Spieltheorie · 2014-03-26 · Spieltheorie University of Bonn Professor Dezsö Szalay Winter 2013/14 Re–nements of Perfect Bayesian Equilibrium Dieser Teil basiert auf Gibbons,

Spieltheorie

Dezsö Szalay

University of Bonn

Winter 2013/14

Dezsö Szalay (University of Bonn) Spieltheorie Winter 2013/14 1 / 1

SpieltheorieUniversity of Bonn

Professor Dezsö SzalayWinter 2013/14

Re�nements of Perfect Bayesian EquilibriumDieser Teil basiert auf Gibbons, R. (1992) A primer in Game Theory,Kapitel 4Das Konzept des Perfect Bayesian Equilibrium verhindert dass Spieler ieine Strategie spielt, die strikt dominiert ist im Fortsetzungsspielbeginnend an einer Informationsmenge von Spieler i . Daher sollte Spieler jnicht glauben, dass Spieler i eine derart dominierte Strategie spielt!


Betrachten wir folgendes Spiel:


Es gibt hier zwei PBEs: (L, L0, p = 1) und�R,R 0, p � 1

2

�Beide Konstellationen sind PBE�s; Im letzteren Gleichgewicht liegt Spieler2�s Informationsmenge abseits des Gleichgewichtspfades.Jedoch:Strategy M ist dominiert für Spieler 1. Der höchstmögliche Payo¤ aus M(1) ist kleiner als 2 (dem Payo¤ aus R).Das würde aber implizieren dass 1� p = 0 () p = 1, aber daswiederum widerspricht p � 1

2 .

Dieses Beispiel illustriert die Idee nicht exakt!Strategy M ist nicht nur dominiert im Fortsetzungsspiel beginnend anSpieler 1�s Informationsmenge sondern ganz einfach strikt dominiert (imganzen Spiel).


De�nition: Betrachten wir eine Informationsmenge an der Spieler i amZug ist. Die Strategie s 0i ist strikt dominiert beginnend an dieserInformationsmenge wenn eine andere Strategie si existiert sodass für jedenbelief den i haben könnte an diesem Informationsset und für allemöglichen Kombinationen von Strategien der anderen Spieler imFortsetzungsspiel, der erwartete Payo¤ für Spieler i aus der Strategie sistrikt höher ist als der erwartete Payo¤ aus der Strategie s 0i .

Anforderung 5: Wenn immer möglich, sollte der belief jedes SpielersWahrscheinlichkeit 0 auf Knoten legen die nur erreicht werden wenn einanderer Spieler eine Strategie spielt, die strikt dominiert ist an einemseiner Informationssets.


Was ist gemeint mit "wenn möglich"?

Wenn wir den Payo¤ am Knoten der durch L, L0 erreicht wird für Spieler 1zu 3/2 ändern, dann sind sowohl L als auch M strikt dominiert.Aber das würde dann implizieren dass p = 0 und p = 1, was unmöglichist.


Beispiel 2 um Anforderung 5 zu illustrieren:


Betrachten wir das Pooling Gleichgewicht f(L, L), (u, d), p = 0.5, qgfor q � 1

2 .Der Knoten nachdem t1 R gespielt hat kann nur erreicht werden wenn t1eine dominierte Strategie gespielt hat. Formal sind die Sender Strategien(R, L) und (R,R) dominiert.

Obendrein: der Knoten nachdem t2 R gespielt hat kann erreicht werdenwenn t2 eine Strategien spielt, die nicht dominiert ist (namentlich (L,R)).Insbesondere, wenn der Receiver u spielt als Antwort auf R (was optimalist für q < 1

2 ), dann bevorzugt der Sender vom Typ t2 es in der Tat R zuspielen statt L.

Daher würde also Anforderung 5 einen Belief von q = 0 erfordern.Daher zerstört Anforderung 5 das Gleichgewichtf(L, L), (u, d), p = 0.5, qg for q � 1

2 .


In Signalisierungsspielen ist die folgende De�nition äquivalent zu derobenstehenden:

De�nition: In einem signaling Spiel ist die Message mj in M dominiert fürden Typen ti in T wenn es eine andere message mj 0 in M gibt sodass derniedrigste Payo¤ des Typs ti (resultierend) aus mj 0 höher ist als dergrösstmögliche Payo¤ von ti (resultierend) aus mj :

minak2A

US (ti ,mj 0 , ak ) > maxak2A

US (ti ,mj , ak )

Signaling Anforderung 5: Wenn eine Informationsmenge folgend auf mjabseits des Gleichgewichtspfads liegt und mj ist dominiert für Typ ti , dannsollte (wenn möglich) der belief des Receivers, µ(ti j mj ), Null Gewichtlegen auf den Typen ti . (Und das ist möglich falls nicht mj dominiert istfür alle Typen in T .)


In einigen Spielen, sind aber auch Gleichgewichte, auch wenn sieAnforderung 5 genügen, trotzdem nicht sinnvoll.Welche weiteren Anforderungen können hinzugefügt werden umunvernünftige Gleichgewichte auszuschliessen?

The intuitive criterion (Cho and Kreps (1987) QJE))

Betrachten wir das folgende Beer and Quiche Spiel:

t1 t2

Senderwimpy

(mit prob. 0, 1)surly

(mit prob. 0, 9)

Sender�s message: Quiche oder Bier zum Frühstück.Receiver�s action: duel or not with sender.Der Wimp (die Memme) bevorzugt Quiche zum Frühstück.Der surly type (selbstbewusste Typ) bevorzugt Bier zum Frühstück.Beide Typen bevorzugen es, sich nicht zu duellieren.Der Receiver möchte sich mit dem Wimp duellieren aber nicht mit demselbstbewussten Typen.Dezsö Szalay (University of Bonn) Spieltheorie Winter 2013/14 1 / 1

Der Spielbaum:


f(Quiche, Quiche), (not, duel), p = 0, 1, qg ist ein PBE für jeglichesq � 1

2 .

Das Gleichgewicht genügt der Signaling Anforderung 5, da Bier nichtdominiert ist für keinen der Sender Typen.Der minimale Payo¤ aus Quiche Quiche für den Wimp ist 1, was nichthöher ist als der maximale Payo¤ aus Bier, 2.Jedoch ist der Belief abseits des Pfads dennoch seltsam!q � 1

2 bedeutet, dass der Receiver es für wahrscheinlicher hält, dass dieAbweichung vom Wimp kommt.Aber,(a) der Wimp kann sich unmöglich verbessern relativ zu seinemGleichgewichtspayo¤ (3) wenn er Bier frühstückt, während dessen(b) der selbstbewusste Typ sich sehr wohl verbessern könnte relativ zuseinem Gleichgewichtspayo¤ (2) wenn er Bier frühstückt (solange q < 1

2 )


Der Sender könnte die folgende Rede halten:Wenn du mich ein Bier trinken siehst, dann sollte dich das überzeugen,dass ich selbstbewusst bin: wenn ich eine Memme wäre, dann könnte dasBier unmöglich meine Situation verbessern (a); und falls dich ein Biertatsächlich glauben lässt, du habest es mit dem selbstbewussten Typen zutun, dann stellt mich das wirklich besser wenn ich tatsächlich derselbstbewusste Typ bin (b).


De�nition: In einem PBE in einem Signaling Spiel ist die Message mjequilibrium-dominated für Typ ti wenn ti�s Gleichgewichtspayo¤, U�(ti ),höher ist als ti�s höchstmöglicher Payo¤ aus mj :

U�(ti ) > maxak2A

US (ti ,mj , ak ).

Signaling Anforderung 6 ("The intuitive criterion): Wenn eineInformationsmenge folgend auf die Nachricht mj abseits desGleichgewichtspfad ist und mj equilibrium-dominated ist für ti dann (wennmöglich) sollte der Belief des Receivers, µ(ti j mj ), Null Wahrscheinlichkeitlegen auf den Typen ti . (Und das ist wiederum möglich sofern mj nichtequilibrium-dominated ist für alle Typen in T .)

"Beer and Quiche" zeigt dass mj equilibrium-dominated sein kann abernicht dominated für ti . Die Umkehrung ist jedoch nicht wahr. Wenn eineMessage dominiert ist dann muss sie auch equilibrum-dominated sein.

Daher macht Anforderung 6 Anforderung 5 redundant.


Anwendung auf das Job market signaling Spiel:

1) Anforderung 5 schliesst alle Separierungsgleichgewichte aus ausserdiejenigen in denen der niedrige Typ das Niveau e�(L) wählt und der hoheTyp das Niveau e = es wählt, wobei e�(L) und es im der folgendenGraphik �de�niert�werden:


Daw(e) = µ(H j e) � y(H, e) + [1� µ(H j e)] � y(L, e),

wenn der niedrige Typ e�(L) wählt, dann kann er mindestensy [L, e�(L)]� c [L, e�(L)] erhalten, was mehr ist als was er erhalten kannwenn er irgendein e > es wählt.Daher ist e > es dominiert für L.Aber, da E¤ortniveaus e > es nicht dominiert sind für Typ H, diktiertAnforderung 5 dass µ(H j e) = 1 für e > es .Aber dann kann e > es nicht Teil eines Gleichgewichts sein, da daserforder würde dass die Receiverbeliefs µ(H j e) < 1 für irgendein e > eserfüllen müssten.Daher genügt nur gerade ein Separierungsgleichgewicht der Anforderung 5.


2) Daraus folgt (immer noch wegen Anforderung 5) dass in jeglichemGleichgewicht, der hohe Typ mindestens y(H, es )� c(H, es ) bekommenmuss.

Dies schliesst einige Hybrid und Pooling Gleichgewichte aus.

Wir unterscheiden zwei Fälle nach der Höhe von q (niedrig und hoch).


Fall 1: q niedrig


In diesem Fall überlebt kein Pooling Gleichgewicht das Re�nement, da derhohe Typ einen zu geringen Nutzen bekommen würde.

Es überlebt auch kein Hybridgleichgewicht in dem der niedrige Typ mischtdas Re�nement, da die Indi¤erenzkurve des niedrigen Typen unterhalb desminimal notwendigen Nutzenniveaus für den hohen Typen liegt.

Kein Hybridgleichgewicht in dem der hohe Typ mischt überlebt, da dieerwartete Produktivitätslinie dann unterhalb der durchschnittlichen läge.


Fall 2: q hoch


Einige Pooling und Hybrid Gleichgewichte genügen Signaling Anforderung5.Aber Anforderung 6 schliesst diese Gleichgewichte aus.

Insert graph here:e > e 0 sind equilibrium-dominated für den niedrigen Typen.e 2 (e 0, e 00) sind nicht equilibrium-dominated für den hohen Typen.Daher diktiert Anforderung 6 dass µ(H j e) = 1 für e 2 (e 0, e 00).


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