Soundness Amplification

Soundness Amplification

disclaimer

נדבר היום על הסתברויות ומשחקים אקראיים, במצגת היום אלגוריתמים אקראיים.איןאבל

הטלת מטבע

"בר-מוח" טוען שהוא יכול לחזות את תוצאת •הטלת המטבע.

להצליח.1/2אחרי הטלה אחת, יש לו סיכוי של • בין קוסם אמיתי שמצליח תמיד להבדילכדי •

לחזות את הטלת המטבע לבין דרדס שחצן נבצע lהטלות .

l(1/2)הסיכוי של "בר-מוח" להצליח בכולן הוא •

)אקספוננציאלי* קטן...(

אמרתי לך

שיצא עץ!

קוביה

לא"בר-מוח" טוען שהוא יכול לחזות איזה מספר •יצא בקוביה

להצליח.5/6אחרי הטלה אחת, יש לו סיכוי של • בין קוסם אמיתי שמצליח תמיד לבין להבדילכדי •

. הטלותlדרדס שחצן נבצע l(5/6)הסיכוי של "בר-מוח" להצליח בכולן הוא •

)שוב - אקספוננציאלי* קטן...(

סמוך עלי –

לא יצא 6!

מתחילים עם soundness

"חלש"

MaxCut

.m קיים חתך בגודל מקסימלי G שבגרף נתון•-קשה.NP הוא MaxCut-קירוב ל-16/17משפט: •לכן זה יהיה "מרשים" אם רפיקי מצא חתך עם יותר •

קשתותm(16/17)מ-אבל רפיקי לא מסכים לגלות לנו את החתך שהוא •

מצא... )תירוצים?(

MaxCut

רפיקי רוצה להוכיח לנו שהוא מצא חתך בגודל • בגרף בלי לגלות לנו את החתך:m )כמעט(

חתך בגרףקובערפיקי –מכסה את הגרף–

G

MaxCut

m רפיקי רוצה להוכיח לנו שהוא מצא חתך בגודל )כמעט(•בגרף בלי לגלות לנו את החתך:

חתך בגרףקובערפיקי –מכסה את הגרף–אנחנו בוחרים קשת וחושפים–

הצמתים2את בלימה הסיכוי של רפיקי לנצח –

?למצוא חתך מקסימלי

בין חתך באמת להבדילכדי •גדול לסתם חתך אקראי

לחזור על אנחנו צריכים...המשחק הרבה פעמים

G

כל קוף יכול לנצח

בהסתברות ...1/2לפחות

MaxCut

פעמים:lחוזרים על המשחק 0.99mמה הסיכוי של רפיקי לנצח ב-•

מהמשחקים, בלי למצוא חתך יותר גדול ?m(16/17)מ-

צ'רנוף:•

Pr[# wins > m*l] =

Pr[# wins > 17/16 * )16/17(m*l] ≤

Pr[# wins > 17/16 * E)# wins(] < CE)# wins(

< Cl/2

G

Sequential Amplification

אולי אפשר•לעשות משהו

יותר יעיל?

שאלה

תשובה

שאלה

תשובה

שאלה

תשובה

Parallel Amplification

היינו רוצים:•

למשל: •

הרבה שאלות

הרבה תשובות

איך היית צובע את u1,u3,u8?

(0,1,0)

משחק הטלפתיה

אקראיים כך ש-y ו-xאני שולח לאליס ובוב •

Pr)xy = 11( = Pr)xy = 01( = Pr)xy = 10( = 1/3 לדבר ביניהםאסורלאליס ובוב •אליס ובוב "מנצחים" אמ"ם:•

x*a ≠ y*bx

y

b

a

משחק הטלפתיה

Pr)xy = 11( = Pr)xy = 01( = Pr)xy = 10( = 1/3x*a ≠ y*bאליס ובוב "מנצחים" <-> •Pr)Alice & Bob win( = 2/3טענה: •""הוכחה•

x

y

b

a אליס ובוב נכשל על:אומרים:

(1,1)(1,1)

(0,1)(1,0)

(1,0)(0,1)

משחק הטלפתיה?המשחק פעמייםמה קורה אם אנחנו משחקים את •

Pr)A & B win twice( = )2/3(2 = 4/9

?משחק אחד כפולמה קורה אם משחקים •

x1 , x

2

y1, y2

b1, b2

a1, a

2

?טלפתיה - דוגמא נגדיתמה קורה אם משחקים משחק אחד כפול?•טענה: אם אליס ובוב משחקים•

(a1, a2( = )x2, x1)-ו (b1, b2( = )y2, y1), לנצח במשחק כפול2/3אזי יש הסתברות של

""הוכחה•אליס ובוב נכשל על:

אומרים:

(1,1)(1,1)

(0,1)(1,0)

(1,0)(0,1)

אליס ובוב אומרים:

נכשל על:

(1,1)(1,1)

(0,1)(1,0)

(1,0)(0,1)

אליס ובוב מנצחים במשחק

"הראשון"אמ"ם הם

מנצחים במשחק "השני"

?טלפתיה - דוגמא נגדית

משחק הטלפתיה הוא דוגמא לבעיות שיכולות לקרות •CSGE ל-amplificationכשעושים

CSGV ל-amplificationלכן, נדבר רק על •

וגם את זה נעשה בזהירות... :-(•

Amplification for CSGV

:CSGVהגדרה פורמלית עבור •

הרבה שאלות

הרבה תשובות

V = צמתיםΣ = צבעים

E = קשתות

Φ = אילוצים

Vl = -יות של צמתיםlΣl = -יות של צבעיםl

El = {)u,v( : ∃ i,j s.t. ui = vj or …)ui,vj( ∈ E}

Φl)u,v( = {)a,b(: ∀ i,j s.t. ui=vj → ai=bj and …

)ui,vj( ∈ E → )ai,bj( ∈ Φ)ui,vj(}

צביעה קונסיסטנטי

ת

מקיימת אילוצים מקוריים

Amplification for CSGV

דוגמא:•

הרבה שאלות

הרבה תשובות

1 2

3

1,1 1,2 1,3

2,1 2,2 2,3

3,33,23,1

Amplification for CSGV

דוגמא:•

הרבה שאלות

הרבה תשובות

1 2

3

1,1 1,2 1,3

2,2 2,3

3,3

Amplification for CSGV

דוגמא:•

הרבה שאלות

הרבה תשובות

1 2

3

1,1 1,2 1,3

2,2 2,3

3,3

דוגמא:•

Amplification for CSGVהרבה שאלות

הרבה תשובות

1 2

3

1,1 1,2 1,3

2,2 2,3

3,3

gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1]

gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1]טענה: •

הוכחה:•שלמות:–

בלי להפר אף כל הצמתים צובעת את A: V→Σאם צביעה אילוץ, אז אפשר להרחיב אותה ל-

Al)v( = )A)v1(,A)v2(,…A)vl((

בלי להפר אף אילוץVl צובעת את כל הצמתים ב-Alהצביעה

gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1]

gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1]טענה: •

הוכחה:•נאותות:–

צמתים נגדיר צביעה δl מ-Al: Vl-→Σlבהנתן צביעה

A)vi( = )Al)v((i

Al בצבע שמתאים לו ע"י Vז"א שננסה לצבוע כל צמת ב-

vשאותו צומת ב-לא יכול להיות בגלל האילוץ מהסוג הראשון –Alע"י ביותר מצבע אחד צבוע

בגלל האילוץ מהסוג השני מובטח שכל הצבעים שצבועים –Φמקיימים את האילוצים ב-

"ננסה" – כי לא כל

הצמתים Alצבועים ע"י

gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1]

צמתים δ סה"כ לא יכול להיות שהצלחנו לצבוע פחות מ-–:Vב-

1 2

3

1,1 1,2 1,3

2,1 2,2 2,3

3,33,23,1

gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1]

צמתים δ סה"כ לא יכול להיות שהצלחנו לצבוע פחות מ-–:Vב-

1 2

3

1,1 1,2 1,3

2,1 2,2 2,3

3,33,23,1