Spettro d’ampiezza Α= f )() Xf Spettro di fase Qf ArgX ...radarlab.uniroma2.it/.../03_Spettro_Campionamento_DFT_pag-97_2011.pdf · L3/1 “SPETTRO” DI UN SEGNALE Dato un segnale

L3/1

“SPETTRO” DI UN SEGNALE

Dato un segnale ( )x t si considerano modulo e argomento della sua trasformata di Fourier:

( ) ( )Fourier

x t X f→

• Spettro d’ampiezza: ( ) ( )f X fΑ =

• Spettro di fase: ( ) ( )( )Q f Arg X f=

• Occupazione spettrale: intervallo di frequenze in cui ( )A f è “significativo”, in termini relativi (al valore massimo) o assoluti (riferimento fissato)

• Larghezza di banda: A -3 dB A -10 dB

…...

L3/2

LARGHEZZA DI BANDA DI UN SEGNALE

maxA2maxA2

maxA10

maxA10

( )A f

f

8

7

6

5

4

3

2

1

0

( ) ( )max

10dB

AA f 20 logA f

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3dB−

6dB−

10dB−

20dB−

f

0

maxA

maxA2maxA2

maxA10

maxA10

( )A f

f

8

7

6

5

4

3

2

1

0

( ) ( )max

10dB

AA f 20 logA f

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3dB−

6dB−

10dB−

20dB−

f

0

maxA

L3/3

SEGNALI IN BANDA “BASE”

( )A f

B

f0

f0

+π

−π

( )Q f

( )A f

B

f0

f0

+π

−π

( )Q f

SEGNALI IN BANDA “STRETTA” : B << fc

( )A f

B B

cf− cf+ f

( )A f

B B

cf− cf+ f

( )Q f

cf−

cf+ f

( )Q f

cf−

cf+ f

L3/4

CAMPIONAMENTO ED ALIASING – Esempio: lo Stroboscopio

t 0.25''= t 0.50''=

s sTa) Immagini prese a T F 4F4

= =

s sTb) Immagini prese a T F 2F2

= =

t 0''=

A A A

t 0.75''=

A

t 0''=

A

t 0.50''=

A

t 1.00''=

A

t 1.50''=

A

2 1Rotazione con un periodo di T 1.0''F

πω

= = =

A

t 0.25''= t 0.50''=

s sTa) Immagini prese a T F 4F4

= =

s sTb) Immagini prese a T F 2F2

= =

t 0''=

A

t 0''=

A A A

t 0.75''=

A

t 0''=

A

t 0.50''=

A

t 1.00''=

A

t 1.50''=

A

2 1Rotazione con un periodo di T 1.0''F

πω

= = =

A

L3/5

CAMPIONAMENTO ED ALIASING – Esempio: lo Stroboscopio

t 0= st T= st 2T=

t 0= st T= st 2T=

sTc) Immagini prese a T 0.05''2

= +

sd) Immagini prese a T T 0.05''= +

A A A

A A A

Rotazione apparente

t 0= st T= st 2T=

t 0= st T= st 2T=

sTc) Immagini prese a T 0.05''2

= +

sd) Immagini prese a T T 0.05''= +

A A A

A A A

Rotazione apparente

L3/6

IL PROCESSO DI CAMPIONAMENTO

In un qualsiasi sistema reale, il campionamento è il prodotto del segnale di energia ( )x t con un treno di impulsi rettangolari,

ciascuno di durata τ molto minore del periodo T del treno:

( ) ( ),Tk

Tc t rect t kTτττ

∞

=−∞

= −∑

dove ( ) 1 trect t 2 2

0 altroveτ

τ τ⎧ − < <⎪= ⎨⎪⎩

( )Tc t

Tτ

0

τ

T t

( )Tc t

Tτ

0

τ

T t

L3/7

IL PROCESSO DI CAMPIONAMENTO Ricordando i coefficienti di Fourier per un treno di impulsi rettangolari

di ampiezza unitaria, durata τ e periodo T: ( )x t

1

tτ/2−τ/2 T

( )x t

1

tτ/2−τ/2 T

Sviluppando in Serie di Fourier ( ),Tc t τ e ponendo kfT

= si ottiene

lo spettro:

( )T k f T

sin 2 fT 2C f c

2 f2

= ⋅

τ⎛ ⎞π⎜ ⎟⎝ ⎠= =

ττ π

k

ksinTc kT k

T

⎛ ⎞π τ⎜ ⎟τ ⎝ ⎠= ⋅π τ

L3/8

Spettro di ( ),Tc t τ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f

CT(f)

0 1τ

1T

L3/9

SEGNALE CAMPIONATO E SUO SPETTRO

Il segnale x(t), supposto per ora di energia con spettro ( )X f ,

per campionamento si trasforma nel segnale campionato:

( ) ( ) ( ), ,T Tx t x t c t= ⋅τ τ

Lo spettro del segnale campionato a frequenza 1FT

= è:

( ) ( ) ( ) j2 ftF TX f, x t c t, e dt

∞−

−∞

= ∫ πτ τ

Considerando il limite per τ tendente a zero (campionamento ideale):

( ) ( ){ }( ) ( )

lim ,

lim

F T0

j2 ft

0k

X f Fourier x t

1 T x t rect t kT e dt

→

∞ ∞−

→=−∞−∞

= =

= ⋅ ⋅ −∑∫

τ

πττ

τ

τ

L3/10

SPETTRO DEL SEGNALE CAMPIONATO

Assumendo che gli operatori di integrazione e somma commutino, si ottiene:

( ) ( ) j2 TkfF

k

X f T x kT e π∞

−

=−∞

= ⋅∑

che è una funzione periodica con periodo 1FT

= , cioè eguale

alla frequenza di campionamento.

I coefficienti dello sviluppo di Fourier di ( )FX f coincidono con i "campioni" del segnale originario, cioè:

( ) [ ]T x kT x k⋅ ≡

L3/11

SPETTRO DEL SEGNALE CAMPIONATO (Cont.)

Si è ricavata l'espressione della trasformata di Fourier della sequenza x[k]:

( ) [ ]expFk

2X f x k j kfFπ∞

=−∞

⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭∑

condizione sufficiente per l’esistenza è che x[k] sia sommabile in modulo:

[ ]k

x k∞

=−∞

< ∞∑

Se x[k] ha energia finita:

[ ] 2

k

E x k∞

=−∞

= < ∞∑

ed è una sequenza di lunghezza finita, allora è anche sommabile in modulo ed esiste la sua trasformata di Fourier.

L3/12

INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI FOURIER

Dal calcolo dei coefficienti di Fourier risulta:

[ ] ( )exp

F2

FF2

1 2x k X f j kf dfF F

π+

−

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭∫

dove l'integrale può essere esteso a qualsiasi intervallo di ampiezza F. Tale formula permette la ricostruzione della sequenza noto lo spettro ( )FX f .

( )FX f

0 F 2FF− f

…..…..

( )FX f

0 F 2FF− f

…..…..

Esempio di spettro (modulo) di un segnale campionato

L3/13

RELAZIONE TRA SPETTRO DEL SEGNALE CONTINUO E SPETTRO DEL SEGNALE CAMPIONATO

La relazione tra lo spettro ( )X f del segnale originario ( )x t e lo spettro ( )FX f del segnale campionato, o sequenza [ ]x k , si ottiene considerando la trasformata di Fourier inversa:

( ) ( ) j2 ftx t X f e dfπ∞

−∞

= ∫

calcolata per t kT= .

Si ha, ponendo [ ] ( )x k T x kT= ⋅

[ ] ( ) { }expx k T X f j2 fkT dfπ∞

−∞

= ∫

L3/14

RELAZIONE TRA SPETTRO DEL SEGNALE CONTINUO E SPETTRO DEL SEGNALE CAMPIONATO (Cont.)

Nell'espressione di [ ]x k il dominio di integrazione può essere

diviso in intervalli di larghezza 1FT

= :

[ ] ( )( )

expi 1 F

i iF

1 2x k X f j kf dfF F

π+∞

=−∞

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∫

ricordando la periodicità dell'esponenziale complesso, si ha:

[ ] ( )expF

i0

1 2x k X f iF j kf dfF F

π∞

=−∞

⎧ ⎫= + ⎨ ⎬⎩ ⎭∑∫

L3/15

RELAZIONE TRA SPETTRO DEL SEGNALE CONTINUO E SPETTRO DEL SEGNALE CAMPIONATO (Cont.)

Dal confronto tra

[ ] ( )exp

F2

FF

2

1 2x k j kf dfF F

X f π+

−

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭∫

e la precedente espressione:

[ ] ( )expi

F

0

1 2x k j kfX f iF F

F dfπ∞

=−∞

⎧ ⎫= ⎨⎩ ⎭

+ ⎬∑∫

si ottiene:

( ) ( )Fi

X f X f iF∞

=−∞

= +∑

cioè lo spettro del segnale campionato è la somma di “infinite repliche” dello spettro di ( )x t .

L3/16

ESEMPIO DI SPETTRO DI UN SEGNALE REALE Spettro di un segnale reale

mf− mf+ f

( )A f

mf− mf+ f

( )A f

Spettro del segnale campionato alla frequenza di campionamento F

mf− mf+ f

( )A f

mF 2 f=mF 2 f− = − 0mf− mf+ f

( )A f

mF 2 f=mF 2 f− = − 0

Linea tratteggiata: campionato. Linea continua: repliche dell’originale

L3/17

FILTRO IDEALE “ANTIALIASING”

mf− mf+ f

( )A f

maxA

1 Filtro idealePassa-Basso

mf− mf+ f

( )A f

maxA

1 Filtro idealePassa-Basso

Conversione A/D Conversione D/A Elaborazione

L3/18

RICOSTRUZIONE DEL SEGNALE Domanda: come ricostruire il segnale originale disponendo della versione campionata? Idea: Partire dallo spettro del segnale campionato [ ] ( )x k T x kT= ⋅ Per ricostruire lo spettro del segnale originale (linea blu in grassetto) è sufficiente moltiplicare lo spettro del segnale campionato per il filtro (spettro rosso nella figura)

L3/19

RICOSTRUZIONE DEL SEGNALE (Interpolatore Ideale)

Si ha quindi (indicando con ( )RX f lo spettro del segnale ricostruito):

( ) ( ) ( )R F FX f X f rect f= ⋅ Nel dominio del tempo

( ){ } [ ] ( )FX f x k T x kT= = ⋅-1F

( ){ } ( )Frect f F sin c Ft= ⋅ π-1F

ed alla moltiplicazione in frequenza corrisponde la convoluzione nel tempo.

( ) ( ){ } ( ){ }( ) ( )

Rx t T x kT F sin c Ft

x kT sin c Ft

= ⋅ ∗ ⋅ π =

= ∗ π

che diviene:

( ) ( ) ( ){ }Rk

x t x kT sin c F t kT+∞

=−∞

= ⋅ π −∑

L3/20

Esempio

F = 2.5 Hz

L3/21

Esempio (cont.)

k = 0

L3/22

Esempio (cont.)

k = 1

L3/23

Esempio (cont.)

k = 2

L3/24

Esempio (cont.)

L3/25

TEOREMA DI SHANNON (NYQUIST) Un segnale può essere correttamente ricostruito dai suoi

campioni se:

1) Il segnale è limitato in banda, con B banda bilatera del

segnale;

2) Il campionamento avviene ad una frequenza che è

superiore alla banda bilatera del segnale:

F B≥ Per segnali reali, data la simmetria dello spettro, maxB 2 f=

maxF 2 f≥

max NyquistFf f2

≤ =

L3/26

Ricostruzione del segnale per Interpolazione

( ) [ ]x nT x n= ( )x̂ tInterpolatore

( )p t( ) [ ]x nT x n= ( )x̂ tInterpolatore

( )p t

( ) [ ] ( )n

x̂ t x n p t nT+∞

=−∞

= ⋅ −∑

( ) ( ) ( )FX̂ f X f P f= ⋅

con ( )FX f spettro del segnale campionato

L3/27

o Interpolatore a mantenimento

( ) TTp t rect t2

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( )sin TfP f T exp j Tf

Tfπ

= − ππ

( ) [ ] Tn

Tx̂ t x n rect t nT2

+∞

=−∞

⎛ ⎞= ⋅ − −⎜ ⎟⎝ ⎠∑

L3/28

Esempio di ricostruzione con interpolatore a mantenimento:

Spettro del segnale originario: ( ) ( )2Bf1X f rect f

2B B= ⋅ ⋅

L3/29

Esempio (cont.):

Spettro del segnale ricostruito (campionamento a 1 F 2.5 BT= = ⋅ )

L3/30

Osservazioni sullo spettro del segnale ricostruito

i) Non è limitato in banda (presenza di immagini delle repliche del segnale originario)

ii) Nell’intervallo “utile” F F;2 2

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

non coincide con lo spettro

del segnale originario. ( )x t subisce una distorsione di ampiezza.

Filtro Anti-Immagine

L3/31

Filtro Anti-Immagine

L3/32

Effetto del filtro anti-immagine

L3/33

Esempio di interpolatore a mantenimento Segnale Cinematografico:

o Segnale tempo discreto come sequenza di immagini (fotogrammi)

o Segnale (bidimensionale) continuo nelle coordinate spaziali x,y.

o Il campionatore è l’otturatore della cinepresa.

o La frequenza di campionamento è 24 Hz (24 fotogrammi al sec.)

Campionamento

L3/34

Esempio di interpolatore a mantenimento

Ricostruzione del Segnale Cinematografico:

o In fase di proiezione il segnale è ricostruito mediante un interpolatore a mantenimento costituito dal proiettore: immagine fissa ogni fotogramma per 1/24 di secondo.

o L’occhio umano svolge la funzione di filtro anti-immagine.

o Tempo di permanenza dell’immagine sulla retina e di circa 0.1 sec.

o Banda dell’occhio 10 Hz che rispetta il teorema del campionamento.

o Presenza di artefatti.

L3/35

o Interpolatore lineare

( ) ( )2Tt

p t 1 rect tT

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2

2sin fTP f T T sinc fT

fTπ⎡ ⎤= = ⋅ π⎢ ⎥π⎣ ⎦

L3/36

Spettro dell’interpolatore lineare

-4/T -3/T -2/T -1/T 0 +1/T +2/T +3/T +4/T

AT

(A = 1)

L3/37

Interpolazione lineare

L3/38

Interpolazione lineare

Interpolatore lineare: ( ) ( )2Tt

p t 1 rect tT

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Per il generico intervallo ( )[ ]k 1 T ;kT− :

( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )k

x̂ t x k p t kT x k 1 p t k 1 T x k p t kT+∞

=−∞

= ⋅ − = − − − + − =∑

[ ] [ ]t kT T t kTx k 1 1 x k 1T T

− + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[ ] [ ] [ ]t kT t kTx k 1 x k x kT T− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[ ] [ ] [ ]{ } t kTx k x k x k 1T−⎛ ⎞= + − − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ relazione lineare

L3/39

Spettro del segnale ricostruito con interpolazione lineare

L3/40

(a) Spettro di ampiezza del segnale originale (comportamento di tipo passa-basso)

(b) Spettro di ampiezza del segnale ricostruito mediante interpolazione lineare

L3/41

Campionamento nel tempo – Preriodicizzazione in frequenza

FourierTransform

FourierSeries

Sampling atinterval T

Periodization

( )x t

( )X f

[ ] ( )x k T x kT= ⋅

( ) ( )Fk

X f X f kF+∞

=−∞

= +∑1FT

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

FourierTransform

FourierSeries


Periodization

( )x t

( )X f

[ ] ( )x k T x kT= ⋅

( ) ( )Fk

X f X f kF+∞

=−∞

= +∑1FT

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

L3/42

CAMPIONAMENTO DELLO SPETTRO

Dalla dualità tempo-frequenza, campionare lo spettro ( )X f con passo di campionamento:

1fθ

Δ =

equivale a rendere periodico il segnale ( )x t che diviene:

( ) ( )i

x t x t iθ θ∞

=−∞

= +∑

Se tale campionamento è applicato allo spettro ( )FX f del

segnale campionato 1FT

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

e si sceglie FfN

Δ = , con N intero

si ha il seguente interessante risultato:

L3/43

CAMPIONAMENTO DELLO SPETTRO (Cont.)

“Periodizzazione” del segnale campionato

⇓

della sequenza [ ]x k

che diviene:

[ ] [ ]NTi

x k x k iN∞

=−∞

= +∑

ovvero

[ ] ( )NTi

x k T x kT iNT k∞

=−∞

≡ + ∀∑

Si ricorda l’espressione di ( )FX f :

( ) [ ]expFk

2X f x k j kfFπ∞

=−∞

⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭∑

L3/44


La sequenza periodica: [ ]NTx k

con periodo N, è descritta da N suoi campioni, così pure la sequenza:

[ ] ( )F FX n X n f n≡ Δ ∀

Ricordando che FfN

Δ = , si ha:

[ ] [ ]expFk

2X n x k j knNπ∞

=−∞

⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭∑

Si osservi che la sequenza esponenziale:

[ ] expN2e k j knNπ⎧ ⎫= −⎨ ⎬

⎩ ⎭ è periodica di periodo N

allora si può suddividere l’espressione di [ ]FX n in somme di N termini, ottenendo:

L3/45


[ ] [ ]( )( )

expi 1 N 1

Fi k iN

2X n x k j knNπ

+ −+∞

=−∞ =

⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∑

[ ] [ ] expN 1

Fk 0 i

2X n x k iN j knNπ− +∞

= =−∞

⎡ ⎤ ⎧ ⎫= + −⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑

[ ] [ ]expN 1

F NTk 0

2X n x k j knNπ−

=

⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭∑

Sfruttando le proprietà di [ ]Ne k si può rappresentare [ ]NTx k tramite [ ]FX n :

[ ] [ ]expN 1

NT Fn 0

1 2x k X n j knN N

π−

=

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭∑

Le ultime due espressioni ottenute sono la rappresentazione di una sequenza periodica con la serie di Fourier.

L3/46


Considerando il primo periodo sia in tempo che in frequenza, cioè applicando una finestra di durata N nei due domini si ha:

[ ] , ,...,k NTx x k k 0 1 N 1= = −

[ ] , ,...,n FX X n n 0 1 N 1= = −

Tali sequenze sono l’una la Trasformata Discreta di Fourier, diretta e inversa, dell’altra:

{ } { }1

DFT

k nDFT

x X−

L’espressione della Trasformata Discreta di Fourier, DFT, è:

expN 1

n kk 0

2X x j knNπ−

=

⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭∑

Mentre quella inversa, IDFT, è:

expN 1

k nk 0

1 2x X j knN N

π−

=

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭∑

L3/47

RELAZIONI TRA DOMINIO DEL TEMPO E DELLA FREQUENZA

Nel diagramma che segue si mostrano le relazioni tra:

• Segnali tempo-continui aperiodici

• Segnali tempo-discreti (sequenze da campionamento)

• Segnali periodicizzati (sequenze periodiche)

• Sequenze finite

ed i relativi spettri.

Solo se il segnale tempo-continuo è strettamente limitato in banda, il campionamento non comporta perdita di informazione.

Se il segnale è limitato nel tempo, cioè ( )x t 0≠ per 0 t NT< < , allora la DFT permette di calcolare N campioni del suo spettro. In realtà entrambe le condizioni possono verificarsi solo in modo approssimato.

L3/48

RELAZIONI TRA DOMINIO DEL TEMPO E DELLA FREQUENZA (Cont.)

FourierTransform

FourierSeries

Discrete FourierSeries (DFS)

Discrete FourierTransform (DFT)


Periodization(period = NT)

Window ofN samples

Periodization Samplingat interval

Window ofN samples

( )x t

( )X f

[ ] ( )x k T x kT= ⋅ [ ] ( )NTi

x k T x kT iNT+∞

=−∞

= ⋅ +∑ [ ]{ }k NTx x x k

k 0,1,...,N 1

≡ =

= −

N 1 2j knN

n kk 0

X x eπ−

−

=

= ⋅∑

N 1 2j knN

k nn 0

1x X eN

π−+

=

= ⋅∑

( ) ( )Fk

X f T X f kF+∞

=−∞

= ⋅ +∑

F 1 fN NT= ≡ Δ

[ ] ( )F FX n X n f= Δ ( ){ }n FX X X n f

n 0,1,...,N 1

≡ = Δ

= −1FT

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

FourierTransform

FourierSeries

Discrete FourierSeries (DFS)

Discrete FourierTransform (DFT)


Periodization(period = NT)

Window ofN samples

Periodization Samplingat interval

Window ofN samples

( )x t

( )X f

[ ] ( )x k T x kT= ⋅ [ ] ( )NTi

x k T x kT iNT+∞

=−∞

= ⋅ +∑ [ ]{ }k NTx x x k

k 0,1,...,N 1

≡ =

= −

N 1 2j knN

n kk 0

X x eπ−

−

=

= ⋅∑

N 1 2j knN

k nn 0

1x X eN

π−+

=

= ⋅∑

( ) ( )Fk

X f T X f kF+∞

=−∞

= ⋅ +∑

F 1 fN NT= ≡ Δ

[ ] ( )F FX n X n f= Δ ( ){ }n FX X X n f

n 0,1,...,N 1

≡ = Δ

= −1FT

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

L3/49

CAMPIONAMENTO NEL TEMPO ED IN FREQUENZA

( )x t

[ ]x k

[ ]NTx k

x

T

T

t

k

0

k

N 10=

10 punti

[ ]T0 1 N 1x x ,x ,...,x −=

0

0 1 2 N 1−

( )X f

f

f

0

0

( )FX f

1FT

=0 F−

[ ]FX n

n

X

n0

0

N 1−

[ ]T0 1 N 1X X ,X ,...,X −=

N 10=

10 punti

FourierTempo Frequenza⇒⇐

( )x t

[ ]x k

[ ]NTx k

x

T

T

t

k

0

k

N 10=

10 punti

[ ]T0 1 N 1x x ,x ,...,x −=

0

0 1 2 N 1−

( )X f

f

f

0

0

( )FX f

1FT

=0 F−

[ ]FX n

n

X

n0

0

N 1−

[ ]T0 1 N 1X X ,X ,...,X −=

N 10=

10 punti

FourierTempo Frequenza⇒⇐

L3/50

FINESTRE TEMPORALI Se si moltiplica ( )x t per una “finestra rettangolare” ( )w t che

vale 1 per / /NT 2 t NT 2− < < e zero fuori, forzandolo ad avere durata NT, se ne altera lo spettro causa la convoluzione con ( )W f , trasformata di Fourier di ( )w t :

( ) ( )sen NTfW f NT

NTfπ

π=

Pertanto, la risoluzione dello spettro calcolato tramite DFT risulta limitata dalla larghezza principale del lobo di ( )W f , che

(a circa -4 dB) è : 1f inverso della durata temporaleNT

Δ = = .

( ) ( )/ // /

sen NT f 2 sen 2f 2W NT NT NT2 NT f 2 2

π ππ π π

ΔΔ⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠ ( ).3 92 dB= −

Se si aumenta il numero di campioni N della DFT diminuendo il passo di campionamento, la risoluzione spettrale non cambia.

L3/51

FINESTRE TEMPORALI (Cont.) ( )w t

tNT2

−NT2

+

( )w t

tNT2

−NT2

+

( )W f

f01

NT1

NT−

1NT

NT4 dB−

( )W f

f0

( )w t

tNT2

−NT2

+

( )w t

tNT2

−NT2

+

( )W f

f01

NT1

NT−

1NT

NT4 dB−

( )W f

f0

Utilizzando un’opportuna legge di “pesaggio”, si possono abbassare: i lobi laterali di ( )W f a spese di un allargamento ed abbassamento del lobo principale rispetto alla finestra rettangolare.

1

1

L3/52

FINESTRE FREQUENZIALI

Un filtro anti-aliasing ideale è una finestra rettangolare ( )W f applicata allo spettro del segnale nell’intervallo tra 0 e F

(intervallo di Nyquist: F2

− , F2

+ )

Il segnale ( )x t può così essere campionato con passo 1TF

=

senza l’effetto del “ripiegamento” dello spettro.

L3/53

FINESTRE FREQUENZIALI (Cont.)

Tuttavia, se il segnale ( )x t ha componenti spettrali fuori da

,F F2 2

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦ il suo spettro è alterato dalla finestra ( )W f , il che

nel dominio del tempo corrisponde alla convoluzione con la funzione:

( ) ( ) ( )sen Ft sen Ftw t F

t Ft= =

π ππ π

La risoluzione temporale che ne risulta (larghezza del lobo

principale) vale 1F

, cioè eguaglia il passo di campionamento T.

L3/54

LA TRASFORMATA DI FOURIER DISCRETA (DFT)

Si considera la sequenza [ ]x n , n = 0,1,…,N-1 posto:

expN2W jNπ⎧ ⎫= −⎨ ⎬

⎩ ⎭

La DFT è definita come:

[ ] [ ]{ } [ ]N 1

knN

n 0

X k DFT x n x n W−

=

= =∑

L’inversa, [ ]x n , dato [ ]X k , è data dall'espressione dei coefficienti di Fourier relativi alla sequenza periodica di cui [ ]X k è un periodo:

[ ] [ ]N 1

knN

k 0

1x n X k WN

−−

=

= ⋅∑

L3/55

VERIFICA DELLA DFT INVERSA

[ ] [ ] [ ]N 1 N 1 N 1

kn in knN N N

n 0 n 0 i 0

1X k x n W X i W WN

− − −−

= = =

⎡ ⎤= = ⋅ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑

[ ] ( )N 1 N 1

k i nN

i 0 n=0

1 X i W N

− −−

=

= ∑ ∑

La sommatoria interna vale N se i k= e zero altrimenti.

Infatti ponendo:

k i h− =

expN 1

n 0

2j hn 0 se h 0Nπ−

=

⎧ ⎫− = ≠⎨ ⎬⎩ ⎭∑

(Chiusura di una poligonale)

L3/56

PROPRIETA’ DELLA DFT Le proprietà della DFT discendono dalle proprietà delle trasformate di Fourier:

1. Linearità

2. Traslazione “circolare”

3. Coniugio (e ribaltamento)

4. Convoluzione (e prodotto)

L3/57

PROPRIETA’ DELLA DFT (Cont.)

• Linearità

[ ] [ ]{ } [ ] [ ]DFT a x n b y n a X k b Y k⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

• Traslazione “circolare”: [ ]{ } [ ]0kn0 NDFT x n n W X k−+ =

N− N0

N− N0

n

n

[ ]x n

[ ]0x n n−

N0

[ ]x n

n

0n 2=

N− N0

N− N0

n

n

[ ]x n

[ ]0x n n−

N0

[ ]x n

n

0n 2=

[ ] [ ] [ ]0 0 Nx n n x n n rect n+ = +

[ ]N1 per 0 n N 1

rect n0 Altrove

≤ ≤ −⎧= ⎨⎩

[ ] [ ] [ ]0 0 Nx n n x n n rect n+ = +

[ ]x n sequenza “periodicizzata”

[ ]x n sequenza di lunghezza N

L3/58

Verifica: [ ]{ } [ ]0kn0 NDFT x n n W X k−+ =

Ad esempio per N 5= e 0n 2=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5 1

kn k 2k 3k 4k5 5 5 5 5

n 0

X k x n W x 0 x 1 W x 2 W x 3 W x 4 W−

=

= = + + + +∑

0 1 2 3 4-1-2 n

[ ]x 0 [ ]x 1 [ ]x 2 [ ]x 3 [ ]x 4 [ ]x 0 [ ]x 1 [ ]x n 2+..........

0 1 2 3 4-1-2 n

[ ]x 0 [ ]x 1 [ ]x 2 [ ]x 3 [ ]x 4 [ ]x 0 [ ]x 1 [ ]x n 2+..........

[ ] [ ]{ } [ ] [ ]4

kn5 5 5

n 0

DFT x n 2 rect n x n 2 rect n W=

+ = +∑

L3/59

Verifica: (continua)

[ ] [ ]{ } [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }

4kn

5 5 5n 0

k 2k 3k 4k5 5 5 5

3k k 3k 2k k5 5 5 5 5

DFT x n 2 rect n x n 2 rect n W

x 2 x 3 W x 4 W x 0 W x 1 W

W x 0 x 1 W x 2 W x 3 W x 4 W

=

− − −

+ = + =

= + + + + =

= + + + +

∑

Utilizzando le relazioni:

3k 2k5 5W W 1⋅ = ⇒ 3k 2k

5 5W W −=

4k k5 5W W 1⋅ = ⇒ 4k k

5 5W W −=

[ ] [ ]{ }[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }[ ]

5

2k k 2k 3k 45 5 5 5 5

2k5

DFT x n 2 rect n

W x 0 x 1 W x 2 W x 3 W x 4 W

W X k

−

−

+ =

= + + + + =

= ⋅

L3/60

PROPRIETA’ DELLA DFT (Cont.)

• Coniugio (e ribaltamento)

[ ]{ } [ ][ ]{ } [ ]

DFT x n X k

DFT x n X k

∗ ∗

∗ ∗

= −

− =

• Convoluzione Circolare

Date due sequenze [ ]1x n e [ ]2x n lunghe N, si definisce la loro convoluzione circolare (simbolo ⊗):

[ ] [ ] [ ]1 2w n x n x n= ⊗ [ ] [ ] [ ]N 1

1 2 Nm 0

x m x n m rect n−

=

⎡ ⎤= ⋅ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑

dove: [ ]1x n e [ ]2x n sono la “periodicizzazione” di [ ]1x n e [ ]2x n con periodo N.

L3/61

N− N0

N− N0

N− N0

N− N0

m

m

m

m

[ ]2x m

[ ]1x m

[ ]2x 2 m−

[ ] [ ]1 2x m x 2 m−

[ ] w m

N− N0

N− N0

N− N0

N− N0

m

m

m

m

[ ]2x m

[ ]1x m

[ ]2x 2 m−

[ ] [ ]1 2x m x 2 m−

[ ] w m

L3/62

DFT DELLA CONVOLUZIONE CIRCOLARE Se

[ ] [ ] [ ]w n x n y n= ⊗

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }DFT w n DFT x n DFT y n= ⋅

cioè: [ ] [ ] [ ]W k X k Y k= ⋅

come conseguenza delle proprietà delle trasformate di Fourier. Osservazione: la convoluzione lineare tra [ ]x n e [ ]y n vale:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ].linm

w n x n y n x m y n m+∞

=−∞

= ∗ = −∑

Se [ ]x n ha lunghezza 1N e [ ]y n 2N , [ ]lin.w n è lunga −1 2N + N 1

L3/63

Convoluzione Lineare/Circolare

[ ] [ ]g n 1 2 3 4 5 4 3 2≡ lunghezza gN 8=

[ ] [ ]h n 1 1 1 1≡ lunghezza hN 4=

Convoluzione lineare tra [ ]g n e [ ]h n :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]m

g n h n g m h n m 1 3 6 10 14 16 16 14 9 5 2∗ = − =∑

lin. g hN N N 1 11= + − =

Convoluzione circolare tra [ ]g n e [ ]h n :

[ ] [ ] [ ]g n h n 10 8 8 10 14 16 16 14⊗ ≡

circ. g hN N N 8= = =

L3/64


gN 8=

hN 4=

'gN 11=

'hN 11=

Periodo 8 Periodo 11

L3/65


[ ][ ]

n : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 6 10 14 16 16 14 Convoluzione lineare Valori che

9 5 29 5 2

[ ]10 8 8 10 14 16 16 eccedono la convoluzione circolare

Convoluzione circ14 olare

Per far sì che le due operazioni di convoluzione coincidano, si

inseriscono sulle sequenze di origine e tanti zeri (“zero

padding”) quanti sono sufficienti a raggiungere la lunghezza

della convoluzione lineare.

L3/66

Calcolo della convoluzione lineare mediante DFT

1. Si trattano “opportunamente” le sequenze iniziali (zero padding).

2. Si calcolano le DFT delle due sequenze allungate con zeri.

3. Si moltiplicano le sequenze trasformate (DFT) del passo precedente termine a termine.

4. Si inverte (IDFT) la sequenza ottenuta al passo precedente.

L3/67

Costo della Convoluzione

L3/68

LA FAST FOURIER TRANSFORM (FFT)

La periodicità dei coefficienti expknN

2W j knNπ⎧ ⎫= −⎨ ⎬

⎩ ⎭ rende

possibile la riduzione del numero di prodotti dell’algoritmo DFT raccogliendo dei termini. Degli algoritmi efficienti che ne risultano per il computo della DFT, il più comune è la FFT (Fast Fourier Transform) che permette di calcolare una DFT (in generale, complessa) di N campioni mediante un numero di moltiplicazioni complesse dell’ordine di:

( )log2N N⋅ contro le 2N

moltiplicazioni della DFT (incluse le moltiplicazioni per 0 e 1). La FFT è idonea al calcolo della DFT di sequenza la cui lunghezza è una potenza di 2. Sono disponibili sia software che hardware (microcircuiti dedicati) per il calcolo della FFT.

L3/69

Effetto del campionamento sullo spettro di un segnale Esempio 1. Impulso rettangolare

( )1 0 t LT

x t L T 00 altrove

< <⎧= >⎨⎩

con intero e

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

Tempo

x(t)

, x[

nT]

Segnale ContinuoSegnale Campionato

N = 20L = 10T = 1

L 10= , T 1= , N 20=

L3/70

Esempio 1. (continua)

Spettro di ampiezza di ( )x t

( ) ( )sin fLTX f LT

fLTπ

=π

o Massimo: ( )X 0 LT=

o Nulli: mfLT

= m 1, 2,...= ± ± ( )nullin

mfL

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

o Se 1FT

= Frequenza normalizzata: nffF

=

o Spettro normalizzato in ampiezza (rispetto al valore massimo) ed

in frequenza (rispetto alla frequenza di campionamento)

( )( )

( )n n

n

X f sin f LX 0 f L

π=

π

L3/71

Esempio 1. (continua) Spettro normalizzato in ampiezza (rispetto al valore massimo) ed

in frequenza (rispetto alla frequenza di campionamento)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frequenza Normalizzata

|X(f

)/X

(0)|

Per L = 10

L3/72

Esempio 1. (continua) Impulso rettangolare Campionato (T il periodo di campionamento)

[ ] ( )

1 0 n L 1x n x nT

0 L n N 1≤ ≤ −⎧

= = ⎨ ≤ ≤ −⎩

Si considerano N campioni con N L>>

o Calcolo della DFT di [ ]x n :

k 0= [ ] [ ]N 1 L 1

n 0 n 0

X 0 x n 1 L− −

= =

= = =∑ ∑ (supponiamo T 1= )

k 0>

[ ] [ ]

( )( )

( )

nN 1 L 1 L 12 2 2j kn j kn j kN N N

n 0 n 0 n 0

2j Lk j Lk j Lk j LkN N N N j L 1 k

N2j k j k j k j kN N N N

X k x n e e e

sin Lk1 e e e e Ne

sin k1 e e e e N

− − −π π π− − −

= = =

π π π π− − − π

− −

π π π π− − −

⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥

⎣ ⎦π⎡ ⎤⎛ ⎞

⎜ ⎟⎢ ⎥− − ⎝ ⎠= = ⎢ ⎥π⎛ ⎞⎢ ⎥− − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

L3/73


Spettro di ampiezza di [ ]x n

[ ]X 0 L= [ ]sin Lk

NX ksin k

N

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

per k 0>

Nulli: zeriNk mL

= con m 1, 2,...= ± ± se N è un multiplo intero di L

Ad esempio:

N 20= e L 10= ⇒ zerik 2,4,6 ,...,18=

N 100= e L 10= ⇒ zerik 10,20,30,...,90=

Per k N= [ ] [ ]X N X 0 L= =

L3/74



N 20= e L 10=

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


|X[k

]/X[0

]|

k/N

L3/75



N 100= e L 10=

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


|X[k

]/X[0

]|

L3/76


Spettro normalizzato in ampiezza (rispetto al valore massimo) ed in frequenza (rispetto alla frequenza di campionamento)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


|X[k

]/X[0

]|

N = 100, L = 10N = 20, L = 10Spettro segnale cont.

L3/77

Esempio 2. Coseno ( ) ( )0x t cos 2 f t= π

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo

fo = 4 Hz

L3/78

Spettro: ( ) ( ) ( )0 01X f f f f f2⎡ ⎤= δ − + δ +⎣ ⎦

0 0f+0f−

( )X f12

0 0f+0f−

( )X f12

Coseno Campionato

[ ] ( )0x n cos 2 f nT= π

o T il periodo di campionamento

o 1FT

= frequenza di campionamento che soddisfa il TH. di

Shannon: 0F 2 f≥ , 0Ff 0,2

⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

Si considerano N campioni di [ ]x n e si calcola la DFT:

(a) 0lf FN

= con l intero (b) 0f FNλ

= con λ non intero

L3/79


Caso (a): 0lf FN

= con l intero

Ad esempio N 64= e l 4=

0Ff 4 Hz16

= = con F 64 Hz=

0 8 16 24 32 40 48 56 64

-1

-0.5

0

0.5

1

nT

cos(2πf0nT)

L3/80

Esempio 2: caso (a)

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Frequenza (Hz)

Spr

etto

del

seg

nale

lim

itato

nel

tem

po

L3/81

Esempio 2: caso (a)

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Frequenza (Hz)

Spe

ttro

del

seg

nale

lim

itato

nel

tem

po

L3/82

Esempio 2: caso (a)

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Frequenza (Hz)

1a R

eplic

a sp

ettr

o de

l seg

nale

cam

pion

ato

e lim

itato

in te

mpo

L3/83

Esempio 2: caso (a)

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Frequenza (Hz)

Spe

ttro

seg

nale

cam

pion

ato

e lim

itato

in t

empo

(Sommando solo la prima replica)

L3/84

Esempio 2: caso (a)

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 640

5

10

15

20

25

30

35

Frequenza (Hz)

Mod

ulo

Spe

ttro


L3/85


Calcolo della DFT:

[ ]N 1 N 12 2 2 2j kn j ln j ln j kn

N N N N

n 0 n 0

Fl 1X k cos 2 nT e e e eN 2

− −π π π π− − −

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞= π = + =⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎩ ⎭∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( )N 1 N 1 N 12 2 2 2j l k n j l k n j l k n j l k n

N N N N

n 0 n 0 n 0

1 1 1e e e e2 2 2

− − −π π π π− − + − − +

= = =

⎧ ⎫= + = +⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ ∑ ∑

Se k l= [ ]( ) ( )

N 1 N 12 2j l k n j l k nN N

n 0 n 0

N 0

1 1X k e e2 2

− −π π− − +

= =

= +∑ ∑

Se k N l= − [ ]( ) ( )


n 0 n 0

0 N

1 1X k e e2 2

− −π π− − +

= =

= +∑ ∑

L3/86

Esempio 2. (continua) Se e k l k N l≠ ≠ −

[ ]( ) ( )


n 0 n 0

0 0

1 1X k e e2 2

− −π π− − +

= =

= +∑ ∑

quindi

[ ] ( ) ( )[ ]NX k k l k N l2

= δ − + δ − +

con k 0,1,2,...,N 1= −

L3/87


Caso (a) DFT

0 10 20 30 40 50 600

5

10

15

20

25

30

35

k

X[k]

N = 64l = 4

Frequenza del coseno 0

Ff16

= , N 64= , l 4=

L3/88


Caso (b): 0f FNλ

= con λ non intero

Ad esempio: 0FfN

= λ , con N 64= e 4.5λ =

-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo

fo = 4.5 Hz

L3/89


0 8 16 24 32 40 48 56 64

-1

-0.5

0

0.5

1

nT

cos(2πf 0nT)

L3/90

Esempio 2: caso (b)

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Frequenza (Hz)

Spe

ttro

del

seg

nale

lim

itato

in t

empo

L3/91

Esempio 2: caso (b)

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Frequenza (Hz)

Spe

ttro

del

seg

nale

lim

itato

in t

empo

L3/92

Esempio 2: caso (b)

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Frequenza (Hz)

1a R

eplic

a S

pettr

o de

l seg

nale

cam

pion

ato

e lim

itato

in te

mpo

L3/93

Esempio 2: caso (b)

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Frequenza (Hz)

Spe

ttro

seg

nale

cam

pion

ato

e lim

itap

in t

empo


L3/94

Esempio 2: caso (b)

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 640

5

10

15

20

25

30

35

Frequenza (Hz)

Mod

ulo

spet

tro

del s

egna

le c

ampi

onat

o e

limita

to in

tem

po


L3/95


Calcolo della DFT:

[ ]( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

N 1 N 12 2 j 2 k j 2 kj k n j k nN N

2 2j k j kN Nn 0 n 0

1 1 1 e 1 eX k e e2 2

1 e 1 e

− −π π π λ− − π λ+λ− − λ+

π πλ− − λ+

= =

⎡ ⎤⎡ ⎤ − −⎢ ⎥= + = + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −

∑ ∑

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

j k j k j k j k j k j k

j k j k j k j k j k j kN N N N N N

e e e e e e12 e e e e e e

π λ− − π λ− π λ− − π λ+ π λ+ − π λ+

π π π π π πλ− − λ− λ− − λ+ λ+ − λ+

⎡ ⎤− −⎢ ⎥+= =⎢ ⎥− −⎣ ⎦

( ) ( )[ ]

( )

( ) ( )[ ]( )

1 1j k 1 j k 1N Nsin k sin k1 e e

2 sin k sin kN N

⎛ ⎞ ⎛ ⎞π λ− − − π λ+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤π λ − π λ +⋅ +⎢ ⎥= π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥λ − λ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

L3/96

Esempio 2. (continua) Considerando la parte reale e immaginaria:

[ ] ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ]( )R

sin k sin k1 11 cos k 1 cos k 1X k N Nsin k sin k2N N

π λ − π λ +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞π λ − − + π λ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥λ − λ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ] ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ]( )I

sin k sin k1 11 sin k 1 sin k 1X k N Nsin k sin k2N N

π λ − π λ +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞π λ − − − π λ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥λ − λ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Il modulo vale:

[ ] [ ] [ ]2 2

R IX k X k X k= +

L3/97


Caso (b) DFT (modulo)

0 8 16 24 32 40 48 56 640

5

10

15

20

25

30

35

k

X[k]

N = 64λ = 4.5

Frequenza del coseno 0

FfN

= λ , con N 64= , 4.5λ =

L3/98

LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT)

La maggior parte dei segnali reali fisici è di tipo non stazionario,

cioè con caratteristiche variabili nel tempo. Ad esempio:

( ) ( ) ( ) ( )i i

Na t t

i i i ii 0

x t A e cos 2 f t u t tπ ψ− −

=

= ⋅ + −∑ (1)

con diversi parametri: • Ampiezze iA

• tempi di inizio it

• frequenze dominanti if

• fasi iniziali iψ

• coefficienti di smorzamento ia > 0

dove ( )iu t t− è la funzione gradino unitario, vale 1 per it t> e 0

altrove

L3/99


Se si effettua la trasformata di Fourier: ( )X f

• ( )X f dà informazione sulle componenti armoniche if e delle

rispettive ampiezze iA .

• La fase di ( )X f ingloba le informazioni relative agli altri

parametri.

Problema: Tali informazioni sono così “mescolate” fra loro, specie se

il segnale ha molte componenti, da risultare illeggibili.

Cioè la trasformata di Fourier identifica le componenti armoniche ma

non permette di ricavare facilmente informazioni su quando e come

tali frequenze siano effettivamente presenti.

L3/100


Infatti la definizione della trasformata di Fourier ( )X f :

( ) ( ) j 2 ftX f x t e dtπ+∞

−

−∞= ⋅∫ (2)

è perfettamente locale in frequenza ma assolutamente globale nel

tempo.

Questa trasformazione è adatta a segnali stazionari perché

permette di evidenziare nettamente fenomeni che avvengono nel

dominio della frequenza ma non discrimina eventi che avvengono nel dominio del tempo.

L3/101


• Quindi è necessario effettuare un’analisi congiunta tempo-frequenza per rilevare le caratteristiche temporali e spettrali del

segnale (ciò vale in particolare per il suono).

• Intuitivamente bisogna selezionare tratti di segnale

sufficientemente corti da poter essere assunti stazionari.

• Una sequenza di questi spettri a breve termine costituisce la

Short Time Fourier Transform.

L3/102


• Per i segnali non stazionari occorre inserire una dipendenza dal

tempo nella trasformazione, cioè rendere locale la (2) operando

su porzioni di ( )x t , ottenute moltiplicandolo per una finestra

( )g t τ− che trasla nel tempo.

• Si definisce allora la Trasformata di Fourier a Breve Termine o

Short Time Fourier Transform:

( ) ( ) ( ) j 2 ftxSTFT , f x t g t e dtπτ τ

+∞−

−∞= ⋅ − ⋅∫ (3)

La STFT evidenzia il contenuto armonico di ( )x t in un intorno

dell’istante di tempo τ di durata pari all’estensione della finestra.

L3/103


Limiti della STFT:

• Moltiplicare nel dominio del tempo ( )x t con la funzione ( )g t

equivale ad effettuare la convoluzione dei loro spettri ( )X f e

( )G f nel dominio della frequenza.

• La STFT fornisce quindi lo spettro del segnale alterato dalla

presenza della finestra.

• Questo limite non è eliminabile.

L3/104


( )g t a supporto ampio

( )g t a supporto stretto

fΔ

tΔtΔ

fΔ

Frequenza Frequenza

Tempo Tempo 0t

0f 0f

L3/105


• Fissata la funzione finestra ( )g t sono definite le indeterminazioni

tΔ e fΔ rispettivamente nel dominio del tempo e della

frequenza.

• Due eventi distanti meno di tΔ o fΔ non sono più discriminati

dalla STFT nel rispettivo dominio.

• Le due indeterminazioni sono inversamente proporzionali, quindi

la risoluzione temporale può essere migliorata solo a scapito della

risoluzione in frequenza, e viceversa.

• Principio di indeterminazione: non è possibile stimare con

precisione arbitraria e simultaneamente i parametri temporali e

frequenziali di un segnale.

L3/106


• Se le due indeterminazioni sono fisse questo implica che le

risoluzioni relative t

tΔ

e ffΔ

risultano variabili.

• In molte applicazioni non è possibile permettersi di localizzare

fenomeni lenti e fenomeni veloci con la stessa indeterminazione,

nel senso che identificare una frequenza di 100 MHz con

precisione f 1 kHzΔ = è molto diverso dall'identificare 100 kHz

con la stessa precisione.

L3/107

(a) Il segnale è composta da: una sinusoide di 35 Hz, + un chirp quadratico (all’istante iniziale di 25 Hz dopo un secondo di 140 Hz) + un impulso breve (si manifesta dopo 0.3 sec). (b) Uso di una finestra temporale “larga”: buona risoluzione in frequenza. (c) Uso di una finestra temporale “stretta”: buona risoluzione temporale. (d) Uso di una finestra di lunghezza media si ha una accettabile risoluzione sia in frequenza che nel tempo.

L3/108

LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT) Interpretazione della STFT come banco di filtri

Data la: ( ) ( ) ( ) j 2 ftxSTFT , f x t g t e dtπτ τ

+∞−

−∞= ⋅ − ⋅∫

se la finestra è pari: ( ) ( )g gθ θ= − , allora per un valore fissato di f si ha:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

j 2 ftx

j2 ft

STFT , f x t e g t dt

x t e g t

π

π

τ τ

τ

+∞−

−∞

−

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − =⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⋅ ∗ −⎣ ⎦

∫

cioè fissato il valore di f, ( )STFT , fτ si può interpretare come l’uscita

di un filtro con risposta impulsiva ( )g i al cui ingresso viene immesso

( )x t demodulato dall’esponenziale j 2 fe π− . La porzione di spettro

intorno alla frequenza f è riportata intorno all’origine e quindi “vista”

attraverso il filtro ( )g i , che ha in genere una risposta di tipo passa

basso.

L3/109

LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT) Frequenze di campionamento della STFT nel tempo e in frequenza Domanda: quanto tempo deve intercorrere fra una STFT e la successiva perché non ci sia perdita di informazione? • La banda passante della STFT (per qualunque frequenza

considerata) è la banda B (monolatera) della trasformata della finestra considerata, quindi la STFT deve essere campionata a un valore: wF 2B≥

• La finestra con banda minima è quella rettangolare. • Sostituendo la STFT con la DFT quale frequenza di

campionamento delle frequenze deve essere adottata? • Scambiando i ruoli dei domini temporale e frequenziale si può

affermare che è necessario adottare almeno N L≥ campioni dell’asse frequenziale, se L è la lunghezza temporale della finestra di analisi.

L3/110

Esempio: finestra di Hamming Frequenza di campionamento del segnale pari a cF 44100 Hz= Finestra di Hamming a 1024 punti (L = 1024): 5T 2.26 10 sec−= ×

( )

altrove

2 n0.54 0.46 cos 0 n L 1w n L

0

π⎧ ⎛ ⎞− ≤ ≤ −⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎪⎩

Si può vedere che la banda B della finestra di Hamming è circa:

cFB 2L

≅

Dovrà quindi essere c

w4F 4 44100F 2B 173 HzL 1024

⋅≥ ≥ = ≅

cioè la STFT dovrà essere campionata nel tempo a circa 173 Hz cioè

ogni 44100/173 = 254 campioni del segnale.

L3/111

Finestra di Hamming a 1024 punti (L = 1024): 5T 2.26 10 sec−= ×

0.5 1 1.5 2

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (us)

Am

plitu

de

Time domain

-0.5 0 0.5-60

-40

-20

0

20

40

60

Frequency (kHz)

Mag

nitu

de (

dB)

Frequency domain

L3/112

Rettangolare

10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Samples

Am

plitu

de

Time domain

0 0.2 0.4 0.6 0.8-20

-10

0

10

20

30

40

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Mag

nitu

de (

dB)

Frequency domain

L3/113

Triangolare

10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Samples

Am

plitu

de

Time domain

0 0.2 0.4 0.6 0.8-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40


Mag

nitu

de (

dB)

Frequency domain

L3/114

Chebyshev (50 dB)

10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Samples

Am

plitu

de

Time domain

0 0.2 0.4 0.6 0.8-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40


Mag

nitu

de (

dB)

Frequency domain

L3/115

Esempi di rappresentazione della STFT: sonogramma di un brano cantato

Risultano evidenti le righe corrispondenti alle armoniche delle vocali e la localizzazione dei formanti. Si nota inoltre la distribuzione spettrale delle consonanti sorde ’s’ e ’z’ (con andamento di tipo passa alto) prive di struttura armonica.

Spettro d’ampiezza Α= f )() Xf Spettro di fase Qf ArgX ...radarlab.uniroma2.it/.../03_Spettro_Campionamento_DFT_pag-97_2011.pdf · L3/1 “SPETTRO” DI UN SEGNALE Dato un segnale

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