APRESENTAÇÃO Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea- lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que melhor se encaixa à organização curricular de sua escola. A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen- tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci- dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas, histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob- jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade. As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada região brasileira. Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz. Gerente Editorial Funções II
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SPE ER15 MDEM04 MAT AL - prepapp.positivoon.com.brprepapp.positivoon.com.br/assets/Modular/MATEMATICA/SPE_ER15… · Uma função é denominada função quadrática quando estiver
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APRESENTAÇÃO
Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três
séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-
lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que
melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.
A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-
tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-
dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito
crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas,
histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de
dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-
jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.
As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante
situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos
privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de
questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada
região brasileira.
Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia
intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o
aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.
a) Quanto pagará cada passageiro e quanto a empresa receberá pela venda de passagens, se viajarem:
30 passageiros? 40 passageiros? 48 passageiros?
b) É vantajoso para os passageiros que o ônibus esteja com a lotação máxima? E para a empresa de ônibus?
c) Quanto a empresa receberá se viajarem x passa-geiros?
d) Na função obtida no item anterior, qual foi o maior valor do expoente da variável x?
e) Qual é o grau de um polinômio cujo maior expoente da variável é 2?
No final de cada ano, certa escola realiza uma excursão com os alunos para comemorar o encerramento do ano letivo. A diretora contrata uma empre-sa que organiza excursões com ônibus cuja capacidade máxima é de 48 passageiros. Essa empresa cobra de cada um o valor de R$ 60,00 mais R$ 3,00 por lugar não ocupado, isto é, que fique vago.
Nesta situação, a função obtida é denominada função quadrática.
Uma função é denominada função quadrática quando estiver escrita na forma f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ R e a ≠ 0, em que:
a é o coeficiente do termo de grau 2;b é o coeficiente do termo de grau 1;c é o termo independente.
São exemplos de funções quadráticas:
a) f(x) = x2 – 3x + 4 (a = 1; b = –3; c = 4)
b) f(x) = 2
3 x2 + 7x – 1 (a =
2
3; b = 7; c = –1)
c) y = 4,1t2 – 0,16 (a = 4,1; b = 0; c = –0,16)
d) f(z) = − − +z z2
2
4
712 (a = –
1
2; b = –
4
7; c = 12)
2. Identifique os coeficientes a, b e c das funções que são quadráticas:
a) f(x) = 3x2 + 6x + 9
b) f(x) = –x2 – 2x
c) f(x) = 5x + 15
d) f(x) = 7x2 – 23x
+ 49
3. Dada a função f(x) = (a – 2)x2 + (b + 1)x + c, qual a condição para que ela seja:
a) uma função quadrática?
b) uma função afim?
4. Determine os valores de m, para que as fun-ções a seguir sejam quadráticas.
a) f(x) = mx2 – 4x + 4
b) f(x) = (m – 1)x2 + 8x – 12
c) f(x) = (m2 – 4)x2 – 25x + 30
5. Em uma indústria, o custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por C(x) = x2 + 2x + 400 reais. Em um dia de tra-balho, o número de unidades produzidas é x(t) = 12 . t unidades, em que t é o número de horas trabalhadas no dia. Determine o custo de fabricação quando são decorridas três horas de trabalho.
1. Um engenheiro planeja construir um barracão que consiste em uma cobertura com paredes laterais para uma piscina de 25 m x 18 m, de acordo com o desenho:
A piscina tem 25 m de comprimento e 18 m de largura. O barracão deve ter espaço nas la-terais da piscina para a circulação de pessoas; e, em uma das laterais, um espaço reservado para uma arquibancada, que será construída depois que o barracão estiver pronto. Ela deve ter comprimento igual a 25 m e largura míni-ma de 4 m. Devido a restrições no terreno, o espaço para circulação nas laterais deve ter a mesma largura; e o espaço reservado para a ar-quibancada, o dobro da largura da circulação. Com base nessa situação, responda:
a) Qual será a área do barracão quando a medida de x for 3 m? E quando x for 2 m?
b) Qual função representa a área do barracão quando a medida é x?
Funções II6
6. Um criador de gado bovino tem 250 m de cer-ca e pretende cercar uma área retangular com a finalidade de plantar pasto para alimentar o gado. O local escolhido possui um muro cons-truído que será aproveitado como dois lados da área a ser cercada. Observe o desenho:
a) Considerando-se que, na área cercada, h é a menor dimensão e b é a maior, escreva a ex-pressão dessa área plantada em função de h.
b) Determine a área para uma dimensão h igual a:
100 m;
160 m.
7. Um arquiteto, ao projetar um painel quadrado decorativo de 5 m de lado, inseriu uma janela triangular de acordo com este desenho:
a) Determine a área dessa janela em função da medida d.
b) Calcule a área dessa janela para d = 2 m e para d = 4 m.
8. (ENEM) Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada
centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 litros. Considerando-se x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a ven-da do álcool, então a expressão que relacio-na V e x é:
a) V = 10 000 + 50x – x2
b) V = 10 000 + 50x + x2
c) V = 15 000 – 50x – x2
d) V = 15 000 + 50x – x2
e) V = 15 000 – 50x + x2
9. Uma praça retangular será reformada e pas-sará por um novo projeto de paisagismo. A figura representa o projeto de reforma da praça, e as áreas destacadas em verde serão destinadas aos jardins. Os lados são de 50 m e 32 m. Escreva a expressão que representa a área dos jardins e determine essa área para x = 8 m, x = 12 m e x = 14 m.
10. O lucro, em reais, de duas lojas A e B, com a venda de x centenas de unidades do mesmo tipo de produto, é dado pelas expressões:
O lucro (L) diário é dado pela receita (R) gerada menos o custo (C) de produção. Suponha que, em uma fábrica de cosméticos, a receita gerada e o custo de produção de determinado produto sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = 60x – x2 e C(x) = 10(x + 40), sendo x o número de itens produzidos no dia.
1. Sabendo-se que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, escreva a função que expressa o seu lucro em função do número de itens produzidos:
2. Complete a tabela para os valores de x, localize os pontos no plano cartesiano e esboce o gráfico:
x L(x)
0
10
20
25
40
50
3. Com base no gráfico, responda:
a) Como é denominada a curva representada? A concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?
b) Observando o gráfico, o que se pode afirmar quanto ao intervalo 10 < x < 40?
c) Para que quantidade de itens a empresa terá lucro máximo? Qual o valor desse lucro?
d) Para que quantidade de itens a empresa não terá lucro e nem prejuízo? ________________________
e) Para que quantidade de itens a empresa terá prejuízo? ___________________________________
f) Qual o valor do coeficiente a da função lucro? __________________________________________
Quando o coeficiente a da função quadrática é negativo, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Atenção: Quando o domínio e o contradomínio da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c não são indicados,
considera-se que a função tem o domínio e o contradomínio iguais ao conjunto dos números reais, ou seja, f: R → R.
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Ensino Médio | Modular
FÍSICA
9
FÍSICAMATEMÁTICA
Um desafio para as grandes empresas é aliar a lucratividade com questões éticas e princípios de cida-dania. O lucro, representado por grandes cifras econômicas não pode vir a qualquer preço, sob forma de escravidão, desigualdades ou valores distorcidos. Deve ser permeado por justiça social e antes de tudo preservar a dignidade do cidadão. Isso só é possível com empresários éticas, solidários e comprometidos com seu contexto social.
Sabe-se de empresas que mantêm escolas e incentivam a prática da cidadania entre os próprios funcio-nários, para que também se apropriem desse tipo de projeto. Esse engajamento pode gerar uma profunda reflexão relacionada a valores. Além dessa postura cidadã ser reconhecida pelo mercado, transferirá para o consumidor e clientes uma imagem positiva da empresa.
O comportamento de dilatação e contração de um metal foi medido em um laboratório com um corpo de prova que foi exposto a uma variação brusca de temperatura, durante 10 minutos, de acordo com a função T(t) = t2 – 12t + 32, em que T é a temperatura medida em graus Celsius e t é o tempo medido em minutos.
Complete a tabela para os valores dados de t, localize os pontos no plano cartesiano e esboce o gráfico:
t(minutos) T(t)
0
1
2
4
6
8
10
a) Observando o gráfico, em que período t da experi-ência a temperatura foi negativa?
b) Qual é a menor temperatura registrada nessa expe-riência e em que minuto ela ocorreu?
c) Em quais tempos a temperatura não será nem posi-tiva nem negativa?
d) Para quais intervalos de tempo, na experiência, a temperatura será positiva?
e) Qual o valor do coeficiente a da função?
f) A concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?
Observe, nos gráficos que você construiu, que, em uma função quadrática, quando:
a > 0 a < 0
a parábola tem concavidde voltada para cima:
a parábola tem concavidade voltada para baixo:
1. Indique, em cada função quadrática a seguir, se a parábola que a representa tem a concavi-dade voltada para cima ou para baixo. Justifi-que:
a) f(x) = x2 – 8x + 6
b) f(x) = –4x2 + 16
c) y = 12 + 9x – 3x2
d) y = 5x2
2. Determine o valor de m, para que a função f(x) = (m – 9)x2 + 12x tenha a parábola com a concavidade voltada para baixo.
3. Determine o valor de m, para que a função f(x) = –5 + (m – 16)x2 tenha a parábola com a concavidade voltada para cima.
4. Um jogador, em uma cobrança de falta, chuta a bola em direção ao gol, e a trajetória da bola
é dada pela função h(d) = − +d d2
7525
. Consi-
derando-se que a trave do gol tem 2,44 m de
altura por 7,32 m de largura, e que o jogador está a 24 m da linha do gol, marque V para verdadeiro e F para falso nos itens a seguir:
( ) A bola passará por cima do gol.( ) A bola baterá na trave de cima do gol.
( ) Se o goleiro não interceptar a bola, o joga-dor marcará um gol.
( ) A bola passará pela lateral do gol.( ) A bola baterá no chão antes da linha do gol.
5. (UECE) Seja f a função real de variável real, de-finida por f(x) = x2 + px + q, em que p e q são números reais constantes. Se o gráfico de f passa pelos pontos (5, 0) e (0, 5), o valor de f(1) é:
a) −1
b) 0
c) 1
d) 2
6. Uma loja que produz e vende roupas, determi-na o preço de certa peça em função da quanti-dade vendida x, da seguinte forma:
Por um preço p, essa loja vende x unidades des-
sa peça, de acordo com a função p = 50 + x2
.
Determine a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida quando forem ven-didas:
a) 50 peças; b) 120 peças;
c) 200 peças.
7. Uma parábola é descrita pela função
f(x) = x2 − 4x + m e passa pelo ponto (2, 5), então o valor de m é:
a) 0 b) 5
c) −5 d) 9
e) −9
Quando o coeficiente a da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c é positivo, a parábola tem a con-cavidade voltada para cima.
Funções II10
Pontos notáveis do gráfico de uma
função quadrática
FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA
O lucro trimestral de uma empresa depende da quantidade de dinheiro gasta em publi-cidade por trimestre, de acordo com a regra a seguir:
L x x x x( ) ( )= − + +1
87 30 0 502 ≤ ≤
onde L(x) e x são valores em milhares de dólares.
c) Determine o lucro quando não houver investimento em publicidade, ou seja, quando x = 0
d) Qual é o lucro quando o investimento em publicidade é 50 000 dólares?
e) No plano cartesiano, marque os pontos obtidos nos itens anteriores e construa o gráfico da função.
L x x x x( ) ( )= − + + ≤ ≤1
87 30 0 502
a) No plano cartesiano, a função “Lucro” tem a conca-vidade voltada para cima ou para baixo? Por quê?
b) Para quais valores x, de gasto com publicidade, o lu-cro L(x) é nulo, ou seja, L(x) = 0? Como são chamados esses pontos da função? Esses valores pertencem ao domínio da função?
Ensino Médio | Modular 11
O vértice da parábola tem coordenadas (xv, yv) em que:
xv (abscissa do vértice), por conter o eixo de simetria da parábola, é o ponto médio de x1 e x2 (zeros da função). Então:
xx x
v =+1 2
2, em que:
xb
a1 2=
– – Δ e xb
a2
2= +– Δ
Substituindo x1 e x2, obtém-se:
x
b
a
b
a
b b
av =
++
=
( )+ +( )– – Δ – Δ – – Δ – Δ
2 22
22
xb
a
b
av = =–·
–2
2
1
2 2
xb
av = –2
yv (ordenada do vértice)
Como f(x) = y = ax² + bx + c, então:
yv = axv² + bxv + c
Como xb
av = –2
, substitui-se, na função
f(x) = ax2 + bx + c, obtém-se yv .
Observe:yV = a(xv)
2 + b(xv) + c
yv = ab
ab
b
ac⋅ −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
+ ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+2 2
2
yv = ab
a
b
ac
2
2
2
4 2− +
yv = b
a
b
ac
2 2
4 2 – +
yv = b b ac
a
2 22 4
4
− +
yv = − +b ac
a
2 4
4
yv = −−b ac
a
2 4
4
yv = −Δ4a
O ponto V, chamado vértice da parábola da função
f(x) = ax2 + bx + c de coordenadas V(xv, yv), é dado
por xb
av =−2
e yav =− Δ
4, ou seja, o vértice da
parábola é o ponto V − − Δ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
b
a a2 4, .
Funções II12
f) Trace, no gráfico da função, o eixo de simetria da parábola e, em seguida, destaque o ponto em que esse eixo intersecta a parábola e responda: como é denominado esse ponto?
g) Como podemos obter a abscissa do vértice da pa-rábola?
h) Como podemos obter a ordenada do vértice da pa-rábola?
i) Escreva, representando no gráfico anterior, as coorde-nadas do vértice da parábola no desenho do gráfico no item d.
Agora, determine as coordenadas do vértice da função, utilizando as relações obtidas anteriormente:
Alguns pontos pertencentes à parábola são importantes para a construção do gráfico e para a sua análise.
Esses pontos estão indicados no gráfico:
Zeros da função quadráticaSão os pontos de intersecção da parábola com o eixo x de coordenadas (x1, 0) e (x2, 0). São os
valores de x quando f(x) = 0.
Vértice da parábolaÉ o ponto de coordenadas (xv, yv). Ao traçar uma reta perpendicular ao eixo x, passando pelo vértice
da parábola, determina-se o eixo de simetria da parábola.
O coeficiente c da função e a parábolaNa função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, o coeficiente c indica a ordenada do ponto em que a
parábola intersecta o eixo y, ou seja, (0, c). Observe:f(0) = a · 02 + b · 0 + cf(0) = c
FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA
13Ensino Médio | Modular
b) O valor de Δ é maior, igual ou menor que zero?
c) Calculando os zeros da função, o que você observa em relação aos valores de x1 e x2?
d) Por que x1 e x2 apresentaram o mesmo valor?
e) Qual(is) o(s) ponto(s) em que a parábola intersecta o eixo x?
f) Quais as coordenadas do vértice dessa função?
1. Dada a função f(x) = –x2 – 4x – 4, res-ponda:
a) A concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo? Justifique:
g) O que você observa, comparando as coordenadas do ponto em que a parábola intersecta o eixo x em relação às coordenadas do vértice da parábola?
h) Escreva as coordenadas do ponto em que o gráfico intersecta o eixo y:
i) Esboce o gráfico da função:
j) Quais os pontos notáveis que foram destacados no gráfico?
2. Dada a função f(x) = 2x2 + x + 1, responda:
a) A concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo? Justifique:
b) O valor de Δ é maior, igual ou menor que zero?
Funções II14
Ao determinar os zeros da função quadrática, utilizando a fórmula resolutiva da equação do 2º. grau, têm-se três possibilidades quanto ao valor de Δ ou
discriminante, o que interfere no cálculo dos zeros:Δ > 0, a função tem dois zeros reais (x1 ≠ x2);Δ = 0, a função tem dois zeros reais e iguais (x1 = x2);Δ < 0, a função não tem zeros reais.
15Ensino Médio | Modular
FÍSICAFÍSICAFMATEMÁTICA
c) Calculando os zeros da função, o que você ob-serva em relação aos valores de x1 e x2?
d) Por que x1 e x2 apresentaram esses valores?
e) Com relação ao resultado de x1 e x2, como se apresenta a parábola em relação ao eixo x?
f) Quais as coordenadas do vértice dessa função?
g) Escreva as coordenadas do ponto em que o grá-fico intersecta o eixo y:
h) Esboce o gráfico da função:
i) Quais os pontos notáveis que foram destacados no gráfico?
1. Determine os zeros, as coordenadas do vértice das parábolas e esboce os gráficos das seguin-tes funções quadráticas:
a) f(x) = x2 + 6x + 8
b) f(x) = –x2 + 4x – 3
c) f(x) = x2 + 2x + 1
d) f(x) = –x2 – 2x – 5
2. Indique as coordenadas do vértice e os zeros da função das parábolas a seguir:
a)
b)
3. Determine as coordenadas dos pontos em que a parábola que representa a função
f(x) = 2x2+ 2x – 24 intersecta o eixo das abscis-sas e das ordenadas.
4. (UFRGS – RS) A parábola na figura tem vértice no ponto (–1, 3) e representa a função quadrá-tica f(x) = ax2 + bx + c:
Portanto, a + b é:
a) – 3 b) – 2
c) – 1 d) 0
e) 1
5. (UNIOESTE − PR) Um engenheiro projetou um arco de sustentação de uma ponte no qual a parte inferior tem a forma do gráfico da parábo-la y = −2x2 + 8x − 6, conforme ilustra a figura:
Com base nessas informações, pode-se afirmar que:
a) a largura da base do arco, distância de A até D, é de 2,5 m.
b) o segmento que vai de B até E mede 1 m.
c) a altura do arco, distância de C até F, é maior que a largura da base, distância de A até D.
d) o ponto mais alto do arco dista 2 m da base.
e) nenhum ponto do arco dista mais que 1,8 m da base.
Funções II16
6. Escreva a função que representa cada parábola a seguir:
a)
b)
7. A função quadrática cuja parábola é descrita por y = x2 – mx + n tem o vértice no ponto (−1, 2). Dessa forma, marque V para verdadei-ro e F para falso:
( ) m + n = 1 ( ) m2 = 36 ( ) n · m = −6 ( ) m − n = −5
8. Num frigorífico, para armazenar as carnes bo-vinas em perfeitas condições até o momento do seu transporte para os supermercados, a temperatura dos refrigeradores é regulada em função do tempo t (dia) de armazenamento, pela lei de formação T(t) = t2 – 6t + 8 em que t ≥ 0.
a) Em qual(is) momento(s) t a temperatura é 0ºC?
b) Qual o intervalo de dias em que a carne fica congelada?
c) Determine o vértice da parábola dessa fun-ção e interprete o resultado.
9. Qual é o valor de m para que a função
f(x) = 3x2 − mx + 3, tenha dois zeros reais e iguais?
10. O vértice da parábola y = 2x2 − 4x + 5 é um ponto que pertence:
a) ao 1o. quadrante.
b) ao 2o. quadrante.
c) ao 3o. quadrante.
d) ao 4o. quadrante.
e) a um eixo do plano cartesiano.
11. Em um processo químico, a substância sofre uma variação de temperatura, em função do tempo em horas, de acordo com a função V(t) = 1,5t – t2, com 0 ≤ t ≤ 6.
Em que instante t a substância atinge a maior temperatura?
FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA
17Ensino Médio | Modular
Máximo e mínimo de uma função
Funções II18
O lucro de uma empresa é dado pela diferença entre a receita (R) da venda do produto pelos custos (C) de sua produção, ou seja:
L = R – CVender nem sempre tem relação com a obtenção de grandes
lucros, pois, para fabricar mais produtos, a empresa gera mais custos com equipamentos, consumo de energia elétrica e contratação de mão de obra. Por essas razões, as empresas têm necessidade de monitorar os seus lucros. Analise a seguinte situação:
1. Em uma fábrica, o departamento financeiro re-presentou o lucro, aproximadamente, pela função F(x) = –x² + 100x, em reais, na venda de x peças automotivas.
O gráfico representa a função. Analise-o e res-ponda:
a) Se a empresa não vender peça alguma, qual será o seu lucro? Justifique:
b) Vendendo 100 peças, a empresa terá lucro? Jus-tifique:
f) Qual a quantidade de peças que devem ser vendi-das para que a empresa obtenha o maior lucro, ou seja, o lucro máximo?
g) Determine as coordenadas do vértice da parábola e verifique o que elas representam:
h) Para que quantidades de peças vendidas a fábrica terá lucro?
Na função quadrática, se a parábola tem concavidade voltada para cima (a > 0), yv é o valor mínimo da função; e xv é o ponto de mínimo da função:
Se a parábola tem a concavidade voltada para baixo, (a < 0), yv é o valor máximo da função; e xv, o ponto de máximo da função:
1. Determine as coordenadas do vértice de cada função, identificando o valor e o ponto de máximo ou de mínimo:
a) f(x) = x2 – 4x – 5
b) f(x) = –x2 + 6x – 8
c) f(x) = –5x2 + 5
d) f(x) = 3x2
2. Com base no gráfico, responda:
a) Para que valores de x a função é nula?
b) O vértice dessa parábola apresenta ponto e valor de máximo ou ponto e valor de mínimo? Justifique.
c) Qual o ponto de máximo ou de mínimo?
d) Qual o valor de máximo ou de mínimo?
e) Para que valores de x a função é negativa? E positiva?
3. Sabe-se que a função lucro é dada por L = R – C; a receita da empresa de transporte de grãos de soja é dada pela função R(x) = –x2 + 10x; e a função custo é dada por C(x) = x + 20. Determine o valor de x que maximiza o lucro, considerando que ele representa o volume, em mil to-neladas, dos grãos de soja transporta-dos pela empresa.
4. Determine o valor de k na função:f(x) = x2 – kx – 35, sabendo-se que ela tem o valor mínimo igual a –36.
5. Em um jogo de futebol, o jogador cobrará uma falta com barreira. A trajetória da bola, que deve passar sobre a barreira, descreve aproximadamente o gráfico de uma parábola. Supondo que h é a altura da bola em relação ao chão, em metros; t o tempo em segundos após o chute do jogador; e a parábola descrita pela bola é dada por h = –t2 + 4t, determine:
a) em quantos segundos a bola atinge a altura máxima;
b) a altura máxima atingida pela a bola.
6. Em uma praça em forma de triângulo retân-gulo, será construído um parquinho para crianças, que ocupará uma região retangular, de dimensões b e h, de acordo com este de-senho:
Um dos vértices da região retangular desse parquinho estará sobre o maior lado desse triângulo. Assim, marque V para verdadeiro e F para falso:
( ) O parquinho pode ser construído com b = 5 m e h = 10 m.
( ) O parquinho pode ser construído com di-mensões b = 8 m e h = 6 m.
( ) Para b = 6 m, tem-se uma medida de área menor que para b = 9 m.
( ) Para b = 7,5 m, tem-se a área máxima que pode ser construída.
( ) A área máxima em que o parquinho pode ser construído é 45 m2.
7. (PUC Minas – MG) Uma empresa de turismo fretou um avião com 200 lugares para uma semana de férias, devendo cada participante pagar R$ 500,00 pelo transporte aéreo, acres-cidos de R$ 10,00 para cada lugar do avião que ficasse vago. Nessas condições, o número de passagens vendidas que torna máxima a quan-tia arrecadada por essa empresa é igual a:
a) 100 b) 125
c) 150 d) 180
8. (EMESCAM − ES) O número de membros da população de certa bactéria depende da variá-vel temperatura (medida em oC) sob uma fun-ção de 2o. grau. As medidas de um pesquisador indicam que a função é dada por:
N(T) = aT2 + 20T + C , sendo a e C constantes e T a temperatura. A temperatura que maximi-za a população é 30oC. Qual o valor da cons-tante a?
Na década de 1980, a seleção brasileira de vôlei popu-larizou, especialmente pelo ex-jogador Bernard, o saque “jornada nas estrelas”. Nesse saque, a bola atingia grandes alturas e, com o aumento do yv da parábola descrita pela trajetória, fazia com que a bola descesse com velocidade pró-xima de 70 km/h, dificultando a recepção do time adversário.
Em alguns jogos, não ha-via a possibilidade de dar o saque “jornada nas estrelas” por causa da altura do teto do ginásio. Considerando-se que a expressão j(x) = –x2 + 10x descreve a altura da bola, em metros, desde o saque, em função da posição x, em metros, determine a altura máxima que a bola é capaz de atingir:
a) Nessa situação, os valores de y podem ser menores que zero? Justifique:
b) Qual o intervalo de valores de y para essa função?
Conclui-se que, no saque “jornada nas estrelas”, a bola pode alcançar até 25 m de altura.
Para determinar o conjunto-imagem de uma função qua-drática, basta determinar o valor de yv e analisar a conca-vidade da parábola.
Se o saque for dado no fundo da quadra e sabendo-se que a medida oficial do comprimento da quadra é de 18 m, pode-se considerar que a bola caiu na quadra do adversário?
Assim, determine o conjunto-imagem da função f(x) = x2 + 2x + 2:
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FÍSICA
21
FÍSICAMATEMÁTICA
Em uma função quadrática, tem-se que: se a > 0, então yv é o valor mínimo da função,
logo o conjunto-imagem da função é dado porIm(f) = {y ∈ R I y ≥ yv}:
Se a < 0, então yv é o valor máximo da função, logo o conjunto-imagem da função é dado por
Im(f) = {y ∈ R I y ≤ yv}:
1. Determine o conjunto-imagem das funções qua-dráticas representadas pelos seguintes gráficos:a)
b)
c)
d)
Funções II22
2. Determine o conjunto-imagem das funções quadráticas a seguir:
a) f(x) = –x2 + x + 2 b) f(x) = 4x2 – 4x + 1
c) f(x) = –10x2 d) f(x) = 3x2 – 9x
3. O comprimento de uma mangueira usada para irrigar certo gramado não é suficiente para que a sua saída de água chegue à determinada área. A solução é lançar a água a certa distância, aproveitando a sua pressão.
Sabendo-se que a função A(x) = –x2 + 6x descreve a trajetória da água, determine o conjunto-ima-gem e explique o que ele representa.
4. Uma empresa prestadora de serviços tem seus custos mensais em milhares de reais descritos pela fun-ção C(x) = x2 – 2x + 4, em que x representa as horas trabalhadas. Quais os valores, em milhares de reais, dos custos possíveis que essa empresa pode ter?
O estudo do sinal de uma função afim ou quadrática consiste em determinar, no domínio, os valores em que a função é positiva, negativa ou nula.
Estudo do sinal da função afim
Estudo do sinal da função afim e quadrática
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FÍSICA
23
FÍSICAMATEMÁTICA
Em uma feira agrícola, o lucro de uma empresa sobre a venda de suas máquinas é descrito pela função L(x) = 3x – 27, em que x representa a quantidade de máquinas vendidas.
1. Essa empresa apresenta um lucro crescente ou decrescente?
2. Qual a quantidade de máquinas vendidas para que essa empresa não tenha lucro nem prejuízo?
3. Nessas condições, quando a empresa tem lucro? E prejuízo?
De modo geral, dada uma função afim f(x) = ax + b, com a ≠ 0, tem-se que:
f(x) = 00 = ax + bax = –b
x = – ba
Assim: Quando a > 0 (função crescente), tem-se:
f(x) < 0 para x < – ba
f(x) = 0 para x = – ba
f(x) > 0 para x > – ba
Quando a < 0 (função decrescente), tem-se:
f(x) < 0 para x > – ba
f(x) = 0 para x = – ba
f(x) > 0 para x < – ba
b) em que ano o valor do bem será igual a zero;
c) para que valores de x tem-se f(x) ≥ 0.
3. Por meio de um estudo, baseado no histórico das vendas de um produto, o lucro da empresa é descrito hoje pela função L(x) = –5x + 120, em que x representa a quantidade de meses. Sendo assim, responda:
a) Em que tempo a empresa não terá lucro nem prejuízo?
b) Até quando a empresa terá lucro com esse produto?
c) A partir de quando a empresa terá prejuízo com esse produto?
1. Estude os sinais das funções a seguir, definidas em R:
a) f(x) = 3x + 5
b) f(x) = 4 – x
c) f(x) = x
d) f(x) = 12
32
– x
2. Com o desgaste ocasionado pelo uso de um equipamento, o valor desse bem dimi-nui linear mente com o tempo. Sabendo-se que o seu valor, se for comprado hoje, é de R$ 30.000,00 e que, daqui a seis anos, o bem terá o valor de R$ 6.000,00, determine:
a) a função que define o valor do bem daqui a x anos;
Funções II24
Estudo do sinal da função quadrática
P. Im
agen
s/Pt
ith
1. Durante um dia, em certa região, as temperaturas regis-tradas foram descritas pela função:
T(t) = t2 –4t + 3, entre o período de zero hora até seis horas.
a) Sendo t o tempo medido em horas, determine a que horas a temperatura da região registrou 0ºC:
b) Esboçando o gráfico, tem-se:
De acordo com o gráfico, tem-se:
T(t) < 0 para {t ∈ R I 1 < t < 3}
T(t) = 0 para t = 1 e t = 3
T(t) > 0 para {t ∈ R I 0 ≤ t < 1 ou 3 < t ≤ 6}
2. Nessas condições, quais os períodos em que a temperatura ficou positiva? E negativa?
a > 0 a < 0
f(x) < 0 para x1 < x < x2
f(x) = 0 para x = x1 ou x = x2
f(x) > 0 para x < x1 ou x > x2
f(x) < 0 para x < x1 ou x > x2
f(x) = 0 para x = x1 ou x = x2
f(x) > 0 para x1 < x < x2
De modo geral, dada uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ R e a ≠ 0, tem-se que considerar três situações, quanto ao estudo de sinal:1ª. situação: Δ > 0A função tem dois zeros reais e diferentes: x1 e x2.No esboço do gráfico, tem-se:
P. Im
agen
s/Pi
th
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25
FÍSICAMATEMÁTICA
2ª. situação: Δ = 0A função tem dois zeros reais e iguais: x1 = x2.No esboço do gráfico, tem-se:
a > 0 a < 0
f(x) < 0, não existe x realf(x) = 0 para x = x1 = x2
f(x) > 0 para x ≠ x1 ou x ≠ x2
f(x) < 0 para x ≠ x1 ou x ≠ x2
f(x) = 0 para x = x1 = x2
f(x) > 0, não existe x real
3ª. situação: Δ < 0A função não tem zeros reais: x1 e x2 são números imaginários.No esboço do gráfico, tem-se:
a > 0 a < 0
f(x) < 0, não existe x realf(x) = 0, não existe x realf(x) > 0, para qualquer valor de x
f(x) < 0, para qualquer valor de xf(x) = 0, não existe x realf(x) > 0, não existe x real
26 Funções II
1. Faça o estudo do sinal nas seguintes funções:
a) f(x) = x2 – 7x + 12
b) f(x) = –x2 + x + 6
c) f(x) = 7x – 28
d) f(x) = –x + 10
e) f(x) = x2 – 6x + 9
f) f(x) = 4x2 + 12
2. O lucro de uma empresa é dado pela função L(x) = –x2 + 40x – 300, em que x representa a quan-tidade de peças produzidas. Pelo estudo do sinal da função, analise o comportamento do lucro dessa empresa.
Inequações do 1o. e 2o. graus
Resolução
de uma
inequação
do 2o. grau
@MAT982
Definição
de
inequação
do 1o. grau
@MAT1267
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27
FÍSICAMATEMÁTICA
a) O custo de produção pode ser igual a R$ 10.000,00, ou seja, é possível nessa situação C(x) = 10.000?
b) Pode passar de R$ 10.000,00 o custo de produção, ou seja, é possível nessa situação C(x) > 10.000?
c) É possível nessa situação C(x) < 10.000?
d) Com o símbolo <, >, ≤ ou ≥, represente a relação custo com o valor de R$ 10.000,00 da situação:
e) Substitua C(x) da resposta anterior pela expressão 2x + 100:
f) Na resposta anterior, você obteve uma sentença matemática com uma incógnita, que é representada por uma desigualdade. Como ela é denominada?
O custo de produção de peças para com-putadores, de uma empresa de hardware, é dado pela função: C(x) = 2x + 100, em que x representa a quantidade de peças produzidas.
Segundo o estudo do departamento financeiro, os custos mensais de produção não podem passar de R$ 10.000,00. Nessas condições, responda:
A sentença matemática que contém incógnita(s) e é representada por uma desigualdade é denominada inequação.
1. A inequação 2x + 100 ≤ 10.000, da situação anterior, é do 1o. grau. Determine o valor máximo de peças que podem ser produzidas:
Observe que resolver uma inequação é determinar os valores reais de x que satisfazem a desigualdade.
2. Nas inequações a seguir, faça o estudo do sinal e escreva o conjunto-solução de cada uma:
a) x² – 2x – 8 > 0 b) –4x2 + 2x – 3 ≥ 0
Resolução de
uma inequação
do 1o. grau
@MAT886
Funções II28
1. Resolva as seguintes inequações do 1o. grau:
a) 5x – 35 > 0 b) –4x + 144 ≤ 0
c) –2x – 5 < –5x – 32 d) 12x + 15 ≥ 18x – 45
2. Determine o conjunto de todos os números reais x que satisfazem a inequação x2 − 2 < 1.
3. Escreva o conjunto-solução das inequações do 2o. grau a seguir:
a) x2 – 4x – 5 ≤ 0 b) x2 – 6x + 9 > 0
c) x2 – 7x + 14 ≤ 0
4. (UFMT)
A partir das informações da figura, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as fal-sas:
( ) A medida da área sombreada em função de x, denotada por A(x), pode ser expressa pela função quadrática A(x) = x2 – 5x + 6.
( ) Não se pode atribuir valores para x no in-tervalo aberto ]2, 3[.
( ) O gráfico da função quadrática que repre-senta a medida da área sombreada inter-cepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 5).
Marque a sequência correta:
a) V, F, V.
b) V, F, F.
c) F, V, V.
d) F, V, F.
e) V, V, F.
Inequações simultâneas
Há situações em que duas ou mais inequações podem estar relacionadas, formando assim um sistema de inequações.
Para determinar o conjunto-solução de um sistema de inequações, é necessário encontrar a solução de cada uma das inequações separadamente e, em seguida, determinar a intersecção entre elas.
Dado o sistema a seguir, formado por duas inequações do 2o. grau, responda às questões para encontrar o conjunto-solução que satisfaz o sistema:
x2 + 2x – 3 ≤ 0 (1)
x2 + 2x – 3 ≥ –3 (2)
a) Faça o estudo do sinal e represente o conjunto-solução no eixo x da inequação (1), x2 + 2x – 3 ≤ 0 do sistema:
Resolução de
um sistema de
inequações
@MAT1020
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29
FÍSICAMATEMÁTICA
b) Faça o estudo do sinal e represente o conjunto-solução no eixo x da inequação (2), x² + 2x – 3 ≥ –3.
c) Como se trata de um sistema, as duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente, ou seja, S = S1 ∩ S2. Faça o estudo do sinal das duas inequações concomitantes e determine o conjunto-solução S:
Inequações: produto e quociente
As inequações-produto e as inequações-quociente são usadas para resolver inequações que apre-sentam polinômios com grau superior a 2.
As desigualdades f(x) ∙ g(x) > 0 ou f(x) ∙ g(x) < 0 ou f(x) ∙ g(x) ≥ 0 ou f(x) ∙ g(x) ≤ 0 são denominadas inequações-produto.
As desigualdades f(x)g(x)
> 0 ou f(x)g(x)
< 0 ou f(x)g(x)
≥ 0 ou f(x)g(x)
≤ 0, com g(x) ≠ 0,
são denominadas inequações-quociente.
Funções II30
1. Para exemplificar, resolva as questões a seguir, determinando o valor do conjunto-solução de f(x) ∙ g(x) ≥ 0, sendo f(x) = x2 – 9 e g(x) = x2 – 1.
a) Faça o estudo do sinal de f(x) e g(x) separadamente:
b) No quadro, escreva os sinais correspondentes de cada uma das funções em relação a cada intervalo numérico. Utilizando a regra de sinais, apresente o sinal de f(x) ∙ g(x):
c) Analisando o quadro, qual o conjunto-solução S de f(x) · g(x) ≥ 0?
2. Sendo f(x) = x – 2 e g(x) = –x2 + 5x – 4, resolva f x
g x
( )
( )≤ 0 .
a) Faça o estudo de sinal de f(x):
b) Faça o estudo de sinal de g(x):
c) A função g(x) pode ser igual a zero? Justifique:
d) De acordo com a sua resposta, quais as restrições para os valores reais de x da função g(x)?
e) No quadro a seguir, coloque os sinais correspondentes
de cada função em relação a cada intervalo numérico
e, em f x
g x
( )
( ), coloque o sinal resultante do quociente
entre os sinais:
f) Com base no quadro, escreva o conjunto-solução S de f x
g x
( )
( )≤ 0 :
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FÍSICA
31
FÍSICAMATEMÁTICA
1. Resolva as seguintes inequações em R:a) (x – 2)(x2 – 5x + 6) < 0
b) (–x2+ 3x – 2)(–x2 – 4x – 3) ≤ 0
c) x
x x
2
2
4
4 50
−+ −
≤
d) x x
x
2
2
8
10
+−
>
2. Resolva os sistemas de inequações a seguir:
a) x xx
2 3 2 01 0− + ≤
+ <
b) x x
x x
2
2
3 0
6 8 0
− ≥
− + − ≥
1. Para construir um cercado em forma de um re-tângulo, Frederico tinha recursos financeiros para fazer apenas 80 metros de cerca e resolveu aproveitar uma parte reta de um muro para eco-nomizar e construiu, com três lances de cerca, um cercado retangular de área máxima. Qual a área desse cercado?
2. Um retângulo tem 40 m de perímetro. Determi-ne as dimensões desse retângulo para que este possua a maior área possível. Determine a medi-da dessa área.
3. (MACKENZIE – SP) A figura mostra os gráficos de y = x2 e y = –x2 + p. A medida AB é:
a) 2 5 b) 4 5
c) 6 d) 3 6
e) 5 2
4. (UFSM – RS) Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 frangos. Constatou--se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação v(t) = at2 + b, onde v(t) é o núme-ro de elementos vivos no tempo t (meses). Sabendo- -se que o último frango morreu quando t = 12 me-ses após o início da experiência, a quantidade de frangos que ainda estava viva no 10o. mês era:
a) 80 b) 100
c) 120 d) 220
e) 300
5. (UFPE) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas na região, as estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola y = –x2 + 10x e da reta y = 4x + 5, com 2 ≤ x ≤ 8. Qual a soma das coordenadas do ponto representado pela in-terseção das estradas?
a) 20 b) 25
c) 30 d) 35
e) 40
6. (FGV – SP) O custo diário de produção de um artigo é C = 50 + 2x + 0,1x2, onde x é a quanti-dade diária produzida. Cada unidade do produto é vendida por R$ 6,50. Entre que valores deve variar x para não haver prejuízo?
a) 19 ≤ x ≤ 24 b) 20 ≤ x ≤ 25
c) 21 ≤ x ≤ 26 d) 22 ≤ x ≤ 27
e) 23 ≤ x ≤ 28Funções II32
7. (UNICAMP − SP) − Durante um torneio pa-raolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gra-vação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são forneci-dos na tabela abaixo. Seja y(x) = ax2 + bx + c a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso:
Distância (m) Altura (m)
1 2,0
2 2,7
3 3,2
a) determine os valores de a, b e c;
b) calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso.
8. (ENEM) Um boato tem um público-alvo e alastra- -se com determinada rapidez. Em geral, essa ra-pidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e di-retamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público--alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se:
R(x) = k . x . (P – x), onde k é uma constante po-sitiva característica do boato.O gráfico cartesiano que melhor representa a função R(x), para x real, é:
a) b)
c) d)
e)
9. Em certa fábrica, durante o horário de traba-lho, o custo de fabricação de x unidades é de C(x) = x2 + x + 500 reais. Num dia normal de tra-balho, durante as t primeiras horas de produção, são fabricadas x(t) = 15t unidades. Determine o gasto na produção, ao final da segunda hora.
10. (UFF – RJ) Se um cabo suporta um peso homogê-neo muito maior que o seu próprio peso, ele toma a forma de uma parábola. As torres AD e BC de uma ponte pênsil medem 200 m e são perpendicu-lares à pista de rolamento CD que mede 1 000 m. O cabo de sustentação preso às torres nos pontos A e B tem a forma de uma parábola com vértice no ponto médio O de CD, conforme a figura:
a) Determine, em relação ao sistema Oxy, a equa-ção da parábola de vértice O que passa pelos pontos A e B.
b) Se o fio de aço EF de 72 m de comprimento é preso ao cabo de sustentação no ponto E e é per-pendicular à pista de rolamento no ponto F (con-forme mostra a figura), calcule a medida de FC.
11. Quantos números inteiros satisfazem simultanea-mente as desigualdades x + 3 ≤ 2x + 5 e 4x + 1 ≤ 2x + 3?
a) Infinitos b) 1
c) 2 d) 3
e) 4
12. O conjunto-solução da inequação f xg x( )( )
≤ 0, em que f(x) = x² + 7x + 12 e
g(x) = x² + 6x + 8, é:
a) S = {x ∈ R I –3 < x < –2}
b) S = {x ∈ R I –3 ≤ x ≤ –2}
c) S = {x ∈ R I –3 ≤ x < –2}
d) S = {x ∈ R I x < –3 ou x ≤ –2}
e) S = {x ∈ R I x < –4 ou x ≤ –2}
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FÍSICA
33
FÍSICAMATEMÁTICA
Funções II34
Função composta
Função composta e inversa2
As escalas termométricas mais utilizadas são Cel-sius, Fahrenheit e Kelvin, e seu uso está relaciona-do à opção de cada país. Entre essas, as mais usuais são a Celsius e a Fahrenheit.
Seja TC a temperatura em graus Celsius e TF a tem-peratura correspondente em graus Fahrenheit, essas duas escalas termométricas estão relacionadas por meio da expressão:
TT
CF= −5 160
9
1. Determine a temperatura em graus Celsius para a temperatura de 59 graus Fahrenheit (59 oF):
Agora considere TK a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius estão relacionadas pela expressão:
TK = TC + 273
2. Determine a temperatura em Kelvin para aquela obtida anteriormente em Celsius:
Jack
Art
. 201
1. V
etor
.
Ensino Médio | Modular 35
MATEMÁTICA
Para obter a temperatura em Kelvin, por meio da tem-peratura em graus Fahrenheit, pela função f: A B, determina-se a temperatura em graus Celsius. Depois disso, pela função f: B C, determina-se a temperatura em Kelvin.
59oF
15oC
288 k
A
B
CTCTK
Pode-se determinar a temperatura em Kelvin, utilizando--se a temperatura em graus Fahrenheit pela função f: A C. Para isso, deve-se obter a função composta.
Observe a substituição da função TT
CF= −5 160
9 na fun-
ção TK = TC + 273: TK = TC + 273
5 160
9
TF −
TT
TT
KF
KF
= − +
= − +
5 160
9273
5 160
9
2 457
9
TT
KF=
+5 2 297
9
função composta
Dessa forma, obtém-se a função composta.
1. Substitua TF por 59 na função composta obtida. O que você observou?
2. Agora, considere as funções f(x) = 3x – 1 e g(x) = x²:
a) Substitua a função f(x) em g(x) e obtenha a função composta representada por g(f(x)) ou g f(x):
b) Substitua a função g(x) em f(x) e obtenha a função composta representada por f(g(x)) ou f g(x):
Dadas duas funções f: A B e g: B C, denomina-se função composta de g e f, a
função definida por g f: A C, que é obtida por g f (x) = g(f(x)), sendo x A e g(f(x)) C.
x
f(x)
g(f(x))
fg
A
B
C
g f
1. As funções f e g são definidas por f(x) = x + 5 e g(x) = 1 − 3x. Determine:
a) f(g(2))
b) f(g(5))
c) g(f(−1))
d) g(f(0))
2. Dadas as funções f(x) = x + 3 e g(x) = x2 − 2, determine:
a) f(g(x))
b) g(f(x))
c) f(f(x))
d) g(g(x))
3. Dada a função f(x) = x² + 6x + 9 e g(x) = 2x – 3, calcule:
a) f(g(1))
b) g(f(–2))
c) g(g(3))
4. Neste gráfico, está representada a função f:
Determine:
a) f(f(2))
b) f(f(3))
c) f(f(−1))
d) f(f(−2))
e) f(f(f(1)))
5. Neste diagrama, estão representadas as fun-ções f: A B e g: B C. Determine g(f( )).
–4
5
A
B
C
f g
6. O ponto A(1, 3) pertence ao gráfico da função f(x) = 2x + b. Sabendo-se que g(x) = x2 − 1, determine o valor de f(g(0)).
7. Sejam as funções f: R R e g: R R, tais que f(x) = x2 − 9 e f(g(x)) = x − 6, determine a função g(x).
8. Se f(x) = 2x + 3 , g(x) = ax + b e f(g(x)) = 10x − 1, determine o valor de a + b.
9. (UNIFEI − MG) Se f e g são funções tais que f(x) = 7x − 4 e f[g(x)] = x2 − f(x + 1), então g(7) é igual a:
a) 17
b) 1
c) 4
d) 7
10. (UFC – CE) O coeficiente b da função quadráti-ca f: R R, f(x) = x2 + bx + 1, que satisfaz a condição f(f(−1)) = 3 , é igual a:
a) –3 b) –1
c) 0 d) 1
e) 3
DesafioDesafio
11. As funções f: R R e g: R R são definidas por f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x + m.Se f(g(x)) = g(f(x)), então, determine f(m).
Função
composta
@MAT971
36 Funções II
Função inversa
Uma maneira de saber a distância que um carro pode percorrer com um tanque de combustível é por meio do rendimento desse carro com um litro desse combustível. Alguns carros percorrem 8 km, em média, com um litro de combustível.
1. Considerando que o tanque tenha capacidade de 45 litros e que uma pessoa realize uma viagem cuja distância seja de 240 km, responda:
a) Qual é a distância máxima que esse carro pode percorrer com um tanque de combustível?
b) Observando o odômetro do carro, constata-se a distância percorrida. Considere que o odômetro foi “zerado” ao encher o tanque de combustível e que esse carro percorreu 240 km. Quanto gastou de combustível?
c) Considerando que r (r 0) é a quantidade que resta de combustível no tanque após a viagem e g é a quantidade gasta, escreva a função que relaciona r em função de g:
d) Agora, considere que g é a quantidade gasta de combustível e d é a distância percorrida pelo carro. Escreva a função que relaciona o gasto g em função da distância percorrida d (d 0):
e) De acordo com os itens c e d, escreva a função relacionada à quantidade r que resta de combus-tível após a viagem, em função da distância percorrida d:
Observe que a função obtida no item e fornece a quantidade r de combustível que resta no tanque, após a viagem, em função da distância percorrida d.
Porém, é possível determinar a distância percorrida d em função da quantidade r de combustível que resta no tanque.
2. Escreva a função que relaciona a distância percorrida em função da quantidade de combustível que resta no tanque:
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FÍSICA
37
FÍSICAMATEMÁTICA
Jack
Art
. 201
1. V
etor
.
Na atividade anterior, foram determinadas a função que fornece a quantidade de combustível existente no tanque após a viagem, em função da distância percorrida; e a função que fornece a distância percorrida, em função da quantidade de combustível que resta no tanque após a viagem.
Essas duas funções são denominadas funções inversas, pois uma é a função inversa da outra.
Para determinar a função inversa representada por f−1(x) de uma função f(x), basta trocar x por y e y por x e, em seguida, escrever y em função de x. Observe:
Dada a função f(x) = y = 2 3
5
x − , obtenha a inversa f−1(x).
y = 2 3
5
x −
Troca-se x por y e vice-versa:
x = 2 3
5
y −
Escreve-se y em função de x:
5x = 2y − 35x + 3 = 2y5 3
2
x + = y
f−1(x) = 5 3
2
x +
Mas, para que uma função f(x) admita a função inversa f−1(x), a função f(x) deve ser bijetora, isto é, deve ser simul-taneamente sobrejetora e injetora.
Função sobrejetoraUma função é sobrejetora quando o conjunto-imagem é
igual ao contradomínio, por exemplo:Dada uma função f: IR IR+, definida por f(x) = x2 − 4x + 4,
observe o gráfico dessa função:
3. Escreva o conjunto-imagem e o contradomínio dessa fun-ção:
4. Os conjuntos escritos no item anterior são iguais? Essa função é sobrejetora?
Na função representada no gráfico, o conjunto-imagem Im(f) é igual ao contradomínio IR+. Logo, essa função é so-brejetora.
Observe a função g: A B, representada por meio de diagramas:
A B
a
b
c
d
1
2
3
5
6
4
Im(f)
5. Escreva o conjunto-imagem e o contradomínio dessa fun-ção:
6. Os conjuntos escritos no item anterior são iguais? Essa função é sobrejetora?
Na função representada por meio de diagramas, o con-junto-imagem não é igual ao contradomínio, logo essa função não é sobrejetora.
Uma função f: A B é denominada sobrejetora quando todo elemento do conjunto B é imagem
de pelo menos um elemento do conjunto A.Im(f) = B
Funções II38
Função injetoraUma função é injetora quando elementos distintos do
domínio correspondem a imagens distintas no contrado-mínio.
Dada a função f: R R, definida por f(x) = 2x − 1, observe o gráfico dessa função:
x
y
2
Im(f)
–1
1 30
7. Na função representada, determine f(1), f(3) e f(5) e indique as imagens dessas funções no gráfico anterior:
8. O que se pode afirmar sobre as imagens de cada um dos elementos do domínio? Essa função é injetora?
9. Dada a função g: R R, definida por f(x) = −x2 + 5x − 4, observe o gráfico dessa função:
x21 3 4 5
y
Na função representada, determine f(1), f(2), f(3) e f(4) e indique as imagens dessas funções no gráfico anterior:
10. O que se pode afirmar sobre as imagens de cada um dos elementos do domínio? Essa função é injetora?
Na função representada, existem elementos distintos do domínio com imagens iguais no contradomínio. Logo, essa função não é injetora.
Uma função f: A B é denominada injetora quando dois elementos distintos do conjunto A correspondem a dois elementos distintos (imagem) em B.
x1 x2 f(x1) f(x2)A B
a
b
c
d
1
2
3
5
6
4
Nos casos em que a função f:A B é simultaneamen-te sobrejetora e injetora, diz-se que a função é bijetora. Observe, no diagrama abaixo, que a função f:A B dada por f(x) é sobrejetora e injetora, e g(x) é a função inversa de f(x):
A B
a
b
c
d
1
2
3
4
f(x)
A B
a
b
c
d
1
2
3
4
g(x)
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FÍSICA
39
FÍSICAMATEMÁTICA
1. Quanto a estas funções, classifique-as em inje-tora (I), sobrejetora (S), bijetora (B) ou nenhu-ma (N):
a) ( ) f:R R, definida por f(x) = 4x
b) ( ) f:R R, definida por f(x) = −x + 4
c) ( ) f:R R, definida por f(x) = x2 + 6x + 9
d) ( ) f:R R+, definida por f(x) = x2 + 6x + 9
2. Determine a função inversa de f(x) = 2 53
x + .
3. Seja f(x) uma função dada pela expressão f(x) = 2x − 1:
a) determine a função inversa f−1(x);
b) determine f(2) e f−1(3);
c) compare os resultados do item b. O que se pode afirmar sobre eles?
4. Dada a função f(x) = 34
x m− . Se f−1(5) = 2, de-termine o valor de m.
5. Sendo g(x) = 2 3
1xx
−+
, com x –1 e x 2, deter-
mine a função inversa g−1(x).
6. (UFJF − MG) Abaixo, encontram-se representa-dos os gráficos das funções f:R R e g: R R:
y = f(x) y = g(x)
Sabendo-se que f possui inversa f−1: R R, determine o valor de f g f−1(2):
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
7. (UFRGS – RS) As funções f e f–1 são inversas. Se f
é definida por f(x) = 1
3x +, então f–1(x) é igual a:
a) 1
3x +
b) 13
x+
c) 13
x−
d) x – 3
e) 3 – x
8. (UFV – MG) Seja = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, ..., X, Y, Z}, conjunto das letras do alfabeto brasileiro (incluindo K, W, Y). Considere 1 um subconjunto de IR e f: 1 a função definida por f(A) = 3, f(B) = 27, f(C) = 243, f(D) = 2 187 e assim por diante. Suponha, ainda, que f é bijetora e que f–1 é sua inversa. Calculando f–1(3), f–1(323), f–1(39), f–1(325) e mantendo essa ordem, obtém-se a palavra:
1. Sejam as funções f(x) = 4x − 3 e g(x) = 2x + t e sabendo que f(g(x)) = g(f(x)), então deter-mine o valor de t.
2. Dadas as funções f(x) = 3x3 − 3 e g(x) = 2x2 + 2, determine h(1), em que h(x) = g(f(x)).
3. Determine a função inversa de f(f(x)) em que f(x) = 2x + 2.
4. Dadas as funções afins f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b, a função composta é
f(g(x)) = 8x + 7. Dessa forma, determine a + b.
5. (UFAM) Dada a função f xxx
( ) = −+
11
, com x R e x –1.
Então f f x( )( ) é igual a:
a) x + 1
b) −x
c) −1x
d) x − 1
e) x
6. (UFMG) O valor de a, para que a função in-versa de f(x) = 3x + a seja g(x) =
x3
– 1, é:
a) –3
b) – 13
c) 13
d) 1
e) 3
7. (UFPR) Considere as afirmativas abaixo a res-peito das funções
f(x) = x2 − 2x − 3 e g(x) = 12
x − 1 com x R:
1. A função f(x) + g(x) tem exatamente três zeros.
2. A função f(x) + g(x) é crescente no interva-lo fechado [2, 5].
3. A função g(x) − f(x) é positiva no intervalo aberto (0, 3).
4. Quando x = 0, tem-se (f o g)(x) = (g o f)(x).
Assinale a alternativa correta:
a) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
8. (PUCPR) Sejam f(x) = x2 – 2x e g(x) = x – 1 duas funções definidas em IR. Qual dos gráficos me-lhor representa f(g(x))?
a) b)
c) d)
e)
9. (UFSM – RS) Sendo as funções f: R R definida por f(x – 5) = 3x – 8 e g: R R definida por g(x) = 2x + 1, assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir:
(a) ( ) f(x – 6) = 3x + 11
(b) ( ) g–1 (x) = 12
12
x +
(c) ( ) f(2) – g–1(7) = 10
A sequência correta é:
a) F – V – F.
b) F – V – V.
c) F – F – V.
d) V – V – F.
e) V – F – V.
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FÍSICA
41
FÍSICAMATEMÁTICA
42
Funções II42
Distância entre dois pontos na reta real
Função modular3
Leia a seguinte reportagem e responda às questões:
Cidade de Minas Gerais registra –2°C nesta madrugadaO tempo frio é reflexo da massa de ar polar que estava no sul do Brasil.
A previsão é que ela deve permanecer até a sexta-feira (20).
a) Com base na reportagem, indique, na reta real abaixo, as temperaturas registradas em Monte Negro, como ponto A; e, em Maria da Fé, como ponto B, e suas respectivas abscissas:
b) Como se determina a variação de temperatura?
c) Qual a variação entre as temperaturas informadas na reportagem das cidades de Monte Negro e Maria da Fé?
d) Qual a distância entre os pontos A e B, na reta real acima?
e) Como se pode calcular a distância entre dois pontos na reta real?
f) Qual a distância do ponto A e do ponto B em relação à origem O?
Ensino Médio | Modular 43
MATEMÁTICA
A e B são dois pontos pertencentes à reta real com abscissas xa e xb, respectivamente, sendo xb ≥ xa:
xa
A
xb
xB
Chama-se a distância entre dois pontos A e B, indicada por dAB, a diferença xb – xa.
Módulo de um número real
Força elétrica (atração ou repulsão)
Existem situações em que se trabalha apenas o valor absoluto (valor não negativo) de um número, ou seja, o módulo do número.
Na Física, para calcular a força entre duas cargas elétricas (Lei de Coulomb), utiliza-se a relação:
Fe = k0 · |Q1| · |Q2|
d2
Em que:Fe intensidade da força de atração ou repulsão das cargas elétricas;k0 constante eletrostática
(k0 8,988 · 109 N · m2/C2);d distância entre as cargas;Q o valor da carga elétrica.
Observe que, na expressão, Q1 e Q2 estão em módulo, pois os seus sinais indicam apenas se a força é de atração ou de repulsão, assim usam-se apenas os seus valores absolutos (valores não negativos) para determinar Fe.
Assim, se:
Q1 = +5 |Q1| = |+5| = 5
Q2 = –3 |Q2| = |–3| = 3
Interpretação geométrica do módulo
O módulo de um número real x, que se representa por |x|, na reta real, indica a distância desse número ao zero (origem), ou seja:
Na reta real x de origem O e um ponto A de abscissa x:
O módulo de x é representado geometricamente pela distância entre os pontos A e O, ou seja:|x| = dAO
Nessas condições, com base na reta real abaixo, determine:
a) |3|
b) |–2|
c) |–1|
d) |+1|
e) |0|
Definição algébrica do módulo
O módulo ou valor absoluto de um número real x é igual a x se x ≥ 0 e igual a –x se x < 0, ou seja:
|x| = x, se x 0e com x IR|x| = –x, se x < 0
Interpretação
geométrica do
módulo
@MAT1235
Funções II44
|3| = 32
3 = 9
3 = 3
|–7| = (–7)2
7 = 49
7 = 7
1. Calcule os valores de:
a) |–12| – |–8|
b) |–1| + |8|
c) |–5 – | – 2 – 5||
d) –|| – 1
2 – |
| – 3
4 + 1 |
| + |
| + 1
4 ||||
2. Aplicando a definição de módulo, escreva a expressão equivalente sem a indicação de módulo, com x IR:
a) |x + 3|
b) |3x –12|
c) |x2 – 81|
d) |– x2 – x + 2|
Assim, pela definição, determine:
a) |7|
b) |–9|
c) |–1,7|
d) ||34
||
e) |– 11|
f) |–5 – |–2| |
Pela definição de módulo de um número real, pode-se concluir que |x| = x2. Observe:
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
45
FÍSICAMATEMÁTICA
3. Resolva as seguintes equações:
a) |x + 3| = 7
b) |x – 6| = 2x
c) |x – 1| = 2x + 3
d) |2x – 9| = |3x – 8|
4. Assinale V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas, justificando-as:
a) ( ) |–5| = |5|
b) ( ) (–11)2 = |–11|
c) ( ) |42| = |4|2 = 42
d) ( ) |3 · 5| = |3| · |5|
e) ( ) |(–3) + (–5)| |–3| + |–5|
f) ( ) |4 + (–1)| |4| + |–1|
g) ( ) x2 = – x, para x IR
5. Determine as abscissas x dos pontos da reta real, tais que:
a) |x| 5
b) |x| 2
c) |x – 1| 3
d) |3x + 5| 23
6. (OBMEP) Da figura, concluímos que |z − x| + |w − x| é igual a:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
7. Determine o conjunto-solução da equação |x|2 – 6 |x| + 8 = 0.
8. (UFAC) Os números reais x que satisfazem a desigualdade |3x − 3| 6 formam um con-junto que:
a) contém finitos elementos.
b) não contém o número 3.
c) é um intervalo aberto.
d) é um intervalo fechado.
e) é diferente de ] − , 2[.
9. (UEAM) A expressão x · |x| resultará em valo-res positivos:
a) para qualquer x real.
b) para qualquer x positivo.
c) para nenhum x real.
d) para qualquer x negativo.
e) para valores de x maiores que –1.
10. Determine as raízes da equação |x − 3|2 + |x − 3| − 6 = 0.
Desafio
11. (FURG – RS) O conjunto de todos os nú-meros reais x que satisfazem a inequação |x2 – 2| < 1 é:
a) (−1, 3).
b) (− 3 , 3).
c) (−1, 1).
d) (− 3, 0) (0, 3).
e) (− 3,−1) (1, 3).
Função modular
A função modular é definida por f(x) = |x| e, pela definição de módulo, tem-se:
f(x) = x, se x 0–x, se x < 0
, para todo x IR.
Funções II46
2. Com base nos gráficos, responda:
a) Qual o domínio de cada função?
b) Qual o conjunto-imagem da função identidade, ou seja, a função f(x) = y = x?
x y
–2
–1
0
1
2
f(x) = x
Representação gráfica da função modular1. Preencha os quadros e, a seguir, trace os gráficos nos planos cartesianos das funções dadas:
x y
–2
–1
0
1
2
f(x) = |x|
Representação
gráfica de uma
função modular
@MAT1911
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FÍSICA
47
FÍSICAMATEMÁTICA
c) Qual o conjunto-imagem da função modular? Justifique:
d) No conjunto-domínio, considerando apenas os números reais negativos, o que se pode afirmar comparando o gráfico da função identidade com o gráfico da função modular?
De modo geral, tem-se:
y = f(x) y = |f(x)|
y = g(x) y = |g(x)|
Funções II48
Nessas condições, será representado o gráfico de f(x) = |x2 – 4|:
a) Determine os zeros da função e as coordenadas do vértice da função y = x2 – 4:
b) Faça o estudo do sinal e verifique em que intervalo no eixo das abscissas a imagem é negativa.
c) Construa o gráfico de y = x2 – 4: d) Esboce o gráfico, com base no anterior, traçando, de forma simétrica, em relação ao eixo x no intervalo em que y < 0, obtendo assim a representação gráfica de f(x) = |x2 – 4|:
FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA
49Ensino Médio | Modular
1. O gráfico abaixo é da função f(x) = |x|. Nesse mesmo plano, construa o gráfico g(x) = |x| + 1 e h(x) = |x| – 1. Em seguida, faça uma análise dos gráficos:
2. O gráfico abaixo é da função f(x) = |x|. Neste mesmo plano, construa o gráfico g(x) = |x + 1| e h(x) = |x – 1|. Em seguida, compare e analise os gráficos:
Funções II50
3. O gráfico a seguir é da função f(x) = |x|. Neste mesmo plano, construa o gráfico g(x) = |x + 2| – 1, de acordo com as coordenadas encontradas no quadro a seguir:
x g(x)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
4. O gráfico abaixo é da função f(x) = |x|. Neste mesmo plano, construa o gráfico g(x) = |x – 2| + 1, de acordo com as coordenadas encontradas no quadro a seguir:
x g(x)
–2
–1
0
1
2
3
4
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
51
FÍSICAMATEMÁTICA
5. No plano cartesiano, esboce o gráfico das funções:
a) f(x) = |x2|
b) f(x) = |x2 – 1|
c) f(x) = |–x2 + 4x – 3|
d) f(x) = |–x2 – 4x|
6. (UFAP) Dada a função f: R R cuja lei de as-sociação é descrita abaixo por:
–2 – x; se x < – 2
4 – x2; se –2 x 3
|–2 – x|; se 3 < x
f(x) =
a) Determine os pontos de intersecção do grá-fico de f com os eixos coordenados.
b) Faça o gráfico da função f.
c) Determine os conjuntos domínio e imagem da função f.
7. (UDESC) A alternativa que representa o gráfico da função f(x) = |x + 1| + 2 é:
a)
b)
c)
Funções II52
d)
e)
8. (UFRR) Para que valores de r a função quadrá-tica f (x) = x2 + 2x+ |cos r| intercepta o eixo x em pontos distintos?
a) 0 < r < π ou π < r < 2πb) 0 < r < 1
c) 0 < r < 2πd) 0 r ≤ π ou π < r 2πe) 0 r 2π
9. (UNICAMP) Considere a função f (x) = 2x + |x + p|, definida para x real.
a) A figura abaixo mostra o gráfico de f(x) para um valor específico de p. Determine esse valor.
b) Supondo, agora, que p – 3, determine os valo-res de x que satisfazem a equação f(x) = 12.
10. (EMESCAM – ES) Suponha que a temperatura de um sistema físico dependa do tempo de acordo
com a função T(t) = Tt
=+
4002 1
, sendo o tempo
t medido em segundos e a temperatura dada em graus Celsius. Analise as afirmações abaixo:
I. O domínio matemático da função é
t IR t∈ ≠ −⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
|12
.
II. Sendo o tempo t 0 , a temperatura máxi-ma possível fisicamente é de 20oC .
III. A temperatura assume somente valores po-sitivos.
IV. Para valores positivos do tempo, ele pode ser escrito em função da temperatura na forma t = 200 1
22T.
Em relação às afirmações acima, concluímos que:
a) todas as afirmações estão erradas.b) somente as afirmações I e II estão erradas.c) somente a afirmação III está errada.d) somente a afirmação IV está errada. e) nenhuma afirmação está errada.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
53
FÍSICAMATEMÁTICA
1. Determine o domínio da função:
f(x) = 3 – |x – 2|.
2. (UEAM) O conjunto-solução da inequação |x2 + 2x – 2| – x2 é:
a) ]– , [.
b) .
c) – , – 32
12
, .
d) 12
, .
e) – 32
, 12
.
3. (UEAM) Considere as funções reais f(x) = |–x + 1| e g(x) = log3(x
2). O valor de f(2) + g(3) é:
a) 1. b) 3.
c) 4. d) 6.
e) 9.
4. (IFAL) Com base na equação |x|2 − 6|x| = −log2 256, analise as afirmações a seguir:
I. S = {2, 4}
II. S = {–4, –2, 2, 4}
III. S =
a) Somente a afirmação I é falsa.
b) A afirmação II é verdadeira.
c) As afirmações I e II são falsas.
d) Todas as afirmações são falsas.
e) Não existem afirmações falsas.
5. Quais os valores reais possíveis de x para |x| = |–11|?
6. Seja f : IR* IR dada por f(x) =|x|x
, determine o conjunto-imagem da função.
7. (UFPE) Quantas soluções, no conjunto dos nú-meros reais, a equação |x| + |x – 1| = 3 admi-te?
a) Nenhuma. b) Uma.
c) Duas. d) Três.
e) Quatro.
8. (UFPA) Um professor de Matemática Aplicada enviou a seguinte mensagem ao seu melhor alu-no, um estudante chamado Nicéphoro, que gos-tava muito de desenhar e traçar gráficos: