Sommario (2) - people.unica.itpeople.unica.it/matteoceccarelli/files/2018/11/Leve-biomeccanica... · Le leve B R B M F R F M Fulcro B R ... =G⋅F M G=guadagno meccanico: proprietà

Sommario (2)

•  Centro di massa e baricentro

•  Momenti di forza, momenti di inerzia e moto rotatorio

•  Equilibrio di un corpo rigido

•  Le leve

•  Elasticità, trazione, torsione e fratture ossee

•  Esercizi sulle articolazioni

Lezione (5) 24/10/18

Statica La statica studia come i corpi rigidi ed estesi stanno in equilibrio. Molto spesso questa condizione è difficile da raggiungere, come dimostra la fotografia del ginnasta!

Prima condizione di equilibrio:rFi = 0∑

È facile trovare degli esempi in cui un oggetto non si muove perché la somma delle forze agenti sull’oggetto è nulla: un libro su un tavolo

Coppia di forze

€

Fi = 0∑

Coppia di forze: 2 forze uguali in modulo e direzione ma verso opposto, prima condizione soddisfatta ma il corpo ruota!

È però possibile trovare dei casi in cui, nonostante la prima condizione sia soddisfatta, un oggetto si muove, in particolare ruota:

La prima condizione non è sufficiente per l’equilibrio di corpi rigidi che possono ruotare!

Cosa permette agli oggetti di ruotare?

Prodotto vettore tra due vettori!

€

r F C

€

r F D

Momento di una forza Quando abbiamo un corpo vincolato a ruotare attorno a un asse occorre introdurre il momento di una forza Μ

€

r M A =

r r A ×r F A

Momento: Prodotto tra rA e la componente della forza perpendicolare (in questo caso FA). •  FA e FC danno lo stesso momento•  FD da momento nullo, forza parallela al braccio•  FA è più efficace di FB

perché il braccio è più lungo

ra=vettore di applicazione della forza Fa

Il segno del vettore MA si trova con la regola della mano destra!Oppure: senso antiorario, positivo; senso orario, negativo

Prodotto vettore tra due vettori!

€

r F C

€

r F D

Momento di una forza Quando abbiamo un corpo vincolato a ruotare attorno a un asse occorre introdurre il momento di una forza Μ

€

r M A =

r r A ×r F A

Differenza tra braccio della forza e vettore di applicazione!!!ra=vettore di applicazione della forza Fa

Il braccio della forza è definito come la distanza tra il punto fisso O e la retta di applicazione della forza:

•  Solo in un caso particolare braccio e ra coincidono! Quale?•  Il braccio vale al massimo la lunghezza di ra!

rFB

Equilibrio dei corpi rigidi La seconda condizione di equilibrio per i corpi rigidi è che la somma dei momenti sia nulla:

€

r M ∑ = 0

!Ma +

!Mb = 0

!ra ×!Fa +!rb ×!Fb = 0

In questo specifico caso la seconda condizione di equilibrio si scrive:

e per annullare il momento Ma posso:1.  Usare una forza uguale e opposta con lo stesso braccio ra (rossa)2.  Usare una forza maggiore con braccio minore rb (blu)

Centro di Massa Per introdurre il centro di massa possiamo pensare a un’asta alle cui estremità ci sono 2 sfere di massa diversa. Il sistema deve essere rigido!

In fisica è importante trovare le coordinate del centro di massa, definito come:

rCM =m1r1 +m2r2m1 +m2

=m1r1 +m2r2

M

Quando abbiamo un corpo rigido occorre utilizzare l’integrale (d(r) densità nel punto r):

rCM =r dm∫M

=d(r)r dV∫M

Significato del Centro di Massa Matematicamente si chiama la media pesata delle distanze rispetto alle masse.Per il sistema a due corpi in figura il punto medio si trova al centro dell’asta, se pesiamo rispetto alle masse il centro di massa si trova vicino alla massa più grande: come dice la parola è un punto che ci dice mediamente dove si trova concentrata la massa.

È importante per due motivi:1.  è possibile scrivere le equazioni del moto,

seconda legge della dinamica, utilizzando le coordinate del centro di massa!

2.  rappresenta il punto in cui un sistema può essere posto in equilibrio in un campo gravitazionale costante (si parla anche di baricentro)

Seconda legge della dinamica

F1 =m1a1;F2 =m2a2F1 +F2 =m1a1 +m2a2

FEXT = miaii∑ = mi&&ri =M

mi&&riM∑

i∑ =M&&rCM

FEXT =MaCMPossiamo scrivere, come per un punto materiale, la seconda legge della dinamica sostituendo alla massa la massa totale, alla forza le forze esterne e all’accelerazione quella del suo centro di massa.

Un corpo rigido si muove sotto l’azione di forze esterne come se tutta la massa fosse concentrata nel suo centro di massa.

Sommiamo membro a membro

Esempi di moti di corpi rigidi La tuffatrice si muove lungo una traiettoria parabolica sia quando sta in posizione eretta che quando ruota: la traiettoria del centro di massa dipende dalle forze esterne, qui la forza di gravità. Il CM è all’altezza dell’ombelico. La traiettoria parabolica è quella di un oggetto lanciato verso l’alto.

Perché nel salto in alto (con o senza asta) si usa questa tecnica? Pensate alla posizione del CM!

Moti rotatori Il momento di una forza è ciò che mette in rotazione un corpo. Cosa caratterizza la rotazione di un corpo?

Occorre introdurre alcune nuove grandezze, la velocità angolare ω, il momento di inerzia I, il momento angolare L e l’accel. angolare α. Le equazioni per la rotazione di un corpo sono formalmente le stesse che descrivono la sua traslazione (F=ma), con le opportune ridefinizioni delle variabili:

v ==> ω velocita angolarea ==> α accelerazione angolareF ==> M Momento della forzam ==> I Momento di Inerzia

Partiamo dal moto circolare uniforme

ω=velocità angolare=costante, anche il modulo della velocità è costante,l’accelerazione è nulla?

Moto circolare uniforme

Verso il centro:Forza centripetaa=v2/R

NO. Dove è diretta?

ΔS = RΔθ

v = ΔSΔt

= R ΔθΔt

= Rω

se angolo piccoloΔv = vΔθΔvΔt

= v ΔθΔt

= vω

aCP =v2

R=ω 2R

Costrutto geometrico L’accelerazione è la differenza tra i due vettori velocita, v2-v1, diviso il tempo dt

Geometricamente i due vettori v1 e v2 se messi con il vertice in comune formano un triangolo isoscele, la cui base è quello che cerchiamo, la differenza.

L’angolo tra i due vale Δθ, esattamente lo stesso angolo che separa i due vettori posizione CA e CB.

La base di un triangolo isoscele vale:2*ipotenusa*sin(Δθ/2) dove ipotenusa è il modulo di v, quindi

dove ΔS è l’arco di cerchio sotteso a Δθ

a = limΔt− > 0

ΔvΔt

= limΔt− > 0

2vsin(Δθ / 2)Δt

v = ΔSΔt

= r ΔθΔt;Δt = r Δθ

v

a = limΔθ− > 0

v2 sin(Δθ / 2)rΔθ / 2

=v2

r

Energia Cinetica Calcoliamo l’energia cinetica per la sfera che ruota a velocità angolare costante:

EK =12mv2 = 1

2mR2ω 2

I =mR2

EK =12Iω 2

Introducendo il momento di inerzia I possiamo riscrivere l’energia cinetica rispetto alla velocità angolare (costante). Questo è importante perché se anziché avere una sfera abbiamo un disco pieno che ruota, possiamo riscrivere l’energia cinetica calcolando il momento d’inerzia totale (usando un integrale). Da notare che per un disco che ruota ogni porzione considerata ha la stessa velocità angolare ma diversa velocità lineare!!!

Momento d’inerzia Il momento d’inerzia I ha lo stesso ruolo della massa m quando abbiamo moti rotatori:

EK =12mv2

EK =12Iω 2

A parità di velocità angolare ha più energia una particella che ruota lontano dal centro del cerchio, è importante sapere dove sta la massa. Come esempio trovare il momento di inerzia del cilindro in figura, altezza R e base πa2.

I=MR2/3

I = r2 dm = r2ρ dV∫∫ = r2ρπa2 dr = πa2ρ r2 dr0

R

∫0

R

∫

I = πa2ρ r3

3"

#$

%

&'0

R

= πa2ρ R3

3= πa2Rρ R

2

3=Vρ R

2

3=M R2

3

Accelerazione angolare Nel moto circolare uniforme la velocità lineare è costante perché lo è quella angolare. Se invece abbiamo che la velocità angolare cambia allora possiamo definire un’accelerazione tangenziale(Δv rappresenta la variazione di modulo!!!):

v = RωΔv = RΔω

at =ΔvΔt

= R ΔωΔt

α =ΔωΔt

at = Rα

α ci dice come cambia la velocità angolare, cioè è definita come accelerazione angolare

S = Rθv = Rωa = Rα

Corrispondenza grandezze lineari e angolari

at=accelerazione tangenziale

Equazione rotazionale Cosa permette un’accelerazione tangenziale? Sicuramente una forza tangenziale!

a = Fm

α =atR

Combinando le due espressioni possiamo scrivere

α =FmR

=RR

FmR

Ma il numeratore è il momento della forza rispetto al centro e il denominatore il momento d’inerzia della nostra massa M:

α =MI

Ovvero M=Iα che ha la stessa struttura di F=ma con le opportune ridefinizioni!

Momento Angolare L’equazione rotazionale si può anche scrivere (regola mano destra) attraverso il momento angolare L:

Dove abbiamo introdotto il momento angolare L. Questa equazione ci dice che se abbiamo un momento di una forza M diverso da zero allora il momento angolare L deve cambiare. Ma:1.  Se M=0, L=Iω=costante, una soluzione è non ruotare, ovvero ω=02.  Se ω≠0, può succedere che I e ω cambino ma con L=costante

Mentre il primo punto ci dà la seconda condizione di equilibrio per i corpi rigidi, cosa vuole dire il secondo punto?

L = Iω;!L = I !ω( )

M = Iα = I dωdt

=d(Iω)dt

=ΔLΔt;!M =

d!Ldt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Conservazione Momento Angolare Esempio della ballerina: una ballerina che inizia a ruotare a braccia aperte, richiudendo le braccia riesce ad aumentare la sua velocità angolare! Poiché diminuisce il suo momento d’inerzia I la sua velocità angolare ω deve aumentare!

Le leve

BR BM

FR FMFulcro

BR=braccio resistenteBM=braccio motoreFR=forza resistenteFM=forza motore

Condizione di equilibrio della leva

BMFM=BRFR

O

FR =BMBR

FM =G ⋅FM

G=guadagno meccanico: proprietà geometrica della leva!A parte la definizione di guadagno, bisogna capire se e cosa si

sta guadagnando usando una leva

Momentotorcente negativo

Momentotorcente positivo

Macchine semplici che compiono lavoromoltiplicando/demoltiplicando le forze

Esempi

A che distanza si deve mettere la bambina (peso minore) per bilanciare il bambino?

30 Kg * 2.5 m = X * 25 KgX = 30/25 * 2.5 m = 3 m

La bambina, nonostante sia più leggera del bambino, mettendosi a una distanza maggiore riesce a equilibrare la leva: guadagno!Dal punto di vista del bambino invece c’è una perdita!!!

Guadagno!

Classificazione leve BR BM

FR FMFulcro

O 1o tipoBM > BR G>1BR > BM G<1

BR

BMFR

FM

Fulcro

O2o tipoBM > BR sempre G>1

BM

BRFM

FR

Fulcro

O3o tipoBR > BM sempre G<1

Schema

1o tipo: la pinza

2o tipo: lo schiaccianoci

3o tipo: la valvola di sicurezza

Esempi Pinza

Pinzette

Schiaccianoci

Nella pinza la forza applicata ai manici viene moltiplicata a livello della forcipe. Ma può succedere anche l’opposto

Nello schiaccianoci c’è sempre un guadagno. È meglio (a) o (b)?La leva del 2o tipo è sempre favorevole!

(a)

(b)

Nelle pinzette non c’è mai un guadagno. Non potrete mai rompere una noce! Serve per demoltiplicare la forza. Vedi anche valvola di sicurezza!La leva del 3o tipo è sempre svantaggiosa!

Articolazioni

Lezione (6) 26/10/18

Articolazioni

BR

BM

FRFM

Fulcro

O

BM

BRFM

FR

Fulcro

O

FR

Bocca Denti monoradicolati Denti pluriradicolati

Fulcro

radice

corona

Cosa è meglio fare? Dalle figure a lato la domanda da porsi è quale comportamento si può considerare meno nocivo per le articolazioni.

Per rispondere occorre conoscere le leve e saper risolvere i problemi di statica, qualche equazione in più incognite.

La cosa più importante è prima di tutto chiedersi cosa si vuole ricavare, di solito non solo forze/forze resistenti ma anche angoli all’equilibrio! Definizione del modello!!!

Guadagno!

Vogliamo sollevare una massa di 50 kg per un metro.Dalla meccanica sappiamo che il lavoro corrisponde a L=F*sIn questo caso abbiamo 500 J

Ma se usiamo una leva con un fattore di guadagno G=2, la forza applicata risulta essere la metà, vuol dire che in questo caso il lavoro fatto è anch’esso la metà? E allora come la mettiamo con l’energia potenziale U=mgh, dipendente solo dall’altezza h e non dall’uso o no di una leva? Violiamo il teorema di conservazione dell’energia? Ricordare definizione Lavoro!!!!!!!

R1 * F1=R2 * F2F2=R1/R2*F1

R2F2

F1

Il paradosso del guadagno: l’energia

Capo

Massa 8 kgPeso ~ 80 N

Braccio motore 2 cm (muscoli splenici)Braccio resistente 8 cm

FRBR=FMBM

8kg*8cm=2cm*FMFM=32 kg8 cm 2 cm

Calcolare la reazione vincolare!

Equilibrio tronco-vertebrale Leva del 1o tipo:FP = Forza peso (60 kg*g) che agisce sul baricentro del corpo, all’altezza del ventre e anteriore alla spina dorsale

FM = Forza Motrice, forza esercitata dai muscoli dorsali

R = Reazione vincolare sul fulcro (la spina dorsale) all’altezza della settima vertebra

Equilibrio traslazionale: R= FM+FPEquilibrio rotazionale: a*FM=b*FPFM= b/a* FP = 2 FP = 120 kg*g=1200 NewtonR= 2 FP + FP = 3 FP = 180 kg*g=1800 Newton

Piede Leva del 2o tipo:FT = Forza Motrice, forza muscolare (polpaccio) applicata dal tendine sul calcagno

FO = Forza Resistente, forza esercitata dalle forze peso della gamba (tibia e fibula) sul piede

FP = reazione vincolare del suolo sulla pianta del piede, causata dalla forza peso del corpo che agisce sul fulcro (punto fermo)

10 cm

Piede Equilibri traslazionaliVerticale:FT cos(7o) + FP = FO cos(θ)Orizzontale:FT sin(7o)= FO sin(θ)

Equilibrio rotazionale, rispetto al punto centrale:5.6 * FT cos(7o) = 10 * FPda cui si ricavaFT=10*FP/(5.6*0.992)=1.8*FP

Sostituendo nelle precedenti equazioni si ha:1.8* FP *0.992+ FP= FO cos(θ)1.8* FP *0.122= FO sin(θ)tg(θ)=0.2196/2.7856 FP= 0.079 da cui θ=4.5ο FO = 2.8 FP

10 cm

Ginocchio: ruolo della rotula

Anche nel ginocchio abbiamo una leva favorevole quando la tibia ruota verso l’alto sotto l’effetto del quadricipite e della forza peso P della tibia e del piede (sfavorevole).La rotula contribuisce ad allungare il braccio motore rendendo più favorevole la leva.

Elasticità e legge di Hooke

FA= E Δl

lσ = Eε

Tutti i corpi, sotto l’azione di forze, mostrano un grado di deformabilità, a volte impercettibile, ma sempre presente. Quei corpi che sotto l’azione di forze si deformano e quando le forze cessano tornano alla loro forma originale si dicono elastici. Al contrario se la deformazione permane si dicono plastici.Anche i corpi plastici hanno un grado di elasticità, ma solo per piccole deformazioni (o forze). La legge che esprime l’elasticità di un corpo è la legge di Hooke, qui riportata per l’incremento di lunghezza Δl:

Sforzo (F/A) vs stiramento ε

Elasticità e legge di Hooke

FA= E Δl

lσ = Eε

Trazione ossa E=1.8*1010 Nm-2

Compressione ossa E=0.9*1010 Nm-2

σMAX =∑tibia = 2.13⋅108Nm−2

Sforzo

Stiramento

Sforzo compressivo nella caduta

σ =FA=7.2 ⋅104N3.3⋅10−4m2 = 2.18 ⋅10

8Nm−2

σ COMPMAX =∑tibia = 2.13⋅10

8Nm−2

Una persona di 80 kg cade rigidamente su una gamba da un’altezza di 1 m. Valutare la compressione sulla gamba sapendo che una volta a terra si ferma in dt=0.005 sdevo calcolare la decelerazione che subisce il corpo cadendoa=dv/dt=?v=sqrt(2gh)=4.5 m/sa=4.5/5*10-3

F=ma=80*4.5/5*10-3=72000 N ~100*massaA=3.3 cm2

Se cade su materassino caduta attenuata, dt aumenta, F diminuisce!!!

Flessione di una trave e fratture

Se immaginiamo di appoggiare una trave di peso P ai due estremi, ci saranno due reazioni vincolari N=P/2 verso l’alto che equilibrano la forza peso e i momenti rispetto al punto O.

L’equilibrio globale è soddisfatto dai due vincoli. Ma cosa succede all’interno della trave? Possiamo capire le forze interne?Dobbiamo studiare le varie parti della trave.

N1+N2-P=0N1*l/2-N2*l/2=0N1=P/2; N2=P/2

Flessione di una trave e fratture Se analizziamo la sezione AC della trave (ombreggiata in figura), per avere equilibrio dovrò avere che sulla parte destra ci sia una forza verso il basso pari a P/2 e un momento xP/2 rispetto all’estremità sinistra.

Le forze interne e i momenti sono rappresentati in figura: sinché queste equilibrano le forze esterne la trave si deforma.

Flessione di una trave e fratture La trave si deforma come in figura. La parte superiore si accorcia (compressione) e la parte inferiore si allunga (trazione)!

Per il principio di azione e reazione sulla sezione AC agiscono delle forze interne che si oppongono alla deformazione, come le frecce nere in figura, e che tenderebbero a riportare questo piano nella giusta posizione. Se le sollecitazioni esterne sono maggiori delle forze interne la trave si spezza.

Forza esterna

Forza esterna

Forza Interna

Forza Interna

Flessione di una trave e fratture Detta l la lunghezza della trave, la deformazione rispetto all’asse neutro porta un allungamento Δl/2 da ogni parte, e secondo la figura vale:

CC ' = l +Δl =OO '+ 2ytgα2≈ l + 2yα

2= l + yα = l + y l

R

Δl = l yR=>

Δll=yR=> ε =

yR=>σ = Eε = E y

R

CC’ > OO’

Frattura sciatore

Lo sforzo massimo si ha in corrispondenza della superficie esterna (y=r)

σMAX = ErR

E si ha rottura quando:

σMAX = ErR> Σtibia

nel caso in figura quando viene generato un momento esterno Mf >=70kg*23cm= 1600 kg*cm ovvero quando la linea mediana si sposta di 23 cm (sciatore).

Torsione di una trave e fratture Un altro problema è costituito dagli effetti delle torsioni. Quando si applicano delle forze parallele a un piano questo può scorrere nella direzione delle forze, come nella figura sottostante, quando la sua base è bloccata.

La legge di Hooke si scrive: FA=G δ

h

σ =Gε ≈Gα

Torsione di una trave e fratture

G, detto modulo di scorrimento, vale la metà del modulo di Young. Per un osso lungo G=0.8-1.2 1010 Nm-2

Torsione di una trave e fratture Se pensiamo a una trave come formata da fibre parallele all’asse centrale, una torsione esterna provoca una rotazione delle fibre.

Con il calcolo integrale si dimostra che la relazione tra la torsione esterna T e la deformazione delle fibre ϕ vale:

T = Gπr4

2hφ

Anche qui esistono delle forze interne che si oppongono alla deformazione e c’è la dipendenza dal raggio della trave alla quarta

potenza: più difficile deformare le ossa spesse e corte: sono meno elastiche!

Fratture per torsione

Per ogni tipo di osso è possibile ricavare la torsione esterna e l’angolo di torsione terminale oltre il quale si ha la frattura.Se prendiamo la tibia si ha rottura con un momento torcente di soli 100 Nm (angolo 3.4 gradi).

Femore Tibia Omero Vertebra lombare

Vertebra Torac. media

Fibula Vertebra cervicale

T (NM) 140 100 60 44 17 12 5 ϕ (gradi) 1.5 3.4 5.9 15 24 35.7 38

Fratture per torsione Questo tipo di frattura è tipica degli sciatori per i quali una minima forza sulla punta dello sci provoca una torsione che dà luogo alla frattura. Se lo sci è lungo 1 metro, quanto deve valere la forza sulla punta dello sci in kg per avere la rottura della tibia?

100 Nm = 10 kg*g*1m100 Nm = 8.3 kg*g*1.2m

Femore Tibia Omero Vertebra lombare

Vertebra Torac. media

Fibula Vertebra cervicale

T (NM) 140 100 60 44 17 12 5 ϕ (gradi) 1.5 3.4 5.9 15 24 35.7 38

È interessante notare che se si calcola la torsione e la deformazione di un osso cavo all’interno, la cui massa sia uguale a quella di un osso pieno e di uguale densità, si ha:

TCAVA = 2α2TPIENA

dove α=r/R>1

1.  A parità di massa sono più resistenti le ossa grandi e cave

2.  A parità di dimensioni realizzando ossa cave (volatili) non si perde in resistenza

Lezione (8) 02/11/18

Chiarimenti su conservazione energiaChiarimenti su legge di HookeEsercizi analisi dimensionaleEsercizi sulle articolazioni

Guadagno!

Vogliamo sollevare una massa di 50 kg per un metro.Dalla meccanica sappiamo che il lavoro corrisponde a L=F*sIn questo caso abbiamo 500 J

Ma se usiamo una leva con un fattore di guadagno G=2, la forza applicata risulta essere la metà, vuol dire che in questo caso il lavoro fatto è anch’esso la metà? E allora come la mettiamo con l’energia potenziale U=mgh, dipendente solo dall’altezza h e non dall’uso o no di una leva? Violiamo il teorema di conservazione dell’energia? Ricordare definizione Lavoro!!!!!!!

h=2*R1*sin(α)h’=2*R2*sin(α)=h*R2/R1

hR1

R22α h’

R1 * F1=R2 * F2F2=R1/R2*F1

L1=F1*hL2=F2*h’=R1/R2*F1*h*R2/R1=L2=F1*h

R2F2

F1

Il paradosso del guadagno: l’energia

Il paradosso del guadagno: l’energia Lo stesso problema si presenta nel torchio idraulico, quando si chiede di valutare di quanto sale un pistone se l’altro scende di h1.

F1/S1=F2/S2

ΔV1=h1*S1=ΔV2=h2S2=ΔV

L1=F1*h1=F2*S1/S2*h1=F2/S2*ΔVL2=F2*h2=F2*h1*S1/S2=F2*ΔV/S2

Analisi dimensionale Si consideri il moto circolare uniforme Si determini la formula dell’accelerazione centripeta in base all’analisi dimensionale.

R

rv

rv

La conservazione dell’energia Il principio di conservazione dell’energia è un principio molto forte che permette di risolvere innumerevoli problemi, anche quando si ha di mezzo l’attrito:

EK1+EP1=EK2+EP2+EAtt

Quando si ha attrito quasi sempre la forza di attrito viene considerata costante lungo tutto lo spostamento.

Se io applico una forza su un oggetto, L=FΔS, so che sto cedendo energia a quell’oggetto. Quindi:1.  Deve aumentare la sua energia cinetica (teorema dell’energia

cinetica)2.  Può aumentare la sua energia potenziale3.  Potrebbe non succedere nulla (v=costante), vuol dire che tutta

l’energia è andata in attrito

La conservazione dell’energia Anche nei casi 1 e 2 è possibile avere una certa energia persa per attrito. Il lavoro per attrito è l’energia che ci viene a mancare dall’applicazione del teorema di conservazione dell’energia.

Dal teorema dell’energia cinetica:

LA=LF-ΔEK LA è il lavoro perso per attritoLF lavoro della forza “conosciuta”

Se poi il lavoro viene fatto contro le forze del campo, la differenza di energia cinetica sarà negativa, cioè ho acquistato energia potenziale, ma se non ho acquistato quella che mi aspettavo vuol dire che c’è attrito!!!

La legge di Hooke e gli apparecchi dentali

F = −kΔx = −k(x − x0 )

Lo scopo degli apparecchi dentali è quello di spostare i denti (ma non solo). Siccome i denti non sono liberi di muoversi, sono di per sé inerti, dobbiamo agire sul paradonto indirettamente (zona verde e rossa). Tramite meccanismi biologici di rimodellamento osseo, la regione rossa si ritira e quella verde si espande. Quindi dobbiamo favorire il rimodellamento osseo spingendo sul dente: di solito c’ è bisogno di una forza costante che spinge sul dente verso destra, creando una situazione di non-equilibrio, gli apparecchi fanno questo.

Questa è la legge di Hooke nella sua forma più generale:

Legge di Hooke La legge di Hooke ci dice proprio quanto vale la forza nel caso di non-equilibrio.All’equilibrio x=x0, ovvero F=0Se io modifico la condizione di equilibrio avrò sempre una forza di richiamo che mi riporta il sistema verso l’equilibrio.

FM = −kΔx = −k(x − x0 ) = −kx

x0=0

x > 0

x < 0

La legge di Hooke

Negli apparecchi dentali si usano dei fili elastici per “tirare” i denti. Viene creata una situazione di non equilibrio, x>x0, dove x0 è la condizione di riposo del filo (FM=0).

FM = −kΔx = −k(x − x0 )

Perché periodicamente i fili vanno tirati? Per due motivi:

1.  Perché con l’azione della forza di richiamo il dente in oggetto si sposta più vicino alla condizione di equilibrio e la forza diminuisce. Siccome c’è bisogno di una forza di una certa intensità per rimodellare il tessuto, occorre “ricaricare” i fili periodicamente, altrimenti l’effetto sarà nullo.2.  Cosi come le molle sotto sollecitazione per tempi lunghi, anche i fili perdono la loro efficacia di “tirare”, visto che per gli apparecchi si parla di tempi di settimane o mesi!!!

Obesità/Sovrappeso

Nel caso di obesità non solo cambia il peso, ma anche la sua distribuzione.Se il baricentro si sposta in avanti di soli 4 cm abbiamo, con un incremento del peso di 10 kg:BR’=12 cm => aumento 4 cm, +50%FP’=70kg*g=> aumento 10 kg, +16%

4 cm 12 cm (8cm)

FP = 60 kg*gFM = 2 FP = 120 kg*gR = 3 FP = 180 kg*g

È interessante calcolare gli aumenti percentuali rispetto al caso precedente:FM= 3.0 FP’ = 210 kg*g=> +75%R = 4.0 FP’ = 280 kg*g=> +55%

Braccio/Avambraccio Si trovino le condizioni di equilibrio nei due casi in figura.Cosa è FJ?

€

Mi = 0∑FM*5=FP*15+FS*35 => FM=41 kg (13 kg)

FJ+FP+FS=FM FJ=>32 kg (10 kg)

€

Fi = 0∑

Se il braccio è inclinato tutte le forze che entrano nell’equazione dei momenti verranno moltiplicate per sin(45) e quindi non cambia nulla!

Da notare che per una massa di 5 kg il muscolo lavora per (41-13) kg, >5!!!

Deltoide: FM tira verso l’articolazione, per reazione uguale e contraria:FA (Fx,Fy), forza vincolare esercitata dall’articolazione della spalla sul braccio

Fx=FM*cos(15)

Fy+mg=FM*sin(15)

m=3.3kg

x

y

θ

Cosa cambia se aggiungo 1 kg sulla mano?

|FA|= 24.8 kg*g

θ=7.7o

Rispetto all’articolazione spallaFA ha momento zero:24*mg=12*FM*sin(15)FM=25.5 kg*g

€

Mi = 0∑

Spalla

€

Fi = 0∑Fx=24.6 kg*g

Fy=(6.6-3.3) kg*g

Spalla

m=3.3kg

€

Mi = 0∑Rispetto all’articolazione spalla(24*3.3+48)*kg*g=12*FM*sin(15)FM= 40.9 kg*g (25.5 kg*g,+60%)

FA: Forza vincolare esercitata dall’articolazione della spalla sul braccio

€

Fi = 0∑Fx=FM*cos(15)

Fy+(3.3+1)g=FM*sin(15)

Fx=39.5 kg*g

Fy=(10.2-4.3) kg*g

x

y

θ

|FA|= 39.9 kg*g(24.8, +60%)θ=8.1°

(7.7, +5%)

1 kg

Cosa cambia se il braccio è raccolto?

Spalla?

m=3.3kg

x

y

θ

1 kg1 kg

Cambia il muscolo che lavora e il braccio resistente è più piccolo!

Masticazione Braccio Motore: 4 cmBraccio Resistente 1 = 6+4 cmBraccio Resistente 2 = 4+6+4 cm

FMBM=FRBR

FM=BR/BM * FR

Ammettiamo una forza di masticazione piccola di 100 N (~ 10 kg):

1o caso: FM= 10/4*10 kg=25 kg

2o caso: FM= 14/4*1 kg= 35 kgTrovare la forza su unita di superficie per i denti anteriori (0.2 cm2) e posteriori (1 cm2)

Flessioni

Quale forza verrà scaricata sui piedi e sulle mani?

FP+FM=PFP*100=FM*60

Soluzione:FP=3/8 PFM=5/8 P

Lo sforzo è maggiore per le mani, buona maniera per allenare i muscoli pettorali! Per un soggetto di 60 kg, ogni mano supporta 19 kg, cioè un terzo del peso totale!

Anca Studieremo in dettaglio l’articolazione dell’anca in due casi particolari:1.  Equilibrio su una sola gamba2.  Equilibrio su una sola gamba con l’ausilio di un bastone

Anca Il primo caso rappresenta una condizione molto comune, tipica di quando camminiamo deambulando, cioè spostando il peso da un piede all’altro. Vedremo quali forze sono in gioco e i valori della resistenza dell’articolazione, cioè tra la testa del femore e l’acetabolo.In caso di indebolimento di muscoli vediamo come, usando un bastone, si risolvano alcuni problemi.

Anca

Anca

Forze in gioco:

F= forza motrice esercitata dai gluteiPg= forza peso gamba, 1/7 FPN = reazione vincolare = FPR = forza di resistenza che agisce sulla testa del femore quando all’interno dell’acetabolo, da confrontare con P-Pg e F (reazione)O = testa del femore, il nostro Fulcro

Da dove viene R? Bisogna pensare alla gamba come scorrelata rispetto al bacino. 1)  Se la forza dei muscoli F

“tira” la gamba verso il bacino, il punto di contatto è la testa del femore sull’acetabolo. All’azione di F corrisponde una forza di resistenza sull’acetabolo a cui corrisponde una reazione R dell’acetabolo.

2)  Il bacino ha un peso P a cui dobbiamo togliere il peso della gamba (R vs P-Pg)

Anca Equilibrio Traslazionale:

Fx+Pgx+Nx+Rx=0 lungo XFy+Pgy+Ny+Ry=0 lungo Y

Equilibrio Rotazionale attorno a O, quindi MR=0:

MF+MPg+MN=0

Incognite del problema: |F| e R (|R| e angolo)3 incognite e 3 equazioni

Fx+Pgx+Nx+Rx=0F*cos(70)-Rx=0

Fy+Pgy+Ny+Ry=0F*sin(70)-1/7*P+P-Ry=0

MF+MPg+MN=07*F*sin(70)+3*P/7-P*11=0

θ

Anca

Anca Dall’ultima relazione:7*F*sin(70)+3/7*P-P*11=0si ricava:F=1,61*P

Dalla prima relazione F*cos(70)-Rx=0si ricava:Rx=0.55*P

e dalla seconda relazione F*sin(70)-P/7+P-Ry=0si ricava:Ry=2.37*P

θ=atang(Ry/Rx)=76.9o

θ

Commento-1 F=1,61*PR= 2.43*P (~ P-1/7P+F verifica!) θ=76.9°

Si ricava che:- la forza muscolare è superiore alla forza peso- la forza di resistenza che agisce sulla testa del femore è ben più grande della forza peso! - la forza di resistenza R NON è come nel caso della spalla uguale e contraria alla forza F- calcolare l’angolo di questa forza di resistenza è utile perché di solito le ossa crescono nella direzione dove devono sopportare maggiore resistenza, informazione utile per fabbricare le protesi.

θ

Commento-2 Dalla relazione F*cos(70)-Rx=0

si vede che se F=>0 allora la componente Rx tende anch’essa a zero, cioè R sarà quasi verticale (θ=90). Cosa possiamo dedurre?

Se un soggetto ha i muscoli indeboliti allora la resistenza cambierà angolo e la testa del femore crescerà nella direzione del femore, allungando cosi l’osso che causerà problemi di scoliosi.In questi casi l’ausilio del bastone aiuta, vediamo come:

θ

Bastone

Se si usa un bastone sul quale viene scaricato 1/6 del peso corporeo le forze F e R cambiano in valore cosi come l’angolo θ.

Bisogna individuare la nuove forze vincolari del suolo NP e la sua distanza dal baricentro d

Reazioni Vincolari Consideriamo lo schema seguente considerando per un attimo l’articolazione rigida, abbiamo solo la gamba, il bastone e il suolo:

P P/6NP

d 30 cm

NP+P/6=P => NP=5/6*P+ rotazione attorno ad ANP*d=P/6*30 => d = 6 cm

A

Bastone Sostituendo i nuovi valori alle equazioni delle forze e dei momenti otteniamo:

F*cos(70)-Rx=0F*sin(70)-P/7+5/6*P-Ry=07*F*sin(70)+3*P/7-5/6*P*(18-7-6)=0

F=0.57*P R=1,23*P θ=81.1o

Riduzione notevole delle forze!!!Questa condizione prevede un uso ridotto della forza muscolare F e allo stesso tempo non modifica l’angolo θ della resistenza, evitando i problemi di scoliosi.

Bastone prima con bastone

F=1.61 P 0.57*P

R=2.43 P 1.23*P

θ=76.9 81.1o

Abbiamo deambulazione con una riduzione notevole delle forze!!!Questa condizione prevede un uso ridotto della forza muscolare F e allo stesso tempo non modifica l’angolo θ della resistenza, evitando i problemi di scoliosi.

Esercizio 1Un lungo recipiente cilindrico, di raggio esterno 26 cm e che vuoto peserebbe 103 N, contiene al suo interno 20 litri di acqua. Si calcoli a quale profondità si troverà la base del recipiente, se fosse immerso in acqua, una volta raggiunta la condizione di equilibrio.

Fp=103N+20kg*g= 299N

Equilibrio:Fp=SA=m’g=dV’gFp=d*r2*π*h*g

V’

Esercizio 2Immergendo in acqua due oggetti esteriormente identici come forma e materiale, il primo emerge per il 29% del suo volume ed il secondo, a causa di una cavità interna vuota, emerge per il 55%. Che percentuale del volume totale è occupata dalla cavità?

1)  Sa=Fp m’g=d1Vg dV’g=d1Vg d*0.71*Vg=d1Vg

2) Sa=Fp m’g=d2Vg dV’g=d2Vg d*0.45*Vg=d2Vg

d2/d1=0.45/0.71d2=d1*0.45/0.71<d1

m2=d2*V=d1*(V-V0) V0=cavita

(V-V0)/V=1-V0/V=d2/d11-V0/V=d2/d1V0/V=1-0.45/0.71=0.366~37%

V

•  ΔP=dgΔh1=m1g/ANon conosco m1 e d, ho bisogno di un’altra relazione

Se aumento la massa di 1.8 kg il dislivello sale ancora di 2.66-0.4 cm:•  m2=1.8 kg => Δh2= 2.66-0.4 cm m2g/A=dgΔh2

Esercizio 3Nel ramo di sinistra di un tubo ad U può scorrere liberamente uno stantuffo a tenuta, che ha una superficie di 97 cm2, mentre il ramo di destra è del tutto aperto verso l'alto. Quando da destra si versa nel tubo un certo fluido, la colonna nel ramo di sinistra, sotto lo stantuffo, risulta 0.4 cm più bassa di quella nel ramo di destra. Se poi da sinistra, sopra lo stantuffo, si versano 1.8 litri d'acqua, il dislivello tra le 2 colonne del primo fluido diventa di 2.66 cm. Quale è pertanto la densità di questo fluido e che massa ha lo stantuffo?

Δh1

Esercizio 4Un cilindro di 130 g, cavo all'interno e con pareti di lamiera sottile, galleggia sull'acqua, emergendone per 47% del suo volume. Se si dovesse aprire un piccolo foro sul fondo, quanti litri d'acqua potrebbe imbarcare il cilindro, prima di affondare definitivamente?

V’=53%V

m=130g => Fp=0.130*9.8= 1.274 N

All’equilibrio:

Sa=m’g=dV’g=d*0.53*V*g=1.274N

La parte che sta fuori si immergerà se verrà aggiunta una quantità di acqua uguale al volume stesso che sta fuori:La spinta di Archimede è esattamente UGUALE alla forza peso dell’acqua che viene aggiunta

Esercizio 5 (Necessita di legge di Boyle sui gas)Un recipiente metallico chiuso, alto 7 m, è diviso in 2 parti da un pistone orizzontale a tenuta, perfettamente libero di muoversi. Sul fondo poi è collegato con un lungo tubo verticale, aperto verso l'alto. Inizialmente il pistone è completamente abbassato ed il recipiente è completamente pieno d'aria a pressione atmosferica; poi nella parte inferiore attraverso il tubo viene introdotta acqua fino ad un'altezza di 3.3 m. Per tenere il pistone in equilibrio in queste condizioni, che dislivello deve esserci tra l'acqua nel tubo e quella nel recipiente?

7mΔP

3.3m

P1V1=P2V2P1=1atmV1=A*h1V2=A*h2P2=P1*h1/h2=1*7/3.7atm= 1.89 atmΔP=1.89-1 atm=0.89 atmΔP=dgh h=ΔP/(dg)

Δh