Prof.Dr.Levent ŞENYAY VII-1 Örnekleme Yöntemleri 7 SİSTEMATİK ÖRNEKLEME 7.1. Giriş 7.2. Örnek Seçme Yöntemi 7.3. Populasyon Ortalamasının Tahmini 7.4. Populasyon Ortalamasının Varyansı 7.5. Populasyon türleri 7.6. Sistematik örneklemede aritmetik ortalamanın tahmininin varyansının tahmini
16
Embed
SİSTEMATİK ÖRNEKLEMEkisi.deu.edu.tr/levent.senyay/ornekleme/7 sistematik...Sistematik örneklemenin tercih edileceği kou lları genellemek oldukça zordur. Etkin bir ekilde kullanabilmek
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
ALIŞTIRMA: N=9 öğrencinin sahip olduklarını kitap sayıları verilmiş iken, sistematik örnekleme ile
3’e 1 oranlı örnek seçilmiştir buna göre V( sisx )’yi hesaplayınız.
1,2,3 /4,5,6 /7,8,9 idi ve n=3 hacimli k=3 örnek aşağıdaki gibidir:
Örnek1 Örnek2 Örnek3
X1j X2j X3j
1 2 3
4 5 6
7 8 9
12 15 18
Prof.Dr.Levent ŞENYAY VII-10 Örnekleme Yöntemleri
V( sisx )= k
i
n
j
iij XXN
SN
N 22 11 şeklindeydi.
A
k
i
n
j
ij XXN
S 22 )(1
1=
= 8/60)211821(8
1)(
8
1 2
3
2
2
2
1
n n n
jjj XXXXXX
A = 2
33
2
22
2
11
2)()(
9
11XXXXXXXX
Njjj
k
i
n
j
iij
= 9/54)181818(9
1
V( sisx )= k
i
n
j
iij XXN
SN
N 22 11=
3
2
9
54)
8
60(
9
19
veya
Genel hesaplama yöntemine göre
V( sisx )= 2
1
k
i
i Xxk
= 3/2)56()55()54(3
1 222 elde edilir. her iki hesaplama da
varyansı 2/3 olarak vermektedir.
NOT: Sistematik örneğin homojenlik derecesini açıklayan ölçü aynı sistematik örnekteki birim
çiftleri arasındaki sınıf içi korelasyonu açıklayan korelasyon katsayısı ρ’ dur.
ρ)x-(E
)x-)x-E(=
x
.(x jx
ij
'iij
, (j< jı
)
ρ’ yu kullanarak )( sisxV ifadesini yazabiliriz;
])1(1[1
)(
2
nN
N
nxV s
sis
hesaplamalarda,
k
i
n
jj
ijijSN
XXXXn '
2'
1.
1
1))(_(
1
2 kullanılır.
Prof.Dr.Levent ŞENYAY VII-11 Örnekleme Yöntemleri
Buradan da görüldüğü gibi, ρ büyük ve pozitifken )( sisxV ’ nin de büyük olacağı, küçükken
ister pozitif ister negatif olsun )( sisxV ’ ninde küçük olacağı ve ρ=0 iken )( sisxV ’ in basit tesadüfi
örneklemedeki x ’ nın varyansına eşit olacaktır. Örnekteki birimlerin heterojen olması ρ’ nun küçük
çıkması anlamına gelir ve istenen bir durumdur.
Örnek :
N=9, 3’e 1 yapıda bir sistematik örnekleme yapılmak isteniyor.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
N=nk=3x3 , n=3 k=3
Örnekler 1 2 3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Top. 12 15 18
Ort. 4 5 6
5)654(3
1)( sisXE
5)987654321(9
1X
XXE sis )( örnekteki tesadüfi sıralama değişse de sapmasızlık değişmez.
S2=60/8
2'
'
1.
1
1))((
1
2
SNXXXX
n
k
i
ij
n
jj
ij
k=3 ve i=1 için (1-5)(4-5)+(1-5)(7-5)+(4-5)(7-5)= -6
i=2 için … = -9
i=3 için … = -6
60/218/60
1.
19
1).696(
13
2
3
2)
60
21)(13(1
9
19.
3
8/60)1(1
1)(
2
n
N
N
n
SXV sis
Prof.Dr.Levent ŞENYAY VII-12 Örnekleme Yöntemleri
için yorumlar :
Grup A B
7 1
8 2
9 3
N=6 , X =30/6 = 5
İç korelasyon : 2'
'
1.
1
1))((
1
2
SNXXXX
n
k
i
ij
n
jj
ij
-9 x x
J ve j’ indsleri ile -8 x
A B -7
7 8 1 2 -6
7 9 1 3 1 2 3 4 -5 6 7 8 9
8 9 2 3 -4
x x -3
x -2
-1
A grubu için :, örneğin ( 7 , 8 ) noktasına karşılık çapraz çarpım
(7-5)(8-5)>0, yani (Xij-͞x)>0, yani X ij örnekleri ͞x’ya göre homojendir, aynı yorum B grubu için de yapılabilir.
Eğer A ise gelen çiftler
1 1 2
2 1 7
7 2 7 olur.
Çapraz çarpımlar
(1-5)(2-5)>0
(1-5)(7-5)<0
(2-5)(7-5)<0 yani örnek birimleri homojen değildir, heterojendir.
Prof.Dr.Levent ŞENYAY VII-13 Örnekleme Yöntemleri
-9
-8
x x -7
-6
1 2 3 4 -5 6 7 8 9
-4
-3
x -2
-1 -
Eğer, örnekler : 1 2 3 ise, ͞x = 5 olur, verilerin homojen olduğu görülüyor.
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Sınıf içi korelasyon,
60
51
8/60
1.
19
1)26126(
13
21.
1
1))((
1
22'
'
SN
XXXXn
k
i
ij
n
jj
ij
6)60
51)(13(1
9
19.
3
8/60)1(1
1)(
2
n
N
N
n
SXV sis
Bir önceki örnekte ρ=-21/60 ve V( sisx )=2/3 idi. V( sisx ) değeri çok arttı. Basit şans örneklemesinde
21
.)(2
N
N
n
SxV bşş < V( sisx ) = 6 olduğundan
Sistematik örneklemede birimlerin homojen olup olmaması ileride popülasyon karekteristiğinin araştırmasına neden olacaktır.
Örnek:
27 personeli bulunan bir işletme, personelinin bir takım ihtiyaçlarını ortaya çıkarmak üzere bir araştırma planlamaktadır. Bu amaçla 7’ de bir sistematik örnekleme ile bir örnek çekilecektir.
a) Tüm mümkün örnek birimlerini oluşturunuz.
b) Birimlerin yaşlarına göre değerleri verildiğine göre 6. birim başlangıç noktası olarak alındığında yaş ortalamasını tahmin ediniz.
Prof.Dr.Levent ŞENYAY VII-14 Örnekleme Yöntemleri
c) Ortalama tahminin sapmasız olup olmadığını sayısal olarak gösteriniz.
Örnekleme birimleri heterojen ise ρ küçük, V( sisx ) küçük olur.,ρ ve V( sisx ) daima minimize
edilmek istenir. Hangi tür popülasyonlar, örnek birimleri daha heterojen olan sistematik örnekler üretme eğilimindedir? Sorusunun cevabı için aşağıdaki türleri incelemek gerekir.
a) Örnek birimlerinin tesadüfi sıralandığı populasyonlar
Bu durumda örnekler heterojen olma eğilimindedir. Ρ küçük olur, ancak ρ küçük iken
V( sisx ) ≈ V( bsox ) olur.
b) Sıralanmış populasyon
Bu durumlarda örnek heterojen olma eğilimindedir. Sistematik örnekler, basit şans örneklerinden daha heterojen olur, bu yüzden ρ küçük olur. Genellikle
V( sisx ) < V( bsox ) olur.
c) Periyodik değişimli popülasyon
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Süper marketlerdeki günlük satışların haftalık olarak tekrarlanan hafta içi ve sonu satış rakamları bu tür verilerden oluşur. Bu durum uygulamada rassallığı bozan bir problem yaratır. Bu gibi durumlarda, her seferinde örnekleme birim pozisyonu kaydırılır. (örnek kııncı ilk örneek alınır, sonra (k+1) ini örnek vb. şekilde devam edilir)