Sommaire de la séquence 9 - f2.quomodo.comf2.quomodo.com/0DC3D9A1/uploads/114/Mathematiques -Sequence-0… · Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés
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Voici dans le tableau ci-dessous les tarifs pour envoyer par la poste des lettres de différents poids.
poids de la lettre en g 10 30 80 200
prix en timbres en € 0,54 0,86 1,30 2,11
Le prix en timbres en € et le poids de la lettre en g sont-ils des grandeurs proportionnelles ?
Prends ton cahier de cours puis recopie le paragraphe suivant.
e retiens GRANDEURS PROPORTIONNELLESRappel : Si les valeurs d’une grandeur s’obtiennent en multipliant les valeurs d’une autre par un même nombre, alors on dit que ces deux grandeurs sont proportionnelles.
Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on dit que l’on a une situation de proportionnalité.
Exemple : Ci-dessous, le nombre de litres de cocktail de fruit et le prix correspondant sont proportionnels.
nombre de litres de cocktail de fruit
26,619
75
11,4
3
prix x 3,8
3,8 est le coefficient de proportionnalité : c’est le nombre qui multiplié par le nombre de litres donne le prix.
j
Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.
Exercice 4
Le tableau suivant correspond-t-il à une situation de proportionnalité ? Si oui, quel est le coefficient de proportionnalité ? Utilise ta calculatrice !
8 9 10 11
2,5 2,812 5 3,125 3,437 5
Prends ton cahier de cours puis recopie le paragraphe suivant.
e retiens TABLEAU DE NOmBRESDes nombres représentés dans un tableau représentent une situation deproportionnalité lorsque les nombres de la ligne du dessous s’obtiennent en multipliant par un même nombre ceux de la ligne du dessus. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité.
Exemples :
13,57,5
95
4,5
3x 1,5
127,5
95
4,5
3
3 x 1,5 = 4,5 3 x 1,5 = 4,55 x 1,5 = 7,5 5 x 1,5 = 7,59 x 1,5 = 13,5 9 x 1,5 n’est pas égal à 12 !
Le tableau ci-dessus représente une Le tableau ci-dessus ne représente pas situation de proportionnalité. une situation de proportionnalité.
j
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
Exercice 5
Chacun des tableaux suivants correspond-il à une situation de proportionnalité ? Si c’est le cas, quel est le coefficient de proportionnalité ? Tu n’utiliseras pas ta calculatrice.
Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.
Exercice 6
Une voiture roule à une vitesse constante. On a mesuré la distance qu’elle a parcourue au bout de deux secondes, etc. On a ensuite noté ces distances dans le tableau ci-dessous, mais quelqu’un a effacé certains nombres.
temps en seconde 2 3 ………… 20
distance en m 45 ………… 112,5 …………
1- Pourquoi la distance parcourue et le temps sont-ils proportionnels ?
Prends ton cahier de cours puis recopie le paragraphe ci-dessous.
e retiens LES 3 RÈGLES DE LA PROPORTIONNALITÉRappel : Dans un magasin de peinture, le prix du litre de peinture est proportionnel au nombre de litres achetés. Le prix de 3 L est 1,8 €.
Règle 1 : « la règle de la multiplication et de la division »
• Calculons le prix de 15 L de peinture :Le prix de 3 L de peinture est 1,8 €. prix de la peinture (en €) 91,8
153nombre de litres de peinture
x 5
x 5Comme 15 = 3 x 5, le prix de 15 L de peinture est 1,8 x 5 soit 9 €.
• Calculons le prix de 0,3 L de peinture :Le prix de 3 L de peinture est 1,8 €. 0,18
0,3
10
10
÷
÷
prix de la peinture (en €) 1,8
3nombre de litres de peinture
Comme 0,3 = 3 ÷ 10, le prix de 0,3 L de peinture est 1,8 ÷ 10 soit 0,18 €.
Règle 2 : « la règle de l’addition s»• Calculons le prix de 18 L de peinture
le prix de 3 L de peinture est 1,8 €le prix de 15 L de peinture est 9 €,
9 10,8
15 18
+
+
prix de la peinture (en €) 1,8
3nombre de litres de peinture
le prix de 18 L (3 L + 15 L) est donc 1,8 + 9 soit 10,8 €.
Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret.
Exercice 7
On étudie la croissance d’une bactérie dans un laboratoire.
1- Sachant que la taille de la bactérie est proportionnelle au nombre de jours de son développement, complète le tableau ci-dessous. Essaie de faire des calculs astucieux.
nombre de jours de développement 2 5 8 13
taille en μm de la bactérie 7 ………… ………… …………
Remarque : μm veut dire micromètre. Cette unité représente un millième de millimètre (c’est tout petit !)
2- Quel est le coefficient de proportionnalité de ce tableau ?
Exercice 8
Complète les tableaux suivants pour qu’ils soient des tableaux de proportionnalité.
a) b)
8 0,8 80 800
0,16 ……… ……… ………
9 27
1,3 ………
c)
3 6 21 27 ………
14 ……… ……… ……… 140
Prends ton cahier d’exercices et effectue les trois exercices suivants.
Exercice 9
Dans une station service, le prix de 10 L de gasoil est 12,3 €.
1- Quel est le prix de 30 L, de 50 L, de 70 L, de 1 L ?
2- Quel volume de gasoil peut-on acheter pour 55,35 € ? Utilise ta calculatrice.
On peut recycler le papier carton afin d’obtenir du papier recyclé.
2 tonnes de papier carton permettent d’obtenir 1,7 tonne de papier recyclé.
1- Combien de tonnes de papier recyclé peut-on obtenir : à l’aide de 3 tonnes de papier carton ? à l’aide de 5 tonnes de papier carton ? à l’aide de 10 tonnes de papier carton ?
2- Combien faut-il de tonnes de papier carton pour obtenir : 3,4 tonnes de papier recyclé ? 17 tonnes de papier recyclé ?
Exercice 11
Complète les deux tableaux ci-dessous pour qu’ils représentent des situations de proportionnalité.
a) b)
4 9
3,2 ………
2 7
3 ………
Séance 3Je détermine une quatrième proportionnelle
Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.
e retiens QUATRIÈmE PROPORTIONNELLELorsqu’on cherche à calculer x ou y dansles tableaux de proportionnalité ci-contre, on dit que l’on calcule une quatrième proportionnelle.
x
7
5
4
y
95
4
Calcul de la quatrième proportionnelle :• Le nombre qui multiplié par 4 donne 5 est
Une voiture consomme 5 L de carburant pour faire 90 km.
1- Combien de km peut-elle faire avec 7 L de carburant ?
2- Combien de carburant lui faut-il pour parcourir 140 km ?
Exercice 14
Un pot de confiture de 600 g de la marque « Tante suzette » coûte 4,5 €. Un pot de confiture de 800 g de la marque « fruitos » coûte 5 €. Quelle est la confiture la moins chère au kilo ?
Exercice 15
Il a fallu 5 déménageurs pour déménager 40 m3 de meubles en une demi-journée.Combien faut-il de déménageurs pour déménager 18 m3 de meubles en une demi-journée ?
Exercice 16
Les deux tableaux ci-dessous sont des tableaux de proportionnalité. Essaie de trouver une autre méthode que celle utilisée dans le « Je retiens » précédent pour trouver x et y.
Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.
e retiens
Rappel : Dans un magasin de peinture, le prix du litre de peinture est proportionnel au nombre de litres achetés. Le prix de 3 L est 1,8 €.
Règle 3 : « le retour à l’unité »Calculons le prix de 1,6 L de peinture.Le principe est simple : la méthode consiste à calculer le prix d’1 L de peinture. Il suffit ensuite de multiplier ce prix «à l’unité» par le nombre de litres de peinture pour obtenir le prix.
Le prix de 3 L de peinture est 1,8 €, donc 1 L coûte 1,8 : 3 soit 0,6 €.Si l’on veut alors calculer le prix de 1,6 L de peinture, on effectue : 0,6 x 1,6.On trouve 0,96 €.
prix de la peinture (en €) 0,6 0,961,8
1 1,63nombre de litres de peinture
: 3 X 1,6
: 3 X 1,6
Remarque : on pouvait également écrire directement :
prix de la peinture (en €) 0,96 1,8
1,6 3 nombre de litres de peinture
X 1,6
3
X 1,6
3
j
Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d’exercices.
Exercice 17
Le prix d’un tissu est proportionnel à la longueur achetée. 4 m coûtent 7,5 €.
Un moteur, à plein régime, tourne à la cadence de 3 540 tours en 3 min.
1- Combien fait-il de tours à ce régime en 2 min 30 s ?
2- Quel temps faut-il à ce moteur pour effectuer 15 045 tours ?
Exercice 19
On a représenté dans le tableau ci-dessous la vitesse d’une voiture en fonction de l’âge du conducteur.
Complète le tableau.
vitesse en km/h 50 70 90 110
âge du conducteur en années 19 ………… ………… …………
Séance 5J’étudie la notion d’échelle
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.
Exercice 20
Voici le plan du rez-de-chaussée d’une maison. Les dimensions de cette maison dans la réalité sont proportionnelles à celle du plan. Dans la réalité, la maison mesure 12,6 m de longueur.
1- Mesure la largeur de la maison sur le plan ? À quoi est-elle égale dans la réalité ?
2- Quel est le coefficient de proportionnalité ?
3- Combien mesure dans la réalité la cuisine, l’entrée, le bureau, le salon et le cellier ? Tu donneras la longueur et la largeur de chacune de ces pièces.
Prends ton cahier de cours puis recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.
e retiens
NOTION D’ÉCHELLELorsque sur un plan les distances sont proportionnelles aux distances réelles,on dit que le plan est « à l’échelle ».Le coefficient de proportionnalité permettant de passer des distances réelles aux distances sur le plan (exprimées avec la même unité) s’appelle l’échelle du plan.
réalité figure à l’échelle
1
4
Sur un plan à l’échelle
1
4 , les distances sont 4 fois plus petites que dans la réalité.
1 cm représente donc 4 cm.dimensions en m de la voiture
Prends ton cahier d’exercices et effectue les exercices ci-dessous.
Exercice 21
Une carte est à l’échelle
1
250 000 .
1- Qu’est-ce que cela signifie ?2- Deux villes sont distantes sur cette carte de 8,5 cm. Quelle distance « à vol d’oiseau »
sépare ces deux villes dans la réalité ?3- Deux villages sont à une distance de 14 km « à vol d’oiseau ». Quelle distance sépare ces
deux villages sur cette carte ?
Exercice 22
Voici une carte du centre-ville de Bordeaux.
1- Quelle est l’échelle de cette carte ?
2- Quelle est dans la réalité la distance qui sépare les deux arrêts de tramway (représentés par un petit tramway sur la carte) ?
3- Place sur cette carteà l’aide d’une croixl’emplacement d’une personne qui se trouve à 2 km de la place Pey-Berléand (symbolisée par le gros carré) et sur le quai des Chartrons.
Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret.
À l’aide d’un microscope couplé à un appareil photo, on a réussi à prendre la photo du petit animal unicellulaire ci-contre. On sait que ce petit animal mesure dans la réalité environ 0,02 cm.Quelle est l’échelle de cette photo ?
Exercice 28
Si, sur une carte, deux ponts sont distants de 2,4 cm alors qu’en réalité, ils le sont de 18 km, quelle est l’échelle de cette carte ? De combien sont distantes dans la réalité deux églises distantes sur cette même carte de 5 cm ?
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous. Tu peux utiliser ta calculatrice.
Exercice 29
Le collège « Marcel Pagnol » comporte 260 élèves dont 208 sont demi-pensionnaires (il n’y a pas d’internes).
1- Quelle est la proportion de demi-pensionnaires de ce collège ?
2- On cherche maintenant à calculer le pourcentage d’élèves demi-pensionnaires de ce collège. C’est le nombre d’élèves demi-pensionnaires qu’il y aurait dans un collège :
• ayant la même proportion de demi-pensionnaires que le collège « Marcel Pagnol »• comportant 100 élèves.Quel est le pourcentage de demi-pensionnaires du collège « Marcel Pagnol » ?
3- Quel est le pourcentage d’élèves externes de ce collège ?
Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.
e retiens POURCENTAGES
Calcul d’un pourcentage
Pour calculer un pourcentage, on peut utiliser un tableau de proportionnalité.
Exemple : Une entreprise de 210 employés comporte 84 femmes. Quel est le pourcentage de femmes dans cette entreprise ?
Prends ton cahier d’exercices et effectue les exercices ci-dessous. Tu pourras utiliser ta calculatrice.
Exercice 30
Arthur a profité des soldes pour s’acheter un pull. Le prix initial était de 38,50 € et la remise était de 8,47 €.
1- À quel pourcentage du prix initial correspond la remise ?
2- Combien le pull a coûté à Arthur ?
Exercice 31
Lisa vient de s’acheter un jean. Elle a payé 44,8 € car le jean était en solde : elle a gagné 6,40 €.
Quel est a été le pourcentage de la remise ?
Exercice 32
Un hamburger d’une célèbre marque américaine pèse 140 g. Il contient 36,40 g de protides (protéines), 36,12 g de lipides (graisses) et 61,32 g de glucide (sucres).
1- Quelles sont les pourcentages de protides, de lipides et de glucides contenus dans ce hamburger ?
2- Le reste (tout ce qui n’est ni protides, ni lipides, ni glucides) est de l’eau. Quel est le pourcentage d’eau contenu dans ce hamburger ?
Exercice 33
Voici les résultats au baccalauréat de deux lycées en 2007 :
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.
Exercice 34
On a vu dans le « Je retiens » précédent une entreprise qui comportait 40 % de femmes.
Combien y aurait-il de femmes dans une entreprise de 560 employés qui comporterait également 40 % de femmes ? Peux-tu répondre à cette question à l’aide d’un tableau de proportionnalité ?
Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.
e retiens J’APPLIQUE UN POURCENTAGE
Calculer 3 % d’un nombre revient à multiplier ce nombre par
3
100 .
Exemple :
Calculer les 3 % de 15 €. 15
3
10015 0 03 0 45× = × =, ,
3 % de 15 € représentent 0,45 €.
j
Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices suivants. Tu pourras utiliser ta calculatrice.
Exercice 35
La mémoire du baladeur numérique de Noé a une capacité de 512 Mo. Elle est à 58 % occupée.
1- Combien de Mo de la mémoire du baladeur sont occupés ?
2- Combien de Mo reste-t-il de libres dans la mémoire du baladeur de Noé.
Exercice 36
Lors de soldes, un magasin propose des réductions : 25 % sur les tee-shirts et 30 % sur les pantalons.
Clémence achète deux tee-shirts à 17 € chacun, et un pantalon à 26,50 € (les réductions sur les prix ne sont pas encore faites). Combien Clémence a-t-elle payé au total ?
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant. Cette fois, tu n’utiliseras pas la calculatrice.
Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-dessous.
Prends ton cahier de cours puis note ce qui suit après l’avoir lu.
Exercice 41
La longueur d’un cercle de rayon r est-elle proportionnelle à r ? Si oui, quel est le coefficient de proportionnalité ?
Exercice 42
1- Quelle est la longueur d’un cercle de rayon 1 cm ? d’un demi-cercle de rayon 1 cm ? d’un quart de cercle de rayon 1 cm ? d’un cinquième de cercle de rayon 1 cm ?
Recopie et complète le tableau ci-dessous.
portion de cercle de rayon 1 cm cercle demi-cercle quart de cercle cinquième
de cercle
angle de la portion en °
longueur de l’arc en cm
2- Penses-tu que la longueur d’un arc de cercle soit proportionnelle à l’angle correspondant ?
Reporte-toi maintenant au corrigé des questions 1 et 2 dans ton livret de corrigés avant de faire la troisième question.
3- Calcule la longueur en cm d’un arc de cercle de rayon 1 cm dont l’angle est 53°. Tu donneras ensuite une valeur approchée par défaut au centième.
l
x°
1 cm
Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la (les) réponse(s) exacte(s) sur ton livret.
Une fois les 10 questions faites, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.