Stabile Finite-Elemente-Diskretisierungen von Konvektions ... · diskrete Problem zu ¨ubertragen, werden die Upwind-Methode sowie die Secondary -Grid-Methode vorgestellt. Kapitel

Stabile

Finite-Elemente-Diskretisierungen

von

Konvektions-Diffusions-Gleichungen

von

Oliver Christian Fortmeier

Matrikelnummer 222710

Diplomarbeit in Mathematik

vorgelegt der

FAKULTAT FUR MATHEMATIK, INFORMATIK

UND NATURWISSENSCHAFTEN

der Rheinisch-Westfalischen Technischen Hochschule Aachen

im Mai 2005

angefertigt im

Institut fur Geometrie und Praktische Mathematik (IGPM),Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Prof. Dr. Arnold Reusken

Ich versichere, dass ich diese Diplomarbeit selbstandig verfasst und keine anderen als die angege-benen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Wortliche oder sinngemaße Wiedergaben aus anderenQuellen sind kenntlich gemacht und durch Zitate belegt.

Aachen, den 20.Mai 2005

( Oliver Fortmeier )

vii

Vorwort

Bei der mathematischen Beschreibung von Konvektions-Diffusions-Prozessen entstehen partielleDifferentialgleichungen. Diese konnen in der Regel nicht explizit gelost werden. Sie werden dahernumerisch angenahert.

Ist die Konvektion dominant, konnen allerdings Probleme auftreten, die die numerischen Metho-den instabil werden lassen. Auf Grund dessen wurden verschiedene Methoden entwickelt, die zurStabilisierung beitragen. Ziel dieser Arbeit ist es, verschiedene Stabilisierungen vorzustellen, zuuntersuchen und zu vergleichen.

In Kapitel 1 wird zunachst auf die Herleitung der Konvektions-Diffusions-Gleichung eingegangen.Im Folgenden werden die notigen mathematischen Grundlagen erlautert und auf diese Gleichungangewendet, mit dem Ziel, die Eindeutigkeit und Existenz einer Losung zu zeigen.

Kapitel 2 widmet sich den Finiten-Elementen, die eine Standardtechnik darstellen, um partielle Dif-ferentialgleichungen zu diskretisieren. Es wird auf die Eigenschaften dieser Methoden eingegangenund als Beispiel auf die Poisson-Gleichung angewendet. Danach wird die Konvektions-Diffusions-Gleichung mittels der Finiten-Elemente diskretisiert. Eine in der Physik wichtige Eigenschaftvon Differentialgleichungs-Operatoren ist die inverse Monotonie. Um diese auf das zugehorigediskrete Problem zu ubertragen, werden die Upwind-Methode sowie die Secondary-Grid-Methodevorgestellt.

Kapitel 3 und 4 nehmen eine zentrale Rolle in dieser Diplomarbeit ein. Kapitel 3 geht auf dieStreamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode ein, die von Hughes und Brooks zur Stabilisierungentwickelt wurde. Es werden die Eigenschaften dieser Methode dargestellt, und ein Ausblick aufeine nichtkonforme Erweiterung dieses Ansatzes wird gegeben.Kapitel 4 beschaftigt sich mit der Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode. Diese Metho-de ist im Prinzip eine Ausweitung der in Kapitel 3 vorgestellten Vorgehensweise. Auch hier wirdauf die Eigenschaften eingegangen und kurz eine nichtkonforme Erweiterung angegeben.

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurden die beiden in Kapitel 3 und 4 vorgestellten Methodenmit Hilfe des am Institut fur Geometrie und Praktische Mathematik entwickelten ProgrammpaketsDROPS implementiert. Diese Implementierung ist in Kapitel 5 beschrieben.

Im letzten Kapitel 6 werden Resultate der Implementierung angegeben. Dabei werden nicht nur dieStreamline-Diffusion- und Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode auf Modellproblemeangwendet, sondern auch mit der Standard-Galerkin-Finite-Elemente-Methode verglichen. Eswerden konkrete Konvektions-Diffusions-Gleichungen gelost, wobei auf die verschiedenen Aspekteder Methoden Rucksicht genommen wird. Zudem wird die Interdependenz zwischen Theorie undPraxis diskutiert.

Das Resultat dieser Arbeit lautet, dass die Stabilisierung mit der Streamline-Diffusion- und derGalerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode sinnvoll fur die Diskretisierung von konvektions-dominaten Konvektions-Diffusions-Gleichungen ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Problembeschreibung 1

1.1 Die Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Die Konvektions-Diffusions-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Eigenschaften und Eindeutigkeit einer klassischen Losung . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Variationsformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Schwache Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.2 Schwache Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.3 Existenz einer schwachen Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.4 Schwaches Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Regularitat und Existenz einer klassischen Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Randschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Finite-Elemente-Methode 15

2.1 Die Galerkin-Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Triangulierung und Aufstellen einer Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Triangulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Ansatzraum und Aufstellen einer Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Aufstellen eines linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Die Theorie der Galerkin-Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Fehlerabschatzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2 Inverse Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.3 Invers monotone Galerkin-Diskretisierung der Poisson-Gleichung . . . . . . . 21

2.5 Diskretisierung der Konvektions-Diffusions-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.1 Fehlerabschatzung der Standard-Galerkin-Finite-Elemente-Methode . . . . . 23

2.5.2 Invers monotone Diskretisierungen der Konvektions-Diffusions-Gleichung . . 25

2.5.2.1 Upwind-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.2.2 Secondary-Grid-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode 35

3.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Eigenschaften der Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . 37

3.3 Wahl des SD-Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode 47

4.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Eigenschaften der Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . 50

4.3 Die unstetige Galerkin-Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ix

x INHALTSVERZEICHNIS

5 Implementierung der Methoden mit DROPS 595.1 Aufbau des Programms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.1 Klassendefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1.2 Implementierung der Prozeduren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2 Losen einer Konvektions-Diffusions-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Numerische Resultate 656.1 Testbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2 Testdaten bezuglich Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2.1 Testfunktion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2.2 Testfunktion 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3 Testdaten bezuglich Stabilitat der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.4 Testdaten bezuglich der Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.5 Testlaufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.6 Auswertung und Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Literaturverzeichnis 79

Kapitel 1

Problembeschreibung

In diesem Kapitel werden wir die Konvektions-Diffusions-Gleichung herleiten und die notigen theo-retischen Grundlagen einfuhren.

1.1 Die Navier-Stokes-Gleichungen

Da die Konvektions-Diffusions-Gleichung aus den Navier-Stokes-Gleichungen gewonnen werdenkann, wollen wir hier die Herleitung dieser Gleichungen angeben. Dabei halten wir uns an [KL89].

Eulersche und Lagrangesche Beschreibung von Fluiden Die Navier-Stokes-Gleichungenbeschreiben Stromungen in Fluiden. Dafur sei Ω0 ⊂ R

3 ein Kontrollvolumen eines Fluids mitRand ∂Ω0. Sei a ∈ Ω0 ein Partikel aus diesem Fluid, das wir im Laufe der Zeit t beobachtenkonnen, d.h. a lauft entlang einer Kurve Φ(a, t) in unserem Korper. Also sei Φ(a, 0) = a undΩt =

Φ(a, t)

∣∣ a ∈ Ω0

. Fur dieses Φ(·, ·) soll fur alle a ∈ Ω0 ∪ ∂Ω0 gelten:

1. Φ(a, 0) = a.

2. Fur a 6= b ist Φ(a, t) 6= Φ(b, t) fur alle t ≥ 0, damit wir das Partikel eindeutig identifizierenkonnen.

3. Die Abbildung a 7→ Φ(a, t) hat eine glatte Inverse.

Somit ist der Rand von Ωt gleich dem Bild des ursprunglichen Randes, d.h. ∂Ωt =

Φ(a, t)∣∣ a ∈

∂Ω0

. Beschreiben wir mit u(x, t) = (u1, u2, u3)(x, t) die Geschwindigkeit des Fluids im Punkt

x ∈ Ωt, so gilt

u(x, t) =∂

∂tΦ(a, t) fur x = Φ(a, t)

und

u(Φ(a, t), t) =∂

∂tΦ(a, t). (1.1)

Nun ergeben sich zwei verschiedene Betrachtungsweisen:

Lagrange: Wenn Φ(·, ·) bekannt ist, konnen wir die Geschwindigkeit u(x, t) in Abhangigkeit derMaterial-Koordinate a ∈ Ω0 und der Zeit t beschreiben.

1

2 KAPITEL 1. PROBLEMBESCHREIBUNG

Euler: Durch die raumlichen Koordinaten x ∈ Ωt fur t ≥ 0 konnen wir fur alle a ∈ Ω0 mit Hilfeder Differentialgleichung (1.1) und Anfangsbedingung Φ(a, 0) = a die Kurven t 7→ Φ(a, t) herleiten.

Sei f = f(x, t) eine skalare glatte Funktion, die von den Euler-Koordinaten x ∈ Ωt und t abhangt,wie z.B. die Flussigkeitsdichte oder die Temperatur. Wir fragen uns nun, wie sich f entlang einerKurve Φ(a, t) = x(t) verandert. Aus (1.1) ergibt sich die Antwort in Form von

ddtf(x(t), t) =

(∂∂tf + u1

∂∂x1

+ u2∂

∂x2+ u3

∂∂x3

)

(x(t), t)

= ( ∂∂tf + u · ∇f)(x(t), t) := D

Dtf(x, t).

Der Ableitungsoperator DDt ist als Materialableitung bekannt. Fur das f gilt nach [TM01] der

Transportsatz:

1.1 Satz (Transportsatz) Unter Glattheitsannahmen gilt folgende Gleichung:

d

dt

∫

Ωt

f(x, t) dx =

∫

Ωt

(∂

∂tf + div(fu)

)

(x, t) dx =

∫

Ωt

(D

Dtf + f div u

)

(x, t) dx.

Mit dem Satz von Gauß gilt weiter

d

dt

∫

Ωt

f(x, t) dx =

∫

Ωt

∂

∂tf(x, t) dx+

∫

∂Ωt

(fu · ν)(x, t) dS,

wobei ν(x, t) der außere Normaleneinheitsvektor von ∂Ωt ist. f ≡ 1 impliziert mit dem Transport-satz:

d

dt

∫

Ωt

1 dx =

∫

Ωt

div u dx.

Das Volumen von Ωt, das durch |Ωt| =∫

Ωt1 dx definiert ist, bleibt also nur konstant, wenn

div u = 0 ist.

Massenerhaltung und Impulserhaltung Fur die Massenerhaltung machen wir folgendeAnnahme an die Flussigkeitsdichte ρ:

Es existiert eine glatte Funktion ρ = ρ(x, t) ≥ 0, die auf allen Ωt definiert ist, so dass

∫

Ωt

ρ(x, t) dx =

∫

Ω0

ρ(x, 0) dx (1.2)

fur alle t ≥ 0 gilt.

Die rechte Seite der obigen Gleichung (1.2) ist die Anfangsmasse in unserem System; sie bleibt inder Zeit konstant. Mit dem Transportsatz gilt:

0 =d

dt

∫

Ωt

ρ(x, t) dx =

∫

Ωt

(∂

∂tρ+ div(ρu)

)

dx.

1.1. DIE NAVIER-STOKES-GLEICHUNGEN 3

Dies gilt fur alle Ωt, wodurch der Integrand verschwinden muss. Die resultierende Gleichung heißtKontinuitatsgleichung:

∂

∂tρ+ div(ρu) = 0. (1.3)

Ein Fluid heißt inkompressibel, wenn ρ(x, t) = ρ0 = const gilt. Mit dem Transportsatz sehen wir,dass ein Fluid genau dann inkompressibel ist, wenn das Volumen konstant bleibt.

Fur die Impulserhaltung definieren wir uns den Impuls des Fluids in Ωt durch∫

Ωt

ρ(x, t)u(x, t) dx.

Nach dem Newtonschen Gesetz ist die Zeitableitung gleich der Summe der auftretenden internenund externen Krafte. Die internen Krafte wirken auf den Rand des Korpers und entsprechen derReibung der Teilchen. Die externen Krafte sind z.B. elektromagnetische Krafte, die Coriolis-Kraftoder die Gravitation.

Wir nehmen an, dass die internen und externen Krafte in der folgenden Form beschrieben werdenkonnen:

Es existiert ein Kraftefeld F = F (x, t) ∈ R3 und eine Belastungsfunktion S = S(x, t) =

(s1, s2, s3)T ∈ R

3×3, so dass fur alle Korper Ωt die Vektorgleichung

d

dt

∫

Ωt

ρ(x, t)u(x, t) dx =

∫

Ωt

ρ(x, t)F (x, t) dx +

∫

∂Ωt

S(x, t)ν(x, t) dx

gilt. Mit dem Satz von Gauß gilt weiter

∫

∂Ωt

Sν dS =

∫

Ωt

divS dx, div S =

div s1div s2div s3

.

Wenden wir den Transportsatz auf jede Gleichung an, so erhalten wir∫

Ωt

D

Dt(ρu) + ρu− ρF − divS dx = 0.

Mit geeigneter Glattheit muss der Integrand verschwinden und es ergibt sich mit der Kontinuitats-gleichung (1.3) die Impulsgleichung

ρD

Dtu = ρF + divS. (1.4)

Formen der Belastungsfunktion Wir versuchen nun, die Funktion S mit anderen Variablendes Flusses zu beschreiben. Eine einfache Form tritt insbesondere in der Gasdynamik auf. Wirnennen einen Fluss nichtviskos, falls S von der Form

S(x, t) = −p(x, t)

1 0 00 1 00 0 1

= −p(x, t)I (1.5)


ist. Dabei beschreibt die skalare Funktion p(x, t) den Druck. Die Impulsgleichung (1.4) wird zu

ρD

Dtu+ ∇p = ρF. (1.6)

Somit haben wir insgesamt vier Gleichungen, drei aus (1.6) und eine aus der Kontinuitatsgleichung(1.3), fur die funf skalaren Unbekannten ρ, p, u1, u2 und u3.Falls das Fluid inkompressibel ist, d.h. die Dichte konstant ist, ρ(x, t) = ρ0, so erhalten wir dieEuler-Gleichungen

D

Dtu+

1

ρ0∇p = F, div u = 0.

Ein anderer Weg, um die Gleichungen (1.3) und (1.6) zu erganzen, ist die Zustandsgleichung. UnterVernachlassigung von thermodynamischen Effekten gilt

p = r(ρ),

wobei r eine bekannte Funktion ist. Dieses System beschreibt den nichtviskosen kompressiblenFluss.

Kommen wir nun auf den viskosen Fall zu sprechen. Dort nimmt S eine nicht so einfache Formwie in (1.5) an. Um S in Abhangigkeit von anderen Fluss-Variablen zu beschreiben, muss hier aufExperimente zuruckgegriffen werden. Falls die Bewegungen gleichmaßig sind, d.h. alle Geschwindig-keitsgradienten Null sind, so zeigt sich experimentell, dass die Form aus (1.5) dennoch angebrachtist. Deshalb scheint es sinnvoll anzunehmen, dass S + pI linear von der Matrix der Geschwindig-keitsgradienten abhangt, also

S = −pI + S(T ), S linear in T mit

T = T (x, t) = Du(x, t) =

(u1)x1(u1)x2

(u1)x3

(u2)x1(u2)x2

(u2)x3

(u3)x1(u3)x2

(u3)x3

.

In [KL89] ist das Couette Experiment beschrieben, mit dem begrundbar ist, dass S nur vom sym-metrischen Anteil, dem so genannten Deformationstensor

D :=1

2(T + TH),

abhangt und nicht von den lokalen Rotationen des Fluids, die durch den antisymmetrischen Anteil12 (T − TH) beschrieben werden. Dabei ist AH := AT . Nach [GM76] gilt:

1.2 Satz Sei S = S(D) eine lineare Funktion von D, welche invariant unter allen Rotationen derKoordinaten ist, d.h. S(UDUH) = US(D)UH fur alle orthogonalen 3 × 3-Matrizen U und allesymmetrischen Matrizen D. Dann kann S als

S(D) = µ′(d11 + d22 + d33)I + 2µD

geschrieben werden, wobei µ und µ′ Konstanten unabhangig von D sind.

Damit wird unsere Belastungsfunktion

S = −pI+µ′ div uI+µ(T+TH) ⇒ div(S) = −∇p+µ′∇(div u)+µ(∆u+∇(div u))

1.1. DIE NAVIER-STOKES-GLEICHUNGEN 5

mit ∆u = (∆u1,∆u2,∆u3)T . Setzen wir dies in die Impulsgleichung (1.4) ein und nehmen die

Kontinuitatsgleichung (1.3) hinzu, erhalten wir die Navier-Stokes-Gleichungen:

ρD

Dtu+ ∇p = P + ρF

∂

∂tρ+ div(ρu) = 0

mit P = (µ + µ′)∇(div u) + µ∆u. Die auftretenden Konstanten µ und µ′ hangen von derTemperatur und den chemischen Eigenschaften des Fluids ab.

Auch hier wird wieder zwischen dem inkompressiblen Fluss ( ρ(x, t) = ρ0, div u = 0 ) und demkompressiblen Fluss ( p = r(ρ) ) unterschieden, um die Gleichungen zu vervollstandigen.

Wahlen wir passende Einheiten, so konnen wir im inkompressiblen Fall ρ = 1 annehmen underhalten

∂

∂tu+ (u · ∇)u+ ∇p = ε∆u+ F, div u = 0 (ε = µ/ρ0). (1.7)

Um ein korrekt gestelltes Problem zu erhalten, mussen naturlich noch Anfangsbedingungen undRandbedingungen gegeben werden, die der Kompatibilitatsbedingung genugen.

Diese Gleichung dient als Vorlage fur die Konvektions-Diffusions-Gleichung. Zunachst nehmen wiran, dass der Druck p bekannt sei und fassen ihn mit der rechten Seite F zusammen, so dass wir Ferhalten.

Nun diskretisieren wir die Gleichung (1.7) bezuglich der Zeit mit einem Euler-Verfahren. Wirnehmen an, dass wir bereits die Losung zu einer Zeit tk kennen und bezeichnen diese mituk(x) = (uk

1 , uk2 , u

k3)

T . Wollen wir zu einem Zeitpunkt tk+1 > tk die Losung uk+1(x) bestimmen,approximieren wir die Zeitableitung durch

d

dtu(x)

∣∣∣t=tk+1

≈ uk+1(x) − uk(x)

δkmit δk := tk+1 − tk.

Der Term (u·∇)u koppelt die drei Gleichungen aus 1.7. Um diese Kopplung aufzuheben, ersetzen wirihn durch (uk ·∇)uk+1. Außerdem ersetzen wir ε∆u durch ε∆uk+1 und als rechte Seite nehmen wirF k+1(x) := F (x, tk+1). Dies alles impliziert drei voneinander unabhangige stationare Gleichungenmit den Unbekannten uk+1

1 , uk+12 und uk+1

3 :

uk+1 − uk

δk+ (uk · ∇)uk+1 − ε∆uk+1 = F k+1.

Wenn wir exemplarisch die erste Komponente dieser Gleichung betrachten und sie umschreiben,dann erhalten wir:

− εδk︸︷︷︸

=:ε

∆uk+11 + δku

k

︸︷︷︸

=:b

·∇uk+11 + uk+1

1 = δkF1 + uk1

︸︷︷︸

=:f

.

Bezeichnen wir nun uk+11 mit v, erhalten wir die Konvektions-Diffusions-Gleichung:

−ε∆v + b · ∇v + v = f.


1.2 Die Konvektions-Diffusions-Gleichung

Sei Ω ⊂ Rn ein beschranktes Gebiet mit Rand Γ := ∂Ω. Wir betrachten folgendes Randwertpro-

blem:

Lu := −ε∆u+ b · ∇u+ cu = f in ΩBu = 0 auf Γ

(1.8)

mit vorgegebenen hinreichend glatten Funktionen b, c und f . Der Operator B beschreibt hier dieRandbedingungen. D.h. wir suchen eine Funktion u : Ω → R, die die obigen Gleichungen (1.8)punktweise erfullt und werden sie im Folgenden als klassische Losung bezeichnen.

Nun wollen wir eine physikalische Anschauung fur diese Gleichung geben. Dabei stellen wir unseinen Fluss vor, in den an einer Stelle flussige Verschmutzung eingeleitet wird. Die klassischeLosung u beschreibt dann die Dichte dieser Verschmutzung.

Nun treten primar zwei Effekte auf. Zum einen diffundiert die eingeleitete Flussigkeit und zumanderen wird sie durch die Stromung weitergetragen. Die mathematische Modellierung derDiffusion geschieht durch den Term ,,ε∆u” und die der Konvektion durch ,,b · ∇u”. Falls dieFlussigkeiten noch reagieren, wird dies im Term ,,c u” modelliert. Die außeren Krafte werden durchf gegeben.In unserer Arbeit ist die Konvektion gegenuber der Diffusion dominierend, so dass wir vonkonvektions-dominanten Problemen sprechen, d.h. bei uns wird in der Regel 0 < ε≪ 1 sein.

Diese Gleichungen treten nicht nur bei der Beschreibung von Stromungen in Flussigkeiten auf,sondern unter anderem auch bei Temperatur- und Ladungsverteilungen.

Wir gehen bei der Untersuchung dieser Gleichung auf Eindeutigkeit und Existenz wie folgt vor:Zunachst zeigen wir die Eindeutigkeit mit Hilfe des ,,Maximum-/Vergleichsprinzips”. Der Existenz-beweis gliedert sich dann in zwei Schritte. Zuerst folgern wir die Existenz einer ,,schwachen Losung”mit Resultaten der Funktionalanalysis. Danach beschreiben wir, wie diese ,,schwache Losung” untergewissen Bedingungen zu einer klassischen wird.

1.3 Eigenschaften und Eindeutigkeit einer klassischen Losung

Wenn wir annehmen, dass der Rand Γ von Ω regular ist, d.h. er ist stuckweise durch Lipschitz-stetigeFunktionen darstellbar, und dass c ≥ 0 ist, so ist eine eventuell existierende Losung des Problems(1.8) mit Dirichlet-Randbedingungen, also auf dem Rand vorgegebenen Funktionswerten, eindeutig.Dies wollen wir mit dem Maximumprinzip (siehe [Ev99]) zeigen. Sei dazu u+ = max(u, 0).

1.3 Satz (Maximumprinzip) Seien die Koeffizienten des Operators b und c stetig, u ∈ C2(Ω)∩C(Ω) und c ≥ 0 in Ω. Dann gilt:

Lu ≤ 0 in Ω ⇒ maxΩ

u ≤ max∂Ω

u+.

Eine direkte Folgerung dieses Maximumprinzips ist das Vergleichsprinzip, das ahnlich in [PW67]zu finden ist und das wir an spaterer Stelle noch auf das diskrete Problem ubertragen werden.

1.4. VARIATIONSFORMULIERUNG 7

1.4 Satz (Vergleichsprinzip) Angenommen b und c seien stetig mit c ≥ 0, und seien v,w ∈C(Ω) ∩C2(Ω), die den Ungleichungen

|(Lv)(x)| ≤ (Lw)(x), ∀x ∈ Ω

und

|v(x)| ≤ w(x), ∀x ∈ Γ

genugen. Dann gilt fur alle x ∈ Ω

|v(x)| ≤ w(x).

Mit diesem Resultat konnen wir die Eindeutigkeit einer Losung folgern:

Fur die Differenz w := u−u zweier Losungen u und u von (1.8) gilt: L(w) = L(u)−L(u) = 0 = L(0)und w|Γ = 0. Nach dem obigen Satz 1.4 ist weiter

|w(x)| ≤ 0, in Ω.

Also ist w = 0 in Ω ⇒ u = u in Ω.

1.4 Variationsformulierung

In diesem Abschnitt wollen wir die Existenz einer Losung der Konvektions-Diffusions-Gleichungzeigen.

1.4.1 Schwache Ableitung

Um den klassischen Ableitungsbegriff zu erweitern, werden schwache Ableitungen benutzt. Dazusind jedoch noch einige Definitionen notig. Sei N (Ω) =

f : Ω → R

∣∣ f = 0 f.u.

und

L2(Ω) :=u : Ω → R

∣∣ |u|2 ist Lebesgue-integrierbar und

∫

Ω |u|2 dx <∞/N (Ω),

dann bildet L2(Ω) mit dem Skalarprodukt

(u, v)L2(Ω) := (u, v)0 := (u, v) :=

∫

Ω

uv dx

und der davon induzierten Norm ‖u‖0 =√

(u, u)0 einen Hilbertraum. Zudem sei C∞0 (Ω) der Raum

der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen ϕ : Ω → R mit kompaktem Trager in Ω.Ein solches ϕ ∈ C∞

0 (Ω) heißt auch Testfunktion. Der Raum der Testfunktionen liegt dicht in L2(Ω).

Die Norm des Dualraums H∗ eines Hilbertraums H ist durch

‖f‖∗ := supv∈H

< f, v >

‖v‖ , ∀ f ∈ H∗

definiert.

Fur einen Multiindex α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn0 sei der Betrag durch |α| :=

∑ni=1 αi definiert. Der

Ableitungsoperator Dα ist durch Dα := ∂α1

∂xα11

· · · ∂αn

∂xαnn

gegeben.


1.5 Definition (schwache Ableitung) Seien u, v ∈ L2(Ω) und α ein Multiindex. v heißt schwa-che Dα Ableitung von u, falls

∫

Ω

uDαϕ dx = (−1)|α|∫

Ω

vϕ dx ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω)

gilt.

Existiert die schwache Ableitung, so ist sie auch (bis auf eine Nullmenge) eindeutig. Besitzt eineFunktion eine klassische Dα Ableitung, so stimmt diese fast uberall mit der schwachen uberein,was durch partielle Integration zu sehen ist.

1.6 Definition (Sobolevraum) Der Raum Hk ⊂ L2 fur ein k ∈ N0 enthalt alle Funktionen,deren schwache Dα Ableitungen fur alle |α| ≤ k in L2 liegen, d.h.

Hk(Ω) :=u ∈ L2(Ω)

∣∣ Dαu ∈ L2(Ω), ∀ |α| ≤ k

.

Zusammen mit dem Skalarprodukt

(u, v)Hk(Ω) := (u, v)k :=∑

|α|≤k

∫

Ω

Dαu ·Dαv dx

und der davon induzierten Norm ‖u‖Hk(Ω) :=√

(u, u)k bildet Hk(Ω) einen Hilbertraum. Die Ver-

vollstandigung von C∞0 (Ω) in Hk(Ω) wird mit Hk

0 (Ω) bezeichnet.

Im Folgenden werden wir auch noch Seminormen auf den Raumen Hk(Ω) betrachten. Sie sinddurch

|u|m :=

√∑

|α|=m

(Dαu,Dαu) fur m ≤ k

definiert.

Wollen wir fur Funktionen u ∈ H1(Ω) Randdaten auf ∂Ω vorschreiben, haben wir zunachst einProblem. Da der Rand eine Nullmenge ist, ist im Allgemeinen nicht klar, was wir mit der Restriktionvon u auf ∂Ω meinen. Einen Ausweg bietet der Spuroperator, der in [Ev99] gegeben und bewiesenist:

1.7 Satz (Spuroperator) Sei Ω beschrankt und ∂Ω ∈ C1. Dann existiert ein beschrankter linea-rer Operator

T : H1(Ω) → L2(∂Ω),

so dass

(i) Tu = u|∂Ω, falls u ∈ H1(Ω) ∩ C(Ω) und

(ii) ‖Tu‖L2(∂Ω) ≤ C‖u‖H1(Ω) fur alle u ∈ H1(Ω) mit einer Konstanten C, die nur von Ω abhangt.


1.4.2 Schwache Formulierung

Wie wir oben angekundigt haben, fuhren wir nun die schwache Formulierung von (1.8) ein,die auch Variationsformulierung heißt. Dazu seien in den nachsten Abschnitten die auftretendenKoeffizienten hinreichend glatt. Wir wollen zunachst auf die moglichen Randbedingungen eingehen.

Werden auf Randstucken Funktionswerte vorgeschrieben, so wird dieses als Dirichlet-Randbedingung bezeichnet. Bei Neumann-Randbedingungen wird die Normalen-Ableitungder gesuchten Funktion auf dem Rand angegeben.

Um auf die moglichen Randbedingungen einzugehen, sei Γ in drei disjunkte Randstucke Γ1,Γ2 undΓ3 aufgeteilt und folgendes Randwertproblem gegeben, wobei ν den außeren Einheitsnormalenvek-tor und ∂

∂ν die Normalen-Ableitung bezeichnet:

−ε∆u+ b(x) · ∇u+ c(x)u = f in Ω (1.9)

u = 0 auf Γ1 (1.10)

ε∂u

∂ν= 0 auf Γ2 (1.11)

ε∂u

∂ν+ βu = g auf Γ3. (1.12)

Wir definieren

V :=v ∈ H1(Ω)

∣∣ v = 0 auf Γ1

. (1.13)

Multiplikation der Gleichung (1.9) mit einer beliebigen Testfunktion v ∈ V und Integration uberΩ liefert mit Hilfe von partieller Integration

ε

∫

Ω

∇u · ∇v dx− ε

∫

Γ1

∂u

∂νv dS − ε

∫

Γ2

∂u

∂νv dS − ε

∫

Γ3

∂u

∂νv dS +

∫

Ω

(b · ∇u+ cu)v dx

=

∫

Ω

fv dx.

Nun konnen wir die gegebenen Randbedingungen in diese Gleichung einsetzen und erhalten:

ε

∫

Ω

∇u · ∇v dx+

∫

Ω

(b · ∇u+ cu)v dx+

∫

Γ3

βuv dS =

∫

Ω

fv dx+

∫

Γ3

gv dS.

Definieren wir die Bilinearform a(·, ·) durch

a(u, v) := ε

∫

Ω

∇u · ∇v dx+

∫

Ω

(b · ∇u+ cu)v dx+

∫

Γ3

βuv dS

= ε(∇u,∇v) + (b · ∇u+ cu, v) +

∫

Γ3

βuv dS (1.14)

und das Funktional f(·) durch

f(v) :=

∫

Ω

fv dx+

∫

Γ3

gv dS = (f, v) +

∫

Γ3

gv dS,


so lautet die schwache Formulierung von (1.8):

Finde u ∈ V , so dass fur alle v ∈ V gilt:a(u, v) = f(v).

(1.15)

Aus den obigen Rechnungen erkennen wir, dass die Dirichlet-Randbedingungen im Raum V beruck-sichtigt werden. Die Neumann-Randbedingungen lassen sich hingegen im Funktional f wiederfin-den.

1.4.3 Existenz einer schwachen Losung

Um die Existenz und Eindeutigkeit dieses Problems (1.15) zu zeigen, bedienen wir uns des Lax-Milgram-Lemmas, welches aus der Funktionalanalysis stammt und unter anderem in [Ev99] zufinden ist.

1.8 Satz (Lax-Milgram-Lemma) Sei H ein reeller Hilbertraum mit Norm ‖ · ‖ und Skalarpro-dukt (·, ·). Sei weiter

a : H ×H → R

eine Bilinearform, fur die die Konstanten α, β > 0 mit

(i) Beschranktheit: |a(u, v)| ≤ α‖u‖‖v‖, ∀u, v ∈ H

(ii) H-elliptisch β‖u‖2 ≤ |a(u, u)|, ∀u ∈ H

existieren. f : H → R sei ein beschranktes, lineares Funktional auf H. Dann existiert ein eindeutigbestimmtes u ∈ H, so dass

a(u, v) = f(v), ∀ v ∈ H

ist. Zudem gilt die Ungleichung

‖u‖ ≤ 1

β‖f‖H−1 .

Um diesen Satz auf die schwache Formulierung (1.15) anwenden zu konnen, muss Folgendes gezeigtwerden:

1) V ist ein Hilbertraum.

2) f ist ein beschranktes, lineares Funktional.

3) a ist eine beschrankte, V-elliptische Bilinearform.

Dazu treffen wir die folgenden Annahmen:

c− 1

2div b ≥ c0 > 0, β > 0, b · ν ≥ 0 auf Γ2 ∪ Γ3, und |Γ1| 6= 0. (1.16)

Zu 1) V aus (1.13) ist nach Definition die Vervollstandigung des Raums C∞(Ω)∩v : Ω → R

∣∣

v = 0 auf Γ1

in H1(Ω). Somit ist V mit dem Skalarprodukt (·, ·)V = (·, ·)1 und der induzierten

Norm ‖ · ‖V = ‖ · ‖1 ein Hilbertraum.


Zu 2) Aus der Linearitat des Integrals folgt, dass f linear ist. Zudem ist f beschrankt, da mit derCauchy-Schwarz-Ungleichung und dem Spuroperator 1.7 gilt:

|f(v)| =∣∣

∫

Ω

fv dx+

∫

Γ3

gv dS∣∣ ≤ |(f, v)0|+

∣∣

∫

Γ3

gv dS∣∣ ≤ ‖f‖0‖v‖0 +

∫

Γ3

|gv| dS

≤ ‖f‖0‖v‖1 + ‖g‖L2(Γ3) ‖v‖L2(Γ3) ≤ ‖f‖0‖v‖1 + ‖g‖L2(Γ3) ‖v‖L2(Γ)

≤ ‖f‖0‖v‖1 + ‖g‖L2(Γ3)C‖v‖1 ≤ C ‖v‖1.

mit C konstant. Dabei haben wir die Konstantendeklarationskonvention benutzt, die besagt, dassalle Konstanten in C zusammengefasst werden. Dies werden wir im Folgenden beibehalten.

Zu 3) Um die Beschranktheit von a(·, ·) zu zeigen, untersuchen wir die Terme von a (1.14) einzeln:

ε|(∇u,∇v)| ≤ ε‖∇u‖0 ‖∇v‖0 ≤ C1‖u‖1‖v‖1. (1.17)

Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und der Young-Ungleichung 2ab ≤ a2 + b2 gilt:

(b.∇u+ cu, v)2 ≤ ‖b · ∇u+ cu‖20 ‖v‖2

0 ≤

∫

Ω

(b · ∇u+ cu)2 dx

‖v‖21

=

∫

Ω

(b · ∇u)2 + 2 b · ∇u cu+ (cu)2 dx

‖v‖21

≤

∫

Ω

2(b · ∇u)2 + 2(cu)2 dx

‖v‖21

≤ C2

∫

Ω

(∇u)2 + u2 dx

‖v‖21

= C2‖u‖21‖v‖2

1. (1.18)

Und mit dem Spuroperator 1.7 folgern wir:

∣∣∣∣∣∣

∫

Γ3

β uv dS

∣∣∣∣∣∣

≤ β

∫

Γ3

|uv| dS ≤ β ‖u‖L2(Γ3)‖v‖L2(Γ3) ≤ C3β ‖u‖1 ‖v‖1. (1.19)

Aus (1.17)-(1.19) folgt somit a(u, v) ≤ C‖u‖1 ‖v‖1 mit C = maxC1, C2, C3 β .

Zusammen mit den Annahmen (1.16) konnen wir weiter zeigen, dass a V-elliptisch ist:

ε(∇u,∇u) = ε

∫

Ω

(∇u)2 dx (1.20)


(b · ∇u+ cu, u) =

∫

Ω

b · ∇uu dx+

∫

Ω

cu2 dx =

∫

Ω

1

2b · ∇(u)2 dx+

∫

Ω

cu2 dx

= −1

2

∫

Ω

div b u2 dx+

∫

Γ

ν · b u2 dS +

∫

Ω

cu2 dx

=

∫

Ω

(

c− 1

2div b

)

︸︷︷︸

≥c0

u2 dx+

∫

Γ2∪Γ3

ν · b︸︷︷︸

≥0

u2︸︷︷︸

≥0

dS

≥ c0

∫

Ω

u2 dx (1.21)

∫

Γ3

β u2 dx ≥ 0 . (1.22)

Aus (1.20)-(1.22) folgt:

a(u, u) ≥ ε

∫

Ω

(∇u)2 dx+ c0

∫

Ω

u2 dx+ 0 ≥ C

∫

Ω

u2 + (∇u)2 dx = C‖u‖21 (1.23)

mit C = min ε, c0 .

Nun konnen wir das Lax-Milgram-Lemma 1.8 anwenden und erhalten die Existenz und Eindeutig-keit einer schwachen Losung fur das Problem (1.9)-(1.12).

1.4.4 Schwaches Maximumprinzip

Analog zur klassischen Losung definieren wir uns das schwache Maximumprinzip. Dieses werden wirspater bei der Untersuchung der Finite-Elemente-Methoden auf inverse Monotonie noch benotigen.

1.9 Definition (Schwaches Maximumprinzip) Falls fur jedes v ∈ H1(Ω), das den Bedingun-gen

v ≤ 0 auf ∂Ω

a(v,w) ≤ 0 fur alle w ∈ H1(Ω) mit w ≥ 0

genugt, auch v ≤ 0 in Ω ist, so sagen wir, dass a(·, ·) das schwache Maximumprinzip auf H1 ×H1

erfullt.

Hierfur finden wir in [GT83] den folgenden Satz:

1.10 Satz (Schwaches Maximumprinzip) Falls die Bilinearform a(·, ·) H10 -elliptisch auf H1 ×

H1 ist, so erfullt sie auch das schwache Maximumprinzip.

1.5. REGULARITAT UND EXISTENZ EINER KLASSISCHEN LOSUNG 13

1.5 Regularitat und Existenz einer klassischen Losung

Die Regularitats-Theorie beschaftigt sich mit Aussagen uber die Glattheit von schwachen Formu-lierungen in Abhangigkeit von den gegebenen Funktionen b, c und f , sowie der Beschaffenheit desGebietes Ω.

Wir wollen uns an dieser Stelle aber nicht genauer mit Regularitats-Aussagen beschaftigen undgeben daher nur ein Resultat an, welches sich in [Mi77] finden lasst:

1.11 Satz Sei die elliptische partielle Differentialgleichung (1.9) mit homogenen Dirichlet-Randdaten gegeben und b, c und f seien Holder-stetig auf Ω, wobei Ω ein Gebiet mit regularemRand ist. Dann existiert eine klassische Losung in C(Ω) ∩ C2(Ω).

Bemerkung Die Eindeutigkeit einer Losung lasst sich also nicht nur mit dem Maximumprinzip1.3 zeigen, sondern auch mit diesen Resultaten. Denn haben wir eine schwache Losung gefunden,so ist sie mit dem Lax-Milgram-Lemma 1.8 eindeutig. Diese schwache Losung wird mit den Vor-aussetzungen des obigen Satzes auch die eindeutige klassische Losung.

1.6 Randschichten

Da in dieser Arbeit 0 < ε ≪ 1 angenommen wird, ware zu erwarten, dass die Losung von (1.8)nahe an der Losung der hyperbolischen Gleichung 1. Ordnung

b(x) · ∇w + c(x)w = f(x),

dem so genannten reduzierten Problem liegt. Dies ist im großten Teil des Gebietes auch zutreffend.In der Nahe von ,,Randschichten” der Stromung ergeben sich aber Probleme.Um den Rand in Bezug auf die Stromung genauer zu charakterisieren, fuhren wir folgende Bezeich-nungen ein:

Γ+ :=x ∈ Γ

∣∣ b · ν > 0

Γ− :=x ∈ Γ

∣∣ b · ν < 0

Γ0 :=x ∈ Γ

∣∣ b · ν = 0

.

Mit den zugehorigen charakteristischen Linien ξx(τ) des reduzierten Problems, die durch die Diffe-rentialgleichung

∂ξ

∂τ= b(ξ(τ)), ξ(0) = x

gegeben sind. Die charakteristischen Linien verlaufen orthogonal durch die Rander Γ+ und Γ−,wahrend sie zu Γ0 parallel verlaufen. In der Stromungslehre wird Γ+ Austritts-, Γ− Eintrittsrandund Γ0 charakteristischer Rand genannt. Die Randschichten, in denen Probleme auftreten sind dievon Γ+ und Γ0. In Γ+ treten exponentielle Randschichten auf und in Γ0 parabolische. Es machtSinn, das reduzierte Problem wie folgt zu definieren.

1.12 Definition (Reduziertes Problem) Zum Konvektions-Diffusionsproblem (1.8) ist das re-duzierte Problem durch

Au0 := b(x) · ∇u0 + c(x)u0 = f(x) in Ωu0 = 0 auf Γ−

(1.24)

definiert.


Es ist zu vermuten, dass die Losung der Konvektions-Diffusions-Gleichung gegen die Losung desreduzierten Problems fur ε→ 0 konvergiert. Dies ist aber nur in einem sehr schwachen Sinn gultigund ist auch nicht Thema dieser Arbeit. Diese Argumentation ist in [RST96] aufgezeigt.

Kapitel 2

Finite-Elemente-Methode

2.1 Die Galerkin-Diskretisierung

Wir betrachten zunachst den Fall eines allgemeinen Randwertproblems

Lu = f in ΩBu = 0 auf Γ := ∂Ω,

(2.1)

bei dem L ein elliptischer Differentialoperator ist, und B die Randbedingungen beschreibt.

Die Galerkin-Diskretisierung geht von einer Variationsformulierung aus. Sei also die schwache For-mulierung von (2.1) gegeben durch:

Finde ein u ∈ V , so dass fur alle v ∈ Va(u, v) = f(v) gilt.

(2.2)

Dabei sei V ein geeigneter Hilbertraum, der die Dirichlet-Randbedingungen beinhaltet, a(·, ·)eine stetige, V -elliptische Bilinearform und f ein lineares Funktional auf V , dass eventuell dieNeumann-Randbedingungen berucksichtigt.

Die Idee der Galerkin-Diskretisierung unseres Problems (2.2) ist Folgende: Statt nach einer Losungin dem unendlichdimensionalen Raum V zu suchen, gehen wir in einen Raum Vh uber, derendlichdimensional ist, d.h. dimVh = N .

Gilt Vh ⊂ V , so sprechen wir von einer konformen Methode, ansonsten von einer nicht konformenMethode. In dieser Arbeit beschaftigen wir uns großtenteils mit konformen Methoden, da derRaum Vh die ,,guten” Eigenschaften des Raums V ubernimmt. Setzen wir den Raum Vh als einenSplineraum an, so sprechen wir von einer Finite-Elemente-Methode.

Weil Vh als endlicher Raum abgeschlossen und im konformen Fall Teilraum eines Hilbertraums ist,sehen wir, dass Vh auch ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt und der Norm des Raums V ist.Zudem ist a(·, ·) eine stetige und Vh-elliptische Bilinearform auf Vh, ebenso beschreibt f ein linearesFunktional auf Vh.

Somit lautet die diskrete Form unseres Variationsproblems:

Finde ein uh ∈ Vh, so dass fur alle vh ∈ Vh

a(uh, vh) = f(vh) gilt.(2.3)

15

16 KAPITEL 2. FINITE-ELEMENTE-METHODE

Das Lemma von Lax-Milgram 1.8 ist auch hier anwendbar, und wir erhalten fur das diskrete Pro-blem (2.3) eine eindeutige Losung. Die Frage ist nun, wie sich die Losung des diskreten Problems zuder Losung des Variationsproblems (2.2) und dann zur Losung des Randwertproblems (2.1) verhalt.

Es ergeben sich unter anderem folgende Probleme, die in die Untersuchung von Finite-Elemente-Methoden eingehen:

• Da in der Variationsgleichung und somit auch in dem diskreten Problem Integrale zu losensind, um die Bilinearform a(·, ·) und das Funktional f(·) zu bestimmen, wird hier meist eineApproximation benutzt. Diese Approximation ist nicht unwesentlich bei der Untersuchungder Methode. Ist ah(·, ·) die approximierte Bilinearform von a(·, ·) und fh das approximiertelineare Funktional von f(·), dann ergibt sich:

Finde ein uh ∈ Vh, so dass fur alle vh ∈ Vh

ah(uh, vh) = fh(vh) gilt.

• Der Raum Vh muss so passend gewahlt werden, dass er zum einen eine praktikable Behandlungdes diskreten Problems zulasst, zum anderen aber auch eine gute Annaherung an die Losungdes Randwertproblems liefert.

• Um das Problem numerisch zu erfassen und den endlichdimensionalen Teilraum Vh aufzustel-len, wird das Gebiet Ω zerlegt. Dies kann zu weiteren Problemen fuhren: Was passiert z.B.mit krummlinigen Randstucken? Was ist eine ,,stabile” Zerlegung?

Auf diese Probleme werden wir im Folgenden noch genauer eingehen.

2.2 Triangulierung und Aufstellen einer Basis

2.2.1 Triangulierungen

Mit der Triangulierung Th bezeichnen wir die endliche Zerlegung des Gebiets Ω in Teilgebiete, diewir mit T bezeichnen, also Th = T. Diese T sind in der Regel Simplexe oder Quader. Wir werdenuns in dieser Arbeit hauptsachlich mit dem R

3 beschaftigen. Zudem werden wir uns auf den Fallder Simplexe, hier Tetraeder, beschranken.

2.1 Definition (Zulassige Triangulierung) Eine Triangulierung Th = T heißt zulassig, wennsie folgende Bedingungen erfullt:

i) Ω =⋃

T∈Th

T .

ii) intT1 ∩ intT2 = ∅ ∀T1, T2 ∈ Th, T1 6= T2.

iii) Jede Außenflache und jede Ecke eines T1 ∈ Th ist entweder eine Teilmenge von ∂Ω oder eineAußenflache bzw. eine Ecke eines T2 ∈ Th mit T1 6= T2.

Zudem heißt sie vom schwach spitzen Typ, falls alle auftretenden Winkel zwischen zwei Außen-flachen von Tetraedern T ∈ Th kleiner oder gleich π

2 sind.

Unter anderem bedeutet diese Definition, dass wir ein Gebiet benotigen, das einen polygonalenRand hat. Ansonsten mussen wir den Rand durch einen polygonalen Zug annahern.

2.2. TRIANGULIERUNG UND AUFSTELLEN EINER BASIS 17

Nun betrachten wir noch eine Familie von Triangulierungen Th. Sei hT := diam(T ). Des Weiterenseien

h := maxhT | T ∈ Th

und

ρT := supdiam(K) | K ist Kugel und K ⊂ T

σT :=hT

ρT∈ [1,∞).

2.2 Definition Eine Familie von zulassigen Triangulierungen Th heißt regular, falls

i) infh | Th ∈ Th = 0.

ii) ein σ > 0 existiert, so dass σT ≤ σ fur alle T ∈ Th und Th ∈ Th.

Und sie heißt quasi-uniform, falls ein σ existiert, so dass hρT

≤ σ fur alle T ∈ Th und Th ∈ Th.

2.2.2 Ansatzraum und Aufstellen einer Basis

Wir benutzen die Triangulierung Th, um einen endlichdimensionalen Teilraum Vh ⊂ V zu bestim-men. Dazu betrachten wir zunachst den Raum der Polynome auf R

n vom Grad kleiner oder gleichk ∈ N0, den wir mit Pk bezeichnen, d.h. p ∈ Pk, falls p die Form

p(x) =∑

|α|≤k

βαxα1

1 · · · xαnn , βα ∈ R

besitzt. Damit ist der Raum der Finite-Elemente fur die Triangulierung gegeben durch

X0h :=

v ∈ L2(Ω)

∣∣ v|T ∈ P0, ∀T ∈ Th

Xkh :=

v ∈ C(Ω)

∣∣ v|T ∈ Pk, ∀T ∈ Th

, k ≥ 1.

Als Beispiel zur Konstruktion einer Basis bilden wir eine Basis von Vh := X1h. Der Einfachheit halber

nehmen wir homogene Dirichlet-Randbedingungen an. Zudem seien die Eckpunkte der Tetraeder,die im Inneren liegen, von 1 bis N durchnummeriert mit den entsprechenden Eckpunkten xi. Nundefinieren wir die linearen Polynome ϕi, die auch als Hutfunktionen bezeichnet werden, durch:

ϕi(xj) = δij , ∀ j = 1, . . . ,N. (2.4)

Dabei ist, wie im Folgenden auch:

δij =

1, i = j0, i 6= j

.

Diese ϕi sind linear unabhangig und eindeutig definiert, da ein lineares Polynomp(x) = ax + by + cz + d durch die Vorgabe der Funktionswerte auf den vier Eckpunkteneines Tetraeders eindeutig bestimmt ist. Somit gilt Vh = spanϕ1, . . . , ϕN ⊂ H1

0 (Ω). Diese Basiswird auch die nodale Standardbasis genannt.

Liegen keine homogenen Dirichlet-Randbedingungen vor oder wird die Benutzung von Finite-Elemente-Raumen, die Polynome hoherer Ordnung benutzen, in Betracht gezogen, so muss dieBedingung (2.4) entsprechend angepasst werden. Siehe dazu [G02].


2.3 Aufstellen eines linearen Gleichungssystems

Nun nehmen wir an, dass wir eine Basis ϕ1, . . . , ϕN des endlichdimensionalen Raums Vh gefundenhaben, also Vh = spanϕ1, . . . , ϕN. Diese Basis benutzen wir zum einen als Testfunktionen undzum anderen stellen wir die Losung als Linearkombination dieser Basis dar, d.h.

uh =N∑

j=1

ujϕj . (2.5)

Setzen wir diesen Ansatz in das diskrete Problem (2.3) ein und nehmen wie oben erwahnt alsTestfunktionen unsere Basis, ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem:

a(uh, ϕi) = a

N∑

j=1

ujϕj , ϕi

=

N∑

j=1

uj a(ϕj , ϕi) = f(ϕi), ∀ i = 1, . . . ,N, (2.6)

beziehungsweise in der Matrixschreibweise:

Au = b,

mit

A = (aij)1≤i,j≤N := (a(ϕj , ϕi))1≤i,j≤N ∈ RN×N

b = (bi)1≤i≤N := (f(ϕi))1≤i≤N ∈ RN

u = (ui)1≤i≤N ∈ RN .

Die obigen ui sind dabei gerade die Koeffizienten aus der Linearkombination (2.5). Die Matrix Awird auch Steifigkeitsmatrix genannt.

Dieses lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Losung, denn es gilt das folgende Lemma:

2.3 Lemma Sei das diskrete Problem (2.3) mit einer Vh-elliptischen Bilinearform a(·, ·) gegeben.Dann ist das zugehorige Gleichungssystem (2.6) regular.

Beweis: Sei z ∈ RN eine Losung des homogenen Systems

N∑

j=1

zja(ϕj , ϕi) = 0, ∀ i = 1, . . . ,N. (2.7)

Dann gilt:

N∑

i=1

N∑

j=1

zjzia(ϕj , ϕi) = 0 =⇒N∑

i=1

zia

N∑

j=1

zjϕj , ϕi

= 0

=⇒ a

N∑

j=1

zjϕj ,

N∑

j=1

zjϕj

= 0.

Mit der Vh-Elliptizitat a(u, u) ≥ β‖u‖2 folgt schließlich

N∑

j=1

zjϕj = 0.

2.4. DIE THEORIE DER GALERKIN-DISKRETISIERUNG 19

Somit muss z = 0 gelten, da die ϕj , j = 1, . . . ,N , linear unabhangig sind. Das homogene System(2.7) hat also nur die triviale Losung und ist damit regular.

Eine Modifikation des Aufstellens des linearen Gleichungssystems ist das Petrov-Galerkin-Verfahren. Seien dazu zwei Basen des Raums Vh gegeben:

Vh = spanϕ1, . . . , ϕN = spanψ1, . . . , ψN

Setzen wir auch hier uh =

N∑

j=1

ujϕj in das diskrete Problem (2.3) ein, wahlen aber als Testfunktionen

die Basis ψi, i = 1, . . . , N , so erhalten wir das folgende lineare Gleichungssystem:

N∑

j=1

uj a(ϕj , ψi) = f(ψi), ∀ i = 1, . . . ,N.

2.4 Die Theorie der Galerkin-Diskretisierung

2.4.1 Fehlerabschatzungen

Zunachst liefert uns das Lax-Milgram-Lemma 1.8, dass das diskrete Problem eine eindeutigeLosung hat und stabil ist, d.h. ‖uh‖1 ≤ β

α‖f‖∗, wobei ‖ · ‖∗ die Norm im Dualraum V ∗ von V istund α und β die Konstanten aus dem Lax-Milgram-Lemma sind.

Eine wichtige Grundlage bei der Untersuchung von Finite-Elemente-Methoden ist das Cea-Lemma,um Fehlerabschatzungen herzuleiten.

2.4 Satz (Cea-Lemma) Seien die Voraussetzungen des Lax-Milgram-Lemmas gegeben, u dieLosung des kontinuierlichen Problems (2.2) und uh die des diskreten Problems (2.3). Dann gilt:

‖u− uh‖1 ≤ β

αinf

vh∈Vh

‖u− vh‖1. (2.8)

Beweis: Zunachst gilt die Projektionseigenschaft

a(u− uh, vh) = a(u, vh) − a(uh, vh) = f(vh) − f(vh) = 0 ∀ vh ∈ Vh,

da wir eine konforme Diskretisierung betrachten. Setzen wir den Fehler als e := u− uh, so gilt furalle vh ∈ Vh:

α‖e‖21 ≤ |a(e, u−uh)| ≤ |a(e, u−vh)|+ |a(e, vh−uh)| = |a(e, u−vh)| ≤ β‖e‖1 ‖u−vh‖1.

Also gilt:

‖u− uh‖1 ≤ β

α‖u− vh‖1 ∀ vh ∈ Vh.

Das ist das Resultat.

Dieser Satz gibt uns Auskunft uber den Fehler, den wir beim Losen des diskreten Problems (2.3)machen. Konnen wir abschatzen, wie gut eine Funktion v im Raum Vh approximiert werden kann, sohaben wir auch eine Fehlerabschatzung fur die kontinuierliche Losung der schwachen Formulierung.

Dies werden wir im Detail noch bei den Untersuchungen der Methoden beschreiben.


2.4.2 Inverse Monotonie

Seien zunachst die Koeffizienten b und c des Operators L aus (2.1) stetig und c erfulle c(x) ≥ c0 ≥ 0.Eine wichtige Eigenschaft des Operators L ist ahnlich der des klassischen Vergleichsprinzips (sieheSatz 1.4):

2.5 Definition (Inverse Monotonie) Sei w ∈ C(Ω) ∩ C2(Ω). Der Operator L heißt invers mo-noton, falls die folgende Implikation gilt:

Lw(x) ≥ 0 ∀x ∈ Ωw(x) ≥ 0 ∀x ∈ Γ

⇒ w(x) ≥ 0 ∀x ∈ Ω.

Eine direkte Folgerung aus der inversen Monotonie ist das Maximumprinzip:

Lu(x) = 0 ∀x ∈ Ω ⇒ miny∈Γ

u(y), 0 ≤ u(x) ≤ maxy∈Γ

u(y), 0 ∀x ∈ Ω.

Falls eine Finite-Elemente-Methode dieses Maximumprinzip nicht erhalt, so kann es dazu kommen,dass die Losung negative Werte annimmt. Dies ist aber meistens mit der Realitat nicht in Einklangzu bringen.

Mit dem Satz des schwachen Maximumprinzips 1.10 lasst sich die Eigenschaft der inversenMonotonie auf die schwache Formulierung ubertragen. Dazu mussen wir von der V -elliptischenBilinearform a(·, ·) zum Operator L : H1(Ω) → H−1(Ω), u 7→ L(u) := a(u, ·) ubergehen.

Im Folgenden bedeuten die Relationen ≥ und > zwischen Matrizen oder Vektoren den komponen-tenweisen Vergleich.

Nun wollen wir die inverse Monotonie auf das diskrete System ubertragen. Dazu definieren wirzunachst, was wir mit einer invers monotonen Matrix meinen.

2.6 Definition (Inverse Monotonie einer Matrix) Eine Matrix A : RN×N heißt invers mo-noton, falls fur z ∈ RN gilt:

Az ≥ 0 =⇒ z ≥ 0.

Zudem fuhren wir das M-Kriterium ein.

2.7 Definition (M-Kriterium) Eine Matrix A = (aij)i,j=1,...,N ∈ RN×N heißt M-Matrix, falls

aij ≤ 0 fur i 6= j gilt und A−1 mit A−1 ≥ 0 existiert.

Der folgende Satz sagt uns, dass die inverse Monotonie und das M-Kriterium aquivalent sind.Zudem sind hier zwei weitere Aquivalenzen aufgefuhrt, die wir spater noch nutzen werden.

2.8 Satz (M-Kriterium) Sei A = (aij)i,j=1,...,N ∈ RN×N mit aij ≤ 0 fur i 6= j. Dann sind

folgende Aussagen aquivalent:

(i) A ist eine M-Matrix.

(ii) A ist invers monoton.

(iii) Es existiert ein e ∈ RN mit e ≥ 0, Ae ≥ 0, und fur alle i ∈ 1, . . . ,N mit (Ae)i = 0 gibt es

eine Folge i0 = i, i1, . . . , ik ∈ 1, . . . , N mit aiν−1iν < 0 fur ν = 1, . . . , k und (Ae)ik > 0.

2.4. DIE THEORIE DER GALERKIN-DISKRETISIERUNG 21

(iv) Es existiert ein e ∈ RN mit e > 0, so dass Ae > 0. Fur dieses e gilt weiter:

‖A−1‖∞,d ≤ ‖e‖∞,d

mink(Ae)k.

Der Beweis findet sich zum Beispiel in [Bo81].

2.4.3 Invers monotone Galerkin-Diskretisierung der Poisson-Gleichung

In diesem Abschnitt wollen wir als Beispiel die Poisson-Gleichung mit homogenen Randdaten aufeinem Teilgebiet des R

3 durch lineare Finite-Elemente diskretisieren, so dass das resultierendediskrete Problem die Eigenschaft der inversen Monotonie aufweist. Sei also:

−∆u = f in Ωu = 0 auf Γ.

(2.9)

Um die zugehorige Variationsformulierung herzuleiten, benutzen wir den Raum V := H10 (Ω) und

nehmen an, dass f ∈ L2(Ω) liegt. Wenn wir die Gleichung (2.9) mit Testfunktionen ϕ ∈ V multi-plizieren und sie danach partiell integrieren, so erhalten wir:

∫

Ω

−∆u v dx =

∫

Ω

fv dx ⇔∫

Ω

∇u · ∇v dx−∫

Γ

ν·∇u v dS

︸︷︷︸

=0, da v|Γ ≡ 0

=

∫

Ω

fv dx.

Mit der Bilinearform a(u, v) :=∫

Ω ∇u · ∇v dx = (∇u,∇v)0 und dem linearen Funktionalf(v) :=

∫

Ω fv dx = (f, v)0 lautet unsere Variationsformulierung:

Finde ein u ∈ V , so dass fur alle v ∈ Va(u, v) = f(v) gilt.

Um die inverse Monotonie des diskreten Systems bei der Verwendung der Standard-Galerkin-FEMzu erhalten, mussen wir allerdings eine starke Annahme machen. Wir fordern namlich nicht nur,dass das Gebiet Ω durch eine regulare Triangulierung Th zerlegt ist, sondern dass Th auch vomschwach spitzen Typ ist. Dies ist in der Regel bei adaptiven Verfahren nicht leicht zu erfullen.

Wir bezeichnen dabei die inneren Gitterpunkte mit Pi, i = 1, . . . ,N . Als Basisfunktionen ϕi, i =1 . . . N, wahlen wir die nodale Standardbasis, die in 2.2.2 eingefuhrt wurde. Die SteifigkeitsmatrixA = (aij) hat nun die Form

aij = (∇ϕj ,∇ϕi), i, j = 1, . . . ,N.

Jetzt werden wir zeigen, dass A eine M-Matrix ist.

Es ist klar, dass aij 6= 0 nur gelten kann, wenn die Basisfunktionen ϕj und ϕi auf einer gemeinsamenMenge nicht Null sind, d.h. suppϕj ∩ suppϕi 6= ∅. Dies ist der Fall, wenn Pj und Pi zu einemgemeinsamen Element T von Th gehoren. Sei i 6= j, dann gilt, da ∇ϕi und ∇ϕj auf T konstant sind

aij =

∫

T

∇ϕj · ∇ϕi dx =

∫

T

|∇ϕj | · |∇ϕi| · cos(∠(∇ϕj ,∇ϕi)) dx

= |T | · |∇ϕj | · |∇ϕi| · cos(∠(∇ϕj ,∇ϕi))

Sei Γi die Flache von T, die gegenuber von Pi liegt und Γj die gegenuber von Pj. Nach derDefinition der Basisfunktionen ist ∇ϕi entgegengesetzt des Nomalenvektors von Γi gerichtet. Inzwei Dimensionen sieht diese Situation wie folgt aus:


νΓj

PiPj

∇ϕj

∇ϕi

∠(Γj , Γi)

νΓi

Γj Γi

Daher ist cos(∠(∇ϕj ,∇ϕi)) = cos(∠(Γj ,Γi) − π2 ) und es gilt:

aij ≤ 0 ⇔ ∠(Γj ,Γi) ≤π

2. (2.10)

Da wir eine Triangulierung vom schwach spitzen Typ vorliegen haben (s. Definition 2.1), sindalle Winkel zwischen den Tetraederflachen kleiner oder gleich π

2 . Da nicht alle Winkel π2 betragen

konnen, schließen wir

aij = 0 fur i 6= j =⇒ ∃ k : aik < 0 und akj < 0 fur i 6= k, k 6= j. (2.11)

Um die inverse Monotonie der Matrix A zu zeigen, benutzen wir die Aquivalenz zum M-Kriterium,die im Satz 2.8 (iii) gegeben ist.

Sei e = (1, . . . , 1)T ∈ RN und Pi ein Gitterpunkt von einem Tetraeder T , der keinen Randpunkt

hat. Dann gilt:

(Ae)i =

N∑

j=1

aij = (∇N∑

j=1

ϕj ,∇ϕi)0 = 0,

da∑N

j=1 ϕj = 1 auf dem Trager von ϕi gilt. Hier konnen wir nun (2.11) anwenden und e genugtfur dieses i der Bedingung (iii) des Satzes 2.8.

Sei nun Pi ein innerer Gitterpunkt, der zu einem Tetraeder mit Randpunkten gehort. Seien weiterPj , j = N + 1, . . . , N +M die Punkte, die auf dem Rand liegen und zum Trager von ϕi gehoren.Dann gilt:

N+M∑

j=1

ϕj = 1 (2.12)

auf dem Trager von ϕi, wenn ϕj als stuckweise lineare Funktion mit ϕj(Pk) = δjk fur j, k =N + 1, . . . , N +M definiert ist. Es ist dabei zu beachten, dass diese Funktionen nicht in Vh liegen.Nun gilt:

2.5. DISKRETISIERUNG DER KONVEKTIONS-DIFFUSIONS-GLEICHUNG 23

(Ae)i =(

∇N∑

j=1

ϕj ,∇ϕi

)

=(

∇N+M∑

j=1

ϕj ,∇ϕi

)

−(

∇N+M∑

j=N

ϕj,∇ϕi

)

= −(

∇N+M∑

j=N+1

ϕj ,∇ϕi

)

= −N+M∑

j=N+1

aij ≥ 0.

Da in diesem Tetraeder auch Winkel auftreten, die echt kleiner als π2 sind, gilt mit (2.10): (Ae)i > 0.

Damit ist Satz 2.8 (iii) gezeigt und es gilt folgendes Lemma:

2.9 Lemma Die Galerkin-Diskretisierung von −∆u = f durch stuckweise lineare Funktionen aufGittern vom schwach spitzen Typ erhalt die inverse Monotonie des kontinuierlichen Problems.

2.5 Diskretisierung der Konvektions-Diffusions-Gleichung

Nun kommen wir auf die Konvektions-Diffusions-Gleichung zuruck, die wir im R3 mit homogenen

Randdaten diskretisieren werden. Sei

Lu := −ε∆u+ b · ∇u+ cu = f in Ωu = 0 auf Γ := ∂Ω

. (2.13)

Fur die Variationsformulierung sei hier V := H10 (Ω). Wir erhalten analog zu 1.4.2:

Finde u ∈ V , so dass fur alle v ∈ V gilt:ε(∇u,∇v) + (b · ∇u, v) + (cu, v) = (f, v).

(2.14)

Nun gehen wir zur diskreten Formulierung uber; sie lautet fur einen endlichdimensionalen TeilraumVh ⊂ V mit dimVh = N :

Finde uh ∈ Vh, so dass fur alle vh ∈ Vh gilt:ε(∇uh,∇vh) + (b · ∇uh, vh) + (cuh, vh) = (f, vh).

(2.15)

Bemerkung Bei der schwachen Formulierung der Konvektions-Diffusions-Gleichung konnenwir ein Problem der Diskretisierung erkennen. Durch das Vorhandensein der Konvektion unddamit dem Auftreten von ersten Ableitungen wird das System asymmetrisch, woraus sich bei derAnwendung von Standardtechniken Oszillationen ergeben konnen, die das System instabil werdenlassen.

Wir wollen hier zunachst eine Fehlerabschatzung fur die Standard-Galerkin-Finite-Elemente-Methode ausfuhren.

2.5.1 Fehlerabschatzung der Standard-Galerkin-Finite-Elemente-Methode

Die Koeffizienten b und c seien wie die rechte Seite f hinreichend glatt und wir nehmen zudemc− 1

2 div b ≥ c0 > 0 an, damit die Existenz einer Losung gesichert ist (vgl. Abschnitt 1.4.3). Zudemsei Th eine regulare Triangulierung des Gebiets Ω. Wir bezeichnen mit T ein Element aus Th, das


in der Regel ein Tetraeder sein wird. Der endlichdimensionale Raum Vh ⊂ V sei der konformeFinite-Elemente-Raum, der aus stuckweise polynomiellen Funktionen vom Grad k besteht, d.h.

Vh :=vh ∈ V

∣∣ vh|T ∈ Pk(T ) ∀T ∈ Th

.

Liegt u ∈ Hk+1(T ) mit k ≥ 1, dann genugt die interpolierte Funktion uI von u der Approximati-onseigenschaft [RST96]:

|u− uI |m,T ≤ Chk+1−m|u|k+1,T fur m = 0, 1, 2 (2.16)

Bei der Untersuchung der Koersivitat der Bilinearform a(·, ·) erhielten wir die Abschatzung (1.23)

a(u, u) ≥ minε, c0‖u‖21 ∀u ∈ V. (2.17)

Ist uh die Losung des diskreten Problems, so ergibt sich mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung diea-priori Abschatzung:

‖uh‖21 ≤ Cεa(uh, uh) = Cε(f, uh) ≤ Cε‖f‖1‖uh‖1 =⇒ ‖uh‖1 ≤ Cε‖f‖1 (2.18)

Setzen wir uI − uh in (2.17) ein und benutzen, dass a(uh, vh) = a(u, vh) gilt, so ergibt sich:

‖uI − uh‖21 ≤ 1

minε, c0a(uI − uh, u

I − uh) =1

minε, c0a(uI − u, uI − uh). (2.19)

Die auftretenden Terme in der Bilinearform wollen wir getrennt untersuchen:

1) Fur die Diffusion gilt mit der Approximationseigenschaft (2.16) (Summation uber alle T ):

ε(∇(uI − u),∇(uI − uh))

≤ ε|uI − u|1 |uI − uh|1 ≤ ε|uI − u|1‖uI − uh‖1

≤ εC hk |u|k+1 ‖uI − uh‖1. (2.20)

2) Fur die Konvektion gilt auch hier:

(b · ∇(uI − u), (uI − uh))

≤ ‖b · ∇(uI − u)‖0 ‖uI − uh‖0 ≤ C|uI − u|1 ‖uI − uh‖1

≤ C hk |u|k+1 ‖uI − uh‖1. (2.21)

3) Fur die Reaktion gilt:

(c (uI − u), (uI − uh))

≤ ‖c (uI − u)‖0 ‖uI − uh‖0 ≤ C|uI − u|0 ‖uI − uh‖1

≤ C hk+1 |u|k+1 ‖uI − uh‖1. (2.22)

Aus (2.19) und (2.20)-(2.22) folgt:

‖uI − uh‖1 ≤ C1

minε, c0hk (ε+ 1 + h) |u|k+1 ≤ C

1

minε, c0hk |u|k+1. (2.23)


Bemerkung Fur ε→ 0 sehen wir, dass sich die Fehlerkonstante wie 1ε verhalt. Daher konnen wir

fur kleine ε keine guten Resultate erwarten.

2.5.2 Invers monotone Diskretisierungen der Konvektions-Diffusions-Gleichung

Bezeichne im Folgenden wiederϕi

∣∣ i = 1 . . . N

eine Basis des Raums Vh. In der Regel

liefert uns das Standard-Galerkin-Verfahren keine Diskretisierung, die die Eigenschaft der inversenMonotonie aufweist.

Denn wenn wir wieder lineare Finite-Elemente mit der nodalen Standardbasis vorliegen haben undals Beispiel c(x) > 0 und b = 0 betrachten, dann sehen wir, dass der Term (cϕj , ϕi) aus (2.15), derbeim Aufstellen des Systems auftritt, echt großer als Null ist. Dies ergibt positive Matrixeintrage,die auch außerhalb der Diagonale liegen. Daher kann A keine M-Matrix mehr sein.

Wenden wir aber folgende Quadraturregel an, um das Skalarprodukt zu approximieren:

∫

T

Φ(x) dx ≈ |T |4

(Φ(Pi) + Φ(Pj) + Φ(Pk) + Φ(Pl)), (2.24)

dann sind nur die Diagonaleintrage von A großer als Null. Die anderen sind identisch Null. Diesist wieder eine M-Matrix.

Die rechte Seite f konnen wir in der gleichen Weise behandeln, d.h. wir approximieren das Skalar-produkt durch

(f, ϕi) ≈f(Pi)

4

∑

T∩Pi 6=∅

|T |.

Allerdings bleibt zu beachten, dass die Wahl der Quadraturregel Einfluss auf die Konvergenz derMethode hat.

Die Diskretisierung des Konvektionsterms b ·∇u bereitet uns in Hinsicht auf die inverse Monotoniemehr Probleme. Es werden hier kurz die Techniken der

1) Upwind-Methode und der

2) Secondary-Grid-Methode

dargestellt, die die Eigenschaft der inversen Monotonie auf das diskrete Problem ubertragen.

Ein weiterer Ansatz ist die Stabilisierung des diskreten Problems. Zwei Methoden dieses Ansatzeswerden wir genauer in den nachsten beiden Kapiteln beschreiben:

3) Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode

4) Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode

2.5.2.1 Upwind-Methode

Wir nehmen an, dass die Koeffizienten b, c und f hinreichend glatt sind. Zudem sei c(x) ≥ 0. DasGebiet Ω sei wie bei der invers monotonen Galerkin Diskretisierung der Poisson-Gleichung (s.Abschnitt 2.4.3) durch eine Triangulierung Th vom schwach spitzen Typ gegeben. Die Punkte Pi


fur i = 1, . . . , N der Triangulierung liegen nicht auf dem Rand Γ, d.h. sie sind innere Punkte.

Der endlichdimensionale Teilraum Vh sei durch stuckweise lineare Funktionen gegeben. Also

Vh :=vh ∈ C(Ω)

∣∣ vh|T ∈ P1(T ) ∀T ∈ Th, vh|Γ = 0

(2.25)

Sei ϕ1, . . . , ϕN die nodale Standardbasis des Raums Vh, d.h. ϕi(Pj) = δij . Somit istVh = spanϕ1, . . . , ϕN und unser diskretes Problem lautet:

Finde uh ∈ Vh, so dass fur alle vh ∈ Vh gilt:ε(∇uh,∇vh) + bh(uh, vh) + ch(uh, vh) = fh(vh).

(2.26)

Dabei sind bh(·, ·), ch(·, ·) und fh(·) die Approximationen der kontinuierlichen Formen. ch und fh

konnen wir wie oben approximieren. Sei dazu ein Tetraeder T mit Eckpunkten Pi, Pj , Pk und Pl

gegeben.

AA

AA

AA

AA

HH

HH

Pi

Pj Pk

Pl

Dann ist nach der Quadraturformel (2.24)

(cuh, ϕi) =∑

T∈Th

∫

T

c(x)uh(x)ϕi(x) dx ≈∑

T∩Pi 6=∅

|T |4c(Pi)uh(Pi),

so dass wir die diskreten Operatoren wie folgt definieren:

ch(uh, ϕi) :=1

4c(Pi)uh(Pi)

∑

T∩Pi 6=∅

|T |, (2.27)

fh(ϕi) =1

4f(Pi)

∑

T∩Pi 6=∅

|T |. (2.28)

Nun kommen wir auf den Konvektionsterm zu sprechen. Wie wir in Abschnitt 1.6 gesehen haben,treten Randschichten in den Randern auf, die ,,stromabwarts” liegen. Deshalb versuchen wir, denTerm b · ∇u durch Werte zu diskretisieren, die ,,stromaufwarts” liegen.

Sei die Richtungsableitung ∂(·)∂b durch

|b|∂uh

∂b= b · ∇uh

definiert, dann erhalten wir mit der Quadraturformel (2.24)

(b · ∇uh, ϕi) ≈1

4|b(Pi)|

∂uh

∂b(Pi)

∑

T∩Pi 6=∅

|T |.

Nun benutzen wir, dass wir die Richtungsableitung nach b ,,stromaufwarts” betrachten wollen.Dazu definieren wir zunachst, was wir mit ,,stromaufwarts” meinen.


2.10 Definition (Stromaufwarts) Ein Tetraeder Ti liegt zu einem Knoten Pi stromaufwartsbezuglich b, falls

(i) Pi ein Eckpunkt von Ti ist und

(ii) der Vektor −b(Pi) von Pi in Ti zeigt.

Im Zweidimensionalen sieht diese Situation wie folgt aus:

i

−b

Pi

T

Somit nahern wir die Richtungsableitung folgendermaßen an:

|b(Pi)|∂uh

∂b(Pi) ≈ b(Pi) · ∇uh|Ti

,

wobei Ti das stromaufwarts liegende Tetraeder von Pi ist.

Falls b(Pi) = 0 ist, brauchen wir kein solches Tetraeder zu definieren. Ansonsten existiert mindestensein stromaufwarts liegender Tetraeder. Damit lautet die Diskretisierung des Konvektionsterms

bh(uh, ϕi) :=1

4b(Pi) · ∇uh|Ti

∑

T∩Pi 6=∅

|T |. (2.29)

Um die inverse Monotonie des erzeugten diskreten Problems (2.26)-(2.29) zu zeigen, fuhren wir diekorrespondierende skalierte Matrix Lh := (h−2lij) mit

lij := ε(∇ϕj ,∇ϕi) + bh(ϕj , ϕi) + ch(ϕj , ϕi)

ein.

2.11 Satz (Inverse Monotonie der Upwind-Methode) Angenommen, die Koeffizienten bund c von L und die rechte Seite f von der Konvektions-Diffusions-Gleichung (2.13) seien hin-reichend glatt mit c(x) ≥ 0. Sei weiter Th eine Triangulierung von schwach spitzem Typ. Dann istdas diskrete Problem (2.26)-(2.29) invers monoton.

Beweis: Die Aussage zeigen wir wieder mit dem Satz zum M-Kriterium 2.8 (iii).

Um das Vorzeichen von lij zu untersuchen, sei zunachst i 6= j. Falls Pi und Pj nicht zum selbenTetraeder gehoren, ist lij = 0. Liegen daher im Folgenden Pi ∈ T und Pj ∈ T fur ein T ∈ Th.Zunachst sehen wir, dass aufgrund der Definition der Basis ch(ϕj , ϕi) = 0 ist. Wir unterscheidenzwischen zwei Fallen: Liegt Pj in einem stromaufwartsgerichteten Tetraeder Ti oder nicht.


Fall 1 (Pj ∈ Ti): Wie in Abschnitt 2.4.3 gesehen, gilt fur i 6= j bei dieser Triangulierung ∇ϕj |T ·∇ϕi|T ≤ 0. Nach der Definition eines stromaufwartsgerichteten Tetraeders Ti zu Pi bezuglich bgilt zudem b(Pi) · ∇ϕj |Ti

≤ 0. Es folgt:

lij = ε(∇ϕj ,∇ϕi) + bh(ϕj , ϕi) + ch(ϕj , ϕi)

= ε∑

T∩Pi,Pj6=∅

|T | ∇ϕj |T · ∇ϕi|T +1

4b(Pi) · ∇ϕj |Ti

∑

T∩Pi 6=∅

|T |

≤ 0.

Fall 2 (Pj 6∈ Ti): Damit ist ∇ϕj |Ti= 0 und wie oben ∇ϕj|T · ∇ϕi|T ≤ 0. Also:

lij ≤ 0.

Seien im Folgenden Pm fur m = N + 1, . . . N +M die Eckpunkte der Tetraeder, die auf dem RandΓ des Gebiets liegen. Wir benutzen weiter stuckweise lineare Funktionen ϕi mit ϕi(Pk) = δik furi, k = N + 1, . . . , N +M , obwohl diese nicht in Vh liegen.

Um auf den Satz zum M-Kriterium einzugehen, definieren wir uns den Vektor e := (1, . . . , 1)T . Dawie oben (2.12)

∑N+Mj=1 ϕj = 1 ist, gilt fur ein festes i ∈ 1, . . . ,N zunachst:

bh(

N∑

j=1

ϕj , ϕi) = bh(

N+M∑

j=1

ϕj −N+M∑

j=N+1

ϕj , ϕi)

= bh(1 −N+M∑

j=N+1

ϕj , ϕi)

=1

4b(Pi) · ∇

1 −N+M∑

j=N+1

ϕj |Ti

∑

T∩Pi 6=∅

|T |

= −1

4b(Pi) · ∇

N+M∑

j=N+1

ϕj |Ti

∑

T∩Pi 6=∅

|T | = −bh(N+M∑

j=N+1

ϕj , ϕi).

Also konnen wir zusammen mit c(Pi)(ϕj , ϕi) ≥ 0 weiter abschatzen:

(Lhe)i =N∑

j=1

lij

= ε(∇N∑

j=1

ϕj ,∇ϕi) + bh(

N∑

j=1

ϕj , ϕi) + c(Pi)(ϕj , ϕi)

≥ −ε(∇N+M∑

j=N+1

ϕj ,∇ϕi) − bh(

N+M∑

j=N+1

ϕj , ϕi).

Gehort Pi nicht zu einem Randtetraeder, so ist suppϕi ∩ suppϕj = ∅ fur j ∈ N + 1, . . . ,N +Mund somit gilt (Lhe)i = 0.

Liege nun Pi auf einem Randtetraeder T . Gehort Pj nicht zum gleichen Tetraeder T wie Pi, dannist suppϕi ∩ suppϕj = ∅ und alle Terme in der obigen Summe sind gleich Null. Dies ist nichtder Fall, falls sie auf dem gleichen Tetraeder liegen. Wie in der Herleitung der inversen Monotonie


von der Diskretisierung der Poisson-Gleichung (2.11) folgern wir, dass es ein Pk ∈ T gibt, so dassmindestens einer der beiden Terme

−(∇ϕj ,∇ϕi) oder − (∇ϕk,∇ϕi)

großer als Null ist. Da Ti ein stromaufwartsgerichtetes Tetraeder ist, gilt:

−b(Pi) · ∇ϕj|Ti≥ 0.

Fur diesen Index i ist also (Lhe)i > 0 und nach Satz 2.8 ist Lh eine M-Matrix.

Zudem ist dieses System unter einer weiteren Annahme auch L∞-stabil.

2.12 Korollar Seien die Voraussetzungen des Satzes 2.11 gegeben und zusatzlich ein majorisieren-des Element eh ∈ Vh gegeben, fur das Lheh ≥ e0 > 0 und ‖eh‖∞,d ≤ emax gilt, wobei e0 und emax

Konstanten unabhangig von h und ε sind. Dann ist das diskrete Problem (2.26)-(2.29) L∞-stabil,gleichmaßig bezuglich ε, d.h.

‖vh‖∞,d ≤ emax

e0‖Lhvh‖∞,d ∀ vh ∈ Vh.

Beweis: Dies ist eine direkte Folgerung des obigen Satzes mit dem Satz 2.8 (iv), denn es gilt:

‖vh‖∞,d = ‖L−1h Lhvh‖∞,d ≤ ‖L−1

h ‖∞,d‖Lhvh‖∞,d

Satz 2.8≤ emax

e0‖Lhvh‖∞,d.

2.5.2.2 Secondary-Grid-Methode

Um diese Methode hier kurz vorzustellen, beschranken wir uns auf den Fall n = 2. D.h. wirbetrachten die Diskretisierung der Konvektions-Diffusions-Gleichung im R

2.

Auch hier sei wieder eine regulare Triangulierung vom schwach spitzen Typ des Gebiets Ω gegeben.

Die Diskretisierung von −∆u und cu − f durch stuckweise lineare Funktionen bereitet uns keineProbleme, wenn wir den Raum

Vh :=vh ∈ C(Ω)

∣∣ vh|T ∈ P1(T ) ∀T ∈ Th, vh|Γ = 0

benutzen. −∆u liefert uns eine M-Matrix und cu−f behandeln wir entweder mit einer Quadratur-Regel oder mit der ,,Lumping”-Technik, auf die wir noch zu sprechen kommen. Daher widmen wiruns der Diskretisierung des Konvektionsterms b · ∇u.

Zu der Triangulierung fuhren wir ein zweites Gitter ein, das so genannte Secondary-Grid.

2.13 Definition (Secondary-Grid) Seien Pi, i = 1, . . . ,N +M die Knoten einer TriangulierungTh, mit P1, . . . , PN innere Knoten und P1+N , . . . , PN+M Knoten auf dem Rand Γ. Zu jedem PunktPi definieren wir uns ein duales Gebiet Db

i bzw. Dui des Secondary-Grids. Fur die baryzentrische

Koordinate des Punkts P bezuglich des Dreiecks T λTi (P ), die zu Pi gehort, sei


Dbi :=

⋃

T∩Pi 6=∅

P ∈ T

∣∣ λT

i (P ) ≥ λTj (P ) ∀ j mit Pj ∈ T

das baryzentrische duale Gebiet zum Punkt Pi. Fur | · |, die Lange eines Liniensegments, sei

Dui :=

⋃

T∩Pi 6=∅

P ∈ T

∣∣ |PiP | ≤ |PjP | ∀ j mit Pj ∈ T

das umschreibende duale Gebiet zum Punkt Pi.

Da wir im Folgenden keine Unterscheidung zwischen den baryzentrischen und den umschreibendendualen Gebieten machen, bezeichnen wir beide mit Di. Im Zweidimensionalen sehen diese Gebietewie folgt aus:

Γij

baryzentrisch

Pi

Pj

Di

umschreibend

Di

PiPj

Γij

Bemerkung Der Rand eines dualen Gebiets ist polygonal. Im baryzentrischen Fall liegendiese Linien auf Teilen der Winkelhalbierenden und im umschreibenden Fall auf Teilen derMittelsenkrechten. Fur i = N + 1, . . . , N +M liegen einige der Stucke von ∂Di auf Γ.

Notationen

• Das Randstuck von Di, das die Linie PiPj schneidet, bezeichnen wir im Folgenden mit Γij.

• Zu einem Punkt Pi definieren wir die Indexmenge

Λi :=j 6= i

∣∣ ∃T mit Pi, Pj ∈ T

.

• Sei χi die charakteristische Funktion zum Gebiet Di, d.h. χi(x) =

1, x ∈ Di

0, sonst, dann

definieren wir den Lumping-Operator lh durch

lhw :=

N+M∑

i=1

w(Pi)χi.

Somit ist lhw stuckweise konstant.


Wir werden nun wieder die schwache Formulierung der Konvektions-Diffusions-Gleichung (2.14)durch den endlichdimensionalen Raum Vh diskretisieren, der stuckweise lineare Funktionen enthalt(s. (2.25)). Wir gehen von der Identitat

(b · ∇u, v) = (div(bu), v) − (div b, uv)

aus. Mit der Green’schen Formel ergibt sich

(b · ∇u, v) ≈ (div(bu), lhv) − (div b, lh(uv))

=∑

T∈T

∫

T

div(bu) lhv dx− div(b) lh(uv) dx

=

N+M∑

i=1

∫

Di

div(bu) lhv dx− div(b) lh(uv) dx

=N+M∑

i=1

−∫

Di

u b · ∇(lhv)︸︷︷︸

=0

−b · ∇(lh(uv))︸︷︷︸

=0

dx+

∫

∂Di

b · ν u lhv − b · ν lh(uv) dS

=N+M∑

i=1

∑

j∈Λi

∫

Γij

b · νij (u v(Pi) − v(Pi)u(Pi)) dS

=

N+M∑

i=1

∑

j∈Λi

v(Pi)

∫

Γij

(u− u(Pi)) b · νij dS,

wobei νij den außeren Normaleneinheitsvektor von Γij bezeichnet. Nun ersetzen wir u auf Γij durcheine Linearkombination von u(Pi) und u(Pj):

u ≈ λiju(Pi) + (1 − λij)u(Pj) auf Γij

Der Parameter λij ∈ [0; 1] bestimmt den Einfluss der jeweiligen Funktionswerte auf die Approxima-tion, daher kontrolliert er den Upwind. Die neue Diskretisierung des Konvektions-Terms hat alsodie Gestalt:

bh(uh, vh) :=

N+M∑

i=1

∑

j∈Λi

βij(1 − λij)(uh(Pj) − uh(Pi))vh(Pi), ∀uh, vh ∈ Vh,

wobei βij eine Approximation an den Fluss∫

Γijb · νij dS durch Γij ist. Sie erfulle die Bedingungen

(A1)∣∣∣

∫

Γijb · νij dS − βij

∣∣∣ ≤ Ch3

(A2) βij + βji = 0 falls Γij ∩ Γ = ∅.

Diese Bedingungen konnen zum Beispiel durch die Mittelpunktregel erfullt werden:

∫

Γij

b · νij dS ≈ |Γij | b(Qij) · νij =: βij ,

mit Qij Mittelpunkt von PiPj .


Eine einfache Wahl von λij ist die Folgende: Ist der Fluss βij großer als Null, so setzte λij := 1,

andernfalls λij := 0. Haufig wird dieser Parameter in Abhangigkeit von der Gitter-Peclet-Zahlβij

2εgesetzt, also

λij = Φ

(βij

2ε

)

.

Dabei ist Φ(·) eine Wichtungsfunktion, die folgende Bedingungen erfullt:

(B1) Φ(t) = 1 − Φ(−t) ∀ t > 0 und 0 ≤ Φ(t) ≤ 1 ∀ t ∈ R

(B2) Φ(t) ≥ 12 ∀ t ≥ 0

(B3) Ψ(t) := tΦ(t) ist eine Lipschitz-stetige Funktion auf R.

Wir betrachten hier

Φ(t) :=1

2(1 + sgn t) =

1, t ≥ 00, t < 0

.

Die Diskretisierung des Konvektionsterms lautet zusammenfassend:

bh(uh, vh) :=N+M∑

i=1

∑

j∈Λi

βij

(

1 − Φ

(βij

2ε

))

(uh(Pj) − uh(Pi))vh(Pi).

Um das diskrete Problem aufzustellen, wenden wir den Lumping-Operator auch auf die Terme(cu, v) und (f, v) an und erhalten:

(cuh, vh) ≈ (lh(cuh), lh(v)) =

N+M∑

i=1

|Di| c(Pi)uh(Pi) vh(Pi) := ch(uh, vh)

(f, vh) ≈ (lh(f), lh(v)) =N+M∑

i=1

|Di| f(Pi) vh(Pi) := fh(vh).

Definieren wir die diskrete Bilinearform

ah(uh, vh) := ε(∇uh,∇vh) + bh(uh, vh) + ch(uh, vh),

so lautet nun das diskrete Problem:

Finde uh ∈ Vh, so dass fur alle vh ∈ Vh gilt:ah(uh, vh) = fh(vh).

(2.30)

Analog zur Upwind-Methode gilt auch hier der folgende Satz.

2.14 Satz (Inverse Monotonie der Secondary-Grid-Methode) Seien die Koeffizienten bund c von L und die rechte Seite f von (2.13) hinreichend glatt und c(x) ≥ 0, Th eine Trian-gulierung vom schwach spitzen Typ und die Wichtungsfunktion Φ(t) := 1

2 (1 + sgn t). Erfullen dieApproximationen an den Fluss (A1) und (A2), dann ist das diskrete Problem (2.30) invers monoton,d.h. die Matrix Lh des Systems ist invers monoton.


Beweis: Sei i 6= j. Dann ist zunachst ch(ϕj , ϕi) = 0. Der Term ε(∇ϕj ,∇ϕi) liefert wie bei der

Upwind-Methode keine positiven Eintrage außerhalb der Diagonalen. Wenn wir tij :=βij

2ε definieren,dann gilt fur den Konvektionsterm:

bh(ϕj , ϕi) =

N+M∑

k=1

∑

l∈Λk

βkl (1 − Φ(tkl)) (ϕj(Pl) − ϕj(Pk))ϕi(Pk)

k=i=

∑

l∈Λk

βil (1 − Φ(til)) (ϕj(Pl) − ϕj(Pi))ϕi(Pi)

i6=j=

∑

l∈Λk

βil (1 − Φ(til))ϕj(Pl)

l=j= βij (1 − Φ(tij))ϕj(Pj)

= 2εtij (1 − Φ(tij)) =

0 tij ≥ 02εtij tij < 0

≤ 0.

Somit sind alle Nichtdiagonaleintrage von Lh nicht positiv. Mit der Wahl e = (1, . . . , 1)T konnenwir wie im Satz zur inversen Monotonie der Upwind-Methode 2.11 zeigen, dass die Bedingungenvom Satz des M-Kriteriums 2.8 (iii) erfullt sind.

Auch hier gilt wie in Korollar 2.12 die L∞-Stabilitat.

2.15 Korollar Seien die Vorraussetzungen des Satzes 2.14 gegeben und zusatzlich ein majorisie-rendes Element eh ∈ Vh gegeben, fur das Lheh ≥ e0 > 0 und ‖eh‖∞,d ≤ emax mit Konstanten e0und emax unabhangig von ε und h gilt. Dann ist das diskrete Problem (2.30) gleichmaßig L∞-stabilbezuglich ε, d.h.

‖vh‖ ≤ emax

e0‖Lhvh‖∞,d.

Beweis: Wie bei der Upwind-Methode 2.12 ist auch hier das Resultat eine direkte Folgerung desSatzes 2.8 (iv).


Kapitel 3

Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-

Methode

In diesem Kapitel gehen wir wie in [RST96] vor und entwickeln die Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode und werden zeigen, dass diese Methode stabil ist. Zudem werden wir auch eineSchranke fur den globalen Fehler angeben. Diese Methode ist erstmals von Hughes und Brooks1979 [HB79] vorgestellt worden.

3.1 Einfuhrung

Die Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode (SDFEM) erhalt zwar nicht, wie die Upwind-oder die Secondary-Grid-Methode, die Eigenschaft der inversen Monotonie, dafur zeigt sie abergute Eigenschaften in Bezug auf die Stabilitat und Genauigkeit im gesamten Gebiet. Zudem kanndie Winkelbedingung, d.h. die Triangulierung vom schwach spitzen Typ, fallengelassen werden.Dies stellt einen enormen Vorteil dar.

Da sie als eine Petrov-Galerkin-Methode aufgefasst werden kann, heißt sie auch Streamline-Upwind-Petrov-Galerkin-Methode (SUPG-Methode).

Sei auch hier die schwache Formulierung der Konvektions-Diffusions-Gleichung mit homogenenDirichlet-Randdaten gegeben:

Finde u ∈ V := H10 (Ω), so dass fur alle v ∈ V gilt:

ε(∇u,∇v) + (b · ∇u, v) + (cu, v) = (f, v).(3.1)

Wie in Abschnitt 2.5.1, in dem wir die Standard-FEM fur die Konvektions-Diffusionsgleichunguntersucht haben, nehmen wir auch hier an, dass die Koeffizienten b, c und die rechte Seite fhinreichend glatt sind und c− 1

2 div b > 0 gilt. Die Triangulierung Th des Gebiets Ω sei regular unddie T ∈ Th sind in der Regel Tetraeder.

Als konformen Finite-Elemente-Raum nehmen wir den Raum, der aus stuckweise polynomiellenFunktionen vom Grad k besteht:

Vh :=vh ∈ V

∣∣ vh|T ∈ Pk(T ) ∀T ∈ Th

.

35

36 KAPITEL 3. STREAMLINE-DIFFUSION-FINITE-ELEMENTE-METHODE

Auch hier gilt die Approximationseigenschaft fur eine Interpolation uI von u ∈ Hk+1(Ω)

|u− uI |m,T ≤ Chk+1−m|u|k+1,T fur m = 0, 1, 2 ∀T ∈ Th. (3.2)

Wenden wir ein Skalierungsargument und die Aquivalenz von Normen auf endlichdimensionalenRaumen an, konnen wir die lokale Inverse-Ungleichung

‖∆vh‖0,T ≤ µinvh−1T |vh|1,T ∀ vh ∈ Vh (3.3)

mit µinv unabhangig von T und h zeigen.

Die Idee der SDFEM ist nun, dass sie gewichtete Residuen zu der Standard Galerkin-Methodeaddiert. Wir nehmen an, dass die Losung u der schwachen Formulierung (3.1) regular ist, d.h.

−ε∆u+ b · ∇u+ cu = f in L2(T ) ∀T.

Dann erfullt u auch folgende Gleichung

ah(u, vh) = fh(vh) ∀ vh ∈ Vh, (3.4)

wenn man

ah(w, v) := ε(∇w,∇v) + (b · ∇w, v) + (cw, v)

+∑

T∈Th

δT (−ε∆w + b · ∇w + cw, b · ∇v)T und (3.5)

fh(v) := (f, v) +∑

T∈Th

δT (f, b · ∇v)T (3.6)

definiert. Dabei sei (·, ·)T das L2-Skalarprodukt uber T . Der Parameter δT wird SD-Parametergenannt. Da in der Regel ∆uh 6∈ L2(Ω) ist, berechnen wir ∆uh auf jedem T getrennt. Mit (3.4) bis(3.6) ist die SDFEM wie folgt definiert:

Finde uh ∈ Vh, so dass fur alle vh ∈ Vh gilt:ah(uh, vh) = fh(vh).

(3.7)

Bevor wir diese Methode genauer untersuchen und Fehlerschranken angeben werden, wollen wirkurz auf ein Beispiel fur die SDFEM eingehen. Dazu sei die Konvektion ein konstanter Vektor imR

3, b = (b1, b2, b3), und der Reaktionsterm sei nicht vorhanden, also c = 0.Wir betrachten als diskreten Finite-Elemente-Raum Vh denjenigen Raum, der aus stuckweise linea-ren Funktionen besteht. Dadurch lautet die Bilinearform der SDFEM:

ah(uh, vh) = ε(∇uh,∇vh) + (b · ∇uh, vh) + (cuh, vh)

+∑

T∈Th

δT (−ε∆uh + b · ∇uh + cuh, b · ∇vh)T

= ε(∇uh,∇vh)

+∑

T∈Th

∫

T

δT (−ε∆uh︸︷︷︸

=0

+b · ∇uh + cuh)b · ∇vh dx+ (b · ∇uh, vh)

= ε(∇uh,∇vh) +∑

T∈Th

∫

T

δT b · ∇uhb · ∇vh dx+ (b · ∇uh, vh)

= ε(∇uh,∇vh) +∑

T∈Th

δT |b|2(∂uh

∂b,∂vh

∂b)T + (b · ∇uh, vh).

3.2. EIGENSCHAFTEN DER STREAMLINE-DIFFUSION-FINITE-ELEMENTE-METHODE 37

In der SDFEM wird also Diffusion der Große δT |b|2 in Richtung des Stromflusses addiert. Daherstammt auch der Name dieser Methode.

3.2 Eigenschaften der Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-

Methode

Es gilt die Projektionseigenschaft fur die SDFEM, d.h.

ah(u− uh, vh) = 0 ∀ vh ∈ Vh (3.8)

ist erfullt, wie wir mit (3.4) und (3.7) sehen konnen. Eine Finite-Elemente-Methode, die dieseEigenschaft hat, nennen wir auch konsistent.

Um die Eigenschaften der SDFEM zu untersuchen, benotigen wir noch die Konstanten c0 und cTmit

cT := maxx∈T

|c(x)| ∀T ∈ Th, c− 1

2div b ≥ c0 > 0 auf Ω.

Im Folgenden wollen wir den Fehler und die Stabilitat in einer Norm messen, die mit der Bilinear-form ah(·, ·) assoziiert ist. Diese Norm lautet:

|||v|||SD :=

√

ε|v|21 +∑

T∈Th

δT ‖b · ∇v‖20,T + c0‖v‖2

0,T .

Um die Stabilitatseigenschaften der SDFEM zu zeigen, benotigen wir das folgende Lemma.

3.1 Lemma Sei der SD-Parameter δT durch

0 < δT ≤ 1

2min

c0c2T,h2

T

εµ2inv

(3.9)

fur alle T ∈ Th beschrankt. Dann ist die diskrete Bilinearform ah(·, ·) Vh-elliptisch bezuglich |||·|||SD:

ah(vh, vh) ≥ 1

2|||vh|||2SD.

Beweis: Zunachst gilt fur alle vh ∈ Vh

ah(vh, vh) = ε(∇vh,∇vh) +1

2

∫

Ω

b · ∇(vh)2 dx+ (cvh, vh)

+∑

T∈Th

δT (−ε∆vh + cvh, b · ∇vh)T

≥ ε|vh|21 + c0‖vh‖20 +

∑

T∈Th

δT ‖b · ∇vh‖20,T

+∑

T∈Th

δT (−ε∆vh + cvh, b · ∇vh)T .


Fur ein Skalarprodukt gilt allgemein

(a+ b, c) ≤ ‖a‖ · ‖c‖ + ‖b‖ · ‖c‖ ≤ (‖a‖ + ‖b‖) · ‖c‖≤ 1

2(‖a‖ + ‖b‖)2 +

1

2‖c‖2 ≤ ‖a‖2 + ‖b‖2 +

1

2‖c‖2

nach der Cauchy-Schwarz- und der Young-Ungleichung. Benutzen wir zudem die Inverse-Ungleichung (3.3) und die Bedingungen (3.9) an δT , so folgt:

|∑

T∈Th

δT (−ε∆vh + cvh, b · ∇vh)T |

≤∑

T∈Th

ε2δT ‖∆vh‖20,T +

∑

T∈Th

c2T δT ‖vh‖20,T +

1

2

∑

T∈Th

δT ‖b · ∇vh‖20,T

≤ ε

2|vh|21 +

c02‖vh‖2

0 +1

2

∑

T∈Th

δT ‖b · ∇vh‖20,T .

Also ist:

ah(vh, vh) ≥ ε|vh|21 + c0‖vh‖20 +

∑

T∈Th

δT ‖b · ∇vh‖20,T

−∣∣

∑

T∈Th

δT (−ε∆vh + cvh, b · ∇vh)T∣∣

≥ 1

2

ε|vh|21 + c0‖vh‖20 +

∑

T∈Th

δT ‖b · ∇vh‖20,T

.

Dies ist die Behauptung.

Bemerkungen

1) Dieses Lemma liefert uns die a-priori Ungleichung fur die Losung uh des diskreten Problems

|||uh|||SD ≤ C(‖f‖2

0 +∑

T∈Th

δT ‖f‖20,T

)1/2.

Denn fur positive Zahlen a, b ∈ R+ gilt:

√a+

√b ≤

√

1 +√

2√a+ b = C

√a+ b. (3.10)

Wenn wir diese Ungleichung und die Aquivalenz zwischen Normen auf endlichdimensionalenRaumen benutzen, folgt mit dem obigen Lemma 3.1:


|||uh|||2SD ≤ 2ah(uh, uh) = 2fh(uh)

= 2[

f(uh) +∑

T∈Th

δT (f, b · ∇uh)T

]

≤ 2[

‖f‖0‖uh‖0 +∑

T∈Th

δT ‖f‖0,T ‖b · ∇uh‖0,T

]

≤ 2[

‖f‖0‖uh‖0+( ∑

T∈Th

δT ‖f‖20,T

)1/2(∑

T∈Th

δT ‖b · ∇uh‖20,T

)1/2]

≤ 2[

C|||uh|||SD

√

‖f‖20

︸︷︷︸

=a

+ |||uh|||SD

√√√√√

∑

T∈Th

δT ‖f‖20,T

︸︷︷︸

=b

]

(3.10)

≤ C |||uh|||SD

[

‖f‖20 +

∑

T∈Th

δT ‖f‖20,T

]1/2.

2) Zudem bekommen wir die Stabilitats-Ungleichung

|||uh|||SD ≤ 2|||Ahuh|||∗

fur den diskreten Operator Ah : Vh → V ∗h , der durch < Ah, wh >:= ah(vh, wh) ∀ vh, wh ∈ Vh

definiert ist.

3) Im Gegensatz zur Standard-FEM (s. (2.18)), bei der sich diese Konstanten fur ε → 0 wie1ε verhalten, sind die obigen Konstanten dabei unabhangig von ε. Zudem haben wir einenKontrollparameter: δT , mit dem wir zusatzliche Diffusion in Richtung der Konvektion ad-dieren. Eine Wahl dieses Parameters unter bestimmten Einschrankungen beschreiben wir imnachsten Abschnitt. Eine genauere Analyse findet sich unter anderem auch in [BHMRS99].

3.2 Lemma Seien die Voraussetzungen von Lemma 3.1 erfullt und u ∈ Hk+1(T ) mit k ≥ 1, danngilt fur den Fehler zwischen der Interpolation uI und der diskreten Losung uh:

|||uI − uh|||SD ≤ Chk

∑

T∈Th

(ε+ δT + δ−1T h2

T + h2T )|u|2k+1,T

1/2

. (3.11)

Beweis: Mit Lemma 3.1 und der Projektionseigenschaft (3.8) gilt:

1

2|||uI − uh|||2SD ≤ ah(uI − uh, u

I − uh) = ah(uI − u, uI − uh).

Nun schatzen wir jeden Term von ah(·, ·) einzeln ab und benutzen die Approximationseigenschaft(3.2). Fur den ersten Term gilt:

ε(∇(uI − u),∇(uI − uh))

≤ ε1/2 |uI − u|1 · ε1/2 |uI − uh|1≤ ε1/2 |uI − u|1 · |||uI − uh|||SD

≤ Cε1/2 hk|u|k+1 |||uI − uh|||SD.


Um den zweiten und dritten Term abzuschatzen, benotigen wir zunachst eine kleine Hilfsrechnung.Fur beliebige Funktionen η, ξ ∈ H1(Ω) mit η|∂Ω = 0 gilt:

(b · ∇ξ + cξ, η) = (div(bξ), η) − (div b, ξη) + (cξ, η)

= ((c− div b)ξ, η) +

∫

Ω

div(bξ)η dx

= ((c− div b)ξ, η) −∫

Ω

ξb · ∇η dx+

∫

∂Ω

b · νξ η︸︷︷︸

=0

dS

= ((c− div b)ξ, η) − (ξ, b · ∇η).

Somit schatzen wir den zweiten und dritten Term von ah(·, ·) ab:

(b · ∇(uI − u) + c(uI − u), uI − uh)

= ((c− div b)(uI − u), uI − uh) − (uI − u, b · ∇(uI − uh))

≤

C

∑

T∈Th

‖uI − u‖20,T

1/2

+

∑

T∈Th

δ−1T ‖uI − u‖2

0,T

1/2

|||uI − uh|||SD

≤

C

∑

T∈Th

(ChkhT |u|k+1,T )2

1/2

+

∑

T∈Th

δ−1T (ChkhT |u|k+1,T )2

1/2

· |||uI − uh|||SD

≤ Chk

∑

T∈Th

h2T (1 + δ−1

T )|u|k+1,T

1/2

|||uI − uh|||SD.

Schließlich gilt fur den letzten Term:

|∑

T∈Th

δT (−ε∆(uI − u) + b · ∇(uI − u) + c(uI − u), b · ∇(uI − uh))T |

≤∑

T∈Th

δ1/2T (ε|uI − u|2,T +C|uI − u|1,T + C|uI − u|0,T )δ

1/2T ‖b · ∇(uI − uh)‖0,T

≤ C∑

T∈Th

δ1/2T (εhk−1

T + hkT + hk+1

T )|u|k+1,T δ1/2T ‖b · ∇(uI − uh)‖0,T

≤ C

√∑

T∈Th

δT (εhk−1T + hk

T + hk+1T )2|u|2k+1,T

√∑

T∈Th

δT ‖b · ∇(uI − uh)‖20,T

≤ C|||uI − uh|||SD

√∑

T∈Th

δTh2k(εh−1

T + 1 + hT )2|u|2k+1,T

≤ C|||uI − uh|||SD hk

√∑

T∈Th

(δT ε2h−2

T + δT )|u|2k+1,T

≤ C|||uI − uh|||SD hk

√∑

T∈Th

(ε+ δT )|u|2k+1,T .

In der letzten Ungleichung haben wir die Voraussetzung (3.9) εδT ≤ Ch2T benutzt. Aus diesen drei


Ungleichungen folgt die Behauptung:


∑

T∈Th

(ε+ δT + δ−1T h2

T + h2T )|u|2k+1,T

1/2

.

Um eine gute Konvergenzrate zu bekommen, mussen wir die auftretenden Terme

ε, δT und δ−1T h2

T

balancieren. Dies machen wir, indem wir zunachst die Gitter-Peclet-Zahl (vgl. 2.5.2.2)

PeT :=‖b‖0,∞,ThT

2ε

definieren und nun fur positive Konstanten δ0 und δ1

δT :=

δ0hT , falls PeT > 1 (konvektions-dominanter Fall)

δ1h2

T

ε , falls PeT ≤ 1 (diffusions-dominanter Fall)(3.12)

setzen.

Daraus sehen wir sofort, dass δT ≤ ChT ist. Zudem gilt mit der Definition von δT und PeT , dassδ−1T h2

T ≤ C(ε+ hT ) ist. Also δT + δ−1T h2

T + h2T ≤ C(ε+ hT ).

Als Resultat bekommen wir den folgenden Satz.

3.3 Satz (Globale Fehlerabschatzung der SDFEM) Seien die Bedingungen aus Lemma 3.1erfullt und δT wie in (3.12) gegeben. Dann gilt fur die Losung uh der SDFEM folgende globaleFehlerabschatzung

|||u− uh|||SD ≤ C(ε1/2 + h1/2)hk|u|k+1. (3.13)

Beweis: Nach dem letzten Lemma 3.2 und den obigen Voruberlegungen gilt:


∑

T∈Th

(ε+ δT + δ−1T h2

T + h2T )|u|2k+1,T

1/2

≤ Chk

∑

T∈Th

(ε+ C(hT + ε))|u|2k+1,T

1/2

≤ Chk(ε+ h)1/2|u|k+1

≤ C(ε1/2 + h1/2)hk|u|k+1.

Mit der Approximationseigenschaft (3.2) ergibt sich aus der Untersuchung der SD-Norm:

|||u− uI |||SD ≤ C(ε1/2 + h1/2)hk|u|k+1.


Denn:

|||u− uI |||2SD = ε|u− uI |21 +∑

T∈Th

δT ‖b · ∇(u− uI)‖20,T + c0‖u− uI‖2

0,T

≤ ε(Chk|u|k+1)2 +

∑

T∈Th

‖b‖2∞ δT

︸︷︷︸

≤ChT

(ChkT |u|k+1,T )2 + c0(Ch

k+1T |u|k+1,T )2

≤ C

εh2k|u|2k+1 +∑

T∈Th

(h2k+1T + h2k+2

T )|u|2k+1,T

≤ C(ε+ h)h2k|u|2k+1.

Also insgesamt:

|||u− uh|||SD = |||uI − uh + u− uI |||SD ≤ |||uI − uh|||SD + |||u− uI |||SD

≤ C(ε1/2 + h1/2)hk|u|k+1.

Bemerkungen

1) Die SDFEM kann auch als eine Galerkin-Petrov-FEM gesehen werden, wenn als Testfunktio-nen auf jedem Tetraeder die Funktionen v + δT b · ∇v gewahlt werden.

2) Wie wir oben gesehen haben, fallt der Term∑

T∈ThεδT (∆uh, b · ∇vh) in der Bilinearform

ah(uh, vh) weg, wenn lineare Finite-Elemente benutzt werden. Daher kann der Parameter δTauf die obere Schranke 0 < δT ≤ c0

c2T

reduziert werden. Somit hangt er nicht mehr von µinv

ab.

3) Die Wahl des Parameters δT ist in vielen Arbeiten untersucht worden. Unter anderem kannversucht werden, mit ihm notwendige Bedingungen fur die gleichmaßige Konvergenz bezuglichε zu erfullen.

3.3 Wahl des SD-Parameters

Das Ziel dieses Abschnitts ist es, eine moglichst gute Wahl fur den SD-Parameter δT anzugeben.Da dies im Allgemeinen nicht moglich ist, geben wir hier eine Moglichkeit der Wahl unter Ein-schrankungen an. Diese Restriktion lautet: b und f sind stuckweise konstant und c ist identisch Null.

Als diskreten Raum Vh wahlen wir den Raum der stuckweise linearen Funktionen. Damit ist furvh ∈ Vh auch ∆vh auf einem T definiert und es gilt: ∆vh = 0.

Nun zeigen wir zunachst, dass die SDFEM aquivalent zu der Galerkin-Methode ist, wenn wir denFinite-Elemente-Raum mit so genannten Bubble-Funktionen erweitern. Sei dafur auf jedem ElementT ∈ Th eine Funktion bT fest gegeben. Diese werden wir im Folgenden noch naher spezifizieren. DerRaum der Bubble-Funktionen sei dann durch

Bh := spanbT ∈ H1

0 (T )∣∣ T ∈ Th

3.3. WAHL DES SD-PARAMETERS 43

definiert. Die Standard-Galerkin-FEM auf dem Raum Vh ⊕Bh lautet nun:

Finde uh ∈ Vh ⊕Bh, so dass fur alle vh ∈ Vh ⊕Bh gilt:ε(∇uh,∇vh) + (b · ∇uh, vh) = (f, vh).

(3.14)

Um das Gleichungssystem aufzustellen, zerlegen wir die Losung in uh = uL + uB mit uL ∈ Vh unduB ∈ Bh und benutzen als Testfunktionen vh = vL ∈ Vh und vh = bT . Somit liest sich (3.14) wiefolgt:

Finde uL ∈ Vh und uB ∈ Bh, so dass fur alle vL ∈ Vh und alle vB ∈ Bh gilt:

ε(∇(uL + uB),∇vL) + (b · ∇(uL + uB), vL) = (f, vL) (3.15)

ε(∇(uL + uB),∇vB) + (b · ∇(uL + uB), vB) = (f, vB). (3.16)

Setzen wir

uB =∑

T∈Th

dT bT ,

wobei dT die Unbekannten seien, so ist die Gleichung (3.16) aquivalent zu:

Fur gegebenes uL ∈ Vh, findedT ∈ R

∣∣ T ∈ Th

, so dass fur alle T ∈ Th gilt:

ε(∇(uL + dT bT ),∇bT )T + (b · ∇(uL + dT bT ), bT )T = (f, bT )T .

(3.17)

Da uL|T ∈ P1 und bT ∈ H10 (T ) liegen, sehen wir mit partieller Integration, dass

ε(∇uL,∇bT )T = −ε(∆uL, bT )T + < ε∂uL

∂ν, bT >∂T = 0

und mit b stuckweise konstant

dT (b · ∇bT , bT )T =dT

2

∫

T

b · ∇(bT )2 dx

=dT

2

−∫

T

div(b)︸︷︷︸

=0

b2T dx+

∫

∂T

b · ν b2T︸︷︷︸

=0

dS

= 0

gilt. Damit konnen wir dT aus (3.17) bestimmen und erhalten:

dT ε |bT |21,T + (b · ∇uL − f︸︷︷︸

const

, bT )T = 0 ⇒ dT =(1, bT )Tε|bT |21,T

(f − b · ∇uL)|T . (3.18)

Wie oben gilt mit partieller Integration und Benutzung der Voraussetzungen: ε(∇uB ,∇vL) = 0.Daher lasst sich (3.15) vereinfachen zu

ε(∇uL,∇vL) + (b · ∇uL, vL) +∑

T∈Th

dT (b · ∇bT , vL)T

︸︷︷︸

(∗)

= (f, vL).


Der Term (∗) kommt nicht in der Standard-Galerkin-FEM vor, wenn man nur den Raum Vh benutzt.Man kann ihn zu

∑

T∈Th

dT (b · ∇bT , vL)T =∑

T∈Th

−dT (b · ∇vL, bT )T + dT < vL ν · b, bT >∂T

= −∑

T∈Th

dT (b · ∇vL, bT )T

= −∑

T∈Th

(1, bT )Tε|bT |21,T

(f − b · ∇uL)|T (b · ∇vL, bT )T

= −∑

T∈Th

|(1, bT )T |2ε|bT |21,T

[(f − b · ∇uL)(b · ∇vL)]|T

= −∑

T∈Th

|(1, bT )T |2ε|bT |21,T

1

|T |(f − b · ∇uL, b · ∇vL)T

=∑

T∈Th

γT (b · ∇uL − f, b · ∇vL)T

reduzieren mit

γT :=1

|T ||(1, bT )T |2ε|bT |21,T

. (3.19)

Aus (3.14) leitet sich nun folgende Formel ab:

ε(∇uL,∇vL) + (b · ∇uL, vL) +∑

T∈Th

γT (b · ∇uL, b · ∇vL)T

= (f, vL) +∑

T∈Th

γT (f,∇vL)T

Diese Gleichung ist die uns bekannte Gleichung fur die SDFEM mit dem SD-Parameter δT = γT .In dieser Gleichung fließt die Wahl der Bubble-Funktionen nur in den Wert des Parameters γT ein.

Eine Moglichkeit der Wahl der Bubble-Funktionen wird kurz in [RST96] wiedergegeben. Einegenauere Beschreibung findet sich u.a. in [BHMRS99].

Sie beruht auf der Untersuchung des Fehlers eh := u − uL − uB . In unserem Setting lautet dieBilinearform a : H1

0 (Ω) ×H10 (Ω) → R folgendermaßen:

a(v,w) := ε(∇v,∇w) + (b · ∇v,w).

Setzen wir den Fehler in diese Bilinearform ein und nehmen an, dass ∆bT |T ∀ bT ∈ BT existiert, so

3.4. AUSBLICK 45

gilt fur alle w ∈ H10 (Ω):

a(eh, w) =∑

T∈Th

ε(∇u,∇w)T + (b · ∇u,w)T − ε(∇(uL + uB),∇w)T

−(b · ∇(uL + uB), w)T

=∑

T∈Th

(f,w)T + ε(∆(uL + uB), w)T − (b · ∇(uL + uB), w)T

−ε < ∂

∂ν(uL + uB), w >∂T

=∑

T∈Th

(f − b · ∇uL − dT (−ε∆bT + b · ∇bT ), w)T

−ε < ∂uL

∂ν+ dT

∂bT∂ν

,w >∂T .

Der erste Term in der Summe (·, ·)T heißt inneres Residuum auf T . Wenn wir die Definition der dT

aus (3.18) benutzen, um f − b · ∇uL|T zu eliminieren, erhalten wir fur das innere Residuum:

(f − b · ∇uL − dT (−ε∆bT + b · ∇bT ), w)T = −dT (−ε∆bT + b · ∇bT −ε|bT |21,T

(1, bT )T, w)T .

Dieses Residuum wollen wir nach Moglichkeit verschwinden lassen. Wahlen wir als Bubble-Funktionen bT gerade die Losung von

−ε∆bT + b · ∇bT = 1 in TbT = 0 auf ∂T,

so sehen wir nach Multiplikation mit bT und partieller Integration, dass

ε|bT |21,T = (1, bT )T

gilt. Damit verschwindet das innere Residuum, welches einen Teil des Fehlers darstellt. Deshalbscheint es sinnvoll zu sein, diese Bubble-Funktionen zu wahlen. Der Parameter γT wird mit (3.19)zu

γT =1

T(1, bT )T .

Das Problem hierbei lautet: Diese Bubble-Funktionen konnen zwar im eindimensionalen Fallberechnet werden, in hoher dimensionalen Raumen mussen sie allerdings approximiert werden.

Zudem ist diese Methode nicht trivial auf allgemeine Koeffizienten der Konvektions-Diffusions-Gleichung erweiterbar.

3.4 Ausblick

In [JMST97] wird eine nichtkonforme Erweiterung der Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode hergeleitet, wodurch sich die Stabilitat der diskreten Losung und die Konvergenzeigen-schaften weiter verbessern.Dazu wird die Stetigkeitsbedingung zwischen den Elementen der Triangulierung fallengelassen unddurch eine Bedingung an den Jump zwischen zwei Elementen ersetzt. Zudem werden bei der Auf-stellung des diskreten Problems diese Jump-Terme mitberucksichtigt.


Kapitel 4

Galerkin-Least-Squares-Finite-

Elemente-Methode

Auch in diesem Kapitel gehen wir nach [RST96] vor. Wir werden die Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode (GLSFEM) einfuhren, untersuchen und danach kurz erweitern.

4.1 Einfuhrung

Wie wir oben gesehen haben, sind zwei wichtige Eigenschaften der Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode die Folgenden:

1) Die Standard-Galerkin-Finite-Elemente-Methode wurde um Terme erweitert, die die Residu-en der ursprunglichen partiellen Differentialgleichung auf jedem Element der Triangulierungdarstellen.

2) Diese Methode ist konsistent, d.h. ah(u− uh, vh) = 0 fur alle vh ∈ Vh. Dies ist nicht bei allenMethoden der Fall.

Diese Eigenschaften werden von der Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode aufgegriffen;wahrend die Galerkin-Methode nur auf Elemente, die in C0(Ω) liegen, angewendet werden kann,kann die GLSFEM auf eine großere Problemklasse zugreifen.

Diese Methode soll hier auf die Konvektions-Diffusionsgleichung mit homogenen Randdaten

Lu := −ε∆u+ b · ∇u+ cu = f in Ωu = 0 auf ∂Ω

(4.1)

angewendet werden. Da wir eine diskrete Naherungslosung dieser Differentialgleichung suchen,schreiben wir dies zunachst als ein Minimierungsproblem. Weil hier auch zweite Ableitungen auf-treten, sei der endlichdimensionale Raum Wh ⊂ H2(Ω), dessen Elemente wh die Randbedingungwh|∂Ω = 0 erfullen.

‖Luh − f‖20 = min

vh∈Wh

‖Lvh − f‖20. (4.2)

Dieses Problem konnen wir aquivalent umformulieren zu

Finde uh ∈Wh, so dass fur alle vh ∈Wh gilt(Luh − f, Lvh) = 0.

(4.3)

47

48 KAPITEL 4. GALERKIN-LEAST-SQUARES-FINITE-ELEMENTE-METHODE

Denn:,,(4.3) ⇒ (4.2)”: Sei ein uh ∈ Wh gefunden, so dass ∀ vh ∈ Wh gilt: (Luh − f, Lvh) = 0. Dann giltauch fur alle vh ∈Wh:

‖L(uh + vh) − f‖20 =

∫

Ω

(L(uh + vh) − f)2 dx

=

∫

Ω

((Luh − f) + Lvh)2 dx

=

∫

Ω

(Luh − f)2 dx+

∫

Ω

2(Luh − f)Lvh dx

︸︷︷︸

=0

+

∫

Ω

(Lvh)2 dx

=

∫

Ω

(Luh − f)2 dx+

∫

Ω

(Lvh)2 dx

︸︷︷︸

≥0

≥∫

Ω

(Luh − f)2 dx.

Also ist ‖Luh − f‖20 ≤ ‖L(uh + vh) − f‖2

0 fur alle vh ∈Wh. Damit folgt dann (4.2).

,,(4.2) ⇒ (4.3)”: Zunachst einige Notationen. Definiere

L : R × Rn × R → R, (w, p, z) 7→ −εw + b · p+ cz,

dann ist

L(∆u,∇u, u) = Lu ∀u ∈ H2(Ω)

und weiter sind die Ableitungen:

Lw = −ε, Lpi= bi, Lz = c.

Betrachten wir nun unser Minimierungsproblem (4.2) und haben davon eine Losung uh ∈ Wh

gefunden, dann definieren wir uns die Abbildung

i(t) := ‖L(uh − tvh) − f‖20,

fur die gilt:

(4.2) ist erfullt =⇒ i′(0) = 0 ∀ vh ∈Wh.

4.1. EINFUHRUNG 49

Dies impliziert nun die folgende Rechnung fur alle vh ∈Wh:

0 =

∫

Ω

d

dt(L(uh + tvh) − f)2 dx

∣∣∣∣t=0

=

∫

Ω

d

dt

(

L(∆uh + t∆vh,∇uh + t∇vh, uh + tvh) − f)2dx

∣∣∣∣t=0

=

∫

Ω

2 · (L(uh + tvh) − f) ·

(

Lw(. . . )︸︷︷︸

=−ε

∆vh +

n∑

i=1

Lpi(. . . )

︸︷︷︸

=bi

(vh)xi+ Lz(. . . )

︸︷︷︸

=c

vh

)

dx

∣∣∣∣t=0

=

∫

Ω

2 · (L(uh + tvh) − f) ·(

−ε∆vh + b · ∇vh + cvh︸︷︷︸

=Lvh

)

dx

∣∣∣∣t=0

t=0=

∫

Ω

2(Luh − f) · Lvh dx.

Somit ist∫

Ω(Luh − f) · Lvh dx = 0 fur alle vh ∈Wh, was (4.3) ist.

Diese Formulierung (4.3) des Problems hat Nach- und Vorteile:

Nachteile

• Da wir von einem endlichdimensionalen Raum Wh ⊂ H2(Ω) ausgegangen sind, benotigenwir C1-Elemente, wenn wir stuckweise Polynome benutzen. Diese sind fur eine allgemeineTriangulierung nicht leicht zu finden.

• Die Konditionszahl der Matrix, die sich aus (4.3) ergibt, ist viel großer als die der Standard-Galerkin-FEM.

Vorteile

• Die Least-Squares-Methode hat keine eingeschrankten Stabilitatseigenschaften wie dieStandard-Galerkin-FEM im singular gestorten Fall (vgl. (2.23)).

• Die resultierende Matrix ist symmetrisch, positiv definit.

Wir wollen die Vorteile der Galerkin- und der Least-Squares-Methode benutzen. Als Residuum derursprunglichen Gleichung (4.1) nehmen wir:

∑

T∈Th

δT (Luh − f, Lvh)T . (4.4)

Durch die Definition als Summe uber alle Elemente aus der Triangulierung erreichen wir,dass wir lediglich innerhalb eines T ∈ Th H2-Elemente benotigen. Somit konnen wir weiterhinden endlichdimensionalen Teilraum Vh ⊂ H1

0 (Ω) benutzen, der aus stuckweisen Polynomen besteht.


Die Idee der Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode ist nun, dass wir zu der Standard-Galerkin-Methode dieses Residuum (4.4) addieren. Wir erhalten also:

Finde uh ∈ Vh, so dass fur alle vh ∈ Vh gilt:

ε(∇uh,∇vh) + (b · ∇uh + cu, vh) +∑

T∈Th

δT (Luh, Lvh)T

= (f, vh) +∑

T∈Th

δT (f, Lvh)T .

(4.5)

Bemerkung Dieses Konzept lasst sich noch erweitern, indem man statt des Terms (4.4) einenallgemeineren in (4.5) setzt, wie z.B.

∑

T∈ThδT (Luh − f, ψ(vh))T . Durch geschickte Wahl von ψ

wurden wir auch wieder die SDFEM bekommen.

4.2 Eigenschaften der Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-

Methode

Auch diese Methode wollen wir hier untersuchen. Dazu seien b, c und f hinreichend glatteFunktionen, und c− 1

2 div b ≥ c0 ≥ c0 > 0 gegeben. Die Triangulierung sei wieder regular.

Wir fuhren wie vorher einige Notationen ein. Der endlichdimensionale Teilraum Vh soll aus stuck-weisen Polynomen vom Grad k ≥ 1 bestehen, d.h.

Vh :=vh ∈ Vh

∣∣ vh|T ∈ Pk(T ) ∀T ∈ Th)

.

Die Bilinearform, die zu dieser Methode gehort, lasst sich direkt aus (4.5) ablesen

ah(w, v) := ε(∇w,∇v) + (b · ∇w + cw, v) +∑

T∈Th

δT (Lw,Lv)T ,

sowie das lineare Funktional

fh(v) := (f, v) +∑

T∈Th

δT (f, Lv)T .

Der Parameter δT heißt analog zur SDFEM auch GLS-Parameter.

Die Norm, in der wir unsere Untersuchungen durchfuhren wollen, sei die zu ah(·, ·) assoziierte Norm:

|||vh|||GLS :=(

ε|vh|21 + c0‖vh‖20 +

∑

T∈Th

δT ‖Lvh‖20,T

)1/2.

Umgangssprachlich wollen wir nun zunachst zeigen, dass die GLSFEM ,,stabiler” als die Standard-Galerkin-Methode ist. D.h., auch hier ist wie bei der SDFEM (vgl. Bemerkung nach Lemma 3.1)die ,,Stabilitatskonstante” unabhangig von 1

ε .

4.1 Lemma Sei der GLS-Parameter δT positiv. Dann ist die diskrete Bilinearform ah(·, ·) Vh-elliptisch bezuglich der Norm ||| · |||GLS, d.h.

ah(vh, vh) ≥ |||vh|||2GLS ∀ vh ∈ Vh

und das lineare Funktional fh(·) ist stetig auf Vh, d.h.

|fh(vh)| ≤ C(

‖f‖0+( ∑

T∈Th

δT ‖f‖20,T

)1/2)

|||vh|||GLS ∀ vh ∈ Vh.

4.2. EIGENSCHAFTEN DER GALERKIN-LEAST-SQUARES-FINITE-ELEMENTE-METHODE 51

Beweis: Fur alle vh ∈ Vh gilt:

ah(vh, vh) = ε|vh|21 +

∫

Ω

(b · ∇vh + cvh)vh dx +∑

T∈Th

δT ‖Lvh‖20,T

= ε|vh|21 +

∫

Ω

1

2b · ∇(vh)2 + cv2

h dx +∑

T∈Th

δT ‖Lvh‖20,T

= ε|vh|21 +

∫

Ω

−1

2div(b)v2

h + cv2h dx +

∑

T∈Th

δT ‖Lvh‖20,T

≥ ε|vh|21 + c0‖vh‖0 +∑

T∈Th

δT ‖Lvh‖20,T = |||vh|||2GLS

und

|fh(vh)| ≤ ‖f‖0‖vh‖0 +∑

T∈Th

δT ‖f‖0,T ‖Lvh‖0,T

≤ ‖f‖0‖vh‖0 + (∑

T∈Th

δT ‖f‖20,T )1/2(

∑

T∈Th

δT ‖Lvh‖20,T )1/2

≤ C

‖f‖0 + (∑

T∈Th

δT ‖f‖20,T )1/2

|||vh|||GLS.

Bemerkung

1) Wie bei der Streamline-Diffusion-FEM (vgl. Lemma 3.1) konnen wir mit diesem Lemma dieerste a-priori Schranke fur die Losung uh angeben:

|||uh|||GLS ≤ C

‖f‖0 +( ∑

T∈Th

δT ‖f‖20,T

)1/2

.

2) Zudem gilt die folgende Stabilitatsungleichung:

|||uh|||GLS ≤ |||Ahuh|||∗ ∀uh ∈ Vh,

mit dem diskreten Operator Ah : Vh → V ∗h , der durch < Ahvh, wh >:= ah(vh, wh) ∀ vh, wh ∈

Vh definiert ist, und ||| · |||∗ die assoziierte Norm im Dualraum V ∗h bezuglich ||| · |||GLS ist.

Falls wir Schranken an δT legen, konnen wir die GLSFEM benutzen, um die Ableitungen in Richtungdes Stromflusses zu kontrollieren. Sei dafur die Gitter-abhangige Norm

|||vh|||SDGLS := (|||vh|||2SD +∑

T∈Th

δT ‖cvh − ε∆vh‖20,T )1/2

gegeben. Die Norm ||| · |||SD ist aus Abschnitt 3.2 bekannt.


4.2 Lemma Erfulle der GLS-Parameter δT die Ungleichung

0 < δT <1

8min c0

c2T,h2

T

εµ2inv

(4.6)

mit µinv der Konstanten aus der lokalen Inverse-Ungleichung (3.3) und cT := maxx∈T |c(x)|. Dannist die diskrete Bilinearform ah(·, ·) Vh-elliptisch bezuglich ||| · |||SDGLS, d.h.

ah(vh, vh) ≥ 1

2|||vh|||2SDGLS ∀ vh ∈ Vh,

und die a-priori Abschatzung

|||uh|||SDGLS ≤ 2‖f‖0 + 4(∑

T∈Th

δT ‖f‖20,T )1/2

gilt.

Beweis: Es gilt fur alle vh ∈ Vh:

ah(vh, vh) = ε|vh|21 + (c− 1

2div b, v2

h) +∑

T∈Th

δT

∫

T

(b · ∇vh + (cvh − ε∆vh))2 dx

= ε|vh|21 + (c− 1

2div b, v2

h) +∑

T∈Th

δT ‖b · ∇vh‖20,T

+∑

T∈Th

δT ‖cvh − ε∆vh‖20,T + 2

∑

T∈Th

δT (cvh − ε∆vh, b · ∇vh)

≥ |||vh|||2SDGLS + 2∑

T∈Th

δT (cvh − ε∆vh, b · ∇vh)

= −|||vh|||2SDGLS

∑

T∈Th

∫

T

2√

2 δT (ε∆vh − cvh)

√

δT2

(b · ∇vh) dx

≥ −|||vh|||2SDGLS

∑

T∈Th

2δT ‖ε∆vh − cvh‖20,T +

δT2‖b · ∇vh‖2

0,T

≥ |||vh|||2SDGLS −∑

T∈Th

δT2‖b · ∇vh‖2

0,T − 4∑

T∈Th

δT (‖cvh‖20,T + ‖ε∆vh‖2

0,T ).

Mit der lokalen Inverse-Ungleichung ‖∆vh‖0,T ≤ µinvh−1T |vh|1,T und der Schranke an δT (4.6) er-

halten wir:

ah(vh, vh) ≥ |||vh|||SDGLS −∑

T∈Th

δT2‖b · ∇vh‖2

0,T

−∑

T∈Th

4δT c2T ‖vh‖2

0,T −∑

T∈Th

4εµ2invh

−2T |vh|21

≥ |||vh|||SDGLS −∑

T∈Th

δT2‖b · ∇vh‖2

0,T − c02‖vh‖2

0 −ε

2|vh|21

= |||vh|||SDGLS − 1

2|||vh|||SD ≥ 1

2|||vh|||SDGLS.

Wie bei der SDFEM erhalten wir auch hier die a-priori Abschatzung.

Fur den globalen Fehler und damit auch fur die Konvergenzeigenschaften der GLSFEM gilt:

4.2. EIGENSCHAFTEN DER GALERKIN-LEAST-SQUARES-FINITE-ELEMENTE-METHODE 53

4.3 Satz (Globale Fehlerabschatzung der GLSFEM) Sei u ∈ H10 (Ω) ∩ Hk+1(Ω) mit k ≥ 1

und der GLS-Parameter δT sei positiv. Dann gilt fur die Losung uh der GLSFEM (4.5) die globaleFehlerabschatzung

|||uI − uh|||GLS ≤ Chk

∑

T∈Th

λ(ε, δT , hT )|u|2k+1

1/2

,

wobei λ gegeben ist durch

λ(ε, δT , hT ) := ε+ ε2δTh−2T + δT + h2

T + δ−1T h2

T .

Beweis: Da die Losung in Hk+1(Ω) ∩ H10 (Ω) liegt, ist ah(u, vh) = fh(vh) fur alle Testfunktionen

vh ∈ Vh. Ist uI der Interpolant von u, so gilt aus der Vh-Elliptizitat von ah(·, ·):|||uI − u|||2GLS ≤ ah(uI − uh, u

I − uh)

= ah(uI − u, uI − uh) + ah(uh, uI − uh) − ah(u, uI − uh)

︸︷︷︸

=0

= ah(uI − u, uI − uh)

= ε(∇(uI − u),∇(uI − uh)) + (b · ∇(uI − u) + c(uI − uh), uI − uh)

+∑

T∈Th

δT (L(uI − u), L(uI − uh)).

Wir untersuchen nun jeden Term auf der rechten Seite separat, indem wir die Interpolationseigen-schaft (3.2) anwenden:

|ε(∇(uI − u),∇(uI − uh))T | ≤ ε1/2‖∇(uI − u)‖0,T ε1/2‖∇(uI − uh)‖0,T

≤ Cε1/2hk|u|k+1,T ε1/2‖∇(uI − uh)‖0,T .

Summieren wir uber alle T ∈ Th, so erhalten wir:∣∣ ε(∇(uI − u),∇(uI − uh))

∣∣≤ Cε1/2hk|u|k+1|||uI − uh|||GLS.

Weiter gilt mit (a+ b)2 ≤ 2a2 + 2b2 ∀ a, b ∈ R:∑

T∈Th

δT (L(uI − u), L(uI − uh)T )

≤∑

T∈Th

δT ‖L(uI − u)‖0,T ‖L(uI − uh)‖0,T

≤

∑

T∈Th

δT ‖L(uI − u)‖20,T

1/2

|||uI − uh|||GLS

≤ C

∑

T∈Th

δT (ε2|uI − u|22,T + C|uI − u|21,T + C‖uI − u‖20,T )

1/2

·|||uI − uh|||GLS

≤ C

∑

T∈Th

δT (ε2h2(k−1)T + h2k

T + h2(k+1)T )|u|2k+1,T

1/2

|||uI − uh|||GLS

≤ Chk

∑

T∈Th

δT (ε2h−2T + 1 + h2

T )

1/2

|u|k+1|||uI − uh|||GLS


und

∣∣ (c(uI − u), uI − uh)

∣∣ ≤ ‖c(uI − u)‖0‖uI − uh‖0

≤ C

∑

T∈Th

‖c(uI − u)‖20,T

1/2

|||uI − uh|||GLS

≤ C

∑

T∈Th

h2k+2T |u|2k+1,T

1/2

|||uI − uh|||GLS

≤ Chk

∑

T∈Th

h2T |u|2k+1,T

1/2

|||uI − uh|||GLS.

Nun mussen wir noch den Term (b · ∇(uI − u), uI − uh) abschatzen. Wenn wir ihn gegenChk|u|k+1|||uI − uh|||GLS abschatzen, konnen wir keine extra Potenz von h im konvektions-dominanten Fall, d.h. ε ≤ h, unterbringen, daher integrieren wir zuerst partiell und erganzenden Term, so dass wir L(uI − uh) bekommen:

−(b · ∇(uI − u), uI − uh)

= (uI − u, b · ∇(uI − uh)) + (uI − uh, (div b)(uI − uh))

=∑

T∈Th

(uI − u,L(uI − uh))T +∑

T∈Th

(uI − u, (div b− c)(uI − uh))T

+∑

T∈Th

(uI − u, ε∆(uI − uh))T .

Diese drei Terme der rechten Seite konnen wir wie folgt abschatzen:

1) Fur den Term∑

T∈Th(uI − u,L(uI − uh))T gilt:

|∑

T∈Th

(uI − u,L(uI − uh))T |

≤∑

T∈Th

δ−1/2T ‖uI − u‖0,T δ

1/2T ‖L(uI − uh)‖0,T

≤ C

∑

T∈Th

δ−1T h2k+2

T |u|2k+1,T

1/2

|||uI − uh|||GLS

≤ Chk

∑

T∈Th

δ−1T h2

T |u|2k+1,T

1/2

|||uI − uh|||GLS.

2) Beim Term∑

T∈Th(uI − u, (div b− c)(uI − uh))T rechnen wir:

|∑

T∈Th

(uI − u, (div b− c)(uI − uh))T |

≤ C

∑

T∈Th

h2k+2T |u|2k+1,T

1/2

|||uI − uh|||GLS.

4.3. DIE UNSTETIGE GALERKIN-FINITE-ELEMENTE-METHODE 55

3) Fur den dritten Term benotigen wir noch die lokale Inverse-Ungleichung (3.3):

∑

T∈Th

(uI − u, ε∆(uI − uh))T

≤ C∑

T∈Th

hk+1T |u|k+1,T ε µinvh

−1T |uI − uh|1,T

≤ Cε1/2hk|u|k+1|||uI − uh|||GLS.

Alle Ungleichungen zusammen liefern uns das gewunschte Resultat:

|||uI − uh|||GLS ≤ Chk

∑

T∈Th

(ε+ ε2δTh−2T + δT + h2

T + δ−1T h2

T )|u|2k+1,T

1/2

.

Bemerkung Der Ausdruck λ(ε, δT , hT ) aus diesem Satz wird mit

δT ≈ hT√

1 +(

εhT

)2

minimiert, daher ist die Wahl

δT = δ0hT

√

1 +(

εhT

)2(4.7)

mit einem freien Parameter δ0 sinnvoll und wir erhalten als Abschatzung

|||uI − uh|||GLS ≤ C(ε1/2 + h1/2)hk|u|k+1. (4.8)

Wie bei der SDFEM ist hier zum einen fur ε → 0 wieder δT ≈ ChT und zum anderen ist wie imBeweis von Satz 3.3

|||u− uh|||GLS ≤ |||u− uI |||GLS + |||uI − uh|||GLS ≤ C(ε1/2 + h1/2)hk|u|k+1.

4.3 Die unstetige Galerkin-Finite-Elemente-Methode

Die unstetige Galerkin-Finite-Elemente-Methode wurde fur die Differentialgleichungen mit ε =0 entwickelt. Deshalb versuchen wir sie auf den konvektions-dominanten Fall, also 0 < ε ≪ 1,anzuwenden. Dies machen wir an dem Modellproblem

−ε∆u+ b · ∇u = f in Ω ⊂ R3

u = g auf ∂Ω(4.9)

fest, wobei b = (b1, b2, b3) ein konstanter Einheitsvektor ist, der die Richtung der Stromung angibt.Sei weiter das Gebiet Ω in Tetraeder T zerlegt, so dass die Triangulierung Th regular und der Durch-messer der Tetraeder durch h beschrankt ist. Die Seiten der Tetraeder seien zudem nicht entlang derStromungsrichtung, d.h. es existiert ein Parameter β > 0, so dass |b·νT | ≥ β fur alle Tetraeder T ist.


Wir betrachten zunachst das reduzierte Problem von (4.9), also:

b · ∇u = f in Ωu = g auf ∂−Ω.

(4.10)

Dabei ist ∂−Ω :=x ∈ ∂Ω

∣∣ b · νΩ(x) < 0

der Teil des Randes, durch den die Stromung in das

Gebiet Ω fließt (νΩ(x) sei der außere Einheitsnormalenvektor im Punkt x an den Rand von Ω).Weiter definieren wir auf dem Teilrand ∂−T jedes Tetraeders die stromaufwarts bzw. stromabwartsGrenzen u± wie folgt:

u±(P ) := limt→±0

u(P ± tb) fur P ∈ ∂−T.

Die Approximation der Losung u von (4.10) suchen wir im Raum der stuckweise polynomiellenFunktionen vom Grad k ≥ 0 auf jedem Tetraeder T . Somit lautet unser diskretes Problem aufjedem Tetraeder:

Finde uh ∈ Pk(T ), so dass fur alle vh ∈ Pk(T ) gilt:(b · ∇uh, vh)T −

∫

∂−T (u+h − u−h )b · νT vh dS = (f, vh).

(4.11)

Falls ∂−T ⊂ ∂−Ω ist, nehmen wir u−h als die Interpolation des gegebenen g. Andernfalls berechnenwir fur u−h die Werte des Ausflusses aus dem adjazenten stromaufwartsgerichteten Tetraeder. Aufdiese Weise haben wir sichergestellt, dass u−h auf dem Rand, in dem die Stromung in das Tetraederfließt, nur von Tetraedern abhangt, die stromaufwarts liegen. Da die Stromung b konstant ist,konnen wir die Tetraeder so anordnen, dass nur Tetraeder mit kleinerer Nummer und ∂−Ω in dieseBerechnung eingehen (vgl. [LR74]). Somit ist die stuckweise definierte polynomielle Approximationuh auf Ω eindeutig definiert, falls uh auf jedem Tetraeder durch (4.11) bestimmt wird.

In [RST96] wird gezeigt, dass das Problem (4.11) eine eindeutige Losung hat.

Wir sehen, dass die Stetigkeitsbedingung an das uh wie in der GLSFEM fallengelassen wird, indemwir nur nach Losungen suchen, die Polynome auf jedem Tetraeder sind. Daher stammt auch derName dieser Methode.

Nun konnen wir uh Tetraeder fur Tetraeder bestimmen.

Liegen die Losungen des reduzierten Problems (4.10) inHk+1(Ω), so haben Johnson und Pitkaranta[JP86] folgende Fehlerabschatzung bewiesen:

‖u− uh‖0,Ω ≤ Chk+1/2‖u‖k+1,Ω.

Wollen wir diese Methode auf den Fall ausweiten, in dem auch Diffusion vorliegt, nehmen wir an,dass

ε

(∂uh

∂ν

)+

= ε

(∂uh

∂ν

)−

auf allen inneren Kanten der Triangulierung im schwachen Sinne gilt. Dies liefert uns dann diefolgende Methode:

Fur jedes Tetraeder T , das passend nach der Stromungsrichtung bnummeriert ist, finde ein uh ∈ Pk(T ), so dass fur alle vh ∈ Pk(T ) gilt:

(−ε∆uh + b · ∇uh, vh)T + ε∫

∂∗

−T

((∂uh

∂ν

)+−

(∂uh

∂ν

)−)

vh dS

−∫

∂−T (u+h − u−h )b · νT vh dS = (f, vh)T ,

(4.12)

4.3. DIE UNSTETIGE GALERKIN-FINITE-ELEMENTE-METHODE 57

wobei ∂∗−T die Seiten von ∂−T sind, die nicht zu ∂−Ω gehoren. Auch hier kann man zeigen, dassdieses Problem (4.12) eine eindeutige Losung uh besitzt.

In [Ri92] wird der folgende Satz bewiesen:

4.4 Satz Seien die Tetraederflachen nicht parallel zur Stromungsrichtung, d.h. |b · νT | ≥ β > 0fur alle T ∈ Th und alle h. Dann existiert eine positive Konstante M , so dass fur alle ε ≤ Mh diefolgende Fehlerabschatzung gilt:

‖(uh − u)−‖0,∂+Ω + ‖uh − u‖0,Ω ≤ Chk+1/2‖u‖k+1,Ω

und

∑

T∈Th

‖b · ∇(uh − u)‖20,T

1/2

≤ Chk‖u‖k+1,Ω.


Kapitel 5

Implementierung der Methoden mit

DROPS

In diesem Kapitel werden wir auf die Implementierung der Streamline-Diffusion- und Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode mit dem Programmpaket DROPS eingehen, das amInstitut fur Geometrie und Praktische Mathematik der RWTH-Aachen entwickelt wird.

Dabei beschreiben wir zum einen, wie die Methoden implementiert wurden und zum anderen, wieman eine Konvektions-Diffusions-Gleichung mit diesem Paket numerisch losen kann.

In diesem Kapitel betrachten wir nur Dirichlet-Randdaten.

5.1 Aufbau des Programms

Wie auch im theoretischen Teil werden wir uns hier nur mit den stuckweise linearen Finiten-Elementen beschaftigen.

5.1.1 Klassendefinitionen

Aus dem Programmpaket DROPS benutzen wir bereits implementierte Klassen, die wir an dieserStelle nur angeben werden:

• Die Klasse der linearen Finite-Elemente FE P1CL ist in ,,num/fe.h” definiert und kann mittelsder Klasse P1DiscCL aus ,,num/discretize.h” benutzt werden.

• Um die Triangulierung des Gebietes Ω zu speichern und zu verfeinern, benutzen wir die KlasseMultiGridCL aus ,,geom/multigrid.h”. Dort sind auch die Strukturen der Tetraeder und derenRandflachen, Kanten und Eckpunkte zu finden. Zudem wird in der Klasse BoundaryCL derRand des zu Grunde liegenden Gebietes gespeichert.

• Die Randbedingungen werden auf den einzelnen Randsegmenten in der Klasse BndSegDataCLgespeichert und mittels der Klasse BndDataCL zusammengefasst. Sie befinden sich in der Datei,,num/bndData.h”. Um Dirichlet-Randdaten zu beschreiben, bedienen wir uns der HilfsklasseDirValCL, die wir im Hauptprogramm implementiert haben.

• Die Nummerierung der Unbekannten wird durch die Indizierungsklasse IdxDescCL aus der Da-tei ,,misc/problem.h” erledigt. Dort wird auch der Prototyp einer Problemklasse in ProblemCL

definiert.

59

60 KAPITEL 5. IMPLEMENTIERUNG DER METHODEN MIT DROPS

• Um das dunnbesetzte lineare Gleichungssystem zu speichern, benotigen wir die MatrixklasseSparseMatBaseCL und die Vektorklasse VectorBaseCL, die in ,,num/spmat.h” deklariert sind.Sie werden mittels den Klassen MatDescCL und VecDescCL beschrieben.

• Als iterativen Loser fur das lineare Gleichungssystem verwenden wir GMRES, der durch dieKlasse GMResSolverCL aus ,,num/solver.h” gegeben ist.

• Zur numerischen Integration uber ein Tetraeder benutzen wir die Quadraturklasse Quad2CL,die exakt bis zum Grad 2 ist und in der Datei ,,num/discretize.h” zu finden ist.

Nun haben wir DROPS um die Klasse InstatPoissonP1CL erweitert, die von der ProblemklasseProblemCL abgeleitet und in der Datei ,,poisson/instatpoisson.h” zu finden ist.

In ihr werden die Daten einer Konvektions-Diffusions-Gleichung, sprich das Gebiet, die Randdatenund die Koeffizienten, verwaltet. Sie stellt zudem Prozeduren zur Verfugung, um das Gleichungs-system aufzustellen. Ist die kontinuierliche Losung bekannt, so kann man mit dieser Klasse denFehler zwischen der kontinuierlichen und berechneten Losung ermitteln.

Die bei der Diskretisierung durch Finite-Elemente entstehenden Matrizen und Vektoren werdenwie folgt gespeichert:

A = Diffusion: Aij = (∇ϕj ,∇ϕi)

M = Reaktion: Mij = (cϕi, ϕj)

U = Konvektion: Uij = (b · ∇ϕj , ϕi)

D = Streamline-Diffusion-Stabilisierung: Dij =∑

T∈ThδT (Lϕj , b · ∇ϕi)

E = Galerkin-Least-Squares-Stabilisierung: Eij =∑

T∈ThδT (Lϕj , Lϕi)

vf = rechte Seite: vfi = (f, ϕi)

Der Vektor b enthalt die rechte Seite des linearen Gleichungssystems, also die Diskretisierung von(f, ϕi), die in die rechte Seite eingehenden Randdaten und die eventuell auftretenden Stabilisie-rungsterme.

Die ermittelte Losung wird zum Schluss im Vektor x stehen.

5.1.2 Implementierung der Prozeduren

Wie wir schon oben angekundigt haben, speichern wir die zusatzlichen Terme der Streamline-Diffusion- und der Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode in separaten Matrizen. Diesewerden, wie die restlichen Matrizen auch, durch Elementarmatrizen der einzelnen Tetraederzusammengesetzt.

Die Prozeduren zur Diskretisierung der Diffusion, Konvektion und Reaktion sowie den Stabili-sierungen verlaufen nach dem gleichen Prinzip. Daher schildern wir hier nur die Aufstellung derStabilisierung. Dazu gehen wir wie folgt vor:

• Wir legen ein Feld, coup, an, indem die Elementarmatrizen gespeichert werden und ein Feldto rhs, in dem die Werte stehen, die zur rechten Seite addiert werden sollen. Zudem fuhren wir

5.1. AUFBAU DES PROGRAMMS 61

ein Indexfeld, UnknownIdx, ein. Dort werden die globalen Indices der Unbekannten abgelegt,die zu den Knoten des aktuellen Tetraeders assoziiert sind.

• Nun iterieren wir uber alle Tetraeder der Triangulierung. Sei das aktuelle Tetraeder mit Tbezeichnet.

– Zunachst bestimmen wir die Gradienten der Hutfunktionen ϕi, fur die suppϕi ∩ T 6= ∅gilt. Zudem ermitteln wir die affine Transformation B : Tref → T , die das Referenztetra-eder Tref auf T abbildet, und speichern den Betrag der Funktionaldeterminanten |detB|in absdet.

– Danach berechnen wir hT als die dritte Wurzel von |T |. Der SD- bzw. GLS-Parameterwird durch die Formel (3.12) bzw. (4.7) bestimmt. Also ist δT = δ1 · hT bzw. δT =

δ0 · h2T√

h2T

+ε2, wobei δ1 bzw. δ0 durch den Benutzer gegeben wurde.

– Die Hauptaufgabe besteht in der Bestimmung der Elementarmatrizen. Fur die SDFEMberechnen wir:

coup[i][j] = δT · absdet∫

Tref

((b · ∇ϕj + cϕj) · b · ∇ϕi) B dx

to rhs[i] = δT · absdet∫

Tref

(f · b · ∇ϕi) B dx

und fur die GLSFEM:

coup[i][j] = δT · absdet∫

Tref

((b · ∇ϕj + cϕj) · (b · ∇ϕi + cϕi)) B dx

to rhs[i] = δT · absdet∫

Tref

(f · (b · ∇ϕi + cϕi)) B dx.

Dabei haben wir berucksichtigt, dass die Elementarmatrizen der GLSFEM symmetrischsind, um doppelte Berechnung von Eintragen zu vermeiden.

– Nun tragen wir die Indices der Knoten dieses Tetraeders T in UnknownIdx ein. Liegtein Knoten des Tetraeders auf dem Rand des Gebietes, so geben wir diesem Index dieBezeichnung NoIdx, da sich dort keine Unbekannten befinden, weil wir nur Dirichlet-Randdaten betrachten.

– Als letztes fugen wir die Eintrage der Elementarmatrizen an die richtigen Stellen derMatrix D bzw. E und die Eintrage der rechten Seite in Df bzw. Ef ein. Also:

D[UnknownIdx[i],UnknownIdx[j]] + = coup[i][j]

Df[UnknownIdx[i]] + = to rhs[i][j]

E[UnknownIdx[i],UnknownIdx[j]] + = coup[i][j]

Ef[UnknownIdx[i]] + = to rhs[i][j]

– Liegt einer der Knoten auf dem Dirichlet-Rand des Gebietes, so mussen wir diesenKnoten bei der Berechnung der rechten Seite mit einbeziehen. Liege i im Inneren desGebietes und j auf dem Rand, dann mussen wir zusatzlich das Produkt des Randwertes


im Knoten j (boundval) mit coup[i][j] von der rechten Seite abziehen:

Df[UnknownIdx[i]] − = boundval · coup[i][j]

Ef[UnknownIdx[i]] − = boundval · coup[i][j]

5.2 Losen einer Konvektions-Diffusions-Gleichung

In diesem Abschnitt geben wir an, wie wir eine Konvektions-Diffusions-Gleichung der Form

Lu := −ε∆u+ b · ∇u+ cu = f in Ωu = g auf Γ

(5.1)

losen konnen. Dazu gehen wir wie folgt vor:

1) Die Koeffizienten ε, b, c und f tragen wir in die Klasse PoissonCoeffCL ein.

2) Die Randdaten g werden in der Klasse DirValCL definiert.

3) Nun erstellen wir das Gebiet, wie z.B. den Einheitswurfel, mit der Klasse BrickBuilderCL

und speichern ihn in brick.

4) Um die Problemklasse zu definieren, mussen wir ihr das Gebiet, die Koeffizienten und dieRanddaten ubergeben. Wir konnen sie folgendermaßen anlegen:InstatPoissonP1CL<PoissonCoeffCL> ConvDiff(brick, PoissonCoeffCL(), bdata)

5) Jetzt werden die Diskretisierungen vorgenommen.

- Diffusion und Reaktion:void SetupInstatSystem( MatDescCL& A, MatDescCL& M)

- Konvektion: (vU: Kopplung der Konvektion mit den Randdaten)SetupConvection( MatDescCL& U, VecDescCL& vU, double t)

- rechte Seite: (vA, vM: Kopplung der Diffusion, Reaktion mit den Randdaten)SetupInstatRhs( VecDescCL& vA, VecDescCL& vM, double tA, VecDescCL& vf)

- Streamline-Diffusion-Stabilisierung:SetupSDFEM( MatDescCL& D, VecDescCL& Df, const double delta 1 ) bzw.

Galerkin-Least-Squares-Stabilisierung:SetupGLSFEM( MatDescCL& E, VecDescCL& Ef, const double delta 0 )

6) Die Matrix des linearen Gleichungssystems nennen wir FEM; sie ist fur die Standard-FEMdurch

FEM := ε A + M + U

und fur die SDFEM bzw. die GLSFEM durch

FEM := ε A + M + U + D bzw. FEM := ε A + M + U + E

definiert. Die rechte Seite b des linearen Gleichungssystems lautet

b := vf + ε vA + vM + vU

fur die Standard-FEM. Bei der Benutzung der STDFEM bzw. GLSFEM mussen wir noch Df

bzw. Ef hinzuaddieren:

b := vf + ε vA + vM + vU+ Df bzw. b := vf + ε vA + vM + vU + Ef.

5.2. LOSEN EINER KONVEKTIONS-DIFFUSIONS-GLEICHUNG 63

7) Als letztes losen wir dieses Gleichungssystem, FEM x = b, zum Beispiel mit dem GMRES-Loser, so dass die diskrete Losung im Vektor x steht.

8) Kennen wir die kontinuierliche Losung der Konvektions-Diffusions-Gleichung (5.1) und habensie zum Beispiel durch die Funktion my sol gegeben, so konnen wir die Abweichung zu derberechneten Losung mit Hilfe der Prozedur CheckSolution(x, my sol) in verschiedenenNormen bestimmen.


Kapitel 6

Numerische Resultate

Wir werden die Standard-, Streamline-Diffusion- und die Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode fur die Konvektions-Diffusions-Gleichung

−ε∆u+ b · ∇u+ cu = f in Ωu = g auf ∂Ω

(6.1)

testen. Dabei werden wir einerseits untersuchen, welche Wirkung die Anderungen der Parameterder Methoden auf die Genauigkeit der Losung haben. Diese Parameter sind die Steuerungspara-meter der Methoden und die Feinheit der zu Grunde liegenden Triangulierung.

Andererseits werden wir verschiedene Diffusions-, Konvektions- und Reaktionskoeffizienten betrach-ten, um festzustellen, wie die Methoden auf diese reagieren.

6.1 Testbeschreibung

Wir werden hier in diesem Kapitel ausschließlich als Gebiet den Einheitswurfel im R3 betrachten,

also Ω = [0, 1]3.

Um die Methoden zu testen, geben wir uns die Losung u, die Terme der Konvektion b(x, y, z) und derReaktion c(x, y, z) sowie den Diffusionskoeffizienten ε vor. Dann konnen wir mit der Konvektions-Diffusions-Gleichung (6.1) die rechte Seite

f(x, y, z) := −ε∆u(x, y, z) + b · ∇u(x, y, z) + cu(x, y, z)

und die Randdaten

g(x, y, z) := u(x, y, z)|∂Ω

bestimmen.

Den Fehler werden wir in einer angenaherten L2(Ω)-Norm messen. Bezeichnen wir mit uh(x, y, z)die berechnete Losung, so approximieren wir den Fehler

∆ :=

∑

T∈Th

‖uh|T − u|T ‖2L2(T )

12

(6.2)

65

66 KAPITEL 6. NUMERISCHE RESULTATE

durch eine Quadratur-Formel, die als Stutzstellen die Eckpunkte der Tetraeder verwendet undexakt bis zum Grad 1 ist.

Es werden folgende Fehler bestimmt:

1) Den Fehler, der bei der Standard-FEM ermittelt wird, werden wir mit ∆0 bezeichnen.

2) Den Fehler der Streamline-Diffusion-FEM benennen wir ∆1.

3) Den Fehler der Galerkin-Least-Squares-FEM geben wir mit ∆2 an.

Wir werden keine adaptiven Methoden benutzen. D.h., dass wir das Gitter ausschließlich globalverfeinern werden. Zunachst werden wir das Gebiet in jede Richtung in 4 Teile splitten und danndiese Wurfel in je 6 Tetraeder aufteilen. Danach werden wir bei jeder Verfeinerung jedes Tetraedernoch einmal in 8 Tetraeder aufteilen. Wir werden maximal 3 Verfeinerungen durchfuhren, so dasswir die Triangulierungen T0,T1,T2 und T3 erhalten.

Sei |T | das Volumen eines Tetraeders T , dann sei hT := 3√

|T |. Da wir keine adaptive Methodeverwenden, ist hT auf allen Tetraedern gleich groß. Wir definieren hi := maxT∈Ti

hT . Die obenbeschriebene Verfeinerung der Triangulierung ist so gewahlt, dass in jedem Verfeinerungsschritt hi

halbiert wird. Die dadurch resultierenden Parameter haben wir in der folgenden Tabelle zusam-mengefasst.

Verfeinerungen Tetraeder Unbekannte hi

0 384 27 0.13758

1 3456 343 0.0687902

2 28032 3375 0.0343951

3 224640 29731 0.0171975

Ein wichtiger Bestandteil der Tests ist die Frage, welche Methode zum Losen des resultierendenGleichungssystems benutzt wird. Wir haben uns hier fur den GMRES-Solver entschieden. Da dieVorkonditionierer Probleme bereiten, haben wir keine Vorkonditionierung benutzt.

Wir werden folgende Losungsfunktionen testen:

1) u1(x, y, z) = sin(π x) sin(π y) sin(π z)

2) u2(x, y, z) = v(x, ε) y(y − 1) z(z − 1), mit v(x, ε) = x− e−1−x

ε − e−1ε

1 − e−1ε

.

Beide Funktionen besitzen homogene Dirichlet-Randdaten. Die erste Losungsfunktion ist eineglatte Funktion, und die zweite hat einen exponentiellen Boundary-Layer bei x = 1.

6.2 Testdaten bezuglich Konvergenz

In diesem Abschnitt haben wir die Testdaten so zusammengefasst, dass wir die Konvergenzordnungbestimmen konnen. Die angegebenen Ordnungen sind die arithmetischen Mittelwerte der dreiOrdnungen, die bei den vier Gittern entstehen.

Die Steuerungsparameter der SDFEM und der GLSFEM sind in diesem Abschnitt so gewahlt, dasssie gute Ergebnisse in der angenaherten L2-Norm erzielen.

6.2. TESTDATEN BEZUGLICH KONVERGENZ 67

6.2.1 Testfunktion 1

Zunachst wollen wir die ermittelten Testdaten fur die erste Losungsfunktion u1(x, y, z) =sin(π x) sin(π y) sin(π z) angeben. Sie sieht fur y = 0.5 wie folgt aus:

1

0,50

0 0,5 10

0,5

1

00,51

0,5

x

1

1

0

0

z

0,5

Die ermittelten Fehler ergeben sich aus Formel (6.2).

• b = (1, 1, 1)T und c = 0.5

Tabelle 1) Fehlerverhalten bei u1 mit ε = 10−3 und δ1 = 0.1, δ0 = 2

h0 h1 h2 h3 ≈ order

∆0 0.06417 0.01373 0.003175 0.0007521 2.1∆1 0.04823 0.01134 0.002734 0.0006661 2.1∆2 0.04833 0.01131 0.002739 0.0006706 2.1



∆0 0.06573 0.01442 0.003535 0.0008755 2.1∆1 0.04851 0.01139 0.002820 0.0007147 2.0∆2 0.04837 0.01138 0.002823 0.0007151 2.0



∆0 0.06574 0.01443 0.003549 0.0008915 2.1∆1 0.04851 0.01139 0.002821 0.0007156 2.0∆2 0.04837 0.01138 0.002824 0.0007158 2.0


• b = (1, 1, 1)T und c = 10−4

Tabelle 4) Fehlerverhalten bei u1 mit ε = 10−3 und δ1 = 1.5, δ0 = 1.5


∆0 0.07068 0.01508 0.003461 0.0008029 2.2∆1 0.04891 0.01145 0.002794 0.0006824 2.1∆2 0.04891 0.01145 0.002794 0.0006824 2.1



∆0 0.07267 0.01557 0.003991 0.001039 2.0∆1 0.04890 0.01152 0.002913 0.0007513 2.0∆2 0.04890 0.01152 0.002913 0.0007513 2.0



∆0 0.1133 0.02395 0.004959 0.001693 2.0∆1 0.04890 0.01152 0.002915 0.0007523 2.0∆2 0.04890 0.01152 0.002915 0.0007523 2.0

Wir sehen bei dieser Testreihe, dass in allen Fallen eine Konvergenzordnung von ungefahr 2 vorliegt.Dies war auch so zu erwarten, da die Funktion u1 keine Boundary-Layer hat. Zudem sehen wir,obwohl die SDFEM und die GLSFEM genauer sind, dass alle drei Methoden passable Ergebnisseliefern, die bei der SDFEM und bei der GLSFEM sehr ahnlich sind.

6.2.2 Testfunktion 2

Nun gehen wir zu der zweiten Funktion u2(x, y, z) = v(x, ε) y(y − 1) z(z − 1), mit v(x, α) =

x− e−1−x

α − e−1α

1 − e−1α

uber, die fur y = 0.5 und ε = 10−5 wie folgt aussieht:

6.2. TESTDATEN BEZUGLICH KONVERGENZ 69

1

0,50

0

0,04

0,08

0,51

0

0,029948

0

z

1

0,5

x

0,5

0 1

• b = (1, 0, 0)T und c = 0.5



∆0 0.03002 0.01931 0.011403 0.006300 0.8∆1 0.007937 0.005232 0.003639 0.002566 0.5∆2 0.007922 0.005231 0.003639 0.002565 0.5



∆0 0.04044 0.03888 0.03754 0.03323 0.1∆1 0.007921 0.005232 0.003640 0.002564 0.5∆2 0.007920 0.005233 0.003641 0.002565 0.5



∆0 0.04060 0.03942 0.03948 0.03964 0.0∆1 0.007932 0.005232 0.003640 0.002564 0.5∆2 0.007920 0.005233 0.003641 0.002565 0.5

• b = (1, 0, 0)T und c = 10−4

Tabelle 10) Fehlerverhalten bei u2 mit ε = 0.2 und δ1 = 0.5, δ0 = 0.5



∆0 0.002903 0.0007981 0.0002042 0.00005135 1.9∆1 0.003787 0.001382 0.0005338 0.0002273 1.4∆2 0.003408 0.0009792 0.0002541 0.00006414 1.9



∆0 0.08401 0.02604 0.012214 0.006427 1.2∆1 0.007970 0.005237 0.003639 0.002566 0.5∆2 0.007970 0.005237 0.003639 0.002566 0.5



∆0 8.288 2.198 0.05807 0.01720 3∆1 0.007969 0.005238 0.003642 0.002565 0.5∆2 0.007969 0.005238 0.003642 0.002565 0.5



∆0 147.2 94.98 43.46 7.472 1.4∆1 0.007969 0.005239 0.003642 0.002566 0.5∆2 0.007969 0.005239 0.003642 0.002566 0.5

Bei der Funktion u2 liegt ein Boundary-Layer vor, woraus Probleme resultieren. Bei der Standard-Galerkin-FEM außern sich diese in der Genauigkeit (vgl. Tabelle 12) und 13)) und in derKonvergenzordnung, welche bei den Tabellen 7) - 9) sehr schlecht ist und in den Tabellen 12) und13) nicht aussagekraftig ist, da keine große Genauigkeit vorliegt.

Die Genauigkeit der SDFEM und der GLSFEM ist dagegen in den hier untersuchten Fallen gut.Die erwartete Konvergenzordnung von 3

2 der beiden Methoden liegt nur in der Tabelle 10) vor.Dort ist im Gegensatz zu den anderen Tests ε > h (h ∈ [ 0.137, 0.0172 ]). Ansonsten erhalten wireine Ordnung von 1

2 .

6.3 Testdaten bezuglich Stabilitat der Parameter

Eine wichtige Frage bei der Implementierung ist die Wahl der Steuerungsparameter und dieAbhangigkeit des Fehlers der ermittelten Losungen von diesen Parametern.

6.4. TESTDATEN BEZUGLICH DER DIFFUSION 71

Dazu wollen wir unser Augenmerk auf die Funktion u2 mit den Boundary-Layern richten. Wirwahlen als Konvektion b = (1, 0, 0)T und als Reaktion c = 0.5. In den folgenden Tabellenwerden die mit Formel (6.2) angenaherten Fehler angegeben, die bei unterschiedlichen Parameternentstehen.

Tabelle 14) h = h1 und ε = 10−5

δ0, δ1 ∆1 ∆2

0.01 0.02785 0.02785

0.1 0.009433 0.009450

0.5 0.005232 0.005233

1 0.006086 0.006006

1.5 0.007309 0.007132

2 0.008451 0.008168

5 0.01302 0.01221

10 0.01601 0.01487

100 0.01950 0.01809

Tabelle 15) h = h2 und ε = 10−7

δ0, δ1 ∆1 ∆2

0.01 0.02216 0.02216

0.1 0.006736 0.006742

0.5 0.003640 0.003641

1 0.004207 0.004179

1.5 0.005058 0.004994

2 0.005859 0.005756

5 0.009487 0.009092

10 0.01306 0.01224

100 0.01932 0.01787

Aus der Tabelle 14) lesen wir, dass ∆1 und ∆2 in [ 0.0052, 0.028 ] liegen. In Tabelle 15) liegen diebeiden approximierten Fehler in [ 0.0036, 0.023 ]. Diese Methoden sind also stabil in Bezug auf dieSteuerungsparameter. Dies ist eine wichtige Eigenschaft, da eine optimale Wahl von δ0 und δ1 imAllgemeinen nicht bekannt ist.

6.4 Testdaten bezuglich der Diffusion

Nun wollen wir noch die Daten bezuglich des Diffusionskoeffizienten untersuchen. Auch hier benut-zen wir die zweite Losungsfunktion. Als Reaktionsterm wahlen wir c = 10−5 und als Konvektionb = (1, 0, 0)T . Zudem werden wir als zu Grunde liegendes Gitter die zweifache Verfeinerung wahlen.Die Steuerungsparameter der SD- und GLS-Methode sind durch δ1 = δ0 = 0.5 gegeben.

Tabelle 16) h = h2 und δ1 = δ0 = 0.5

ε ∆0 ∆1 ∆2

1 5.4826 · 10−5 8.38151 · 10−5 5.5446 · 10−5

0.1 0.0003046 0.0009381 0.0004851

0.01 0.003487 0.003068 0.003039

0.001 0.01221 0.003639 0.003639

10−4 0.05809 0.003641 0.003641

10−5 0.5826 0.003641 0.003642

10−6 5.864 0.003642 0.003642

10−7 56.89 0.003642 0.003642

10−8 434.6 0.003642 0.003642

Wir sehen aus dieser Tabelle, dass der Fehler, der bei der Standard-FEM entsteht, fur ε → 0 sehrgroß wird. Fur ε ≤ 10−4 vergroßert sich der Fehler um den ungefahren Faktor von 10, d.h., dortverhalt sich der Fehler wie 1

ε .

Bei der SDFEM und der GLSFEM wird der Fehler zunachst bei fallendem ε großer, ab ε = 0.001stabilisiert er sich jedoch.


6.5 Testlaufe

In diesem Abschnitt wollen wir die Methoden auf Testprobleme anwenden, deren Losungen wirnicht kennen. Wir visualisieren die Losungen, indem wir bei z = 0.5 einen Schnitt durch dasGebiet legen und sie durch Hohenlinien darstellen.

Beim ersten Problem liegt im Wesentlichen eine Stromung in Richtung (2, 1, 0)T vor. Es lautet:

−ε∆u+

210

· ∇u+ 0.1u = 1 in [0, 1]3

u = 0 auf ∂[0, 1]3

(6.3)

Berechnen wir eine Losung mit der Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode, so ergeben sichdie folgenden Bilder:

Bild 1) Losung von (6.3) mit ε = 10−2,SDFEM, δ1 = 1


Mit der Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode erhalten wir die folgenden approximier-ten Losungen:

6.5. TESTLAUFE 73

Bild 3) Losung von (6.3) mit ε = 10−2,GLSFEM, δ1 = 0.5

Bild 4) Losung von (6.3) mit ε = 10−5,GLSFEM, δ1 = 0.5

Zum Vergleich wollen wir auch hier die Standard-Galerkin-Finite-Elemente-Methode benutzen, umeine Losung zu berechnen. Sie liefert uns:

Bild 5) Losung von (6.3) mit ε = 10−2,Standard-Galerkin-FEM

Bild 6) Losung von (6.3) mit ε = 10−5,Standard-Galerkin-FEM

Da hier die Stromung durch b = (2, 1, 0)T gegeben ist, erwarten wir auf den beiden Randstuckenx = 1 und y = 1 Boundary-Layer. Die SDFEM und die GLSFEM liefern uns eine Losung, diedieses bestatigt. Im restlichen Gebiet ist die Losung glatt. Bei der Standard-FEM konnen wir beiε = 10−2 schon Oszillationen erkennen. Bei ε = 10−5 stellt die errechnete Losung einen großenUnterschied zu unseren Erwartungen dar.


In dem zweiten Problem liegt eine Zirkulation in dem Gebiet vor. Es lautet:

−ε∆u+

sin(πx) cos(πy)− cos(πx) sin(πy)

0

· ∇u+ 0.5u = 1 in [0, 1]3

u = 0 auf ∂[0, 1]3

(6.4)


Bild 8) Losung von (6.4) mit ε = 10−2,GLSFEM, δ1 = 0

Mit der Standard-FEM ergibt sich:

Bild 9) Losung von (6.4) mit ε = 10−2,Standard-FEM

6.6. AUSWERTUNG UND FAZIT 75

6.6 Auswertung und Fazit

In diesem letzten Abschnitt der vorliegenden Arbeit werden wir die drei Methoden vergleichen,mit den theoretischen Ergebnissen in Bezug setzen und sie bewerten.

Zunachst wollen wir uns mit der Konvergenzordnung auseinandersetzen und sie mit der Theorievergleichen.

Betrachtung der Konvergenzordnungen Im Wesentlichen treten bei der Betrachtung derglatten Funktion (Tabelle 1) - 6)) gemessene Konvergenzordnungen von 2 auf und bei der Funktionmit dem Boundary-Layer dagegen von 0.5.

Bei der theoretischen Betrachtung der SDFEM (3.13) und GLSFEM (4.8) haben wir Folgendesbewiesen:

|||u− uh|||SD ≤ C(ε1/2 + h1/2)hk|u|k+1

und

|||uI − uh|||GLS ≤ C(ε1/2 + h1/2)hk|u|k+1.

Berucksichtigen wir die Benutzung von stuckweisen linearen Finite-Elementen, ware eine Ordnungvon 1.5 zu erwarten.

Um die beobachtete Konvergenzordnung von 0.5 bei der SDFEM und der GLSFEM zu erklaren(vgl. Tabelle 7) - 9) und 11) - 13)), betrachten wir die Tetraeder, die im Boundary-Layer liegen. Wirfassen sie in der Menge Th ⊂ Th zusammen. Fur alle T ∈ Th ist hier also ε < hT . Wir untersuchenbeispielshalber die SD-Norm in diesem Bereich:

|||u− uI |||SD,Th=

ε|u− uI |21,Th

+∑

T∈Th

δT ‖b · ∇(u− uI)‖20,T + c0‖u− uI‖2

0,T

.

Fur die GLS-Norm gelten analoge Aussagen. Sei T ∈ Th, dann folgt:

1) ε|u− uI |21,T = ε∫

T |∇(u− uI)|2︸︷︷︸

≤C

dx ≤ C εhT ,

2) δT ‖b · ∇(u− uI)‖20,T = δT

∫

T (b · ∇(u− uI))2︸︷︷︸

≤C

dx ≤ C δT hT und

3) c0‖u− uI‖20,T = c0

∫

T u− uI︸︷︷︸

≤C

dx ≤ C c0 hT .

Somit konnen wir insgesamt abschatzen:

|||u− uI |||SD,Th≤

C εhT +∑

T∈Th

C (δT + c0)hT

12

≤ Ch12

T .

Damit verhalt sich der Fehler in diesem Bereich wie h12

T , falls hT > ε bleibt. Dies hat naturlich eineAuswirkung auf die globale SD-Norm und verringert die gemessene Ordnung auf 0.5, was wir in


den Tabellen 11) - 13) sehen.

Ist dagegen hT < ε, so ergibt sich nach der Theorie eine Konvergenzordnung von 1.5, was sichauch in Tabelle 10) widerspiegelt.

Es ist wichtig, diese Methoden adaptiv zu erweitern, da der globale Fehler vom Fehler im Boundary-Layer dominiert wird.

Steuerungsparameter Naturlich haben die beiden Parameter δ1 fur die SDFEM und δ0 fur dieGLSFEM einen Einfluss auf die numerische Losung, den wir in Tabelle 14) und 15) finden konnen.

Wahlen wir ihn zu klein, ist die Stabilisierung verschwindend klein, und wir erhalten die Standard-FEM. Wahlen wir ihn jedoch zu groß, wird die ursprungliche Differentialgleichung zu wenigberucksichtigt.

Bei unseren Testreihen haben wir gute Erfahrungen machen konnen, wenn wir δ0 = δ1 ≈ 1 gewahlthaben.

Vergleich der SDFEM mit der GLSFEM Da wir uns bei der Untersuchung auf lineareFinite-Elemente beschrankt haben, fallen die zweiten Ableitungen weg. Fur kleine Reaktionen cwerden die beiden Methoden sehr ahnlich, da in diesem Fall (Lϕj , Lϕi)T ≈ (Lϕj , b · ∇ϕi)T gilt.

Dies spiegelt sich auch in den numerischen Resultaten wieder: So sehen wir in der angenahertenL2-Norm in den Tabellen 4) - 6) und 11) - 13) bei vierstelliger Genauigkeit keinen Unterschied.Dies waren Tests, bei denen c = 10−4 gewahlt wurde. Auch in den anderen Tests waren kaumDifferenzen zu erkennen.

Der Unterschied liegt allerdings in der Zeit, in der die zusatzlichen Terme der Methoden ermitteltwerden. Dazu betrachten wir die Anzahl der aufgerufenen Quadraturprozeduren pro Tetraeder.Bei unserer Implementierung wird diese Prozedur von der SDFEM 36-mal aufgerufen, von derGLSFEM jedoch 48-mal. Dies bedeutet, dass fur h3 die Aufstellung der Stabilisierungsmatrix derGLSFEM 11.02 Sekunden und die der SDFEM allerdings nur 9.53 Sekunden dauert.

Vergleich der Standard-FEM mit der SD-/GLSFEM Die Standard-FEM stellt das lineareGleichungssystem schneller auf als die SD- bzw. GLSFEM, da die Stabilisierungen nicht berechnetwerden mussen. Zudem liefert uns diese Methode fur Funktionen ohne Boundary-Layer oder furgroße ε passable Ergebnisse (vgl. Tabelle 1) - 6), 7) - 8) und 10) - 11)). Wird das ε bei Funktionenmit Boundary-Layer klein, so verhalt sich der Fehler wie 1

ε (vgl. Tabelle 16)). Dieses haben wirauch im theoretischen Teil gesehen (vgl. Abschnitt 2.5.1).

Dass der Fehler, der bei den Methoden auftritt, sehr stark variieren kann, sehen wir unter anderemin der Tabelle 13). Dort ist ε = 10−7 und c = 10−4. Die numerische Losung, die uns die Standard-FEM auf dem grobsten Gitter liefert, ist sehr weit von der kontinuierlichen Losung entfernt. Diebeiden anderen Methoden nahern sie jedoch mit einer Genauigkeit von ca. 8 · 10−3 an. Selbst beider Wahl von h ≈ 1/64 liefert die Standard-FEM keine passablen Ergebnisse. Diese Unterschiedesind in der Tabelle 16) dokumentiert und finden sich auch in den Grafiken aus Abschnitt 6.5 wieder.

6.6. AUSWERTUNG UND FAZIT 77

Die Methoden haben zudem einen Einfluss auf die Konvergenz des iterativen Losers. So wurde diein Tabelle 8) von der Standard-FEM berechnete Losung fur h = h3 mit 3209 Iterationen bestimmt.Bei der Anwendung der SDFEM bzw. GLSFEM wurden hingegen nur 155 Iterationen benotigt.

Schlussbetrachtung und Ausblick Die Streamline-Diffusion- und Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode eignen sich gut fur konvektions-dominante Konvektions-Diffusions-Gleichungen. Sie weisen eine hohere Genauigkeit im gesamten Gebiet auf, als die Standard-Galerkin-Finite-Elemente-Methode. Um die beiden Methoden zu verbessern, ist eine Erweiterung mit Ad-aptivitat sinnvoll.


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