Súradnice bodov na priamke a v rovine

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

1

Analytická geometria lineárnych útvarov

Za zakladateľa analytickej geometrie je považovaný René Descartes, ktorý publikoval základné metódy analytickej geometrie v roku 1637. Analytická geometria skúma geometrické problémy a geometrické útvary popisom ich súradníc v pevne zvolenej súradnicovej sústave. Popis problémov pomocou rovníc potom umožňuje riešiť geometrické problémy algebraickými a geometrickými prostriedkami.

René Descartes, známy aj ako Cartesius (* 31. marec 1596, La Haye, Francúzsko – † 11. február 1650, Štokholm, Švédsko) bol francúzsky filozof, matematik predstaviteľ racionalizmu, špeciálnovedný bádateľ vo viacerých prírodovedných odboroch. Hlboko ovplyvnil celú novovekú vedu.

Postupom od metodického pochybovania k nepochybnému Cogito ergo sum (Myslím, teda som) začal obrat k subjektu, k vlastnej filozofii Ja. Descartes sa tým stal predovšetkým priekopníkom v oblasti kritiky poznania.

Jeho cieľom bolo založiť jednotnú vedu na matematickej báze. Descartes rozpracoval metódu získavania vedeckých poznatkov alebo racionálne zdôvodneného názoru: išlo tu o heuristickú metódu alebo výskumnú techniku (ars inveniendi = umenie objavovať), ktorá spočíva v postupnosti krokov zameraných na riešenie bádateľských problémov (v matematike, prírodných vedách, náboženstve i etike). Táto Descartova metóda kombinuje analýzu a syntézu, pričom analýza predstavuje rozklad problému alebo zložitého predmetu na jeho najmenšie, intuitívne rozoznateľné súčasti a syntéza ho rekonštruuje pomocou prísne logických operácii (dedukcie). Sledujúc pravidlá tejto metódy, Descartes hľadá posledné, základné, večné pravdy. Existencia týchto právd je podľa Descarta daná pravdugarantujúcim bohom (veracitas Dei). Descartes radikalizoval svoju skepsu (pochybovanie) až k - podľa neho - nepochybnému, evidentnému východisku, ktoré sformuloval vo vete, ktorú by sme po slovensky mohli vyjadriť takto: Myslím, teda som (Cogito, ergo sum).

Rozmanitosť vecí - častí celku nie je podla Descarta (podobne ako podľa atomistov) výsledkom kvalitatívnych zmien. Ich kvalitatívnu rozmanitosť chápe ako výraz kvantitatívnej mnohotvárnosti. Preto napr. zviera chápal ako mechanický stroj.

V matematike zaviedol pojem premennej, funkcie, sústavu súradníc (tzv. karteziánsku) a založil analytickú geometriu. (Zdroj: wikipedia)

Súradnice bodov na priamke a v rovine

V dnešnej dobe sa takmer denne stretávame s udávaním polohy – svojho bydliska, miesta stretnutia, lekára, školy, dovolenkovej destinácie, atď. V praxi nato slúžia ulice, čísla domov alebo v modernej počítačovej dobe GPS súradnice. Tento už bežne používaný spôsob sa ale nehodí napríklad pre šachistu, ktorý udáva miesto na šachovnici písmenom a číslom (stĺpce a rady).

Podobne budeme postupovať aj my. Polohu bodov (súradnice) budeme popisovať pomocou číselnej osi a polohu bodov (súradnice) v rovine budeme popisovať pomocou karteziánskej súradnicovej sústavy.

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

2

Súradnice bodov na priamke

Na ľubovoľnej priamke p zvolíme najprv bod O , a potom bod I tak, aby

.1OI Každému bodu X priamky p priradíme reálne číslo OXx , ak leží bod X

na polpriamke OI a číslo OXx , ak leží bod X na polpriamke opačnej

k polpriamke .OI Priamka p nám následne predstavuje číselnú os.

(obrázky zakreslené v programe Geogebra)

Súradnice bodov v rovine

Dvojica číselných os yx, v rovine, pre ktoré platí, že obidve osi sú navzájom

kolmé a ich priesečníku O zodpovedá na obidvoch osiach číslo 0 , sa nazýva

karteziánska súradnicová sústava v rovine. Bod O sa nazýva počiatok

karteziánskej súradnicovej sústavy a priamky yx, sa nazývajú súradnicové osi.

Zápis súradnice bodov na priamke

Číslo určujúce súradnicu bodu na priamke predstavuje jeho polohu na číselnej osi.

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

3

9;7;0;1;6 EDCBA

Zápis súradníc bodov v rovine

Bodom A vedieme rovnobežky so súradnicovými osami. Každá rovnobežka pretne súradnicovú os x a y v konkrétnom čísle. Uvedené čísla predstavujú súradnice

bodu A , teda .4;7A

Príklad 1. Zvoľte karteziánsku súradnicovú sústavu a zobrazte v nej body

.2;0,0;3,6;5,1;2,3;1 FEDCB

Riešenie:

Výpočet stredu úsečky na priamke

Pre stred sS úsečky AB na priamke, pričom bBaA , platí:

2

bas

.

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

4

Výpočet stredu úsečky v rovine

Pre stred 21;ssS úsečky AB v rovine, pričom 2121 ;,; bbBaaA platí:

2,

2

222

111

bas

bas

.

Príklad 2. Vypočítajte súradnice stredu úsečky AB , ak platí

a) ,6,5,3 BA

b) .2;3,1,6;25,2 DC

Riešenie: 1. Použitím vzorca na výpočet súradnice stredu úsečky na priamke dostaneme

25,12

5,2

2

65,3

2

bas

Pre stred úsečky AB platí .25,1S

2. Použitím vzorca na výpočet súradníc stredu úsečky v rovine dostaneme

475,02

95,0

2

3,125,2

2

111

bas

2

2

4

2

26

2

222

bas

Pre stred úsečky AB platí .2;475,0S

Riešenie cvičení:

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

5

Vzdialenosť dvoch bodov na priamke a v rovine

Vzdialenosť dvoch bodov na priamke

Dané sú body bBaA , na priamke (viď obrázok).

Vzdialenosť bodov A a B je daná ako dĺžka úsečky AB a vypočítame ju

podľa vzorca:

abAB

Príklad 1. Vypočítajte vzdialenosť bodov A a B , ak je dané:

a. ;2,5 BA

b. ;3,2 BA

c. .8,1 BA

Riešenie: Dosadením do vzorca dostaneme:

a. 3352 AB

b. 552323 AB

c. .771818 AB

Dĺžky jednotlivých úsečiek sú .7,5,3

Vzdialenosť dvoch bodov v rovine

V súradnicovej sústave sú dané dva body 2121 ,;, bbBaaA (viď obrázok).

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

6

Z obrázka vyplýva, že .; 2211 abBCabAC Z Pytagorovej vety

dostávame pre vzdialenosť dvoch bodov v rovine vzťah:

222

2

11 ababAB

Príklad 2.

Vypočítajte vzdialenosť bodov A a B , ak je dané .8;2,1;3 BA

Riešenie: Dosadením do vzorca dostaneme:

7449257518321832222222

AB

Dĺžka úsečky AB je rovná 74 .

Príklad 3. Na súradnicovej osi y nájdite bod M , ktorý má rovnakú vzdialenosť od začiatku

súradnicovej sústavy a od bodu .4;8 A

Riešenie:

Bod M ležiaci na súradnicovej osi y má súradnice .;0 yM Zo zadania príkladu

vyplýva, že ,MAMO pričom .0;0O Dosadením do uvedeného vzťahu dostávame:

2222408000 yy

2222 480 yy

22 816640 yyy

22 880 yyy / 2 22 880 yyy / 802 y

808 y / 8:

.10y

Bod uvedených vlastností má súradnice .10;0 M

Vektor, súradnice vektora a veľkosť vektora

Vektor

Vo fyzike často potrebujeme pri niektorých veličinách znázorniť nielen ich veľkosť, ale aj smer (napríklad sila, rýchlosť, zrýchlenie, ...). Preto ich znázorňujeme úsečkami, u ktorých je daný začiatočný a koncový bod – orientovanými úsečkami. Graficky orientovanú úsečku znázorňujeme ako úsečku so šípkou pri koncovom bode (viď obrázok).

(nakreslené v programe Geogebra)

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

7

Orientovanú úsečku so začiatočným bodom A a koncovým bodom B

zapisujeme v texte symbolom AB. Veľkosť orientovanej úsečky AB je vzdialenosť bodov, A, B.

Dve orientované úsečky budú určovať rovnaký vektor, ak budú rovnako veľké a budú mať rovnaký smer.

Ktoré orientované úsečky na obrázku určujú rovnaký vektor?

(nakreslené v programe Geogebra)

Vidíme, že orientované úsečky AB, EF, IJ majú rovnakú veľkosť a orientované úsečky AB, EF, GH majú rovnaký smer. Rovnaký vektor teda určujú orientované úsečky AB a EF. Z uvedeného vyplýva, že orientované úsečky AB, CD majú rovnaký smer práve vtedy, keď

a) priamky AB a CD sú rovnobežné rôzne a body B, D ležia v tej istej polrovine s hraničnou priamkou AC (viď obrázok),

(nakreslené v programe Geogebra)

alebo b) priamky AB a CD sú totožné a prienikom polpriamok AB a CD je opäť

polpriamka (viď obrázok).

(nakreslené v programe Geogebra)

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

8

Vektor je množina všetkých orientovaných úsečiek, ktoré majú rovnakú veľkosť a rovnaký smer.

Označenie: vektory označujeme malými tučnými písmenami alebo v písomnom zápise so šípkou, napr. orientovaná úsečku AB určuje vektor u.

Súradnice vektora

Dané sú body 21,aaA a ., 21 bbB . Súradnice vektora u, ktorý je určený

orientovanou úsečkou AB vypočítame:

111 abu 222 abu

Zapisujeme: u = ., 21 uu Symbolický zápis u = B – A.

Súradnice vektora nezávisia od toho, ktorou orientovanou úsečkou budú určené.

Naopak, ak je daný bod A a vektor u, nájdeme jediný bod B tak, že orientovaná úsečka AB je umiestnením vektora u. Jeho súradnice budú:

111 uab 222 uab

Bod B zapisujeme symbolicky v tvare B = A + u.

Veľkosť vektora

Veľkosť vektora u je veľkosť akejkoľvek orientovanej úsečky AB, ktorá vektor u určuje. Označujeme ho symbolom |u|.

Špeciálne prípady:

|u| = 1, vektor u sa nazýva jednotkový vektor,

|u| = 0, vektor u sa nazýva nulový vektor (počiatočný bod splýva s koncovým bodom).

V rovine platí pre vzdialenosť dvoch bodov 2121 ;,; bbBaaA vzťah

222

2

11 ababAB .

Taktiež vieme, že súradnice vektora u = B – A sú čísla

.; 222111 abuabu

Pre každý vektor u = 21,uu v rovine platí

|u| = 2

2

2

1 uu

Príklad 1.

V rovine sú dané body .1;2,4;3 BA Vypočítajte súradnice vektora u = B – A.

Riešenie: Dosadením do vzorca dostaneme

u = 5;541;3241;32 AB .

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

9

Súradnice vektora u = B – A sú .5;5

Príklad 2.

V rovine je daný bod 5;6 A a vektor u .2;1 Vypočítajte súradnice bodu

AB u. Riešenie: Dosadením do vzorca dostaneme

AB u .7;525;1625;16

Súradnice bodu AB u sú .7;5

Príklad 3.

V rovine sú dané body .4;3,1;2 DC Určte súradnice vektora u = CD a veľkosť

vektora u = CD. Riešenie: Dosadením do vzorca dostaneme súradnice vektora

u = CD .5;514;2314;23 CD

Pre veľkosť vektora platí

|u| .50252555 222

2

2

1 uu

Súradnice vektora u = CD sú 5;5 a jeho veľkosť je .50

Operácie s vektormi

Sčítanie vektorov

Pre každé dva vektory u = 21;uu , v = 21;vv platí:

u + v = 2211 ; vuvu .

Graficky:

(nakreslené v programe Geogebra)

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

10

Súčet vektorov u = B – A, v = C – B je vektor w = C – A. Zapisujeme u + v = C – A.

Pri sčítaní vektorov nezávisí na voľbe umiestnenia jednotlivých vektorov. Preto platí pre každé dva vektory u, v a pre každé tri vektory u, v, w:

u + v = v + u (komutatívnosť) (u + v) + w = u + (v + w) (asociatívnosť).

Grafické overenie prvej z uvedených vlastností (komutatívnosť):

(nakreslené v programe Geogebra)

Rozdiel vektorov

Ak u = B – A, tak vektor A – B sa nazýva opačný vektor k vektoru u a označuje sa –u. V rovine platí:

u = 21;uu -u = .; 21 uu

Graficky (v = – u):

(nakreslené v programe Geogebra)

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

11

Rozdiel vektorov v a u (označujeme w = v – u) bude predstavovať w = v + (-u), teda k prvému vektoru pripočítame vektor navzájom opačný k druhému vektoru.

Graficky:

(nakreslené v programe Geogebra)

Násobenie vektora číslom

Násobok vektora u = B – A číslom 0Rk je vektor v = C – A, pričom C je

bod, pre ktorý platí:

,. ABkAC

pre k >0, leží bod C na polpriamke AB, pre k <0 leží bod C na polpriamke opačnej k polpriamke AB.

Vektor v = C – A označujeme symbolom .k u.

Graficky (výsledný vektor je v obrázku kvôli prehľadnosti zakreslený v inom umiestnení):

napr. 2k

(nakreslené v programe Geogebra)

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

12

napr. 5,0k

(nakreslené v programe Geogebra).

Pre každý vektor u = 21;uu v rovine a každé číslo 0Rk platí:

.k u = ..;. 21 ukuk

Príklad

V rovine sú dané body .0;3,1;2,4;5 CBA Vypočítajte:

a. súradnice vektora u = AB, b. súradnice vektora v = CB, c. opačný vektor k vektoru v, d. súčet vektorov u + v, e. rozdiel vektorov v – u, f. násobok vektora 3.u.

Riešenie: Dosadením do vzťahov dostaneme

a. u = AB = B – A = 3;741;52 ,

b. v = CB = B – C = ,1;501;32

c. –v = ,1;5

d. u + v = ,2;1213;57

e. v – u = ,4;231;75

f. 3.u = .9;21

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

13

Obsah

Analytická geometria lineárnych útvarov..................................................................... 1

Súradnice bodov na priamke a v rovine...................................................................... 1

Vzdialenosť dvoch bodov na priamke a v rovine......................................................... 5

Vektor, súradnice vektora a veľkosť vektora............................................................... 6

Operácie s vektormi..................................................................................................... 9

Pripravila: RNDr. Hedviga Kovaľová