ST04 Discrete Probability Distributions

STATISTIKA

Discrete Probability Distributions

Discrete Probability Distributions 2

Discrete Probability Distributions

• Distribusi Hipergeometrik

• Bernoulli Processes

– Distribusi Binomial

– Distribusi Geometrik

– Distribusi Binomial Negatif

• Poisson Processes

– Distribusi Poisson

– Distribusi Exponensial

– Distribusi Gamma

• Distribusi Multinomial

DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS

Hypergeometric Distributions



• Situasi

– Mengambil sampel (random) berukuran n tanpa pengembalian dari suatu populasi berukuran N

– Elemen-elemen di dalam populasi tersebut terbagi kedalam dua kelompok, masing-masing berukuran k dan (N – k)

• Contoh

– Suatu populasi berupa

• hari hujan dan hari tak hujan

• stasiun dengan data baik dan stasiun dengan data jelek

• sukses dan gagal



• Persamaan/rumus

– Jumlah cara/hasil dari memilih n elemen dari N obyek

adalah kombinasi

!!

!

nnN

N

n

N

!!

!

!!

!

xnxnkN

kN

xxk

k

xN

kN

x

k

– Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh x sukses dan

(n – k) gagal dari suatu populasi yang terdiri dari k sukses

dan (N – k) gagal adalah



– Jadi probability mendapatkan X = x sukses dalam sampel

berukuran n yang diambil dari suatu populasi berukuran N

yang memiliki k elemen sukses adalah

n

N

xn

kN

x

kknNxfX ,,;

– Distribusi kumulatif dari probability mendapatkan x sukses

atau kurang adalah

x

i

Xn

N

in

kN

i

kknNxF

0

,,;



– Nilai rata-rata (mean) suatu distribusi hipergeometrik

adalah

N

knXE

– Variance

1Var

2

NN

nNkNknX

– Catatan

NnNknxkx ;;;



Contoh hypergeometric distribution

ST Contoh hypergeometric distribution.doc


Bernoulli Processes:

Distribusi Binomial


Contoh Ilustrasi (1)

• Investigasi thd suatu populasi

– karakteristik populasi → variabel

– nilai variabel

• nilai ujian: 0 s.d. 100

• status perkawinan: tidak kawin, kawin, cerai, duda/janda

• usia: 0 s.d. ...

• cuaca: cerah, berawan, hujan


Contoh Ilustrasi (2)

• Contoh lain

– Jawaban pertanyaan:

• ya / tidak

• benar / salah

• menang / kalah

• lulus / tak-lulus

• sukses / gagal

SUKSES

vs

GAGAL


Distribusi Binomial

• Jika

– variabel hanya memiliki 2 kemungkinan hasil

– probabilitas (peluang) kedua hasil tersebut tidak

berubah (tetap) apapun hasil experimen sebelumnya

Distribusi Binomial

• Probabilitas hasil suatu distribusi binomial

– prob(sukses) = p

– prob(gagal) = q = 1 – p


Distribusi Binomial atau Bukan?

Event Binomial ?

(True / False)

Why ?

hujan

tak-hujan

F prob kejadian

berubah

jenis kelamin

warga desa

F prob kejadian

berubah

jenis kelamin

bayi yang baru

lahir

T prob tetap


Distribusi Binomial

• Ilustrasi

– Peluang sukses (S) dalam suatu experimen adalah p → prob(S) = p

– Peluang gagal (G) adalah q = 1 – p → prob(G) = q

– 1x experimen:

• peluang sukses p

• peluang gagal q

– 2x experimen:

• peluang sukses kmd sukses (S,S): pp

• peluang sukses kmd gagal (S,G): pq

• peluang gagal kmd sukses (G,S): qp

• peluang gagal kmd gagal (G,G): qq


Sukses-Gagal dalam 2x Experimen

jumlah

kesuksesan

cara

sukses

jumlah cara

suksesprobabilitas

2 SS 1 pp 1 p2q0

1SG atau

GS2 pq + qp 2 p1q1

0 GG 1 qq 1 p0q2


Sukses-Gagal dalam 3x Experimen

jumlah

sukses

cara

sukses

jumlah cara

suksesprobabilitas

3 SSS 1 1 ppp 1 p3q0

2SSG, SGS,

GSS3 3 ppq 3 p2q1

1SGG,

GSG, GGS3 3 pqq 3 p1q2

0 GGG 1 1 qqq 1 p0q3


Sukses-Gagal dalam 3x atau 5x Experimen

– 3x experimen:

• peluang sukses pada experimen ke-3: qqp

• peluang sukses di salah satu experimen: pqq + qpq + qqp

– 5x experimen:

• peluang sukses 2x: ppqqq + pqpqq + ... + qqqpp

3232 102

5qpqp


Banjir

• Peluang debit melampaui 100 m3/s dalam satu tahun adalah p p = probability of exceedence (success)

• Maka peluang

– debit terlampaui di tahun ke-3, namun tidak terjadi di tahun ke-2 dan ke-1 adalah qqp

– debit terlampaui satu kali pada salah satu tahun dalam periode 3 tahun adalah pqq + qpq + qqp = 3pq2

– debit terlampaui 2 kali dalam 5 tahun adalah ppqqq + pqpqq + … + qqqpp = 10p2q3


Distribusi Binomial (1)

• Jika

– peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p

– probabilitas sukses p tidak berubah apapun hasil experimen yang

lain

• Maka

– peluang mendapatkan x kali sukses dalam n kali experimen adalah

nxppx

npnxf

xnx

X ,...,2,1,01,;

koefisien binomial



• Distribusi binomial kumulatif

qpn

pqcs

nxppi

npnxF

x

i

iniX ,...,2,1,01,;

0

• Nilai rata-rata dan varian

• Skewness coefficient

qpnX

pnXE

Var

p = q simetris

q > p negative skew

q < p positive skew



• Contoh #1

– Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D).

– Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana).

– Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 3x?

– Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5x, 4x, 3x, 2x, 1x, 0x?



• Setiap kali pemilihan

– prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih

prob(As) = ¼ = 0.25 = p

– prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih

prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q

• Dalam 5 kali pemilihan

– peluang terpilih (sukses) 3 kali adalah

088.075.025.03

525.0,5;3,; 23

XX fpnxf



• Dalam 5 kali pemilihan (n = 5)

jumlah sukses jumlah kejadian peluang terjadi

0 1 0.237

1 5 0.396

2 10 0.264

3 10 0.088

4 5 0.015

5 1 0.001

∑ = 1.000

koefisien

binomial



• Contoh #2

– Diketahui probabilitas (risiko) muka air banjir dalam suatu tahun melebihi elevasi h m adalah 0.05. Apabila m.a. banjir melebihi h m, maka wilayah A akan tergenang.

– Apabila setiap kejadian banjir adalah independent(banjir pada suatu tahun tak bergantung pada banjir pada tahun yang lain), maka kejadian banjir tersebut dapat dipandang sebagai proses Bernoulli.

– Berapa risiko (probabilitas) wilayah A tergenang 2 kali dalam periode 20 tahun?



• Solusi

– Misal: x = jumlah kejadian wilayah A tergenang

n = periode (jumlah tahun) yang ditinjau

p = risiko m.a. banjir melewati h m

(risiko wilayah A tergenang)

– Maka: x = 2; n = 20; p = 0.05

– Jadi:

1887.095.005.02

2005.0,20;2,; 182

XX fpnxf



• Contoh #3

– Agar 90% yakin bahwa debit banjir rancangan yang

akan dipilih tidak terlampaui selama periode 10

tahun, berapakah kala ulang debit banjir rancangan

tersebut?

• Contoh #4

– Memperhatikan contoh #3, tariklah kesimpulan

mengenai risiko debit banjir kala-ulang T tahun

terlampaui paling sedikit 1 kali dalam periode T

tahun.



• Solusi

– Misal

• Qd = debit banjir rancangan

• p = probabilitas bahwa debit banjir rancangan terlampaui

• n = 10 tahun

• x = jumlah tahun debit banjir rancangan terlampaui

– Probabilitas debit banjir rancangan tak terlampaui adalah

%90prob dQQ



0105.0

90.01

11190.0

10

10,10;0

10.0

10

100

p

p

p

pppfX

tahun951 ulang Kala pT

Jadi untuk memperoleh keyakinan 90% bahwa debit banjir

rancangan tak terlampaui dalam 10 tahun, maka diperlukan

debit banjir rancangan kala ulang 95 tahun.



• Apabila dipilih debit banjir kala ulang 10 tahun

(p = 10%), maka kemungkinan debit ini

dilampaui adalah

651.010.0,10;01prob 10 XfQQ



• Secara umum dapat ditetapkan bahwa risiko debit banjir

rancangan kala ulang T tahun terlampaui paling sedikit 1x

dalam periode T tahun adalah:

63.011

atau

651.010.0,10;01prob 10

e

fQQ X

• Jadi terdapat 63% kemungkinan bahwa debit kala ulang T

tahun terlampaui paling sedikit 1x dalam periode T tahun.

• Jika umur rancangan bangunan dan kala ulang rancangan

sama, maka sangat besar risiko bahwa debit rancangan

tersebut akan dilampaui dalam periode umur rancangan.



Distribusi Geometrik


Distribusi Geometrik (1)

• Situasi

– Suatu sequence proses Bernoulli, namun ingin diketahui

probability sukses yang pertama kali terjadi

– Jika pada pengamatan (experimen) ke-x diperoleh sukses

pertama kali, maka haruslah dimiliki (x – 1) kali gagal

sebelumnya dan diikuti oleh sekali pengamatan dengan

hasil sukses

probability p1 qx1



• Probability distribusi geometrik

• Distribusi geometrik kumulatif

1,2,3,...,; 1 xqppxf xX

,...3,2,1,prob;1

1

xxXqppxFx

i

iX

0; maka 1 jika

1untuk berlaku

pxFx

x

X



• Nilai rata-rata

• Varian

p

XE1

2

varp

qX



ppp

ppp

p

pxpppx

xqpxXE

x

x

x

x

x

x

x

x

111

11

,...3,2,1,

0

1

1

1

1

1

1



• Contoh

– Berapakah probability suatu banjir 10-

tahunan akan terjadi pertama kali dalam 5

tahun pertama setelah proyek selesai?

– Berapakah probability banjir tersebut akan

terjadi pertama kali secepat-cepatnya pada

tahun ke-5 setelah proyek selesai?



• Solusi

– Probability banjir terjadi pertama kali pada tahun ke-5

adalah:

0656.0

10.0110.010.0;54

Xf



• Solusi

– Probability banjir terjadi pertama kali paling cepat

pada tahun ke-5 (jadi dapat terjadi pada tahun ke-5,

6, 7, 8, 9, atau 10) dapat dicari dengan

memperhatikan bahwa banjir tidak datang selama

periode 4 tahun pertama.

– Dengan demikian probability banjir terjadi pertama

kali paling cepat pada tahun ke-5 adalah:

6561.0

10.0144

q



Distribusi Binomial Negatif


Distribusi Binomial Negatif (1)

• Situasi

– Ingin diketahui probability diperolehnya sukses ke-k

terjadi pada experimen ke-x (tentu saja x ≥ k).

– Dalam hal ini, pastilah terdapat (k – 1) sukses pada

(x – 1) experimen, yang mendahului sukses ke-k

pada experimen ke-x.

– Probability (k – 1) sukses dalam (x – 1) experimen

adalah:

kxk qpk

x

1

1

1 distribusi binomial



– Sedangkan probability sukses pada experimen ke-x

adalah p.

– Jadi probability sukses ke-k pada pengamatan ke-x

adalah:

,...1,,1

1,;

kkxqp

k

xpkxf kxk

X

• Nilai rata-rata dan varian

p

kXE

2var

p

qkX



• Contoh

– Berapakah probability bahwa banjir 10-tahunan akan

terjadi keempat kalinya pada tahun ke-40?

• Solusi

0206.0

90.010.03

39

10.0110.014

14010.0,4;40

364

4404

Xf


Poisson Processes:

Distribusi Poisson


Distribusi Poisson (1)

• Situasi

– Proses Bernoulli dalam suatu interval waktu p

adalah probability terjadinya suatu event dalam

interval waktu tersebut.

– Jika interval waktu t sangat pendek sedemikian

hingga probability p menjadi kecil dan jumlah

pengamatan (experimen) n bertambah sedemikian

hingga np konstan, maka

• expektasi jumlah kejadian dalam interval waktu total tetap



• Sifat

– Proses Poisson adalah suatu proses diskrit

pada skala waktu kontinu.

– Oleh karena itu, distribusi probability jumlah

event dalam suatu waktu T adalah sebuah

distribusi diskrit, akan tetapi distribusi

probability waktu antar events serta waktu

sampai ke event ke-n adalah distribusi

kontinu.



• Probability distribusi poisson

• Distribusi geometrik kumulatif

0dan1,2,...,0,!

;

pnxx

exf

x

X

x

i

i

Xi

exF

0!

;



• Mean dan variance

• Skewness coefficient

XE

21

sc

Xvar



• Contoh #1

– Probability banjir 20-tahunan (kala ulang 20 tahun)

akan terjadi dalam 10 tahun:

• dengan memakai distribusi binomial

• dengan memakai distribusi poisson

315.095.005.01

1005.0,10;1 9

Xf

303.0!1

5.005.0;1

5.005.010

5.0

ef

np

X



• Contoh #2

– Probability 5 kejadian banjir 2-tahunan dalam 10

tahun adalah:

• dengan memakai distribusi binomial

• dengan memakai distribusi poisson

246.05.05.05

105.0,10;5 5105

Xf

176.0!5

55;5

55.010

55

ef

np

X

n tidak cukup besar untuk

mendapatkan pendekatan

yang baik dengan distribusi

poisson



• Contoh #3

– Probability kurang daripada 5 kejadian (max. 4

kejadian) banjir 20-tahunan dalam 100 tahun adalah:

44.0!

55;4

5;44prob5prob

505.0100

poisson distribusi

4

0

5

i

i

X

X

i

eF

FXX

np

n

CONTINUOUS PROBABILITY DISTRIBUTIONS

Poisson Processes:

Distribusi Exponensial

Discrete Probability Distributions52

Distribusi Exponensial (1)

• Distribusi probability waktu (interval) T di antara

kejadian-kejadian suatu event dapat dihitung sbb.

t

X

e

tf

t

;0

waktu dalam event terjadi tidak yprobabilit tTprob

tTprob1tTprob


Distribusi Exponensial (2)

• Distribusi exponensial kumulatif

tT etP 1;tTprob

• pdf

tT

T et

tPtp

d

;d;


1TE 2var T

CONTINUOUS PROBABILITY DISTRIBUTIONS

Poisson Processes:

Distribusi Gamma


Distribusi Gamma (1)

• Distribusi probability waktu sampai terjadinya

suatu event ke-n kalinya.

• pdf

!1

,;1

n

etntp

tnn

T


n

TE 2

var

n

T

,...2,1

0

0

n

t


Distribusi Gamma (2)

• Contoh

– Berapa risiko terjadi banjir ke-4 kalinya dalam waktu 10

tahun jika risiko banjir per tahun adalah 0.10?

• Solusi

4.010.04,4,10 pnnt

78.0

!14

104.0

!14.0,4;10

104.0344

1

e

n

etp

tnn

T


Distribusi Multinomial


Distribusi Multinomial (1)

• Distribusi binomial: sukses vs gagal, yes vs no

• Distribusi multinomial

– hasil x1, x2, …, xk

– prob p1, p2, …, pk

k

kkk

xk

xx

kpppxxxXXX ppp

xxx

nf ...

!!...!

!21

212121 2121

,...,,;,...,,,...,,



• atau

k

i i

xi

Xx

pnpnxf

i

1!

!,;dalam persamaan tsb

kpxX 1tor adalah vekdan ,,

Syarat nxpk

i

i

k

i

i 11

dan 1


iiiii ppnXpnXE 1var



Contoh multinomial distribution

ST Contoh multinomial distribution.doc


ST04 Discrete Probability Distributions

Documents