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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Modlisation de conflits et calcul de bornesdans les systmes de
production par la thorie
des diodes
Olivier Boutin
IRCCyN (quipe ACSED) et LISA (quipe MSD)
Isabel Demongodin Pr., Universit Aix-Marseille III
Rapporteur
Stphane Gaubert DR, INRIA, Saclay Rapporteur
Abdellah El Moudni Pr., UTBM, Belfort Examinateur
Jean Jacques Loiseau DR, CNRS, Nantes Directeur
Bertrand Cottenceau MdC, Universit dAngers Coencadrant
Anne LAnton MdC, Universit de Nantes Coencadrante
Soutenue publiquement le 15 octobre 2009
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 1 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Plan de la prsentation
Mise en contexte
Modlisation
Routage de transporteurs
Partage de ressources
Conclusion et perspectives
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 2 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Partie suivante
Mise en contexte
Modlisation
Routage de transporteurs
Partage de ressources
Conclusion et perspectives
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 3 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Problmatique
On souhaite valuer les performances dateliers deproduction
incluant des conflits.
Deux types de conflits tudis : Le routage de transporteurs ; La
partage de ressources.
Utilisation de la thorie des diodes adapte ltude desystmes sans
conflits.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 4 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Exemple de conflit : le routage de transporteurs
Routage entre deux postes Objectif
On cherche caractriser lecomportement entre/sortiedu systme
global.
Les deux postes ralisent des oprations diffrentes.
Les approvisionnements seffectuent au point A. Cestau point B
que les produits finis sont rcolts.
cause du routage, lordre des produits finis peut trediffrent de
celui darrive des matires premirescorrespondantes.
Notre approche : caractriser un comportement pluslent et un
autre plus rapide que celui du systme pourvaluer ses performances,
de manire approche.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 5 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Exemple de conflit : le partage de ressources
Oprateur commun deux postes de travail
Politique daffectation pseudo-priodique, dpendantedes
entres.
Pour un approvisionnement donn, on peut caractriserle systme.
Mais on souhaite un modle indpendantdes entres.
Notre approche : considrer la politique daffectationpour
dterminer des temps dattente minimaux etmaximaux avant de pouvoir
disposer de la ressource.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 6 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Partie suivante
Mise en contexte
Modlisation
Routage de transporteurs
Partage de ressources
Conclusion et perspectives
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 7 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Les diodes
Dfinition (Baccelli et al., 1992)
Un diode est un semi-anneau not (D,,), dont la loi (appele
somme) est idempotente (a, a a = a).
Ordre canonique dun diode
a, b D, a 4 b a b = b.
Exemples : les diodes Zmax et Zmin
Zmax Zmin
(Z {+,},max,+) (Z {+,},min,+)
3 4 = 4 (max(3, 4) = 4) 3 4 = 3 (min(3, 4) = 3)
3 4 = 7 (3 + 4 = 7) 3 4 = 7 (3 + 4 = 7)
3 4 4 4 4 3
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 8 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
La thorie des diodes
Contexte algbrique utilis pour ltude de systmes vnements
discrets sans conflits(Cuninghame-Green, 1979; Baccelli et al.,
1992).
Les proccupations principales portent sur les retards,dus aux
dplacements, aux temps opratoires et auxrinitialisations des
quipements.
Un ensemble dintervalles, muni des oprationsadquates permet lui
aussi de dfinir un diode. Cetteproprit a t utilise pour tudier des
systmes dontcertains paramtres sont incertains(Litvinov et
Sobolevski, 2001; Lhommeau, 2003).
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 9 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Reprsentation graphique
Les graphes dvnements temporiss
Rseau de Petri (RdP) tel que chaqueplace a exactement un arc
entrant et unarc sortant. Temporisation associe auxtransitions ou
aux places. (Murata, 1989)
Un GET
3t1
4
t2
Possibilit de manipuler des temporisations incertaineset bornes
dans des intervalles.
ParticularitLe comportement dun GET se reprsente de manire
linairedans les diodes Zmin ou Zmax , suivant que lon considre
lecomptage des vnements ou leurs dates doccurence.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 10 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Linarit dans les diodes
Le principe de superposition existe aussi dans lescontextes
algbriques Zmin et Zmax . Ainsi les sortiesdun systme sont la
convolution entre ses entres et sarponse impulsionnelle.
y(t) =
t
i=0
H(i) u(t i) = (H u)(t)
Pour un atelier de production, la rponse impulsionnelleest la
sortie du systme pour un stock infini de matirespremires disponible
ds le dbut de lobservation.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 11 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Exemple de GET avec incertitudes temporelles
Poste de travail flexible
u Samont x1 [2, 5] x2 Saval y
[0, 1]
C
poste de travail capacit (3)
temps opratoire (entre 2 et 5)
3 produits oprables en mme temps (entre 2 et 5units de temps par
opration sur un produit).
Aprs chaque opration, attente ventuelle dune unitde temps avant
de reprendre le travail (changementdoutil).
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 12 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Diode Zmin : dcompte des vnements
Fonction compteur
Compte le nombre dvnementssurvenus jusqu une certainedate.
Dans nos applications : lenombre de palettesdtectes par un
capteur une date donne.
Reprsentation graphiquedes fonctions compteur
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 13 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Diode Zmax : datation des vnements
Fonction dateurDonne une date aux occurencesdun vnement
donn.
Dans nos applications : ladate de chaque dtectiondune palette
par uncapteur.
Reprsentation graphiquedes fonctions dateur
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 14 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Partie suivante
Mise en contexte
Modlisation
Routage de transporteurs
Partage de ressources
Conclusion et perspectives
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 15 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Conflit sur les entres
Lignes de production en parallle
uu1
h1y1
unhn
yn
y
Lentre u est aiguille vers lun des ui et la sortie ycollecte
toutes les sorties des yi .
Des produits peuvent se doubler. On perd donc lalinarit du
comportement entre/sortie de ce systme.
On va caractriser des bornes suprieure et infrieurequi encadrent
le comportement du systme global enfonction des politiques de
routage utilises.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 16 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
tat de lart du routage dans les RdP
RdP stochastiques, modles non linaires(Baccelli et al., 1991;
Baccelli et al., 1992).
RdP choix libres, modle quasi linaire (Baccelli et al.,
1996).
RdP, ensemble dquations et dinquations negarantissant pas
lunicit des solutions (Libeaut, 1996).
RdP continus (Cohen et al., 1998).
Notre approche
Obtenir un modle linaire par approximation ducomportement du
systme, en comptant les vnementsdans Zmin.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 17 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Oprateurs ncessaires aux calculs
Produit dit de Hadamard Afin de raliser laddition defonctions,
on utilise dans Zminle produit point point, not. Soient deux
fonctionscompteur f et g dans Zmin :
t, (f g)(t) = f (t) g(t)
= f (t) + g(t).
Exemple de produit deHadamard
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 18 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Oprateurs ncessaires aux calculs (cont.)
Application de changementdchelleLapplication de
changementdchelle, note Echn, multiplieune fonction compteur par
unentier n N.
On ralise un changementdchelle du graphe de lafonction.
Exemple de changementdchelle
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 19 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Oprateurs ncessaires aux calculs (cont.)
Pseudo inverses
Echm(h) , plus petit x tel que
Echm(x) 4 h.
Echm(h) , plus grand x tel que
Echm(x) < h.
Division entire, arrondie lentier infrieur ousuprieur.
Exemple de changementdchelle
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 20 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Routage priodique entre plusieurs systmes
Fonction de routage priodique
Soit un systme h constitu de 2 sous-systmes h1 et h2 enconflit.
Dans notre cas, m produits entrants sont dabordrouts vers h1, puis
n de ces vnements sont routs vers h2,ensuite m dentre eux vers h1
et ainsi de suite de manirecyclique.
On note r = m|n la fonction de routage en amont de h1et h2.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 21 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Meilleur comportement possible
Exemple de routage
Le systme global ne pourra pas fournir plus de produitsfinis que
lensemble des postes de travail qui lecomposent.
Ici : 13 +12 =
56 .
Cette cadence est indpendante du routage quand unequantit
arbitrairement grande de matires premiresest disponible ds le
lancement du systme.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 22 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Meilleur comportement possible (cont.)
Le meilleur comportement possible est la somme decelui des
sous-sytmes qui le composent.
Dans le diode Zmin : le produit de Hadamard de leursrponses
impulsionnelles.
Ce meilleur comportement constitue la borne infrieurede tous
ceux possible.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 23 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Cas de sous-systmes identiques
quivalence entre (h|h)1|1 (a) et Ech2(h) (b)
(a)u
u1
2 5
y1
u2 2 5 y2
y
(b)u
2 5
6y
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 24 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Cas de sous-systmes identiques (cont.)
Cas dun systme (h|h| |h)1|1||1
La rponse impulsionnelle est exacte et gale Echn(h).
On retrouve un rsultat naturel : rajouter des
ressourcesidentiques revient dmultiplier la cadence de capacitde
production de la ressource par le nombre dajouts.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 25 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Influences du routage dans le cas desous-systmes diffrents
Le routage a une influence quand les sous-systmessont diffrents,
car les produits peuvent se doubler.Deux configurations possibles
:
Routage quilibr r = 1|1| |1 ; Routage priodique par lots.
Dans les deux cas, il ne peut pas y avoir pirecomportement que
lorsque lon considre que tous lessous-systmes ont la mme allure que
le plus lentdentre eux.
Cas (h1|h2| |hn)1|1||1
Echn(n
i=0 hi ).
Cas (h1|h2)m|n
Echm+n(Echm(h1) Ech
n(h2)).
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 26 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Rcapitulatif (Boutin et al., JD MACS 2009;Boutin et al., INCOM
2009)
Type desous-systmes
Type deroutage
Comportement entre/sortie
n sous-systmesidentiques(h|h| . . . |h)
Routagequilibr1|1| . . . |1
J
n
i=0 h = Echn(h)
Borne inf. Majorant
n sous-systmesdiffrents
(h1|h2| . . . |hn)
Routagecyclique1|1| . . . |1
J
n
i=0 hi
Echn(L
n
i=0 hi )
2 sous-systmesdiffrents (h1|h2)
Routagepriodique
n|m
Echm+n(Echm(h1)
Echn(h2))
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 27 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Routage priodique optimal
Dans le cas dun routage priodique entre 2sous-systmes diffrents,
partir des paramtres m et nde la fonction de routage m|n, on peut
dterminer lacadence du comportement majorant celui du
systmeglobal.
Caractrisation du routage priodique optimal
La fonction de routage m|n peut tre choisie de sorte que lesdeux
bornes de lintervalle aient le mme comportementpriodique. Cest le
cas quand lintervalle est de tailleminimale et que la cadence de
production est la meilleure.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 28 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Pente asymptotique
DfinitionSoit h une fonctioncompteur telle quet > t0, h(t) =
Nh(tT ).La pente asymptotique de hest note (h) = N
T.
Correspond lacadence de productiondans un contexte degestion de
production.
Reprsentation graphique
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 29 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Pente asymptotique (cont.)
Les GET ont toujours un comportement priodique,aprs une
ventuelle phase transitoire.
La fonction de routage entre deux systmes linairesparallles
exerce une influence sur la cadence deproduction du systme
global.
En choisissant m|n telle que mn
= (h1)(h2)
, nous avons
(h1 h2) = (
Echm+n(
Echm(h1) Ech
n(h2))
)
= (h1) + (h2)
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 30 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Deux lignes parallles dans un atelier flexible
Cas datelier
u
u1
3 1
y1
u2
1 4 y2
y
Les deux cadences de production sont (h1) = 2/3 et
(h2) = 1. Donc2/31 = 2/3, ce qui implique m = 2 et
n = 3. En appliquant la fonction de routage r = 2|3, on
garantit une cadence globale de(
(h1|h2)2|3)
= (h1) + (h2) = 5/3. Cette cadence est la meilleure cadence
possible.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 31 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Reprsentation graphique
Pour toute entre u,(h1|h2)2|3(u), la sortiedu systme estcomprise
entre lesdeux bornes delintervalle[h u, h u].
La zone en blanccorrespond auxincertitudes lies auroutage.
Rponse impulsionnelle desdeux bornes de lintervalle
0
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
2 0
2 2
2 4
2 6
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 d a t e s
v n e m e n t s
h
h
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 32 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Partie suivante
Mise en contexte
Modlisation
Routage de transporteurs
Partage de ressources
Conclusion et perspectives
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 33 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Exemple de conflit
Principe
Oprateur travaillant simultanment sur deux postes enmme
temps.
Problme si des produits arrivent en mme temps surles deux
postes.
On dispose dune politique daffectation, mais on nepeut pas
prvoir lavance les arrives de produit.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 34 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
tat de lart du partage de ressource dans les RdP
Partage dune seule ressource (Al Saba et al., 2006a).
Politique daffectation statique de la ressource(Trouillet et
al., 2007; Al Saba et al., 2006b).
Ensemble dquations et dinquations (Libeaut, 1996;Corra et al.,
2009).
Notre approche
Dcouplage virtuel des deux lignes de production, enddoublant la
ressource et contraignant la production parlajout de temporisations
incertaines.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 35 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Les zones de conflits
Une section partage ncessite un ordonnancement prdictifou en
ligne pour tre traverse.Un embranchement de type convergence sera
vu comme uneressource gre par politique dexclusion mutuelle.
Deux comportements possibles pourles palettes :
Elles peuvent passer sans avoir attendre. (meilleur des cas)
Elles doivent attendre unepalette venant de lautre ctde
lembranchement. (pire descas)
Section partage
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 36 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Modlisation de cet embranchement
Principe
Sous forme de Rseau de Petri
u1 S1 t1
P1
P1 t2 y1
R
P2
P2t3S2u2 t4 y2
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 37 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Dun RdP des GET parallles(Boutin et al., MOSIM 2008;Boutin et
al., IFAC WC 2008)
Dcouplage
u1 [0, P2 ] t1 P1 t2 y1
[0, P2
]
[0, P1
]
P2
t3[0, P1
]u2 t4 y2
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 38 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Un cas dtude
Chane transitique avec section partage
Deux boucles ayant un tronon commun.
Besoin de rguler les entres des palettes sur le systmeds le
point de chargement pour viter les blocages.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 39 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
GET de cette chane transitique
Modle RdP de la ligne de transfert
uHippo
Hippo t1 C2C3 t2
C1C3t3
Char
uC/D
t4
Commun t5
Hippo
t6
Poste
Commun t7
Dechar
yC/D
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 40 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
GET de cette chane transitique (suite)
GET obtenu par notre approche
uHippo
Hippo [0, C1C3 ]
t1 C2C3 t2
[0, C1C3
]
[0, C2C3
]
C1C3t3
[0, C2C3
]Char
uC/D t4
Commun
t5
Hippo
t6
Poste
Commun t7 Dechar
yC/D
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 41 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Partie suivante
Mise en contexte
Modlisation
Routage de transporteurs
Partage de ressources
Conclusion et perspectives
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 42 / 53
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Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Conclusion
Approche pour la modlisation dateliers de productioncomportant
des conflits.
Caractrisation de systmes sans conflit, dont lecomportement
minore et majore respectivement celuidu systme tudi.
tude du routage de transporteurs : quilibr entre un nombre
quelconque de sous-systmes
diffrents. Cyclique entre 2 sous-systmes diffrents.
tude du partage de ressources avec politiquedaffectation
dynamique.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 43 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Perspectives
Gnraliser les formes de conflits modlisables par desintervalles
(partage dun nombre quelconque deressources entre un nombre
quelconque desous-systmes).
tudier des systmes plus complexes, comprenantplusieurs de ces
formes de conflit combines.
Valider cette approche par une mise en uvre sur uncas rel
(travail dj ralis pour des modlisationsdterministes (Boutin et al.,
IMSM 2007) - sansintervalles).
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 44 / 53
-
Mise en contexte
Modlisation
Routage detransporteurs
Partage deressources
Conclusion etperspectives
Merci pour votre attention !
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 45 / 53
-
Annexe
Pour aller plus loin
References
Bibliographie I
Al Saba, M., Boimond, J.-L. et Lahaye, S. (2006a).On just in
time control of flexible manufacturingsystems via dioid algebras.In
Proceedings of the 12th IFAC Symposium onINformation COntrol
problems in Manufacturing,INCOM06, volume 2, pages 137 142,
Saint-tienne.
Al Saba, M., Lahaye, S. et Boimond, J.-L. (2006b).On Just In
Time Control of Switching Max Plus LinearSystems.In Proceedings of
the 3rd International Conference onInformatics in Control,
Automation and Robotics,ICINCO06, Setbal, Portugal.
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 46 / 53
-
Annexe
Pour aller plus loin
References
Bibliographie II
Baccelli, F., Cohen, G. et Gaujal, B. (1991).Recursive Equations
and Basic Properties of TimedPetri Nets.RR-1432, INRIA.
Disponible ladressewww.inria.fr/rrrt/rr-1432.html.
Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J. et Quadrat,
J.-P.(1992).Synchronization and Linearity, An Algebra for
DiscreteEvent Systems.John Wiley and Sons, New York.Disponible
ladressecermics.enpc.fr/~cohen-g/documents/BCOQ-book.pdf
Olivier Boutin (IRCCyN/LISA) 15 octobre 2009 47 / 53
www.inria.fr/rrrt/rr-1432.htmlcermics.enpc.fr/~cohen-g/documents/BCOQ-book.pdf
-
Annexe
Pour aller plus loin
References
Bibliographie III
Baccelli, F., Foss, S. et Gaujal, B. (1996).Free-Choice Petri
Nets An Algebraic Approach.IEEE Transactions on Automatic Control,
41(12):1751 1778.
Boutin, O., Cottenceau, B. et LAnton, A. (2008a).Commande de
zones de conflits dans une algbre dediode.In Actes de la 7e
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Mise en contexteModlisationRoutage de transporteursPartage de
ressourcesConclusion et perspectivesAnnexeAnnexe
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