Compito di Algebra Lineare - Ingegneria Biomedica 16 gennaio 2017 IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si pu` o scrivere con il lapis. A chi contravvenisse a queste disposizioni sar` a annullata la prova. Parte II: avete 1 ora e 20 minuti di tempo per risolvere questi due esercizi, che, se svolti perfettamente, con accurate spiegazioni, valgono 14 punti l’uno, ai quali si aggiungeranno i punti ottenuti nella Parte I (0,5 punti per ogni risposta corretta). Esercizio 1. Sia V il sottospazio di R 3 definito dall’equazione 2x +5y =0e sia W il sottospazio definito dall’equazione y + z = 0. 1. Si calcoli la dimensione di V \ W ; 2. Si trovino una base ortonormale di V e una base ortonormale di W ; 3. Si consideri l’applicazione lineare L : R 3 ! R 3 la cui matrice, rispetto alla base standard, ` e 0 @ 0 2 -3 0 - 4 5 6 5 1 2 2 1 A Dimostrare che l’immagine di L coincide con il sottospazio V e dare una base di Ker L. Esercizio 2. Si consideri R n munito del prodotto scalare standard. 1. Definire cosa ` e un insieme ortogonale di vettori. 2. Definire cosa ` e un endomorfismo L R n ! R n simmetrico. 3. Sia T : R n ! R n un endomorfismo. Supponiamo che T sia simmetrico e sia λ un autovalore di T . Dimostrare che λ 2 R. 4. Sia T k : R 2 ! R 2 l’endomorfismo la cui matrice, rispetto alla base standard di R 3 e al variare di k in R ` e la seguente: [T k ]= ✓ 3 k 1 3 ◆ Discutere la diagonalizzabilit` a di T k al variare di k in R e trovare una base di autovettori nel caso che k sia uguale a 4. 5. Fare un esempio di un endomorfismo simmetrico S : R 2 ! R 2 la cui ma- trice, rispetto alla base standard non ` e diagonale, e che ha due autovalori, uno > 0 e uno < 0. : 22 IR R SOLUZIONI →
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SOLUZIONI - people.dm.unipi.itpeople.dm.unipi.it/~gaiffi/AlgLinBiomedica/Pages/Seconda parte... · Dimostrare che l’immagine di L coincide con il sottospazio V e dare una base di
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Compito di Algebra Lineare - Ingegneria Biomedica
16 gennaio 2017
IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usarecalcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si puo scrivere con illapis.A chi contravvenisse a queste disposizioni sara annullata la prova.
Parte II: avete 1 ora e 20 minuti di tempo per risolvere questi
due esercizi, che, se svolti perfettamente, con accurate spiegazioni,
valgono 14 punti l’uno, ai quali si aggiungeranno i punti ottenuti
nella Parte I (0,5 punti per ogni risposta corretta).
Esercizio 1. Sia V il sottospazio di R3 definito dall’equazione 2x + 5y = 0 esia W il sottospazio definito dall’equazione y + z = 0.
1. Si calcoli la dimensione di V \W ;
2. Si trovino una base ortonormale di V e una base ortonormale di W ;
3. Si consideri l’applicazione lineare L : R3 ! R3 la cui matrice, rispetto allabase standard, e 0
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1
A
Dimostrare che l’immagine di L coincide con il sottospazio V e dare unabase di Ker L.
Esercizio 2. Si consideri Rn munito del prodotto scalare standard.
1. Definire cosa e un insieme ortogonale di vettori.
2. Definire cosa e un endomorfismo L Rn ! Rn simmetrico.
3. Sia T : Rn ! Rn un endomorfismo. Supponiamo che T sia simmetrico esia � un autovalore di T . Dimostrare che � 2 R.
4. Sia Tk : R2 ! R2 l’endomorfismo la cui matrice, rispetto alla basestandard di R3 e al variare di k in R e la seguente:
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◆
Discutere la diagonalizzabilita di Tk al variare di k in R e trovare una basedi autovettori nel caso che k sia uguale a 4.
5. Fare un esempio di un endomorfismo simmetrico S : R2 ! R
2 la cui ma-trice, rispetto alla base standard non e diagonale, e che ha due autovalori,uno > 0 e uno < 0.
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