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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Vorlesung uber ElementargeometrieD. Schuth, Sommersemester 2008Heute zum Thema:
Spharische Geometrie
Wer? Annette Huck
Wo? Fakultat fur MathematikHU Berlin
Wann? 16. Juli 2008
Mitschreiben? Unmoglich! Wird online gestellt.
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Geometrie ist ...
... Geometrie auf der Kugeloberflache (= Sphare).
Diese Vorlesung soll Ihnen einen ersten Uberblick uberdiese besondere Geometrie geben, und dabei
von den folgendenFragen geleitet sein:
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Spharische Geometrie ist ...
... Geometrie auf der Kugeloberflache (= Sphare).
Diese Vorlesung soll Ihnen einen ersten Uberblick uberdiese besondere Geometrie geben, und dabei
von den folgendenFragen geleitet sein:
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Spharische Geometrie ist ...
... Geometrie auf der Kugeloberflache (= Sphare).
Diese Vorlesung soll Ihnen einen ersten Uberblick uberdiese besondere Geometrie geben,
und dabei
von den folgendenFragen geleitet sein:
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Spharische Geometrie ist ...
... Geometrie auf der Kugeloberflache (= Sphare).
Diese Vorlesung soll Ihnen einen ersten Uberblick uberdiese besondere Geometrie geben, und dabei
von den folgendenFragen geleitet sein:
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Fragestellungen der Vorlesung
1. Welche bemerkenswerten Punkte und Linien gibt es aufder Kugeloberflache?
2. Welchen Abstand haben Punkte auf derKugeloberflache?
3. Was sind deshalb die Punkte mit gleichem Abstand zueinem Zentrum, d.h. Kreise auf der Kugeloberflache?
4. Wie kann uns die Kugeloberflache als Modell fur eineneue nicht-euklidische Geometrie dienen?
5. Wie ubertragen sich die bekannten n-Ecke auf dieKugeloberflache? Und welche Eigenschaften haben sie?
6. Wie berechnet man unbekannte Stucken (d.h. Winkelund Langen) analog zur euklidischen Trigonometrie?
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Fragestellungen der Vorlesung
1. Welche bemerkenswerten Punkte und Linien gibt es aufder Kugeloberflache?
2. Welchen Abstand haben Punkte auf derKugeloberflache?
3. Was sind deshalb die Punkte mit gleichem Abstand zueinem Zentrum, d.h. Kreise auf der Kugeloberflache?
4. Wie kann uns die Kugeloberflache als Modell fur eineneue nicht-euklidische Geometrie dienen?
5. Wie ubertragen sich die bekannten n-Ecke auf dieKugeloberflache? Und welche Eigenschaften haben sie?
6. Wie berechnet man unbekannte Stucken (d.h. Winkelund Langen) analog zur euklidischen Trigonometrie?
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Fragestellungen der Vorlesung
1. Welche bemerkenswerten Punkte und Linien gibt es aufder Kugeloberflache?
2. Welchen Abstand haben Punkte auf derKugeloberflache?
3. Was sind deshalb die Punkte mit gleichem Abstand zueinem Zentrum, d.h. Kreise auf der Kugeloberflache?
4. Wie kann uns die Kugeloberflache als Modell fur eineneue nicht-euklidische Geometrie dienen?
5. Wie ubertragen sich die bekannten n-Ecke auf dieKugeloberflache? Und welche Eigenschaften haben sie?
6. Wie berechnet man unbekannte Stucken (d.h. Winkelund Langen) analog zur euklidischen Trigonometrie?
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Fragestellungen der Vorlesung
1. Welche bemerkenswerten Punkte und Linien gibt es aufder Kugeloberflache?
2. Welchen Abstand haben Punkte auf derKugeloberflache?
3. Was sind deshalb die Punkte mit gleichem Abstand zueinem Zentrum, d.h. Kreise auf der Kugeloberflache?
4. Wie kann uns die Kugeloberflache als Modell fur eineneue nicht-euklidische Geometrie dienen?
5. Wie ubertragen sich die bekannten n-Ecke auf dieKugeloberflache? Und welche Eigenschaften haben sie?
6. Wie berechnet man unbekannte Stucken (d.h. Winkelund Langen) analog zur euklidischen Trigonometrie?
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Fragestellungen der Vorlesung
1. Welche bemerkenswerten Punkte und Linien gibt es aufder Kugeloberflache?
2. Welchen Abstand haben Punkte auf derKugeloberflache?
3. Was sind deshalb die Punkte mit gleichem Abstand zueinem Zentrum, d.h. Kreise auf der Kugeloberflache?
4. Wie kann uns die Kugeloberflache als Modell fur eineneue nicht-euklidische Geometrie dienen?
5. Wie ubertragen sich die bekannten n-Ecke auf dieKugeloberflache? Und welche Eigenschaften haben sie?
6. Wie berechnet man unbekannte Stucken (d.h. Winkelund Langen) analog zur euklidischen Trigonometrie?
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Fragestellungen der Vorlesung
1. Welche bemerkenswerten Punkte und Linien gibt es aufder Kugeloberflache?
2. Welchen Abstand haben Punkte auf derKugeloberflache?
3. Was sind deshalb die Punkte mit gleichem Abstand zueinem Zentrum, d.h. Kreise auf der Kugeloberflache?
4. Wie kann uns die Kugeloberflache als Modell fur eineneue nicht-euklidische Geometrie dienen?
5. Wie ubertragen sich die bekannten n-Ecke auf dieKugeloberflache? Und welche Eigenschaften haben sie?
6. Wie berechnet man unbekannte Stucken (d.h. Winkelund Langen) analog zur euklidischen Trigonometrie?
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Motivation
Geometrie auf der Kugeloberflache ...
... aus welchem Grundist das interessant?
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Motivation
Geometrie auf der Kugeloberflache ...
... aus welchem Grundist das interessant?
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Motivation
Zunachst einmal ergeben sich die Problemstellungen derspharischen Geometrie auf naturliche Weise in der
I Astronomie
I Geodasie
I Nautik
I Kartographie.
Deshalb ist die spharische Geometrie bereits seit derAntike Gegenstand mathematischer Forschung.
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Motivation
Zunachst einmal ergeben sich die Problemstellungen derspharischen Geometrie auf naturliche Weise in der
I Astronomie
I Geodasie
I Nautik
I Kartographie.
Deshalb ist die spharische Geometrie bereits seit derAntike Gegenstand mathematischer Forschung.
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Motivation
Zunachst einmal ergeben sich die Problemstellungen derspharischen Geometrie auf naturliche Weise in der
I Astronomie
I Geodasie
I Nautik
I Kartographie.
Deshalb ist die spharische Geometrie bereits seit derAntike Gegenstand mathematischer Forschung.
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Motivation
Zunachst einmal ergeben sich die Problemstellungen derspharischen Geometrie auf naturliche Weise in der
I Astronomie
I Geodasie
I Nautik
I Kartographie.
Deshalb ist die spharische Geometrie bereits seit derAntike Gegenstand mathematischer Forschung.
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Motivation
Zunachst einmal ergeben sich die Problemstellungen derspharischen Geometrie auf naturliche Weise in der
I Astronomie
I Geodasie
I Nautik
I Kartographie.
Deshalb ist die spharische Geometrie bereits seit derAntike Gegenstand mathematischer Forschung.
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Motivation
Zunachst einmal ergeben sich die Problemstellungen derspharischen Geometrie auf naturliche Weise in der
I Astronomie
I Geodasie
I Nautik
I Kartographie.
Deshalb ist die spharische Geometrie bereits seit derAntike Gegenstand mathematischer Forschung.
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Motivation
Scriba undSchreiber in5000 Jahre
Geometrie uberdie Antike:
”[...] Neben der ebenen Trigonometrie benotigt der
Astronom aber auch die spharische, stellt sich doch dergestirnte Himmel dem Beobachter in Gestalt einer Kugeldar, so dass die einfachste geometrische Figur das ausGroßkreisbogen gebildete spharische Dreieck ist. Eineerste Sammlung von Lehrsatzen aus diesem Bereichhatte um 100 v. Chr. Theodosios von Pitane angelegt.“
Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie, S.81
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Motivation
Weiterhinschreiben sie:
”Das Interesse an der Astronomie war seit den altesten
Kulturen bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts eine derstarksten Triebfedern fur die Beschaftigung mitMathematik. [...]“
Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie, S.253
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Motivation
ZurRenaissance
bemerken sie:
”Seit dem 15. Jahrhundert kommt aber die Rolle der
Astronomie als Hilfswissenschaft fur die sichentwickelnde Nautik und Geodasie hinzu, die im Laufevon etwa 300 Jahren die Astrologie als
’Motor‘ der
Astronomie fast vollig ablosen werden. Astronomie istaus mathematischer Sicht zunachst einmal dieGeometrie der auf einer gedachten Kugel projiziertenBewegungsablaufe am Himmel. Daher ist es nichtverwunderlich, dass die spharische Trigonometrie sichlange Zeit gleichrangig neben der ebenen Trigonometrieentwickelte (wahrend sie doch kein Bestandteil heutigermathematischer Schul- und Allgemeinbildung mehr ist).“
Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie, S.253
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Literaturempfehlung
Scriba, Schreiber5000 Jahre Geometrie
Geschichte, Kulturen, Menschen
Springer Berlin Heidelberg2. erw. Auflage, 2004
Insbesondere: Kapitel 5.2Geometrie in Astronomie, Geodasie und
Kartographie
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Notation
Wir betrachtenab jetzt stets:
S2 := {A ∈ R3 | ‖A‖ = 1} die Einheitssphare in R3
d.h. Radius ist 1
Auf der Spharefuhren wir Ku-gelkoordinaten
ein:
z
y
xϕ
ϑ
x = cos ϕ cos ϑy = sinϕ cos ϑz = sinϑ
−π ≤ ϕ ≤ πgeographische Lange
−π2 ≤ ϑ ≤ π
2geographische Breite
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Notation
Wir betrachtenab jetzt stets:
S2 := {A ∈ R3 | ‖A‖ = 1} die Einheitssphare in R3
d.h. Radius ist 1
Auf der Spharefuhren wir Ku-gelkoordinaten
ein:
z
y
xϕ
ϑ
x = cos ϕ cos ϑy = sinϕ cos ϑz = sinϑ
−π ≤ ϕ ≤ πgeographische Lange
−π2 ≤ ϑ ≤ π
2geographische Breite
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Notation
Wir betrachtenab jetzt stets:
S2 := {A ∈ R3 | ‖A‖ = 1} die Einheitssphare in R3
d.h. Radius ist 1
Auf der Spharefuhren wir Ku-gelkoordinaten
ein:
z
y
xϕ
ϑ
x = cos ϕ cos ϑy = sinϕ cos ϑz = sinϑ
−π ≤ ϕ ≤ πgeographische Lange
−π2 ≤ ϑ ≤ π
2geographische Breite
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Notation
Wir betrachtenab jetzt stets:
S2 := {A ∈ R3 | ‖A‖ = 1} die Einheitssphare in R3
d.h. Radius ist 1
Auf der Spharefuhren wir Ku-gelkoordinaten
ein:
z
y
xϕ
ϑ
x = cos ϕ cos ϑy = sinϕ cos ϑz = sinϑ
−π ≤ ϕ ≤ πgeographische Lange
−π2 ≤ ϑ ≤ π
2geographische Breite
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Notation
Wir betrachtenab jetzt stets:
S2 := {A ∈ R3 | ‖A‖ = 1} die Einheitssphare in R3
d.h. Radius ist 1
Auf der Spharefuhren wir Ku-gelkoordinaten
ein:
z
y
xϕ
ϑ
x = cos ϕ cos ϑy = sinϕ cos ϑz = sinϑ
−π ≤ ϕ ≤ πgeographische Lange
−π2 ≤ ϑ ≤ π
2geographische Breite
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Notation
Großkreis :=
Schnittmenge derSphare S2 undeiner Ebene, diedurch denMittelpunkt 0geht
z
y
x
E
2S
AntipodalePunkte :=
zwei Punkte auf S2 deren Verbindungsstrecke durch denMittelpunkt 0 geht
(heißen auch Antipodenpunkte oder diametrale Punkte)
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Notation
Großkreis := Schnittmenge derSphare S2 undeiner Ebene, diedurch denMittelpunkt 0geht
z
y
x
E
2S
AntipodalePunkte :=
zwei Punkte auf S2 deren Verbindungsstrecke durch denMittelpunkt 0 geht
(heißen auch Antipodenpunkte oder diametrale Punkte)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Notation
Großkreis := Schnittmenge derSphare S2 undeiner Ebene, diedurch denMittelpunkt 0geht
also S2 ∩∩∩ E
z
y
x
E
2S
AntipodalePunkte :=
zwei Punkte auf S2 deren Verbindungsstrecke durch denMittelpunkt 0 geht
(heißen auch Antipodenpunkte oder diametrale Punkte)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Notation
Großkreis := Schnittmenge derSphare S2 undeiner Ebene, diedurch denMittelpunkt 0geht
also S2 ∩∩∩ E
z
y
x
E
2S
AntipodalePunkte :=
zwei Punkte auf S2 deren Verbindungsstrecke durch denMittelpunkt 0 geht
(heißen auch Antipodenpunkte oder diametrale Punkte)
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Notation
Großkreis := Schnittmenge derSphare S2 undeiner Ebene, diedurch denMittelpunkt 0geht
also S2 ∩∩∩ E
z
y
x
E
2S
AntipodalePunkte :=
zwei Punkte auf S2 deren Verbindungsstrecke durch denMittelpunkt 0 geht
(heißen auch Antipodenpunkte oder diametrale Punkte)
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Notation
Großkreis := Schnittmenge derSphare S2 undeiner Ebene, diedurch denMittelpunkt 0geht
also S2 ∩∩∩ E
z
y
x
E
2S
AntipodalePunkte :=
zwei Punkte auf S2 deren Verbindungsstrecke durch denMittelpunkt 0 geht
(heißen auch Antipodenpunkte oder diametrale Punkte)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Notation
Lemma: Durch je zweinicht antipodalgegenuberliegendePunkte von S2
verlauft genau einGroßkreis.
z
y
x
A
B
Denn: A,B ∈ S2 seien nicht antipodal
=⇒ A,B, 0 nicht kollinear
=⇒ ex. genau eine Ebene E : A,B, 0 ∈ E
und damit genau ein Großkreis E ∩ S2 : A,B ∈ E ∩ S2
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Notation
Lemma: Durch je zweinicht antipodalgegenuberliegendePunkte von S2
verlauft genau einGroßkreis.
z
y
x
A
B
Denn: A,B ∈ S2 seien nicht antipodal
=⇒ A,B, 0 nicht kollinear
=⇒ ex. genau eine Ebene E : A,B, 0 ∈ E
und damit genau ein Großkreis E ∩ S2 : A,B ∈ E ∩ S2
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Notation
Lemma: Durch je zweinicht antipodalgegenuberliegendePunkte von S2
verlauft genau einGroßkreis.
z
y
x
A
B
Denn: A,B ∈ S2 seien nicht antipodal
=⇒ A,B, 0 nicht kollinear
=⇒ ex. genau eine Ebene E : A,B, 0 ∈ E
und damit genau ein Großkreis E ∩ S2 : A,B ∈ E ∩ S2
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Notation
Lemma: Durch je zweinicht antipodalgegenuberliegendePunkte von S2
verlauft genau einGroßkreis.
z
y
x
A
B
Denn: A,B ∈ S2 seien nicht antipodal
=⇒ A,B, 0 nicht kollinear
=⇒ ex. genau eine Ebene E : A,B, 0 ∈ E
und damit genau ein Großkreis E ∩ S2 : A,B ∈ E ∩ S2
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Notation
Lemma: Durch je zweinicht antipodalgegenuberliegendePunkte von S2
verlauft genau einGroßkreis.
z
y
x
A
B
Denn: A,B ∈ S2 seien nicht antipodal
=⇒ A,B, 0 nicht kollinear
=⇒ ex. genau eine Ebene E : A,B, 0 ∈ E
und damit genau ein Großkreis E ∩ S2 : A,B ∈ E ∩ S2
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Spharischer Abstand
Welchen Abstandhaben Punkte auf der
Kugeloberflache?
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Definition des spharischen Abstands
Definition desAbstands vonzwei Punkten
auf der Sphare:
Seien A,B ∈ S2 und [a, b] Intervall.
dS(A,B) := min
L(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣c : [a, b] −→ R3
stetig differenzierbar,
Bild [c] ⊆ S2,
c(a) = A, c(b) = B
Wobei: L : C1
([a, b], R3
)−→ R+
c 7−→∫ ba ‖c
′(t)‖dtdas aus der Vorlesung bereits bekannte Funktional furdie Lange von Kurven ist.
Das heißt: dS(A,B) soll also als die Lange des kurzesten aufder Sphare verlaufenden Weges von A nach Bdefiniert sein.
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Definition des spharischen Abstands
Definition desAbstands vonzwei Punkten
auf der Sphare:
Seien A,B ∈ S2 und [a, b] Intervall.
dS(A,B) := min
L(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣c : [a, b] −→ R3
stetig differenzierbar,
Bild [c] ⊆ S2,
c(a) = A, c(b) = B
Wobei: L : C1
([a, b], R3
)−→ R+
c 7−→∫ ba ‖c
′(t)‖dtdas aus der Vorlesung bereits bekannte Funktional furdie Lange von Kurven ist.
Das heißt: dS(A,B) soll also als die Lange des kurzesten aufder Sphare verlaufenden Weges von A nach Bdefiniert sein.
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Definition des spharischen Abstands
Definition desAbstands vonzwei Punkten
auf der Sphare:
Seien A,B ∈ S2 und [a, b] Intervall.
dS(A,B) := min
L(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣c : [a, b] −→ R3
stetig differenzierbar,
Bild [c] ⊆ S2,
c(a) = A, c(b) = B
Wobei: L : C1([a, b], R3
)−→ R+
c 7−→∫ ba ‖c
′(t)‖dtdas aus der Vorlesung bereits bekannte Funktional furdie Lange von Kurven ist.
Das heißt: dS(A,B) soll also als die Lange des kurzesten aufder Sphare verlaufenden Weges von A nach Bdefiniert sein.
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Definition des spharischen Abstands
Definition desAbstands vonzwei Punkten
auf der Sphare:
Seien A,B ∈ S2 und [a, b] Intervall.
dS(A,B) := min
L(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣c : [a, b] −→ R3
stetig differenzierbar,
Bild [c] ⊆ S2,
c(a) = A, c(b) = B
Wobei: L : C1
([a, b], R3
)−→ R+
c 7−→∫ ba ‖c
′(t)‖dtdas aus der Vorlesung bereits bekannte Funktional furdie Lange von Kurven ist.
Das heißt: dS(A,B) soll also als die Lange des kurzesten aufder Sphare verlaufenden Weges von A nach Bdefiniert sein.
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Definition des spharischen Abstands
Definition desAbstands vonzwei Punkten
auf der Sphare:
Seien A,B ∈ S2 und [a, b] Intervall.
dS(A,B) := min
L(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣c : [a, b] −→ R3
stetig differenzierbar,
Bild [c] ⊆ S2,
c(a) = A, c(b) = B
Wobei: L : C1
([a, b], R3
)−→ R+
c 7−→∫ ba ‖c
′(t)‖dtdas aus der Vorlesung bereits bekannte Funktional furdie Lange von Kurven ist.
Das heißt: dS(A,B) soll also als die Lange des kurzesten aufder Sphare verlaufenden Weges von A nach Bdefiniert sein.
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Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)
Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
Ac(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn: Da Winkel und Kurvenlangen auf der Sphare invari-
ant unter Drehung um den Nullpunkt sind, drehen wiroBdA so, dass A und B auf einem Meridian liegen.
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
Ac(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCAL(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
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Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
c(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
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Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
Ac(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
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Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
Ac(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Page 51
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
c(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Page 52
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
c(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
c ′(t) = ϑ′(t)
0BB@− cos ϕ(t) sin ϑ(t)
− sin ϕ(t) sin ϑ(t)
cos ϑ(t)
1CCA+ϕ′(t) cos ϑ(t)
0BB@− sin ϕ(t)
cos ϕ(t)
0
1CCA↑ orthogonale Einheitsvektoren ↑
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Page 53
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
c(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
c ′(t) = ϑ′(t)
0BB@− cos ϕ(t) sin ϑ(t)
− sin ϕ(t) sin ϑ(t)
cos ϑ(t)
1CCA+ϕ′(t) cos ϑ(t)
0BB@− sin ϕ(t)
cos ϕ(t)
0
1CCA↑ orthogonale Einheitsvektoren ↑
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
c(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
c ′(t) = ϑ′(t)
0BB@− cos ϕ(t) sin ϑ(t)
− sin ϕ(t) sin ϑ(t)
cos ϑ(t)
1CCA+ϕ′(t) cos ϑ(t)
0BB@− sin ϕ(t)
cos ϕ(t)
0
1CCA‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
c(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Page 56
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
c(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c)
=b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Page 57
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
c(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt
≥b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Page 58
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
c(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt
≥ |b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Page 59
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
c(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
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Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
c(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)|
= ](A,B)
Page 61
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Es gilt: L(c) ≥ ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Denn:
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
c(t) und ](A,B) in Kugel-koordinaten ϕ(t) und ϑ(t)parametrisiert:
](A,B) = |ϑ(b) − ϑ(a)|
c(t) =
0BB@cos ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϕ(t) cos ϑ(t)
sin ϑ(t)
1CCA
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt ≥
b∫a|ϑ′(t)|dt ≥ |
b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Gleichheit? L(c) = ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)
Nocheinmal dieAbschatzung
von eben:
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt
(1.)
≥b∫a|ϑ′(t)|dt
(2.)
≥ |b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Gleichheitsfall
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
L(c) = ](A,B) ⇐⇒
c verlauft monoton aufdem kurzeren Stuck desGroßkreisbogens
Page 63
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Berechnung des spharischen Abstands
Gleichheit? L(c) = ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Nocheinmal die
Abschatzungvon eben:
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt
(1.)
≥b∫a|ϑ′(t)|dt
(2.)
≥ |b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Gleichheitsfall
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
L(c) = ](A,B) ⇐⇒
c verlauft monoton aufdem kurzeren Stuck desGroßkreisbogens
Page 64
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Berechnung des spharischen Abstands
Gleichheit? L(c) = ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Nocheinmal die
Abschatzungvon eben:
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt
(1.)
≥b∫a|ϑ′(t)|dt
(2.)
≥ |b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Gleichheitsfall
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
L(c) = ](A,B) ⇐⇒
c verlauft monoton aufdem kurzeren Stuck desGroßkreisbogens
Page 65
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Berechnung des spharischen Abstands
Gleichheit? L(c) = ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Nocheinmal die
Abschatzungvon eben:
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt
(1.)
≥b∫a|ϑ′(t)|dt
(2.)
≥ |b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Gleichheitsfall
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
L(c) = ](A,B) ⇐⇒
c verlauft monoton aufdem kurzeren Stuck desGroßkreisbogens
Page 66
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Berechnung des spharischen Abstands
Gleichheit? L(c) = ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Nocheinmal die
Abschatzungvon eben:
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt
(1.)
≥b∫a|ϑ′(t)|dt
(2.)
≥ |b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Gleichheitsfall
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
L(c) = ](A,B) ⇐⇒
(1.) ϕ′(t) ≡ 0 d. h. cverlauft auf dem Großkreis
c verlauft monoton aufdem kurzeren Stuck desGroßkreisbogens
Page 67
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Berechnung des spharischen Abstands
Gleichheit? L(c) = ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Nocheinmal die
Abschatzungvon eben:
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt
(1.)
≥b∫a|ϑ′(t)|dt
(2.)
≥ |b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Gleichheitsfall
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
L(c) = ](A,B) ⇐⇒
(1.) ϕ′(t) ≡ 0 d. h. cverlauft auf dem Großkreis
(2.) ϑ′(t) ohne Vorzeichen-wechsel d. h. c verlauftmonoton von A nach B
c verlauft monoton aufdem kurzeren Stuck desGroßkreisbogens
Page 68
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Berechnung des spharischen Abstands
Gleichheit? L(c) = ](A,B) ∀c ∈ C1([a, b], R3
)Nocheinmal die
Abschatzungvon eben:
‖c ′(t)‖2 = ϑ′(t)2 + ϕ′(t)2 cos ϑ(t)2 ≥ ϑ′(t)2
L(c) =b∫a‖c ′(t)‖dt
(1.)
≥b∫a|ϑ′(t)|dt
(2.)
≥ |b∫a
ϑ′(t)dt|
= |ϑ(b)− ϑ(a)| = ](A,B)
Gleichheitsfall
y
x
z
ϑ
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
ϕ
L(c) = ](A,B) ⇐⇒
c verlauft monoton aufdem kurzeren Stuck desGroßkreisbogens
Page 69
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Resultat dS(A,B) = ](A,B)
Der spharische Abstandist gerade der euklidischeWinkel zwischen A und Bvom Nullpunkt aus im Bo-genmaß y
x
z
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
Definition desSkalarprodukts:
‖A‖︸︷︷︸=1
· ‖B‖︸︷︷︸=1
· cos ](A,B) = 〈A|B〉
ergibt: dS(A,B) = ](A,B) = arccos 〈A|B〉
Page 70
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Resultat dS(A,B) = ](A,B)
Der spharische Abstandist gerade der euklidischeWinkel zwischen A und Bvom Nullpunkt aus im Bo-genmaß y
x
z
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
Definition desSkalarprodukts:
‖A‖︸︷︷︸=1
· ‖B‖︸︷︷︸=1
· cos ](A,B) = 〈A|B〉
ergibt: dS(A,B) = ](A,B) = arccos 〈A|B〉
Page 71
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Resultat dS(A,B) = ](A,B)
Der spharische Abstandist gerade der euklidischeWinkel zwischen A und Bvom Nullpunkt aus im Bo-genmaß y
x
z
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
Definition desSkalarprodukts:
‖A‖︸︷︷︸=1
· ‖B‖︸︷︷︸=1
· cos ](A,B) = 〈A|B〉
ergibt: dS(A,B) = ](A,B) = arccos 〈A|B〉
Page 72
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Berechnung des spharischen Abstands
Resultat dS(A,B) = ](A,B)
Der spharische Abstandist gerade der euklidischeWinkel zwischen A und Bvom Nullpunkt aus im Bo-genmaß y
x
z
(0,0,−1)
(0,0,1)
B
A
Definition desSkalarprodukts:
‖A‖︸︷︷︸=1
· ‖B‖︸︷︷︸=1
· cos ](A,B) = 〈A|B〉
ergibt: dS(A,B) = ](A,B) = arccos 〈A|B〉
Page 73
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Eigenschaften des spharischen Abstands
I Der spharische Abstand ist invariant unter Drehung um0 und unter Spiegelung an einer Ebene, die durch 0 geht
I (S2, dS) ist ein metrischer Raum
(M1) dS(A,B) > 0 ∀A 6= B(M2) dS(A,B) = dS(B,A) ∀A,B(M3) dS(A,C ) ≤ dS(A,B) + dS(B,C ) ∀A,B,C
[wegen Def. mittels Minimum]
I Der spharische Abstand ist beschrankt, namlich
dS(A,B) ≤ π
I dS(A,B) = π ⇐⇒ A,B liegen antipodal
Page 74
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Eigenschaften des spharischen Abstands
I Der spharische Abstand ist invariant unter Drehung um0 und unter Spiegelung an einer Ebene, die durch 0 geht
I (S2, dS) ist ein metrischer Raum
(M1) dS(A,B) > 0 ∀A 6= B(M2) dS(A,B) = dS(B,A) ∀A,B(M3) dS(A,C ) ≤ dS(A,B) + dS(B,C ) ∀A,B,C
[wegen Def. mittels Minimum]
I Der spharische Abstand ist beschrankt, namlich
dS(A,B) ≤ π
I dS(A,B) = π ⇐⇒ A,B liegen antipodal
Page 75
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Eigenschaften des spharischen Abstands
I Der spharische Abstand ist invariant unter Drehung um0 und unter Spiegelung an einer Ebene, die durch 0 geht
I (S2, dS) ist ein metrischer Raum
(M1) dS(A,B) > 0 ∀A 6= B
(M2) dS(A,B) = dS(B,A) ∀A,B(M3) dS(A,C ) ≤ dS(A,B) + dS(B,C ) ∀A,B,C
[wegen Def. mittels Minimum]
I Der spharische Abstand ist beschrankt, namlich
dS(A,B) ≤ π
I dS(A,B) = π ⇐⇒ A,B liegen antipodal
Page 76
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Eigenschaften des spharischen Abstands
I Der spharische Abstand ist invariant unter Drehung um0 und unter Spiegelung an einer Ebene, die durch 0 geht
I (S2, dS) ist ein metrischer Raum
(M1) dS(A,B) > 0 ∀A 6= B(M2) dS(A,B) = dS(B,A) ∀A,B
(M3) dS(A,C ) ≤ dS(A,B) + dS(B,C ) ∀A,B,C[wegen Def. mittels Minimum]
I Der spharische Abstand ist beschrankt, namlich
dS(A,B) ≤ π
I dS(A,B) = π ⇐⇒ A,B liegen antipodal
Page 77
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Eigenschaften des spharischen Abstands
I Der spharische Abstand ist invariant unter Drehung um0 und unter Spiegelung an einer Ebene, die durch 0 geht
I (S2, dS) ist ein metrischer Raum
(M1) dS(A,B) > 0 ∀A 6= B(M2) dS(A,B) = dS(B,A) ∀A,B(M3) dS(A,C ) ≤ dS(A,B) + dS(B,C ) ∀A,B,C
[wegen Def. mittels Minimum]
I Der spharische Abstand ist beschrankt, namlich
dS(A,B) ≤ π
I dS(A,B) = π ⇐⇒ A,B liegen antipodal
Page 78
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Eigenschaften des spharischen Abstands
I Der spharische Abstand ist invariant unter Drehung um0 und unter Spiegelung an einer Ebene, die durch 0 geht
I (S2, dS) ist ein metrischer Raum
(M1) dS(A,B) > 0 ∀A 6= B(M2) dS(A,B) = dS(B,A) ∀A,B(M3) dS(A,C ) ≤ dS(A,B) + dS(B,C ) ∀A,B,C
[wegen Def. mittels Minimum]
I Der spharische Abstand ist beschrankt, namlich
dS(A,B) ≤ π
I dS(A,B) = π ⇐⇒ A,B liegen antipodal
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Eigenschaften des spharischen Abstands
I Der spharische Abstand ist invariant unter Drehung um0 und unter Spiegelung an einer Ebene, die durch 0 geht
I (S2, dS) ist ein metrischer Raum
(M1) dS(A,B) > 0 ∀A 6= B(M2) dS(A,B) = dS(B,A) ∀A,B(M3) dS(A,C ) ≤ dS(A,B) + dS(B,C ) ∀A,B,C
[wegen Def. mittels Minimum]
I Der spharische Abstand ist beschrankt, namlich
dS(A,B) ≤ π
I dS(A,B) = π ⇐⇒ A,B liegen antipodal
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Was sind die Punktemit gleichem Abstandzu einem Zentrum,d.h. Kreise auf der
Sphare?
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Ein SpharischerKreis ...
... mit Radius r und Mittelpunkt M ∈ S2 sind allePunkte auf S2, die zu M den spharischen Abstand rhaben.
Als Radius ist nur 0 ≤ r ≤ π moglich.
Kreisumfang: Umfang = 2π sin r
Denn der spharische Kreisist ein euklidischer Kreismit Radius sin r und dem-nach Umfang 2π sin r
r
z
y
x
sin(r)
sin r < r ⇒ Umfang(
sphar. Kreismit Radius r
)< Umfang
(euklid. Kreismit Radius r
)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Ein SpharischerKreis ...
... mit Radius r und Mittelpunkt M ∈ S2 sind allePunkte auf S2, die zu M den spharischen Abstand rhaben.
Als Radius ist nur 0 ≤ r ≤ π moglich.
Kreisumfang: Umfang = 2π sin r
Denn der spharische Kreisist ein euklidischer Kreismit Radius sin r und dem-nach Umfang 2π sin r
r
z
y
x
sin(r)
sin r < r ⇒ Umfang(
sphar. Kreismit Radius r
)< Umfang
(euklid. Kreismit Radius r
)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Ein SpharischerKreis ...
... mit Radius r und Mittelpunkt M ∈ S2 sind allePunkte auf S2, die zu M den spharischen Abstand rhaben.
Als Radius ist nur 0 ≤ r ≤ π moglich.
Kreisumfang: Umfang = 2π sin r
Denn der spharische Kreisist ein euklidischer Kreismit Radius sin r und dem-nach Umfang 2π sin r
r
z
y
x
sin(r)
sin r < r ⇒ Umfang(
sphar. Kreismit Radius r
)< Umfang
(euklid. Kreismit Radius r
)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Ein SpharischerKreis ...
... mit Radius r und Mittelpunkt M ∈ S2 sind allePunkte auf S2, die zu M den spharischen Abstand rhaben.
Als Radius ist nur 0 ≤ r ≤ π moglich.
Kreisumfang: Umfang = 2π sin r
Denn der spharische Kreisist ein euklidischer Kreismit Radius sin r und dem-nach Umfang 2π sin r
r
z
y
x
sin(r)
sin r < r ⇒ Umfang(
sphar. Kreismit Radius r
)< Umfang
(euklid. Kreismit Radius r
)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Ein SpharischerKreis ...
... mit Radius r und Mittelpunkt M ∈ S2 sind allePunkte auf S2, die zu M den spharischen Abstand rhaben.
Als Radius ist nur 0 ≤ r ≤ π moglich.
Kreisumfang: Umfang = 2π sin r
Denn der spharische Kreisist ein euklidischer Kreismit Radius sin r und dem-nach Umfang 2π sin r
r
z
y
x
sin(r)
sin r < r ⇒
Umfang(
sphar. Kreismit Radius r
)< Umfang
(euklid. Kreismit Radius r
)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Ein SpharischerKreis ...
... mit Radius r und Mittelpunkt M ∈ S2 sind allePunkte auf S2, die zu M den spharischen Abstand rhaben.
Als Radius ist nur 0 ≤ r ≤ π moglich.
Kreisumfang: Umfang = 2π sin r
Denn der spharische Kreisist ein euklidischer Kreismit Radius sin r und dem-nach Umfang 2π sin r
r
z
y
x
sin(r)
sin r < r ⇒ Umfang(
sphar. Kreismit Radius r
)< Umfang
(euklid. Kreismit Radius r
)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Kreisflache: Flache = 2π(1− cos r) = 4π sin2(
r2
)
Flache = 2πrR0
| sin t|√
(sin′ t)2+(cos′ t)2dt
2π(1− cos r) <πr 2
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Kreisflache: Flache = 2π(1− cos r) = 4π sin2(
r2
)Flache = 2π
rR0
| sin t|√
(sin′ t)2+(cos′ t)2dt
= 2πr∫0
sin tdt
z
y
x
sin(t)
cos(t)
t
2π(1− cos r) <πr 2
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Kreisflache: Flache = 2π(1− cos r) = 4π sin2(
r2
)Flache = 2π
rR0
| sin t|√
(sin′ t)2+(cos′ t)2dt
= 2πr∫0
sin tdt
= 2π[− cos t]r0
z
y
x
sin(t)
cos(t)
t
2π(1− cos r) <πr 2
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Kreisflache: Flache = 2π(1− cos r) = 4π sin2(
r2
)Flache = 2π
rR0
| sin t|√
(sin′ t)2+(cos′ t)2dt
= 2πr∫0
sin tdt
= 2π[− cos t]r0= 2π(1− cos r)2π(1− cos r)2π(1− cos r)
z
y
x
sin(t)
cos(t)
t
2π(1− cos r) <πr 2
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Kreisflache: Flache = 2π(1− cos r) = 4π sin2(
r2
)Flache = 2π
rR0
| sin t|√
(sin′ t)2+(cos′ t)2dt
= 2πr∫0
sin tdt
= 2π[− cos t]r0= 2π(1− cos r)2π(1− cos r)2π(1− cos r)
= 2π
(1−
(cos2( r
2)−sin2( r2)
))
z
y
x
sin(t)
cos(t)
t
2π(1− cos r) <πr 2
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Kreisflache: Flache = 2π(1− cos r) = 4π sin2(
r2
)Flache = 2π
rR0
| sin t|√
(sin′ t)2+(cos′ t)2dt
= 2πr∫0
sin tdt
= 2π[− cos t]r0= 2π(1− cos r)2π(1− cos r)2π(1− cos r)
= 2π
(1−
(cos2( r
2)−sin2( r2)
))= 4π sin2
(r2
)4π sin2
(r2
)4π sin2
(r2
)
z
y
x
sin(t)
cos(t)
t
2π(1− cos r) <πr 2
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Kreisflache: Flache = 2π(1− cos r) = 4π sin2(
r2
)Flache = 2π
rR0
| sin t|√
(sin′ t)2+(cos′ t)2dt
= 2πr∫0
sin tdt
= 2π[− cos t]r0= 2π(1− cos r)2π(1− cos r)2π(1− cos r)
= 2π
(1−
(cos2( r
2)−sin2( r2)
))= 4π sin2
(r2
)4π sin2
(r2
)4π sin2
(r2
)
z
y
x
sin(t)
cos(t)
t
2π(1− cos r) <πr 2
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Kreisflache: Flache = 2π(1− cos r) = 4π sin2(
r2
)Flache = 2π
rR0
| sin t|√
(sin′ t)2+(cos′ t)2dt
= 2πr∫0
sin tdt
= 2π[− cos t]r0= 2π(1− cos r)2π(1− cos r)2π(1− cos r)
= 2π
(1−
(cos2( r
2)−sin2( r2)
))= 4π sin2
(r2
)4π sin2
(r2
)4π sin2
(r2
)
z
y
x
sin(t)
cos(t)
t
2π(1− cos r) <πr 2
2π(1− cos r)Taylor= 2π(1− 1 + r2
2 −r4
24 + r6
720 ∓ . . .)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Kreisflache: Flache = 2π(1− cos r) = 4π sin2(
r2
)Flache = 2π
rR0
| sin t|√
(sin′ t)2+(cos′ t)2dt
= 2πr∫0
sin tdt
= 2π[− cos t]r0= 2π(1− cos r)2π(1− cos r)2π(1− cos r)
= 2π
(1−
(cos2( r
2)−sin2( r2)
))= 4π sin2
(r2
)4π sin2
(r2
)4π sin2
(r2
)
z
y
x
sin(t)
cos(t)
t
2π(1− cos r) <πr 2
2π(1− cos r)Taylor= 2π(1− 1 + r2
2 −r4
24 + r6
720 ∓ . . .)
= πr2 − πr4
12 ± . . . < πr2
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Kreise
Kreisflache: Flache = 2π(1− cos r) = 4π sin2(
r2
)Flache = 2π
rR0
| sin t|√
(sin′ t)2+(cos′ t)2dt
= 2πr∫0
sin tdt
= 2π[− cos t]r0= 2π(1− cos r)2π(1− cos r)2π(1− cos r)
= 2π
(1−
(cos2( r
2)−sin2( r2)
))= 4π sin2
(r2
)4π sin2
(r2
)4π sin2
(r2
)
z
y
x
sin(t)
cos(t)
t
2π(1− cos r) <πr 2
⇒ Flache(
sphar. Kreismit Radius r
)< Flache
(euklid. Kreismit Radius r
)
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Elliptische Ebene
Wie kann uns dieKugeloberflache alsModell fur eine neue
nicht-euklidischeGeometrie dienen?
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Ein Modell der elliptischen Ebene
Aquivalenz-relation:
A ∼ B :⇐⇒ A und B sind Antipodenpunkte
ElliptischeEbene :=
S2/ ∼ die Sphare mitIdentifizierung der Anti-podenpunkte
Punkte: [A] die Aquivalenzklassen der Antipodenpunkte
Geraden: π[Großkreis] die Bilder der Großkreise
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Ein Modell der elliptischen Ebene
Aquivalenz-relation:
A ∼ B :⇐⇒ A und B sind Antipodenpunkte
ElliptischeEbene :=
S2/ ∼ die Sphare mitIdentifizierung der Anti-podenpunkte
z
y
x
2S
Punkte: [A] die Aquivalenzklassen der Antipodenpunkte
Geraden: π[Großkreis] die Bilder der Großkreise
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Ein Modell der elliptischen Ebene
Aquivalenz-relation:
A ∼ B :⇐⇒ A und B sind Antipodenpunkte
ElliptischeEbene :=
S2/ ∼ die Sphare mitIdentifizierung der Anti-podenpunkte
Kanonische Projektion:
π : S2 −→ S2/ ∼A 7−→ [A]
z
y
x
2S
Punkte: [A] die Aquivalenzklassen der Antipodenpunkte
Geraden: π[Großkreis] die Bilder der Großkreise
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Ein Modell der elliptischen Ebene
Aquivalenz-relation:
A ∼ B :⇐⇒ A und B sind Antipodenpunkte
ElliptischeEbene :=
S2/ ∼ die Sphare mitIdentifizierung der Anti-podenpunkte
Kanonische Projektion:
π : S2 −→ S2/ ∼A 7−→ [A]
z
y
x
2S
Punkte: [A] die Aquivalenzklassen der Antipodenpunkte
Geraden: π[Großkreis] die Bilder der Großkreise
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Ein Modell der elliptischen Ebene
Aquivalenz-relation:
A ∼ B :⇐⇒ A und B sind Antipodenpunkte
ElliptischeEbene :=
S2/ ∼ die Sphare mitIdentifizierung der Anti-podenpunkte
Kanonische Projektion:
π : S2 −→ S2/ ∼A 7−→ [A]
z
y
x
2S
Punkte: [A] die Aquivalenzklassen der Antipodenpunkte
Geraden: π[Großkreis] die Bilder der Großkreise
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Elliptische Ebene vs. Euklidische Ebene
Zwei Geradenschneiden sich:
... immer. Es gibt also kei-ne Parallelen.
... manchmal aber nichtimmer. Es gibt Parallelen.
Zwei Geradendie einen Punkt
und eineSenkrechtegemeisam
haben:
... konnen unterschiedlichsein.
z
y
x
Punktgemeinsamer
Senkrechte
gemeinsame
... fallen zusammen.
Polardreiseit-axiom:
”Es gibt drei verschiede-
ne Geraden, die paarweisesenkrecht aufeinander ste-hen.“
Es gibt solche Geradennicht. Das Polardrei-seitaxiom gilt nicht.
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Elliptische Ebene vs. Euklidische Ebene
Zwei Geradenschneiden sich:
... immer. Es gibt also kei-ne Parallelen.
... manchmal aber nichtimmer. Es gibt Parallelen.
Zwei Geradendie einen Punkt
und eineSenkrechtegemeisam
haben:
... konnen unterschiedlichsein.
z
y
x
Punktgemeinsamer
Senkrechte
gemeinsame
... fallen zusammen.
Polardreiseit-axiom:
”Es gibt drei verschiede-
ne Geraden, die paarweisesenkrecht aufeinander ste-hen.“
Es gibt solche Geradennicht. Das Polardrei-seitaxiom gilt nicht.
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Elliptische Ebene vs. Euklidische Ebene
Zwei Geradenschneiden sich:
... immer. Es gibt also kei-ne Parallelen.
... manchmal aber nichtimmer. Es gibt Parallelen.
Zwei Geradendie einen Punkt
und eineSenkrechtegemeisam
haben:
... konnen unterschiedlichsein.
z
y
x
Punktgemeinsamer
Senkrechte
gemeinsame
... fallen zusammen.
Polardreiseit-axiom:
”Es gibt drei verschiede-
ne Geraden, die paarweisesenkrecht aufeinander ste-hen.“
Es gibt solche Geradennicht. Das Polardrei-seitaxiom gilt nicht.
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Pol und Polare
Pol: ∀G Gerade ∃ Pol in der elliptischen Ebene
d.h. ein Punkt, wo sich alle Senkrechten zur Geradenschneiden
geg.
ex.!
geg.
in dereuklid.Ebene
nichtex.
Polare: ∀P Punkt ∃ Polare in der elliptischen Ebene
d.h. eine Gerade, so dass P Pol der Geraden ist
geg.
geg.
ex.!
ex.nichtin dereuklid.Ebene
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Pol und Polare
Pol: ∀G Gerade ∃ Pol in der elliptischen Ebene
d.h. ein Punkt, wo sich alle Senkrechten zur Geradenschneiden
geg.
ex.!
geg.
in dereuklid.Ebene
nichtex.
Polare: ∀P Punkt ∃ Polare in der elliptischen Ebene
d.h. eine Gerade, so dass P Pol der Geraden ist
geg.
geg.
ex.!
ex.nichtin dereuklid.Ebene
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Pol und Polare
Pol: ∀G Gerade ∃ Pol in der elliptischen Ebene
d.h. ein Punkt, wo sich alle Senkrechten zur Geradenschneiden
geg.
ex.!
geg.
in dereuklid.Ebene
nichtex.
Polare: ∀P Punkt ∃ Polare in der elliptischen Ebene
d.h. eine Gerade, so dass P Pol der Geraden ist
geg.
geg.
ex.!
ex.nichtin dereuklid.Ebene
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Pol und Polare
Pol: ∀G Gerade ∃ Pol in der elliptischen Ebene
d.h. ein Punkt, wo sich alle Senkrechten zur Geradenschneiden
geg.
ex.!
geg.
in dereuklid.Ebene
nichtex.
Polare: ∀P Punkt ∃ Polare in der elliptischen Ebene
d.h. eine Gerade, so dass P Pol der Geraden ist
geg.
geg.
ex.!
ex.nichtin dereuklid.Ebene
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Pol und Polare
Pol: ∀G Gerade ∃ Pol in der elliptischen Ebene
d.h. ein Punkt, wo sich alle Senkrechten zur Geradenschneiden
geg.
ex.!
geg.
in dereuklid.Ebene
nichtex.
Polare: ∀P Punkt ∃ Polare in der elliptischen Ebene
d.h. eine Gerade, so dass P Pol der Geraden ist
geg.
geg.
ex.!
ex.nichtin dereuklid.Ebene
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Pol und Polare
Pol: ∀G Gerade ∃ Pol in der elliptischen Ebene
d.h. ein Punkt, wo sich alle Senkrechten zur Geradenschneiden
geg.
ex.!
geg.
in dereuklid.Ebene
nichtex.
Polare: ∀P Punkt ∃ Polare in der elliptischen Ebene
d.h. eine Gerade, so dass P Pol der Geraden ist
geg.
geg.
ex.!
ex.nichtin dereuklid.Ebene
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Dualitat der elliptischen Ebene
ElliptischeEbene:
S2/ ∼ die Sphare mit Identifizierung derAntipodenpunkte
Punkte: π[Großkreis] die Bilder der Großkreise
Geraden: [A] die Aquivalenzklassen der Antipodenpunkte
Dieses Modell: erfullt ebenfalls die Axiome der elliptischen Ebene
Beispiel: Inzidenzaxiom: Zu zwei verschiedenen Punkten existiertgenau eine Gerade, die mit den beiden Punkten inzidiert.
z
y
x
Punkt Punktex.!
z
y
xPunkt
Punkt
ex.!
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Dualitat der elliptischen Ebene
ElliptischeEbene:
S2/ ∼ die Sphare mit Identifizierung derAntipodenpunkte
Punkte: π[Großkreis] die Bilder der Großkreise
Geraden: [A] die Aquivalenzklassen der Antipodenpunkte
Dieses Modell: erfullt ebenfalls die Axiome der elliptischen Ebene
Beispiel: Inzidenzaxiom: Zu zwei verschiedenen Punkten existiertgenau eine Gerade, die mit den beiden Punkten inzidiert.
z
y
x
Punkt Punktex.!
z
y
xPunkt
Punkt
ex.!
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Dualitat der elliptischen Ebene
ElliptischeEbene:
S2/ ∼ die Sphare mit Identifizierung derAntipodenpunkte
Punkte: π[Großkreis] die Bilder der Großkreise
Geraden: [A] die Aquivalenzklassen der Antipodenpunkte
Dieses Modell: erfullt ebenfalls die Axiome der elliptischen Ebene
Beispiel: Inzidenzaxiom: Zu zwei verschiedenen Punkten existiertgenau eine Gerade, die mit den beiden Punkten inzidiert.
z
y
x
Punkt Punktex.!
z
y
xPunkt
Punkt
ex.!
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Dualitat der elliptischen Ebene
ElliptischeEbene:
S2/ ∼ die Sphare mit Identifizierung derAntipodenpunkte
Punkte: π[Großkreis] die Bilder der Großkreise
Geraden: [A] die Aquivalenzklassen der Antipodenpunkte
Dieses Modell: erfullt ebenfalls die Axiome der elliptischen Ebene
Beispiel: Inzidenzaxiom: Zu zwei verschiedenen Punkten existiertgenau eine Gerade, die mit den beiden Punkten inzidiert.
z
y
x
Punkt Punktex.!
z
y
xPunkt
Punkt
ex.!
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Dualitat der elliptischen Ebene
ElliptischeEbene:
S2/ ∼ die Sphare mit Identifizierung derAntipodenpunkte
Punkte: π[Großkreis] die Bilder der Großkreise
Geraden: [A] die Aquivalenzklassen der Antipodenpunkte
Dieses Modell: erfullt ebenfalls die Axiome der elliptischen Ebene
Beispiel: Inzidenzaxiom: Zu zwei verschiedenen Punkten existiertgenau eine Gerade, die mit den beiden Punkten inzidiert.
z
y
x
Punkt Punktex.!
z
y
xPunkt
Punkt
ex.!
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Dualitat der elliptischen Ebene
ElliptischeEbene:
S2/ ∼ die Sphare mit Identifizierung derAntipodenpunkte
Punkte: π[Großkreis] die Bilder der Großkreise
Geraden: [A] die Aquivalenzklassen der Antipodenpunkte
Dieses Modell: erfullt ebenfalls die Axiome der elliptischen Ebene
Beispiel: Inzidenzaxiom: Zu zwei verschiedenen Punkten existiertgenau eine Gerade, die mit den beiden Punkten inzidiert.
z
y
x
Punkt Punktex.!
z
y
xPunkt
Punkt
ex.!
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Axiomatik der elliptischen Ebene
I Inzidenzaxiome werden erganzt um:
”Zwei voneinander verschiedene Geraden haben stets
genau einen Punkt gemeinsam.“
I Kein Parallelenaxiom.
I Lineare Anordnungsaxiome (Zwischenrelation) dereuklidischen Ebene werden ersetzt durch diversezyklische Anordnungsaxiome
Vergleich mithyperbolischer
Ebene:
Die hyperbolische Ebene erfullt alle Axiome einergeometrischen Ebene, trotz unendlich vieler Parallelel zuG durch A
Die elliptische Ebene erfullt ein anderesAxiomensystem als das der geometrischen Ebene.
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Axiomatik der elliptischen Ebene
I Inzidenzaxiome werden erganzt um:
”Zwei voneinander verschiedene Geraden haben stets
genau einen Punkt gemeinsam.“
I Kein Parallelenaxiom.
I Lineare Anordnungsaxiome (Zwischenrelation) dereuklidischen Ebene werden ersetzt durch diversezyklische Anordnungsaxiome
Vergleich mithyperbolischer
Ebene:
Die hyperbolische Ebene erfullt alle Axiome einergeometrischen Ebene, trotz unendlich vieler Parallelel zuG durch A
Die elliptische Ebene erfullt ein anderesAxiomensystem als das der geometrischen Ebene.
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Axiomatik der elliptischen Ebene
I Inzidenzaxiome werden erganzt um:
”Zwei voneinander verschiedene Geraden haben stets
genau einen Punkt gemeinsam.“
I Kein Parallelenaxiom.
I Lineare Anordnungsaxiome (Zwischenrelation) dereuklidischen Ebene werden ersetzt durch diversezyklische Anordnungsaxiome
Vergleich mithyperbolischer
Ebene:
Die hyperbolische Ebene erfullt alle Axiome einergeometrischen Ebene, trotz unendlich vieler Parallelel zuG durch A
Die elliptische Ebene erfullt ein anderesAxiomensystem als das der geometrischen Ebene.
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Axiomatik der elliptischen Ebene
I Inzidenzaxiome werden erganzt um:
”Zwei voneinander verschiedene Geraden haben stets
genau einen Punkt gemeinsam.“
I Kein Parallelenaxiom.
I Lineare Anordnungsaxiome (Zwischenrelation) dereuklidischen Ebene werden ersetzt durch diversezyklische Anordnungsaxiome
Vergleich mithyperbolischer
Ebene:
Die hyperbolische Ebene erfullt alle Axiome einergeometrischen Ebene, trotz unendlich vieler Parallelel zuG durch A
Die elliptische Ebene erfullt ein anderesAxiomensystem als das der geometrischen Ebene.
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Literaturempfehlung
Zum kurzNachschlagen:
Dtv-Atlas der Mathematik, 1998, DeutscherTaschenbuchverlag, Seite 133-137
Lexikon der Mathematik, 2001, SpektrumAkademischer Verlag, Stichwort: Elliptische Geometrie
Unbekannter-weise:
Filler: Euklidische und nichteuklidische Geometrie,1993
Klotzek: Geometrie, 1971
ZumWeiterlesen:
Reid, Szendoi: Geometry and Topology, 2005,Cambridge University Press
Kapitel Spherical and hyperbolic non-Euclideangeometry
Page 123
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Zweiecke
Es gibt auf der SphareZweiecke!
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Zweiecke
SpharischesZweieck :=
ist eine Flache auf der Sphare, die durch 2 verschiedenePunkte und zwei verschiedene Großkreisbogen (=Seiten)zwischen diesen beiden Punkten begrenzt ist.
Die Ecken eines Zweiecks liegen immer antipodal.
Denn nur dann existiert mehr als ein Großkreis, derbeide Punkte enthalt.
Winkel desZweiecks:
z
y
x
α
Bis auf Isometrie istein Zweieck vollstandigdurch den Winkel zwi-schen den beiden Stre-cken bestimmt.
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Spharische Zweiecke
SpharischesZweieck :=
ist eine Flache auf der Sphare, die durch 2 verschiedenePunkte und zwei verschiedene Großkreisbogen (=Seiten)zwischen diesen beiden Punkten begrenzt ist.
Die Ecken eines Zweiecks liegen immer antipodal.
Denn nur dann existiert mehr als ein Großkreis, derbeide Punkte enthalt.
Winkel desZweiecks:
z
y
x
α
Bis auf Isometrie istein Zweieck vollstandigdurch den Winkel zwi-schen den beiden Stre-cken bestimmt.
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Spharische Zweiecke
SpharischesZweieck :=
ist eine Flache auf der Sphare, die durch 2 verschiedenePunkte und zwei verschiedene Großkreisbogen (=Seiten)zwischen diesen beiden Punkten begrenzt ist.
Die Ecken eines Zweiecks liegen immer antipodal.
Denn nur dann existiert mehr als ein Großkreis, derbeide Punkte enthalt.
Winkel desZweiecks:
z
y
x
α
Bis auf Isometrie istein Zweieck vollstandigdurch den Winkel zwi-schen den beiden Stre-cken bestimmt.
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Spharische Zweiecke
Winkel desZweiecks:
z
y
x
α
Nenne Z (α) das Zweieck (bisauf Isomorphie) mit Winkel α.
Flache(Z (α)) + Flache(Z (β))= Flache(Z (α + β))
∀α, β : α + β ≤ 2π
Flache desZweiecks:
F : [0, 2π] −→ R+
α 7−→ Flache(Z (α))ist stetig und ↑
=⇒ ex. c Konstante : F (α) = c · α
Weil F (π) = Flache(S2)2 = 2π ist c = 2
=⇒ Flache(Z (α)) = 2α
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Spharische Zweiecke
Winkel desZweiecks:
z
y
x
α
Nenne Z (α) das Zweieck (bisauf Isomorphie) mit Winkel α.
Flache(Z (α)) + Flache(Z (β))= Flache(Z (α + β))
∀α, β : α + β ≤ 2π
Flache desZweiecks:
F : [0, 2π] −→ R+
α 7−→ Flache(Z (α))ist stetig und ↑
=⇒ ex. c Konstante : F (α) = c · α
Weil F (π) = Flache(S2)2 = 2π ist c = 2
=⇒ Flache(Z (α)) = 2α
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Spharische Zweiecke
Winkel desZweiecks:
z
y
x
α
Nenne Z (α) das Zweieck (bisauf Isomorphie) mit Winkel α.
Flache(Z (α)) + Flache(Z (β))= Flache(Z (α + β))
∀α, β : α + β ≤ 2π
Flache desZweiecks:
F : [0, 2π] −→ R+
α 7−→ Flache(Z (α))
ist stetig und ↑
=⇒ ex. c Konstante : F (α) = c · α
Weil F (π) = Flache(S2)2 = 2π ist c = 2
=⇒ Flache(Z (α)) = 2α
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Spharische Zweiecke
Winkel desZweiecks:
z
y
x
α
Nenne Z (α) das Zweieck (bisauf Isomorphie) mit Winkel α.
Flache(Z (α)) + Flache(Z (β))= Flache(Z (α + β))
∀α, β : α + β ≤ 2π
Flache desZweiecks:
F : [0, 2π] −→ R+
α 7−→ Flache(Z (α))ist stetig
und ↑
=⇒ ex. c Konstante : F (α) = c · α
Weil F (π) = Flache(S2)2 = 2π ist c = 2
=⇒ Flache(Z (α)) = 2α
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Spharische Zweiecke
Winkel desZweiecks:
z
y
x
α
Nenne Z (α) das Zweieck (bisauf Isomorphie) mit Winkel α.
Flache(Z (α)) + Flache(Z (β))= Flache(Z (α + β))
∀α, β : α + β ≤ 2π
d. h. F (α+β) = F (α)+F (β)
Flache desZweiecks:
F : [0, 2π] −→ R+
α 7−→ Flache(Z (α))ist stetig und ↑
=⇒ ex. c Konstante : F (α) = c · α
Weil F (π) = Flache(S2)2 = 2π ist c = 2
=⇒ Flache(Z (α)) = 2α
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Spharische Zweiecke
Winkel desZweiecks:
z
y
x
α
Nenne Z (α) das Zweieck (bisauf Isomorphie) mit Winkel α.
Flache(Z (α)) + Flache(Z (β))= Flache(Z (α + β))
∀α, β : α + β ≤ 2π
d. h. F (α+β) = F (α)+F (β)
Flache desZweiecks:
F : [0, 2π] −→ R+
α 7−→ Flache(Z (α))ist stetig und ↑
=⇒ ex. c Konstante : F (α) = c · α
Weil F (π) = Flache(S2)2 = 2π ist c = 2
=⇒ Flache(Z (α)) = 2α
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Spharische Zweiecke
Winkel desZweiecks:
z
y
x
α
Nenne Z (α) das Zweieck (bisauf Isomorphie) mit Winkel α.
Flache(Z (α)) + Flache(Z (β))= Flache(Z (α + β))
∀α, β : α + β ≤ 2π
d. h. F (α+β) = F (α)+F (β)
Flache desZweiecks:
F : [0, 2π] −→ R+
α 7−→ Flache(Z (α))ist stetig und ↑
=⇒ ex. c Konstante : F (α) = c · α
Weil F (π) = Flache(S2)2 = 2π ist c = 2
=⇒ Flache(Z (α)) = 2α
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Spharische Zweiecke
Winkel desZweiecks:
z
y
x
α
Nenne Z (α) das Zweieck (bisauf Isomorphie) mit Winkel α.
Flache(Z (α)) + Flache(Z (β))= Flache(Z (α + β))
∀α, β : α + β ≤ 2π
d. h. F (α+β) = F (α)+F (β)
Flache desZweiecks:
F : [0, 2π] −→ R+
α 7−→ Flache(Z (α))ist stetig und ↑
=⇒ ex. c Konstante : F (α) = c · α
Weil F (π) = Flache(S2)2 = 2π ist c = 2
=⇒ Flache(Z (α)) = 2α
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Spharische Dreiecke
Was gilt furspharische Dreiecke?
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Spharische Dreiecke
SpharischesDreieck :=
ist eine Flache auf der Sphare, die durch 3 verschiedenePunkte (die nicht auf einem Großkreis liegen) und dreiverschiedene Seiten (= die jeweils kurzerenGroßkreisbogen) zwischen diesen Punkten begrenzt ist.
Auf einem spharischen Dreieck liegen also insbesonderekeine der Eckpunkte antipodal.
Skizzen: z
y
x
← keinspharischesDreieck
spharischesDreieck →
z
y
x
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Spharische Dreiecke
SpharischesDreieck :=
ist eine Flache auf der Sphare, die durch 3 verschiedenePunkte (die nicht auf einem Großkreis liegen) und dreiverschiedene Seiten (= die jeweils kurzerenGroßkreisbogen) zwischen diesen Punkten begrenzt ist.
Auf einem spharischen Dreieck liegen also insbesonderekeine der Eckpunkte antipodal.
Skizzen: z
y
x
← keinspharischesDreieck
spharischesDreieck →
z
y
x
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Spharische Dreiecke
SpharischesDreieck :=
ist eine Flache auf der Sphare, die durch 3 verschiedenePunkte (die nicht auf einem Großkreis liegen) und dreiverschiedene Seiten (= die jeweils kurzerenGroßkreisbogen) zwischen diesen Punkten begrenzt ist.
Auf einem spharischen Dreieck liegen also insbesonderekeine der Eckpunkte antipodal.
Skizzen: z
y
x
← keinspharischesDreieck
spharischesDreieck →
z
y
x
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Spharische Dreiecke
SpharischesDreieck :=
ist eine Flache auf der Sphare, die durch 3 verschiedenePunkte (die nicht auf einem Großkreis liegen) und dreiverschiedene Seiten (= die jeweils kurzerenGroßkreisbogen) zwischen diesen Punkten begrenzt ist.
Auf einem spharischen Dreieck liegen also insbesonderekeine der Eckpunkte antipodal.
Skizzen: z
y
x
← keinspharischesDreieck
spharischesDreieck →
z
y
x
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Seiten und Winkel im spharischen Dreieck
Seiten: Lange der Seite a := dS(B,C ) = ^(B,C )
euklidischer Winkel vom Nullpunkt aus
BA
C
b a
c
c
b a
Die Seitenlangen sindbeschrankt:0 < a, b, c < π
Es gilt dieDreiecksungleichung:a + b > c usw.
Def. Skalar-produkt und
Kreuzproduktergibt:
cos(a) = 〈B|C 〉cos(b) = 〈C |A〉cos(c) = 〈A|B〉
sin(a) = ‖B×C‖sin(b) = ‖C ×A‖sin(c) = ‖A×B‖
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Seiten und Winkel im spharischen Dreieck
Seiten: Lange der Seite a := dS(B,C ) = ^(B,C )
euklidischer Winkel vom Nullpunkt aus
BA
C
b a
c
c
b a
Die Seitenlangen sindbeschrankt:0 < a, b, c < π
Es gilt dieDreiecksungleichung:a + b > c usw.
Def. Skalar-produkt und
Kreuzproduktergibt:
cos(a) = 〈B|C 〉cos(b) = 〈C |A〉cos(c) = 〈A|B〉
sin(a) = ‖B×C‖sin(b) = ‖C ×A‖sin(c) = ‖A×B‖
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Seiten und Winkel im spharischen Dreieck
Seiten: Lange der Seite a := dS(B,C ) = ^(B,C )
euklidischer Winkel vom Nullpunkt aus
BA
C
b a
c
c
b a
Die Seitenlangen sindbeschrankt:0 < a, b, c < π
Es gilt dieDreiecksungleichung:a + b > c usw.
Def. Skalar-produkt und
Kreuzproduktergibt:
cos(a) = 〈B|C 〉cos(b) = 〈C |A〉cos(c) = 〈A|B〉
sin(a) = ‖B×C‖sin(b) = ‖C ×A‖sin(c) = ‖A×B‖
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Seiten und Winkel im spharischen Dreieck
Seiten: Lange der Seite a := dS(B,C ) = ^(B,C )
euklidischer Winkel vom Nullpunkt aus
BA
C
b a
c
c
b a
Die Seitenlangen sindbeschrankt:0 < a, b, c < π
Es gilt dieDreiecksungleichung:a + b > c usw.
Def. Skalar-produkt und
Kreuzproduktergibt:
cos(a) = 〈B|C 〉cos(b) = 〈C |A〉cos(c) = 〈A|B〉
sin(a) = ‖B×C‖sin(b) = ‖C ×A‖sin(c) = ‖A×B‖
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Seiten und Winkel im spharischen Dreieck
Innenwinkel:
BA
C
b a
c
α βc
b a
γ
Innenwinkel zwischenSeite b und c ist:
α := ^(A× B,A× C )
= Winkel zwischen den Normalen der Großkreisebenen= Winkel zwischen den Großkreisebenen= Winkel zwischen den Tangentendenn die Tangenten liegen in den jeweiligen Großkreisebenen
und stehen senkrecht auf der Schnittgeraden der beiden Groß-
kreisebenen
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Seiten und Winkel im spharischen Dreieck
Innenwinkel:
BA
C
b a
c
α βc
b a
γ
Innenwinkel zwischenSeite b und c ist:
α := ^(A× B,A× C )
= Winkel zwischen den Normalen der Großkreisebenen= Winkel zwischen den Großkreisebenen= Winkel zwischen den Tangentendenn die Tangenten liegen in den jeweiligen Großkreisebenen
und stehen senkrecht auf der Schnittgeraden der beiden Groß-
kreisebenen
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Seiten und Winkel im spharischen Dreieck
Innenwinkel:
BA
C
b a
c
α βc
b a
γ
Innenwinkel zwischenSeite b und c ist:
α := ^(A× B,A× C )
Def. Skalar-produkt und
Kreuzproduktergibt:
cos(α) = 〈A×B|A×C〉‖A×B‖·‖A×C‖
cos(β) = 〈B×C |B×C〉‖B×C‖·‖B×A‖
cos(γ) = 〈C×A|C×B〉‖C×A‖·‖C×B‖
sin(α) = ‖(A×B)×(A×C)‖‖A×B‖·‖A×C‖
sin(β) = ‖(B×C)×(B×A)‖‖B×C‖·‖B×A‖
sin(γ) = ‖(C×A)×(C×B)‖‖C×A‖·‖C×B‖
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Flacheninhalt des spharischen Dreiecks
Flacheninhalt: Flache(4A,B,C ) = α + β + γ − π
BA
C
b a
c
α βc
b a
γ
−C
−B −A
Denn: Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) = 2αFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,−B,C ) = 2βFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,B,−C ) = 2γ (weil: Zweieckflachen)
Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4A,−B,C )+ Flache(4A,B,−C )
= Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4−A,B,−C )+ Flache(4A,B,−C )
= 12 Flache(S2) = 2π
Flache der Halbsphare, die den Großkreis durch A und C, sowie B enthalt
=⇒ 2α + 2β + 2γ − 2π = 2Flache(4A,B,C )
Winkelsumme: π < α + β + γ weil Flache(4A,B,C ) > 0
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Flacheninhalt des spharischen Dreiecks
Flacheninhalt: Flache(4A,B,C ) = α + β + γ − π
BA
C
b a
c
α βc
b a
γ
−C
−B −A
Denn: Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) = 2αFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,−B,C ) = 2βFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,B,−C ) = 2γ (weil: Zweieckflachen)
Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4A,−B,C )+ Flache(4A,B,−C )
= Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4−A,B,−C )+ Flache(4A,B,−C )
= 12 Flache(S2) = 2π
Flache der Halbsphare, die den Großkreis durch A und C, sowie B enthalt
=⇒ 2α + 2β + 2γ − 2π = 2Flache(4A,B,C )
Winkelsumme: π < α + β + γ weil Flache(4A,B,C ) > 0
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Flacheninhalt des spharischen Dreiecks
Flacheninhalt: Flache(4A,B,C ) = α + β + γ − π
BA
C
b a
c
α βc
b a
γ
−C
−B −A
Denn: Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) = 2αFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,−B,C ) = 2βFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,B,−C ) = 2γ (weil: Zweieckflachen)
Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4A,−B,C )+ Flache(4A,B,−C )
= Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4−A,B,−C )+ Flache(4A,B,−C )
= 12 Flache(S2) = 2π
Flache der Halbsphare, die den Großkreis durch A und C, sowie B enthalt
=⇒ 2α + 2β + 2γ − 2π = 2Flache(4A,B,C )
Winkelsumme: π < α + β + γ weil Flache(4A,B,C ) > 0
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Flacheninhalt des spharischen Dreiecks
Flacheninhalt: Flache(4A,B,C ) = α + β + γ − π
BA
C
b a
c
α βc
b a
γ
−C
−B −A
Denn: Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) = 2αFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,−B,C ) = 2βFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,B,−C ) = 2γ (weil: Zweieckflachen)
Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4A,−B,C )+ Flache(4A,B,−C )
= Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4−A,B,−C )+ Flache(4A,B,−C )
= 12 Flache(S2) = 2π
Flache der Halbsphare, die den Großkreis durch A und C, sowie B enthalt
=⇒ 2α + 2β + 2γ − 2π = 2Flache(4A,B,C )
Winkelsumme: π < α + β + γ weil Flache(4A,B,C ) > 0
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Flacheninhalt des spharischen Dreiecks
Flacheninhalt: Flache(4A,B,C ) = α + β + γ − π
BA
C
b a
c
α βc
b a
γ
−C
−B −A
Denn: Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) = 2αFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,−B,C ) = 2βFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,B,−C ) = 2γ (weil: Zweieckflachen)
Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4A,−B,C )+ Flache(4A,B,−C )
= Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4−A,B,−C )+ Flache(4A,B,−C )
= 12 Flache(S2) = 2π
Flache der Halbsphare, die den Großkreis durch A und C, sowie B enthalt
=⇒ 2α + 2β + 2γ − 2π = 2Flache(4A,B,C )
Winkelsumme: π < α + β + γ weil Flache(4A,B,C ) > 0
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Flacheninhalt des spharischen Dreiecks
Flacheninhalt: Flache(4A,B,C ) = α + β + γ − π
BA
C
b a
c
α βc
b a
γ
−C
−B −A
Denn: Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) = 2αFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,−B,C ) = 2βFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,B,−C ) = 2γ (weil: Zweieckflachen)
Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4A,−B,C )+ Flache(4A,B,−C )
= Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4−A,B,−C )+ Flache(4A,B,−C )
= 12 Flache(S2) = 2π
Flache der Halbsphare, die den Großkreis durch A und C, sowie B enthalt
=⇒ 2α + 2β + 2γ − 2π = 2Flache(4A,B,C )
Winkelsumme: π < α + β + γ weil Flache(4A,B,C ) > 0
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Flacheninhalt des spharischen Dreiecks
Flacheninhalt: Flache(4A,B,C ) = α + β + γ − π
BA
C
b a
c
α βc
b a
γ
−C
−B −A
Denn: Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) = 2αFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,−B,C ) = 2βFlache(4A,B,C ) + Flache(4A,B,−C ) = 2γ (weil: Zweieckflachen)
Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4A,−B,C )+ Flache(4A,B,−C )
= Flache(4A,B,C ) + Flache(4−A,B,C ) + Flache(4−A,B,−C )+ Flache(4A,B,−C )
= 12 Flache(S2) = 2π
Flache der Halbsphare, die den Großkreis durch A und C, sowie B enthalt
=⇒ 2α + 2β + 2γ − 2π = 2Flache(4A,B,C )
Winkelsumme: π < α + β + γ weil Flache(4A,B,C ) > 0
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharische Trigonometrie
Wie berechnet manunbekannte Stucken
(d.h. Winkel undLangen) analog zur
euklidischenTrigonometrie?
Page 155
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Seitenkosinussatz
Es gilt: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
d. h. cos γ = cos c−cos a cos bsin a sin b
d. h. die Seitenlangen bestimmen die Innenwinkel
Denn: cos a cos b + sin a sin b cos γ
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ ‖B × C‖ · ‖C × A‖ · 〈C×A|C×B〉‖C×A‖·‖C×B‖
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ 〈C × A|C × B〉
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Seitenkosinussatz
Es gilt: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
d. h. cos γ = cos c−cos a cos bsin a sin b
d. h. die Seitenlangen bestimmen die Innenwinkel
Denn: cos a cos b + sin a sin b cos γ
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ ‖B × C‖ · ‖C × A‖ · 〈C×A|C×B〉‖C×A‖·‖C×B‖
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ 〈C × A|C × B〉
Page 157
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Seitenkosinussatz
Es gilt: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
d. h. cos γ = cos c−cos a cos bsin a sin b
d. h. die Seitenlangen bestimmen die Innenwinkel
Denn: cos a cos b + sin a sin b cos γ
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ ‖B × C‖ · ‖C × A‖ · 〈C×A|C×B〉‖C×A‖·‖C×B‖
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ 〈C × A|C × B〉
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Seitenkosinussatz
Es gilt: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
d. h. cos γ = cos c−cos a cos bsin a sin b
d. h. die Seitenlangen bestimmen die Innenwinkel
Denn: cos a cos b + sin a sin b cos γ
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ ‖B × C‖ · ‖C × A‖ · 〈C×A|C×B〉‖C×A‖·‖C×B‖
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ 〈C × A|C × B〉
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Seitenkosinussatz
Es gilt: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
d. h. cos γ = cos c−cos a cos bsin a sin b
d. h. die Seitenlangen bestimmen die Innenwinkel
Denn: cos a cos b + sin a sin b cos γ
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ ‖B × C‖ · ‖C × A‖ · 〈C×A|C×B〉‖C×A‖·‖C×B‖
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ 〈C × A|C × B〉
Lagrange-Identitat:
〈~v × ~w |~x × ~y〉 = 〈~v |~x〉 · 〈~w |~y〉 − 〈~w |~x〉 · 〈~v |~y〉fur den Beweise verwenden
Page 160
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Seitenkosinussatz
Es gilt: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
d. h. cos γ = cos c−cos a cos bsin a sin b
d. h. die Seitenlangen bestimmen die Innenwinkel
Denn: cos a cos b + sin a sin b cos γ
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ ‖B × C‖ · ‖C × A‖ · 〈C×A|C×B〉‖C×A‖·‖C×B‖
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ 〈C × A|C × B〉Lagrange
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ 〈C |C 〉︸ ︷︷ ︸=1
· 〈A|B〉 − 〈A|C 〉︸ ︷︷ ︸=〈C |A〉
· 〈C |B〉︸ ︷︷ ︸=〈B|C〉
Lagrange-Identitat:
〈~v × ~w |~x × ~y〉 = 〈~v |~x〉 · 〈~w |~y〉 − 〈~w |~x〉 · 〈~v |~y〉fur den Beweise verwenden
Page 161
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Seitenkosinussatz
Es gilt: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
d. h. cos γ = cos c−cos a cos bsin a sin b
d. h. die Seitenlangen bestimmen die Innenwinkel
Denn: cos a cos b + sin a sin b cos γ
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ ‖B × C‖ · ‖C × A‖ · 〈C×A|C×B〉‖C×A‖·‖C×B‖
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ 〈C × A|C × B〉Lagrange
= 〈B|C 〉 · 〈C |A〉+ 〈C |C 〉︸ ︷︷ ︸=1
· 〈A|B〉 − 〈A|C 〉︸ ︷︷ ︸=〈C |A〉
· 〈C |B〉︸ ︷︷ ︸=〈B|C〉
= 〈A|B〉
Lagrange-Identitat:
〈~v × ~w |~x × ~y〉 = 〈~v |~x〉 · 〈~w |~y〉 − 〈~w |~x〉 · 〈~v |~y〉fur den Beweise verwenden
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Sinussatz
Es gilt:sin α
sin a=
sin β
sin b=
sin γ
sin c
Denn: sin α = ‖(A×B)×(A×C)‖‖A×B‖·‖A×C‖ = ‖(A×B)×(A×C)‖
sin c·sin b
=‖
=0︷ ︸︸ ︷〈A|A× B〉C−
=Vol[A,B,C ]︷ ︸︸ ︷〈C |A× B〉A‖
sin c·sin b
~a× (~b × ~c) = ~b 〈~a|~c〉 − ~c⟨~a|~b
⟩Rechtsklammerung!
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Sinussatz
Es gilt:sin α
sin a=
sin β
sin b=
sin γ
sin c
Denn: sin α = ‖(A×B)×(A×C)‖‖A×B‖·‖A×C‖
= ‖(A×B)×(A×C)‖sin c·sin b
=‖
=0︷ ︸︸ ︷〈A|A× B〉C−
=Vol[A,B,C ]︷ ︸︸ ︷〈C |A× B〉A‖
sin c·sin b
~a× (~b × ~c) = ~b 〈~a|~c〉 − ~c⟨~a|~b
⟩Rechtsklammerung!
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Sinussatz
Es gilt:sin α
sin a=
sin β
sin b=
sin γ
sin c
Denn: sin α = ‖(A×B)×(A×C)‖‖A×B‖·‖A×C‖ = ‖(A×B)×(A×C)‖
sin c·sin b
=‖
=0︷ ︸︸ ︷〈A|A× B〉C−
=Vol[A,B,C ]︷ ︸︸ ︷〈C |A× B〉A‖
sin c·sin b
~a× (~b × ~c) = ~b 〈~a|~c〉 − ~c⟨~a|~b
⟩Rechtsklammerung!
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Sinussatz
Es gilt:sin α
sin a=
sin β
sin b=
sin γ
sin c
Denn: sin α = ‖(A×B)×(A×C)‖‖A×B‖·‖A×C‖ = ‖
~a︷ ︸︸ ︷(A×B)×(
~b︷︸︸︷A ×
~c︷︸︸︷C )‖
sin c·sin b
=‖
=0︷ ︸︸ ︷〈A|A× B〉C−
=Vol[A,B,C ]︷ ︸︸ ︷〈C |A× B〉A‖
sin c·sin b
bac-cap-Regel: ~a× (~b × ~c) = ~b 〈~a|~c〉 − ~c⟨~a|~b
⟩Rechtsklammerung!
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Sinussatz
Es gilt:sin α
sin a=
sin β
sin b=
sin γ
sin c
Denn: sin α = ‖(A×B)×(A×C)‖‖A×B‖·‖A×C‖ = ‖
~a︷ ︸︸ ︷(A×B)×(
~b︷︸︸︷A ×
~c︷︸︸︷C )‖
sin c·sin b
~b~a~c−~c~a~b=
∥∥A
=Spatprodukt︷ ︸︸ ︷〈A×B|C〉 −C
=0︷ ︸︸ ︷〈A×B|A〉
∥∥sin c·sin b
bac-cap-Regel: ~a× (~b × ~c) = ~b 〈~a|~c〉 − ~c⟨~a|~b
⟩Rechtsklammerung!
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Sinussatz
Es gilt:sin α
sin a=
sin β
sin b=
sin γ
sin c
Denn: sin α = ‖(A×B)×(A×C)‖‖A×B‖·‖A×C‖ = ‖
~a︷ ︸︸ ︷(A×B)×(
~b︷︸︸︷A ×
~c︷︸︸︷C )‖
sin c·sin b
~b~a~c−~c~a~b=
∥∥A
=Spatprodukt︷ ︸︸ ︷〈A×B|C〉 −C
=0︷ ︸︸ ︷〈A×B|A〉
∥∥sin c·sin b =
=1︷︸︸︷‖A‖
Vol[A,B,C ]︷ ︸︸ ︷‖〈A×B|C〉‖
sin c·sin b
bac-cap-Regel: ~a× (~b × ~c) = ~b 〈~a|~c〉 − ~c⟨~a|~b
⟩Rechtsklammerung!
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Sinussatz
Es gilt:sin α
sin a=
sin β
sin b=
sin γ
sin c
Denn: sin α = ‖(A×B)×(A×C)‖‖A×B‖·‖A×C‖ = ‖
~a︷ ︸︸ ︷(A×B)×(
~b︷︸︸︷A ×
~c︷︸︸︷C )‖
sin c·sin b
~b~a~c−~c~a~b=
∥∥A
=Spatprodukt︷ ︸︸ ︷〈A×B|C〉 −C
=0︷ ︸︸ ︷〈A×B|A〉
∥∥sin c·sin b =
=1︷︸︸︷‖A‖
Vol[A,B,C ]︷ ︸︸ ︷‖〈A×B|C〉‖
sin c·sin b
⇒ sin α
sin a=
Vol[A,B,C ]
sin a · sin b · sin csymmetrisch in a, b, c
bac-cap-Regel: ~a× (~b × ~c) = ~b 〈~a|~c〉 − ~c⟨~a|~b
⟩Rechtsklammerung!
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
Page 169
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Sinussatz
Es gilt:sin α
sin a=
sin β
sin b=
sin γ
sin c
Denn: sin α = ‖(A×B)×(A×C)‖‖A×B‖·‖A×C‖ = ‖
~a︷ ︸︸ ︷(A×B)×(
~b︷︸︸︷A ×
~c︷︸︸︷C )‖
sin c·sin b
~b~a~c−~c~a~b=
∥∥A
=Spatprodukt︷ ︸︸ ︷〈A×B|C〉 −C
=0︷ ︸︸ ︷〈A×B|A〉
∥∥sin c·sin b =
=1︷︸︸︷‖A‖
Vol[A,B,C ]︷ ︸︸ ︷‖〈A×B|C〉‖
sin c·sin b
⇒ sin α
sin a=
Vol[A,B,C ]
sin a · sin b · sin csymmetrisch in a, b, c
bac-cap-Regel: ~a× (~b × ~c) = ~b 〈~a|~c〉 − ~c⟨~a|~b
⟩Rechtsklammerung!
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
Page 170
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Winkelkosinussatz
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
Es gilt: cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
d. h. cos a = cos α+cos β cos γsin β sin γ
d. h. die Innenwinkel bestimmen die Seitenlangen !!!
Denn: cos c = 〈A|B〉 =⟨
〈A×B|C〉·A|〈A×B|C〉| |
〈B×C |A〉·B|〈B×C |A〉|
⟩ Denn 〈A × B|C〉 =〈B × C |A〉. Geteiltdurch Betragsind beide +1oder beide −1.Außerdem 〈A|B〉 =〈−A| − B〉.
=⟨
(A×B)×(A×C)‖(A×B)×(A×C)‖ |
(B×C)×(B×A)‖(B×C)×(B×A)‖
⟩=
⟨(A×B)×(A×C)
∣∣(B×C)×(B×A)⟩
‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= 〈A×B|B×C〉·〈A×C |B×A〉−〈A×C |B×C〉〈A×B|B×A〉‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= [. . .Erweitern von Zahler und Nenner mit
1‖A×B‖·‖A×C‖·‖B×C‖·‖B×A‖
. . .] = cos β cos α+cos γsin β sin γ
Page 171
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Winkelkosinussatz
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
Es gilt: cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
d. h. cos a = cos α+cos β cos γsin β sin γ
d. h. die Innenwinkel bestimmen die Seitenlangen !!!
Denn: cos c = 〈A|B〉 =⟨
〈A×B|C〉·A|〈A×B|C〉| |
〈B×C |A〉·B|〈B×C |A〉|
⟩ Denn 〈A × B|C〉 =〈B × C |A〉. Geteiltdurch Betragsind beide +1oder beide −1.Außerdem 〈A|B〉 =〈−A| − B〉.
=⟨
(A×B)×(A×C)‖(A×B)×(A×C)‖ |
(B×C)×(B×A)‖(B×C)×(B×A)‖
⟩=
⟨(A×B)×(A×C)
∣∣(B×C)×(B×A)⟩
‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= 〈A×B|B×C〉·〈A×C |B×A〉−〈A×C |B×C〉〈A×B|B×A〉‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= [. . .Erweitern von Zahler und Nenner mit
1‖A×B‖·‖A×C‖·‖B×C‖·‖B×A‖
. . .] = cos β cos α+cos γsin β sin γ
Page 172
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Winkelkosinussatz
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
Es gilt: cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
d. h. cos a = cos α+cos β cos γsin β sin γ
d. h. die Innenwinkel bestimmen die Seitenlangen !!!
Denn: cos c
= 〈A|B〉 =⟨
〈A×B|C〉·A|〈A×B|C〉| |
〈B×C |A〉·B|〈B×C |A〉|
⟩ Denn 〈A × B|C〉 =〈B × C |A〉. Geteiltdurch Betragsind beide +1oder beide −1.Außerdem 〈A|B〉 =〈−A| − B〉.
=⟨
(A×B)×(A×C)‖(A×B)×(A×C)‖ |
(B×C)×(B×A)‖(B×C)×(B×A)‖
⟩=
⟨(A×B)×(A×C)
∣∣(B×C)×(B×A)⟩
‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= 〈A×B|B×C〉·〈A×C |B×A〉−〈A×C |B×C〉〈A×B|B×A〉‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= [. . .Erweitern von Zahler und Nenner mit
1‖A×B‖·‖A×C‖·‖B×C‖·‖B×A‖
. . .] = cos β cos α+cos γsin β sin γ
Page 173
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Winkelkosinussatz
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
Es gilt: cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
d. h. cos a = cos α+cos β cos γsin β sin γ
d. h. die Innenwinkel bestimmen die Seitenlangen !!!
Denn: cos c = 〈A|B〉
=⟨
〈A×B|C〉·A|〈A×B|C〉| |
〈B×C |A〉·B|〈B×C |A〉|
⟩ Denn 〈A × B|C〉 =〈B × C |A〉. Geteiltdurch Betragsind beide +1oder beide −1.Außerdem 〈A|B〉 =〈−A| − B〉.
=⟨
(A×B)×(A×C)‖(A×B)×(A×C)‖ |
(B×C)×(B×A)‖(B×C)×(B×A)‖
⟩=
⟨(A×B)×(A×C)
∣∣(B×C)×(B×A)⟩
‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= 〈A×B|B×C〉·〈A×C |B×A〉−〈A×C |B×C〉〈A×B|B×A〉‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= [. . .Erweitern von Zahler und Nenner mit
1‖A×B‖·‖A×C‖·‖B×C‖·‖B×A‖
. . .] = cos β cos α+cos γsin β sin γ
Page 174
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Winkelkosinussatz
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
Es gilt: cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
d. h. cos a = cos α+cos β cos γsin β sin γ
d. h. die Innenwinkel bestimmen die Seitenlangen !!!
Denn: cos c = 〈A|B〉 =⟨
〈A×B|C〉·A|〈A×B|C〉| |
〈B×C |A〉·B|〈B×C |A〉|
⟩ Denn 〈A × B|C〉 =〈B × C |A〉. Geteiltdurch Betragsind beide +1oder beide −1.Außerdem 〈A|B〉 =〈−A| − B〉.
=⟨
(A×B)×(A×C)‖(A×B)×(A×C)‖ |
(B×C)×(B×A)‖(B×C)×(B×A)‖
⟩=
⟨(A×B)×(A×C)
∣∣(B×C)×(B×A)⟩
‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= 〈A×B|B×C〉·〈A×C |B×A〉−〈A×C |B×C〉〈A×B|B×A〉‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= [. . .Erweitern von Zahler und Nenner mit
1‖A×B‖·‖A×C‖·‖B×C‖·‖B×A‖
. . .] = cos β cos α+cos γsin β sin γ
Page 175
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Winkelkosinussatz
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
Es gilt: cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
d. h. cos a = cos α+cos β cos γsin β sin γ
d. h. die Innenwinkel bestimmen die Seitenlangen !!!
Denn: cos c = 〈A|B〉 =⟨
〈A×B|C〉·A|〈A×B|C〉| |
〈B×C |A〉·B|〈B×C |A〉|
⟩ Denn 〈A × B|C〉 =〈B × C |A〉. Geteiltdurch Betragsind beide +1oder beide −1.Außerdem 〈A|B〉 =〈−A| − B〉.
=⟨
(A×B)×(A×C)‖(A×B)×(A×C)‖ |
(B×C)×(B×A)‖(B×C)×(B×A)‖
⟩
=
⟨(A×B)×(A×C)
∣∣(B×C)×(B×A)⟩
‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= 〈A×B|B×C〉·〈A×C |B×A〉−〈A×C |B×C〉〈A×B|B×A〉‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= [. . .Erweitern von Zahler und Nenner mit
1‖A×B‖·‖A×C‖·‖B×C‖·‖B×A‖
. . .] = cos β cos α+cos γsin β sin γ
Page 176
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Winkelkosinussatz
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
Es gilt: cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
d. h. cos a = cos α+cos β cos γsin β sin γ
d. h. die Innenwinkel bestimmen die Seitenlangen !!!
Denn: cos c = 〈A|B〉 =⟨
〈A×B|C〉·A|〈A×B|C〉| |
〈B×C |A〉·B|〈B×C |A〉|
⟩ Denn 〈A × B|C〉 =〈B × C |A〉. Geteiltdurch Betragsind beide +1oder beide −1.Außerdem 〈A|B〉 =〈−A| − B〉.
=⟨
(A×B)×(A×C)‖(A×B)×(A×C)‖ |
(B×C)×(B×A)‖(B×C)×(B×A)‖
⟩=
⟨(A×B)×(A×C)
∣∣(B×C)×(B×A)⟩
‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= 〈A×B|B×C〉·〈A×C |B×A〉−〈A×C |B×C〉〈A×B|B×A〉‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= [. . .Erweitern von Zahler und Nenner mit
1‖A×B‖·‖A×C‖·‖B×C‖·‖B×A‖
. . .] = cos β cos α+cos γsin β sin γ
Page 177
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Winkelkosinussatz
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
Es gilt: cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
d. h. cos a = cos α+cos β cos γsin β sin γ
d. h. die Innenwinkel bestimmen die Seitenlangen !!!
Denn: cos c = 〈A|B〉 =⟨
〈A×B|C〉·A|〈A×B|C〉| |
〈B×C |A〉·B|〈B×C |A〉|
⟩ Denn 〈A × B|C〉 =〈B × C |A〉. Geteiltdurch Betragsind beide +1oder beide −1.Außerdem 〈A|B〉 =〈−A| − B〉.
=⟨
(A×B)×(A×C)‖(A×B)×(A×C)‖ |
(B×C)×(B×A)‖(B×C)×(B×A)‖
⟩=
⟨(A×B)×(A×C)
∣∣(B×C)×(B×A)⟩
‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= 〈A×B|B×C〉·〈A×C |B×A〉−〈A×C |B×C〉〈A×B|B×A〉‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= [. . .Erweitern von Zahler und Nenner mit
1‖A×B‖·‖A×C‖·‖B×C‖·‖B×A‖
. . .] = cos β cos α+cos γsin β sin γ
Page 178
Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Winkelkosinussatz
Merken: (A× B)× (A× C ) = 〈A× B|C 〉 · A
Es gilt: cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
d. h. cos a = cos α+cos β cos γsin β sin γ
d. h. die Innenwinkel bestimmen die Seitenlangen !!!
Denn: cos c = 〈A|B〉 =⟨
〈A×B|C〉·A|〈A×B|C〉| |
〈B×C |A〉·B|〈B×C |A〉|
⟩ Denn 〈A × B|C〉 =〈B × C |A〉. Geteiltdurch Betragsind beide +1oder beide −1.Außerdem 〈A|B〉 =〈−A| − B〉.
=⟨
(A×B)×(A×C)‖(A×B)×(A×C)‖ |
(B×C)×(B×A)‖(B×C)×(B×A)‖
⟩=
⟨(A×B)×(A×C)
∣∣(B×C)×(B×A)⟩
‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= 〈A×B|B×C〉·〈A×C |B×A〉−〈A×C |B×C〉〈A×B|B×A〉‖(A×B)×(A×C)‖·‖(B×C)×(B×A)‖
= [. . .Erweitern von Zahler und Nenner mit
1‖A×B‖·‖A×C‖·‖B×C‖·‖B×A‖
. . .] = cos β cos α+cos γsin β sin γ
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Einleitung Sphar. Abstand Sphar. Kreise Elliptische Ebene Sphar. Zweiecke Sphar. Dreiecke Sphar. Trigonometrie
Spharischer Pythogoras
Es gilt: γ = π2 = 90◦ =⇒ cos c = cos a · cos b
Folgt aus ... ... dem Seitenkosinussatz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos(π
2︸ ︷︷ ︸=0
)
WarumPythagoras?
Fur kleine Winkel ist cos x ≈ 1− x2
2 eine guteNaherung des Kosinus.
Damit folgt aus dem spharischen Pythagoras:
1− c2
2 ≈(1− a2
2
)·(1− b2
2
)≈ 1− a2+b2
2
Also: c2 ≈ a2 + b2
D.h. fur kleine Winkel folgt aus dem spharischen Phythagorasnaherungsweise der ubliche euklidische Pythagoras.
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Spharischer Pythogoras
Es gilt: γ = π2 = 90◦ =⇒ cos c = cos a · cos b
Folgt aus ... ... dem Seitenkosinussatz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos(π
2︸ ︷︷ ︸=0
)
WarumPythagoras?
Fur kleine Winkel ist cos x ≈ 1− x2
2 eine guteNaherung des Kosinus.
Damit folgt aus dem spharischen Pythagoras:
1− c2
2 ≈(1− a2
2
)·(1− b2
2
)≈ 1− a2+b2
2
Also: c2 ≈ a2 + b2
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Es gilt: γ = π2 = 90◦ =⇒ cos c = cos a · cos b
Folgt aus ... ... dem Seitenkosinussatz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos(π
2︸ ︷︷ ︸=0
)
WarumPythagoras?
Fur kleine Winkel ist cos x ≈ 1− x2
2 eine guteNaherung des Kosinus.
Damit folgt aus dem spharischen Pythagoras:
1− c2
2 ≈(1− a2
2
)·(1− b2
2
)≈ 1− a2+b2
2
Also: c2 ≈ a2 + b2
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Es gilt: γ = π2 = 90◦ =⇒ cos c = cos a · cos b
Folgt aus ... ... dem Seitenkosinussatz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos(π
2︸ ︷︷ ︸=0
)
WarumPythagoras?
Fur kleine Winkel ist cos x ≈ 1− x2
2 eine guteNaherung des Kosinus.
Damit folgt aus dem spharischen Pythagoras:
1− c2
2 ≈(1− a2
2
)·(1− b2
2
)≈ 1− a2+b2
2
Also: c2 ≈ a2 + b2
D.h. fur kleine Winkel folgt aus dem spharischen Phythagorasnaherungsweise der ubliche euklidische Pythagoras.
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Es gilt: γ = π2 = 90◦ =⇒ cos c = cos a · cos b
Folgt aus ... ... dem Seitenkosinussatz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos(π
2︸ ︷︷ ︸=0
)
WarumPythagoras?
Fur kleine Winkel ist cos x ≈ 1− x2
2 eine guteNaherung des Kosinus.
Damit folgt aus dem spharischen Pythagoras:
1− c2
2 ≈(1− a2
2
)·(1− b2
2
)≈ 1− a2+b2
2
Also: c2 ≈ a2 + b2
D.h. fur kleine Winkel folgt aus dem spharischen Phythagorasnaherungsweise der ubliche euklidische Pythagoras.
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Spharischer Pythogoras
Es gilt: γ = π2 = 90◦ =⇒ cos c = cos a · cos b
Folgt aus ... ... dem Seitenkosinussatz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos(π
2︸ ︷︷ ︸=0
)
WarumPythagoras?
Fur kleine Winkel ist cos x ≈ 1− x2
2 eine guteNaherung des Kosinus.
Damit folgt aus dem spharischen Pythagoras:
1− c2
2 ≈(1− a2
2
)·(1− b2
2
)≈ 1− a2+b2
2
Also: c2 ≈ a2 + b2
D.h. fur kleine Winkel folgt aus dem spharischen Phythagorasnaherungsweise der ubliche euklidische Pythagoras.
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Anwendung in der Geodasie
Fragestellung: Bestimmen der Entfernung zwischen Berlin und Peking!
GeographischeDaten:
Nordpol
a b
c
γ
ϕϕλλ 1
1 22
Berlin: ϕ1 = 52◦31′NBerlin: λ1 = 13◦25′O
Peking: ϕ2 = 39◦55′NPeking: λ2 = 116◦23′O
Seitenkosinus-satz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
Entfernung(Berlin,Peking) = cBogenmaß · RErde
≈ 66, 14◦ · π180◦ · 6371, 11km ≈ 7354km
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Fragestellung: Bestimmen der Entfernung zwischen Berlin und Peking!
GeographischeDaten:
Nordpol
a b
c
γ
ϕϕλλ 1
1 22
Berlin: ϕ1 = 52◦31′NBerlin: λ1 = 13◦25′O
Peking: ϕ2 = 39◦55′NPeking: λ2 = 116◦23′O
Seitenkosinus-satz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
Entfernung(Berlin,Peking) = cBogenmaß · RErde
≈ 66, 14◦ · π180◦ · 6371, 11km ≈ 7354km
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Fragestellung: Bestimmen der Entfernung zwischen Berlin und Peking!
GeographischeDaten:
Nordpol
a b
c
γ
ϕϕλλ 1
1 22
Berlin: ϕ1 = 52◦31′NBerlin: λ1 = 13◦25′O
Peking: ϕ2 = 39◦55′NPeking: λ2 = 116◦23′O
Seitenkosinus-satz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
Entfernung(Berlin,Peking) = cBogenmaß · RErde
≈ 66, 14◦ · π180◦ · 6371, 11km ≈ 7354km
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Fragestellung: Bestimmen der Entfernung zwischen Berlin und Peking!
GeographischeDaten:
Nordpol
a b
c
γ
ϕϕλλ 1
1 22
Berlin: ϕ1 = 52◦31′NBerlin: λ1 = 13◦25′O
Peking: ϕ2 = 39◦55′NPeking: λ2 = 116◦23′O
Seitenkosinus-satz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
Entfernung(Berlin,Peking) = cBogenmaß · RErde
≈ 66, 14◦ · π180◦ · 6371, 11km ≈ 7354km
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Anwendung in der Geodasie
Fragestellung: Bestimmen der Entfernung zwischen Berlin und Peking!
GeographischeDaten:
Nordpol
a b
c
γ
ϕϕλλ 1
1 22
Berlin: ϕ1 = 52◦31′NBerlin: λ1 = 13◦25′O
Peking: ϕ2 = 39◦55′NPeking: λ2 = 116◦23′O
Seitenkosinus-satz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
= cos(90◦−ϕ1) cos(90◦−ϕ2)+sin(90◦−ϕ1) sin(90◦−ϕ2) cos(λ2−λ1)
Entfernung(Berlin,Peking) = cBogenmaß · RErde
≈ 66, 14◦ · π180◦ · 6371, 11km ≈ 7354km
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Fragestellung: Bestimmen der Entfernung zwischen Berlin und Peking!
GeographischeDaten:
Nordpol
a b
c
γ
ϕϕλλ 1
1 22
Berlin: ϕ1 = 52◦31′NBerlin: λ1 = 13◦25′O
Peking: ϕ2 = 39◦55′NPeking: λ2 = 116◦23′O
Seitenkosinus-satz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
= cos(90◦−ϕ1) cos(90◦−ϕ2)+sin(90◦−ϕ1) sin(90◦−ϕ2) cos(λ2−λ1)
≈ cos(37,48◦) cos(50,08◦)+sin(37,48◦) sin(50,08◦) cos(102,97◦)
Entfernung(Berlin,Peking) = cBogenmaß · RErde
≈ 66, 14◦ · π180◦ · 6371, 11km ≈ 7354km
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Fragestellung: Bestimmen der Entfernung zwischen Berlin und Peking!
GeographischeDaten:
Nordpol
a b
c
γ
ϕϕλλ 1
1 22
Berlin: ϕ1 = 52◦31′NBerlin: λ1 = 13◦25′O
Peking: ϕ2 = 39◦55′NPeking: λ2 = 116◦23′O
Seitenkosinus-satz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
= cos(90◦−ϕ1) cos(90◦−ϕ2)+sin(90◦−ϕ1) sin(90◦−ϕ2) cos(λ2−λ1)
≈ cos(37,48◦) cos(50,08◦)+sin(37,48◦) sin(50,08◦) cos(102,97◦)
≈ 0, 4045 =⇒ c ≈ 66, 14◦
Entfernung(Berlin,Peking) = cBogenmaß · RErde
≈ 66, 14◦ · π180◦ · 6371, 11km ≈ 7354km
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Fragestellung: Bestimmen der Entfernung zwischen Berlin und Peking!
GeographischeDaten:
Nordpol
a b
c
γ
ϕϕλλ 1
1 22
Berlin: ϕ1 = 52◦31′NBerlin: λ1 = 13◦25′O
Peking: ϕ2 = 39◦55′NPeking: λ2 = 116◦23′O
Seitenkosinus-satz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
cos c ≈ 0, 4045 =⇒ c ≈ 66, 14◦
Entfernung(Berlin,Peking) = cBogenmaß · RErde
≈ 66, 14◦ · π180◦ · 6371, 11km ≈ 7354km
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Anwendung in der Geodasie
Fragestellung: Bestimmen der Entfernung zwischen Berlin und Peking!
GeographischeDaten:
Nordpol
a b
c
γ
ϕϕλλ 1
1 22
Berlin: ϕ1 = 52◦31′NBerlin: λ1 = 13◦25′O
Peking: ϕ2 = 39◦55′NPeking: λ2 = 116◦23′O
Seitenkosinus-satz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
cos c ≈ 0, 4045 =⇒ c ≈ 66, 14◦
Entfernung(Berlin,Peking) = cBogenmaß · RErde
≈ 66, 14◦ · π180◦ · 6371, 11km ≈ 7354km
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Fragestellung: Bestimmen der Entfernung zwischen Berlin und Peking!
GeographischeDaten:
Nordpol
a b
c
γ
ϕϕλλ 1
1 22
Berlin: ϕ1 = 52◦31′NBerlin: λ1 = 13◦25′O
Peking: ϕ2 = 39◦55′NPeking: λ2 = 116◦23′O
Seitenkosinus-satz:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
cos c ≈ 0, 4045 =⇒ c ≈ 66, 14◦
Entfernung(Berlin,Peking) = cBogenmaß · RErde
≈ 66, 14◦ · π180◦ · 6371, 11km ≈ 7354km
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THE END
Diese Notizen werden aufmathematik.hu-berlin.de/~huck
sowie aufwww.hopfenwiesen.de
online gestellt.
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Quellen und Referenzen
Inhalt aus:
1. Vorlesungsvorbereitung von Frau D. Schuth
2. Agricola, Friedrich: Elementargeometrie, Vieweg Verlag, 2005
3. Dtv-Atlas der Mathematik, 1998, Deutscher Taschenbuchverlag
4. Lexikon der Mathematik, 2001, Spektrum Akademischer Verlag,Stichwort: Elliptische Geometrie u.a.
5. Reid, Szendoi: Geometry and Topology, 2005, Cambridge UniversityPress
Graphiken: erstellt mit xfig
Textsatz: erstellt mit PdfLaTeX und der Beamer-Klasse von LaTeX, mit demLaTeX-Editor Kile