ θ′2
[(x − xT )2 + (y − yT )2
]+ 2θ′
[v′
G(x − xT ) − u′
G(y − yT )
]dA
= −P
2[u′2
G+ v′2
G+ θ′2r2
T+ 2θ′(u′
GyT − v′
GxT )
]+ Mxθ′
(Cxθ′ − u′
G
)+ Myθ
′ (Cyθ′ − v′
G
)
(4.40)
dove
Cx = −yT +1
2Ix
∫
D(y · y)ydA, Cy = xT − 1
2Iy
∫
D(y · y)xdA, r2
T=
IG
A+ yT · yT (4.41)
I coefficienti Cx e Cy sono detti coefficienti di forma della sezione ed il significato apparira
chiaro dalle equazioni di equilibrio. L’energia geometrica specifica assume la forma
W ′G[τ0] =
∫
D
τ0xθ
[v′
G+ θ′(x − xT )
]− τ0
y θ[u′
G− θ′(y − yT )
] dA (4.42)
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Al fine di integrare la (4.42), si utilizzano le equazioni di equilibrio integrale alle basi e di
equilibrio indefinito, quella al contorno, e di equilibrio globale:∫
Dτ0xdA = Tx = −M ′
y ,
∫
Dτ0y dA = Ty = M ′
x
∇ · τ0 = −(σ0)′ su D, τ 0 · n = 0, su ∂D(4.43)
Percio la (4.42) diventa
W ′G[τ0] = θ(u′
GM ′
x + v′GM ′
y) + θθ′(xT M ′y − yT M ′
x) + θθ′∫
Dτ0 · ydA (4.44)
Al fine di calcolare l’ultimo integrale, si utilizza la seguente identita
τ 0 · y =12∇ · [(y · y)τ0] − 1
2(y · y)∇ · τ 0 =
12∇ · [(y · y)τ0] +
12(y · y)(σ0)′ (4.45)
Quindi, applicando il teorema di Gauss e la condizione di equilibrio al contorno, nonche
(σ0)′ = M ′x/Ixy − M ′
y/Iyx e la (4.41) si ottiene∫
Dτ0 · ydA =
12
∮
D(y · y)(τ0 · n)ds +
12
∫
D(y · y)(σ0)′dA =
12
∫
D(y · y)(σ0)′dA
=M ′x(Cx + y
T) + M ′
y(Cy − xT)
(4.46)
Sostituendo questa nella (4.42) si ottiene
W ′G[τ0] =
[M ′
x(Cxθ′ − u′G) + M ′
y(Cyθ′ − v′
G)]θ (4.47)
Infine, l’energia geometrica specifica si esprime come
W ′G
= −P
2[u′2
G+ v′2
G+ θ′2r2
T+ 2θ′(u′
Gy
T− v′
Gx
T)]
+Mxθ′(Cxθ′ − u′
G
)+ Myθ
′ (Cyθ′ − v′G
)
+[M ′
x(θ′Cx − u′G) + M ′
y(θ′Cy − v′
G)]θ
= −P
2[u′2
G+ v′2
G+ θ′2r2
T+ 2θ′(u′
GyT − v′
GxT )
]
+(Mxθ)′[Cxθ′ − u′G] + (Myθ)′[Cyθ
′ − v′G]
(4.48)
L’energia potenziale delle forze interne, elastiche e geometriche, diventa
W = WE + WG =12
∫ `
0
[EIy(u′′
G)2 + EIx(v′′G)2 + EΓ(θ′)2 + GJθ′2
]dz
−12
∫ `
0P
[u′2
G+ v′2
G+ θ′2r2
T+ 2θ′(u′
Gy
T− v′
Gx
T)]
+∫ `
0(Mxθ)′[Cxθ′ − u′
G]dz +
∫ `
0(Myθ)′[Cyθ
′ − v′G]dz
(4.49)
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4.1.1 La stazionarieta dell’energia potenziale totale
Imponendo la stazionarieta di U (i dettagli saranno inseriti in una futura appendice)
δU = δWE
+ δWG− δL = 0 (4.50)
si perviene al seguente sistema di equazioni differenziali6: