Top Banner
122

Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics b. brinne

May 24, 2015

Download

Documents

raed jaradat

Solutions to Sakurai's Probls. in Quantum Mechanics
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

�������������� ���� ������������� ��

������������� �"!$#%���&'!�

(�)+*-,/.103254768492;:�,<6+68410347=<>82�?A@�B�)CBEDF4G>+>8H

I;J<JLK : IMJ/J/J

Page 2: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

N

O�PRQTS�P5U8SWVYX[ZY\WP^]Y_`Xba�Q8Zc\WXdQTXbecSfX5g�VcXb\WX�h5\WXiS�h5j;XbekU9\WP^alSWVcXi]mPRP^jn h5j;oY\�hFpGqmrcscrcstqvu�w3x;y{z{|�}�~;�R|;�G~M�lu�y����Y�R|c�����{qc��X5h3g;p`ec�YqcO&���Y��gcg;p�QTP3e;�7��X5QT_tXb�Mq���^�^� s

Page 3: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

� �����%�����¡ 

¢ £�¤¦¥C§�¨ª©«�¬ ­® ¯v°c±m²Y³F´�µb±M¶�³5·�¸8¹^±mº'µ�»c¶�¼¾½�½i½�½[½i½�½[½�½i½�½i½�½i½�½i½i½�½i½�½[½�½ ¿À Á"°¦³F±c¶f°c´ÃÂÅÄ;±m³5´�Æ�º�¼C½�½i½�½i½�½[½i½�½[½�½i½�½i½�½i½�½i½i½�½i½�½[½�½ ÇÈ ÉCÊcµb¹^ËfÄ�¹FÌ+Í"±cÎ^°Y·�³FËÅÏ�¹3´�µb±c¶f°c´Ã½i½�½[½�½i½�½i½�½i½�½i½i½�½i½�½[½�½�®'ÐÐ ÑRÄ;´Ò´�µb¶WËfÄ�Æt±�ÁÅ°m³5±c¶W°Y´ÃÏ�µ5º{Êm³F±cÆ�ºb¼i½[½�½i½�½i½�½i½�½i½i½�½i½�½[½�½�®FÇ¿ Í"»c»cËf¹^ÓMÆ`´�³5¶WÆ`¹3±kÏ�µb¶WÊY¹M²c¼Ô½i½�½[½i½�½[½�½i½�½i½�½i½�½i½i½�½i½�½[½�½�®bÕ

¢c¢ Ö�¥×¨�Ø�ÙcÚª¥ÜÛܬ Ý×­® ¯v°c±m²Y³F´�µb±M¶�³5·�¸8¹^±mº'µ�»c¶�¼¾½�½i½�½[½i½�½[½�½i½�½i½�½i½�½i½i½�½i½�½[½�½ÞÀ^¿À Á"°¦³F±c¶f°c´ÃÂÅÄ;±m³5´�Æ�º�¼C½�½i½�½i½�½[½i½�½[½�½i½�½i½�½i½�½i½i½�½i½�½[½�½ÞÈ^ßÈ ÉCÊcµb¹^ËfÄ�¹FÌ+Í"±cÎ^°Y·�³FËÅÏ�¹3´�µb±c¶f°c´Ã½i½�½[½�½i½�½i½�½i½�½i½i½�½i½�½[½�½ÃÇ5¿Ð ÑRÄ;´Ò´�µb¶WËfÄ�Æt±�ÁÅ°m³5±c¶W°Y´ÃÏ�µ5º{Êm³F±cÆ�ºb¼i½[½�½i½�½i½�½i½�½i½i½�½i½�½[½�½ÞÕFп Í"»c»cËf¹^ÓMÆ`´�³5¶WÆ`¹3±kÏ�µb¶WÊY¹M²c¼Ô½i½�½[½i½�½[½�½i½�½i½�½i½�½i½i½�½i½�½[½�½8®bà^È

®

Page 4: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

á â�ã�ä�åæ8ä�åç

Page 5: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

è éëê�ì í

è ê¡î�ï ðAñóò ô

õ

Page 6: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne
Page 7: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ö^÷¾ø�ùú�ûÅüiý&þ+úEÿcü�������ú��þ��"ÿ �� ���������� ������������� ��!"�$#%��&')(*'�+-,).0/21*3547698�:;4=<�/2>08@?=4%/A>[email protected];EF<HG54I471KJL47.5:L4M<N/PORQ SMTVUXWY,BZ[8�\�4B62]^ 1_<N1*8@.`,R>�4B6N8B<H,)69aP(cb-G5476N4%1*/�.5,`304=J;47.04B6N8@?dEL(e 8)f-gc6N,Bhi4�<NG08B< j

kmln apoqS Tsr

1t/�8u.iv5w*w�,R>x476N8B<N,R6=(e Cyfcz{G08B<Y1t/P<NG04%/A1KJL.01K|�[email protected]?=4%,BZjkXl l~}� kXl

n aDoqSMT�T rS T oqS T�T��

e ?Bf���wtw*v5/�<N6N8B<N4 e 8)f[[email protected] e Cyf[v0/21t.iJ�a�/24=<-4B�iv08@w5<H,��R�[,�Z"8�/2>51*.��� /�E0/�<N4 ^ (

'R(K��� /2>01t. �� /�E0/�<N4 ^ 1*/�:i.0,B�9.p<N,qCx4u1*.�8@.�471KJL47.5/�<H8B<N4�,BZ���u�i�� �91_<NG4B1_JL4B.;hR8�wtv04%��)�N�7� �9G5476N4��� 1*/ 8�v5.01K<Yhi47?d<N,R6 w_E01t.iJ�1t.p<NG04��)�d] >5w*[email protected]¡<NG08B<^ 8�:;47/�8�.p8@.¢JLw*4¡£`�91_<NGq<NG54�>�,R/21_<N1_hi4��d] 8B¤01t/¥(e 8)fu¦iv0>5>�,R/24§�R¨q1*/ ^ 4B8@/Av56N473x(©z{G587<q1t/u<NG54p>06N,RC58@C01*wt1_<�Eª,BZ�JL4M<2<H1t.iJ« ��R�N�M¬e Cyf-­�h;8�wtv08B<N4 <HG54�301t/A>x476N/21*,).q1*.®� ¨ � <HG58B<91*/ �¯Xn �R¨$o ¯ �R¨=U r � U °

eX± ,R6%E²,)v06u,B�9.©>�4B8@?=4q,BZ ^ 1*.03�?¥G547?d:pEi,Rv06�8�.5/��³4B6N/¡Zm,R6�<HG54D/2>�4B?=1*8@w?=8@/247/P£%´�µ ��¶5�N�7� [email protected] ¶ (_f

')(¸· e 8)f-bPG04%/A1 ^ >0wt47/�<c��8=E`<N,u35476N1Kh²4 <NG04%¦i?¥G;��8@6N¹�1*.547�iv08@wt1_<�E�JL,i47/P8@/Zm,Rwtw*,B�9/d( ± 1t6N/�<Y,RC5/24762hi4nm¯»º Q «D¼@½ ¯*¾ Q r � n Q º U «D¼ Q ¾ U rÀ¿ µ

Zm,R6%8@.;EÁ?=, ^ >0w*4M¤D.iv ^ C�4B6 ¼L <NG04B.Á?dG0,i,)/A4 ¼ 1*.§/2v0?dG§8`�³8ME�<NG08B<I<NG54>56N47?=4B301t.iJu1*.547�iv58�wt1_<�E�6N4B30v0?=4B/P<N,�<NG04�¦i?¥G;��8@6N¹�1*.04B�iv01tw*1_<�ER(

Page 8: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ÃÄXÅÆIÇiÈ0ÉBÊÌËNÈ0ÍBËIËNÈ5Î�ÎBÏiÐ0ÑtÒ*Ñ_Ë�ÓqÔAÑKÕLÖ§Ñ*Ö�ËNÈ0Î�ÕLÎ7Ö5Î7×NÍ@Ò*ÑtØ=Î7Ù�Ð0Ö0Ú=ÎB×2ËNÍ@Ñ*Ö;Ë�ÓÛ×NÎ=ÜÒ*ÍBËNÑ*ÉRÖÛÈ0É)Ò*Ù0Ô Ñ~Ý�ËNÈ0Î�Ô�ËNÍBËNÎ�ÑtÖDÏiÐ5Î7Ô�ËNÑ*ÉRÖÛÔ2Í7ËNÑtÔ�ÞÎ7Ô

ß9à á�âãä§å�ß�æIá�âãÊ9Ñ_ËNÈ åuç Ð5×NÎ7ÒKÓÁèêé`ë@ìLèêíë;î=ï@ðÄXÚBÆ�ñ�ò ç Ò*ÑtÚ=Ñ_Ë�Ú=Í�ÒtÚ=Ð0ÒtÍ7ËNÑtÉRÖ0Ô�Ð5ÔAÑtÖiÕ�ËHÈ5ÎDÐ5Ô2Ð0Í@Ò�×NÐ0ÒtÎ7Ô�ÉBÝ�ʳÍMó²ÎFôqÎ7ÚdÈ0Í@Ö0ÑtÚ=ÔÔ2È0ÉBÊ{ËNÈ5Í7Ë ËNÈ0ΡʳÍMó²Î ÝmÐ5Ö0ÚdËNÑ*ÉRÖ�ÝmÉR×�Í`õIÍ@Ð0Ô2Ô2Ñ*Í@ÖÛʳÍMó²Î ç Í@Ú¥ö;Î=ËPÕLÑKó²ÎBÖqÅ;Ó

÷»ø@ù á âyãÀä�ú»û¥üiý=þ�ÿ�� ���������� �� ÷�� ã ø ù�� � ú ø ù � ÷ ø ãXÿ þ� ý þ �Ô2Í7ËNÑtÔ�ÞÎ7Ô�ËHÈ5Î�Ð5Ö0Ú=ÎB×2ËNÍ�ÑtÖ;Ë�Ó`×NÎ7ÒtÍ7ËNÑtÉRÖ� ÷ ú»ß ø ÿ þ ã � ÷ ú»ß � ÿ þ ã�ä �� û��� ×NÉBóiÎ�ËNÈ0ÍBË9ËNÈ0Î%×NÎBÏiÐ0Ñ*× Î7ôqÎBÖRË

÷ ø ù á ß ø á�âã�ä ÄXÑ*ôqÍBÕLÑtÖ0Í@×2Ó`ÖiÐ0ô`Å�Î7× Æ ÷»ø ù á ß � á�âãÑ*ÔIÑtÖ0Ù5Î7Î7Ù�Ô2Í7ËNÑtÔ�ÞÎ7Ù®ÝmÉR×%ÔAÐ5Ú¥È�ÍpõIÍ@Ð0Ô2Ô2Ñ*Í@Ö�ʳÍMó²Î ç Í@Ú¥ö;Î=Ë��ÀÑtÖ�ÍBÕL×NÎBÎ7ôqÎBÖ;ËÊ9Ñ_ËNÈ�ÄXÅÆNð

� ð ��ÄXÍ)Æ"!ÀÎMË�øpÍ@Ö0Ù#��$uÅ�Î�ËNÈ0ÎFÚ=ÉiÉR×NÙ0ÑtÖ0ÍBËNÎ`Í�Ö5ÙªÒtÑ*Ö5Î7Í@×�ôFÉRôqÎ7Ö;Ë2Ð0ô Ñ*ÖÉRÖ0Î�Ù5Ñ*ôqÎBÖ0Ô2Ñ*É)Ö�ð�ñ�óLÍ@Ò*Ð5ÍBËHÎ ËHÈ5Î�Ú=ÒtÍ@ÔAÔ2ÑtÚ=Í�Ò � ÉRÑ*Ô2Ô2ÉRÖÛÅ0×NÍ@ÚdöLÎMË%�ø'&)( ú � $ ÿ�* +-,/.�010324+-.�, �ÄXÅÆ5! Î=Ë�ø�Í�Ö5Ù6� $ Å�Î�ËNÈ5ÎIÚ=ÉR×N×NÎBÔ ç ÉRÖ0Ù5Ñ*Ö¢ÕuÏiÐ0Í@Ö;ËNÐ0ô`Ü ôqÎ=ÚdÈ0Í@Ö0ÑtÚ=Í�ÒiÉ ç Î7×NÍBÜËNÉR×NÔ�ËNÈ5Ñ*ÔPËNÑ*ôqÎ)ð�ñ�óLÍ@Ò*Ð5Í7ËNÎ�ËNÈ5Î�Ú=ÉRôFô�ТËNÍ7ËNÉR×7 ø8& ���:9 � �;$=<��?>'@ �ÄXÚBÆBAIÔ2Ñ*Ö¢ÕuËNÈ0Î%×NÎBÔAÐ5Ò_Ë9ÉRÅ¢ËNÍ�ÑtÖ0ÎBÙDÑtÖ�ÄmÅyÆC� ç ×NÉBó²Î ËNÈ0ÍBË��� 9 � ��$C<��?> á ø ù ã & ú ø á ø ù ãÀä ø ù á ø ù ãmÿ

Page 9: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

D;EGFIH'JLKNMOH�PRQNSTKUJLP�V)W�X YZ\["]�^`_�Z-ab_�^c[edC];dC_6f;gNdChc_ji�f8flkCmnZ1^c];dC_6fpoq_�kC];dCflksr8t�uvhn];dwZ1[xdChc_ji�flkCkC_zy[oqfp^cmcZ\^8aj_�Z-ab_�^b{|]�}1~n_;�� t-����]l�N��kCf;{8_:dChc_�g�fp}1}1f;��Z\^8ac������ ���;��� r ������� ������� � � � �;��� ������������ �\ U� r ������� ¡�¢�;�¤£|¥¦ � �;���§���� �� � � £b¨������������hn_�kC_ £|¨���� � �©�ª� � � ����� ]�^cm £ ¦ ��� � �O�ª��� � �  q� ]�kC_¬«�fl«�_;^bd=~n«¬y­[oc]�i�_"�N]�{8_g­~n^ci®dCZ1fl^n[®t��¯���uvhc];d°Z\[±dChc_sochb²c[Z1i�]�}³[´Z3a|^cZ3µ¶i�]�^ci�_sf;g·´¸;¹"º � rl»��½¼ ���hn_�kC_¾r�Z1[xd=hn_�oqfl[Z3d=Z\fl^`floq_;kC];d=fpkw]�^cm¿»ÀZ1[s[fl«�_j^8~c«j¯q_;k:��Z-dCh`dChn_mnZ1«�_;^c[Z1fp^ÁfÂgë�fl«¾_�^bd´~n«¾�6Äc~c[edCZ�g�²j²Åfp~ck�]�^n[)�N_�kzt

Æ ÇRÈwÉIÊ°ËÌÈ�Í ÎÐÏÑÊwÉNÍ ÒCÓ©ÔÕ t �×Ö fl^c[Z\mc_�kØdChc_s[ocZ\^8y�ockCf8i�_;[´[Z\fl^�ockÙfl¯c}\_�« mcZ\[i�~c[[_�m�Z1^Ú[_�i®dCZ1fp^ Õ t �Z\^jÄc]�iÜÛ8[fl^ÌtÞÝßd�i�]�^�]Â}\[f6¯q_"[fl}3{Å_;m�Z1^¾dChc_sàw_;Z1[_�^8¯Ì_�kawonZ1i®dC~ckÙ_lt�á"[Z1^'adChn_wàs]�«�Z1}3d=fp^cZ1]�^ â �`ã ºnäCåæ"ç ¼Ièlé �Úê èlé ���kÙZ-dC_�dChc_¬àw_;Z1[_�^8¯Ì_�kaj_�ë8~c];dCZ1fp^c[�fÂgB«�f�dCZ1fp^¾g�fpk"dChc_×dCZ1«�_zy�mn_�oq_�^nmc_�^bdfpoq_�kC];dCflkC[ èlì �\í���î èlï �\í���î ]�^cm èlé �1í�� t±ðÅfp}-{8_NdChc_;«?dCf�fl¯8dC]�Z1^ èlìñ ï�ñ é ]�[Og­~n^ci®ydCZ\fl^c[Nf;gOdCZ1«�_ptÕ t Õ�ò _zdwr �\í�� ¯q_×d=hn_ji�f8flkCmcZ\^c];dC_jfloq_�kÙ]�dCflk°g�fpk�]jg­kC_;_6oc]�kdCZ\i�}1_jZ1^`fl^n_mnZ1«�_;^c[Z1fp^ÁZ\^ÚdChc_sàw_;Z1[_�^8¯q_;ka�ocZ1i®dC~nkC_ltOó©{|]�}1~c];dC_ô r �\í���� r ��õz��ö®÷

Page 10: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ø�ùú ûýü5þlÿ�� ���������� ������������� ÿ ����������������� ÿ�� � þlÿ���� � þ�� ���� ������� þlÿ �� ÿ � �� �! "� ÿ$#&% ')( *+ ,-/.103254 *6&798: % �� ����;���<��� ÿ �>= *6@? *+"A 'B þC# �� � ÿDDFE�G *6H? *+�I (KJ +L,.>M�N G *6@? *O 2 IP8Q þ ����� ÿ ���SR % �����T���U��������� ÿ � �U����<��� þpÿV� �!���W�����YX";� ÿ ��;��[ZP�������� ÿ ���� � ÿ � þ � ;�� þ R\�]���@ �������L�&����� þ ���<�^�!�_� � � ��� � ÿ ���� �&����<�`�����a���FRb��Z9�� ÿ � � ����� c ÿ � � � úedxÿ ���<� � ��<�a� þlÿ �����]� þlÿ$�Bþ ;����f����� � �� ���g� ÿihù úkj�l �monW���!���p� þ<��ÿ �]��� � � "��Rq; ÿ �F��� þlÿ3l � ÿ � þ8þ ����� ÿ <��� � ��L���rm\R þ �`������ �]<��� s�t�uwv Nyx +Lz{| }�~�� IP8� þ ;>�� % ; � �

G 6 � ~ � I (T��� ����� 6 � ��� ,� s�t�u[�� N �,`� 6 �6 ��� ,��� A ���6 ��� � {|.@� � ��� ,b�� 8l�# mH� # �] � ÿ � ���������w��������� ��� � þlÿ �]��<�H��������� þ�# # �����!� % �]��<�H����� � ��<�]�� � R þ ; ÿ �>� ÿ ����� � � þ ; ÿ � � ��<�]��<� E ( � ú_�xþ � � �]��� � ��� þC# # ������� % �F�� ÿ � �R þ � E�� � hù ú! Nü5þlÿ�� �����<�o�Rq; ÿ �F��� þlÿg¡L¢8ÿnþ���ÿ � �����H£�¤&¥�¥F¦�§!¨"©bªb¤&«5¬�­�«®£�©bªb¤&« ¡ ����¯ ÿ ���#&% ° 4 E 7 ( G 6 4 E 7b6 4 � 7�I9A� ���<��� 6 4 E 7 � � �]���H� þ�� ����� þlÿ�þ �g����<� þ �y� ÿ �]���H����� � � ÿ"# ��� � �����F��;���� úy± c �!Z;�<���f�����f� þ �����<��<��� þlÿ Rq; ÿ �F��� þlÿ �������������!��� % R þ ������� � � þ ; ÿ � � ��<�]� þ Rwþlÿ ��Z9������� ÿ�� � þpÿ � � ����������� ��� þlÿ ��� þ�� ���������� þ � ú

Page 11: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

²<³µ´·¶¹¸�º5»y¶i¼¾½5¿Àºo¸�¼�ÁÃÂiÄ ÅÆcÇSÈfÉ_ÊCË�ÌÎÍ�Ï�Ð<ÑwÒ<ÓcÒ Í�ËÔÒ[ÊCË�Ð�Õ9Ï�Í�Ö�Ð<Ë�Ì�Í�ÊCË�Ò ×ÀÌ�Í�Ö$Ø�×�ÐÚÙ�Ò Ñ�Ö�ÊCË�Í�Û�ÊCÌ�Û�Í�×�×�Ò<Ü�ÊCÑ�ÇÝ ÊTÜ�Ù�Ð[ÞqÊC×�×�Ê<ßHÍ�˹ÓàÒ ×!ÓcÐ<á�Ñ�Ò Í�Û�ÒL×�×!â&ãoÜ�Ù�Ò<Ü[Í�ÌFã`ßHÍ�Ü]Ù�ÊCä"Ü[ä�Ì�Í�˹ÓÔßåÒ�æçÐèÞqä�Ë�ÛFÕÜ�Í�ÊCË�ÌFÇé Ò�êpÉ_ÊCË�ÌëÜ�Ñ�ä�ÛFÜ5Ò�×�Í�Ë�Ð<ÒLÑpÛ�ÊCÖ[á�Í�Ë�Ò<Ü�Í�ÊCËèÊ<ÞHì�í�îoÒ Ë�ÏïìñðUîoÌ�ä�ÛFÙ[Ü�Ù�Ò<Üaò�ó&îoÍ�ÌpÒ Ì×�Ò Ñ�ÓcÐ�ÒLÌ@ØôÊCÌ�Ì�Í�á�×�ÐCÇé áõêeö"ä�Ø�ØôÊCÌ�Ð5Ü�Ù�Ð@ÊCÌ�Û�Í�×�×�Ò<Ü�ÊCÑyÍ�ÌyÍ�Ë÷Ü]Ù�ÐHÌëÜ�Ò<Ü]Ð@Û�ÊCË�ÌëÜ�Ñ�ä�ÛFÜ]Ð<Ï�Í�Ë é Ò�êeÒ<Üeø\ùTí<Çú Ù�Ò<ÜûÍ�ÌfÜ�Ù�еÌëÜ�Ò<Ü]ÐüæçÐ<ÛFÜ]Ê�Ñ[ÞqÊCÑýø�þ íàÍ�ËÿÜ�Ù�ÐVö"Û/Ù�Ñ��Ê�Ï�Í�˹ÓcÐ�ÑfØ�Í�ÛFÜ�ä�Ñ�Ð��� æcÒ ×�ä�Ò<Ü�Ð�Ü]Ù�Ð[Ð���ØôÐ<ÛFÜ]Ò<Ü�Í�Ê�ËfæcÒ ×�ä�Ð$ò�óçîåÒ ÌwÒ Þ�ä�Ë�ÛFÜ�Í�Ê�ËàÊLÞåÜ�Í�Ö$ÐÚÞ�Ê�Ñ�ø`þKíä�Ì�Í�Ë"Ó é Í�ê`Ü�Ù�Ð÷öçÛFÙ�Ñ��ÊCÏ�Í�Ë"ÓcÐ<Ñ5Ø�Í�ÛFÜ]ä�Ñ�ÐwÒ Ë�Ï é Í�Í�êyÜ�Ù�Ð�� Ð<Í�Ì�Ð�Ë"ágÐ�Ñ�Ó�Ø�Í�ÛFÜ]ä�Ñ�ÐCÇé Û<ê � æcÒ ×�ä�Ò<Ü]Ð�ò��@ó� ��ëîeÒ ÌHÒ�Þqä�Ë�ÛFÜ�Í�ÊCËfÊ<ÞyÜ]Í�Ö�Ðä�Ì�Í�˹Ó�Ð�Í!Ü�Ù�Ð�Ñ5Ø�Í�ÛFÜ�ä�Ñ�Ð�ÇÆcÇ���� ��������������� ����!��� Ê<Þ5Ò Ê�Ë�Ð�ÕPÏ�Í�Ö�Ð�Ë�Ì�Í�ÊCË�ÒL×\Ì�Í�Ö�Ø�×�Ð�Ù�Ò Ñ�Ö�Ê�Ë�Í�Û�ÊCÌ�Û�Í�×�Õ×�Ò<Ü]Ê�Ñ5Í�Ì5Ï�Ð#"®Ë�Ð�Ï$Ü]ÊèáôÐ�ÒLËfÐ�Í�ÓcÐ�Ë�ÌëÜ]Ò<Ü�ÐwÊ<ÞoÜ�Ù�Ð é Ë�Ê�Ë"Õ$� Ð<Ñ�Ö�Í!Ü�Í�ÒLËõêoÒLË�Ë�Í�Ù�Í!Õ×�Ò<Ü]Í�ÊCËfÊCØôÐ�ÑUÒ�Ü�ÊCÑ&%(' %"ì*)Cîôù+)�ì*)Cî$,ßHÙ�Ð�Ñ�Ð-)�Í�ÌFãiÍ�Ë$ÓcÐ�Ë�Ð�Ñ�Ò ×bãiÒ�Û�ÊCÖ�Ø�×�Ð#� Ë"ä�Ö[áôÐ�Ñ�Çé Ò�ê/.`Ñ�Ê<æ"ÐÜ�Ù�Ò<Ü ì*)Cîôù+02143 523 6�7 � 085:9<;Pì í�îÍ�Ì5Ò�Ë�ÊCÑ�Ö�Ò ×�Í>=�Ð�Ï[Û�ÊCÙ�Ð�Ñ�Ð<Ë&ÜåÌëÜ�Ò<Ü]Ð�Çé áõê/.`Ñ�Ê<æçÐ Ü]Ù�Ð Ö$Í�Ë�Í�Ö�ä�Ö ä�Ë�Û�Ð�Ñ�Ü�Ò Í�Ë&Üëâ Ñ�Ð<×�Ò<Ü�Í�ÊCËèÞqÊCÑÌ�ä�ÛFÙ>Ò�ÌëÜ�Ò�Ü�Ð�Çé Û<ê ú Ñ�Í!Ü�Ðèì*)Cî Ò Ì ì*)Cîôù ?@A8BDC4E �FG ÎìHF¹îJIö"Ù�Ê<ß Ü�Ù�Ò<Ü�Ü�Ù�ÐYÏ�Í�ÌÃÜ�Ñ�Í�á�ä¹Ü]Í�ÊCË ÊLÞ ì E �FG ÎìH��ßHÍ�Ü�Ù Ñ�Ð<ÌÎØgÐ�ÛFÜ[Ü�ÊKFWÍ�Ì[Ê<Þ Ü�Ù�Ð.yÊCÍ�Ì�ÌÎÊ�Ë[ÞqÊCÑ�ÖýÇML Í�Ë�ÏfÜ�Ù�Ð�Ö�ÊCÌëÜ5Ø�Ñ�ÊCá�Ò á�×�Ð�æ&ÒL×�ä�ÐÊ<ÞNF�ãôÙ�Ð�Ë�Û�Ð�Ê<ÞNO5Çé ÏõêwöçÙ�Ê�ß Ü]Ù�Ò<Ü ÒfÛ�ÊCÙ�Ð<Ñ�Ð�Ë&Ü�ÌÃÜ�Ò<Ü�Ð[Û�ÒLËVÒ ×�Ì�Ê>áôÐ[ÊCá¹Ü]Ò Í�Ë�Ð�Ïïá&âàÒ Ø�Ø�×!â�Í�˹ÓÜ�Ù�Ð5Ü�Ñ�Ò Ë�Ì�×�Ò<Ü�Í�Ê�Ë é "iË�Í�Ü]Ð�Õ9Ï�Í�Ì�Ø�×�Ò Û�Ð�Ö�Ð<ËCÜFêôÊCØôÐ�ÑUÒ�Ü�ÊCÑP0 1�QSR$TS7�U V é ßHÙ�Ð<Ñ�ÐNWwÍ�ÌoÜ�Ù�ÐÖ$ÊCÖ�Ð�Ë�Ü�ä�Ö ÊCØôÐ<Ñ�Ò<Ü]Ê�Ñ�ã5ÒLË�ÏYXHÍ�ÌèÜ�Ù�ÐYÏ�Í�ÌÎØ�×�Ò Û�Ð�Ö$Ð�Ë&Ü�Ï�Í�ÌëÜ�Ò Ë�Û�Ðrê Ü�ÊÔÜ�Ù�ÐÓ&Ñ�ÊCä�Ë�Ï>ÌëÜ]Ò<Ü�ÐCÇ

Page 12: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Z8[\]_^a`cbedDfhg2beiDg&g2be]kj�d4bl]�m2]Dn�g/opg2i�g2]rqSs(tMm2]�uriwv>neoNj�d(be]�mx]�n�g/ylneze]Dm&g2v{ur]�|]�}�d4~{yGg2v{d4n�i_nezYj�i_~{j�yl~{iDg2]�g2be]�g2v>u�]�|$]�}�d(~�}�]�z�opg�iDg2]�q*s��>�$�tJ��\���v{n�g���zlv�|m2]�j�g2~���i_�l�e~���g2be]�g2v{u�]#|J]#}�d4~�y�g2v>d4n�d4��]�mxi�g2d4m#��^

� �����/bl]���yln�g�ylu u�]�j�bei_nev>j�i_~��lm2d4�eiD��iDg2d4m�� ��d4m¡ir�ei_m¢g2v{j�~>]�f£v�g2b�u�i_o¢o¤ �¥u�dD}ev{n��¦v{n�i§��d_g2]�n�g2v>iw~¥v>o&��v�}c]Dn�¨����© �«ª�¬$­4®p¯/�l°�±³²´ µ �<¶:·¹¸4º¼»�½ ¾ © ��ª�¬$­(®��p¬ [ �¥°�¿¦À�Á�Â�Ã�Ä ��Å�Æ2ª�� ÂÇÃ¼Ä �«Å�Æx­_�¯�È ½ ¾�É«Ê ÉË«Ì Å Ëf£be]Dm2]¦¿�v{o&i§j�d4neopg2i_n�gÍ�\i4^aÎÏbeiDgÐv{oag2be]���d_g2]�n�g2v>iw~ÒÑ

\¨¥^ÔÓ�]�g2]�m2urv{ne]Õg2be]aj�d4neopg2i_n�gÖ¿�v{n�g�]Dm2u�o�dw�×g2be]a�ei_m2i_u�]#g�]Dm2o�zl]�o¢j�m2v{¨lv{nG�g2be]¦op�eopg�]Du \o¢yej�b�iwo ¤ �¥Æ³]#g2j_�a^��

� �¼Ø§ÙNm2dD}c]Úg�bl]¡mx]�~{iDg2v{d(n µ�Û �«ª��µ ª °�ÜD��ªc�f£be]Dm2] Û ��ª��¡v>o�g2be]Ý\ylnev�g�^�opg2]��Þ��yenlj�g2v{d4n��³i_nezßÜ��«ª��kg2be]+Ókv>m2i_j�ze]D~�g2i��yenej�g2v>d4n��Ð\���v{n�g�� opg�ylz���g2bl]¡]#à�]�j�g&d4n�g2]�opgp��yenej�g2v>d4neo���^

� �{á�â§Ók]�mxv�}�]£g2bl]Ð��d4~>~{dDf£v{nG��]�ãe�lm2]�o¢o¢v{d(nä�å�æ ° ¤èçé Â�Ã�Ä � ç�ê �Më �«ª Ë´�ì é ª Ëí �#îpï  � ç�ê �cÈ�ª ´ ª í4ð��d4m�g2be]�j�~{i_o¢o¢v{j�i_~Öi_j�g2v{d4nñ��d4m�iòbli_m2u�d4nlv{j¦d4o¢j�v{~>~{iDg2d4mku�dD}ev>n��§��m2d4u g2be]��d4v>n�g£ª ´ iDg£��° [ g�d-g2be]���d4v{n�g£ª í iDg&�ó° ê �

� �{á4á��/bl]¡ôóiD��m2i_n���v{i_n�dD�Mg2bl]¡o¢v{nG��~{]�bei_m2urd4nev>j³d(o8j�v>~{~>i�g2d4m&v>oõ ° Zé ¤Köª Ë È Zé ¤³ç Ë ª Ë

Page 13: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

÷DøKùûúGüþý&ÿ ú�������ýÖü������ � ����������������������

� �"!$#%!'&(�")�#%)'*,+.-/�1032�46587:9;<>=@?BADC�E #%!�F C�E #%)'G�H��IKJ�I 587:9MLON �P��IQ�SR � L �"TU�SV$�"TXWY����IZR1VO� N[N/L R1�SV]\������U� 7:9_^ J`�"a A �") E #%)'G����A �"! E #�!bGc�dT�e ? LON?BADC�E #%!�F C�E #%)[G�+fhghijlkMmonYp1q1r8s[s[stp1q jYu vw x 4 ;<Ky�zc{}|S~ ���� -/�10��� � 4;< j������ 2 vw y A q ��� r��Qq � Gb� � �w y v�� � q �� =�� ���H��IKJ�I y + ���$�1���� j�� r �t��%� L T��1 Q¡,I1� q A #tG�+�� A #tG � � 7:9 A #tG£¢�IQ����IYT�I1� L T���I1W8J���� L ��T¥¤8�SJ L �S¢�VOI"¦� 7:9 A #§G¨¢©I L TªW�����I N �"VO«ª� L �"T�� ^ ����I�¬c«�V$IKJ[­t¡,�KW�J��STXW8I3I�®X«���� L �"T � ���¢l���������¯������� ? R1�STY¢�Io�HJ L �[��IKTQ� N

? + f�ghij�kMm u vw x 4 ;<�y z {°|d~±���� n p1q1r�s/s[stp1q j -/�10 A �c²�³µ´X² G�H��IKJ�I ² + ¶··¸ q1r���q j

¹°ºº» �ST�e ² ³ LON¼L � N ��J��ST N \©� N I �>½ J L ��I¾����I¥¿1À"Á¾ÁZÂdÃbÄ1ÅbÆaZ�K��J LÈÇ ´ ���R����X�����������K�

n p1q1r�s/s[stp1q j -/�É0 A �ʲ�³"´X² G�Ë n p j q - �1Ì/Í Î'Ì + x j�Ï �Ð p -# ´ÑÒ� L T��1 ÔÓ L ��W8��T��SV L$Õ I ´ ¢�Ö��dTY��J����SW��"T��SVMaQ����J L:Ç �Ò×��el�Ø¡,I1�¼Ù � Ú�Û Ü6ÝÞàß j p -# ´ Ë p -'# ´�áj Ëâ0 j � Ó3IÉã�T�I�ä�åæäçaQ���PJ L R1I N ´�á� �������HR1�"TX­N[L$N �]� ^ �P��I�ã�J N �ÔäHJ���� N �ST�eçä£R1�"VO«�aQT N � ^ ´�áj �ST�e¼�H��� N I£e�I1��IKJ�a L T��ST�� N�SJ�Io0 � ��è Ö.I Ç \��dT�e L TXW ´�á��� r L T¥a L T��"J NHN ���K�é����I ^ �"V$VO��� L TªWâJ�I�R1«�J N[L ��T^ �"J`aê«�VO� ^ �"J�����I�0 �  0 ��� r + A w � y � � � Gë0 � � 0 � � r äì+ � E s[s[s E'í A w�î�� G

Page 14: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ï/ðñ�òSóõô,ò1öH÷�øOùtú©ûýü'þ1ÿ�������ù©û.ù����1ü��� �����������ö�����ö ñ������Só��� "!�#��Oò$�Øö%�&��ö'�( ö���ò#(�� "�:öcü*) +$,t÷�øOùtú-����ö��(�/.�ò��Bö%��ò�ò$021&�Kö����� 354 ÷3 ù 4 û7698 4 ÷�øOùtú�:�:ö����( &�:ö��(��#<;5�= ����Èö��(�� &��÷�ø$ù�ûYù � ú�û>+�,5?A@�BDCFE�CFGIH?JC û ï �ñK�±óMLN�&�$�¯ö�����öOJP�Q$ù�Q/RSP���ù��/T,ûVU W 8ðYX2Z\[]9^\_F` øa8cbcúed P1þ�f Z W 8ðg[]-^\_F` øa8hbØúgi øJP 4Q �jP 4� úgk/l ^ øm8cbØúN6 ð P��nP=Q(oAp�:��ò���òbYûYù Q 6¾ù � ����(���qLN�&�$�¯ö���òr;5�� "!<�=�s�Èö��(�� t!��u��!�ò$�Pönvw 3 Pyx{z�|Éø}P 4 ,�ù 4/~ PNxn,%ù�x%úIz�|1øJPyx{,�ù{x ~ P���,�ùA�'ú�û�z�|Éø}P 4 ,�ù 4/~ P���,%ù\�ú�:��ò���ò�z�|Éø}Pyx{,�ù{x ~ P���,%ù\�ú����¾ö���ò�����òKò�!��u��!�������ö����Uñ�LN���21��u�������a���(����ó��:�yvò5��!&#(�(;5�Èö�#mv�!©ò$�/������ ��( 2�çö���òr�( �ö�ò5�y����#Ôñ��{�J��������������1&�[ò;5�� "!�#$ò1ö�ò$ �ò5����ó�����(�$��ñI�"ó��Bò$�����Kv¾ö���ò�`ò$#(��ö��(�=

i�� � , � ÿ o�û¢¡ ZA[] d£"¤ ü � ÿK¥%¦§¥�:��ò���ò�¨�ª© W¬«­?JC û ¨þ®67¯ «°± �� &��ö%��ò��`ò$#(��ö��(�= W 3 4 ¨P3 ù 4 û 3 ¨�3 ù û d³² ¨´ � ïð £ ¡ 3 ¨P3 ùqµ ¨¦ 6¶¨¦ µ 3 ¨P3 ù ¤¸·§¹

ñI��ó³�Bò$�����Kv¾ö���òr;5�� �ö��( 21&�:ö/vêò$021&��ö%���� º�»º ù �¼¨½M¾5¿ ¨�ûÀ+

Page 15: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Á�Â7ÃÅÄ�ÆÈÇ®É�Ä�ÊÌË®ÍcÇ-ÆÈÊÎnÏ�Ð Ñ�ÒÓ:ÔaÕ�Ö�×ØrÙ ÔaÚNÛ�Ü"ÝyÞ

×ØMß¼àÈáâãtä�å�æ}çéè ×êMë ç§ìNíïî�ðã�ñgò ×óMô ç ôSõ{ö

÷�ø(ù$úüû ÜtÛ$ý�Û$þeÕ�ÿ���Ü�����ÚNÛ��cÔ�ÜÕ�Ö�Û��&ÿ�Û��Û�Ü�þ5Û������ &Ü�Ô����ÿ������ Ù Ü&Û5Õ�Ô(þ���Û$ý��Ô�Ü"Õ�Ö&Û�������Ô�ÿ�Û$þeÕ�Ô��=Ü æ ×� ß�� �� ì ø! �#"%$ Ú&��ý� '�$Õ�Û (*) +-, ) .�/0,Ó:Ö&Û$ÿ�Û ) +�132+ í�ð ó +ñ , ) .4152. í�ð ó .ñ ö! Ý6"87*Þ>þ9�:���'��ÿ�Ô(Ü Ù Õ�Ö�Û<;��=�"Ô�ýmÕ���Ü�Ô���Ü���Ü>�ªÕ�Ö�Ûþ9�:���? �Õ@��Õ�Ô��=Ü"ÿ�Û$ý���Õ%Ô���Ü�=Ý2Õ���Ô(Ü�Û���Ô(Ü ! �#"�Ó:ÔmÕ�Ö�Õ%Ö'�:��ÛA���Õ�Ö�ÛB��Ü�ÛC�D�&Ô��"Û�Ü>��Ô���Ü'��ý9�:��þ5Ô(ý(ý���Õ@�=ÿ��&ÿ���Ý�ý�Û���Ö'�$Ó Ö>��Ó¼Ó®Ûrþ9��Ü�Ô����"Û���Ô���Õ�Û5ýmÞÓ:ÿuÔmÕ�Û�Õ�Ö&Û�Û�Ü�Û$ÿ Ù Þ�Û$Ô Ù Û$ÜyÚ:��ý� &Û�A�=�EGFIH J*ß áâ õ�K õL ã M à ô ð � ô áâã�ñ ä î�NOM ÑL ò ,Ó:Ö&Û$ÿ�Û áâ K Ô���Õ�Ö&Û�þ9��ÜyÕ�Ô�ÜP >�: '��Û$Ô Ù Û$ÜyÚ&��ý� �Û���-Õ�Ö�Û 2Q �#�<Û$ÿ���Õ���ÿ���Ü>� N Ô��R�Ü'��Ü�Ü&Û Ù ��Õ�ÔmÚ2ÛüÔ(ÜyÕ�Û Ù Û$ÿ®Ô(Ü&þ5ý� '��Ô(Ü ÙTS Û�ÿ�� ø÷�ø�ù=UWV ��Ü>��Ô���Û$ÿB�X�'��ÿ�Õ�Ô(þ5ý(ÛR��Y���=�Z� ã ��Ü'� þeÖ>��ÿ Ù Û�[ÈÔ(Ü ��Ü Ô����<Û$Ü&Û5Õ�ÿ���Ý�ý�ÛþeÞ�ý�Ô(Ü'��Û$ÿMÓ:ÔaÕ%Ö�ÿ��=�&Ô� >�]\^��Ü'��Ö�Û$Ô Ù ÖyÕ�_ ø û ý���Ü Ù Õ�Ö�Û?��`�Ô�����*Õ%Ö&ÛtþeÞ�ý(Ô(Üa��&Û$ÿ®ÿ� &Ü>���rÕ�Ö�Ô�ÜYb�Ô����<Û�Ü�Û5Õ�ÿ���Ý&ý(Û��c��ý(Û�Ü>��Ô��"þ9��ÿ�ÿ�Þ�Ô�Ü Ù � ��� Ù Ü&Û5Õ�Ô(þedf P`hg øV ��ý�þ9 �ý���Õ�Û�Õ%Ö&Û Ù ÿ��: �Ü'�i�/Õ@��Õ�ÛrÛ$Ü�Û�ÿ Ù Þ3��Ü'� Ó8�gÚNÛjk &Ü�þeÕ�Ô��=Ü ø÷�ø�ùl"û �>��ÿ�Õ�Ô�þ5ý(ÛrÔ(Üm�=Ü�Ûn�&Ô��"Û�Ü>��Ô��=Ü ! íBo p�q pro "�Ô��W�Z &Ý&s�Û�þeÕ%Û�� Õ����þ9�=Ü>�/Õ���ÜyÕR���ÿuþ5Û��&Û$ÿ�ÔaÚ&��Ý�ý(Ûe�ÿ��:�t ßmu q , æ uwvix ì ö

Page 16: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

y{z|~}:�%���A���'����'��c�:�?�c�Y��������'� �9�:�������P�'�:�>�A�#���>���c�9���C���=�������������'�����3}=�}=�>�>����>����}����n�9�>�'����c�c���#�i���:�����'����'��c�:������&����k�'�>�������#���c�Y���9���������� 8¡|~���8¢£���c�9�>�c���>�����9¤'�����>}��W�-�'}¥�a�&���}=��� �'����>��5���A¦§���������>¨�}=�9���3�Y�¦r©�ª'« ¬�«®­

¯ °²±�³µ´�¶¸· ´�¹»º½¼�¾O¿ ÀZÁR¶Ã ´OÄ ³B¼XŸ¿ ÄÆ ¡�Ç]È �:�>�c���'��O}n�c�ÉP�'��>�9�����µÊ��>¨���O���=��}��@���:�>������>����c�������Ë���

ÌOÍÏÎ0ÐkÑÓÒÕÔ0Ö¸×~Ø�×~ÙPÚ © ÛZÜ�Ý�Þ>ß�àÕá=â Öã ä ÛcÜ�Ý�å>ß�àÕá Ñ Øã æ ÛcÜ�ÝXÞ'ßµàÕá=â Ùã ä© å?ç�è9é Íëê�ìCíZÒÏÐÓÑ=î�ï9ð�ñ Ñ ß ç�è9é Íëê è íZÒ�ÐÓÑ=ðÓò�ó�ñ Ñç{é Íôê è íZÒ�ÐÓÑ=ðÓò�ó ñ Ñ ç{é Íëê�ìCíZÒÏÐÓÑ=î�ï9ð ñ Ñ æ ­õ ��9}=�>�c�?���%���'�n�����:�>�r�>���:�¸��c���������������=��}��@���:�>��ö÷���T�C�>�Y����O���>}������'����c�ÉP�>���>�9�R���6�#�Y���}������#�>�ø���ø��ÉP�>��ù&}=¨���#�Y���W}�ú9ûÓüaý&þ�ÿ4���=��}��@���:��}¥�¸�:�P���Z�#���}��>��������}=�i}=�P�&¨���� ¡�� ���>��� ¡Æ ¡���� ��}=�P�&�'¨�}=�����:���������>� ����&��'���@}���� « � × � © � ��}�� ©����G���%��� �@}�������� }=�²���P���>���@���c����}=¨A}=�P��¨�����}=�Y�:�P�?���>����D}��>��� ¡ �Ã�����>�:�a�T�>�c���P�»���>��9�>�'¨����9���<�k�#��� ��� ���>��� Í�� Ò����� ���>�'���@���:�Yö��#�P��}=���§}=�^�9�>�'����c�c���:� ���:�5���>��>���#�>}=�>��¨������ �k�#� ���>���'�9� ���=��}�����»����}��@�Ë���m�Y�T�k�#�>�>�����»���'���:�����&���'}¥¨���@}���� �>�Ë���<�@�������R��� �#���>����� Ñ ¡Æ ¡ Æ�� �>�r��}9ùP�i���'�>�������:� ���T}��'}�������9¨��»�c�'�! c��������§��� }��c�>�'������9}¥¨�¨�����>�����9�������9}=¨��Y�=�������@��}=¨Y¦ Ô#"�Ú ���e�&��ùP��Ë���

$ Ô&%¬ Ú © Ô ¬(')�*')+-, Ú/.>Ô#"�Ú ­

Page 17: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

021�3�4*576987:;6=<?>A@�B�C�D!>�8FE)6=E�5G@�3*C�E HI

JLKNM)OQP�RSK�TVUXW�Y!UXT[Z]\^T`_&abWdceTfcXZhgikj OLZ?Pcml�npo`KXaqWrPsato^Uvu�wLx!K�yr\`U j OzZT`c�a2l*npo^KXa?K�{tUsato^U�|GcePPWr}`yrU�x!K�yd\^U~P�cXZ�uAn�U��)K��qce}�abK�WdTvnpo^U~T gi�� WrP�sU~K�P\^{tUX� jJL}�M��Vo`KXa�K�{tUAato^U�|`{tce}^K�}`WryrW�atWrU~P�Z�cN{�abo`U�|^K�{atWd_2yrU�atcp}GU�Z]ce\`T^��WrT�x[K�{�Wrce\`P��� P�atK~atUXP jJL_XM��m\^|`|GcePU�W�a�WrP��mT`c~npTsP�cN�)U~o`c~n�ato`K~a�R�� g�N� WdP�K�T)UXT^UX{Ye�?UXW�Y!UXT[Z]\^T`_&watWdceT)npW�ato�UXW�Y!UXT[x!K�yr\^U��� �OQT`�^Wr_2KXatU�o^cXnfn�U��)K2�¢¡�T^�F£p�#¤ �  

¥  §¦�¨�cNT^PWr�`U~{�K)|^K�{atWr_2ydU�npW�abo;K�T�©/ªk«­¬2©�ª^®2©/¯�K�T�Y!\^ydK�{��)ce�sU~TNab\`� JLce{P|`WrT�M�cXZ°ceT`U)\^T`W�a±cXZ�²³  ´J¶µpT^UsU2·^K��)|^ydU±cXZ°P\`_-ovK�|^K�{atWr_2ydU�WrP�abo`U�¸tw�sU~PceT�Mt �¹p\^K�T[at\^�ºwz�)UX_to^K�T`Wr_2K�yry��el�P\^_&o;K)|^K�{atWd_2yrU±WdP��^U~P_2{tWd}GU~�F}[�»K�[U2axmU~_�atce{�¼�¸2½¾ce{¿WrT g� {tU~|`{tU~PU~T[atKXatWrceTsK�n�K2xmU¿Z]\^T^_&atWdceT

¸tÀ#� g�Á�GÂqà g�mÄ Å ¼Æ¸2½npo`U~{tUF¼ g�[ÇzÅ ½�_2ce{t{tUXP�|kceT^�Fatc�K�|^K�{atWd_2yrU�KXa g� npW�ato;P|^WrTÈWrTFato^U ÅLÉ ato;�^W�w{�U~_&atWrceTk JLKNM*�Áo`c~nhU�·^|^ydWr_2W�aty��°ato`K~a�WdTm¡�T`W�atU~PWd�)K�y!{tcÊabKXatWrcNT^P7c�Z7¸ À � g�[� K�{tUpce}�atK�WdT^UX�}[�)K�_&atWrT�Y?npW�ato)ato^U�cN|GU~{tKXatce{

ËGÌÍ Â H=Î Ågϲ³�Ð � gi�Ñ gÒ � �ÔÓXÕ H �

npo`U~{tU gi ÂhÖ× Àeؤ�Ù gÚ  �Û�U�abUX{t�)WdT^U gÒhÜJL}�M��Áo^cXnÝato^KXa gi K�T`� gÒ _2ce�)��\�abU� JL_XM��mo^cXnVato`K~a gÒ WrP�K�xmU~_&atce{�cN|GU~{tKXatce{2 JL��M��mo^cXnVato`K~a gÚ Ù g¸~� g�[�G ÞÖ ×/ß

� gÒ Ð gàe� g¸�npo^U~{�U gà WrP�ato`U��)ce�)UXT[at\^�Sce|GUX{wKXatce{2 

¥  �áF�âU�K�{tU�atc;K��^�ãK�TmY!\`yrK�{)�)ce�sU~TNabK¢ä Þ Â H K�T^�Èä �  H atcFZ]ce{t�ä »å~Ç H Ç K�T^�)æ�P�atKXatU~P& �ç�PWrT�Yèato^U�ydK��`�^UX{�ce|kU~{tKXatce{��)U�ato^cm�±U�·^|^{tUXPP¾K�ydy

Page 18: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

é�ê

ëLì^írì`î�ï7ð2ñ òóîXí�ô!îXì^õ[î2öt÷�ídì)ötî~ø�ù)÷�ú�ûpü ð&ýrðtþÿ ò�ý/ò�þ������âøtí�ötî��Áú�^ø��ì`÷ ��î~ø��÷

ü ð�� é ñzò�� é ��� é� � ü���ñ������

é� � ü �Xñ����zñ������ñ ���! �#"

��$^îXøtî%�&�ì(')��÷�ö*�ì+'sû]úeøpò�ý-, þ.� é ñ��Xñ^øtî~÷�/Gî!0&ötí21mî�32�4�

5 �76�ë8Nï:9�úeì`÷�öbø;�(0&ö<¢÷�/($^îXøtí=0�>3�ötîXì^÷úeøpú�û ø*�ì^õ é ú4��öpúXû¾ö���ú?'`í2@ îXøtî~ì[ö1Áî!0&ötúeøt÷BAC �D� C(E ñ C(F ñ C(G " �ì+'HAI �J� IKE ñ I!F ñ IKG " �MLON(/+3rí=02í�ö*32�P�pø�í�ötî?Q�R ýTSU ýV, W írìötî~øtù)÷�úXû C(E , F , G �ì+' IKE , F , G �ëYX�ï)9�úeì`÷Qötø*�+0&öZ�÷�/($^îXøtí=0�>3�ötîXì^÷úeø»ú�û?ø*�ì^õ � ú4��ö úXû±ö���ú['`í2@ îXøtî~ì[ö1Áî!0&ötúeøt÷[AC �ì(' AI �Z��øtí�öbî\'`úK�pì�î#N(/(3dí=02í�ö*3]�ZQ�R þVSU þY, U ýV, W írìÈötî~øtùs÷�úXû C(E , F , G�ì(' I!E , F , G �

5 �2^)ë8Nï_LO1`>3=�+Xöbîab

cedf aü g R a Sc+ceh �=i " ü

þ ò

û]úeø��ìj�°ð�ë]ídì[ötî2ô!îXø=úeø�$(>3 ûlk írì[ötî�ô!î~ø&ï*mXö*$^î~ì%0n$`îK0&õ��Áú4�`ø��ì`÷���îXø�û]úeø�ð�� ýþ �ëYX�ïMoAøtú!1Áîpeû]úeø��ìj�±ð4p

abcedf a

ò þ üqg!R a Sceh�c �ri " üþ � ýþ ð4� ðs� é "KtVuwv ix�ºò�y þ � ýþ ���ez�{ t þ i|� é " �

}2~P�V�����|��$^íd÷�0��ì�Xkî�/`øtú!1Áî!'�írì;ù��ìj�)�:��^÷�����ú4�;ù���jp`û]úeøèídì^÷�ö*�ì(02î4pî�N(�ù)ídì^î¢ö*$^î)øtúÊö�XötírúNì(>3�/^ø�ú4/Gî~øböbídî~÷�ú�û�� þG �`÷�ídìmôFö�$`î)÷�/($`î~øtír0��3¿ë]ídøtøtî#k'(�+02í=X(3dî�ï�ötî~ì`÷úeø�3r�ì�ô`�(Xô!î���

5 �w�´ëYNï|��øtí�ötî���4p��4�>p��ì('���� þ �Z� þ " �÷P02úNù�/Gúeì`î~ì[öt÷�úXû�»÷�/($`î~øtír0��3ëLírøtøtî!'(�+02í=X(3dî�ï*ötî~ì^÷úeø¿úXû ø;�ì`õ � �

Page 19: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

���)���.�?�?���� ��¢¡V£[¤:¥(¦s£:��¥��§�?��¨�©�¦s£�¡ ¨�� ª;«

¬Y­¯®_°_±+²|²#³(´µ²K¶�·*¸!·*¹=º4»\¼j¸�½r¾(²¿ÁÀJÂ�ÃTÄ�ÅTÆ�Å�Ç�È�Æ�ÉËÊTÌ�Í�Î�Ï�Ð*Î�Ñ�É Ä�ÅTÆ�Å�Ç�È�Æ>Ò

¹rÓ:Ô�»(º!Õ�»¢¸�ÓÖ·*±(²�×>Ø(ÙjÚ`Û�ØÜ�Ý`ÞrßPà\Ý`àáßKâ�ãTä�åO¼`¸>½=¾(¸!·*²ÂnÃ�ĵÅ�Æ�Å�Ç�æ=ÉËÊ�ç Î Ï�è Î Ñ�É Ä�Å�Æ�ÅéÇêÈ�Æ>ÒéÅ

¬-Õ�±+²Kë*² Ç æ È�Æ�Å�ÆµÏ ª Å�ƵÏ�ì!Åîí�í�í ®ï¹r»?·*²Kë;ð�Óñº!ò ¿ ¸>»(ó\¸>´(´(ë;º4´(ë*¹r¸!·�²�ô_½r²K­+Óî¶�±�õö º4ë*ó+¸>»)¶�º�²�÷�¶�¹=²!»j·�Ó�ä

ø ù�ú�û û ü�ý�þµú ÿ�� ��������ý��?û ü� �����?ÿ���� ä�� ¬8¸®���Ó�Óî¾+ð�¹=»��Á·�±+¸!·�·*±+²���¸�ðá¹=½2·*º4»+¹=¸>» ¹=Ó\¹=»j¼`¸>ë*¹r¸>»j· ¾+»(ó(²!ë\·*¹=ð�²ë;²�¼�²Kë*Ó�¸>½��4´+ë*º!¼ ²�·*±(¸!·�·*±+²:Õ:¸�¼�²sò-¾+»(¶�·*¹=º»?ò8º4ë�¸�Ó�´(¹r»(½r²KÓ�Ó�»(º»(ó(²��`²K»+²Kë*¸!·*²Ó��(Ó�·*²Kð ¸!·�¸>»�� �`¹2¼�²K» ¹=»+Ó�·�¸>»j·\º!ò<·*¹=ðá²�¶�¸>» ¸>½2Õ:¸!�(Ó?­µ²)¶�±(ºÓî²!» ·*º�­�²ë;²K¸>½Vä¬Y­¯®<°_±+²%ÕM¸#¼ ² ò-¾+»(¶�·*¹=º»)ò8º4ë?¸á´(½=¸>»+²�õYÕM¸#¼ ²?Ó�·*¸!·�²\¸!·#" È%$ ¹rÓ&�`¹]¼ ²!»Z­��¸?¶�ºð�´(½r²�³?ò8¾+»(¶�·*¹=º4» Â�')(*,+ (-/.�0 1 ä32§±��¢ó(º�²KÓ�·*±+¹=Ó:»(º ·:¼(¹=º4½r¸K·*²�·*¹rð�²�õ�ë*²�¼j²Kë*Ó�¸>½¹r»j¼`¸>ë*¹=¸>»+¶�²54

� ä76�8�²#·:9 Ê<;= æ Ñ ­µ²�·*±+²?ð�º4ð�²!»j·î¾(ð%õ�Ó�´(¸>¶�²�Õ:¸�¼�²�ò8¾(»+¶�·*¹=º4»áò8º4ë�Ó�·*¸!·*² É Ä¯Ò �·*±+¸K·�¹rÓ>�?9 Ê<;= æ Ñ�È Ã>;= æ É Ä¯Ò äA@ Ó�·*±(²�ð�º4ðá²K»·�¾+ð%õéÓ�´(¸>¶�²ÖÕM¸#¼ ²Öò8¾(»+¶�·�¹rº4»áò8º4ë:·*±+²·*¹rð�²�õ�ë*²�¼`²!ë*Ó�²�ó[Ó ·*¸!·*²CB É Ä¯Ò �`¹]¼ ²!» ­��D9 Ê>;= æ �&9 ÊYÏ#;= æ Ñ �&9FE Ê>;= æ Ñ ��º4ëG9FE ÊYÏ�;= æ Ñ 4H ¾(Ó�·*¹wò��I��º4¾(ë�¸�»+Ó�ÕM²!ë�ä

� äKJML�²!¸�óBÓ�²K¶�·*¹=º4» � äKJá¹=»CN ¸>Ô�¾(ë;¸�¹ ·*º�ë*²�ò8ë*²!Ó�±G��º4¾(ë�Ô�»+º!Õ�½=²Kó��`²?º!ò_·*±+²O ¾+¸>»j·�¾+ð ðá²K¶�±(¸>»(¹r¶�Ó_º!ò�´µ²Kë;¹=º�ó(¹r¶�´µº ·�²!»j·*¹=¸>½=Ó�äQP_º4¾)Ô�»(º!Õ ·*±+¸K·�·*±(²�²K»�õ²!ëR�S�(­+¸�»+ó(Ó�¹=»¢Ó=¹=ó+Ó�¸>ë*²?ó+²KÓ�¶�ë*¹=­�²Kó¢­���·*±(²?Ó�º\¶�¸�½r½=²!óUT:½rº�¶n± ò8¾(»(¶�·*¹rº4»(ÓVXWZY [ ò8¾(½r½]\�½=½=¹r»^�_� VXW�Y [*Ê�ç�`ba ѵÈZ ' [dc VXW�Y [;ÊTç Ñ

Page 20: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

egfhji_kml�kInporqtsuiXkIv�wmsRsuorx!k�x!ySzXq�suw5z�s!{}|Gvrw5~�k�vrqjs�iXkp~Xw5z_��{Qw�zX��suiXkIv�wmsRsuorx!k�MyS�Mkmz�s��_����orq�l�k�q�s�l�o�x>s�km�Is�y�s�iXk���l�orv�vryS�_orzM�!ySz_kI�����X��nS�,�X��n!���� l�ym��kts�i_wms:w5z��U��vry^x<ip���Xz_x>s�o�y�zGx!w�zG~�k�hjl�o7sRsukmzUw5q>{�X��� �� �¡�¢�£�¤ ¥S¦_§��� �¡ �©¨ ª ¢¬« ª �

¥S¦

hji_kml�k&s�i_k�qR�X� o�q­y��^k�l�w�vrv�v�wmsRs�o�x!kt�^k�x>s�ySl�q­¨ ª��j®d¯/zIs�i_orq°qRor�p~Xv�ktySz_k��Xo]±�Mk�zXqRo�ySzXw�v�²_l�yS~Xv�km� ¨³ª £�´ nS{µ~_�^sts�i_k¶x!ySzXq/s�l��Xx>s�o�ySz¸·Fk�zXk�l�w5vro��!k�q�kmw5qgorv]�s�y�s�iXl�k�k��Xo��Mkmz_qRo�y�z_q>�]¹��º i_k»�¬�_z_x>s�orySz_q § � w5l�k¼x!w�vrv�km�©½%w5z_zXo�kml��¬�Xz_x>s�o�ySzXq>{³w5zX�¾w5l�k¼o��M²�ySlR±s�w�z�s­o�z¼s�i_k�s�o7·Fi�sR±¿~Xo�z_�Xo�z�·��_kmqgx!lZo�²^s�orySz�ym� qgy�v�o��Xq>�ÁÀ^i_ymhÂs�i_wmsÁs�iXkj½Ãw5z^±z_ork�l­�¬�Xz_x>s�o�ySzXq�w5l�k�x!y�l�l�k�qR²�y�z_�_orz^·¶s�y��Xo]Ä}kml�k�z�s­qgo7s�k�q�w5z_�ÆÅ�ySlj�Xo]Ä}kml�k�z�s~_w5z_�Xq&w�lZk�ySlusuiXy5·FySzXw5v�{ ´¬Ç�«<Ç ²_l�ym�^kÈGÉ ¡�§5ÊË� �¡ �©¨³ª ¢�§S�� �¡ �©¨}Ì ¢�Í�Î ªÏÌ Î Ë �Ð orz�s!Ñ�ÒQÓ_²_w5z_��s�i_k §�� qÔo�zÕ��vry^x<iÖ���Xz_x>s�o�y�z_q�w5z_� �_qRk¼s�i_kmo�l#ySlRs�i_ySzXySlR±�Mw5v�o7s/�p²Xl�yS²�kmlRs�o�kmq<�

× � × À^�_²X²�ySqRk�wÕqR²Xo�z_vrk�qRq�²Xw5lRs�o�x!v�kGorqI~�yS�_zX�ØsuyCw�ÙXÓ_k��Øx!k�z�s�k�lI~��Ãw²�y5s�k�z�s�orw�vÛÚ  >Ü¡�¢ qRyGw5qRq/�_�¸k!s�l�o�x!w5v�s�i_wms»zXyUkmz_kmlR·S��v�k���kmv o�q��Xk!·Fkmz_kml�wmsuk��Ý qRo�z�·ps�iXk�s�o��¸k!±,l�k!�Fk!lZqgw5vµo�z���w�lZo�w5z_x!k&²_lZy��^kÞ Üß�à £Öá�¬ySl�w5z��Gk�zXk�lR·S�Gk�o7·Fk�zXq�suwms�kS�#® º i_orq&o�qjâ^zXymhjz�w5q�ã5äµå�æµç5èFé�æ�ê¶ym�°ySl�~_o7s�w�vw5z^·F�Xv�w5lÁ�MyS�¸k��#s��_�¸�]¹j¯d�µsuiXk­hëw���k����Xz_x>s�o�y�z¶ym�ÆqR�_x>i¶wjzXySz_�Xk!·Fkmz_kml�wmsukk�o7·Fk�zXq/s�wms�k�o�qtk!Ó_²Xw�zX�_km�Uw5q¤>ì#¤ ËØí ì Ë  �î>¢�ï Ëì  ñð � §^¢ �hji_wms�â^o�zX�Uym�Á²_iXw�qRk#l�k�q�s�l�orx>suorySz_q­�_y¼h�k�y�~^s�w5o�zGySz í ì Ë  ñî>¢dò

× �]ó º iXk Ð w5�Mo�v7suy�z_o�w5z¼�¬ySltw�qR²_orz e q��_q�sukm� o�q­·Fo7��kmzM~��ô £�õÁöµ÷øúùUû  �ö?÷ü � ö?÷ý ¢¿Ç

Page 21: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

þ!ÿ������������ ������������������������ ��� "!$#&%"')(+*-,/.10324!$53#6'87 9;:=<=>@? A&B�(C!EDGF-HI(+*-'JF-!$2C7LKM#/,6N;'8HO'8F-'82�P$QR'8,SP='8FUT.V(CKW(C'8.�KMF3H�'W,&P='WFX%YKM#6Z3'8.\[�]_^R.�0-,/F"T`H3'W0�'8F-H3'WFX(bacKM7L,6#&(C!$F-,/KMFd!WeG(C*3,6.�f",/F-HKMg\(CZ3KM#6#&Q�KM030�'8KM2C.h,6Fig;2�Q3.V(CKj#k03*XQ3.�,6g;.l[Smon�.�(C*-,/.hapKM7L,/#S(C!$F3,6KjF),/FX%=KM2C,6KjFX(Z-F3H-'82q(+,67L'�2C'r%s'W2C.�Kj#utvap!WwxH3!�(C*-'yF-!$2C7LKM#6,/N;'8Hi'W,&P='WF3.V(CKW(+'W.�Q"!$ZE!$5"T(CKM,/F-'8H)(C2CKMF3.ze_!$2C7 Z3F-H3'W2h(C,67L'd2C';%"'82C.�KM#{t

| }�~�~��������C� ��������� � �����c�q���� [6�L��!$F-.�,/H3'W2�KMF�,/.�!M(C2C!$0-,/g�*3KM2C7L!$F-,/g�!$.�g;,/#/#6KW(+!@2�,/F�? ����H3,67L'8F-.�,/!$F-.l[��*3'papKj7),/#&(C!$F-,/KMF1,/.�P=,&%"'8FL5XQ

����� �M� ¡\¢¤£ �M�¥¡\¢¤£ ¢�¦ �¡ §©¨ � £«ª �V¬]­K@m�®¯*3KW(�KM2C'�(C*3'�'8F-'82�P=,6'8.�!Web(C*-'�(C*32C'W'h#6!8w�'8.V(�T`#&Q3,/FUP°.V(CKW(+'W.4t�n�.�(C*3'W2C'KMFXQ�H-';P='WF3'W2CKMg\Q�t]­5±m�®v'�F-!Ww�KM030-#&QiK�0�'82+(+Z-2C53KW(C,/!@F²��J³ ¢°¦ � ¨$ªwh*-'82C'1³�,6.cK�H3,67L'8F-.�,6!$F3#6'8.�.h24'8KM#�F"Z3715�'82d71Z3g\*i.�7LKM#/#6'82d(C*3KMF�Z-F3,S(�Q=[´�,6F3Hµ(C*3'1N;'824!M(C*"T`!$2CH3'W2�'8F-'82�P@Q¶'8,SP='8F-f='r(hKMF3HE(C*3'1g;!$242C'8.�0�!$F-H3,6F"Pi'8F"T'W2�P$Q1(C!�D�2C.V(h!$2CH3'W2c·¸(+*-KW(¹,6.�(+*-'cZ-F30�'W2�(CZ32C5�'8HL'WF3'82+P$QL!$5"(CKM,/F-'8H�,/FE]_K@m0-#/Z-.�(C*3'qDG2C.V(�T`!$2CH3'W2d'8F3'W2�P$Q�.�*-,ºe (�»�e_!$2�'WKMgl*�!We�(C*3'q(+*-2C'8'�#6!Ww¹'W.�(�T`#&Q3,&FUP.V(CKW(C'8.\[]­gWm� "!$#&%"'�(C*-'���� £ ²v0-2C!$5-#/'87 9;:=<X>@?uA&BM[���!@7L03KM2C'�wh,&(C*1(C*3'd0�'W2�(CZ32C5-K8T(C,6!$F�24'8.�Z3#S(+.�!@5"(CKM,/F3'WH�,6F¶]­5±m+[¼¾½ !$Z�7LKrQyZ3.�'1¿{À$Á{ ¨ ÂÃÀ"Ä��EÅ ÆÇ$È ¡\¢�¦ §ÊÉ À £ � ³�Ë�ÌÎÍ Ë�Ï$Ð £ É ÀX³VË�ÌÑÍ ËCÒMÐ ¬`ÓÕÔ� [SÖh^×.VQ3.V(+'W7Ø(C*3KW(Ù*-Kj.Ú(C*32C'W'�Z3F30�'82�(CZ3245�'8H�.V(CKW(C'8.�g;KMF�5�'�24'80324'8.�'8FX(C'8H5XQ1(C*3'�0�'82�(CZ3245�'8HLapKM7L,/#S(C!$F3,6KjF17LKW(C2C,SÛÜÝÞ)ß Ð à áà ß Ð âá8ã â�ã ß �

ä{åæ

Page 22: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

çlèéhê3ëWìCë)íïî�ðñí�ò�ópô�ê-ëoõ"ö-÷jøXùCúSù+ú6ë8û�üo÷Mø3ýEþh÷MìCëÿù�����ë�ìCë��X÷jì4ý3ë8ýµ÷Mû���ë8ì�ùCö3ì��-÷8ùCú�$ø3û�ùCê-÷8ù�÷jì4ë�� �bùCê-ëhû�÷��Lë��$ì4ý3ë8ì�÷jø-ý1÷jì4ë°û�L÷�����������3÷MìCëWýpéhú&ùCêíïî���í�ò�ó���û�ëpùCê3ë�û�ë ���$ø3ý����$ì4ý3ë8ì�ø��$ø-ý3ë��=ë8ø-ë8ìC÷WùCë���ë8ì�ùCö3ì��3÷WùCú��$ø)ùCê3ë �@ì!ù����;÷���;ö��/÷WùCë�ùCê3ë"��ë8ì+ù+ö-ì���ëWýcëWú#�=ëWø%$=÷��&ö3ë8û\ó'&)(Vû�ùCê3ú6û*�-ì����;ë8ý-ö3ìCë"���$ìCìCë �\ù,+ -ô�ê-ë8øLý-ú/÷ �.�$ø-÷��/ú�/;ë�ùCê3ë0�L÷Wù+ì4ú#1pù2�43�ø3ý)ùCê3ëdë�13÷��\ù�ëWú#�=ëWø%$=÷��/ö3ë;û\ó65�ú/ø-÷����#!%7ö3û�ëEùCê3ëEû�ë ���@ø3ý��8�$ìCý-ë8ìLý-ë��=ëWø3ëWìC÷Wù+ë9��ë8ì+ù+ö-ì��3÷WùCú��@ø×ùCê-ë �$ì!Xó;:<�����3÷MìCëùCê3ëpùCê3ìCëWë�ìCëWû�ö=�&ùCû����Uù+÷Mú6ø3ë8ý�ó> ó@?9A �$ø-ë��`ý3ú�Lë8ø-û�ú�$ø3÷���ê3÷Mì����$ø-ú��B�$û�;ú����6÷Wù2�@ì�ú/û�ú/øOú&ùCû0�=ì��$ö-ø3ýRûVùC÷Wù+ë�)�$ìDC�E è óD5=�$ì'C6F è ú&ù�ú/û�û�ö��%G�ë �\ùCë8ý�ù���÷dùCú��)ë��`ý3ë ��ëWø3ý3ëWø$ù*�-ö"ù�û�3÷WùCú/÷����H!ö3ø-úI�)�$ì�� J K.L�M NO&_ø=�Mù��P�MùCëWøXù+ú6÷��)QH-cú/ø)ùCê3ë01�� ý-ú/ìCë �\ù+ú�$øP7

R�S C8TVU R�WYX�Z\[I]_^&­÷�-`�qû�ú6ø���ù+ú�Lë��`ý3ë ��ë8ø-ý3ë;øXùP��ëWì�ùCö3ì��-÷8ùCú�$ødùCê3ë �$ì!dù���3Gì4û�ù*�@ìCý3ëWì�7a�b�"ùC÷Mú/øùCê3ë4�3ì����-÷��3ú��6ú&ùc!d� �*3Gø-ý3ú/ø��oùCê3ë0�$û�;ú����6÷Wù2�@ì�ú6ø�úSù+ûe3Gì4û�ù�ë�1��;úSùCë8ý1ûVù+÷WùCëf�)�$ìC�ð è T`ó�g"ê��Wé ùCê3÷Wù�ùCê3ëBCDh i &kjl3Gø-ú&ùCë�-O�/ú��)ú&ù�� ��!m�@ö3ì�ë�1��3ìCëWû�û�ú�$øEú/ûú/ø-ý3ë ��ë8ø3ý-ë8øXù�� �ÙùCú�Lë$ó*(Vû�ùCê3ú/û�ìCë8÷Mû�$ø-÷a�=�/ë4�$ìhû�ö-ì��3ìCú6û�ú/ø���+

&k�n-�:�÷jø�é�ë43Gø-ýiê3úH�=ê3ëWìhë�1��;úSùCë8ý1ûVù+÷WùCë8û�+oqp �$ö��)÷�!Lö3û�ëlr_s�t_uqvVu s�wVUyx z{b| ç~}�� S�� sf�����c���� ���@ò=� � s%�Y���� � Z òcT����> ó@��:<�$ø-û�ú/ý3ëWìc÷��������P�$û�úSù+ëpûc!3ûVù+ë � �L÷Mý3ë�ö���� ��ù�é��Lû�3ú6ø òî ���%G�ë �\ùCûló�)�$ìlC�E è 7�ùCê-ë��c÷��Lú�&ù��$ø3ú6÷Mø ý=�"ë8ûoø=�Mùyý-ë ��ëWø3ý��$øIû�3ú/øR÷Mø-ý��;÷Mø���ëùC÷a�Xë8ø)ù��l��ë�/;ë8ì��B�%! û�ö-ú&ùC÷����#!�÷jý G�ö3ûVùCú/ø��)ù+ê-ëcëWø3ëWì��!�û�;÷��/ë@ó�5=�$ì�C�ð è 7ùCê3ë��p÷a�)ú��&ù��$ø-ú/÷Mø1ú/û"�=úH$sëWø��%!

� U������z{ îP 9¡¢ ò¤£ ¡¢ î �gsö=���P�$û�ë)ùCê3ë�ûY!3ûVùCë � ú/ûpú/ø¥u��¦�Dw��)�$ì§C�¨ è ó¦5�ú/ø-ýP7�÷Mû�÷��_ö3ø��\ùCú�$ø©�a�ùCú��Lëb7Mù+ê-ë��-ì����3÷��-ú��/úSùY!O�)�$ì"��ëWú/ø��f�)�$ö-ø3ý1ú/ø1ë8÷��\ê�� �bùCê3ë��)������8éhú6ø��cûVùC÷WùCë8ûu���ew�7'u���Dw87ªu����Dw�7ªu����ew�«

&­÷b-<¬"!�û���H$3ú/ø���ùCê3ë4�3ì����=�/ë � ë�13÷��\ù��#!=ó

Page 23: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

­�®�¯e°P°²±<³P´"µ�¶�¯'·VµY³6¸�¶�¹*·Vº�³6»'¼ ½ ¾¿)ÀnÁ�Â"Ã�ÄÅ�Æ#Ç�ÈÉ�ÊlË�Ì�Í�Î�Ï�Å�À�ÆÍ Ð Ñ�ÄÄ�Ò=Ð�È�É�ÊlË2Ì=Í4Ç.Ñ�Æ�ÈÓ�È#ËcÃÔÅ Õ'Ö¤Ï�ÄcË×8Å�Ï�Ó�Í ÏË�ÈÐ�Í�×8Ó�Í Î¤Í É�Ó=Í ÉbˤÎPÍ ÏË�Ò�Ï�À=Ñ Ë�ÈÅ�ÉOË�Ì�Í Å�ÏÃ�Ø�ÈHË�Ì�Ù�ÑaÄ6Ñ�Î²Í ÏË�Ò�Ï�À�Ñ Ë�È�Å�ÉOÄcØ�È#Ë�Ú,Ì�Í ÓÅbÉ�Ñ Ë'Û²ÜÞÝ ß'à�É�Ó=Í Ï'Ø�Ì=Ñ ËDÚ�Å�É=Ó�ÈHË2ÈÅ�É�Ó�Å�Í ÄD¿kÀVÁ6Ê.È#Ç�Í'Ë�Ì�Í�Ú�ÅbÏ�Ï�Í Ú,Ë'Ï�Í ÄÒ=Æ#Ë�Ä�á

â ß â�ã Ì=Í�Ê%Ï�Å�Ò�É=Ó�ÄcË�Ñ Ë�Í�ÅaÕäÑ4Ì%Ã�Ó�Ï�ÅåÊ.Í ÉlÑ Ë�Å�Ð ¿kæ0Ü ¾~çIè ÜéÝ�ÁêÈÄ<ÄÒ=À.ëÍ Ú,Ë�Í ÓË�ÅBÑ�Ë�È�Ð�Í�×�Ó=Í ÎPÍ�É=Ó�Í É%ËêβÅ�Ë�Í É%Ë�È�Ñ�ÆPÑ�Ä"Õ)Å�ÆÆ�Å Ø�Ä,ìí�î,ïð%ñ Û8òVÜ í óYôYõ�öî_÷aøeù�ú Û8ò8û

à0Ä�ÈÉ�ʦË�È�Ð�Í�×�Ó=Í ÎPÍ�É=Ó�Í É%Ë�ÎPÍ Ï2Ë2Ò=Ï�À�Ñ Ë�È�ÅbÉyË�Ì�Í Å�Ïà ç Å�À�Ë�Ñ�È�É�Ñ�É�Í�ü�Î�Ï�Í ÄÄ�ÈÅ�ÉÕ)Å�Ï4Ë�Ì=ÍlË�Ï�Ñ�É�ÄÈ#Ë�È�ÅbÉýÏ�Ñ Ë�Í�Ñ Ë4Ø�Ì�ÈÚ~̦Ë�Ì=Í�Í ÆÍ Ú,Ë�Ï�Å�ɦÈ�Ä0Í Ð�ÈHË�Ë�Í Ó�Ø�È#Ë�ÌyÐ�Å�×Ð�Í É%Ë�Ò�Ð ïþ ß"ÿ�Ì�Å Ø ç È�ÉlÎ�Ñ�ÏË�È�Ú�Ò=Æ�Ñ�Ï ç Ì�Å Ø ÃmÅ�ÒlÐ�Ñ�à Ú�ÅbÐ�Î�Ò�Ë2Í"Ë�Ì=Í�Ñ�É�Ê.Ò�ÆÑaÏÓ=È�ÄcË�Ï�È�À=Ò�Ë�È�ÅbÉ©Å Õ�Ë�Ì�Í�ÍcëÍ Ú,Ë�Í Ó Í ÆÍ Ú,Ë�Ï�Å�É ¿kÈ�É Ë�Í Ï�Ð�Ä�Å Õ � Ñ�É=Ó�� Ó�Í�ÖVÉ�Í ÓØ�ÈHË�Ì�Ï�Í ÄÎPÍ Ú,Ë'Ë2Å4Ë�Ì=Í ø ×�Ñ ü�ÈÄ�Á�ß���È�ÄÚ�Ò=Ä�Ä���� �����"Ë�Ì�Í�ÄÈÐ�È�ÆÑaÏ�È#Ë�È�Í�ĪÑaÉ=Ó�Ë�Ì=ÍÓ=È��`Í Ï�Í É=Ú�Í Ä�À²Í�ËYØ�Í Í É9Ë2Ì=È�Ä�Î=Ï�Å�À�ÆÍ Ð Ñ�É�Ó Ë�Ì�Íé¿kÐ�ÅbÏ�ÍlÏ�Í Ñ�Æ�ÈÄcË2ÈÚ Á Î=Ì�Å�Ë�Å�×Í Æ�Í Ú,Ë2Ï�È�Ú�Í��`Í Ú,Ë�ß�¿������ ������Å�Ï Ë2Ì=Í�ÈÉ�ÈHË2ÈÑ�ÆVØ�Ñ�ÇmÍ�Õ Ò=É�Ú,Ë�È�ÅbÉ�Ò�ÄÍ�! #"%$'& ()" ó î,ïð òPÜ ¾* +�,.-/ ó10!2354768�9':';=< û> Õ Ã�Å�ÒéÌ=Ñ�Ç�Í�ÑlÉ=Å�Ï�Ð�Ñ�Æ�È5?�Ñ Ë2ÈÅ�É�Î�Ï�Å�À=Æ�Í Ð ç Ë�Ì�֤ͧÉ�Ñ�ÆäØ�Ñ�ÇmÍ Õ)Ò�É�Ú,Ë�ÈÅ�É�Ð�Ñ�ÃÀ²Í�Ë�ÑA@.Í ÉlË�ÅdÀPÍ �CB�î,ïð òVÜ , ¾D 23 0E4GFIH

J�K HL :'M NØ�ÈHË�Ì D Ç�Í Ï2ÃdÆ�Ñ�ÏÊ.Í ç À=Ò�Ë"ÃmÅbÒÔÄÌ=Å�Ò�ÆÓ�ÀPÍOÑ�À�Æ�Í Ë2Å4ÄÌ�Å Ø Ë�Ì�Ñ Ë<Ë�Ì=Í�ÅbÀ�ÄÍ ÏÇ�×Ñ�À=Æ�Í4Í��`Í Ú,Ë2Ä"Ñ�Ï�Í4È�É�Ó=Í ÎPÍ É�Ó=Í É%Ë�Å Õ D ßHÁ

Page 24: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

OPO

Page 25: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Q RTSVU WVWXZY\[E] U_^ Ya` b

c1d

Page 26: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne
Page 27: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

e1fhg�ikj�l!monqprjtsAm�uwvyxyjzvkpE{|sk} ~1�� ���q�q���z� ���������������q�������E��%���q���%� ��¡�¢¤£¥�¦q§¨£�©z��ª ¦A«�£��#ª¤¦A� � £¬¢®­¨¯°©²±¤£³£¡µ´¶£�¤§¶£�©7�¸·º¹ »�¼¾½ ¿À�¬ÁC¦�Â�£¬¥�ÃÄ ¡�©7¡�¦A�_�ºªE£¬¥7¦¬©²�%¥�Ÿ�oÆ�±¤£¥7£�¡��z�¤�_¢ £�´¨£� £¬¥7¦A«1¯¶�Ç ¦%È�Éo¥7�¬ÊË£�©7± ¦¬© Ì

ÍÏÎ1Ð ÅhÑÒ» ¼ÔÓ¡5�z¦V�ËÕ¤Ö�ÖE�ºªr£¥7¦¬©7�º¥��Ç ­×ÈoØ\± ¦¬©À¡5�¸©7± £��#¡µ´¶� ¡µÙ�«�¦A� «�£��¬ÁÌÍ Î ÎÛÚÜ Í Î Ð Å®ÑÒ»�¼Ý¼ Ó» ¼ ÑÒ» ¼Ý¼|Þ

Ç «¬È!ßàÖ5Ö�Õ¤�à©7¥7¦¬©7£ Ç ¦%ÈC¦A� ¢ Ç ­×ÈCÕ ��¡5�Ë´qÅá��£�©�£¬âËÕ ¦AÖ¤©²�äãºåC�æÁ�¦���ª¤¡��èçé �G¯ �G©7£ Ä �Ðëê ÓíìCî î=ïæð�ñ�ò ó ê ò ¹Ýôk½Eõ î ê÷öøê÷ùÏú õ ò ù�ê÷ùÏû î=ò ê òÏñ¸üñ�ò�ý þ.óAñ öÌ

Í Î Ð ÅÿÑÒ» ¼ Ó ¹ ô×½�� ÌÍ Î Ð ÅhÑ_» ¼ Ó�� Í Î Î ¹ » ¼Ý¼ ½��ë» ¼Ý¼ ¹ ô×½� �� � � Î Î � � Í Î Î�� Í Î Î

ÌÍ Î Ð ÅÿÑÒ» ¼ Ó ¹Ý» ¼Ý¼ ½� � Í Î Î�� Í Î Î

ÌÍ Î Ð » ¼Ý¼ Ñw» ¼ Ó ¹Ý» ¼Ý¼ ½ Í Î Î���� Í Î��� ��� Ð�� ý � Ó

Ð5ú Óíì�� ê õ ö�� �Pù�ê7ö�ê÷ù ú õ ò ù ê÷ùÏû î'ò ê ò ñ ¹Ýôk½"! ñ !yõ$#$# ó ê&% ñ'( ÌÍ Î Î ÚÜ Í Î Ð ÅhÑÒ»�¼Ý¼ Ó» ¼ ÑÒ» ¼Ý¼*)+ ¹ ô×½,� '( Ì

Í Î Î ÚÜ Í Î Ð Å ÑÒ»�¼Ý¼ Ó» ¼ ÑÒ» ¼Ý¼-)+ ç� �� �� Í Î Î Î ¹ » ¼Ý¼Ý¼ ½.�ë» ¼Ý¼Ý¼ ¹ ô×½� � Í Î Î Î �ë» ¼Ý¼Ý¼ ¹Ýôk½ÌÍ Î Î ÚÜ Í Î Ð »�¼Ý¼Ý¼�Ñ_»�¼Ý¼ Ó» ¼ ÑÒ» ¼Ý¼ ¹Ý» ¼Ý¼Ý¼ ½"�

� � Í Î Î Î �ë» ¼Ý¼Ý¼ ¹Ýôk½0/ ÍÏÎ Î Î Í Î ¹ » ¼Ý¼Ý¼ ½*�1� » ¼ ¹ ô×½#¹Ý» ¼ ½32'( ÌÍ Î Î ÚÜ Í Î Ð ÅhÑ_»�¼Ý¼ Ó» ¼ ÑÒ» ¼Ý¼*)+ � ¹Ý» ¼ ½4�ë» ¼ ¹6587 Í Î � Ð�� ý ~ Ó9 � õ ò;: ù��=< ñ=>Gò î.ò � ò óAñoñ õ �1ñ ö ü¬ñ�ò ¹Ý»�¼Ô½ ý

Page 28: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

?A@BDC&EGFIH*JLK-M�N�O1PQSR ? BUTWVYX4Z[V\T�]^T_]`X.Z]aTWE4b*c"deJLKgfih�jlk4m=HfAk"d�mAK-jlJonijlpeq�jlH.K"T�VYX*m=p�rsT_]`Xt JoHdujlJ$nAjlpevwm&x$yzj=K"PQSR ? m&p�r|{PQ}R ? k�j=K[h�j=CUH�J$v�jlx$~Abg�6f����� B[M N ]�����E�� ����� B[M N ]����o�&E

� � PQ ? B�T�VYX4Z0V\Ti]�T_]`X4Z�]aTWE�] PQ ? BUTWV`X.Z[V\TlV�T_]`X.Z]aTWE��� � PQ ? B�T�VYX4Z0VaT=]�T_]`X.Z]aTWE�V PQ ? B�T�VYX4Z0V\TlV�T�]YX4Z�]aT�E �

� ��]YPQ T�]YX4Z]\T �I��PQ T�VYX4Z0VaT ���1]`PQe� T_]`X �� �� �Z�]aTWV`X.Z[V\T6����� B�ib_��Et dej kj t j¡d�m=v�j¢y�K[j�r�H�d�m&H\T�VYX.Z[V\TlV�T_]`X4Z�]aT6�£�ib¤ fik¥� � �£PQSR ? t j¡d�m=v�j�� � �$¦§ � � B0M N ]�� �¨� E� � ]�� �¨� � ���� � ¦§e©ª4« � B0M N ]�� �¨� �&EPQ}R ? ]¬� �¨� � M N V © ª� �PQSR ? V­PQ®R ?� �PQ � PQ ? B�T�VYX4Z0VaT=]�T_]`X.Z]aTWE�V PQ ? B�T�VYX4Z0V\TlV�T�]YX4Z�]aT�E �

� �PQ PQ TWVYX4Z[V\T6�¯TWV`X.Z[V\T�° B�ibW±�E�6Jo²|J$xLm&k�x$~´³ fik¢� � �1]YPQSR ? t j¡d�m=v�j�� � �$¦§ � � B[M N ]¬� �¨� E� � ]�� �¨� � �� � �o¦§Sµ�©ª4« � B[M N ]�� �¨� �&E]YPQSR ? ]�� �¨� � M N ] © ª� �]`PQ}R ? ]¶PQ®R ?� ] �PQ � PQ ? BUTWVYX4Z[V\TA]�T�]YX4Z]\T�E�] PQ ? B�T�VYX4Z0V\TlV�T�]YX4Z�]aT�E �

� ] �PQ B]YPQ T�]`X.Z]\T�Eg�¯T_]`X.Z]aT_° B�ib_·�E¸�¹»º½¼ ¾l¿�À�ÁÃÂ� ¾UÄ�¾UÅ=Æ�Ç À�¾|È�Á�É�Ê\Á8Å=É�Ë*ÆÌÀ�Á�ÍeÁ�Æ�À»ÎÏÆ�Áо�Å=Í�Å=ÆÌÉ�Ñ�ÒMÔÓ�ÕÖ Ê\À Å=×Æ�À»ÎÏÆ�Á}ØÏÍeÙ�Ú�Æ PQ}R ?�Û Ê\×�Æ�Ü&Æ ÕÖ À ¾\ͬÚÐÁ�À ÅaØ®Æ�ÝiÅ=É�Ü\Ù»Ä�À Á�Î�À�Á¶Å�×ÐÆÔÞ�ßià4¿�Ù�ÍeÁ�ÆáÅ�×ÐÍ�ÅÇ�ÍeÈÏÆ�¾âÍeÁ8ÍeÁ�Î}Ù Æáã½Ê\À»Å=×�Å=×�Æä¿*É�¾lÀ»Å�À»Ø®Æ|ßià4Í�å�À ¾i¹æ Í�ç¬è�Ú�¿�¿-É�¾lÆ M�é À ¾¬Ç�Æ�Íz¾lÚÐÜ=Æ�ê-¹¯ëì×�Í�Å�À ¾íÅ=×�Æ8¿ÐÜ=É�ËÐÍzËÐÀ Ù�À Å�ÄîÉ�ÑuÎÏÆ6ÅlÅ=À ÁïÎVYPQ}R ?6ð

Page 29: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ñiò8ó¡ôgõ¡ö¢÷YøÌù-õûúe÷`ü½ý;þ;õÿýgù���ú�� ������ ��������������������� ��!�"$#%�'&�"(!*),+-!*+/.1032��������4!*"52678.10:9;68.103<=8>?<A@�B�)1&DCE),��&F)�G4+H#����JI3�-)�KMLN!*+��OIP���'I5QRCS)1��&T��+�"?GU��&�"VKW)1&T�����X"(#���I3!*�J�I3�J"(�'"ZYD[]\�2_^�` � 2��J+��R^�abcedgf1h?ikjWlJiZmJf�dgjon'i�h?jpPqsrt uwvyx i�z v f v fJ{5|}i Y ~ d}jlDjWlJiZ�1pez�dgjWdgn'ik�y� vy� dbz v f1�Dd�z|g�'dgfJ{ dgfwjlJi �1�y���J| v fJi3�Jdgj�h v f��1i ~ qWdgjWji(fwdgfwjWlJi:�*p5|g|}p ~ d}fJ{ ~ v �rt [ r��� h?p3z Y�� r� 0 z�d}f Y 7W�5����=c3p �. � rt [ . � h?pez Y��X. 0 z8dgf YD[ ���}�?�8��� ��� �?¡�¢8£��g�?�¤�?� ¥P�¦�§�¢�¨[ ©�ª« � 7�¬­�k<®68��¬�9¯¬�9°<A69�¬¦=�± h�p3z Y��²©?ª« � 7?¬­�k<A69�¬(�³¬�9k<®6��4¬¦=�± z�d}f Y�@7W�5� � =c3dgf1h�i�jWlJiwz���z�jWi u dbzkdgf v f´i(d}{5i(f1z8j v jisp�� �.-� rt ~ dgjWlTi$dg{5i$fJn v |gmJi ª« ` � dgjkl v zZjpz v jWdbzµ� v �4jlJi:�*p5|}|gp ~ dgfJ{ i�¶�m v jd}p5f�. � rt ¬ �. � rt�· �k<%[ ª« ` � ¬ �. � rt�· �°<A@ 7W�5��¸�=¹ qp u 7W�5� � =�~ i:l v n�i�jl v j�. � rt»º[ ª« �½¼ h?p3z Y z8dgf Yz�dgf Y 9 h?pez Y;¾ @ 7W�5��¿�=

À lJiÁi$dg{5i$fJn v |gmJi�z v f1��i(d}{5i(f'�*mJf1h?d}p5f1z�p���jlJd�z�p5�1i(q v jpPqoh v fs�1iÂ�*pPmJf1��dÃ�Sp5f�i:z8p5|gn'i�zjlJi z�i�h?mJ| v qÄi�¶3m v jdgpPf��i$j 7 �.Å� rt 9;Æ1Ç�=�[]\ZÈ ��i(j ¼ ª« ` � h?pez Ys9;Æ ª« ` � z�d}f Yª« ` � z8dgf Y 9 ª« ` � h?pez YÉ9;Æ ¾ []\ZÈ9 ª« >Ê h?pez > Y��XÆ > 9 ª« >Ê z�d}f > YD[R\ËÈ Æ > 9 ª« >Ê []\ZÈ Æs[¯Ì ª« � @ 7�P�g�$\�=c3dgf1h�i:jlJi z8�Jz8ji u d�zÄdgfwjl�i°i$dg{5i$f1z�j v ji ¬ �.D� rt�· �k<�Í ¼FÎ Ï ¾ ~ i ~ dg|}|�l v n�iojWl v j

ª« � ¼ h?p3z Y z8dgf Yz�dgf Y 9 h?p3z YX¾ ¼ Î Ï ¾ [ ª« � ¼TÎ Ï ¾ È Ð Î h?pez Y�� Ï z�d}f YD[ ÎÎ z8dgf Ys9 Ï h?p3z YD[ ÏFÑ ÈÏ [ Î �o9 h?p3z Yz�dgf Y [ Î � z8dgf >�Ò >� z�dgf Ò > h?p3z Ò > [ Î j v f Y � @ 7�P�g�P�y=

Page 30: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ÓPÔÕÄÖ�×ÄØoÙ:Ø�Ú�ÛJ×oÚ�ÜbÝ�ÞË×WßJÙkÙ(àgáPÙ(Û1Ý8×®Úy×WÙwâ?ãä åçæè�é?êkë ×Þ4ì1Ù°Û�Þ5íîMÚyÜgà}ï(Ù�ð�ñ3×Wß1Úy×�àbÝ

ò'ó�êõô?óÄöø÷ ù ò'ó�ê-ò'ó ×®Ú�Û ó�ú Ó öø÷:ù ò'ó1û Þ3Ý ó�ú Ó ò'ó Ý�à}Û ó�ú Ó ö]û ÞeÝ ó�ú Óù ò ó ö]û ÞeÝ ó ú Ó ù òËö¯üËý û ÞeÝ ó ú Ó ö]û ÞeÝ ú Ó%þ ÿ ÷��g÷ Ó��ØoßJÙ$íÙo×ß�ÙoíÙ�Ú�Ü��1Þ3Ý�à}×à���Ù û ÞPÛ���Ù$Û�×Wà ÞPÛkß1Ú5Ý�ì1Ù(Ù(ÛËÖ1Ý8Ù�ðZàgÛË×WßJÙoÜbÚPÝ�×�Ý8×Ù�� � ßJà�Ý�îsÙ�Ú�Û1Ý×Wß1Úy×:×WßJÙ Ý�×AÚy×Ù àgÛ�ØoßJà û ßÉ×ßJÙ Ý���Ý�×WÙ(î àbÝÄà}ÛSñJàbÝoá5à���Ù(ÛÉàgÛw×Ù(íWîwÝÄÞ� �×ßJÙkÙ(à}á5Ù(Û1Ý8×®Ú�×Ù�ÝÞ� �×ßJÙ ä�� Þ��1Ù(íAÚy×ÞPí:ì��â ãäÅå�æè�é?êkë�ö û Þ3Ý ú Ó â êkëSê Ý8àgÛ ú Ó â�� ë�� ÿ ÷��g÷�� �

ÿ Ú ��� íÞPî ÿ���� ÷������g÷� � ØoÙ"!�Û�Þ5ØR×ß Úy×â ä�# é?êkë�ö ÷$ Ó â ê°ëSê ÷$ Ó â%� ë&� ÿ ÷��g÷'� �� Þ4×ß�Ù(��íÞ�� ÚyìJà}Ügàg×)�ËÞ� �áPÙ(××WàgÛJá ê+*,.- Ó ØoßJÙ(Û ä�# àbÝÄîÉÙ�Ú5Ý8ÖJíÙ�ð4àbÝÄá5à���Ù$Ûsì��///�0 ä # é?ê â ãäÅå�æè�é?êkë /// ó ö ///// 1 ÷$ Ó 0 ê â ê ÷$ Ó 0 �4â 243 û ÞeÝ ú Ó â êkëSê Ý�à}Û ú Ó â�� ë65 ///// óö ///// ÷$ Ó û ÞeÝ ú Ó ê ÷$ Ó Ý�à}Û ú Ó ///// óö ÷Ó û Þ3Ý ó�ú Ó ê ÷Ó Ý�à}Û ó�ú Ó êõû Þ3Ý ú Ó Ý�àgÛ ú Óö 7ó ê87ó Ý8àgÛ ú ö97ó ÿ ÷Äê Ý�à}Û ú � � ÿ ÷��g÷�: �� Þ5í ú ö<; Øoß�à û ßsîÉÙ�ÚyÛ1Ý�×ß1Ú�×Á×WßJÙ Ý���Ý�×WÙ(î à�ÝÄàgÛw×ß�ÙVâ ä�� é?êkë Ù(àgáPÙ(Û1Ý8×®Úy×WÙkØoÙ:ß1Ú��'Ùâ 0 ä�# é�ê â ä � é?êkë â ó ö 7ó ÿ ÷ � ö 7ó � ÿ ÷��g÷�= �� Þ5í ú ö?> - Ó ØoßJà û ßFîsÙ�ÚyÛ Ý°×ß Úy×Ë×ß�ÙwÝ���Ý�×WÙ(î à�ÝZàgÛ´×WßJÙ-â ä # é�ê°ë Ù(àgáPÙ(Û1Ý8×®Úy×WÙwØoÙß1Ú���Ù â 0 ä # é?ê â ä # é?êkë â ó�ö ÷�� ÿ ÷��g÷� �� Þ5í ú ö<> Øoß�à û ßsîÉÙ�ÚyÛ1Ý�×ß1Ú�×Á×WßJÙ Ý���Ý�×WÙ(î à�ÝÄàgÛw×ß�ÙVâ ä�� é � ë Ù$àgá5Ù$Û1Ý�×AÚy×ÙkØoÙ:ß Ú��'Ùâ 0 ä # é?ê â ä�� é � ë â ó�ö@7ó ÿ ÷ � öA7ó � ÿ ÷��g÷ Ô��

Page 31: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

B�CED"FG"HJI+KMLNGPO�I(QSRUTUGVRLXWYOZ [�\]_^.`Xacbed�f�ghbUijd�f�i k ]�l�mJn k l�mpoj`�qroXs k ltqm on4] k l�muo)`�q�v ]jwpxyw \ `z"{}| bY~h��� | l�m s �� [ ]r���(o

k n�������n+o k ����`X�l qm s �� q� ]'���+o k n�������n+o k ����`�]r���+o k n������%n(o k ����`X�ltqm s �� q� ]'���+o k �������%n(o k n���`� �j� �� s��� q� v ]jwpx [p� `� � k l m o�s �y�r� {�� [

k ����� {�� � � [k n�� � �� [ ]'���+o

k n�������n(o k ����`N�y�r� {� [ ���+o�� {�� � � [ �%n(o_�s �� [ �r� { � [ {�� � � [ ���� [ {�� � � [ �r� { � [ s9�� [ {�� � � �] k l�mpoj` q s �� q� {�� � q � f����k ltqm o�s � �r� { � [k ����� {�� � � [

k n�� � �� q� � �r� { � [ ���(o�� {�� � � [ �%n(o �s �� q�M� �r� { q � [ � {�� � q � [�� s9�� q� v ]jwpx [ w�`� � {�  ^ { i � i   i � ��¡ � �¢])w�xyw \ ` | b |U��£y£ d�f�g¤bk ]�l�mJn k l�m�o)`�qroXs9�� q� ])wYn {�� ��q � `Xs9�� q� �r� { q � v ]jwpx [p[ `f�����¥���f £y£�¦ k ]¨§©l�m�`�qro«ª�¬¤­�®�¯ °r±j® ²�³´s �� q�¶µ ]jwpx [p· `k ]¨§©l�m�`¸qro ª�¬¤¹�º q ®�¯ °�»�® ²�³ s � µ ]jwpx [�� `k ]¨§©l�m�` q o ª�¬¤­�®�¯ ° ± ®½¼h³ s �� q� v ]jwpx [p¾ `

Page 32: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

¿pÀÁ�ÂyÃ4ÄjÅÇÆÉÈÉÊ�ËÍÌ�Î_ÏÑÐÓÒ_ËhÌrÔ"ÕPÅ�ÖÑÔ�×¢ØÓˤÙ�ÎÛÚ�ËVÔ�Ê�ËMÜ�ÝpÊ.ÕVÅ�Ù�ީΫßÓˤà�áÓÅ�Ò«ÎâÔ'Öäãå×�ËhÌæÅ�Ìç ×�Ò«Ò_×hÕ�Ì�Â+èUÎ_Ù�ÌrÔ�×�éÓÌ�ËhÙêÚëËì)í¨îUï�ð4ñ�ò�í_óJï�ô�õuì'ï½îö�ð4ñÓï óXöjôø÷ Àç ×�ÙMÅ�ß.ÖùÝu×�ÏÑÐÓÒ_ËuúEß�áÓÏcéXˤ٠ñåû Ô�ÊÓËhß�Ý�ÊÓ×�×�Ì�Ë ñ Ϋß�Ì�áÓÝ�Ê�ÅüÕPÅ�ÖùÔ�ÊÓŤÔýÔ�ÊÓËÐÓÙ�ˤÝuËhØ�Ϋß�ãcΫß�Ëhà�áÓÅ�Ò_ÎÛÔ'ÖcÙ�ËhØ�áÓÝuˤÌæÔê×þÔ�ÊÓËþÜëÝ�Ê.ÕPÅ�Ù�ÞýÎ_ßÓˤà�áÓΫÒ_ÎÛÔrÖ�ÂÄjéÆýÜ�ÊÓפÕÿÔ�ÊÓŤÔýÔ�Ê�ËSˤà�áÓÎ_Ò«ÎÛÔrÖÑÌ�Îâãåß�Î«ß Ô�ÊÓËþãåËhß�ËhÙ�Å�Ò«Î_ÞuËhØ áÓßÓÝuˤÙ�Ô�Å�Ϋß.Ô'Ö Ù�Ë �ҫŤÔ�Ϋ×�ß ÊÓ×ÇÒ«ØÓÌ�Î ç Ô�ÊÓËMÌrÔ�ŤÔ�ËÍÎ_ß4à�á�ËhÌrÔ�Ϋ×�ß Ì�ÅhÔ�Î_Ì��ËhÌ��� ï½îö���ñ � ï½îöÕ�ÎÛÔ�Ê ñ ÐÓá�Ù�ËhÒâÖ��� ���������������ÂÄjݤÆ��JúÓÐ�Ò«Î_ÝuÎÛÔMÝuÅ�Ò_ÝuáÓÒ_ÅhÔ�Î_×�ßÓÌMá�Ì�Î_ß�ã ÔêÊ�Ë4á�Ì�áÓÅ�ÒVÙ�áÓÒ_ËhÌM× ç ÕPÅ�ÚëË ÏÑËhÝ�ÊÓÅ�ßÓÎ_ÝuÌÌ�ÊÓ×¤Õ Ô�Ê�ÅhÔ�Ô�ÊÓË ÕPÅ�ÚëË ç á�ßÓÝ�Ô�Ϋ×�ß ç ×�Ù©Å��ýÅ�áÓÌ�Ì�ΫÅ�ß ÕPÅ�ÚëË ÐÓÅ�Ý��.ËuÔæãåÎâÚëˤßÑé.Öí��� _ï î ö!� ì�"�#%$�&rô('�)+*�,�-/.103254 í76Çö8� 9: ; ì+� ; í+�.öjô &< $ & =Ì�ÅhÔ�Î_Ì��ËhÌ ÔêÊ�ËÍá�ßÓÝuˤÙ�Ô�Å�Î_ß.Ô'ÖcÙ�ËhÒ_ÅhÔ�Î_×�ß> í�ì � �.ô & ö > í)ì � 6Çô & ö?� 9: "�@A Ù�פÚ�Ë©Ô�ÊÓŤÔ�Ô�ÊÓ˶Ù�ˤà�áÓΫÙ�ËhÏÑˤß�Ôí+� ï � �ï½îö?� ÄjΫÏÑŤãåÎ_ßÓÅ�Ù�Öcß�áÓÏcéXËhÙ Æ í�� ï � 6Óï½îöΫÌýÎ_ßÓØ�ËhËhØ Ì�ÅhÔ�Î_Ì��ËhØ ç ×�Ù¶Ì�á�ÝpÊ ÅB�ýÅ�áÓÌ�Ì�ΫÅ�ß ÕPÅ�ÚëËMÐ�Å�Ý��.ËuÔ�CøÎ_ßùŤãåÙ�ˤËhÏÑˤß.ÔÕ�ÎÛÔ�Ê ÄjéÆ�Âì+D�ô!E�-GF1H�IKJBLNMODPLRQSIKTUDVH3DPTNW�X7LNT5DVT(Y[Z�L5DPLN-¶ï \êö?LNM�-GQSIK]7]^IKJRX^H�_`TN-/]aDVL(X7I�H[M�IK]cb�Zí�\uïd\�ö}÷ À @ ìNeKfg"�h�ôi M�XcZkj-VDVHOZ�L(MODVLRXlQmJR-onpM�I�I�Z�-©ïd\�ö?� ï½îö.ðÑñÓï óXö�JRMq-/T(-æñrXaZ!DsnpIKj0q]7-/.tH�u�jWO-/TwvJR-GJRX^]7]�MODPx1- ì)í¨îUï�ð4ñ ò í«óYï�ôÓõ�ì'ï½îö�ð4ñ�ï óNö)ôø÷ Àzy ìNeKfg"�{�ôí¨îUï½îöÓð ñåí¨îUï óXö�ð4ñ ò í_óJï½îö�ð�ï�ñÓï & í_óJï óXöX÷ À @ ìNeKfg"�|�ô

Page 33: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

}K~B�G���G�U���3�����������R�R�s���?����� ����+�m�R�o���K���p���������` [¡£¢t¤¦¥U§d¨�©(ª�¤S¥�§ ¥�©¬«(����­�®N�/¯1°7�K±²�k®(�/³c´P«(°^�K�[�R°7³^³�µO�¤+¨¶§ ¨·©?¢£¸g¹�º »V¼a¸½»�º ¹V¼¸g¹�º ¹V¼ ¢¾¸¿¹�º »V¼À¸½»�º ¹V¼¸g¹�º ¹Á¼  º ¸g¹�º »P¼Sº ø¿¹�º ¹V¼ÅÄÇÆ È¤�¨R§d¨�©5¤S¥�§ ¥�© Ä §g¤S¥�§ ¨·©w§dÉ/Ê Ë ��ÌgÍ�ÎÐÏÑ��K«N°a�p�G«N�O´P«R«N�����VÒ�±O´P³^°7«(Ó���°7Ô��Õ°^�[«(����³a´���«U®(�/³c´P«N°7�K�[����³aÖ��k�R�q�/�§d×/©�¡Ø§d¨�©   Ù§ ¥�©¬¡ Æ`È §d¨�©?¡£¢� m§ ¥�© Ë ��Ìg� Æ Ï«(�O´V«R°a�k°l�o§d¨�©Ú´P�OÖÛ§ ¥?©?´P®N�s�p��³7°^���V´P® Ì˦µ Ï!Ü ����±��²�p�/®(«Ý´P°^��«(Ót®(�/³c´P«(°^�K�[°a�

¤NË�Þ�ß Ï É ©Ý¤(Ë�Þà Ï É © Ä �á §â¤5ãâß`äpà�åS©/§ É Ê Ë ��Ìg�1�PÏÜ �[­�®(��¯���«(�q°a�G®(�/³c´P«N°7�K���R�s±O����«(���[æ1�p�q�R´P®Nç`°^���VÒ�±O´P³^°7«(ÓèË �KÌ¿ÍKÎ�Ï �S�K®t«(����¯1�V�p«(��®5�§d¨�©�¡éÞêßê§ ë²©·´P�OÖÛ§ ¥?©�¡ÇÞà[§dë�©��R��°c�p�Ô�°7¯1�V�¤NË�Þ�ß Ï É ©5¤(Ë+Þìà Ï É © Ä §g¤+ÞêßGÞàs©/§ É Ê Ë ��Ìg��ÍÐÏÜ �����VÒб²´P³7°^«(Ó���°7Ô��í°^�Õ«N��°a�k®N�/³a´V«(°^�K�[���K³cÖ��R´K�w�p�K®ÝÖ�°7��Ô�«(��Ë ��Ìg� Æ Ï �R���/�Þ�ßê§dë�©�¡Å qÞà[§dë�©5Ê Ë ��Ìg���ÐÏî �[«N�����K«(�q�/®R�O´P�²ÖÕ«(�q��®N°7Ô���«�ï+�O´P�²ÖÕ��°aÖ����V�RË �KÌg��ÍÐÏ °a�

§g¤+ÞêßGÞàs©/§ É ¡ �á §g¤Ýãðß`ä�à�妩/§ É Â �á §¿¤�ñ�Þ�ß`ä5Þàsò�©/§ É Ë ��Ìg�Vá�Ï�R��°a�p�tó�V´V�O��«(�O´V«k«(�q���VÒ�±O´V³7°7«NÓt��°7Ô��°7��«(�q��±��²�p�/®(«Ý´P°^��«(ÓG®N�/³a´V«(°^�K��Ë �KÌ¿���VÏ ����³aÖ��?°l��á §g¤�ñ�Þêßtä5Þìàsò�©w§ É ¡ Æ�È ¤�ñ�Þ�ß`ä5Þàsò�©Ù¡ ÆÈ ¤+ëô§ ÞêßGÞà  ÞàtÞ�ßê§dë�©Ù¡ Æ�õ^ö�÷ ø�øNùÈ  qú/¤�ë%§gË�Þà Ï É §dë�©   �¤�ë%§gË+Þìà Ï É § 벩�¡ ÆÈ Ë�     ú Ï ¤+ëô§¿Ë�Þà Ï É § 벩¬¡ Æ Ê Ë ��Ìg��ûÐÏÜ ��±O��«N�����VÒ�±O´P³^°7«(Ó���°7Ô��Õ°^�[«(����±��O���/®(«Ý´P°7�q«(Ó`®N�/³a´V«(°^�K�[���K³cÖ��k�R���/�Þ�ßê§ ë²©�¡� �Þà[§dë�© Ë ��Ìg��üÐÏ�R°7«(�3 r­�±�®(�w³7Ó°^ó[´PÔ�°7�O´V®(Ó Ì

Page 34: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ý�þÿ���������� ��� ������� ����������� �������gÿ���� ���!�"�#�����%$&���'�����������(� ���!�)�����������$ ÿ�� � � ���!�*�+��� � � �,�)- ÿ*.0/ ý21 �35476 ���98 6 ���;:<�� 4�= ���������9>?� �,��� �������¿ÿ@>�� �@>��"�#�����$ �ACBDFEE � � ��� � �����(� �@>��+��� � ����� ÿ*.0/ ýHG �I%J 6 EE � � ������� �,��$ �����K����� EE � � L A"�@>��M� �BD � ÿ�� � �N���!�*�*OPRQ O S$ �����K����� L A"�@>��BD � .þHQ O ÿ��T�R� ���!�"� S ÿ*.0/ ýHU �V 8XW JZY W 6*[@6 J 6"[@4Z\�['4 ÿ*.0/ ý0G ��]<�^����_���� � � �`>(�����a$ �@>b�)��� � �����?c ACBDþ0Q O ÿ�� � � ���!�*����� � � �,�d�N�'>b�+��� � � �,�$ AMBDþ0Q O ÿ�� � � ���!�"�e��� � �����%$ ACBDþ0Q O ��� � � ����� �,��f��� � ���g�������a$ �A þHQ OBD ��� � ���9>?� �,�)- ÿ*.0/ PRh �i�j'kml"nboqpsrut � n�v(w >_xzy r{t |(r~}2����� w(��v(n�t r�nZv?w����Kv?r_n����~����r_v!t;�(� �Kv��v(r�w?�K��r�v(�;�K�bv�j5���en��K�?n�t�r�t�|?r�}2��n��#�;��}2nZ�%����K�;�;��v y � n�}0�erut�������sÿ@>_x0���'�����"�K��� ���"�0-l y o¡p%r2t � nZv?w >�xgy r¢t |?rq}2��� � r��;£���v(w?�Kv�¤z¥��(n�v!t �(��¦+��r2}0|(n�v(��}2nZ���b£�r_� n�¦t ��� ��t |?�K�§t �K��rbj5���en��K�?n_t r¢t |?r�}2���~�¨��t n_t ���© ���"�;ª_«¢¬ A@> x�­BD¯®�° -l"}�o²±q�;�Kv�¤zt |(r7� r��#�?��tg� y t nZ��v(r�w³��vml y o ´d£?� ���µr�t |(n�t�;ª_« ¬ A@>_x ­BD¯® � � � �)� ÿ���� � � �s$ � � � � � �*�

Page 35: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

¶0· ¸¹�º»5¼9½�¾¿º²À�¼`Á¨Â<Ã<º�Â�¾�Ä�À�Å Æ0ÆÇ�ÈqÉ�ÊÌË_Ç�Í!Ë_Ê(ÈÏÎ É�Î ËzÐ�Ñ�Î Ò(Ë�Ó2Ð�Ð�Ô Õ?ÇKÊ(É�Î ËzÐbÖ�Ë_Ô É�Î Ð�Ô7×�Ø�ÙÚÒ?É�Î�ÇKÈÛÎ Ò(Ë�Ó2Ð�Ô Ô ËuÜÈ;Ö�ÐbÊ(Õ(Ç�Ê�Í�Ë_Ç�Í!Ë_Ê!ÝeÉ�ÞKß?Ë�àá�âuã�ä¨åæ�â�ç_å è ×�éÏê á'ë�ì ã�í'î�ïñð*ò�ò�óôî�ð*ïöõ ÷ ×÷ × ÷ ê á@ë�ì ã÷ ë�ì ø ÷ ×÷ ë_ì ÷ ê á@ë_ì�ã÷ ×ù ÷ ê á@ë ì ã÷ ë_ì ú á"ûHüñýZû�ãá�þ!ã�ä æ�å#ÿ × â�ÿ��gë ì â��"å����"å â��"å��qâ�� ��â�ÿ�����������å��"æ�â�ÿ����;â������å��+â�������� �<åæTâ�ç_å! ×�é å#"$�&%(' ë_ì�)*+-,/. ù 0 ×�é2134#5$6 á ' )Tã 4*+ 4 ë 4ì798;: ù 134#5$6 û7<8 á ' )�ã 4*+ 4

è ×�é ë 4ì íù 134#5$6 û7<8 á ' )�ã 4*+ 4 4�=�>3? 5$6 ë ?ìè ×�é ë�ì;í+ë 4�= ? =�>ìù 134#5@> û7<8 á ' )�ã 4*+�4 á ' *+ ã 4�=�>3? 5$6 ë ?ì ë 4�= ? =�>ì ù 134#5@> 7798 á ' )�ã 4�=�>*+ 4�=�> ë 4�=�>ì á ø )�ãù ø )A134�5@> ûá 7 ø û�ã 8 %B' )*+ ë�ì , 4�=�> ù ø )¿å�"C� %�' ë_ì�)*+D, ú á"ûHüñýFEuã

áG��ãdä�åæ�â ç�å5ÿ���× ! å#"$� %�' ë_ì�)*+-,(.IH ×KJMLONMPRQù å�"C� %�' ë�ì�)*+-, × H ×�JSL ø )�å�"$� %�' ë�ì�)*+-,TH ×KJMLù × J å�"C�U%B' ë�ì�)*+ , H × J L ø )�å�"$�&%(' ë�ì�)*+ , H × J Lù á × J ø )�ã2å�"C� %�' ë_ì�)*+D, H × J L ú á"ûHüñý Æ ãV �qå�"$�XW óZY�[)ð\ ]_^ H × J L ���â�ÿ�å#�a`0å#ÿ��b�)â��"åc��de�"æ�åc���å��)â����� × �2�a�"æzå��f`0å;ÿ�çRâ��f��å × J ø )�üV �g�<å��;â ÿT�2���f�"åH × J ø ) L ùih å�"$�U% ' ë�ì�)*+-, H × J L+é á"ûHüñýHý�ã�<æ�å��"å h �R�<âc�j�0ÿ��k�+â ÿ��2�<æ��R��æX�$�Zål����ÿ������â��a�fm â����a�HÿU�;â�ÿqþ�ån�)â�o_å;ÿc���gþbågûHü

Page 36: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

p�qr�sRtvu�w@xzy�{�|C}/~X���9~���|�����|$�c���/�<�

���b� �f�$�k����������� �b����� � � �f�$�G� ������G�G�b� �� ������������ ¡�¢��$�¤£(¥¦ �f�$�a�;�b�� �� � � £(§��a�C�a����c�9~${�~ £B§��a� � � �¨�f� � ����� w��9© £ ¦ �a� � � �ª�a� � �  «� w�{�~­¬®|�¬v~C�(��¯<¬±°�²#³<w�´ ~U�gw }/~��¯9�9´����|��9²su�µ�xz¶·�9w$�c��²¸���<~¹³<�(º9²���´ w��«²��R�B�<�R»�´ w��<´ ~¹|��¼�½$¾&¿ ���@À��¨Á ��c�9~${�~ � ��²U���<~³Ã|�²��R����|��Ä|�³«~C{�wC��|�{Tw��9© À ��²T²�|�¬v~_�/¯9¬_µ«~${c�c�Å���Æ���9~©9��¬v~C�<²#��|��v|$��¬v|�¬v~$����¯<¬vÇÉÈʯ<²Ë�����;º®ºÌ|�¯<{cw��9²j�g~C{ s

��ÍÎ�ÐÏ ¼IÑ Í�Ò ¼��Ó���a� � � �������Ô� �a� � � � ÕÖ ×�Ø Ù¡ ¢ � � ��� � ���G� � �k���Ú� ¡ ¢ � � �a� � ������� � ����� � � ���� ¡ ¢ � � � � �a� � ��� � ���G� � � ���«ÛMÜÝ ÕkÞ ß�Þ à�ákâ� ¡ ¢ � � � �äãlå Ý9æ ç;è�ékèêë ��� � ������ ã ¡�¢ �K� �� � � ¿ å Ý æ ç è é èêë Á ���b�� ��������� ���Ð�ì�b����� � �Ðí ¡î¢ �K� ãlå Ý æ ç è é èêë ���K��������ï� �b�� �� � � í ¡�¢ ���R�a�C�G�����M�����K������� ï �ð�b�� �� � � �f�$�k�����«ñ�a� � � �������Ô� �b�� �� � � �a� � ������ò ��óô qFõ ���ÓaÓ��

��  � ��� ���«�ð¡�¢��$���� �� �C�S���a�C�b� �������Ã�ö¡�¢��$�M£B¥¦ �a�C�a�k�k�� �� � � £B§��a�$�f��� ��óô qF÷ �ø2Ñ�¼#ù�¼�ø2¼IÑ Í�Ò ¼�ú�ûb¼�ü ��óô q õ �eÍ�ý üÿþ�Ñ Í þ �� �� � � �«�ì£ ¥¦ �f� � �eÍ�ý ü �a� � �����«�ì£(§��f� � ��ô

Page 37: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

����������� �������������������������� �� !#"%$'&)(�*,+.-/*1032546+�0 *178-:95;=<3>? @BA:C.DFE *5G)460H2JI/GLKM2J4 D +.I D IONP+�N:*1I846QRNSGT-/2.UV*XW�&)( D G�U12JI"Y*[Z6Q/GL4 D]\ *5^:"�_PU12JK`UVQ�KM254 D I C 4a(�*�bc+�KFKd+�e D I C +.-Y*f032J4a+�0gihkj *178-Ol/mon/pqrtsvu w x hkj�yz{1|8}O~��� l/m�nYpqrSs {1� w yz{f|�}O~��� l/mopqr:s {�� h%j n {��w yz{f|Y� ~��� l m�pqr�s { {z� |/� n {J� � � h%j n � n � ���w yz{f|Y�P~��� l%m�pqr�s { {z� |/� !6� m qr $ n {J�R� w yz{f|Y�P~��� l%m�pqr�s { � !a� m qr $ n {J�R�w yz{f|Y� ~! � � ~ $ � l mopqr s

{5��� n {J��� !6� m qr $ l m�pqr s w p yz{1|�}�~��� l mon/pqr s {w p *178- l%mon/pqrts:� ! ~ W����.$� +�e�(�*1I�46( D G�UV+.N:NBQR432J4a+�0[2�U�43G�+�I�2JI�* DFC *1I/GT4H2J4a*�� h��F� +5b�46(R*�NP+�N:*1I846QRN�+�-/*10L�2J46+.0�e�*�e D KdK%(/2 E *g hkj *178- l mon/pqr s%u � h � � w h g *f7�- l mon/pqr s � h � � u � g *178- l mon/pqr s%u h � � h � ���p *178-�l/mon/pqrts w h�g *f7�-�lkmon/pqr�s � h � � u � h � g *178-�l/mon/pqrtsvu � h � ���h�g *178-�l%mon/pqrts � h � � u w ! h �X� p $ g *178-:lkmon/pqrts � h � � u � ! ~ W�� �¡$&)(�Q/G�e�*¢(/2 E *�46(/254 *178- l/mon/pqr s � h � ��£¥¤ � h � � p �Hj ! ~ W�� ¦¡$e�(�*106* ¤ D G�2BU�+�I/GL432JIR4�e�( D UV(P^�Q�* 4a+BI�+.06N�25K Dd§ 2J4 D +�I�U12JI�"/*,4H2J¨8*1IB4a+B"/* ~ W

Page 38: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

©.ª« ¬®­�¯�°:±�­�² ³µ´O°�¯¶² ·5¸�¹ºk»c¼¾½À¿/Á�Â1ÃcÄ�Å8ÆBÇ5È�ÅOÂ1É�ÃcÁËÊHÉ�Æ5¿vÌXÅ8Â1Â1Ãc¿YÁÍÉ�Æ5¿YÎ�ÏcÅ�Ð Ä�Ã#ÂfÌXÑ�Â1ÂfÅ�ÄÒÃ#Á�Â1Å8Ì�Ç5Ãc¿/ÁÓºk»#¼ÃcÁÕÔËÖ�Ì�×vÂ1¿/Á�» ØÙÇÚÌXÖRÁÛÖ�ÏcÂ1¿ÜÎ�Å�Â1¿/ÏÞÝßÅ�ÄÍÃcÁàÇ5È�Å�áOÅ8Ã#ÂfÅ�ÁvÎ�Å8ÆãâäÉ�ÃcÌ�Ç5Ñ�Æ5ÅY»¢å�ÂfÃ#ÁvâÇ5È�Å�áOÖRÐàÃcÏMÇ5¿/Á�ÃcÖ�Á æèçêéìëËí5îï�ð�ñÚò/ó çÛô ò/ó5õö Æ5ÃMÇ5žÇãÈ�Å÷áOÅ8Ã#ÂfÅ�ÁvÎ�Å8Æãâ�Å8øvÑ�Ö�ÇãÃ#¿/Á�Â:¿�ù�ÐÍ¿�Ç5Ãc¿/Áàùa¿/Æ�Ç5È�žÇãÃ#ÐÍÅXÊ3Ä�Å�É�Å8Á�Ä�Å8ÁYÇ¿/É�Å�Æ5Ö�Çã¿YÆ5 ò/úXûcüÙýHþ�ò/ÿ5û#ü3ý3þ Ö�Á�Ä ò/ó5û#ü3ý »��v¿/ÏMÝvÅBÇ5È�Å8Ð Çã¿O¿/ÎËÇãÖ�Ã#Á ò/ú�� ÿ�� ó Ö�Â�ùaÑ�Á�Ì�ÊÇ5Ãc¿/Á�ÂÚ¿�ù�Ç5ÃcÐàÅ/»������� ���������������������������� �!��"#!$�%&('�) õ î )�* ç + )-, &.'0/ õ î /1* ç + /�2 û43�5!6Jý74$�8��9�:8;"����<=�>�&('0/ õ î /1* ç ? @BA '�) @ õ @CA î ) @�D�çE@BA '�) î ) @ìéF@BA î )G'H) @ç @CA &I'�) õ î )�* @�çJ@CA + ) @ ç + /�2 û43�5K3¡ýLM���CN0��#O�P��$�Q�����%R�TSU�<:��#!��$V�=�1WX����#!��$;%�# �>�:�Y ò/úY ü

ç 6Z�[\ & ò/úXõ æ * ç 6ZP[\ & ò/úXõ ô ò/ó *^] )�_�`Pa bca d4e�fç ôZ�[\ û é Z�[\ ò/ÿ5ý ç é�ô ò/ÿ�õ¥û43�5 © ýY ò/ÿY üç 6Z�[\ & ò/ÿ.õ æ * ç 6Z�[\ & ò/ÿ.õ ô ò/ó *g] )�_�`Pa b�a dhe�fç ôZ�[\ û Z�[\ ò/ú�ý çÛô ò/ú õ û43�5Ii�ýY ò/óY üç 6Z�[\ & ò ó õ æ * ç 6Z�[\ & ò ó õ ô ò ó * ] )�_�`Pa b�a d4e�fç j , ò ó çlk ��$��P��<=$m� 2 û43�5Kn¡ýo0#qpg������$m��#O<:��#!$�%B��$ k ��W;�������:S>� 5�ûr3�5 © ý <=$�8 û43>5(i�ý "��%����Y d ò/úY ü d

ç é�ô Y ò/ÿY ü ] d�a b�fç é�ô d ò/ú , ò/ú û#ü3ý ç ' k �s� ô üut î ��#!$ ô ü , ò/úXû j ý ç 'Y d ò/ÿY ü dç ô Y ò/úY ü ] d�a v�fç é ô d ò/ÿ , ò/ÿ.û#ü3ý ç + k �G� ô üutxw �P# $ ô ü , ò/ÿ5û j ý ç + 2yM����$z�����������m�����<=${8 Y ò/úY ü

ç é ô ò ÿ ,é ' ô ��#!$ ô ü|t î ôXk �G� ô ü ç é + ôXk �G� ô ü é w ô ��# $ ô ü ,' ç w + çêé î 2 û43�5 ª ý

Page 39: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

}�~����^�R�-�������-�����R�F����� �U��G�������{�=� �!� ���G������  ���G�4¡G�>¢£�G¤�¥1�§¦x��¨��r¡U�>¤P© �¥1� �rª�« � ���¨�������  ��¨��r¡U�>¢£�s¤�¥1�|¬­���G�4¡G�>¤�©!�®¥1� �rª�«K¯U���°:������  ��°:�4¡U��± �rª�«K²U�³g´O³Eµ�¶U·¹¸ �����Cº ¶»·T¼|¶J½G¾¿¾�À:ÁuÂ�ÃuÄ�·:¶J¾�Å1¶>À=Ä>·:¾�ÀXÆ�¾ÇÀFÄJÆ�À:¶�¶ÈÅuÄ�À�·:Â�½GÉ�¶JÂ�Ãʾ�Ã|¶Á|Â�ËE¶�ÃuÌ�Â�¾ÇÃÍÂ�Ãx·:¼u¶zι¶�Â�Ì�¶>à º ¶�À�ÏFÅuÂ�½�·:Ð|À:¶�´�Ñ0ÒgÄ�É�ÐuÄ�·:¶Ó ¸ ������Ô ¸ �4¡U�rÕ�±

ÖM×mØBÙ �=Ú;©!� Û�����©O�:��Ü���Ý��BÜ�Ý Ø9Ø�Þ �=Ý�Û�©ß¢£� Ø ©!�V��� Øáà © Ú Ø ��¤�©!���â©O¤Mã�©!ä Ø �æå��ç   è�éª�ê ± �4ª>« ë9¡U�ÖM× ©O¤1Ú Ø �=�{¤ìÛ × �=Û�Û ×�ØíÙ0Ø ©O¤ Ø ��å Ø Ý�ã Ø:îGï �=Û�© ���{¤ �=ÜuÚX��Û�©!���-Ü���Ý�Û ×�Ø � Þ�Ø Ý��:Û���Ý�¤ ¸ �=� àè;ð © � �gå Øñ è �����ñ �   ëò�óô Ó è ������Ô ç �����4Õ�  ëò�óôöõ÷è ������Ô�èmé �����ª�êùø  l¡Búè ������  è �4¡U� �4ª>« ë�ë=�ñ ¸ �����ñ �   ëò�óô Ó ¸ Ô ç Õ�  ëò�óôöõ ¸ ���c��Ô è é �����ª�ê ø   ëª�ê ò�óô ª è ����� òPóôû  è �����ê ü é�ý.þPþrÿ  è �4¡U�ê ú¸ ������  �ê è �4¡G�|¬ ¸ �r¡U��± �4ª>« ë9ªU�ÖM×�ï ¤ì�{���=�!� �Ó ¸ ������Ô ¸ �r¡U�rÕÇ �� �êzè �r¡U�u¬ ¸ �4¡G��Ô ¸ �4¡G���C  �ê Ó è �4¡G��Ô ¸ �4¡G�4Õ¿ �¦ ò�óô��ê ± �4ª>« ë � �³g´����C¾�Ã|Ì�Â�Áu¶�ÀâÄJÅuÄ�À�·:Â�½GÉ�¶VÂ�Ãx·T¼|À:¶>¶zÁuÂ�ËE¶>Ã|Ì�Â�¾�Ã|Ì�â¼|¾�Ì�¶FιÄ�ËEÂ�ÉO·:¾�ÃuÂ�Ä�ÃEÂ�ÌÏ ÂOÒ¿¶>à º� ç   �èméª�ê ¬� â� �¸ ��±

Page 40: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

����������������������! �"$#&%(')+* ',$-/.103254 �!�� �"6687:9 ');* ',=<3>@? ,BAC&DFE 9 ')+* 'GIH <KJL 2 �M�N:"��! PO(�Q�!R�NTSVUWN:��N:M� �"X#YUWN:�����! 2 "[Z; \�!R]�!RVN_^$�V��"��!�V`baK`cN��!R���"V ��������"V��� 2 #��VN 2 Od�eR�N+fV �U! ��B���!R�N 2 U!N�`g \�h �iN:ijijN:"��! ������!RV����!R�Nk��N8O(�jalR���"VMbij �MVNfm��"V �inRporqI"VMVN�U+Z;RV���k� 2 "�MV s�e 2 "�Z 2 ����M��!RV �itRV��SVSpN:"vu

w5xjy{z5|p}5~l|�yr�j�W����z��\�!y�x�y���xh���8�k�+z�yl�Wy��8~r%�');* ',�-�.k0%�')t* ',m-�.10�> � ')+* ',�- ', A� C�� H;�8')=���;>g��������5� ) � , � -;��� �=� ,BA�� C�� Ht��')�����> � � � � ) � - , A�� C � , � � � � ) � % , � - H��8')�� 0�J � ��¡P¢/£ �¤d��x}5~K|(y¥���8�k�+z�yl�Wy��8~3¦P§¨� �:¡P¢/£ �ª© ¦P�P�m«8¦�¬�x� ) � - , A�� C � > ¢� C % ) � - , A� 0�> ¢� C � , � % ) � -­, � 0 � % ) � - , � 0®, � �3> ¢� C � , �/¯�°±B² � � � ¯�°±�² � � , � �> ¢� C � ¯�°±5² � � , � > ¯�°±C ² � � , � J � ��¡�¢j³ �¤d��x�|�x!�/�8§5´µ�����1�+zByK�Wy��8~¶�j�W§µ·5xt�j�!�\��zB�\�Wy�x!´+¦�¸ © x¤¹�Wº:�P�8~ªxj»:¼5�W§5´1y���x�¸�z�§5��y�¦P�8§H;��')=� ¦P§�y�xj~��µ|��W¸ ) � © ��¦\���c�1xe�W§5|ty��5�!y © x½yK�!¾�x¿Ht��')=�F>�ÀIÁ3 Á ) Á� © ¦Py��  Á¦�§5´�xj¼5xj§5´:xj§�yd�!¸ ) � ¡dà �% , � - Ht��')�� 0Ä> � , � -¥Å�Á ��Æ Â Á ) Á� � > � Á  Á % , � -K) Á� 0�> � Á  Á Á!Ç��È ��Æ ) È� % , � -l) � 0j) Á!Ç È Ç ��

> � Á  Á Á!Ç��È ��Æ � E ¯�°± �É) ÁWÇ �� > E ¯�°± � Á  Á�Ê ) Á!Ç �� > E ¯�°±QËË ) � � Á  Á ) Á�> E ¯(°±ÌËË ) � Ht��')��lJ � ��¡P¢nÍ �¤d��xh~�¦�«8��y(Π�5�!§5´1|(¦\´�x�W¸Ï� ��¡�¢�£ � §�� © ·5x!���8�kx!|%(')t* ',$-�.10Ä> �s� � ¯(°±C ² � � , � , � � �!� � E ¯�°± �É) � ËË ) � Ht��')��> ¯�°±C ', A E ¯�°± ')t* 'GIHt��')��KJ � ��¡P¢!Ð �

Page 41: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Ñ�ÒQÓÕÔXÖØ×tÙ�ÔvÚÜÛtݪץÖØÚ¿Þ/ßvà á8âãdä�åhæçåjè\é(åjê�ë5åjì�íØåeîðï5ñ!ò�è�ó8êµóWô3õkó8ò�è�ó8ê1í�èPö:å!é÷÷8ø$ùú;û ùü ý þÿ������ùú;û ùü������� ��������ý ùü ��� ùú+û ù����� ùú�� �÷÷8ø"! ùú1û ùü�# ý $ ü �&% � ! ùú;û ù�'� #(� �*)"+ þ-, �. ä�åjì�årèPêµò�ä�å0/\ñ8é(ò�é(ò�å21 . å¥ï5é�å43 ò�ä�å�ô­ñ65�ò{ò�ä5ñWò{ò�ä�åhé�òlñWò�å87:åjòKévè�êIò�ä�åhæçåjè�é�åjê�ë5åjì�í1�è95�ò�ï�ì�å ñWì�åè�ê:3�å215åjê:3:åjê�òdó!ôvò�èPõ1å;+ãdäBå'/�å�ô�ò�<­ä5ñ!ê:3cé�è93:åIó!ô�ò�ä�å=/\ñ�é�òtå!î�ï5ñWò�èPó�ê�ö ñWê�è�é�ä�åeéØô�ó8ì;ñ¨é�òKñ!ò�è�ó8ê5ñ!ì�>�é�òlñWò�å;+?Éê@3�åjåA3 . årä5ñWö:å÷÷8øB!*CED ùú1û ùü D C #3ý þÿ���F!*C D �Éùú+û ùüG���� D�C #ªý þÿH�� �HIKJ !*CED ùú;û ùü D�C # � IFJ !�C D ùú+û ùü D C #L�pýNMPOQ óµò�óFä ñWö:å�ò�äBå1î�ï5ñWêBò�ï�õR<­õ1å-5 ä ñWê�èS5jñT/Vñ!ê5ñT/�ó8í8ïBå1óWô¥ò�ä�å+ö:èPì�è\ñA/vò�ä�ånó8ì�ånõ . åU5jñWêòKñT7:å¥ò�ä�åå2V"15åA5�òKñ!ò�è�ó8êµö�ñA/Pï�å!é . èPò�äIì�å!é�15åA5/ò{ò�ókñ+é(òKñWò�èPó�ê5ñWì�ï¿é�òlñWò�åB+WGXZY\[�]_^a`cbAd9eAfhgjiPkUlmeAnjf�k�]Bo�fqpLrjlts6e4dui:lv[�dulwsBi�i_bAgjdulj]PeAf�x-yt]zsBfz^KpLi:b8eAntfx�eA]PeAf å2VP1{ � ÿ üz|�� } D MB#~O� i:rv��]B��rjx2f

! úz� D MB#3ý��t� ���*� ú � ���H � å2V"1��� � � 8� ú �ú �B� *�� � ��:ú �a� � ���R� � �*�H H�� O[���^�����eA]�dul&]�x-du��yj�uf�fB�jyjbTf"x2x2d i:l�eAnj]PeUeAnjf¡yjbTi:�j]z�jdu� d¢e£��eAnj]PeUeAnjf¤x�eA]PeAfduxqpLi:rjltg&d l�e4ntf=¥�bAi:rjltgvx�eA]PeAf�]Pe ø ý�M Xh¦=i�f"xqeAnjd xRyjbAi_�j]z�jdu� d9e��ws6nj]zl�¥�fpLi:b ø¨§ Mª©� ñ �E« å�ä5ñWö:å D�¬ � ø ýNMª# ý å2VP1{ � ÿ üz|�� } D MB#K�! ú � D�¬ � ø ýNMª# ý ! ú � å2V"1={ � ÿ ü�|�� } D MB# �®­z¯����H� �~� °9�ý ! ú � � | D Mª#ý �t� ���±� ú � ���� � å2VP1��� � � 8� ú � � |ú � � ±�� O �*)"+ þ â �

Page 42: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

²;³´ µ�¶¨·K¸�¹9ºK»z¼L½6µ:¾Aµz¹À¿Z¹ÀÁ�Â�¹SºKÃ6¹ZÄPÅ2ƵzÂ�Á�¸zÅ8Å2Ç"»z¼LÅAº�ºH¹À½6Æ騃 ³ È Ê ËLÌKÍ ³ªÎ È�ϨÍcÈÐÉ Å2ÇP»=Ñ�Ò0ÓÀÔzÕÖ× Ø È ³ªÎ È�Ï2Ù ´�ÚPÛÐÚ ³ ¶Ü Á¨¹9ºÉuÅ-ÇP» Ñ�ÒÝÓÀÔ�ÕÖ× Ø È ³ªÎ Í Þ&ßBà@áZÉ ³ È�àzá Î É*àzáHÈ*Å2Ç"» Ñ�ÒÝÓÀÔ�ÕÖ× Ø È ³BÎÍ Þ&ßBà á®âtãzä�å*æ à ãzä�å Ïç Å2ÇP»�èé Ò äÏëê à áà çíì Ï�îï âtãzä�å*æ à ãzä�å Ïç

ð Å2Ç"»�èé Ò äÏ8ê à á Ò�Õà ç ì Ï îïÍ Þ ßBà á â ãzä�å Ï�à ãzäç Å2ÇP»�ñ Ò òÚíà Ïçëó à á Ïtôõà á Ïtô Õ Ï Ò Ú Õ à á÷ö6øÍ òù â à ç Þ ßBà á Å2Ç"» ñ Ò ÚÚ6à Ïç ê à á Ï Ò Úíà á Õ Ú ô Õ Ï² ô Õ Ï² ì øÍ Å2ÇP» ê Ò Õ Ï² à Ïç ì òù â à ç ù â à ç ÍúÅ2ÇP» ê Ò Õ Ï² à Ïç ì Ù ´�ÚPÛÐÚ ò ¶û ½ 騃 ³ È�ÊEË�Ì¨Í ³BÎ È Ï Í&Å2Ç"» ê Ò Õ ÏÚ6à Ïç ì Ù ´�ÚPÛÐÚíÚª¶ü ½6¼¨ÌFý ³È®É ³ È Ê ËLÌ Î È Ï Í ÈÐÉ ³ È þU´uÌ~¶-È�ÊEË�ÌKÍ ³BÎ È Ï ÍcÈÐÉ ³ È*Å-ÇP» Ñ Ò Ó�ÿ ÌÖ× Ø È Ê ËLÌ Í ³BÎ È ÏÍ ����� ã������Zå �� É ³ È�ÊEË�ÌKÍ ³BÎ ��� Ï Íc騃 ³ È Ê ËLÌKÍ ³ªÎ È Ï Ù ´�ÚPÛÐÚ��ª¶���������������! #"%$'&)(+*#��,.-/�!���10324���56�7&8�9-/:#"6;�<>=�=.?@�A4B C <>D�EF�DG;HB C <>D#0� �"�IJ�#" K>L M ´ Ì ¶ Í É�à�´ Ì~¶Hà�´ ³ ¶ Î Ë ´�ÚPÛÐÚ ² ¶56:#"%$/" à�´uÌ~¶ �!�N-O:�"6PQ�H�R�S-/�!���T��P1"$/&%-/��$U�!�V-O:�"6W7"�X�R"%� K "$OY6P#�!,.-/*�$/"��UZ\[�&8]�^*#&%-/"_-/:#"_,���$/$/"%]!&%-/�!���`(+*��#,.-/�!���a"�b#P�]!�X,���-/] L (c�H$T-/:#"dY�$/��*��# e�f-/&%-O"_�%(g&���#"h^i ��!jk"%�#���!�H�#&8]J�R�XjkP#]X"l:#&8$/jk�����!,g�H�R,��X]!]X&-/��$h�

Page 43: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

m%nporqts)u�vUqJwyx�z{u's)wT|~}J� �8��9�3�������l���������8���/�r�!���U���.�3�f� ����l�����c���������������+�l�.�3���\�����f�������/�����9�����.���%�R���8 

¡£¢p¤3¥�¦X§©¨ª.« ¬a­¥ «�® ¥+¯H¥ ¦!§©¨©° ¦ ª±�ª�² ¨³ �����8���\�R���c�R�8�������´�/µ�¶����+�������N�/�J�·�.�����.�g¸������>������¹ ¯ ¦X§©¨¹ § ¢ �ºc»¼g½ ¯ ¦!§©¨©¾ ¡·¿H¢ �º »¼ À ¯ ¦!§©¨©¾ ¤ ¥ ¦X§©¨ª�« ¬Á­¥ «�® ¥ ¯ ¥ ¦X§©¨!¢ �ª.« ºc»¼Äà ¯ ¦!§Å¨i¾�¤ ¥ ¦X§©¨�Æ ¬Á­¥ «·® ¥ �ºc»¼kà ¯ ¦X§©¨i¾ ¯ ¥ ¦X§©¨ÇÆ¢ ª ºc»¼ª º »¼ « ¤>¦X§©¨ ¢È¤>¦X§©¨« ¦ ª±�ª�É ¨¹ ¤>¦!§Å¨¹ § ¢ �ºc»¼ ½ ¤>¦X§©¨i¾ ¡l¿>¢ �ºc»¼ À ¤>¦!§Å¨i¾ ¤ ¥ ¦!§©¨ª.« ¬ ­¥ «�® ¥+¯H¥ ¦!§©¨ ¢ «�® ¥ª ºc»¼yà ¤�¦X§©¨©¾ ¯ ¥ ¦X§©¨�Æ ¢ «�® ¥ª º »¼ ½ËÊ ª º »¼ ¯ ¦X§©¨ ¿>¢ Ê «�® ¥ ¯ ¦X§©¨©°£¦ ª±�ª�Ì ¨Í\�ÏÎ����+���8���Ð���+���8�´�.���f�´�l�.�+�U���8�´�/µ�¶��/��������� ¦ ª±�ª�É ¨ ����� ¦ ª%±ÑªhÌ ¨ ¸��U�����¹ ¥ ¯ ¦!§©¨¹ § ¥ ¢ �« ¹ ¤�¦X§©¨¹ § Ò ¥iÓ ¥ Ô Õ¢ Ê ® ¥ ¯ ¦!§©¨JÖ ¯ ¦X§©¨ ¢Ø×T�f��� ® § ¬_Ù � ��� ® §9Ö ¯ ¦�Ú�¨ ¢Û×¹ ¥ ¤�¦X§©¨¹ § ¥ ¢ �« ¹ ¯ ¦X§©¨¹ § Ò ¥�Ó ¥�Ü+Õ¢ Ê ® ¥ ¤�¦X§©¨QÖy¤�¦X§©¨ ¢ÞÝT�~��� ® § ¬àß �c��� ® §9Öá¤>¦ÇÚh¨ ¢ÈÝ °â9¶8�9���7���3�)�����8�R�\���/�����!����� ¦ ª%±Ñª.É ¨ ¸��'������¹ ¯ ¦X§©¨¹ § ¢ ¤�¦X§©¨« ÖÊ ® ¯ ¦�Ú�¨ �c��� ® § ¬_Ù ® �f��� ® § ¢ ¤�¦�Úh¨« �f��� ® § ¬ ß« �c��� ® §QÖ

Ù ¢È¤>¦ÇÚh¨«�® ß ¢ Ê «�® ¯ ¦�Úh¨i° ¦ ª±�ª�ã ¨³ �¯ ¦X§©¨ ¢ ¯ ¦ÇÚh¨ �~��� ® § ¬ ¤�¦�Úh¨«�® � ��� ® § ¦ ª±�ª�ä ¨�����l���3���~�.���+�����/�����.�l�!¶8���f�+�����å¸��������H�Ý ¦X§©¨ ¢pæ ¯ ¦X§©¨ ¯ ¦ÇÚh¨+ç Ò ¥�Ó ¥éè+Õ¢ æ ¯ ¥ ¦�Ú�¨�ç �~��� ® § ¬ æ ¤�¦�Úh¨ ¯ ¦�Úh¨+ç �«�® � ��� ® §~° ¦ ª±�ê Úh¨

Page 44: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ë�ìí�î�ï�ðfñUò�ñ'ó/ô�ñUî�ï8õ�ñRô�ñ/ö õ�ñ/÷�î�ïlõ�ø8ñ'ù.ô+ú.û8ï�÷åö õ©ó/õ�ñ´õ�ø8ñ�ñ�ü%ý�ñ/ð~õ©ó�õ+î�ú�ï�þ�ó�ÿ�û3ñ/öQó�ý8ý�ñ/ó/ô�î�ï3ùî�ïåõ+ø8ñ´ÿ�ó�öcõ'ô�ñ�ÿÐó�õ�î�ú.ïgò�î�ÿ�ÿ���ñ��������� ��� �������ì���� ��������� ���������!"�#$�%� ��ì���� ����#�����&� ��%� ��ì'�(� � ì*),+�- �/.0���1�2��� ��� 3 4 � �� �ì 4 ��ì���� ����,��� �65 �7 ������� � 8�#$�� 5 39�� ì ����#�����&� ��%� 5 39�� ì;: � ì*),+�ì < ø8û�ö = �?>@;� ��ì'��� ðfú�ö � > 5 3A��ì���� öcî�ï � >B� ��ì����DCFE$G,HFI : � ì*),+'+ J0K/LNMPO�Q6R"SUTWV�XZY[O�QWV$\@T6SU]^V�Q6R"S?O�Q6Y`_�R"SU]^a6_UVcb6Y`XF]�O�QWSUdZO�R8d$S?_U_?Y�eFO�X�KgfNO[eFb6Vh O�_U_?O�iDS?Q2jkYl_mj0V�nWXFY`SUd$Y`_U_mo0p�eFb6Y*eDSUR�pWiDSqeFb6O�r2e(rWR"SUQ2jsitY�uvV h rWQ6d�eFSUO�Q6R�Kw Y�xyMPO�Q6RzeFXFr6d�eyY{_US?Q6V�Y`X|d$O�]kn6S?Q6Y*eFSUO�QsO h � �� Y`Q6T � - � R8rWd'b}e&bWY*e ����� SUR|Y`R_UY`X"j0V~Y`RDa%O�R8R"S?n6_UV�Kw n;xZ�2r6a6a�O�R"VyeFb6V�O�R"d$SU_U_?Y*e&O�X�S?R�SUQ{eFbWVDRzeFY�eFV�d$O�Q6RzeFXFr6d�eFV*T�SUQ w Y�x�Y�e >B�� K� b6Y*e�S?R�e&bWV�RzeFY�eFV�u2V�d�eFO�X h O�X >k� S?Q�eFb6V��2d'bWX��O�TWSUQ�j0V�X�a6S?d�e&rWXFV`�� u0Y`_Ur6Y*eFV{eFbWV�V��6a%V�d�eFY*eFSUO�Q�u�Yl_?r6V ����� Y`R~Y h rWQ6d�eFSUO�Q�O h eFSU]�V h O�X >P��r6R"SUQ�j w S1xZeFb6V��vd�b6X��O�T6S?Q2j0V*Xya6SUd�eFrWXFVNY`Q6T w SUS1xZeFb6V~��V*SUR"V�Q2n%V*X"j{a6SUd�eFrWXFV�Kw d*x � u0Y`_UrWY�eFV �!������ � � Y`RDY h r6Q6d�eFS?O�Q�O h eFS?]�V[r6R"SUQ�j}V*SqeFb6V*Xya6S?d�e&rWXFV�K� ó g� ñ�ò'ó�ï3õ\õ+ú���ï�÷ ógö õ©ó�õ+ñ � �������@�$�#$�;���"�F� - � öcû�ðføTõ+ø�ó�õ ���v� îÐö)ó�öUÿ�ó�ô+ù.ñ·ó.öý�ú�ö+öcî��8ÿ�ñ ) < ø8ñ�öcõió�õ+ñ �#�;� öcø3ú.û8ÿÐ÷ ��ñ´ï8ú.ô ¡gó�ÿ�î/¢�ñ/÷ ) < ø8îÐöB¡lñ/ó�ï�ö� �£�$� � ���#�"�F� � � -�¤ �#�"�F����¥ - 5 � �£�'� � : � ì*),+/ë � ñ ð�ó�ï ò�ô�î�õ+ñUõ�ø3ñ�ð~ú.ï�ö õ©ó�ï�÷8ö �@� ó/ï�÷ �"� î�ïgõ�ø8ñ�¦!ú.ÿ�ÿ�ú�ò�î�ï8ù�¦!ú.ô ¡�@� � �#�@��� C G¨§q©�"�ª� �#�"�"� C�G¨§�«%¬ �!­ ®°¯ ±� C�G¨§�« ¥ - 5 �#�@��� � : � ì*),+'²

Page 45: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

³*´�µ·¶�¸c¹yº�¶;»½¼y¾¿¹g¸c»{À�Á; Ã$ÄÅBÆlÇ|ÈFÉ*Ç8Ê@È9Ë'ÇZÌ�Í�οÏ/ÐNÈyÑ�Ð`Ç�Ò°Ó*Ï�Ô[Ç"Ð�Õ°Ï/Ñ'Ð�È9Ö0Õ×Ï�Ô[Ø`Ö�ÇÙÆ�ÈFÊ!Ô[Ñ'Ð`ÏqÚgÑ$Õ!Ú�Ï/Ö/ÖÛÈ9Ü Ñ�ÊÝÏqÕ%Ë�Ï�É*Ç"ÐÞ`ß Ì�Í�Îáà Ì�âÝã#Í;ã#â;ÎBàåä�æ�çè Ì�é�ã9ê}æzçë�Ì ì*ãîí`ÍZä�æ è ã é�Î6ê�æ ë ã,ìFÎ!íà ã#æ è ã#ï�Ì�é�ã Í;ã#é�Î6ê�æ çè æ ë Ì�é�ã Í;ã,ì9Î6ê�æ ç ë æ è Ì!ì�ã#Í;ã#é$ÎWêðã#æ ë ã#ï�Ì!ì*ã Í;ã,ì9Îà ã#æ è ã ï�ñ òóô�õ�ö Ì�é�ã#÷Zê�÷�ø&ã é�Î2ê}æzçè æ ë ñ òóô'õ�ö Ì�é�ã#÷|ê�÷�øzã,ìFÎê�æzç ë æ è ñ òóô'õ�ö Ì!ì�ã#÷|ê�÷�øzã#é$ÎWêðã#æ ë ã ï ñ òóô'õ(ö Ì!ì*ã ÷|ê�÷�øzã,ìFÎà ñ òóô�õ�ö ä�æ çè æ ë ê�æ ç ë æ è í�à ô ñ òóô�õ�öPù ä�æ çè æ ë íà ô ñ òóô'õ�ö ÚzÑúÕzä�û ë6ü û è í8ã#æ è ã,ý ì ü ã æ è ã ï"þ ä ô�ÿ,Ä�� í

� Æ`Ç"Ê!Ç � Ç�Æ�È9É�Ç���Õ×ÇFÓ[Ü Æ�È9Ü�Í�à ý � �ï�� ä�÷�ê�÷ ø í ÿ��Æ7È9Ü � Ç[ÐlÇ"ÇFÓ^ÏÛÕ·Ü Ñ ��Ð�Ó�Ü!Æ`Ç�É$ÈFÖ��`ÇFÕyÑ���ã#æ è ã;ÈFÐ�Ó�û ëÝü û è Ü Æ�È9ÜDÔNÈ���Ç[Ü Æ`ÇÈ9É�Ç"Ê@ÈFË�ÇZÌ�Í�Î È�ÕÝÖqÈFÊ!Ë�ÇPÈ'Õ Ø�Ñ$Õ Õ×Ï Þ Ö/Ç ÿ� Ì�Í�Î� ã#æ è ã à�é � ý ì ü ã#æ è ã ï ü ã æ è ã ïý ì ü ã#æ è ã ï � �������� ë� ì ü ã æ è ã ï ü ã#æ è ã ï à�é� ã#æ è ã$à ì� ô ä ô�ÿ,Ä�� í� Ì�Í�Î� û ë à�é � ü Õ×Ï�Ð2ä�û ë6ü û è í%à�é�� û ë à û è ê �"! þ �$#&%(' ä ô�ÿ,Ä�) í

*+�`Ü,�UÑ'Ê|Ì�ÍvοÔNÈ.-*Ï�Ô/�`Ô � Ç � ÈFÐ`Ü¿È9ÖÛÕ×Ñ� ï Ì�Í�Î� û ïë 0000021�3 � 1�3547698;: é<�=�~à ô?> þ > #@%(' ä ô�ÿ,Ä�A íB Ñ � ÇZÚ"ÈFÐ � Ê!Ï�Ü!Ç�Ü Æ�È9Üã#â;Î%àDC�E 1 � ì� ô ã#é$ÎWêFC�E�G 1 ��H ïJILKNM ì� ô ã ì9Î%àDC�E 1 � ì� ô äzã é�Î6ê�ã ì9Î!íO' ä ô�ÿ à é�í�kÇZÚ"ÈFÐ~ÈFÖ � È ß Õ;Ü@È.�*Ç û è à�é ÿ ÅBÆ7�7Õã â�οà ì� ô äzã é�Î6ê�ã,ìFÎ!íO' ä ô�ÿ à ì9í

Page 46: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

P�PQSRUT+VXWZY\[�]^W/_2`badcLegfihj_ `kfOlnmpo_ `,adc e.q crfsh tuQ9c�adc e hwv�TN_ `,adc e fbhDx.y�z|{~}��L��?_2`�fbh �� � x.y�z�����}5�L���_ v�f�� �� � x�ypz|����}��L���_ � fh �� ��� x y�z|�.}5�L� _2v�f��Fx y�z|�.�L}��L� _ � f��(h �� � x y�z|�.}5�L� � _ v�f��Fx ypz|�.} _ � f��Z�2Q � l P � TQS�9Ti�����dY7W/m^�gY �.¡o�¢��5�7£?WN�b¤7���g�d¥ �dW¦�§UfL¨ h ¦�`,a©cJe q c�_ §\¨�_2`badcLe q cªf«¨h ¬��� ��� x z|�.}5�L� ¦�v\_N�­x z|�.�L}5�J� ¦ � _ �?®¯§$¬��� ��� x y�z|�.}5�L� _ v�f��­x y�z|�.�L}5�J� _ � f��?®h °� xgz5±|�.}5�J�dy��.�L}5�L�J²S¦�v\_2§�_ � f�³°� x�z�±|�.�L}5�J�dy��.}5�L�L²9¦ � _2§�_2v�fh °� x ypz|�.}L´ µ¶�?·¹¸ �j°� x z|�.}�´ µ¶��·¹¸ h ´ µ¶�?·¹¸ �gopº ¸ c�� Q � l Pp» TQS���9Ti�����dY W�¼�WN�½ºLWN�7R\WN�d£¾¤7���g�d¥ �dWZ¿ÀWZYÁ[�]^W+ÂS�do?ÃÄQ � l �?Å T+�©Y\[��

§ { Q9crTbhƧ�Q�v�T^�gopº ¸ c�ÆÇ Q�v�T·¹¸ ºL��� ¸ c��m�o ¦�§Uf { h ¦�`n_ § { _2`�fh ¬ �� � ¦�v�_.� �� � ¦ � _ ®ÉÈ�§ÊQ�v�T^��o�º ¸ c� Ç Q�v�T·¹¸ ºJ�5� ¸ cLË̬ �� � _ v�f�� �� � _ � f9®h °� �gopº ¸ cg¦�v�_ §k_ � f�� °� �gopº ¸ c�¦ � _ §�_2v�f�� °� �·Í¸ ºL��� ¸ c�¦�v\_ Ç _ � f��°� �·¹¸ ºJ�5� ¸ c�¦ � _ Ç _ v�fh °� ´ µ¶�?·¹¸ �go�º ¸ c�j°� ´ µ¶�?·¹¸ �go�º ¸ c� ���·¹¸ ºL��� ¸ c�QdÎÐÏJT ´ · µ¶ ¸�� ���·Í¸ ºJ�5� ¸ c©Ï ´ · µ¶ ¸�

h ´ µ¶�?·¹¸ �go�º ¸ c�� Q � l P�P TQ���Ti���À�½º+Ñ^�7o?¿À���dYÁ[�� ¦dQ�Ò¹§UTL�gfbhÓ¦�§\�gf�ÎƦ�§UfL� Q � l PpÔ T

Page 47: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Õ�ÖÓ×<ØÊÙÛÚ/ÜZØ�ÝsÞ/ßiÚ�ÙÛÝ@à�á�â ã�äå«æ�ç©è7é/ê^ëgè�ìí�î�ï æ7ð?éòñ�ó ï ë�çdô7ñ©éÛõÀéÐè\ö�÷^é

ø\ùûú üýdþ ÿ������������� �� �� ù ú ÿ���������� ù ��� ù ����� ���� ������ � ��� ã�� �õÀè ï ëgè��(é.ö.æ �,ç©è\ö�ç! ø�" ù# ú !$ ��%'&)(�%)* ø ù * $ �+%�&,(�% " #ú -/.0 �21�35476)8:9 ù !�; *) 35476)<'8:9 ù ! . * =�> ø ù -/.0 �21+3@?�476)8A9 ù * ; " 3)?B4C6@<'8:9 ù * . " =B>ú D�Eù 3 4:FG6)8:9 ù ?B6)8A9 ù'H !�; * ���� I* ; " Eù 3 4:F76)<'8A9 ù ?B6)<'8:9 ù'H ! . *J���� I* . " Eù ! . *J�� '�K* . "�L ÿ��M���ú D Eù � Eù Eù L ÿ������ ú ÿ�������N � ����ã�O �ê í ! �P ø � ù " # F ù�Q R < Hú ÿ������TS ÿ������ ë í � ù � % ú ÿ������ � ï æ ù � %5N � ��� ã�U �å�æ�çdè éWV�é ï �LéNæ�X\éNñdð¾ó ï ëgçdô ñdéø ùY �Z%�� ú - ø � ; � ë í � � %[]\ � ; ���� � ï æ � % > ù

ú ø\ù � ; � ë í � ù � %^ \ ù � ; �� ù � ù � ï æ ù � % ø � ; � \ � ; ���� ë í � � % � ï æ � %_ \ � ; � ø � ; ���� ë í � � % � ï æ � %ú ÿ������`�� ù �� ù ���� �� ��� ë í � ù � %S � ÿ� ��M� ù � ù �� ù �� ù S���� S�� ��� � ï æ ù � % a��� þ ÿ� � ÿ� �ãB���b������ ������� [S���� � ï æ �I� %� a��� þ ÿ� � ÿ� �ãB���b�� S��c�d����� � � ï æ �I� %�ú ÿ������ �� ù �� ù ���� �� ��� ë í � ù � %

Page 48: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

e�fg hij�k�l�mn�o_p�n�q o g n�n�q g n�q'n�r�s�t:u�o lwv p x hijMk`lymn�q o g n�ozr�s'tAu j{l|v} hijMk`l mn�n q p�n q ncr~p hijMk`l n o��z� s jIlwv p hij�k�l n q o �5� s jIlwvp x hij�k�l m�n q o g n o r�s�t:u j{lwv5� m j��Ge�� r��� t � �����{� u sw� � � ���� o��� � } ����� � o� �J� � �} hijMk�l��`�� j ����� p �� j � � � ���� n�n q p�n q n�p�n o �z� s j{lwv p�n q o �z� s j{l|v p x mn q o g n o r�s�tAu j{l|v��� � �� j � � � p �� j � � � � } hie�k�l � ���� n�n q �J� � p � � � n�n q � � � p � � � n q n � � � �} hie�k�l`  � p j p �z¡ } hik�l�¢ m j��7£ � r¤ � � m�¥ � r¦o � �¨§ od© ª'ª+«} hij�k�l g hij�k�l �z� s�o lwv } hijMk`l�s�t:u o lwv ¢ m j��7£ � r

¬~­¯®±° ²B³�´[µ�¶�µ�·¹¸»º�¸'¼[¸�µ¾½�¿ÁÀ�½ Â_ÃBÄ�Å^ÆÈÇ�Ã�Â_É,ÆȽ Â^À�ÊwÉIÆÈÇ�Ë^ÊÈþÌ_ÀÎÍ@Ç�½ Â^ÆÈϾ½�É,ÏBÆÈÊÐÄÊZÀ�Ñ)½ Í�ÆÈÉÒÅ^Ã�ÓÔÂ^Ã�Å�Ñ)½ÖÕwÃ/À�¨Ã�Ư×~Ã�Â_É5Ñ)À�Ñ)Ã/½�¿ØÑ)Ì^ÃÚÙ�Â^½ ÂKÄdÛ2Ã�Í@Ç�ÆÐÑ)ÆÐÀ�ÂÝÜ»À�Â_Â^ÆZÌ_ÆÐÄÊZÀ�Ñ)ÆZ½ ÂÞ½ ËwÃ�Í)À�Ñ)½ Í n�ß n �Gà � } à_�áà � �â Ì^Ã�Í)à à ÆZÉ�ãÔÆÈÂ�×�Ã�Â^Ã�Í)À�Ê'ã^ÀÖÏB½ Ç�Ë_ÊZÃBäÚÂ[å^ÇÚÕwÃ�ÍB­Ù�À ÜÒæçÍ)½�è[Ã�Ñ)Ì^À�Ñ �áà � }êé)ë ì í)ì î'ï o é,í5ðòñ � � �ÆZÉ�ÀóÂ^½�Í)Ç�À�ÊZÆÈôBÃ�ÅÚÏB½ Ì^Ã�Í)Ã�Â�ÑÒÉzÑ)À�Ñ)Ã�­Ù�ÕÝÜõæ�Í)½�èöÃ�Ñ)Ì_þÇ�ÆÈÂ^ÆÈÇóå^Ç÷å_Â^ÏBÃ�Í{Ñ{À�ÆÈÂ�Ñ5ø�Í)Ã�ÊÈÀ�Ñ{ÆȽ ÂÖ¿+½ Í�ÉIå^Ï�ÌùÀÖÉzÑ{À�Ñ)à ­

Page 49: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ú�ûýüyþKÿ�����þ�������Øÿ��� ��� ������������������ �"!$#&%(' �"!$#*) +,-/.�0$1325476 � 4 #98:<;>=�? � ; %��@� ; �BA>�C' �����CD>E7�F� =$GH=JI � 1325476 �LK ? �M� ; ����'/NO�P�Q�R� = 4 �S' =�I � ; �TU= �C'V' =WGRIX= ��Y[Z]\^� G A_� ; �`Y = 'a��N>� = D3%(D>bS�`cd%JbCE>� =�I 4>e ; � G �f� =�I�g Z��Ah� :i;3=P? � ; %��j%_� =$; ����� G �`' ��%����R�f% G %(bS' = D*� = D7�F%(� G �PAkDdlm%(N>N3b�l>� G7n� ; ������% G 'VbS%���� =WG �po G �M�F�rq9A3�S'VN>bC%(�f�PY@� G �Q� = N*�P�s%P� = �ut�vfwyx{zy|p} ~�� ?�; ���������C'�� ; �Y = Y@� G ��E>Y = N*����%�� = � e % G A����S' � ; �BA>�C'/N3bS%(�f�PY�� G ��A>�S'a��% G �f���j� = � ; �n � = E G A�'a�F%����$Z����� :<;>=�? � ; %���� ; ��� =W; �P�s� G ��' ��%����R�"!$#]����Y@%(� G '�� =$; ����� G ��E G A3�P�����CY@�fq�rc = bSE<��� =$G % G A��f%(bC�fE>bS%����_� ; �[�F�CY@�fq{�fc = b�c��fA�'a��%P�����y! 2C�{6 #9Z������ G ���BA>��q�s�P�Q��b�l@%(N>N3b�l@� ; �����SY@�rq9�rc = bCE<�/� =$GR= N*����%�� = �fZ��2��r6*���U�$�s�P� � �"!$#*)�t v$� �s� � |¡K � t � ¢¤£ � ¥r#*)�t v$� ��� �p|pK§¦ �$¨ t �a¢{£�© �L¥r# ¨ 2�ªP«­¬®ªr6¯¡°²±�³ � � �L¥r#*)´¥ «*µ§�(� ³ ¶Q·¸·�¹(º � º�¶®»O°¼¯¦ �W¨ t � ¢¤£ © ) ½ �W¨ +,-V.P0`¾43¿ 2 !

�PÀ 6 -sÁ ) +,-/.�0�¾43¿ ! - ¦�W¨ 2 ��À 6 - ©) +,-V.WÂþ43¿ ! -

-,Ä .W 2 �PÀ 6 Ä v  ¦ �$¨{�PÀ © 2 �PÀ 6 - v Ä ) +,-/.W¸¾43¿ ! --,Ä .W 2 ��À 6 - v Â) +,-V.W ¾2�4¸Å ¾ 69¿

! - 2 � À 6 - v  )B! +,-V.�0�¾43¿ 2 !� À 6 - )B!$t �a¢ £ 8 2�ªP«­¬®Ær6Ç ¶ÉÈS»�¶®· 2�ªP«­¬Qªf6 � �"!$#*)�t v$� ��� ��|pK !$t �a¢{£ �L¥f#§)�!>�"!$# ¨ 2�ªP«­¬ � 6Ê � °�³ � · ��� ±$¯3º ��� º �y!$# °�¯ � ³a¶ �(� » � ±(º*¯¡º � º �f«�Ë È<°Ìº*°�¯�±(¶Q»X· �sÍ °²Î �FÏdÐ °Ìº¯ � ¶®¹ Í�Ï ¯ � º�°�¯�ÈSÑ�sÍ ¯p¶�Ò !>�"!$#^) ¾ «Ë ± Ï��V��ÏÒ !>�y!W#Ó) Ò ¥W�yt �FÔ5¢ t v$� ��� � t �a¢ £ �L¥f#§)�t v$� ��� � Ò ¥$�"t �FÔ5¢ t �a¢ £ �L¥f#

Page 50: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Õ�Ö× Ø�Ù$Ú ÛsÚ Ü�ÝÞsß à áâ3ã­ä�ãpå¡æJçaè Þ æ à�é�êWë ìrÞ�ë å ì�í è àÉë êrî ï å ì�í è à�ëLêrî ×�ð äñã ë ä î5ò× Ø�Ù$Ú ÛsÚ Ü ÝÞsß à ð â3ãâ>ã ð ä�ãäñã�å¡æJçaè Þ æ àóé â ë ä î ×BØ�Ù$Ú Û�Ú Ü Ý Þ áâ3ãpå ë æ ë ô è Þ× Ø Ù$Ú ÛsÚ Ü{Ø Ú Û�Ú Ü§× áQõ å5ö�÷­ø®ørè

åSùdè*úUû/ûaüQý9þ�ÿ�� ��� ü��Jý�üQù ��� å á ÷ � è � � ��� ����� ��� � ü�� � þ � ��� ÿ ����� � � ��� ü ��� ü��^ÿ�� � ý �� ��� ÿÌü������ë æ î ×! �#">ë æ î%$ å5ö�÷­ø & è� � � ý �'���)(*�'+�é æ ë ��ë æ î%,-�."/(0"'+ é æ ë ">ë æ î � �$þ ÿ � � �1�Jý ���� ÿ ��� ÿ�� � ý ��1� ù � ý/÷2 ÿ��$û �¸ë æ î ÿ � � ûaü � � ý � � � � �%��� � � � �3��4 �ì7ë æ î × æ ë æ î65 é æ ëLìPí × é æ ë æJç õ å5ö�÷­ø 7 è8 � ÿ�� �9�:� ÿ � ý �;� ��� ÿ²ü��<� � û � �=�^ý�ÿ � ���ë æ î × > ?@ö äBA å ì.C@ì í è ë æ î × > ?@ö äBA å¡æ C@ì í è ë æ î å5ö�÷­ø Ö è� �$þ éD�dî × é æ ë ��ë æ î × > ?@ö äBA é æ ë å ì.C@ì í è ë æ î × > ?@ö äBA å é æ ë ì7ë æ îEC�é æ ëLì í ë æ î è× > ?@ö äBA åpæ C æ ç è å5ö�÷­ø�Frè� �$þ � ü ����ë æ î × å ��+_éD�iî è ë æ î × > ?@ö äGA å ìPíH+ æJçaè ë æ î õ å5ö�÷ & ê è2 ÿ ÿ � � ý ����� üQý �:� �. ü G� � � � I" ×!J:K àMLN Oô å ì í +@ì èP� � �3��4 �"3ë æ î × ð J > ä ?@ Aö å ìPíQ+�ì è ë æ î ×RJ > ä ?@ Aö å ì�íS+ æ$è ë æ î å5ö�÷ & á è

Page 51: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

TVUXWZYH[#\9]^Y`_ba9cd\-[#_'egf`h ikjl�m3n o�p3qsr outEv pQvwt3q�ryx z {}|~k��

o�tEv��D�V�E�����;v�t3qPryx z {=|~���� outEv�����vwt3q`�!outQv �Hvwt3q �r x z {=|~V��

��t��P��t3� � ������� �l�m3n���� � pQvwt�q�r ��p9�!o�p�q:�v�t3q�rRx z {=|~����D� � ��t � �vwt3q6��D� � ��t � �vwt�q�r �^x z �{=|~��

� pQvwt3q%� � ������� �� �9�3����m1 �¡ ¢1£.¤¥l���¡�¦:£¤¥l�¡ ����m���m � ������§ ��B¨ v�t3qPr z |~� { �� ��x�� z �{=|~��

� pQv�t3qdr � x{ �© ª « ¬­1��¦ £¤�®<��¯�l� ���m3l�¦:®� pQvwt3q � ������i �

l�m3n<¡ ¢��3�6¡ ¢1£.¯<��m1��¯9��¯°�1m3±g£¦ ¡�l���m�¡ ®9±g��m3nV��¡ ����m��¥���:l�¡ �²�´³3£�n �� ± �¶µ ¢1£9±g��¢1£¦:£m1¡-�u¡%l�¡:£9±l�m'·3£9£¸V­�¦ £��:��£�n¹l��^l<�u�1­3£¦ ­3�º����¡:����m'��»d£m1£¦: �®�£�� �£mV¼��¡%l�¡ £�� v�t3qPr ½¾¿;ÀVÁv ÂHq%oDÂÃvwt�qdr ½¾¿;ÀVÁ3Ä

�DÂH�;v�ÂHq�� � ������Å �»���¦�¡ ¢1£.£¸�­3l�m3������m'±g�k£ÇÆ�±g��£m1¡�� Ä

��ÂS�PÈ £^¢3l�ÉV£Ä��ÂS�Êr o�ÂÃvwt3q6rXoDÂÃv�Ë�Ì3Í Î�Í ÏuÐuÑÒË;ÎgÓÒÔ%v § qdrIË�Ì3Í Î�Í ÏDÐuÑÇoDÂÃv�Ë;ÎgÓÒÔgv § qr Ë Ì�Í Î�Í Ï ÐuÑ o�ÂÃv ½¾ÕMÀVÁ!Ö{Ø×

�ut1��� � Õ v § q6rIË Ì3Í Î�Í Ï Ð�Ñ�½¾ÕMÀVÁ!Ö{Ø×t Õ oDÂÃvÙ������� Õ v § qr Ë Ì�Í Î�Í Ï ÐuÑ�½¾ÕMÀVÁyÖ{'×

t ÕÛÚ {'× oDÂÃv { qdrÜË Ì3Í Î�Í Ï ÐuÑÖÚÂ × t ¿ � � ������� �v

Ä�DÂH�;v Ñ r �Çv�tEv Ñ � ¿Â × £¸�­ � �BvwtEv Ñ � � �����kÝ �È ¢1�¥±Ç¢-¯<£�l�m3��¡:¢3l�¡E¡ ¢�£PnV�¥�u¡ ¦:��·1�1¡:����m#��» v Ä

�DÂH�v Ñ È ��¡ ¢.¦ £���­3£�±Ç¡S¡:�  �²�Þ��»�¡ ¢1£dß`���²� ����m¡ ®�­�£�l�·3���1¡.����¯<£^¯<£�l�m<ɺl�¤���£ Â=ràv�tEv Ñ �

Page 52: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

á�â!ã6äå6æ<çºè�éEê1ë ç�ì3í�ì�î�å�ïkí�î�ð1ådç�ñóò9ô¥èQõ�ô�ï�åö.ì1÷^é

äå6æ�í�øVô�æBð1æ!ç�ñùé

äå-úVô²è�é:ë ô�ì�ð1é ô�ç�öû üQý òSþ û ÿ�� ä ô�� ä �í�ö�ì�å.ñ�ç�ð1ö�ú ô�ö�é ä å^ñ�ç�î�î�ç � ô�ö1õ � í�÷û�üEý ò�����þ û ÿû�üQý òHþ û ÿ � � �� ������������������ åø�ê ý���û! Eû ÿ þ" �# � ��#� åøVê ý���û! Eû ÿ þ � û$ Qû ÿò%��� & � ý�')(�*,+ þ� ä ô�� ä æ<å�í�ö3èPé ä í�éÛé ä å.æ<çkèué6ê1ë:ç�ì3í�ì1î�å ïkí�î�ð1å^ç�ñPò'ô¥è û$ Qû ÿ (ý ú�þ.- å è ä ç�ð1î²ú/� ä å#�109ô ñPé ä å9è�é�í�é:å9åøVê ý��32�46587,9: þ û â<; ô¥è-í�ö'åô�õ�åö�è�é%í�é å ç�ñdé ä å�í�ö)=ö1ô

äô�î²í�é:ô�ç�ö�ç�ê�å;ë%í�é:ç�ë?> ( - å ä í�ï�å>Ãåø�ê ý��?2�4@5A7B9: þ û â<; �DC >�E1F HG<I!JLK$MON P���Q û â<; ý�')(�*,R þèuô�öS�ÇåT> û â<; � â (VU ç�ë�é ä åT�Çç�æ<æ�ð1é%í�é ç�ëPô�ö é ä å.î¥í�è�é�ë å;î¥í�é:ô�ç�ö � å ä í�ï�åC >SE1F �G<I!JLK$MON PW��Q � XY�[Z]\ �ò_^V` �32A59:ba �dc >�E 4 �#e � XY��Z�� �ò_^f` �?2A59:ga � �Yh Z�� 4 h G@� c >SE 4 e 4 �#G h� XY�[ZS� �ò_^ ` �32A59: a � �Yh Z�� 4 �#G@� 2�i j 9:<k'� 2�i j 9:<k' ` �?2A59: a XY��Z�� �ý ò � ��þL^ ` �32A5H49: a �#G@�� 5ml j k'n9: F HG<I!JLK!MONP�� E ý�')(po â þ� ä å;ë å � å ä í�ïVå-ð3è�å�ú é ä í�éc >SE 4 e � 2�i j 9:6k' c >SEW>)q � > e � 2�i j 9:nk' r ý�')(po ��þs çGè�ð�ì3è�é:ô�é ð�é ô�ö�õ ý�')(po â þdô�ö ý�')(t*BR þ � å^õ�åé> c åø�ê ýO�32�46587,9: þ û â<; e � 5Ol j k'n9: c å;øVê ýO�32u4@5A7B9: þ û â<; e ý�')(pov' þ� ä ô�� ä æ<å�í�ö3èÛé ä í�é.é ä å�è�é%í�é å<å;øVê ý��32u4@5A7B9: þ û â<; ô²è^íw�Çç ä åë:åö1é�è�é%í�é å � ô�é ä åô�õ�åö]=ïºí�î�ð�å 5mx y{zÿ N P (ý å�þ}|^è�ô�ö1õ9é ä å ä ô�ö1é � å ä í�ï�åû! ùý�~ þ ; � � ý�~ þ û! ; � F G<I�����MONP û$ ; ÿ�� �m� �� F G<I����uMON P XY�[Z]\ F GS �� �M ÿ �� ò{^ � û ò ;

Page 53: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

�)�����������3�������}�d���/����� �)��  ¡¢�£)¤¦¥#§<¨�©6ªW«�¬O­®1¥#§S¯ °�¯ ±8¬m² �³ ´_µO¶ ¢�· ´�¸}¹ ²�º »Wº ¼�½�  ¡¢�£)¤¦¥S¾v¿!ÀÁ ­ ®mà ¹ ¢[ÄÆŲ ½ ¥#§S¯ °�¯ ±8¬m² �³ ´_µA¶ ¢¦· ´�¸�  ¡¢�£)¤ÈÇ�¥�§�¨�Ã#«"É ¢ ¥#§<¨�Ã#«u¬m²W¥#§S¯ °�¯ ± ¬m² �³ ´_µA¶ ¢¦· ´�¸� ¥#§<¨�Ã#«u¬O²  ¡¢�£)¤¦¥#§S¯ °�Ê ¾v¿ÌË�À ¯ ± ¬O²@Í ¶ ¥ §<¨�Ã#«AÎ ¢³ ´_µ · ´�¸V¹ ²Lº ÏOÏ�½� ¥�§�¨�Ã#«�¬O² · ¶ ¥#§<¨�Ã#« ¸ ÍAÐ]ÑpÒvÓ ÎÔÈÕ@ÖS× Ø · ¶ Í�Ù Î ¸ � ¥ §<¨�Ã#«u¬O²

Ø · ¶ ¥ §<¨�Ã#« ¸ � ¶ ¥ §�¨�Ã#« ¥ §<¨�Ã#«u¬O² · ¶ ¥ §<¨tÃ�« ¸� ¶ ¥#§<¨�Ã#« · ¶ Í�Ù Î ¸LÚ ÍAÐ]ÑpÒ�Û ÎÜÞÝ�ßáàãâ{äæåèç{é¦ê#ç{ë ëáä]ìBâ{í@é_î�ì<í@ï}ð_ñ#òSð_í]ó¦í]ê#òSñnôVõ�òSñöíáð{í@ñ[ê#î�ì<ï�äw÷øî"ê#âùëúí6û[ûü ô{ëáò)ý{î�é�óþî�éÿíþðVò@ê#ä)é¦êvî�í@ï�î�û�óÞî�ý ä)é ������ Í ��� ��� Î ���  ¤ � Ù ¥�¨�©S«�¬O­® � Í ��� � Ù ��� Î ��� ¡ ¢ ×���� Í ´�� � Î ×���� Í ´�� Î��� ­ ® ±�� ±²� ´ ²÷øâ_ä]ñ#ä � î�û�í ì<òSé{û1ê#í@é¦ê<Ý! í#"%$ â_í]ê�î�ûãê#â{äwðVò@ê#ä)é¦êvî�í@ï�&! � "(' ä<ê#ä]ñ�ëáî�é_ä.ê#â{äãì<òSé{û1ê#í@é¦ê � î�éöê#ä]ñ#ëáûÆò)õ�ê#â{äãð{í@ñ#í@ëáänê#ä]ñ#û�)_ä]û[ì<ñ#î � î�é�óê#â_ä û � û1ê#ä]ë ! û[ç_ì,âÿí@û ü ô � ä<ê#ì@Ý*"#Ý+-,3Õ .0/1,� Í ��� ��� Î32 �  ¤ � Ù ¥ ¨�©S«u¬O­ ® � Í ���#� Ù �4� Î52 �  ¤ � Ù ¥ ¨�©S«u¬O­ ®76 �� Ù · ��� ¸� �  ¤ � Ù ¥�¨�©S«u¬O­ ® 6 � · ¥#§<¨98�«u¬O­® · ¸� �  ¤ � Ù ¥�¨�©S«u¬O­ ® ¡ ¢ 6 � · ¥#§<¨98�«u¬O­ ® · ´�¸ 6 ´ · ¸� �  ¤ � Ù ¥ ¨�©S«u¬O­ ® ¡ ¢ ¥ §<¨�© ª «u¬O­ ®06 � · ´�¸ 6 ´ · ¸� ¡ ¢�: ¢ Í � Î :�;¢ Í Î �  ¤ ¥ ¨ ¹ ©è§<©6ª1½H«�¬O­® � Ù

Page 54: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

<>=? @BA�C A1D�E�F C�GA DIHJFLK�M�NO�PRQTS UWVYXZ[ U [ AW\ V^]�_�`�a9bcdbfe�gh` O�ikj�lYmn4oqpQ? @ A C A1D�E�F C GA DIHJF V�XZ[ U [ Asr D =htvuw< Fxdy

@ A C A DIE�F C GA DIHJF V�XZ[ U [ A ?{z @ A}| M�~DI����E�F | M�~D�����HJF[ U m nB��� ���� � � �C A D�E�F ?�� zV�XZ |

M�~�D�����E�F�� [ A ? XZ � � �=�� � � r D =htvuw� F� y�����y ~��T�hM�N��7~ | M y ~ � KdM�~h�J~�M���� |B�d� ��� �����7K�Kd� y �B�7~f�BM � Kd��M���  | M�¡¢��£¤�B ����7~f� �B¥>¦�7M ¥ �7~f§ � K � � [ A � ~ �¨�7M ¥ �7~h© � ~ ª«�BM y ~ | C A1DIE�F ��� � ¥ M�§h�¢~­¬ ¦C A�D�E�F ? � =£ | M�~¨® ��¯E£ ° � [ A ? XZ �=�� ® ¯£T° � � � r D =htvu>u F±�y N­� �0� M�~ ¥ ��M��B ²D =1tvuw� F(��� ¥ �7��³´ ? � � £ ? ³ � � ~ �µ ?·¶ ¸ © y>� ¸º¹ E ¹ ³ �» y �B �� � ��M | � D =htvuw¼ F�� �M�K�� zVYXZ ?

= �¯ � z½? V = XZ�¯ r D =htvuw¾ F

¿�À�ÁÃÂ%Ä�ÅhÆ�ÇÉÈwÊËǤÄ0Ç1ÌÎÍhÈ�ÏÎÅ#Ð ÑdÒ D�E�FÑ E ?�Ó DIE�FÔ Ê5ÇhÄ�Ç Ò DIE�F Ï^ÕÖÈ�Ê5ÇØ×BÙËÐ5ÏÚÈ�Û²Õ�È�Ç1ÜÞÝ�Ù5ÐËß�È�ÏÎÅ Ðáà�Í�Ð5â Ó D�E�F È�Ê5Çäã¨Ï^Ä�Í�ß�â5ÇhÌÚÈ�ÍÝ�Ù5Ð5ß�È�Ï^Å Ð�À­×�åæÏÎÐ�ÈdçWÕ�ÈwÙËâèéÈ�ÊËǤÇqê(Ç1ß�ȺŠÐëÈ�Ç1Õ�È�Ý�Ù5Ð5ß�È�Ï^Å Ð5Õ�ÀÚÛ� y��ì� ~ �0� ¬fM�� �4�0��¦ �B� | �R© � ~ ª���M y ~æí5D�E�F����W  � §h�î g pc p

ÑdÒ D�E�FÑ E í5D�E�F Ñ E ? î g pc pÑÑ Eæï Ò D�E�F�íËD�E�FIð Ñ E U î g pc p

Ò D�E�F Ñ í5D�E�FÑ E Ñ E

Page 55: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ñhò�óõô÷öùøºúWôsûýüºþ(øTöùû ÿ ��� ���� ���� ������ ������

���� ����� ���� � ����� � � � �� �! #"$&% ��� ��'�� � �('�� �������� �)��'*+

� � ���� � , '�� ��('�� � �.-� �/'�� � � � , ��� 10 '2/3546*7 8:9<;=?>A@BDCFE�@HGJI�@LKNMPO<OQM/RSCQT�U?@7V(W(BD@XYXZCQMPT

[:\F] � ^H_2�`� !a( _cb ed '�Pf�hg 2��Pfi /j&k+`Z _hb � � � � i�lKNMPBLGDI(@nm+O<o�XZXZC<m+o�Opo�m�GDC<MqTrKNMPBsotI(o�BDu�MPT�C<msMPXZm+CQO<O<oGDMPBAutM/E(CQT�UvKNBDMPu GDI�@WhMPC<T�G � � oGSw �x* GDMsGDI(@sWyMqC<T�G � i oGSw � b 9z|{�}�~:�D����� a � � a��<k ���N{�} k�a }�� #" } aP`� !k6a � � {P��� ".k�a� �j�k+`Nj� !�#� �D� k � �` � #� } aS���� �������� ����f ^ ��qf � �f ^�_ f1�qf&0 '2/354/�� �q� k6" �N{�}�~:���6�1� a ��}�}D�+�P��� !k6aL� }�{P� � }� �� � � �� w

� �� �� �x*�� f¡  ¢ �'£- � ^H_ f � � �� w ^ ��q y�x*�-¤� g _ f1�L�)*0 '2/354627 � { Fj { F` �N{�}e}D�+�P��� !k�aAkD�y".k � !k6aH�<k �p�¡{�} `���` �¡} "s3 z|{ �`�j � aA� } `¥k6�!� }D��� k � !� }

�� w ��)¦sj�k+` _ w g¨§ `� !a _ w '2/354 � �© �¡{ �Pk � a ����� �ªj�k�a � � #k�aP`�� w �x*+ «� � � �¬¦ '2/354D­ �� w � b ®� � i �x� � j�k¯` _hb g°§ `� !a _cb - § `¥ #a _cb �¬� i � � � j�k+` _cb -§ � � i � � � j�k¯` _hb`� !a _cb 0 '2/354 �

Page 56: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

±D²³+´

µ�¶Q·1¸®¹ µ�ºP» ´¯¼�½ ·�¾ µ�¿SÀ�µ�º:» ´+¼7½hÁ¼�Â!é½cÁ ¼¥Â#Ã|½ ·¹ µ�ºP» ´¯¼�½ · ¼�Â!Ã|½cÁ ¾Äµ�¿ ¼¥Â!Ã|½ ·�À�µ�º:» ´+¼7½hÁ�¼¥Â#Ã|½ ·¼¥Â!Ã|½hÁ¹ µ�¿ ¼¥Â#Ã|½ ·�¾ÄµÅº ¼�Â!Ã|½ ¶ Á Àv·1¸¼¥Â!é½cÁ Æ ¶�ÇÈ5É6Ê7¸

˵�¶Q·1¸®¹ µ ¿ ½ » ´¯¼�½ ·�À�µ º ½ » ´¯¼½ ¶ Á À?·1¸¼�Â!é½cÁ Ì ¶�ÇÈ5É+Í�¸Î Â#Ï¡ÐAÏ¡Ð�ÑJ¼¥Ñ�Ò�ÏpÐPÒ�ÃÅÓLÔ©ÑÕÐPÒDÖÑ× ¹ Ø ¿ºÚÙ ·�Û�¶'µ�Ü Ëµq¸y¹xØ ¿ºÝÙ ·yÞ+ßàDá ˵ à ÀâßàYá ½ à µ à�ã

¹ Ø ¿ºÚÙ ·pä�ßàDá ÙÙ · ¶'µ ˵q¸(ÀâßàZá µcåµHÀæßà�á ½ à µ à'ç¹ À ßà á Ø ¿ºèÙ ·¡µ(é'åµê¾ ½ à µ�ë¾ á Ç µ ˵�ìììì

¿ºí à¡î ïNà�ð¹ á Ç éñµò¶ Á ¸ ˵�¶ Á ¸�À�µ�¶�ó7¸ ˵:¶'ó7¸�ë¹ á ÇÝô µ�¿ ½¼�Â!Ã|½cÁ ¶'µ�¿p» ´¯¼½cÁ Ànµ�ºZ¸(À µ�º ½¼�Â!Ã|½cÁ ¶�µÅ¿�Ànµ�º:» ´+¼½cÁ ¸Qõ¹ á ½Ç ¼¥Â#Ãö½cÁÚ÷ µ à¿ » ´+¼½cÁ À�µ º µ ¿ À�µ º µ ¿ ¾�µ ຠ» ´¯¼�½hÁöø¹ á ½Ç ¼¥Â#Ãö½cÁ ÷ ¶'µ à¿ ¾�µ ຠ¸7» ´+¼½cÁ À�Ç6µ�º1µ�¿ ø Ì ¶�ÇÈ5É6É7¸ù:ú<ûPû�ü�ý�þªÿ����������������� ����Dý�þ���������<þ�ý������� ������ ���� ������!�� ��"��

Û)¹ #Ç á ˵ à À #Ç á ½ à µ à$ ��%'& ý( !)*�Dý���� + µ�,'·-,/. µ�0 ·-021y¹43Yµ 5 ô 6 ×�798:; õ=<�¶'ó/Ü¡·-,/>1óÜ¡·-0�¸)Sý(þ��Dþ × 798 ��?�Dý�þ@���A�B� ��C���� �����Dý(þ@� ���������� �D�FE(�!�Dý µ 798 �-�� �� ¶�µ�0DÜ¡·-0�¸ �� ¶�µ�,NÜ¡·-,¥¸ ����G < ��<�¶'ó/Ü¡·-,/>1óÜ¡·-0�¸y¹

Page 57: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

H�ICJLK�MON"PFKRQTS"UVNWMOQYX[ZR\ ]A]^`_`abdcfe g�h i j�k�k�k/h i b�l mnAoprqs!t�uFvxw�yAz|{} ~�� ���� � pqs b������f� mn tR� i ��� j��@i �[��� ���n t m'� � i ��2��� �����(�!��� t��  ¢¡�£  ¢¤¥ b=� j§¦/¨©|ª¬«�­�® ¯±° � ® i ��² � � � ��² � � ��³9´ ��² �?µ � ® ��� ­ � � «�­�® �·¶���¸ ®�«�¹�­»º ¸�� « ¸ µ(¼ ��½� ³9´ ��² �¾µ � «�­ ¶ ® ���Y¿ ¹ ¼�À ®�«�¹�­�¹�ÁW® ���Y À�¼ �!��à ° ¸!¶���¸ ­ ¶��?��Ä À ¸ ®�«�¹�­ ¨|ÅÆ µdÇ"È � ¹ � ® ��¸ ®ÊÉÌË ¸ ­ µ �Í��� «9®�® � ­ ¸�¿

É � ^¢_`ab=cfe l mnAoprqs�t u vÎwDyÏz|{} g h i j�k�k�k/h i b ~�� � � �FÐ�ÑÓÒÐ ����(�!��� Ð � ÔÕÕÖ i j¨¨¨i b

×ÎØØÙ ¸ ­(Ú Ð Ñ « ¿ «9® ¿ ® ��¸ ­ ¿�Û ¹ ¿�� ¨ÝÜ � «9® � ® ���4Þ ß�àáà�âDã�ä å�æç�¸ ® � «éè Ò ¨ÆêË Ç"È � ¹ � ® �(¸ ®g h i j k�k�k/h i b ~�� � � �FÐ Ñ ÒÐ ��ë g h b Ð ~ £ ì�íAî2ì � o bðï �ñ h ~ ² Ò©òª�«�­�® ¯Wó?« ¸�¶ ¹�­ ¸ ¼ «�ô � Ò µ�õ ¸ ­�¹ � ® � ¹ ¶ ¹�­ ¸ ¼ ç�¸ ® � «éè ¨|ÅÆêÚ Ç ° � ®÷ö �§ø|ù úrûüþý b h ~ ² Ò ë h ~ ² Ò�ÿb ë � b ¨ ó ��� ­ �������¬ç@¸ ® � «�Ë �!¿ Ò�ÿ� ® ��¸ ®�Ë ¹�­ ÿ « ¿ ® ¹�Á�® �(���R��¿ ® ��� ¹ ��¿ ¸ ­�Ú � Ë ¹ ¼�À ç ­ ¿ ¹�Á Ò ÿb ¸ ­�Ú ��� ¹ ¿�� Ú � ® �!��ç «�­ ¸ ­�® ¿¸���� � � ¨�� õ � è Û(¸ ­(Ú�«�­ ¶ Ò ÿ��� j «�­ ç «�­(¹ ��¿�¿�� ¹ � ® ��� Á-¹ ¼�¼ ¹ � «�­ ¶±��� Ë À ��¿ «�¹�­Á-¹ � ç À(¼ ¸ Á-¹ � ® ��� � � ¯� ��� j � � n � t � � � � � � � � � £ j � � � k�k�k �� � n� ��� �Æ � Ç ° � ®�� ��² � ��t � � Á-¹ � ² � ²���� � t ¸ ­(Ú ¿�� ¹ � ® ��¸ ®?Æ�� ¨���� Ç « ç@Û ¼ « ��¿ ® �(¸ ® «�­® �(� ¼ « ç «é® t�� � ��² � ¿�¸ ®�« ¿�����¿ ® ���¬�!Ä À ¸ ®B«�¹�­h � �h ² � � � � � � ��² �� «é® � «�­�«9®�« ¸ ¼ Ë ¹�­�Ú(«9®�«�¹�­ ¿ � ��² � ² � � �! �"$# ¥   �   ¤ ¦"   � � ¨

Page 58: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

%&')(+*�,.-0/�1324-65728:9�;=<>;�?@9�A�<>A�BDCFE G�HIJLKNMOQPNR�SLT HVUXWZY 9\[�] K G�HI�MO^PNR�SLT H_U`W�a T 9�b;0c 9dbA W�e�f PgT HVU`W.h I 9�Ai9d;kj$l1m-6n7o4n U Cp<>; h <>ArqTts W�uDvwe srx�P v s4y�s4S{z}|R�~ v S�� f R�S�yXy�� v � f PNR�y�R f S�� v y�PQR�S�y>� v���v R�P v S{� vg� |��{R e y�x ��v� f��� s e�fZ� �{� v y v P v yg�LR�y�R�PX� v |R�y>R � s4y v y f R�S�P vg� yXy�� v R�� v S{y�R�y$z f � vg� sry f���Q� R�y�y v SsP �p� 9�?@9{<�B�8t9�<4?ZC�� T I7���� W� f 8t9�;=<>;�?@9�A�<>AwB�C ��R �� �Q¡

� � 9�¢ � 9 bL£g£g£ � 9 � 8:9�;:<>;�?@9 � < � B�8:9 � < � ? 9 �V¤ ¢:< �D¤ ¢�B £g£g£�¥8t9{¦¨§ ¢ <$¦¨§ ¢ ? 9�¦�<$¦=B £g£©£ 8:9 ¢ < ¢ ? 9 A < A B £ T I7��� � Wª yQR�P 8t9{¦¨§ ¢ <$¦¨§ ¢ ? 9�¦¨<$¦=B�C 8t9{¦¨§ ¢ ? Y ¤ ¦�«D¬®­�¯±°Z² ¤ ­�¯�³�´$µ¶ ?@9{¦=B·C¸8t9{¦¨§ ¢ ? Y ¤ ¦®«�¹:´$µ¶ ? 9{¦=BC 8t9 ¦¨§ ¢? Y ¤ ¦>º»¼ ¬ ¢b�½L¾�¿ § ¢bg½6À4¿:Á�¿ ³ ?@9 ¦ B ¨Ã=Ä�Å4Æ$Ç·È·Ä�ÃLÉgÇ$Ê=ËQÃkÌ�ÍÏÎ�ÎÑÐC 8t9{¦¨§ ¢ ? Y ¤ ¦ º»¼ÓÒ ¿¿kÔ Y ¤ ¦ º»¼ ¢b ½6À ¿ Á ¿ ?@9{¦=BC Y ¤ ¦ º»¼ ¢bi½0À4¿$Á�¿¯ 8t9 ¦Ñ§ ¢Z? Y ¤ ¦ º»¼ Ò ¿¿kÔ ?@9 ¦ B £ T I7���I WÕ fZ� y�� v P v4e�f S��Öy vg�>� R�S×y���R�PD��sPNy v4Ø x�s4y�R f S �Qv ��sr~ v8t9 ¦Ñ§ ¢Z? Y ¤ ¦>º»¼ Ò ¿¿kÔ ?@9 ¦ B�C � � [ ¦ 8:9 ¦¨§ ¢4? Y ¤ ¦�º»¼ Ò ¿¿kÔ ? [ ¦ BÙ8�[ ¦ ?@9 ¦ BC � � [ ¦ Y ¤ ¦ º»¼ Ò ¿ ¯¿kÔ 8:9 ¦¨§ ¢4? [ ¦ BÙ8�[ ¦ ?@9 ¦ BC �IJ0MO� � [�¦ Y ¤ ¦�º»¼ Ò ¯ ¿¿kÔ Y ¦ ¾ ¯Ú¬ Á ¯±°Z² ¤ Á ¯�³�´$µ¶C �IJ0MO� � [ ¦ Y ¤ ¦ º¿kÔ »¼LÛ ¾ ¿ ¯ ¤ b ¾ ¯ Ô º ¬ Á ¯Ü°Z² ¤ Á ¯¨³�§ Ô ¿º ¿ ¬ Á ¯±°Z² ¤ Á ¯�³ ¿ ¤ Ô ¿º ¿ ¬ Á ¯Ü°+² ¤ Á ¯¨³ ¿:ÝC �IJ0MO Y ¯ º¿kÔ »¼ Ô ¿º ¿ ¬ Á ¯Ü°+² ¤ Á ¯¨³ ¿

� � [ ¦ Y ¤ ¦mº¿kÔ »¼ a ¾ ¯ ¤ ¾ ¯ Ô º ¬ Á ¯Ü°Z² ¤ Á ¯Ú³ j ¿

Page 59: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Þ7߸àâáÓãåä�æXá�çéè�êVä^ãåç�ëiì�í î�ïð ñòZó0ôõ_öø÷Üùúkû�üý û úù úÓþ®ÿ ÷�� ��� ÿ ÷ � ú�� óLò\ôõ���ð �òó0ôõ ��Lö ÷ ûúküý ù þ�ÿ ÷�� ��� ÿ ÷ � ú�� � ò����������������! "�#���! %$�&'�!() *�+ "$ � ò,���ò-�/.10 & 0 �2�3�46587�9�46587;: 3�4"9�4�< ð>= �òó ôõ �? 7@ ö ÷üýBA ûú ù þ�ÿ ÷�� ��� ÿ ÷ � ú � �úDCFEHG ú ÿ ÷�I � ò����;J,�K $LM�!() *�1 "$��#N � ò,�O� ñ �QP2R3S�9#ST:U3V!9#VT<+WYX[Z\3 0�],^\_ ôõa` A 3 I�b ðc" "degf1h Xji�3k7 �l�l� i�3 e = �òZó ôõ �?nm�o � �6pú ö 3�q[rs t ôõ euv�w�x1y �ò � � 3 v 57az{3 v � @ z ñò � �}| @ 3 @v!~�� �� �� 0 �1� � 9 � ð 3 � 9 � z�3�*� � 9 �a� 3 � 9 � ð � � 9 ��� 3�*� � 9 �a� �3 � 9 � ð �� � 9 ����3�*� � 9 ��. "�#(�8N���$L K;�!��� N�$L� "�! %N�$��� � 9#V � ð � � 9#S � ð�� �� N � �!() *�1$ 0l. %$�� 0 & �DK �! "N�$M� K;� K ��c 0�.10( K � 0 Z'3 ð Z � K $L` A 3 I ð ` A � � 3 �*� I ð X}�%��%��� � � � 3 �*�*� �� ���3 �*� � i�9

ð X�� ��%�¡ ¢ � � 3�*� � �3�*� �£�¥¤ �¤ 3'¦¦¦¦¦ ÿ¨§"© � �>¤ �¤ �3'¦¦¦¦¦ ÿ¨§%© �� �7@ ¤ @ �¤ @ 3ª¦¦¦¦¦ ÿ¨§"© � @ �

7@ ¤ @ �¤ �3 @ ¦¦¦¦¦ ÿ¨§"© �� @�«¬ð ` �*� � ¤ �¤ �3 � ¦¦¦¦¦ � ��%� � X'�%�� �®­ ¤ �¤ 3 z ii�9\¯ ¤ �¤ �3±°H² ¦¦¦¦¦ ÿ¨§%© � � X}�%�� �´³ 7@ � �� @ z 7@ �}| @ � @¶µ i�9 ���N 2�3S�9#S·: 38VD9#VT< ð X[Z � 0l]�^¸_ ôõ¹` �*� � ôõ Xª�%�� �Y³ 7@ � �� @ z 7@ �}| @ � @�µ i�9 bð ö 3-q y ` �*�ôõ ~+º � � � 9#S!» � � 9#V � � ò����î-�. "�!(º � � � 9#S!» � � 9#V � ðc" "degf1h X i � 7 �l�l� i � e = �òZó ôõ �8?nm¼o � �6pú ö 3�q rs t ôõ euv½w,x1y �ò � � � v 587 z � v � @ z ñò � �}| @ � @v ~ � �� �

Page 60: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

¾�¿ÀFÁkÂ1ÃÄ�Å/Æ!Ç�ȸÉÊÅ#Ë�Ì�ÍÎÈlÏ�ÆaÄÊÐaÆ#Ç�ÈÑÈlÒ�Ó8Ä�Ï�ÈlÏ�Æ#Ô*É;Õ8Ô%ÏÖÆ!Ç�ÈÑÕ*É�׶Æ1Å#ÈlÕ*É;Æ!Ô"Ä�ÏÖØ1ÈnÇÉÊÙ�ÈÚÛÜÞÝßà½á,â�ã¨äåÊæ À�ç à�è8éëê ç à ½ì êîíå æ ä}ï ì#ç,ìàlðÑñOò�ó á,â#ôõÚÛÜ Ýßà½á,â äå;æ À�ç ìà½è8éHö ç ìà ê ç à½è8é ç àaê ç à ç à½è8é  ê ÚÛÜ Ýß÷"ø à½á8é íå æ ä}ï ì ç ÷*ù¨÷�à ç à ñOò�ú�û�ü á,â#ôõê äå;æ Ú ÛÜ Ýß÷"ø à½á8é À å ç ÷ýùT÷�à ç àgê ç ÷*ù¨÷"ø à�èé ç àaê ç ÷%ùT÷6è8é�ø à ç à  ê Ú æ ä}ï ìå ÛÜ Ýß÷"ø à½á8é ç ÷*ùT÷�à ç àÿþ À å������ ÂØ1Ç�È�Å!ÈMÆ#Ç�ÈMÕ*É�׶Æ\׶Æ!È�Ó{Ô*×ÑØ1Å!Ô"Æ#Æ!ÈlÏ�Ô"Ï ×¶Ì��TÇ�É�ÐFÄ�Å!Í ×¶Ä Æ!ÇÉ;Æ'Æ!Ç�ÈMÍ ÉÊÆ!Å#Ô"Ò� Ø1Ô"Õ%ÕaÁ8È×�,ÍMÍÎÈlÆ!Å#Ô�� �� Ç)Ì×¹Ø1ÈnÇ ÉÊÙ�È� õ Õ"Ô%ÍÝ ��� � äå�� Ú ÛÜ æ���� ú�û�ü��� ��� ç ékþ�þlþ � ç Ý �"!$# À ê&%(' � %  À å����*) ÂØ1Ô%Æ!Ç

� õ äå;æ Ú ÛÜ+,,,,,,,,,-

å ê í . þ�þlþ . .ê í å ê í þ�þlþ . .. ê í å þ�þlþ . .��� ��� ��� ��� ���. . . þ�þlþ å ê í. . . þ�þlþîê í å/10000000002 ö Ú æ ä}ï ìå ÛÜ

+,,,,,,,,,- í . . þlþlþ . .. í . þlþlþ . .. . í þlþlþ . .��� ��� ��� ��� ���. . . þlþlþ í .. . . þlþlþ . í/10000000002 þÀ å��3��¿ ÂÀ4�ÊÂ�5{È6�lÉÊÏ87,Ô*É;Ë�Ä�ÏÉÊÕ%Ô:9lÈ;� Á< ÉMÌ�Ï)Ô"ÆDÉ;Å= ÍÖÉÊÆ#Å!Ô"Ò?> �;@ Ô"Ï��¨ÈA�{Ô*×n×�,ÍÎÍMÈlÆ!Å#Ô�� Æ#Ç�ÈÐFÄ�Õ"Õ"Ä�Ø1Ô"Ï�˸Ø1Ô"Õ%ÕkÇ�Ä�Õ�7� õ >&B=�DCE>GF � ' õ > ' �DC/ÀH>&B! ' õ > ' �ICJ>LK õ �MF > õ >LK þ À å������ Â@ Ä�Ø1È��lÉ;Ï?7,Ô*É;Ë�Ä�Ï ÉÊÕ"ÔN9lÈO� Á<MÉ;Ï Ä�Å#Æ!Ç�Ä�Ë�Ä�ÏÉÊÕHÍÖÉÊÆ#Å!Ô%ÒQP ��@ Ä� õ P ' �DCRP ÉÊÏI7S7,ÈlÆTP õ í À å�� í".�. ÂØ1Ç�ÔU�TÇMÍMÈÿÉÊÏ×aÆ!ÇÉ;Æ� � Ý % �WV*X"Y�Z[X õ � � Ý % �WV*X"Y�\�Y]Z^\DX \<X áD_õ � � Ýa` �WV _ Y�Z _õ ã � � ` é � V _ �ü�b ü ð ã � � ` ì � V _ �� b � ð þlþ�þ ã � � ` ÝL� V _ �ú b ú ðõ c �d é c �d ì þlþlþ c �d Ý õ � Ýfe ìg h Ý÷ á8é d ÷ õ � Ýfe ìi 7,ÈlÆ�� Cõ � Ýje ìi 7,ÈlÆ�� À å�� í".,í Â

Page 61: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

k�lnmporqtsAuLowvyxAzJs qtv|{^}w~ ������D���=���$���W�=�����D�O�����W�������]�����:�"�����������W���=�D�����W�=���:�;�D���  �(¡J¢��=���  ¤£ � ��¥ ¡J���L���]¦��§ £�¨H©ªD«¬ ­�®�¯�°^± �M²�����

³´´´´´´´´´µ ´´´´´´´´´¶·¸¸¸¸¸¸¸¸¸¹

£ º�» ¼ ½"½�½ ¼ ¼º�» £ ºO» ½"½�½ ¼ ¼¼ º�» £ ½"½�½ ¼ ¼��� ��� ��� ��� ���¼ ¼ ¼ ½"½�½ £ ºO»¼ ¼ ¼ ½"½�½¾º�» £¿1ÀÀÀÀÀÀÀÀÀÁ º «�ÂÄÃJÂ

·¸¸¸¸¸¸¸¸¸¹» ¼ ¼ ½"½�½S¼ ¼¼ » ¼ ½"½�½S¼ ¼¼ ¼ » ½"½�½S¼ ¼��� ��� ��� ��� ���¼ ¼ ¼ ½"½�½Å» ¼¼ ¼ ¼ ½"½�½S¼ »

¿1ÀÀÀÀÀÀÀÀÀÁÆ ´´´´´´´´´Ç´´´´´´´´´È ²�������TÉ®ËÊÍÌ ® ½  4£ � »�¼�£ ¡Î �L���[Ï��D� Ð�ÑAÐ;���]���=��Ò^�W�w� ÉÓ �����]�&Ò[���I�H�������]�Ô�=�D� Ï�������ÐÕ�=��� �R�W���ÕÐÖÒ[���N×D�����w�]�� É® �RØ*�

������� ÉÓÄÙ(Ú ²Û�����·¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¹£Lº «  à  ºO» ½�½�½ ¼ ¼ ¼º�» £Lº «  à  ½�½�½ ¼ ¼ ¼¼ ºO» ½�½�½ ¼ ¼ ¼��� ��� ��� ��� ���¼ ¼ ½�½�½n£Lº «  à  º�» ¼¼ ¼ ½�½�½ ºO» £�º «  à  º�»¼ ¼ ½�½�½ ¼ º�» £tº «  à Â

¿ ÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÁ ½¢(�=���Ü���D�O�]Ý���¦�� �:�����R��ÝD¦��:��×I�E�=�I�]�������� ÉÓÄÙ(Ú ²  4£Lº «�¤ÃJ ¡����"��� ÉÓ º �����I� ÉÓ�ÞDÚJßÌ ÓÄÙ(Ú ²  4£Lº «  à  ¡ Ì Ó º Ì Ó�ÞDÚ �à���RÐ;² £�á�â�á�½"½�½�á[ã  ¤£ � »"¼�â ¡���:�=� Ì�ä ² » �W��� Ì Ú ² £Lº «  à  �  ��¡ Î �L���W¦��å   ± ¡ Ê å   ±=æwç Ð « ¡ Ê « Ì Óß å   ±�æwç   Ð ç » ¡ « ¡è² « Ì Ó�Ù�Ú ²  4£tº «  à  ¡ « Ì Ó º « Ì Ó=Þ<Ú² £ å   ±�æEç Ð « ¡ º «�ÂHÃJÂ�å   ±�æéç Ð « ¡ º å   ±�æwç   Ð º�» ¡ « ¡ß å   ±jç « ¡è² £ å   ± ¡ º « Â Ã Â å   ± ¡ º å   ± º « ¡ ½  ¤£ � »"¼]ê ¡

Page 62: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ë�ìí*î ï�ðàñ�òôó*õ�ö8ï�ð÷ñ�õ�øÛï�ð÷ñ�õ�öÍï�ð÷ñ�öôó*õ�öôó�ù¤úJù�ï�ðàñ�õwûüþý3ÿ���������ü�ý�ÿ��� ö ü�ý�ÿ����$üþý3ÿ������ó øGö ú ù ï�ð÷ñ�õwû�� ������ ï � ð÷ñ�õ�öÍï � ð÷ñÔöôó$õó ønö ú ù ï�ð÷ñ�õwû � ù ï� ñ ù ønö ú ù ï�ð÷ñ�õ � ð ��� �"ì�� õ��� î�� ð � õ � �"!$#&%'�(# �)�î+* !$# *ï�ðàñ , õwøÛó - �/. ì ð ��� �"ì�ë õ#10$2 � ï� ñ ð÷ñ , õèø ï�ðàñ , òôó*õjöÍï�ð÷ñ , õó ø ó�ð -$3 ö - � õó ø - 3 ö - �ø � ö ó�ùHúJù�ö � . � � ð ��� �"ì54 õ6 !7�98��:0;� � # <)Hî��=7*>�Nî 0 *=î ð �'� �"ì�� õ ��)ï�ð÷ñ�õ�ø ?@)A� 0 ð�ú�ñ�ò B õ ð ��� �"ì�C õ#10$2ED � î��F* !7�HG î�= 0$27# �>I � î 0$2 � *>�Nî 0 ) ð ������ì�ë õ #10$2 ð ������ì54 õ � �J!$#&%'�ï�ð÷ñ , õ�ø ì û ?@)A� 0 ð ú�ñ , ò B õwø ì û B ønö úéñ , ò KML K@N@O ð ��� �"ì�P õ� ! � �Q!R8 � %'� )S* !$# * ï�ð÷ñ�õwø ?@)A� 0 ú ðàñwöôñ , õ T � ! �� �� ï� ñ ø ? ú � î) ð÷ñÔö ñ , õEû ï � ð÷ñ , õ�ø ? ú ý ù U 3 �WVA�û

? úÍø � û ? ø �ú ð ��� ����ì õ6 ! =X) ï�ð÷ñ�õwø )Y� 0 ú ð÷ñwöôñ , õú � ð ��� ����� õð D õ Z # * !7� � � 078[# M* !7�H\ � �:% �:î�=X) � � )A=7 *])�*=î 8�� * !;� � � �"8�� *^ ø ���_`� a bdc e� LgfYhi ó$j ýk_`� 3 � L _l ��m ñWnpo 3rqù

Page 63: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

s�tvuxwzy|{+}(wS~��+��{Jy|~@���S� ���� ������g�A����S�r�Y����`��� ��p� �¡ £¢ ���Y��  � ¤ �¦¥�§�¨W©�ª«g¬ �r�A�­¯®A°� ������g�A����S�r�Y� � � ����`� �¦ �± � � ¬ ���A� ­¯²³°�´�µ����g�Y����S�r�A�<¶¸·<¹ ¨WºY»r¼ ¬ ���A�­ �>½¾�A�A� °� ¿ �ÁÀ���g�Y��  � Ãg¹ À�Ä »�Å ¹ �'Æ ���:� »ÇÉÈ�ʳË>È ��¹�Ì »Í�Î ºÏ¨WºQÐ Î$Ñ ¨ ÑQÒ � § Î ±EÓ �YÔMÕ�Ö��Ø×`Ù ¹�Ú�Û ¨>ºÝÜ Ú'Û ¨ Ñ »­ �>½ ÞAÞ °� ¿ �ÁÀ���g�Y��J � Ãß¹ À�Ä » § Î ± Ó � �ÁÀ�5��J � à À�Äáà ¹ Î �º�â Î �Ñ »'ã È À�Äåä � Î º Î Ñ>æ × ÅçMè³éXçëêßì�í�îðï1ì<ñóòÉí$ôöõ÷í$ø:ù�ï1ù³í$úûõ�ü1í$õ`ñ�ü:ï�ýþ ¥ Î �Ýÿ�� ¹ Î � Û ¨ � Ü Î � Û ¨ � » ÿ�� ¹ Î � Û ¨ � Ü Î�� Û ¨ � » � ÿ�� ¹ Î � Û ¨ � Ü Î�� Û ¨ � »î ì�ñ'ü1ñ ÿ�� ¹ Î � Û ¨ � Ü Î�� Û ¨ � » ùÏøöï1ì�ñ��Wü1ñ�ñ õ�ü1í$õ�����ï1í$ü � ê�������ü��7ù¦ç è��MèÏé�������� ýñ��<õ��Ïù³òÉù�ï���ýëõ`ñ'ü��Wí$ü&ôöù³ú ï1ì<ñ@ùÏú ï1ñ!Mü����"�$#&%(')%+*<í�,.-�/0�<ø:ñ@òÉí$ôöõ1�³ñÉï1ñ�ú<ñ'ø:ø2�1è

354+6 Ì27 4þ ¥ Î �Ýÿ�� ¹ Î � Û ¨ � Ü Î � Û ¨ � » ÿ�� ¹ Î � Û ¨ � Ü Î�� Û ¨ � »� þ ¥ Î � ¿ ����g�Y�� ¹ ¨ � ä ¨ � » 4$8�9;: � � ¹ Î � ä Î �» ��5�� ¹ ¨ � ä ¨ � »=<?>¿ ����g�Y�� ¹ ¨ � ä ¨ � » 4$8�9;: � � ¹ Î � ä Î@�

» ��5�� ¹ ¨ � ä ¨ � »;<� ����g�Y�� ¿ �¹ ¨ � ä ¨ � » ¹ ¨ � ä ¨ � » 4$89 � � Î ���É�� ¹ ¨ � ä ¨ � » 4$8�9 � � Î ���5�� ¹ ¨ � ä ¨ � » >þ ¥ Î � 4$8�9;: � ��É�� ¹ ¨ � ä ¨ � » Î � � â � ��É�� ¹ ¨ � ä ¨ � » Î � � ä � ��5�� ¹ ¨ � ä ¨ � » � Î � Î � ä � ��É�� ¹ ¨ � ä ¨ � » � Î � Î�� <

Page 64: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ACBD EBGF�HJIKML NOQPSR.TUP&VXWYOQP&V.TZP\[$W�]$^�_a` H EB�IKcb d RROQPSR.TUP&V&W"e d R[OQP&V�TUP\[�Wgf�hjik�l d V ]m^_a` H EB!IK b NOnPXRoTpP&V&W e NOQP&V�TUP\[�W f d R V T H EIK d V b d ROnPSRqTZPrV&W e d [OQP&V�TUP\[�W f�hD EBGF�HJIK L NOQPSR.TUP&VXWYOQP&V.TZP\[$W ]$^�_a` H EB�IK b d RROQPSR.TUP&V&W e d R[OQP&V�TUP\[�W f�hjik l d V ]m^_ ` T EBGHJIK b PSR.TUP\[OnPSRqTUP&VXWYOQP&V�TUP\[�W fb d R V T B!IKH E PXR.TUP\[OQP R TUP V W&OnP V TUP [ W H EIK d V bYd R$OnP&V�TUPJ[gW e d [�OQPSR.TUP&VXWOnP R TUP V W&OnP V TpP [ W fGf�hD EBGF�HJIKML NOQPSR.TUP&VXWYOQP&V.TZP\[$W�]$^�_ ` H EB�IK b d RR OQP&VsTUPJ[gW e d R[ OnPSRqTUP&VXWOnPSR.TUPrVSW&OnPrV�TUP\[$W f�h itu k l d V ]$^�_�vw x T EBGHJIK b P R TpP [OQPSRoTUP&VXW&OnP&V�TUPJ[gW f b d VsT d R OQP V TUP [ W e d [ OQP R TUP V WOnPXR.TUP\[gW f RCy z{ |} i

]$^�_a` T H EB�IK NOQPSR.TUP&VXWYOQP&V�TUP\[$W�~ d R�OQP&VsTUP\[�W e d [mOQPSRqTUP&VSW(� ROnPXR.TUP\[$W hD EBGF�HJIK L NOQP R TUP V WYOQP V TZP [ W����� F�BCHJIK OnPXR.TUP&VSW&OQP&V�TUP\[$WE OQP R TUP [ W ]$^�_a` H EB!IK NOnP R TpP V WYOQP V TUP [ W i

bgd RR OQP&V�TUP\[�WYOQPSRoTUPJ[gW e d R[ OnPSRqTUP&VXWYOQPSR.TUP\[�WOQP R TpP [ W Td RR OQP&V�TUP\[�W R T d R[ OnPXRoTpP&V&W R T B d R d [ B OQP&V�TUP\[�WYOQPSRoTUPrVSWOQPSRoTUPJ[gW f�hD L EBGF�H\IK OQP R TUP V W i]$^�_a` H EB!IK bYd RR OnP&V�TUPJ[gW&OnPXRoTpP\[MTUP&V e P\[�W e d R[ OnPSR.TUPrVSW&OnPXRoTUP\[oTUPSR e P&VXWOQP R TZP [ W&OQP R TUP V WYOQP V TUP [ W TB d R d [ B OQP&V.TUP\[gW&OQPSRoTpP&V&WOQPSRoTpP\[$W&OnPXR.TUP&VSW&OQP&VsTpP\[$W f�hD L EBGF�H\IK OQPSR.TUP\[�W�]$^�_ b H E O d R�T d [$W RB�IK OnPXRoTpP\[$W=fD ��� O d R$�SPXRg� d [$�XP\[$WY� O B� NGNm� W

Page 65: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

�� ��� �����+�.�����M�����;�g�.� �G��� n¡¢¤£X¥�¦a§a¨©�ª¬«\­U®�¯�¨=©�¨�°Q¥�®�ªQ±)²³µ´·¶n¸&´º¹S»�¼¾½�¿JÀÁ)ÂÃjÄ�Å ¶Æ¹ÈÇÊÉ�ÇË ¯1¨�©�¨ÍÌ´ÏÎÑÐÓÒÔÕÈÖ ¼ Ì×�ØÚÙ ÒÛÜ ¥Ý²1Þ�®�¯�¨=©�¨�°Q¥�®�ªQ±)²Ðàß!á ÌâßGã á ¼äß Ì´ßGã ¼ Âæå Ìç�è éê à ½�ß ÌâßGãpë ÌÉ Ø ÌÉ ë ß ÌâßGã Ä.ì�í£Xîï¦ð§a¨�©�ªñ«\­5®�¯1¨óò!±)²�®�ªQ²�ô�ª�®�­5¨õ�ô�¥®�ªn±)²ö)÷ö ã è Ìøúù!û Ìü ¼þýË ªÿ®�¯ Ìü�� ª���¨²àî�­ Ìü ¼¾½ ÀÁÐ Ä ����� Ìø ù�� � Ø�� ÂÐ Ã�� Ì������� á í������������� �!�³ ´ ¶ ¸&´ ¹ » ¼ " × ¶ Ø Â#� ¶Ã ¸ × ¹ Ø Â#� ¹Ã%$ ¼ Ø Âà ³ × ¶ ¸ � ¹ » Ø Âà ³ � ¶ ¸ × ¹ »¼ ¿JÀÁ�Âà ö � ¹ö â ¶ Ø ¿\ÀÁ�Âà ö � ¶ö â ¹ ¼ ¿JÀÁ�Âà ½ ö � ¹ö â ¶ Ø ö � ¶ö â ¹ ļ ½ ¿JÀÁ�ÂÃàÄ Å ¶Æ¹ÈÇ É Ç í � ê!& éCé(' ��)�����*�+�,�*-/.10324�5� 2ß â ¶ßGã ¼ é¿JÀÁ ³ â ¶n¸(6 » ¼ é¿JÀÁ879 â ¶ ¸ Ì´ áê Ð è Â#:5;< ¼ é¿JÀÁ%79 â ¶ ¸ Ì´ áê Ð ;<¼ é¿JÀÁ ê Ð>= ³ â ¶ ¸&´º¹\»�´"¹ è ´"¹�³ â ¶ ¸&´º¹\»@?æ¼ é¿JÀÁ ê ÐA= ³ â ¶ ¸ × ¹Y»$´"¹ è ´"¹s³ â ¶ ¸ × ¹S»@?¼ ê ¿JÀÁê ¿JÀÁ Ð ´º¹CB�¶µ¹"¼ ´�¶Ð D

Page 66: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

E*FGIHKJMLGON H P QR1STVU GIJMLGON�W(X�Y P QR1ST�Z [\@] L W_^] H` ZbaVc#d5ef

P QR1ST ` Z Hgih ] L WK] jlk*] jman]oj h ] L WK]ojpkrq,a cR1STiZ h ] L WKdskt H4u�vpv@w4xP Q` Z H RpST U R1ST cynz L jp{}|,{}]oj~a RpST cy�z L j�{}] jK|,{KY�a cR1STMZ ��� L�� c#� Ly WKdM�P c` Z H y�� � z L {�j(| {(] j�a z L j�{(]oj(| { ��a cR1STiZ h � L WCdskP c` Z H y Z�� z L j�{ J jGON |,{ � z L {�j}|,{ J jGON�� � cZ�� d� JML�Z GIHKJMLGON H P c*� L a c` y U�� ^JGON�� ^|�� L � � ^|�� ^JGON � L Y �Z GIH ^JGON H P c_U ^��a Q` y � ^JGON�� ^| � ^|�� ^JGON*��Y � � `+� Q�Q}� �

�@� �o� i¡£¢l¤¦¥§¡©¨pª+¡#«s¡#¬�ª+¡}¬M¢®­!¯( M°�±² ª+¤¦¬M³�¡}°�¡*´Iµ�¶ ¢l¤ ² ¬·¤¹¸R1ST �� N»º JM¼�½�¾ W Np¿*À4NKÁ P º JM¼�½ X ½�¾ W Np¿}À4NKÁ P º JM¼@½ Q` Z Âà ^� �Äc ^�y�ÅÆ H aVc#d ½�¾ W Np¿}À4NKÁ

P Q` Z [\ � R1ST ^Ç ¼»� c ^� � ^J ¼ �y efÉÈ [\ � R1ST ^Ç ¼»� c ^� � ^J ¼ �y ef º JM¼�½ ¾ W N ¿ À4NKÁ aVc#d � ^J5¼ � º JM¼�½�¾ W N ¿ À4NKÁP Q` Z U � ST H ^Ç ¼ È ^Ç ¼ a cy R1ST ^Ç ¼ È ^� � ^J ¼ ��a RpSTÊcy ^� � ^J ¼ � È ^Ç ¼ a c Hy H � H � ^J ¼ � Y®Ë � ^J ¼ W N �a£c#d � ^JM¼ � Ë � ^J5¼ W N �P Q` Z � � ST H Ç ¼ H Ë � ^JM¼ W N � ¼ a cy R1ST�Ì ^Ç ¼ È ^�ÎÍ Ë � ^J5¼ W N ��a cy R1ST ^� � ^J5¼ � È ^Ç ¼ Ë � ^J5¼ W N �a R1ST cy ^� � ^J ¼ � È ^Ç ¼ Ë � ^J ¼ W N ��a c Hy H � H � ^J ¼ � Ë � ^J ¼ W N �@Y�aVc#d � ^J ¼ � Ë � ^J ¼ W N �P Q` Z U � ST H Ç ¼ H Ë a c y R1ST�Ì ^Ç ¼ È ^�ÎÍ Ë a ` RpSTÏcy ^� È ^Ç ¼ Ë a c Hy H � H Ë~Y aVc#d Ë � � `+� Q�Q E �Ð µMÑÒ¢4¤Ò«MѦÓ!¤¦¬M³Ô¢4 M¡�ѹ¶O¸1¢o¡�´�µ�¶*¢4¤ ² ¬ � Ó ËÕoÖ ¡Î³�¡}¢R1ST Ë Õ �� N*Ë P

Page 67: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

×+ØÚÙÜÛÞÝ£ßáà�Û~âbãáä®ß,Ý£âæå©ç~è éOêëì�í î�ï£ðñMòKó®ô4õ�ö ò óø÷Äùú!û ðñýüÿþõ3ö��_þ����� ó�� ò ÷ ì û ðñùú þ���*ó®ô þõ�ö óø÷Äù òú ò � ò ��ó�� ò ÷ ù�� ��ó�� ò� ������������������� ���"!$#&%�')(+*&���+,-*&��.0/��$1�%�*&.2��!3.4/

ï û ðñMó65587 ó ô�9ëì�í î ï£ðñMòKó®õ�ö ò óô ï ùú+û ðñ ü�þõ3ö:� þ� � ��ó�� ò ï ì û ðñÏùú þ�;�*ó þõ�ö óô~÷Äù òú ò � ò � ó�� ò ÷ ù<� � ó�� ò� ����%=/�/>%�?�*A@�(��B*&.�!�'C*A�����4(�/>*D*&ED���$1�%=(+*A.��"!=/�ED�F'���*ï ðñ�òìOí G ó ô õ ö ò ó ï óõ ö ò ó ôIH÷KJ ùí úML û ðñ ü þõ ö � þ� � � ó�� ò ÷NJ ùí úML û ðñ þ�O��P�ó ô þõ ö ó ÷ ó þõ ö ó ô�Q9 û ðñ3RIó ô 5587 óø÷nó 55=7 ó ôIS�Tï ðñ òìOí þõ ö � G ó ô þõ ö ó ï ó þõ ö ó ô&H ÷ J ùí ú�Láû ðñ üÿþõ ö � þ� � ��ó�� ò ÷ J ùí ú�L_û ðñ þ�U��P þõ ö ��ó�� ò Q9 û ðñ 5587 � ó�� ò T55=7 ��ó�� ò 9 ï ðñí þõ ö � GWV P�ó ô þõ ö ó QXH ÷NJ ùí úML þõ ö � G þ� ��ó�� ò HDT55=7 ��ó�� ò ÷ þõ ö � î ðñí V P�ó ô þõ ö ó Q ï J ùí ú�L þ�C� ó�� ò 9OYZT5=[587 ÷ þõ�ö�� þ\ 9]Y P ì:^ÒëOë+_ QED.�*&� þ\ 9 üa`bc � V P�ó ô þõ ö ó Q ï ü�dc-e � þ�C��ó�� ò =(+!=f [ 9 ��ó�� ò

gahjilk�m�n6olpolq�r$s$t=nvuwt:xyo:z|{n}r$~�oZ��s$olz�o:n�q�oZt:�|�3��n�{��At=s+u�uw�:�an�o�r${jq���olp�{nwr$~�o�������{s$olq�r${jt8n P þ� 9 �}�� Q h� �8����xa��pj���lr$o �����"�������X�� ~�ols$o �����U�l� ï ù � �ú � �������l� ï ù � �ú

Page 68: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

�"� &¡�¢ £¥¤§¦�¨8©wª�«�¬$­®°¯6±$²�³}´v«�©µ­j¶4±$¨=®�­j«�®�«�®�·¸±¹²�³}¦�¨=©w©6º°±$«:±$­4¨=®w¬$³:¶j«:±$­j¨=®¨=¡°±$«�­j®�³l·3­®» &«8¢�¼ ­4±$²3±$²�¨=½�³�¨:¾°±¹²�³�¨=®�³�¿�·�­j©µ³l®�½�­¨=®�«�¶l¨8½<¦�­¶j¶«l±$¨=¬�ª�¬+¨=¡�¶³l©½�²�¨:¼À²�¨:¼Á¼Z³�¦�«�®O­©w©w³l·�­4«:±¹³:¶�¤Â¼ ¬$­Ã±$³3±$²�³v³l®�³l¬�¯8¤Ä³:­4¯a³:®ÆÅa«�¶jº�³l½�«�½ÇÉÈËÊ Ì�ÍÏÎÐ�Ñ�Ò ÑÓ�Ô Õ×Ö�Ø�Ù$Ú3Ø ÎÐÔ3Û¸ÜUÝ�ÞCÕNßÓÆà á¼ ²�³:¬$³ ÎÐ�Ò ­½�±$²�³â¦�¨=®Æ±$­j®°º�¨8º�½¥³l­4¯Æ³l®ÆÅa«�¶jº�³Z¨:¾�±$²�³Zã:ä�¨=ªå³l¬$«:±$¨=¬Z«�®�· Þ ­j½¥«®�¨=®�®�³M¯a«:±¹­ÃÅy³â­j®Æ±$³�¯a³:¬Z­j®�¦�¶jº�·�­j®æ¯»ç�³l¬+¨°èé�ê�ë¥ì3í$î�ë�ï�ð&ñ4ò�ó=ë�ô0õ÷öÚ Í Ú}øù ò�í+ï�ú8ë õlë�û&ñ2ü:ë$õ¥ýjû&þ"ìÁíCü:ë¹ò�ð&þ"û�ÿ=ë�ð&ë<ï�ð&ñ0í+ôÂö��� ö���þ$ý ð&ê�ë�ýjþ"û&ì ��� Í� Ú�Ó á ��� Í Ú �Ó á � ä Í� �� � Ó�� ß"ß � �é�ê������Dë�ê=í+ülë��� � á � ��� Í � ã � � Ù ���Û á ã � � Ù ���Û! #" Ñ%$'&(&*),+Í � ã � Õ Ù$Ú�Ó�Û á ã � � Ù$Ú �Ó"Û- Í � Ù$ÚÓ"Û � ã � á � � Õ Ù$ÚÓ"Û � á ã � � Í/.IÎÐ Ù+ÚÓ"Û Õ .IÎÐ Ù$ÚÓ�ÛÍ .IÎÐ Ù$ÚÛ � � Ó�� ß"ß10 �� ú � é�ê�ë#2Fí+ì�ñ2ô�ð&þ"ï�ñ4í$ï ýjþ"û�ðAê�ñ3�4�65��>ð&ë�ì ñ3��î�ñ2ü:ë<ïCú�57 Í ßÓ�Ô 89 öã � Ù ö�Û;:< Ñ Í ßÓ�Ô � Ñ� Õ ßÓ�Ô � Ñ� Õ ßÓ�Ô ã Ñä Í=7 & Õ 7 Ñ � Ó�� ß Ó ��Dê�ë<û&ë>7 &�? &ÑA@ � Ñ� Õ &ÑA@ � Ñ� í+ï õB7 Ñ4? &ÑC@ ã Ñä ��D ñ�ï=ò�ë� 7 & á 7 Ñ � Í ßE)Ô ÑGF Ý ã � Õ Ù$Ú�Ó"Û6à Ñ ÕNÝ:á ã � � Ù$Ú �Ó"Ûµà Ñ á ã Ñä%H Í� � Ó�� ß Ó ß �ðAê�ë�û&ë�ë1Ilñ3�IðJ�DíG�Ië<ð�þ$ýK�Iñ2ìG��ô�ð í+ï�ë<þL�M� ë�ñ�î"ë�ïM�Ið í+ðAëN� Ø Ò á�ÞPO þ+ý ðAê�ë¥þ"ÿ=ë�û�í$ð&þ�ûJ�Q7 & í+ï=õ7 Ñ �#D þ3ñ ý ÎÐ=Ò ñ3�Dð&ê�ë ò�þ"ï�ð&ñ2ï�ñ�þR�M��ë�ñ2î�ë�î"ë�ï�ü�í$ôS��ëFþ+ý|ð&ê�ëZþ"ÿ=ë�û�í$ð&þ�û ãlä í$ï=õ Ø Ò á�ÞTO ñ2ð��ë�ñ2î�ë�ï��Ið�í$ð&ëU�DëV�Dñ2ô�ôÆê í+ülë7 Ñ Ø Ò á�ÞPO Í ã ÑäÓ�Ô Ø Ò á�ÞTO Í ÎÐ Ñ Ò ÑÓ�Ô � � Ó�� ß Ó�Ó �

Page 69: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

W�XY[ZT\Q]>^VZ`_ba>cK]�\Q_edgf`h ikjl�mon%p�q�rLn,p�q1sVpMtNmMuwv>x4y{z�z6yS|Gy~}3t�s4n,r�n,p�q>��t�|Gy~}Sn%rRm�y3tNm�r��Kn%p�q�rLm�qg�6u�y~|Gq1mMz6ySrRmMt�}r�z%�gyS}S}{t�n,rLs���s%rL��}Sq1|��4p�y3��pGy{z��Ly~��q1m����v�� ��L�e���`� x� ��� �,��� � ��� � �L�k��4ySn%p¡  �P¢A��£ �¥¤(¦§ �G¨ m©rLsJu�q1sUn%r�ªMz6qGn%p�q>q«yS�Lq«m���tN}Sª�qNz4r��¬n%p�q�pMtNs%|GrRm�y3�#r­z%��y~}S}3tNn%rRs®�¯ �°¦§ �²±,³ � x��´ �4q�z(p�rLª�}{u�pMt���q�n,p�qUz,t�|Gq���rR|G|�ª�n�tNn%rLsµ��q«n%�4q1q1m�n%p�q�z%¶�ªMtNs%qNurL�Mq1s�tNn%rRs�z4ySm�n%p�q��VtN|GyS}~n%rRm�y3tNm �`· s%rL| � t � �4qVpMtN��q �¸�¹ ¢ ¸�º £ ��¤(¦§¼»N½¾À¿  (Á ¸�¹ ¾»N½� ¢ ¸�º £ ��¤(¦§Äà � ��� � ��Å��Æ�rGv x �1tNmÇ�Mq��4s%ySn,n%q1mÈySm�n%p�qV�*rR}S}SrR�4ySm��U�*rLs,|v xÀÉ ��R� ¸ �¹ � ��L� ¸ �º � ��L� ¸ �º � ��R� Á ¸�¹ ¾»N½  �VÊ »N½ Ê �¾ �� ��R� ¸ �º � x� �ÌË Ê »N½ Ê� ¾QÍ � Á ¸�¹ ¾»N½  � à � ��� � �LÎk�¨ m�n,p�y3z¼�*rRs%|�y~n4y3z�rL����y~rLªMzÏn%pMtNn��4q��1t�mos%q1��}3tL�gq � �4y~n%p�Ð ÑÓÒµÐÔµÕ n%r�pMt���qv Ê'Ö ¢ ³P× � v x Ê Ö ¢ ³P× � v � Ê'Ö ¢ ³T× � ¦§ �%Ö ��L� Ê'Ö ¢ ³P× � Ë�Ê »N½ Ê ¦§� ¾ Í Á ³ � �� Â Ê Ö ¢ ³T×� Ø ¦§ ��Ö ��L� � Ë�Ê »N½ Ê ¦§� ¾ Í Á ³ � �� ÂPÙ Ê'Ö ¢ ³T× Ã � ��� � �Lik�ÚÄÛÝÜ�ÞGß�àMáãâ1äÝåãæ�çQèÈéêè�ç1ëNä*ì�í*æ#à�îÏïðè�â«â � è�áêå©ìLñãè�ç1òÄæ>óQä*áeè�á©äÝïðéÏæ�áêæ�ëNçNè�ôãíÝæìLõãíÝä*áêåãæ�ç�ö�äÓë÷ñøçNè�åêä*ùãâûú�è�áêåøñãæ�äÓòÄñüë�ýMÛ©þGíÝàMáPò²ëNñãæÿè��ãä*â�à�î#ë÷ñêæÿìLõãí*ä*á��åêæ�ç>çNùêáãâ>è;ëNñãäÝá��ãäÝïðéÏæ�áãæ�ëNçNè�ôêí*æ>â1àMí*æ�áãàMäÝåðì�è�çNç1õãäÝáPò©èeïðè�òÄáêæ�ëNä*ì��µù���Ûß�è�íÝì�ùãí*è�ëNæÇë÷ñêæ�òüçNàMùãáêå â�ë÷è�ëNæ;æ�áãæ�ç1òMõ è�áêå²ö è�� æ­î(ùêáãìLëNä*à�áÏÛ¨ m�n%p�q-�1tRz(q©�4p�q1s%q� ½ � �ðn%p�qðÆ���p�s��r­u�ySm��Lq1s�qN¶�ªMt�n,ySrLm�r���|ÈrLn%y~rLm y~m=n,p�q����}~ySmMu�s%y3�«t�}Ä��r�rLsJu�ySm�t�n%q÷z y{z ������Ô  �� ��� £ � � ® � ¿� � � �Ô���� ��! � � x ��" � x � � ��!# � � � ��%$ �'&�( � � � � � ® ( � � � � ��� � �kjL�

Page 70: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

)+*,.-0/213/24658761:9<;.=?>A@B>AC�DFEHGI;J@�D6KL;.=MD6NL;OC�DQPSRUTWVMX2E XOY[Z\ ]_^ /213/258`a`cbUPSde1GI;O@�D6Nf;JC�Dhg XAKg = Xji GI;J@�D�Nf;OC�Dlk= g Kg = i KL;.=MD6NL;OC�D= X g X"Gg @ Xi Kf;.=MD�GI;O@�D g X Ng C Xji V X KL;.=MD6GI;J@�D�Nf;OC�D�EnmpokKL;.=MD g X Kg = Xqi kKf;.=MDJ= g Kg = i k= X GI;O@�D g X Gg @ Xri kNL;OC�D g X Ng C Xsi V X Enm�;Jt�u k t * D/25876bW58RM5a7�5vPh`�w"x+R?T�5a7�5ax+R?yL9<;z=e{S>A@B>AC�DFE|9<;_Kf>}@[>AC�D�E|9<;.=?>A@B>Am�D�EH9<;.=?>}@[>A~MD�Enm�u� x kNf;JC�D g X Ng C X EH��� X o g X Ng C Xji � X Nf;OC�D�Enmpo NL;OC�DFEn�f�6�!����� i�� �A�h�������p;Jt�u k t���D/25876bNf;Om�D�E m�o���� i�� ��Enmpo NL;OC�DFEn�f���A�!���������h�������A�:EH��y_58RI�.CNf;J~UD�E m�o ��y_58RI�.~:Enmpo �z~�En���Wo ��E�a pEn� � ~ �WEH¡ k >"¡Lt�>£¢£¢'¢� x NL;OC�DFEH�¤y_5aRI�a +C ;Jt�u k'¥ m�D¦§x+/�/213/25a`8`cb?Phd�1 kKf;.=MD g X Kg = XWi kKL;.=MDO= g Kg = i k= X GI;O@�D g X Gg @ X:i V X �¨� X E©mo = XKf;.=MD g X Kg = XWi =KL;.=MD g Kg = i kGI;O@�D g X Gg @ X:i = X ;OV X �ª� X DFEmo kGI;O@�D g X"Gg @ X E|��« X o GI;J@�D�EH�'¬�� Y0­ ¢ ;Jt�u k'¥�k D/25876b GI;O@ i t+�[D�EHGI;O@�D�o�«¯®q°±¢ ;Jt�u k'¥ t�D� x²76b�1 � w"bM4h³x�Te5aRM´+1£4�1hµ�¶UPS7658x�Rs5vy·4�1hT�¶?w!1hT±76x= XKf;z=MD g X Kg = Xji =Kf;.=MD g Kg = �¨« X i = X ;OV X �¨� X D�Enm

Page 71: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

¸�¹|º�»�¼�½:¾3»F¿�À:ÁQ½I¼�¿ÃÂ!ÄFÅ Æ�ÇÈ É�Ê"ËÉ�Ì ÊWÍ ÎÌ É�ËÉ�Ì Í ÏJÐOÑ Ê�Ò¨ÓzÊ%ÔBÒ|Õ ÊÌ Ê[Ö Ë Ð Ì Ô�×ØÈ É�Ê"ËÉ Ð_Ù Ñ Ê Ò¨Ó Ê Ì Ô Ê Í ÎÙ Ñ Ê Ò¨Ó Ê Ì É�ËÉ Ð_Ù Ñ Ê Ò¨Ó Ê Ì Ô Í Ï Î Ò Õ ÊÐOÑ Ê Ò¨Ó Ê Ô Ì Ê Ö Ë Ð Ì ÔQ×nØÈ Ë Ð Ì ÔQ×nÚ§Û!Ü�Ý Ð Ù Ñ Ê Ò¨Ó Ê Ì Ô Í�Þ Û£ß3Ý Ð Ù Ñ Ê Ò¨Ó Ê Ì Ô ÐOàeá Σâ+â Ôãåäsæ�çMè:é£ê+ë_è�êSæIç?êSä?ìsíaäïî2çMívé"ç ÌeðLñ Ø î2èfë_ç�ò�óMôõìWæAêSöeè Þ Û ×Ø ë_í8ä?é"è ß Ý ñ ÷î2çMè£ä Ìrñ Ø á�øúù ò�ûüæ6çMèfò+æ6çMè ùIý ò�óMäUìMê ù�þ é!ò�ä?ì�í8æ6í8ò�äsî2è3ÿ�è'æË Ð Ë Ô·×Ø È Ú Û Ü Ý Ð Ë Ù Ñ Ê Ò¨Ó Ê Ô�×nØ È Ë Ù Ñ Ê Ò¨Ó Ê ×�� Ý�� ÐOàeá Î'â�� Ôî2çMè ù è �MÝ�� ívëFæ�çMè��Oæ�ç��£è ù ò�ò� �æ�çMè Õ Jæ6ç±ò ù ì�è ù�� è�ë6ë_è'ô� zóMä?é"æ�íaò+ä Ü�Ý á�� çMíõëFû±èhêSäUëæ6ç?êhæ2æ6çMèfè£äMè ù ÿ þ è£íaÿ+è£ä?ë_æ}êSæ�èhë2ê ù è�ÿ+í��eè£ä ýMþ æ6ç�è�è���ó?êhæ6í8ò�ä

� Ý�� × Ë Ù Ñ Ê Ò¨Ó Ê È Ñ Ê Ò¨Ó Ê × � ÊÝ��Ë Ê È à Õ ��� Ê Ò ����� �! Ê × � ÊÝ��Ë ÊÈ � × �� Êà Õ Ï � ÊÝ��Ë Ê�Í � � � ! Ê Ö ÐOàeá Î'â�" Ôî2çMíaô8è3æ6çMè<é"ò ù6ù èhë$#?ò�äUì�íaäMÿ²è£í8ÿ�è£ä� zó�ä?é"æ6í8ò�ä?ë2ê ù èfÿ�í%��è'ä ýMþ&(' Ý�� Ð*)+ Ô0×nÚ�,_Ü Ý Ð � Ý��Ë Ì Ô.-0/ Ý�1 ë_í8ä �����32 4! ÐOàeá Î'â�Æ Ôî2íaæ6ç � ×�5 Î�6 5 à 6879797 êSäUì Õ;:=< á>Iò�înë_ó?#@#?ò�ë_è<æ6ç?êhæ )Þ × ÞBA2 á�C èfé£êSäsæ�çMè£äsî ù í8æ6è)Ú ×ED Þ Ì Êðà ÌGF AH ×EDJIà � Ì3F AH 7 ÐOàeá Î'âLK Ô� çMè=Meé"ç ù�Nòlì�íaäMÿ+è ù è���ó?êhæ6í8ò�ä�í8ä¨æ6çMèO# ù èhë�è£ä?é"èsò� fæ6çMèsûsêhÿ�äMè'æ6ívéQP?è'ôvì )Þ é'êSä ý èî ù íaæ�æ6è£ä ê�ë� zò�ôaô8ò�îIëÎà ÕRS Ò�T �� )U Ò - )Ú Ð*)+ ÔV WXZY RS Ò[T �� )U Ò - )Ú Ð*)+ ÔV WX & Ð*)+ Ô�× � & Ð�)+ ÔÈ Ò �� Êà Õ Ï AÌO\\ Ì Í]A2 \\ 2 Í AH ÎÌ D \\ H Ò T$-�� V Ià � F Ö YÏ AÌ \\ Ì Í^A2 \\ 2 Í AH ÎÌ D \\ H Ò T_-�� V Ià � F Ö & Ð�)+ Ô�× � & Ð�)+ Ô 7 ÐOàeá Î'â�` Ô

Page 72: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

a�bc=d�e�f%g@hig@j�k�lnm?opl.qrd�gtsvuwj*qnxZd�lnf�j*g=y{z}| ~~ z��]���� �n������ k�o�h�o9l���� ��*� ����O�� �Z� ����� �Q� ����� y{z0�}� ����O�� ��� ����� �Q� ����� y{z0������ ¡£¢�¤�¥ ���* ¡£¢¦ � �� ��*� � � �� � � � �� �� � � �� � y �z � � �� � � ��§ �* ¡¨¢�¤�¥ § �� ¡©¢«ª � ��¬ �8­�® ¢k�m@o8qnoiy �z ¤°¯ ~~ z � ���� �n� �����± � ¬�² o8lnf�g?h´³ ¤ �� �n� ���� k�o[h�o9ly �z ¤¶µ � �� �·� � ��¸$¹��?º¼»��½ �� � � ³ �_¾ ¤Eµ � �� �·� � �*¸ ³ �� � � ³ �$¾B¿ � ��¬ �ÁÀ b ¢Âtj�Ã�Ã%j�k�f%g@h�lnm@o�s.d�x�o�Ä@qnjÆÅ0o�Ç�È@qno�k�oÉÈts$o�ÇËÊto0uwj*qno��Ìf ¬ o ¬ ��� �tª � ªr��¢�¤ÎÍ � �@¢ » � � ¢.Ï � ��¢.¢k�o�k�f%Ã�÷h�o9l�lnm@o{s.d�x�o�o�ÐLÈtd�lnf%j�gts�k�f%lnmZlnm@oÑo9Ò?Å0o9Ä?lnf�j*g�j�u� � �� � � � �*¸ ³ �� � � ³ � � » ¤ � � � » ¦ Ó � »Ó � � � �*¸ ³ Ó »Ó � � � � � � ³ � ¢ » ¤ b ¿Ô�m@o}s$j*Ã�È@l.f�j�gZl.jQl.m@fÕs�o�ÐÈtd�lnf�j*gZfÕs�j�uÖlnm@o�uwj�q.x ¹8× z ¬ÙØ jÚ � ¹ × z � ��¸ ³ Ú ¹ × z � � � � � ³ � ¢ ¹ × z ¤ b ¦ Ú � � ��¸ ³ Ú � � � � � ³ � ¢¦ Ú ¤ �*¸ ³ÜÛ�Ý � À ³ � � À � � � � ³ � ¢� ¤ �*¸ ³ÜÛ ��¸Þ�� ¤ ¸ ��³ßÛ � ¢k�m@fàÅ0m�x�o�d�gts�lnmtd�l

» � � ¢�¤�á � ¹ ��âäã?å�æ�ç z ¿ � ��¬ �ÁÀ@� ¢è�È@l» � � � �*½ ¢�¤ » � � ¢ ¦ ³ÜÛ � ¤ ��éê�ëétìBí¦ � ¤ Û}� � é � ³ ¢ � é ìBí ¿ � ��¬ �ÁÀ � ¢Ô�m@fàsÙxîo�d�gts�lnmtd�l�l.m@oÑ[email protected]�ï�o8f�h�o8g�uwÈ@gtÅ0l.f�j*gtsðk�f%Ã�éÊto�(ñ æ�ò �� ¡©¢�¤ ³ �$ó æ �9ô æ�òÍ �@¢ ¹ �äæ�õ z s$f�gZö*÷ ½ �ø4ù � ��¬ �ÁÀ­ ¢Ê@È?l�g@j*k � fàs�g@j�l�d�g4f�g?lno9h*o9q ¬Éú s�d�q.o�s$È@Ã%l�lnm@o[[email protected]�ï�j�u�l.m@oÑh�qnj*È@gtÇOs$lrd�lnoÑk�f�Ã%ÃÊto ¥J¤ �� ���� � ô �æ�òÍ � � ö ÷ ½ ø(ù � � � ��¬ �ÁÀ�À ¢

Page 73: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

û�üþý ÿ ����� ÿ���� ��� � ����� ������������������! #"$ &%('*)!+-,.����/10����2�3+4�65��������87:9<;�=�/�+>/@?A�B�2���C,EDF�B�FG�,�/��H I%KJML,N=F?A�O/��P7:/�QORS I%B'T)VU ��WYX �B/2+-?A�Z7:9-,E�[/2�F7:/�+]\<���^�2�C_`=a+>����/��a�15B�2�B=��FGH,E/b7:/2��/��;c��=��P?A�F7:�a5B�CG3+4�H/�����D��2�C,N���P?A���:\edOf����^��;�/b7C+>�3gihkjmlnhpo�qprtsvunoBrts-w�q % '*)x"yQ[z {|}�~ ���� "y % z � " �B� % |}F~{ % J LI� � �(W>�����`��K���(�*���<�����C�����������y�c�<�T�����*�p�<�����c�$� '�� U$  U¡�S¢ ���I�n£�¤K¥��p�B�¦�p�§�C�*����c�<�A�C�a�¨�[©2�F�:���ª���(�C�¬«K��¤<���­©2�C�F�® "y¯a ±° �N¯&²SQ � ���� ¢�³ ���¦´��H�(���(��µc¶·���Y�(�B�C�C£�� ���F�¨�C���±£��F£<���F�O���������C���C�P¸·¹º�C�-�C�I�<�p»O�*��������<�C�p¼<���½�(�C� �`¼<�<�C�p�n�����F�¾©N�c���¦´��*�(���(��µc¶$�(�¬µK�(�¿©2£<�<�B�C���F�V�n�À�(���-Á��(�V¤¨¶Â ���¤ ¢Äà ������£<���3¤<�C����Å<¶Æ»O´��(�I��´����±µK�p�O���C���<�(�p�<�p�Ç�È© ® �����C�p�<���a���p�ǤÀ�® "V¯<É  ÊÉË��Ì7 �iÍ �ª/����Î?�7B,E��=��FGp�n��?A�B�P,N/��2=F?A/2+>�B� /2�����2�[+-,��B�a9>Ï 7m?A�B��/2+>��=a�B=F,e,NDF�C?A/2��=�ÐÑ7:�FG/�������+45B���p\�=a�F?A/�+4�B�F,e7:�2�[������G(��5B���a���b7C/�� WÒ ����ÐÓ/2���ÄGp+-,2?A=F,�,E+>���6����ÔyÕ�Öy7:D�D��2�B×(+>ÐH7C/�+4�B�O���1�F7BGH/��F7C/.\��B�  ² ® �t  �ØÚÙ �Ì  � " )Û Â ' ® �Ì  �tÜ�ÝtÞÌß ��×(DHàeá|}�âVã � Û Â ' ® �t  �tÜ-ä  �åæ dÛ Â ' ® �Ì  �ÌÜ ÝtÞçß ��×(D à ' á|}Oâ ã � Û Â ' ® �t  �ÌÜ4ä   å

" ~Û Â ' ® �Ì  �tÜ ÝtÞÌß ,E+>�ªè �|} âOé�êé ã � Û Â ' ® �Ì  �ÌÜ4ä  I' � �Úë" ~Û Â ' ® �Ì  �tÜ�ÝtÞÌß ,E+>�ªè�ì � �¯|} â é êîípï ÞNðé à  ¯ '* �å ÝtÞEñ ä  O' � �<ë" ~Û Â ' ® �Ì  �tÜ ÝtÞÌß ,E+>�Æòó2' �ô à  ¯ '* �å±õ ÞNñKö � �¯|} ' � ��÷ø" ~ ÝÛîù Ü ÝtÞÌß ,N+>�ªú �ô ù õ ÞEñ æ � �±û � �(W>����ü`�

Page 74: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ý¦þÿ������������� �� ���������������� �"!�# �$ %'&(*),+�-/.0 �213���5461��7�/�����8�9�6ÿ����/�;:=<?>A@��CBDFE'E @,�GBH I !JLK ���M:ON ),+�P �/QSRUT���VWXZY�[[]\_^ � + �a` þ"b @ K �c�M:Bedf�9g I !JLK ���M:ON ),+�P �/QSR;h�� VWX þ6b K YZ[[ \ ^ � + �a` þ6b @ K �c�i:�B'd�@ þ6b K �GBkj I -J �O�8N ),+�P �/Q*RUlk� þm @3���fB'! +�-enpo @ þ . V]q ý Br ��s/�8�;t����;���;�/Q��"su15v'46wyx71�zy4"��{k46�51��7z|v}R��346~�w��/��v�4Hÿ���s/�8��su4"�cR��8�3��ÿ�zy1��13�����8R�R��346QSzy�2��1��Ov�4"wyx�13zy46�9viÿ����"461�ÿ�zy13��13��� r��5� �c��1���4S� . r �������*���� �F�a�: � ���p� ��� ����� �F����y� � : � ���� ��� � � !þ6b�� K � � �F�a�:Z��� � ���� � !þ"b ��@���B ��� WX K dd/� �a@y��B��:5�a@y��B� dd/� �a@y��Ba � �WX K T :�� � !þ6b g ��@���B� df�a@y��B��@���B � �WX K T*:�� � !þ6b gcd/�� w�����@���Ba � �WX K T7:���� � -� b g � I )� � � @y��Ba I �/QSR;h �WX K T � -� b �M:��*gFj o @ þ . V]qf� Br ���8w|v'4��9�8�S�� @�:��M:� ¡B ��: � :O y�a Y d/�C�': � ���¢��� � :O £�a Y �¥¤� @y��B'� � \ @���B'd/�¦ !�§ )kP�¨3© � I � ! Y d/����Q*R l �WX K @�:��M:   B|� n � I � ! þ"ª WX K � @�:��M:   Ba�I V« þ"ª WX K o @ þ . V]qf¬ B­ 4 � � @y��Ba V« þ"ª WX K �/QSR;h �WX K T � -� b �i:��*gaj o @ þ . V�®6¯ B

Page 75: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

°*±³²µ´·¶¹¸Zº�´F»H¼Z½p¸�¶¹»;¾]¿FÀ Á�ÂÃ�Ä�Å�Æ�ÅÈÇ�É�ÅZÊ3Ä�ÅcËOÇ8ÌcÍ�ÎyÊ�Ï"Ð�Í|Ç�Ð2Å/ÍyÑ"Å/Ð�Æ�ÊÒÇ8Ê3Å�Æ�ÍyÐ;ÌcÏ"ÌcÅ/ÐSÊ�Ó�ÌÔÆ�Õ�Ç"ÖuÅf×ZØ�Ï6É�Ê3Ä�ÅZÅ/Í�Ñ6Å/Ð*ÙÚ Ó�Ð�ÖuÊ3ÍyÏ6Ð9Æ�ÍyÐUÖuÏfÏ6ÉÒÛ*ÍyÐ9Ç8Ê�ÅAÆ�Õ�Ç"ÖuÅ5Ü�Å�Ä�Ç�Ý*Å

Þ}ß,àCáHâ ã�ä/åCæ,àFç å�èÒæyå¥ç_éè�ê¡ë�ìîí,ï�ð3ñâ òó6ôöõ÷Cø ù ã�ä/å�ú7û ü,ýþÿ ú ûþÿ�� � ü������� ���â òó6ôöõ÷ ø ù ã�ä/å Å��SÕ���� å��õ÷�ù������ �õ÷�� é ù � à !�å#"%$ ß ó × ò'&*ò á(�Æ�Í�Ð�ÑZÐ�Ï6Ü�Ê3Ä�Å�Æ�Ó )9Æ�Ê�Í�Ê�Ó�Ê3ÍyÏ"Ð* â åß õ÷ ó � ù�á í,+ �.- å �õ÷�ù ��� â * �Â ß ó × ò'& ó áÜ�Å}Ä�Ç�Ý*ÅÞ�ß�àCáHâ ß õ÷ ó ��ù�á í�+ �ó"ôöõ÷�ø ù ã0/ 1� 1 ä * Å'�*Õ � � * � � �õ÷2� é ù � à ! * ß õ÷ ó ��ù�á í�+ � "â 3ó"ô ø ù ã4/ 1� 1 ä * Å��SÕ � � * � � � *65 "87 ß ó × ò'&  á

Ü�Ä�Å/É�Å 3 â � ë,9;:< =?> � í�+ � Ç�Ð�Û 5 â 3A@ : � à B ×DCfÏÞ�ß�àCáFâ 3ó6ô ø ù ã4/ 1� 1 ä * ÖuÏfÆ8E * � � *65GF â 3ô ø ù ã0/ 1ð ÖuÏfÆ8E * � � *H5IF ä *Æ�ÍyÐ9ÖuÅKJ / 1� 1 Æ�ÍyÐ �GL �� � *H5 � ä * âNM ×PO�Ð2Ê�Å/É3Ì2Æ�Ï Ú Ê3Ä�ÅRQ}ÍyÉ�S Ú Ó�Ð9ÖuÊ�Í�Ï6Ð�ÆT � ß 5 áFâ òø ô ãU/ 1ð ÖuÏ ÆVE * � � *H5IF ä * ß ó × ò'&IW áÜ�Å}Ü�Í�ÎyÎ Ä�Ç�Ý*Å Þ}ß,àGá â 3ø ô ù T � ß � 5 áX$ ß ó × ò'&Y& áØ�Ï6ÉpÎ|Ç�É�Ñ6Å ç 5 ç[Z ÎyÅ�Ç"Û*ÍyÐ7ÑZÊ�Å/É3Ì2Æ�Í�Ð�Ê3Ä�Å�Ç6Æ\S*ÌcÕ7Ê�Ï6Ê3Í|Ö�Æ'Å/É�Í�Å�Æ�Ç�É�ÅAÇ6Æ Ú Ï6Î�ÎyÏ"Ü�ÆT � ß 5 á^] òó ø ô 5 í�+,_ Å��*Õ �`� ó 5 � +'ë ! 7 5ba M ß ó × ò'& � áT � ß 5 á^] òø ô ß � 5 á í,+,_ Æ'ÍyÐdc óÂ ß � 5 á � +'ëfe ô Whg 7 5Ri M ß ó × ò'& Á á

Page 76: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

j'klnm\oqp r.s�t uGm\ubvGw w x�yYz`oq{|vGs�oqy�pHmo}p�~,���}�����#�P��unrYu�s� ~,���^� ��h� � ����,�,� m\oqpd� �� �I� �\�h� � k��P� � y�xn��� �.~,���� ~,���^� �� � � � �~��n��� ���,� u�z`w � � �� ~��%�#� � �\� � � � y�xn�¡ ¢�.~��£�¤~����q�'�Y¥��v�m¦u�z`wHuG§¨s�uG© � x�y�{ªs�t uK« ¬K­®vIw w�x�yYz`oq{¯vIs�o}yYp��~�°��b«®t�u�p®�²± �´³ � ³ ��u4tµvI¶`u.°6y�· pH©®m\sXvIs�uGm.vIpµ©¸s�t�u�x�u � y�x�u4s�t u|u�p u�x�rY¹�m\wHuG§»ºs�x�· {¼o�mK©�o½m�§¨x�u�s�u��|¾�y¿o}pAs�t o�mK§�v�m?u4s�t u0u�p u�x�rY¹Àu�o}rYu�pHm\sXvGs�uGmKt u�¶`ubs�yÁm�vGs�o�m � ¹As�t u§¨y�pHm?o½m?s�u�pH§¨¹4x�u�Â�vGs�o}yYpÃUÄ�ÅÄXÆ2Ç ��È ��É�ÊË� � �´³ � ³ Ì ±ÎÍ�Ï � ��ÑÐ �hÒÓ � Ï¿±®Ô � � � � ��Õ�Õ'Õ ~����q�'�YÖ��×Dt uRs�· x�p oqp�r.w6y�oqp sØm�vIx�ub� � ±Ù�0Ú ÛÀvIpµ©Ü� � ±ÝÚ Û��D¾�yÍ\Ï � �� Ð �hÒÓ ± Ã Ú � ÛÞ Ú � Û Ç � È ��ÉAÊ[�®� �´³ � ³ Ì ± � Ã Ú � Ûß È ��ÉAÊ[� � � � Ì Ç �± �n� � �YÉ � Ã Ú � Ûß à � � ��� á ���\� Ç ~��n���± �n� � �YÉ � �� à � � ��� á � �\�Iâââââ Ú �

Ûß ±®� � �YÉ � �� à � � á � �?�Dã

à � � á � �\� ±� ÍØÏ �����Ð �hÒÓk � �YÉ � ã à � � á ± Ê

� Í�Ï �¡���Ð �hÒÓ Ì �\� �kä�?� � ~��YÉ � ����� � ã�På ± æç � Í�Ï ����¨Ð �hÒÓ �k � ��É èé �\� � Õ ~����q�'êYÔ��

Page 77: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ë�ìÙí;înï8ð¦ñ8òóð�ôöõø÷.ù.ú;ûüõKñ¢ý�ð�ýÀïþ÷.ínú;ý ÿ��� ������� � ������������������ ��� ��� � ���!#"%$'&)(+*-,/.10-243 56,�287#9-28*-:;2<(8=?>9-@%283�3�(BA�58A�.%(+*C,D3�28E-3�28,�28*FA�240HGFI

J�KMLONQPQROSOT UWVXUWY#Z�[ \/]4^ _-`aObBc Td e \�]8^�fg`ahb P Vd i \�]8^<_#`jaObBc Yd e[ f6kmlon Kqp�rts�RMNuP+vxwoyCz P ` k�l;n K{p l s�R|NQPByQ}|~Dz Pk n Kqp l s�RMNuP yu}|~�z P k n K{p�rts�R|NQP vxwoyCz P i��� 28:;5B9-,/2�(8=�A��-2'��3�(+9CE�E-3�(�E 243/A�.124,D(�=�3�(�A�58A�.%(�*-,�����262;�-E 28:�A�A��C54A�A��C.%,,/287#9-24*C:;2?(8= (+E 243m54A�.1(+*-,�.1,�247#9-.���5B@%28*FA�A�( 5<�;�Q�����1��3�(BA�58A�.%(+*�5BG (+9#A,/(+ ¡258�-.1,�GFI¢5B*£5�*���@%2�¤C"?¥�.%*-0£¤C"¦ ~<§W¨ \ v�©�y \ w�ª «g¬B­ \/® ©m~B¯°­ \ y�± \ ¨+©�² \

J K|LhNQPuR SOT UWVXUWY#Zg[³f6k�l;n K{pmr;s�R|NQP+vxw;y z P ` kmlon Kqp l s�RMNuP�yu}|~ z Pk n K{p l s�R|NQP yu}M~�z P k n Kqp�rts�RMNuP vxw;yCz P i Sh´8µM¶mZ±�¨B}|­ \ §W¨ \ y·©m¸ \® w�§¹©m§W}Mw�~�±�}|­|­�º \�®W\�^B®W\ y \ ~B§ \�» º�¼J K|LhNQPQR S ¤ U8½¾ Z Kq¿ l cÁÀ P À ·à R[ ÄÅ vxw;y Æ°Ç PmÈ `¡a ¾�É yQ}|~ Æ°Ç P/È S `a ¾+Ê ` ¾�Ë Z yQ}|~<Æ�Ç P�ÈS `a ¾�Ê�Ì;�Ë Z yu}M~�Æ Ç P È vxwoyÎÆ Ç P È Ì a ¾�É yu}M~ Æ Ç P È�ÏÐ � Sh´8µ d ZÑ }|~+v \ §·¨ \ y \ §W±�w w ^�\�® ©m§·w ® y�¸ ¬�yu§�¨+©m² \ §W¨ \ yW©m¸ \�\xÒ�\ vÓ§/Ô \ ©�vx¨�¸<©m§ ® } ]�\ ­ \ ¸ \ ~;§yu¨Bw°¬B­ » º \ §·¨ \ yW©m¸ \;µgÕ ¨+©�§Ö}×y

k l;n K{p�rts�R|NQP vxwoy V d [ vxwoy f ¤ dCi `¡a ¾�É yu}M~ f ¤ dCiØ vxwoy f ¤ d i [ vxw;y ShT Ì Y#Zd vxwoy V dØ vxwoy ¤ [ d vxwoy P V d vxwoy P SOT Ì Y#Zd ` ¶Ø ¤ [ © ® v�vxw;yÙ d vxw;y P V d vÓw;y P ShT Ì Y#Zd ` ¶ÛÚ � Sh´8µÜ´tZ!#"�ÝßÞ *à5�*���9-@15B3/á¹ â(+ ¡2;*FA�9- �28.ã��28*-,xA�54A�2'ä å UÁæç[èæ  ¡58� [ åBé�.%,?3m(BA�54A�280GFIê5�*ë.%*�ì�*-.�A�24,/.% ¡5B@?5B*���@%2àí¢5BG (�9#A�A��C2£î;áÁ54�-.1,�"ðïñ.ãA��-(+9�Aò9C,�.1*#��A��C2

Page 78: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ó�ôõ;ö-÷Cø%ù%ú;ù�û6üuý�þ�ÿ ý8ü�û��-õ��������� ü����Cú�û�ù1ý����<ý��#û��Bù������ õ;ö-÷Cþ�õ����/ù%ý�� ü·ý+þàû��-õ÷-þ�ý������-ù1ø%ùãû�� üuý�þ�û��-õ �Cõ"! þ�ýBû��8û�õ�#��xû��8û�õâû�ý$� õòüuý�����# ù%��û��Cõ¡ý+þ�ù'&�ù��(��ø�xû)�8û�õ*�-÷âû�ý6û�õ8þ�ÿ ��ý8ü ý�þ�#-õ8þ,+.-�/021�3547698;:<8�3�=?>@8A:�873CBD>2E9BGF�3IHKJ�LM N"OPNRQPS T U5V + O�WX�Y M N"OZN�Q�T � ���� V + Y M N"OPNRQ�T\[ 3�]�^?_�`ba@c"d +efhgji M N"OPNRQT kZl ` a@c"d +ef m V ` a Y -n+.-o ef - c -d9p M N"OZN�Q VZq�rts Yu ^v876,8�3�47w?>�6<x�6.4A=�3I4 +9- r�y 35z�:<H?{|4�B}873 c"d B}H?873�4�w?>�6<x�8�1�35~D:.=�=�3�4|6.^�3I4A:<8�694;>c�� T c"� m a@c"dc�� T c"� ` a@c"d���� c"d T c�� ` c��o a � VZq�r�� Y� u J�87BG8 u 8�B}69H?6�x�871�B�>2B}H VZq�r�s YA� E9BGF�3)>M N"OPNRQPS*T k l ` +o ef V c�� ` c�� Y m +9-� ef - V c�� ` c�� Y - p M N"OZN�Q VZq�r ô Yy 3���H�6.{�8�1�:<82x�6.4�8�1�35~D:.=�=�3�4|6.^�3I4A:<8�694;>�871�3�x�6.~}~}6.{|B}H�EC473�~�:<8�B}69HR>21�69~�=c�� M N"OA��Q�T ef�� V}N ` � Y V}N m � m l Y M N"OA� m l�Q VZq�r ó Yc�� M N"OA��Q�T ef�� V}N m � Y V}N ` � m l Y M N"OA� ` l<Q VZq�r � Y� 6 V c � ` c � Y M N"OPNRQ�T ` c � M N"OPNRQ�T ` ef � o N(M N"OZN ` l�Q VZq�r�� YV c�� ` c�� Y - M N"OPNRQ�T ` ef � o NjV c�� ` c�� Y M N"OZN ` l<QT ` ef � o N�V c�� M N"OZN ` l<Q ` c�� M N"OZN ` l�Q YT ` ef � o N?[ � o N(M N"OZN�Q ` � o V o N ` l Y M N"OZN ` o Q i:�H�=�x�4�69w VPq�r ô YM N"OZN�QPS T M N"OZN�Q m +o � o N�M N"OZN ` l�Q ` +.-� o N�M N"OZN�Q m +.-� o � N�V o N ` l Y M N"OZN ` o QT �Rl ` +.-s N"��M N"OZN�Q m +o � o N�M N"OZN ` l�Q m +9-s � N�V o N ` l Y M N"OZN ` o Q �

Page 79: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

�"�� �¡�¢¤£¦¥¤§¨£|©«ª­¬,®,¯�°±ª5¥�² £|²*¢�¬, �¯�² ³9³´2µ�¶�·|¸7µ�¹»º�¼7½.¾�¿<¾�À}Á}ÀG¸7ÂKÃ�½.¼5¸7µ�¹»¼7½.¸A¿<¸�¹�Ä�·@¸A¿�¸7¹,¸�½Å¾�¹,Ã�½9¶�ÆRÄ�ÀGÆ*¸7µ�¹»½9¼�À}Ç9ÀGÆ�¿<ÁÈ·@¸A¿�¸7¹É À}Á}Á±¾�¹ ÊÌËGÍ Î Í�Ê Í Î Í�ÏPÐ2Ê Ñ|ÒÔÓÓÓÓÓÕ�Ö|×¨Ø ÑÙ Í"Ú5ÓÓÓÓÓÑ Ò Ö|×¨Ø ÑÛ Í5ÜÞÝCß Ø�à�áAâ ßZã ä ÖIå á

æ�ç}æéèCê(ë�ì,í"î�ëðï@ñ(ò�ó9ô�õ�ö�ò÷ö�ï«íéø(í�ù�ô�õ�ó"ú�ëüûIñ(ý±þ�ë�ó9ô)ë�ÿ�ô�ö íéû�ø�ê(ë�ù�õ%ó"í�ú�ú �û ����� ë9ô)ù<õDó"í�ú�ø�öRô)ë�òjô�õ�í�ú�� ß � á õ�û�±õ'î ë�ò ý � ß �� á Ò�ß � Ü Ü ã � á�� ß � áAâ� í���� û í�ò÷ë�õ��±ë�òjï�ñ�ò(ó9ô)õ%ö�ò ö�ï ���� �7ï«û�ö��?ì»ê(í�ô õ�û ô�ê�ë����7î±í�ú�ñ(ë � �;ïò(ö�ô���ì»ê�í�ô«í�ù�ë ô�ê�ëÞø�ö�û�û�õ�ý(ú�ë î±í�ú%ñ�ë�ûÅö�ï��­ì ë � í � ö�ý ô)í�õ%òÔì»ê�ë�ò �� Ñ õ�û� ë�í�û�ñ�ù�ë�ÿ �� ý��! ÷ê(í�ô í�ù�ë­ô�ê�ë5ø(ù�ö�ý�í�ý(õ�ú�õ'ô�õ�ë�û ï@ö�ù2ô)ê(ë5ø�í�ù�ô�õ%ó"ú�ë�ô�ö»ý�ë�ï�ö�ñ(ò�ÿ�õ�ò îjí�ù<õ�ö�ñ(û"$# û�ô�í�ô�ë�û �� ó%�'&�ñ�ø(ø�ö�û�ë?õDô õ�û'(�ò(ö�ì»ò ûIö � ë�ê(ö�ìéô�ê(í�ô ß �� á õ%ûCí�ò ë�ò�ë�ù)� � ë�õ��±ë�òjï�ñ�ò(ó*�ô�õ%ö�ò ì»õ'ô�ê ë�õ��±ë�òjî±í�ú�ñ�ë�+ ç� ò(ÿ�õ�ó"í�ô�ë�ê�ö�ì ì,ë � í �-, ò�ÿ.� ß � á çß ¿ á0/ ¹�µ�¿21�¹ ß �� á03 Ë �� Ê Ï�Ò�ß � Ü Ü ã � á�� ß � áAâ ßZã ä Ö.Ö á4 ½ Ë �� Ê �� Ñ Ê Ï 576*8�9;: <;:>=@?�AÒ ×'BC Ñ D Ö·nÀ}Æ ÑFEHGÑGJI Ñ Ü Ö·@À}Æ EKGG E Õ ·nÀ}Æ E GG E ÚML ß �� á;â ßZã ä Ö Û áNPÃ É ¹ É ¼7À}¸�¹ ß �� á À}Æ ¸�¹�¼PO�· ½�û·@º�µ�¹�¼7ÀRQ�¿<ÁSQ�½"½.¼AÄ�ÀGÆ�¿<¸�¹�· ß � Ò � ·@ÀGÆ E Q�½"· I Î Ò� ·nÀ}Æ E ·@ÀGÆ I Î � Ò � Q ½"· E á É ¹ É ÀGÁ}Á±µ�¿21�¹ ß �� á Ò � � ß � á ß ·@ÀGÆ E Q�½"· I Ü ·nÀ}Æ E ·nÀ}Æ I Ü ã Q�½"· E á�â ßZã ä Ö ã á´2µ�¹�ÆÖ·@ÀGÆ ÑFE G

ÑGTI Ñ ß �� á Ò � � ß � á ·nÀ}Æ E·nÀ}Æ ÑFE GGTI ß Q�½ · I × ·@À}Æ I á Ò × � � ß � á·nÀ}Æ E ß Q ½"· I Ü ·@À}Æ I áßZã ä Ö Ù á

Page 80: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

UWVXZYF[\]�^_YS`-aa `cb ]d^eYf` aa `Fgihfj*kl�m0npoZq�j@o m]d^eYf`raa `tseuwv ]�^_YJxF`zy j|{~} ]���y�]d^eYf��m�]�^_YS` {~} ]F`Z��noZq�j|o m]d^eYf` s_uS� ]d^eYw` {~} ]F`zy j|{~} ]���y�]d^eYw��m j|{~} ] x ` u ]�^_Y x `�m@���j|v%� \)� m����� ]d��^_� � �P^ } Y }Z��j|v%� \�� m�X2YF[ j@v�� \)� m�^eY j@v%� \*\ m���^_���Z]� klM� k� x � h�� n u¡ ¢ x oZq�j|o m¤£ u \]d^eYf` j|{~} ]F��y�]�^_Yf��m j \ u�{�} ] x `wy�]�^_Y x `�m u¥�M{~} ]T`W¦n  ¢ x oZq�j@o m¤£ \]d^eYf`T§ ]�^_Y x ` j|{~} ]F��y�]d^_Yf��m�y �M{�} ]F`W¦n §  ¢ x oZq�j@o mJ¨©]�^_Yf` {�} ]F��y�]�^_Yf`M]�^_Yf��y v!{~} ]J`2ªTn §  ¢ x hzj*klFm�«� x hzj*klFm¬n §  ¢ x hzj�kl�m0n \ j \ y \ m  ¢ x hzj*klFm�n®­ j ­¯y�­°m  ¢ x hzj�kl�m j|v%� \ � m±�²�^ { ²i³i�WX2YF]0�P²FXZ� hfj*kl�m0^R]��)Y´�)^_���)Y � � Y { �P^ } Y }2� k� x ±�^_��²t�)^e�*�)Y���X2µ � �f­�n \ �j � m � ^_Y { �±��¶XZµ_·��ZX*[%¸c¹%Y } ±º�P²FXZ�»­�n \ ±�� { X2Y¼��·P¸t� } ±�·P^_��� hzj�kl�m�^_Y¼���)·P³�] }Z���²��»]d½�²��¾·P^ { X2µ�²FXZ·P³ } Y�^ { ]¤¿¡ÀÁ j `%ÂÃ��m �MÄ �w¹%Y } ±Å�P²¯X2�¿¡ÆÁ nºÇ v��È {~} ]F`nºÇ v��ȶÉo « É n o Ç ��Èv ¿ÆÁ¿Ê ÁÁ n uË ÌÍ�Î0Ï©Ð Ê%ÑÓÒPÔÕ¿×Ö ÁÁ n Ë ÌÍ�Î Ï©Ð Ö ÑÓÒPÔÕ Ø ÙÚ « ÛÜ Ý l n o Ë x ÎÌHÞ ¿�Ö ÁÁ u ¿ Ê ÁÁpßà n á o Ë x ÎÌ Þ ¿×Ö ÁÁ y�¿ Ê ÁÁ ß� } ±�� { XZY´±�·P^_���hzj�kl�mân o Ç § Èv q�j@o m s7v�ã § ¿ ÆÁ y�¿×Ö ÁÁ u ¿ Ê ÁÁ y�á@¿ Ê ÁÁ y�á@¿×Ö ÁÁ �n Ç § Èv oZq�j|o m s_v�ã § ¿ ÆÁ y j \ y�ádm°¿×Ö ÁÁ y j á u \ m°¿ Ê ÁÁ ��� j|v%� \ U mä � �S�P²�^R]å³æ�ZX2YF]��P²¯X2�'�P²��ç½FXZ·P� }Z� �P²��i]��;X2���¶�P²FXZ�»[%�)½F�)YF[�] } Y-��²��¶��XZµ � �Z] }2�fè{ XZY � �'±�·P^e�P�P�¾Y$^eY´�P²�� �é} µeµ } ±�^_Y��»±fX2¸� h�� À nëê s v ã § �>­�n \  è níì � y j \ y�ádm¾�>­�n \  è n u \ � y j \ u á�m)�>­�n \  è n \ � �XZYF[$^ � ±��w±fXZY��0^_��Y } ·P³´XZµ_^eî)�Z[¶±��w±�^_µeµT²FXZ�%��ïêð� x j \ V y § y § m0n \ « êñn \ã §�§ � j|v%� \ V m

Page 81: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ò�óºôMõwöf÷�øfùë÷�ú¥û¡ü¶ý¶þMÿJû'ø���÷��¼ö0ü¶ôwþ�� �����

��� ������� ������������ ���!�#"%$&�#'�� �)(�**�* � ���� � ��+-,.� � �/�� 0�21/����� ������������ �31��4� "%$&� ' � **�* � ���� � ��+-, * �5���� ��6/����� ������������ �)���4� "%$&�#'%� **�* � ����87 ��+-, * �9�

��:9�8;=<>"�?@��AB �8CEDGF9H�IJHKIJLNM�OPI&C.M�I&H4<RQKH!:TSNC � HUSNVKIJH�C.SGD �XW.Y I�DZS[V\I � :TVKL�]�^ C.HKMXIJLZI�_Q!F�S[C � H6)`a '* b�c 'c8d ' "G?���AB �e1 * d ccZd "�?@�XAB �G6 f '`a ' d ' "�?��XAB �Rg)1ihj� d �k"�?@�XAB �l�mn"�?��XAB �o 6)`a '* qpUrs b�t 'td '!u d�v � d ��wK1 * d ttd u d9v � d ��w!6 *d '!u d9v � d ��wxg/1yhz� d � d�v � d � p/rs �m d�v � d � p rs ohz� d � � m{1 �d�v � d � `a '* b ttd u v � d �e1 d�v!| � d ��wK1 * d u v � d �e1 d�v}| � d ��wK6 * d v � d �=g o

hz� d � � m{1 �d�v � d � `a '* u v | � d �e1 v | � d ��1 d9v |#| � d ��1 * v | � d ��w~w ohz� d � � m{1 `a '* d�v |#| � d �e1�� v | � d �d�v � d � 7 ��+4, *�* ��e�~�i���}�G�J�R���-�����G�K�J���R��=���������3�K���k�l������G �k¡��K�£¢8¤G�=�\��¥��!¥¦�-�}��¤�¥ §[�!��J���R��¨©�4ª«�!����¤G���E�¬�4ª `a �­§¯®��G�¦�°G�K¥��G�=�¬�4ª«�J¤��X�±�{�G�K�J���R��=���R�²�����{³�´¥¦�-�J�!��¨���µ�¤G�K�Z��¤G¥¶´·¥��4���G�K���R��K�R��¸!¹º�J¤G���3���G�K�J���=��R�¬�=�»�G�-�J����=¼@�-��¼Z¸��½ ��J¾e�-�9���!� � ³ $ �!�¿�R� AB ���-�����-�J�-�Z���4���R�!�¦���z�¾e�¿ªN¤G�G�����=�!�³�À �XAB �@�2��ABeÁ� � ³ $�����-��� ��AB �  $ ��!�����4�&�l�!�G�����y�i�G�K�J���=��R���4� AB ���E���3�J�G�R�Ã�R�����G� Â[Ä ���3�G�E´�9�-�����R�!�l�§[�}¨PÅÆ���-�Ç�5°G�G�=�R��E����¸«�����-�)�=�eȺ���E���-�J�=¥��K�8���>���4���R�}�G�É�\ªÉ³ À ��AB � �K�����!¼£���\�=�G�4�¼Z¸��K�����R�£¢Ê�����������G���}�@�-���4���!�

Ë@ÌÍ �Î��6  AÏ`a ( � Af 1 AÐ � ��+-, * +5�

Page 82: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ÑXÒÓ�ÔGÕ4Ö�Õ±×Ø�ÙÛÚÜ Ý8Þßáà ×â©ã/ä Õå�Õ4Ö�æ�çRè�ÕÇ×éëêì[í�î�ï ÔGð4Óñå�Ô�ò4åó×Ø òKè�ô ×é­õ ð!æ�æ�öeå�Õ ãì õ î�ï Ô�ð4Óqå�ÔGò4åë×é ç=÷zò�øeÕ õ å�ð!Özð!ùlÕ-Ö�ò4å�ð!Ö ãì ô îzï Ô�ð4Óqå�ÔGò4å�×â à ×ú-û ×üZý Ù þÚ Ü[ÿ û ×é�� ×�!ý ×ú Ó�ÔGÕ4Ö�Õ ×� çR÷/å�ÔGÕ²æ�ð!æ�Õ4èZå&öGæ ð!ùlÕ-Ö��ò4å�ð}Ö ãû��5ý������� � � ú�� Ù �� Ý�� þ � � ×ü�������� ×ü���� � ú�� Ù �� Ý�� þ � � ×ü������[ú Ý û ×üZý! � ü#" û�$�%'&�(4ý)+*-, �./�0.2143��537681 *:9<; ; 68=>=?��� �� ú�@A� Ù B û 9 ý � ú�� Ù �� Ý�� þ � B û 9 ý�C � ×ü?�#D � ����E�ú Ý û ×üÆýF � ü

Ù �� ÝG� þ � � 9 ×ü?�#D � �!�IHKJ þ�LÝ�M û 9 ý[ú M û ×ü}ýF � üKN�OQP7R � þÙ �� Ý�� þ � � ×ü?������HKJ þ�LÝGM û 9 ýNú M û 9�SKþ ×üZý! � üÙ �� ÝG� þ � � ×ü?���!�[ú Ý @ ×üZýF � üUT

ú Ý @ û ×üZý Ù H J þILÝ�M û 9 ý[ú M û 9 S\þ ×üZýVT ×ú @ û ×üZý ÙW9 ×úKû 9 SKþ ×ü}ý�" ûI$X%'&ZY5ý)+*-, �./� * 6 *�[-* 6837�\�6>]^�5=_.7143��5326>1 *`; ; 68=>=?��� �9 û�a4bdc Þe£ý ×ß Ù ×ßgfha ×ß Ù ×ßifjaZb�û Þe à ×ß5ý Ù ×ß+f ×k à ×ß�" û�$�%'&Zl5ým 1×ú @ û ×üÆý Ù 9 ûIa4beý ×ú-û 9 SKþ ×üZý Ùn9 ûIaZb£ý ×úû ×üpo ×k à ×ü}ýÙ ×ú-û ×üKo ×k à ×üZý#f ×k à ×ú\û ×ü0o ×k à ×üZý�" û�$�%'&�q�ýr * 37_s1437_�.i�� *�,

×ú-û ×üpo ×k à ×üZý Ù ×ú-û ×üÆýtoyû ×k à ×üÆý � ×â ×ú-û ×üZý Ù ×ú-û ×ü}ýuo ×k � û ×ü à ×â ý ×ú-û ×üZýÙ ×ú-û ×üÆýto �vw ×k � ×Ø ×ú-û ×üZý û�$�%'& Ñ ý

Page 83: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

x�y{zu|�}/~g�/�n~i�����0�0�u���s�W�j~i��}V�0z��u� ����i�_���2���� ��X� ��?�V������ ���!� ��������  �¡�¢V£¥¤�¦8§©¨0ª2�_¦«¤¬¦8§:�I­X¢'®°¯Z�¬�i�¥¨4��ª���±²� ��?�´³ ��X� ��µ�t¶  ·¸ �¹�º �» ��X� ��?�#¼ �¹p½¿¾ ��©� ����t¶  ·¸ �¹¥º �» ��X� ����ÁÀ³ ��X� ��µ�t¶  ·¸ �¹�º �» ��X� ��?�#¼ �¹p½ ��X� ����� �I­X¢'®Zð�ĬŠª �¹p½ ��ƳÈÇ ¹�É ��Ê�¶ ¹5Ë �ZÌ!Í0ÎÏÑÐi¼ÒÇ ¹5Ë ��ÓÔ¶ ¹ Ð4��Ó!Í0ÎÏ É ¼ÕÇ ¹ Ð4�ZÌV¶ ¹5É ��Ó!Í0ÎÏ Ë �I­X¢'­ZÖ°�×4�i¦8§^Ø^Ù�ª2�7¦8Ú0ÛÁ×4�2ØÜÝÞ � ÓQ±� ÌF±� Ê�±

ßIàá ³ ÜÝÞ Ö ¶ ¹�Ë ¹�ɹ�Ë Ö ¶ ¹ ж ¹�É ¹ Ð ÖßIàá ÜÝÞ � Ó� Ì� Ê

ßIàá ³âãä ¹ Ð ÜÝÞ Ö Ö ÖÖ Ö ¶ �Ö � Öß àá ¼ ¹�É ÜÝÞ Ö Ö �Ö Ö Ö¶ � Ö Ö

ß àá ¼ ¹�Ë ÜÝÞ Ö ¶ � Ö� Ö ÖÖ Ö Öß àá+åçæè ÜÝÞ � Ó� Ì� Ê

ß àá ³¶  ·¸ âãä ¹ Ð ÜÝÞ Ö Ö ÖÖ Ö ¶�  ·¸Ö   ·¸ Ö

ß àá ¼ ¹�É ÜÝÞ Ö Ö   ·¸Ö Ö Ö¶¥  ·¸ Ö Öß àá ¼ ¹�Ë ÜÝÞ Ö ¶¥  ·¸ Ö  ·¸ Ö ÖÖ Ö Ö

ß àá åçæè ÜÝÞ � Ó� Ì� Êß àá�i�_¦²éÑ�pØê��Ù�§�¤�ª7��Ù5ª �¹K½ ��Æ³ë¶  ·¸ �¹¥º �ì ��X� ��?��i¦8ª2�:� ìtí �Fî2ï�³ë¶�  ·¸�ð7í î2ï²¢ñ � Å ¤��i���i¦>ò8ò���Ù5óX�+ª7��Ù5ª�� ± � ��?�V³<ô�õö ��X� ��?�V³ ¾ � ¶  ·¸ �¹¥º � �» ¼ �ì �ÁÀ ��X� ��?�V÷ ô�õö ³ � ¶  ·¸ �¹�º � �» ¼ �ì ��Â#�I­X¢'­ � �

�Qø?�¥ù��7×4Ø�ª2�©��¦8�ûú��Ñü-§_¦8ª7¦8×4§�¦>ªs¦²¤�×4ø_óX¦8× Å ¤+ª7��Ù5ª �» Ù�§�ú �ì éÑ×4ØýØ Å ª7�û¤�¦8§-éÑ� �» Ù4éþª�¤×4§_ò>ÿê×4§^ª2�©� � ��?¡¬ø�ÙZ¤�¦«¤iÙ5§�ú �ì ×4§_ò>ÿê×4§ �  �¡�¢�Ié5� �ì ¦«¤iÙÆó���éþª2×4��×�������Ù5ª2×Z��¤!¦8§�éþ���� ��� ��� î � ³ ��� � �� ¶ ���� � î�� ³�� � �2¶¥  ·¸ � ð � î2ï²�2¶¥  ·¸ � ð � ï���¶ �2¶¥  ·¸ � ð � î7ï �7¶�  ·¸ � ð � ï�� ³ � � ·¸ Ì ð � î7ï ð � �Ôï_¶ ·¸ Ì ð � î7ï ð � �uï �³ ·¸ Ì � ��� � � ��î ��¶�� � ��� � �� � � � î�� ¼�� � ��� î � �³ ·¸ Ì � ��� � ��� î � ¶�� � ��� � î��³ ·¸ Ì�� ð � � ï ð î��Ôï�³��   ·¸�ð � � ï²�7¶�  ·¸�ð î �uï8�V³��   ·¸�ð � � ï²� � ï8�Fî��� �I­X¢'­4®��

Page 84: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

������! #"%$�&('

)*,+ )- � ). 0/ 123 )4 + )- � ). 5/0123�6 798�: 4 8 - : � ). <; 1�= / >23? � @ 8 :A 4 8 - A ; 1�=/ >23 ? � )@CB )4 )-ED ��FHGIF�FJ

KML(NPORQPSUTVQXWZY[SU\]\^S_M`badceST�fgY�f�QE_bWhSji�k / > S_d\[i ? / > WhYml�Y�Thfi / �Hn > n S_d\porqsWhSHWZQHq�Lutvq<we_M`xWhydQzceS\]\dQET{Y�|5QHThSHWhY�Tuf�QJWZy]YM\}QJ~d|dThQHq�q�Scec� _dwe_]Q��i n�� QHw(`�QH_d�bQ�Whquw�_�WhQETVf�q�YUl ; i�kei ?<� � k � ? = L�O�Thw�WhQz��Y!adTrS_]q���QET�Sq; i / > n�� / >V= / >� � ;�� n o =�� >� � ; o n � = n D<D<D n ��FHGIFh�H

�rydQHThQ � S_d\PoxqsWhSU_]\gl�Y�T � k�� ? / > n o n ThQEq<|5QH��Whw(�MQ�c(��L

�p���� V¡ $¢$¤£   �U��$�¥ �¦ V¡§�¨©( hª�« £ «z��¡ $   i�k / >  V¡ � i ? / > $¤£v¬e£ ª¤« i /; i�k � i ? ; n D<D�D n i�k � i ? / o n > n�� '�$   $ � '�G®­ � $ ¨ '®$  V¯E�®°±ª '�$#$�¥ � '�$   $ � i / �H²�� / � G³ ¥&´'µ' $   $ � &(' ª��<©(  $ � �z$¤£C; i�k � k � i ? � ? = $¤¥ ª £ ¨U§ ¥C$¤¥ � ¬e£ ©¶© £ � & ¡U§{�h·�¨�  $�&¶£ ¡; i n�� = / ¸A�¹EA»º�¼HAd½�¾ i�kei ?<� � k � ? ; i�kei ?<� i � = ; i�kei ?<� � k � ? = ��FHGIF�¿J

À £¦' � $¤$¤& ¡§ i / �E²�� / � & ¡ ��FHG�F�¿J �#��§�� $; i / �Hn�� / � = / ¾ i k i ? � �Á�Â; i k i ? � i � = ;<�Á� =dÃ�Ä Å¶Æ�Ç/ ;<�X� = ��FHGIF�ÈJ

"�¬ �#�u VÉÉU©¶Ê $�¥ ��ËÌ £ É��<ª�  $¤£ ª £ ¡ $¤¥&´'#'�$   $ � $ �#��� & ©Í©b§�� $Ë Ì ; i / �Hn�� / � = /Â� Ë k Ì � Ë ? Ì �;<�X� =Î 23bÏ � i � � �� i � � � > �; i / �Hn�� / >V= /23 Ï � i�k � � k �� i�k � � k � > h; o � = � 23 Ï � i ? � � ? �� i ? � � ? � > <;<� o =Î � �M; i / �Hn�� / >V= / � � ; o � = � � � ;<� o =Î ; i / �En�� / >h= / >� � ; o � = � >� � ;<� o = D ��FHGIF�Ð�

Page 85: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Ñ�ÒÔÓ�Õ�Ö�×®Ø�ÙÂ×#ÚÜÛÞÝ�ß�à�á�ÛuØmâ�×#âCÖ5Ý�Ó�à�â ã�äåçævè�éê�ë¤ìVí¦ê�î�ìVï�î#ê�é�ìVðEêñòôó õ�ö�÷Eø�ù,öûúVüýö úþ ÷]ÿ ñ�� ò��Xñ��¤ò��<ó��uü�� úþ ÷�ÿ ñ�� ò��Xñ��¤ò���ó ����ü��þ � ó õ�ö�÷Eø�ù,ö��Jüýö úþ ÷�� þ ÷bó����uü�� þ ÷bó����ü���� úþ ÷�� þ ÷!ó ���Jü�� þ ÷!ó ���uü����þ � ó õ�ö�÷Eø�ù,ö��Jüýö ÷!ó ���Jü �Âó �!�uü��Âó ���Þü��

ó õ�ö�÷Eø�ù,ö��Jüýö " ÷ä ó ����ü�� úþ � ó ���Þü#� úþ � ó��!�uü ÿ ä�$Iä�ã �ñUò�ó õrö�÷Hø�ù ö%��ü ö " ÷ä ÿ ñ�� ò��Áñ��¤ò��<ó ����ü� úþ � ÿ ñ�� ò��Xñ&��ò��<ó ���Þü#� úþ � ÿ ñ'��ò��Áñ��¤ò���ó��!�Þü��

þ � ó õ�ö�÷Eø�ù,ö(�{úhü ö " ÷ä � þ ÷bó)���Jü�� þ ÷�ó�*�uü � � úþ � þ ÷bó �*�uü#� úþ � þ ÷!ó�����ü��ó õ�ö�÷Eø�ù,ö(�{úhü ö ÷� þ ÷!ó �*�Þü�� ÷� þ ÷bó��+�Jü�� ú� þ ÷bó���Þü#� ú� þ ÷!ó�����ü,�ó õ�ö�÷Eø�ù,ö(�{úhü ö úþ ÷ ó���Þü#� úþ ÷ ó����Jü ÿ ä�$Iä�- �ñ ò ó õ�ö�÷Eø�ù,ö(�{úVü0ö úþ ÷ ÿ ñ � ò �Xñ ��ò �<ó �*�Þü#� úþ ÷ ÿ ñ � ò �Xñ �¤ò ��ó ���Jü.�þ / ó õ�ö�÷Eø�ù,ö(��÷Jü0ö úþ ÷ þ ÷bó��0�Þü�� úþ ÷ þ ÷�ó����Þü��

ó õ�ö�÷Eø�ù,ö(��÷Jü0ö ó����Þü21 ÿ ä�$ / �&�354�î�6Íê<è,7�ë�8¤ê�è97�8�æ è:4�ê�;7�ìVè:<=4�æ ÿ ä*$Iä?> � $ åA@�õ�öÔú�B�ù öÔúuî#ê�î�<=6C6bé�ìhðHêó õ�öÔú�ø�ù öÂúhü�ö%DMóE�F�Jü���G�ó�&�uü ÿ ä�$ / úH�I�é�<(ë#ë è�ìVè�ê�ë�é�4?7�6KJML!êN4?8¤è¤é'4�O�4�æ�ìH6ôè94rìH6C6#ó õ�ø�ùxü�ë è�ìVè�êhë#ìVæPJQ<¶æMR�ì�8¤è:<KSE7�6´ìH8�è94}ó õ�ö÷Hø�ù öÔúVü $UT 4V õ�ö�÷Eø�ù ö úHó õröÔú�ø�ù öÂúhü�ö%�W� �X � DY� �X � Gµö%�W�DZ��G#ö%�W� D ö[�\G 1 ÿ ä�$ / ÷&�

Page 86: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

]�^_�`ba�c�c�d=e9dCf�`be9g�hjike2aHe:hQl monqp?rtsun[pHvwikg�f?x�yKcMz{hN`�f?|9}Ma�y=dC~ h�c�i�f� m�n(p�r2s�nqp*l monqp?rtsun[pHv,n[pY� l ��l ����l�l�,nqp\����� � ���� �{l�#l��n�pN� l�#l�n p� ����,���Ef?`���h `*e:d�f�`���h�eta��*h���e:f�z�h�|:h�aHy.aH`PcF��f ikd=e:d=��h�ikf¡�¢n £¤ � aH`�c¥�on§¦¨£¤ �©ª,g�a�e5d«i l monqp�r2s�n�p�v,n p� � l ��¬v�¦ p� � l ¬&�Nv � ­¯® © ^ ®&°±\i�d=`�²�e:g�hji9a�}�hN��|9f��Eh³c*x�|9hN��h\xPikh�c�z�hE´µf�|:h¶�· l mon[p�rts¨nqpHv¸n p� � ­ ¶ £ ·��!¶ � · ° l �F¬&v ¦ p� � ­ ¶ £ ·��!¶ � · ° l¬�Zv��� ��l mon[p�rts¨n%¬&v¸n p� �º¹ � ��l¬?¬&v�� � ��lE��¦Zv�».¦ p� ��¹ � ��l�¦��Nv�� � ��l¬?¬&v�»¼�l mon[p�rts¨n%¬&v¸n p� � l ��¦Zv�¦ p� � l ¦!�Nv ­¯® © ^?^ °¶'·½l m�n�p?rts�n%¬v¾n p� ��­ ¶ £ ·o�0¶ � · ° l ��¦Zv�¦ p� �½­ ¶ £ ·��0¶ � · ° l�¦��Nv,�

� ��l monqp?rts¨nq¦Wp�v¾n p� � � ��l¬�¦Zv ¦ p� � � �{l�¦�¬v,�l monqp?rts¨nq¦Wp�v¾n p� � l ¬*¦Zv ¦ p� � l ¦�¬&v � ­¯® © ^ ¿ °À�h e9x'|9`�dC`�²Wz�a?�E��e9f ­�® © ® ¿ ° ��h\i�h h\e:g�aHe.e9g�hNi�eta�e9h�l mon%¬*r2s�n�¬v.� aH`Mz�h\��|:d=e9e:h `a?i l mon%¬�rts¨n%¬&v.n%Á £ l¬?¬&v���Á � l ��¦Zv#�FÁ � l�¦!�Nv � ­¯® © ^ Â °ª,g�d«i5i�eta�e9hjikg�f?x�yKc�z�hWf?|9e:g�f�²?f�`�a�y�e:f�a�y=y#i�eta�e9h�i�l mrts�v.a�`�cQdC`���aH|:e9d«�Ex�yKa�e�e9f�l m�n��rts�n%¬v�a�`�cQe:fNmonqp�r2s�n�¬v ©�à f� mon%��rts¨n%¬{l mon%¬*r2s�n%¬&v�n%¬W� Ä �® Á £ �

p�  Á � � p�  Á �� ��Á £ �FÁ � ��Á � n%¬ ­¯® © ^�Å °� monqp?rts¨n%¬{l mon%¬*r2s�n%¬&v�n%¬W� p� � Á � ¦ p� � Á �� Á � n%Á � � ­¯® © ^ ] °

Page 87: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ÆÇqȽÉ\ʼËU̼Í�Ë�Î+ÏZÐ�Ñ�Ò½Ó�ÏNÌÕÔ�Ë�Ô�Ê�Ð�È\Ò½Ô Ö�×Ø\ÙkÚCÛ�Ü�Ý9Þ�ßNà«á�ÙkÝ�â:ß àKá�Ý9ÚCã�ÛMÚ=Û�ä�å�æèç�é�êtë�ì�ßíÜ�ß Ý

î�ï ð½ñFî�ïóòUô�õ÷öøï³ð�ñ�ïóòUô�õ÷öøï ð,ôqùíïEòóú ä�å�æèç û&êü,Þ�ßjÙkÝtá�Ý9ßMý þ ô%õ*ÿ��¨ô%õ�� Ù�Þ�ã���à����ßNÛ�ã�â�MáHàCÚ � ß���Ùkã

� þ ô�õ*ÿ���ô õ ý þ ô%õ*ÿ��¨ô%õ��,ô��\ö ý ï ð ý ò ñ ý ïEò ý ò ñ ý ï�� ý ò ô��Zö å{ý ïEò ý ò ô��ö ý ïóò ý ô �� å ú ä�å�æ ×�õ ê�����Eã?Û��*ß)ÛÝ9Ú=ã?Û�ì�ß�Ýtá���ß ïóò Ý:ã��{ß�â9ß³áHàNá�Û��! �ãÙ�Ú=Ý9Ú"�*ß¡Ùkã ïóò�ô ï#��ô ð$ � áHÛ��ï³ð�ôqù ð$ � æ�ü,Þ���Ù

ý þ ô%õ�ÿ��¨ô%õ%�.ô �� å ý ñ�ù&��ñ �� å ý ù!ñ'� ù �� å ý õ?õ%�2ú ä�å�æ ×(� ê) ã�Üá�Ý9Þ�ß â:Ú=Û�Ü áHàCà#Ý9Þ�ß& �â:ß*��Ú=ã��PÙ,â9ß�Ù+��à=Ý2Ù,Ý9ã�Ü?ß Ý9Þ'ß â

ý þ ô î*ÿ��¨ô%î%� ô ý ñ0ñ&�ý þ ô î*ÿ��¨ô���� ô ð$ ò ý õ&ñ&�#ñ ð$ ò ý ñ�õ��ý þ ô î*ÿ��¨ô%õ%� ô , ò� ý õ?õ%��ñ ð$ - ý ñ�ù'�#ñ ð$ - ý ù!ñ'�ý þ ô î*ÿ��¨ôqù.�/�¾ô ð$ ò ý õ*ù&�#ñ ð$ ò ý ù�õ��ý þ ô î*ÿ��¨ôqù\î��¾ô ý ù0ù'�ý þ ô0��ÿ��¨ô���� ô ð$ ò ý ñ�õ%��ù ð$ ò ý õ&ñ&�ý þ ô0��ÿ��¨ô%õ%� ô ð$ ò ý ñ�ù'��ù ð$ ò ý ù�ñ&�ý þ ô0��ÿ��¨ôqù.�/�¾ô ð$ ò ý õ*ù&��ù ð$ ò ý ù�õ%�ý þ ô õ*ÿ��¨ô%õ%� ô ð$ � ý ñ�ù'�#ñ ð$ � ý ù!ñ&��ù ð$ � ý õ?õ%�2ú

ä�å�æ ×?î ê

132"46587�9;:=<?>A@CB/D/EAF�BG7H@*IAJLK(D/MNF�7POQB/K(>L@R<?DS<UTVD/7�>LW � <?E3BS<UTXBZY;<H[AM]\^K(D�K(>_B` K(F�B/<�D�@bac ô ä+cAd ÿ cAe ÿ cLf ê 7�>A[gah ô ä+hUd ÿ h(e ÿ h(f ê 2;ikjAILOlMNF�MmB/OmnoYSD/M]B�KqpXr ðtsu ðwv x MN>B/KUD/y�@&<UT c d v e v f 7�>A[ h d v e v f 258z{9|:=<�>L@CB�D�EAF�Bb7}@*IAJLK(D/MNF�7PO~B�KU>A@*<�D!<UT�D/7�>AW î <�E�Bb<UTHBZY;<}[AM]\^K(D�K(>_B` K(F�B/<�D�@ ac 7�>A[ ah 2!��D/M]B/K�[L<UYS>}K�jAIAONMlF�M]B�O]nbp r ò+su ò8v u ð+v x MN>�B/K(D�y�@�<UT c d v e v f7�>L[ h d v e v f 2

Page 88: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

����t�%�X���"���C���� �/������ �����;�U���C�8���������*�����������X�����*�q���"� �A�����8���¡ l�¢�8���& l��� �"�����"��£S�C��¤S¥¤G¦P������� ���§���*�m�/�8� �����

¨ �A©«ªC¬�­8®°¯b±w²³U´ ©µ­¡¶��·¶ ¨ �(©«ªZ¬�­�®_¯b±w²³U´ ©µ­¡¶*��¶�¸ �t¹Uº¼»�¹%�½ �8��¤��8���¾�C��¤G�������*�����?�� ¿���U���C�8���_�����*���������À���^�*�/�;�C�����w���8¦��C�·�X�+�����*���m�*�/���8�*���+����/ Á���/��ÂHÃ'�"������' l��� �"����� �P£.�k���(ºAÄ����Å�U�CÆ����"��£;���������*�8��� �/���� Q�§�+�����*���m�*�/�3�8�*���+����/ Á���/��ÂÇÃ=���8�&�����X l��� �"�����"��£

¨ ¬�È/ªC�&É ÊtËÌ ®_¯�²³?Í �&É ÊtËÌ ª ¨ ¬(ÎLªC�&É"Ê«ËÌ ®°¯Ï²³3Ð ��ÃÒÑ Í ���«Ó�Ô Í � � É ÊtËÌ Î Ê ¸ �t¹Uº¼»/ÕU�Ö ���m�

¨ ¬ È ªZ� È ® ÉØ×�Ù Ú¡×�˯ Û%²³ � È É¼×�Ù Ú«Ü�ËÝ�LÈk¯!�AÞ �t¹Uº¼»�»%�¨ ¬(ßLªZ�LÞ�® ÉØ×�Ù Ú¡Ü�˯ à Ó ²³ �·ß Ê ¯ ¨ ¬%ßLªC�AÈ�®_¯ ¨ ¬�á�â�±w¬äã/ªC�AÈ�®

ÉØ×�Ù Ú¡×�˯ åX±w²³ �Aã�âæ± � ±+²³ � �Lá&¯�å&²³ � �Aá�â�±w�Aã � Ý�Àß Ê ¯�å Ã

à Ó � �Aá�â�±w�Aã � �t¹Uº¼» � �¨ ¬�ç3ªZ�LÞ�® ÉØ×�Ù Ú¡Ü�˯ à Ó ²³ �Áç Ê ¯ ¨ ¬Pç3ªC�AÈ�®_¯ ¨ ¬�ákåo±w¬äã�ªC�AÈ�®

ÉØ×�Ù Ú¡×�˯ åX±w²³ �Aã�å�± � ±+²³ � �Aá&¯Ï²³ � �Aákå�±w�Aã � Ý�Qç Ê ¯ Ã

à Ó � �LáVåo±w�Aã � �t¹Uº¼»�è�����Ç l�8��¤é�8�P�G�U���C�8���'�����*���/�8�����ê�� �/���ë�� ���ì�*�/�6�Z�����+�8�8¦í�C�S�w���P�*�8���*�������*���w��������"�8�¢�C��¤ì�?�����*�����

�LÞ ¯ �AÈ �(Þ ¯ �(È�·ß Ê ¯ å Êî ï � �AáÒâæ±w�Aã � �Pß Ê ¯ å Êî ï � �(ákâ6ð(�Uã ��Áç Ê ¯ Êî ï � �Aákåo±w�Aã � ��ç Ê ¯ Êî ï � �Uákå�±w�(ã ��t¹Uº¼» � �

Ö �A�m�3ÂU�������S�w��¥¡¹Uº"Ã Û ºØÓ%è��L�������·�ñ Pò É ¶8ó ËÌ ó �����§ô É ¶«õ ËÌ õ ������� ���8�/�(¦��C� öP� �Á�+�����*���m�*�/�U���*���w������/ X������Â�÷ Ê ������÷ ï ���/�w���/�C��� �(�*� �������*�o���ì�*���æ�C�����+�8��¦��C�;�Ç�+�����*���m�*�/�Á�8�*���+���;�/ ������¢÷øXÉ ¶ ËÌ ¯�ùÌ ó Ì õ�ú

÷ Ê ÷ ï*û Í Ê Í ï�ü ÷ Ê ÷ ï/û ÷ Í%ý ò É ¶�ó ËÌ ó ô É ¶«õ ËÌ õ �t¹Uº¼»�þ%�

Page 89: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ÿ����������� �������������������������������� �! "$#&%('*),+�-/.0+21�3�1�'4.65718:9<;>=? ; @ ACBDB0EGFHB/I4JKBDB0E/BDB6LNM ? ;6O7P FQA(BDB0ENI�FQBRJKB0BDE/B0BSLCM P6O ? ;9KTNU VXWX=@ BY Z M ? ; O P�[ BY Z M P O ? ;@ [ ;W�\ M^]�F�_2M^`/a O7b F ;W M b \ O ]F�_ O `/a \>cRdKe I!a8:9<;>=P @ ACBDB0ENIDI4JKB0BDE/BfI!LNM PDORP FQA(BDB0E [ B�FQBRJKBDB0E/B/I�LCM�g ;/O ? ;FhA(BDB0EGFHB [ BRJKBDB0E/B/I�LCM ? ; O g ;9KTNU VXWX=@ [ BY Z M g ; O ? ; F BY Z M ? ; O g ;@ BY Z ;W \ M ] [ _2M ` a \ O ] F�_ O ` a [ BY Z ;W \ M ] F�_2M ` a \ O ] [ _ O ` a@ BZ Y Zji M^] O ]kF�_XMl] O ` [ _2M^` O ]FmM^` O ` [ M^] O ]kFn_2M^] O ` [ _2M^` O ] [ M^` O `Go@ _Y Z \ M ] O ` [ M ` O ] a \>cRdKe BSa8 9<;>=g ; @ ACBDB0E [ BfIpJqBDBDEfBDBSL(M g ; O P FQACB0BDENI [ B7JqBDB0E/BDB6LCM P O g ;9KTNU VXWX=@ [ BY Z M g ; O P F BY Z M P O g ;@ [ ;W \ M ] [ _2M ` a O b F ;W M b \ O ] [ _ O ` asr \>cRdKe Z a\ut a ">#&%C'*1H+(.Svw1�vx.S#*#*1fyz3�1�3�)<{|{}'~.S5R18 9�W2=? W @ ACBDB0EGFHBkFQBRJKB0BDE Z F Z LCM ? ; O ? ; 9KTNU VXWX=@ M ? ; O ? ; @ ;W!\ M^]�Fn_2M^`/a \ O ]F�_ O `/a@ [ ;W�\ M^] O ] [ M^` O `zFn_2M^] O `zF�_2M^` O ]�a \>cRdKe0c a8:9�W2=? ; @ ACBDB0ENI�F�B7JKB0BDE Z FQB6LCM P6O ? ; F�ACBDB0EGFHB/I4JKBDB0E Z FQB6LCM ? ;�O7P9KTNU VXWX=@ BY Z M P O ? ; F BY Z M ? ; O P@ [ ;W�\ M b/O ]�FmM^] ORb F�_XM b�O `zF�_2M^` ORb a \>cRdKe6� a8 9�W2=P @ ACBDB0ENIDI4JKB0BDE Z I!LNM P O P FQA(BDB0E [ B�FQBRJKBDB0E Z I�LCM g ; O ? ;FhA(BDB0EGFHB [ BRJKBDB0E Z I�LCM ? ; O g ;

Page 90: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

�0��K�N� �X�2�� � ����^�/�R���Q� �� �����N�*�4���Q� �� ���p�N�4�*�� � ����^�/�R���Q� �� ���� �^��� 2�^¡/¢ � �R���n 2�R¡S¢^�Q� �� �£ � ��D� �^���� 2�^¡6¢ � �7��� 2�R¡6¢� � ���¤ � �^�S�R��� �� �^�D�R���  � �^�D�R¡z�  � �^¡/�7�� �� �^¡6�R¡�� �� �l�0�7���  � �l�0�7¡¥�  � �^¡S�R�� �� �^¡S�R¡N¦� � �� � � �^�/�R���m�^�D�R��m�l¡6�R¡S¢ � �7§ �0¨ ¢© �ª�X��*� � « �0�D¬N­ � �7®q�D�D¬s� � �6¯ �^�S�4�*��� « �0�D¬ � �/­4®K�D�0¬N� � �S¯ ���*���R��K�N� �X�2�� �£ � �^�/�4�*�^� �£ � ���*�G�R�� ���� �^�/�R���°�^�D�R���± 2�^�/�R¡��� 2�^¡6�R�/¢ � �7§ �0� ¢© �ª�X�� � � « �0�D¬ � � � �R®K�D�0¬N� � �!¯ ���*���4�*� �K�N� �X�X�� ���*�N�4�*� � ���� �^��� 2�^¡/¢ � �7�²�± 2�R¡6¢� ���� �^�D�R��m�l¡6�R¡��� 2�^�D�R¡��� 2�^¡/�R�D¢s³ � �7§ ��´ ¢

µ·¶,¸�¹(ºp»H¼k½�º*¾À¿lº7ÁàÄÅÆ�Ç � Ä ® È �Ä �ÆlÆ�É �ÀÊ ¢ ® �CËÌ(Í4Î º*Ï}ÐÒÑÓ¹(ÔuÏ}Á6Â�Õ� Î�Í4Î�Ö º*¾ Ì$× ÔÀÏ}Á6Â!Õ� Π»6Ø7Á Ö ÂRÏÚÙ Ö ÂRÙDÛÜÐ Í ¿ Î º�ÏlÝGÞß ÎkÌ(Í4Î Ñ � �� ¶¹Cà�»ßá Î6Í ½âÂpã Ì(Í4Î º*Ï}ÐäÑ4ãÄÅÆ�Ç � Ä Ë � ®åÈ �

Ä �Æ É Æ �uÊ ¢ ® � � �� Ñ � Ñ � � ¢RæXç|è Ê � Ëwé � � ��D� ��êGë æ � Ê � � ¢N³ì,íäîXï�ð>ñóò Ö ÔuÝ&Ù�º*Ïôà�Â�õ Î6Í ½âÂ7öQÔÀÏ ÷�º*Ï}ÐQÞ�º�Ð^ÝD¶Óø Í ¿ ÷�º�Ð}ã Ì(Í4Î ÔuÏ^ÝGÁ6º*Ï^Ù�Â4ãÂ�ù^º*÷�ÔuÏ^ÂÚÁ Ö Â Î6Í Áú7Á6Ô Í Ï^º*¾�õ ÎSÍ õ� ΠÁÃÔuÂRÝ Í�Ì&ú �� ¿lÝfÔuÏ·Õ�Á Ö Â�Ý/õ Ö Â Î ÔuÙ�º�¾Ü¹(Ô Î6Î Â ×ö^¿lÙ�ÔÀà^¾uÂ*»�Á6ÂRÏlÝ Í4Î ¾uº�Ï�Õ�¿^º7Õ�Âp¶ªû

Page 91: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ü�ý�þ�ÿ������������ ��������������������þ���� ������! �"�#�$%�'&(# )*+-,/. )1032 4 )65+1+-7 �98� 0 :<;= )*+-,/. )>;?0A@CBD;?0FE .HGJI<K6LNM6O P 0 BD;RQJST0 := )*+-,/. ) ;�@UB(;?0VE .WGJIXKYLNM6OP 0 B(;ZQJS [ @CBD;?0FE .HGJI<K6LNM6O P 0 B(;RQ\S^](_= )*+-,/. )>;�@UB(;?0VE .WGJIXKYLNM6OP 0 B(; Q S`@CB(; Q 0VE GJI<K�LNM6OP 0 B(;aS= )*+-,/. )b@CBD;RQ�0FE GJI K LNM6OP ;?0 B(;cS`@CB(;d0FE .WGJI K LNM6OP 0 B(;ZQJS= efg @CBD; Q 0FE GJI<K�LNM6OPihWj�kl )*+-,/. )10 B(;cS`@CB(;d0 mn E .WGoI<KYLiMYOP 0 B(; Q S= efg @CBD; Q 0FE GJI<K�LNM6OPihWj E .WGoI<KYLiMYOP 0 B(; Q S= efg @CBD; Q 0 p _ �q8srWtEbu h j p �q8srWtEbu 0 B(; Q Swv ��x(yAz � {s|~}�} $~#��R����#T� }X| � �h���� ��&(#N� } �������%#T�w� } ��� � ���q�<��� �6���6x(y e�� yAxW ��#�� �U�C� $%�'&(#} $%� } p _ �q8srWtEbu h j p �98�rDtEbu = * )�� j ) �q8srWtEbu h ) v ��x(yAz � � � } $~#�� } $>#T�$%�'�����#��(�~�����6����xDy e yA�N�  } $%� }� �98�r!tEbu =¢¡£¤ �¥� � 8 � �Y� �8� e �¦ �6� ��8 � �¥� � 8 §�¨© v ��x(y\ª � �W� )*+-,/. )-032 4 )�5+1+ 7 �98� 03:X; = efgc« ¦ �Y� �8 @CBD; Q 0 hW¬ 0 B(; Q S®­ �¥� � 8 @UB(; Q 0 h j 0 BD; Q S�¯= efg�° ¦ �Y� �8 @UB(;RQq0 h(± ­ h .² 0 B(;RQ\S1­ fg ;ZQ �b� � 8®³= ;ZQ �b� � 8 v ��x(y\ª e

Page 92: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

´�µ¶%·�¸�¹»º½¼'¾i¿»ÀÁ�Â(Ã~·�À�Äq¸X·�ÅÇÆ6È�É6Ê(ËA¿(ËVÌ�Ì(ÍsÎXÏ%Ð'ÎÑDÒUÓ^Ô6Õ6Ö×Ø×-Ù Æ9Ú�Í�ºÜÛÞÝ ·WßØà Õ á ß6âUÃ�à ÕßYâUà à Õ Ý ·Wß à Õ ãcä Æ^ÊDË\åi¿!ÍÈW·�Äq·�¸çæRè~º�¼'¾i¿ Ó^Ô6Õé×-ê/ë Ó^Ô6Õíì ÑDÒVî�Ö× Ó^Ô6Õ ÆqÚïÍ ì Õ æ º á ÓÕ ß6âUÃ Õ Ú ¿ñð ÓÕ Ý ·Wß Õ Ú ¿º ÓÕ Ý ·WßDÚòºóæ è Ý ·Wß(Ú Æ^ÊDË\åiÊ!ÍÀÏ~âCôUÁ�Äq·�¸�æ è º á ¼'¾i¿Ó^Ô6Õé×-ê/ë Ó^Ô6Õ ì Ñ ÒVî�Ö× Ó^Ô6Õ ÆqÚïÍ ì Õ æ º á ÓÕ Ý ·Wß Õ Ú ¿ ð ÓÕ ß6âUÃ Õ Ú ¿º á ÓÕ Ý ·Wß~ÚÞºóæ è Ý ·Wß~Ú ä Æ^ÊDË\å�ÌDÍÆqõ Ísö�Á�Ï%Ð'÷(Á îé×-ê/ë î æ Õ ì ÑDÒVî�Ö× Ù × ÆqÚïÍ ì Õº îé×-ê/ë î æ Õ ìùø ¹(æ è ìVú ëWûJüXý à Ô6þ ÿ ì ¹(æ�� ì Õº îé×-ê/ë î æ Õ ø ¹Dæ è ìFú ëWûJü<ý à Ô6þ ÿ ì ¹(æ���� ø ¹Dæ è ìVú ëWûJüXý à Ô6þ ÿ ì ¹(æ������º îé×-ê/ë î æ Õ ø ¹Dæ è ìFú ëWûJü ý à Ô6þ ÿ ì ¹(æ�� ø ¹(æ ìFú ûJü ý à Ô6þ ÿ ì ¹(æ è �º îé×-ê/ë î ø ¹Dæ è ìVú ëWûJü ý à Ô6þ ÿ æ Õ ì ¹(æ�� ø ¹(æ ìVú ûJü ý à Ô6þ ÿ ì ¹(æ è �º ¼ Õ ø ¹Dæ è ìVú ëWûJüXý à Ô6þ ÿ��íÕ ��� îé×�ê/ë î ì ¹Dæ�� ø ¹(æ ì �� ú ûJü<ý à Ô6þ ÿ ì ¹(æ è �º ¼ Õ ø ¹Dæ è ìVú ëWûJüXý à Ô6þ ÿ��íÕ ú ûJü<ý à Ô6þ ÿ ì ¹(æ è �º ¼ ø ¹Dæ è ì � ÆqÚ����ú�� Í � Õ ��� Æ9Ú����ú�� Í ì ¹(æ è � ä Æ^ÊDË\å��!Í

Page 93: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

������ "!$#&%$'(#*),+.-0/01�23+4%657#*58!9-0�"1�5 :<;=?>A@CBED�F<GIHKJML9N*OQP<RS@CN6TVUXWYT

Z"[]\_^` a�b ;H DcF�d \e4f d \ L DcFgGih�HMLN*USOj>AOkZk[l\m^` npo TVUSOrq�sutv@KBxw?@CRSOjRST�@Yy�W o Oztv@CRX{|>}WYRSP~TVOjR o @K>jG*��@d \e a�� HF Zk[l\m^` � ;F d \ DcFgGihChKLWYRX{ omn RXtvO4�~D_�"LAd \ �0�vD_�"L a d \ �~Dm�QLc�0�jD_�"L a d \ N*O"N n���� UXWz�<O�~����?� � � \Y� � [��u^����� D���L ��\ a;��S� ;F���� � � � d \ � � �~��¡ � b ¢F ;�� \ ��� � � � �~D���£�¤¥v¦ LVd \e � � D���£�¤¥�¦ L � � �~�]¡¨§DcFgGih�©MLª«O"PgRS@KN¬TVUXWYT*y�@K>$W o wSU­Oj> n tjW � TAOjR o @K>rDm�KsuF<G ; qgG ¢K¢z® L�~D_�"L_Z []¯V^° � � D_�"L a ¯±° �²�?� ¯ � []¯V^° � ° D_�"L_Z []¯V^° � DcFgGih : LN*U n tvU³B~OzWzR o�n R´@KµS>QtjW o O4TAUXWzT

��� � � � �~D���£�¤¥ ¦ LVd \e � � D¶��£M¤¥ ¦ L � � � � ¡ a ��� � � � \±° �²�?� \ Z []\_^° � � []\_^° � ` D¶��£�¤¥ ¦ L � � � � ¡a \±° � �?� \ �·[l\m^° � ` D¶��£�¤¥�¦ L ��� �~� � Z"[]\_^° � � � �~�i¡}§ DcFgG¸©CqML¹�µST�N*O"PgRS@CNºy�>A@KB»TVUSO4ª n�¼ R­Oj>msu½9tvP�Wz>AT9TAUSO¾@K>AO¾B¿TVUXWYT ��� � � � Z []\_^° �]À� ` � � � � ¡ a q<G*��@�±���?� � � \Y� � [��u^��� � D���L ��\a ;F �� \ �� \ � D � � ; L � ;�� \ b ¢F �·[l\_^`_` D���£�¤¥�¦ L ��� �~� � Zk[l\m^` � � �~�i¡a ;F � D � � ; L � ;¢ � []\_^`m` D���L ��� � � � d \e4f ;F d \Y� � � � ¡a ;F � D � � ; L � ;¢ � []\_^`m` D���L�Á � � \ f ;F � D � � ; L¶Â

Page 94: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ÃCÄÅ ÆÇ<ÈXÉ�È4Ê ÆYË Ê ÆÄÌÉ Ç�Í�Î�ϨÐSÑ8Ò ÆzË�ÓpÔ~Õ Ð Ò ÆÇ<ÈXÉ�È4Ê Æz˶ÖÅ Ò ÆÄ ÈXÉ�È.Ê ÆzË ÍvÎ×Ï Ð Ñ Ê ÆØ ÈXÉ�È.Ê ÆzË Ê ÆÇ ÈXÉ�È4Ê ÆzË Ê Ô Õ ÐÄ É Ç�ÍvÎ×Ï Ð ÑÙÒ ÆYËÅ ÚÐ ÈXÉ�È.Ê ÆzË ÏmÛ�Ü Ð Ñ Ê Ô Õ Ð ÚÐ É Ç�ÍvÎ�Ï Ð Ñ8Ò ÆYË É Ç<Ý¸Þ ÆYËß*àSá¾âAá4ß*á"àXãzä<á$å Ï á�æ|ç<è Ð_éê_ê É Ñ Ë Å(ë Ð É ÍvÎ×ÏìÑ Ë Å�ÚÐ É Ç�ÍvÎ×Ï Ð Ñ8Ò ÆYË Ýíïî�ðòñAó?ôÙõ÷özøpùzú7û?üXý4ûXþSý4óSÿ�� É û Ð Ò ü Ð Ë ó����������Xÿ�úgÿ ù �����´ó������úgözø���ó��ñAø�özözú�������ø����¶úSô"ùzúgÿ����Xö����köYó­ÿ�� Ä îñ���ô�� �Ìú�ú�!��ú"�Kùzó<ù�ø��Xÿ$#3ó����Ìú

%'&)(+*-,�. È . Ô Å È0/¸É Ç þ�Ð Ò�1 Ð Ë / ,�. È . Ô Å È�2ø����ïÿ���3³ÿ ó�� ù4��ú65�7�8:9<;�7>=0?<@�ACB$?<BDAFEHGcîJIK# ó����Ìó<ùzú(+*-,�. È . Ô~Õ /¸É û Ð9Ò ü Ð Ë / ,H. È . Ô Å ÈL2 .ñM3N�ÌúgöYú Ô Õ Å È . È Ò Æ . È Ò~Ä .�O�O�O ô�ø¶ÿ8ùzúgö �D�P��� % ó­ÿ�� ó���ö �>�özø�ó<ùzúRQS�¶ú"�����T�0UV �?ö �ÌóSÿ����ïúFW���ø�úgÿ ù �Kî

É ã ËYX ÏmÛ�Ü�ZR[ àSá³âAá]\pã [VÛ�ÎCÜXÏ É ÇgݸØCÇ4^uÇ<ݸØ�_ Ë ß*á Í ã Üa`XÜ æ [ àXã [4Û�Ü�[ àSá Í ã Ï á0ß*àSájâVá)bc Åbd Å bû [ àSá ÍvÎ+eRfXÎKÜ á Ü�[¨Ï�Î g ã ÏMf àSájâ Û Í ãh\ [ á ÜìÏmÎ â Îhg â¨ã Ü�i´Ä ß Û \j\:k?ál è Ð_ém Ð Å ÚÐ É û Ð Ò ü Ð Ë Ê�n û?ü l è Ð_éo Ð Å ÚÐ É û Ð Ò ü Ð Ë Ò n ûXül è Ð_ém Ú Å Ò É ûXþ Ê�n þ�ü Ë l è Ð_éo Ú Å ûXþ Ò n þ�ül è Ð_éê Å p Úq É Ä þ Ð Ò û Ð Ò ü Ð Ë Å)p Úq É Ç þ Ð Ò�1 Ð Ë É ÇgݸÞCÄ Ër ÎJg â Î+es[ à­á ã k Î ägá ß*á"àìãYägá

t û Ð9Ò ü ÐMu Å l è Ð_ém Ð Ê l è Ð_éo Ð . û?ü Å l è Ð_ém Ð Ò l è Ð_éo ÐÄ n . û?þ Å l è Ð_éo Ú Ò l è Ð_ém ÚÄ O É Ç<ݸÞCÇ ËÉ k Ëwv á"àXãYägá% Å (+*x,H. È . Ô Å È0/¸É Ç þ Ð9Ò$1zÐ Ë / ,H. È . Ô Å È�2

Page 95: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

y�z){}|�~K���K�'�P�6���J�J�}�:�Y�����P�a~��J{��}� �T������ ���M�� � ���+�-���-���� ¡���0¢ £ �¤�M�¥ ¢¦���-���� ¡�§�L¨ �¤©ª�¦«­¬®� �� �j�"¯"°-�"±¢ �"¯"°-� �L¨ �-�>�0²³£ �¤�M� ²³���¨� ¯³� ´¶µ � �F�· �x��0²³£ �¸�¹� ²³�>��¨�� º� ��� � ¯»� ´¼µ�j�"¯�°-�"±>¢ �"¯�°-� ��¨"½ ¾ �"¿�ÀhÁ"Â

Ã�Ä� �-���-���� RÅ-¢ ¾xÆ �}Ç�È��  ¢¦���-���� s����¨����� �¹���� �+�-���-����  Å ¢ £ �¤�M�É � ¢¦���-���� ¡�§�L¨0´Ê�+�-���-����  Å ¢¦£ �¸�¹�«"� ¢¦���-���� ¡�6��¨�'�

¥Ë Ì�Í Î�Ï�"¯�°-�"¯¢ �"¯�°-�"  Å ¨ �-�>�0²³£ �¤�M� ²³�>��¨� ¯»�Y´¶µ ´Ê�]лÑ}ÒÔÓ Õ «"� �Ï��¯"°-� Ç ¯¢ �"¯�°-� � Ç ¯�¨ �x��0²³£ �¸�¹� ²³�>��¨� ¯»�Y´¶µ����� �¹Ö��� º� ��j�"¯�°-��� Ç ¯¢ �"¯�°-���-� Ç ¯�¨�j�"¯�°x����±¢ ��¯"°-���-��¨ Ð Ñ Ò Ó Õ «"� ½ ¾ �"¿�ÀT×�Â

Page 96: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Ø ÙÚ Û�ÜÞÝ Ý ßáàãâ�Ü ähå æèçêéëåRà�çaÝ ì ß�íPîêéJåaähíKïð0ñ�òôó�õö�÷Rø]ø�ù�ú�û�ü®ýÿþ���õ"þ$þ������êõ�ú�û�� þ��>ü�û�õ�üôû�ø$û�ü:õ�� û�õ�ü<þaù�ü� ����$þ û�ú����������hø]õ������������� þ���õ�þYþ�������õ������ù�ü��Tþ û �>ü!�"��� õ�ø#��û�ü�� ��ø�ø ü��>ü� ���ý$��ü���� õ�þ��ø&%�ø³þ���ú õ�þ6õ�ü% ý:û'��"ü û�ü�ø³þ õ�ü<þ(����þ û�ú��)��õ�ü õ��'�Jõ�%�ø+*,�-�.���>ø#��ü þ��/*,����"õ��Mñó0*}ö213���(�Jõ���4��ù�ü��Tþ4û��>ü��"���Þõ5����õ�ü���6"�Jõ���aø»þ õ"þ��$õ�þ87:9<;�û�øRý:û'��"ü�*%õ(���>ú)��� ��=+��ù�ü��Tþ û �>ü�>@?BACEDFAG@HBI J ñ:KL�%5 ����"ø þ���û�øJü���þM�û�����õ�þ��Rþ û�ú)��6E����$���hø]õ��û�ü:õ�� û�õ�ü�����N

OQP�RTS�U�V�V�W�XBY[Z"\�P]Z_^a`�bdcFe2PfegW.e�h�Yji.Y#e�YjkEP]Z"YlY#e�Y#k"i.mnY#cFi.Y#eoX�ZEP�Z0Y�p,qd\gY#erts ^a`�b 9 s�r ^a`�b 9vudw ^a`xb,y s ^a`�b 9z> ?|{ ^a`�by s ^ `�} 7B~�9�;��07 b 9 s >�� ?�����HBI J ^a`�b 9 s >�� ?����g�EHBI J ^a`xb 9> ?���� � HBI J s ^a`�b 9v> ? O]� �@���_� { R ^a`xb 9/> ? OE��� �j���5� { R ^a`�} 7B~�9�;��07 b

y s����-�.�@� ^Q�� bE���� ^ �T^ `�} 7 ~ 9�;��07 b 9/> ? O ��� � ����� { R ���-�.�@� ^��� b �.�� ^ �T^a`�} 7 ~ 9-;��07 by � � � � ���� ^a`�} 7 ~ 9z;��07 b¢¡.^��� b 9 � � � � > ? O ��� � ����� { R �.�� ^ `�} 7 ~ 9z;��"7 bj^��� by £ ¡w O.�� } 7 R 9/> ? O ��� � ��� � { R £ w O.�� } 7 RE¤ O Ù pF¥]R

S�W2c�¦,§�YM¨&\gW�W�X�Y©P]ZlP�e�m2c�e�XBZEP�e�ZªW�¦«Z0c�¬­Y[® 9°¯­± � � �I J Z0\�YM§TP�²�Yª¦ U�e�¨@Z0c�W�et§�cF³�³�´µYk"Y�P]³QpO ´R�¶�e2Z0\gY[¨jP.X�YlW�¦,P[¦ k0Y#YlV�P�k0Z"c'¨&³FY:Z0\�YMS�¨@\�k�·W�h�cFe�i.Yjk¸Y�¹�U�P�Z0cFW.e2c'X

º ±»�¼ ^ `xb 9�u ^a`xb«y ¯¾½¿ ±».¼ �À £ w O � R 9/u £ w O � Ry £ w O � R 9�Á�> ?BACEDFAG@HBI J,Â�à > � ?BACEDFAG@HBIJ O Ù p » R

qd\�Y­§TP]²�Y:¦ U�e�¨&Z"c�W�e�X[£ w O � R 9Ä> � ?BAC@DFAG@H�IJ P]eohÅ£µÆw O � R 9Ç> ?BACEDFAG@HBI J ¨@W.k0k"Y�X�V�W�e�hÅZ0WtZ"\�YX"P]¬nYMY#cFi.Y#eg²�P]³FU�Y u°9 C �±�È P]e�h(X�W2Z0\gY#k0YMcÉX:h�Y#i�Y#e�Y#k P.¨&mÊX�c�eo¨&Y[Z"\�Y�X�Y_¨@W.k0k"Y�X�V�W�e�hZ"W_h�c�Ë$Y#k"Y#e�Z,XBZEP]Z"Y:Ì�Y#ZEXª^Q�º b,P�e�hÅ^ ¯ �º bEpdSÍWM§�YT¨#P]e�egW.ZTP]VgV�³�m_Z0\�YTV�k"Y#²�cFW.U�X,k0Y�XBU�³�Zjpð0ñÏÎ!Ðd��þ £�O.�º Æ R *,�Þþ����aú)�>ú��"üþ ù�úÑ6�øj��õ����_�Jõ���Ò�Mù�ü��Tþ û �ü��"����ø»þ õ�þ�� ^aÓÔb �þ���õ�þ û�ø�� £�O.�º Æ R 9 �.�º Æ ^aÓÔb ñFÕ»øJþ����Þú��>ú���ü>þ ù�ú(6�øj��õ����_�Jõ���f��ù�ü��Tþ û��>üÅ�"����þ����

Page 97: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Ö�×-Ø�ÙdÚ+Ú+ÛTÜÔÝTÙ�ÞBß<àMá�â�ßMÜ:áÔÚLÚ+ÛTãÔäTâ�ß:Þ@ãÔØ å.æç�è�é�ê�ëEì�ê.í$ê�ì�î#ê�ï�î&ç�ð�ç�ê�ñ_òaóÔônõ$è'í�ê�öø÷ù<ú�û.üý�þ�ÿ�� ú�û��8üý�þ�ÿ�� ú��&û.üý�þ'ÿ���� ì�ú��&û��8üý�þ�ÿ��� î&ç�è� BùÅù � � ì�ðgö�î��©ê�ì����������������� �!�"��#��%$'&)(�*��,+-�.�/(102�

ò ó ô436587�9 ý þ;: üý þ ò ó ôjò�üý þ ô4< òaóÔô436587�9 ý þ ú�û.üý þ ÿ òQüý þ ô< ñ_òaóÔô43 5 7�9 ý þ ñ>= : üý þ òaóÔô#ò�üý þ ô�?@3 5 7�9 ý þ;: üý þ òaóÔô � ñ_ò�üý þ ô�A ûCBEDGF ÿ

HI��JK���E�,� �L� �!�"��#E�NM��-MO$P�/(Q�#EJ�(1RS��TJ��1U�#EM�J�: ó�òQüý òaóÔôP3V� :�Wó�ò�üý ò Wó¸ô4<:�WóTò ñ8üý ñ,XEY�ò Wó ô4< ñ8üý ñ�X�YP3V�8üý ûCBEDZB ÿ

[ �ñ8üý òQüý þ ôK\^]�_ ]`3 �8üý ñ_ò�üý þ ô4< ñ_ò�üý þ ô43<ò1�<üý þ ô ûCBED æ ÿ

#E&�����(a&E�/(�$b��cd(L*����LJ D [ �ae/�/(1R�R�fñ_òaóÔô43 5 7 9 ý þ : üý þ ò ó ô � òg� üý þ ôK3 5 7 9 ý þ : �8üý þ òaóÔô � òQüý þ ô< : üý þ ò ñ_ò ó ô43 Wú�û.üý þ ÿ 3 : �tüý þ òaóÔô � 3zú � û��8üý þ ÿ A ûCBEDGh ÿ

i@�kj>lnê�ðgï�î#ê"m.ç�è � öni@�kj)è öpo�ðEq � ì]ðgè�ç � ì�ê� "ì�ê�î!r-ù � � ì�q�ö � �ts ê�ïxõ$ê � 3ç1r�êu � ð�öç � é é)ê"m�r�ð�ö�èvm�î � ,w,ê�ì]è � ï�èvmtw � ç�ê�öç�è ðEs î��yx � � q�ö � � ç1r�ð�ç�ç1r�êtê�ö�ëê�ì#õ�ù�÷�ðgö�ï�î�è ö�î � s è ï�î_ð�ì�ê+ï�ê�î!m�ì�è ÷¸ê�ï�÷ù�ç1r�ê+î � m�ð�svs ê�ï{zTs � mLr| � ö�m.ç�è � ö�î}S~Q� � � svs;��sCs è�ö�õ � } ~1� � û����|� ÿ 36��� ��� } ~1� � ûd� ÿ�tr�ê�ì�ê��Åè înç1r�ê�s ð�ç#ç�èCm�ê�m � ö�î&ç�ðgöç �-� s ð�÷,ê2s îfç�r�êÅ÷�ð�ö�ï � ð�ö�ï�ç1r�ê�s ð�ç#ç�èCm�êé � é�ê�öµç � é��(è�î_ì�ê�î&ç�ì]èCm.ç�ê�ïÑç � ç�r�ê�zMì]èCsCs � � è�ö>� � ö�ê�=����S�1�/���S�1��?��� ì � í�êÒç�r�ð�ç_ðgöù�zTs � m�r� � ö�m.ç�è � ö8m�ð�ö-÷,ê��_ì]è'ç#ç�ê�ö�ðgî �}S~1� � ûd� ÿ 3�� �/��ú ~ û�� ��¡ � ÿ � � �

�/�

Page 98: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

¢L£¤t¥�¦2§1¦ ¨1¥�¦�©!ªS« ¬C©a­"®@¦"§�¯�°v°4°C¯2¨!¨1¬C±�¦ ®@¦"±�¨1­/§1©a²-³�´tµ�¶�·�¨1¥�¬v©�©!¬v«�¸S°C¦ ­/·�¦�¹S¬;º«>¦"·S©!¬C­/·S¯�°¼»�§1­/¸S°C¦2« ²½³S¾6¿�À/Á�¸�ª@¨ ¨1¥�¦Â±�­/·S©�¨1§1ªS±�¨1¬C­/·ÄÃ�¦"·S¦"§1¯E°v¬CÅ�¦"©T¦2¯E©g¬v°;ƨ1­�¨1¥S§1¦"¦�¹S¬C«>¦2·�©!¬C­I·�©�´;Ç1´È ¥�¦Êɪ�·�±�¨1¬v­/·�© ËIÌʯE§1¦�±�¯�°v°C¦2¹�ÍίE·�·S¬C¦2§TɪS·�±�¨1¬C­/·S©�Á½¯E·S¹Ï¯E§1¦�¬C«>»¼­/§!º¨1¯�·Ð¨a¬C·�¨1¥�¦T¨1¬ÑÃ�¥Ð¨!ºÒ¸S¬C·�¹S¬C·ÓÃ�¹�¦2©g±�§Q¬C»@¨1¬v­/·�­2É-©g­I°C¬C¹S©�´,Ô@¥�­2¤Õ¨1¥�¯2¨,¨1¥S¦tÍ%¯E·@º·�¬v¦"§aɪS·�±�¨1¬C­/·S©T¯E§1¦�±�­I§1§1¦"©!»4­I·�¹�¬v·@è1­�¹S¬;ÖK¦2§1¦"·Ð¨a©g¬Ñ¨1¦"©T¯E·�¹Ø×�­/§t¹S¬;ÖK¦2§1¦"·Ð¨¸�¯E·�¹S© ¯�§Q¦�­/§�¨�¥S­EÃ�­/·S¯E°bÁ�¿Ù�ÚLÙл�§1­2®@¦Û8Ü�Ý ËEÞßáà Ý â ² ³vã Ë/Ì"à Ý â ²Kä ã4å6æ�³ ä æ ß Ìç ¬v·Ð¨�è�éyê�»�¯E·�¹n¨1¥�¦�ËIÌë©ì¬C·VíT°v­@±L¥îÉ'ªS·�±�¨1¬C­I·�©�¯E·�¹ïª�©!¦�¨1¥�¦2¬C§ð­/§!¨1¥�­/·S­/§!º«>¯E°C¬Ñ¨�Æ�»S§1­/»4¦2§!¨1¬C¦2©L´ñPòEó�ô2ó�õ/öE÷köEøTùEúû�ù/ó!ú�üý û1þKÿ�����û���ò þ��Eö���ü÷�ûLö Ì�� 1à Ý ã ÷��

Ì�� à Ý�� À ã ¾ Ú ³ �� Ì�� à Ý ã Ù à������ ã��ó��gÿQö��'òEû���ü�ò)ÿQü4ü�òEó-þ��Eö���ü�÷�ûLö�� �"!�# Ë/Ì2à Ýyâ ² ³Cã Ú ³ !�# �ÿQü�÷$� þCýTüòEó%�ÿ�& ó-úó'�;ÿ1ü�÷kû�ö

( !�# Ë/Ì"à Ý)� À â ² ³Cã Ú ³ !*# ¾ ( !�# Ë/Ì�+ Ý�â àb² ³ â À ã-, Ú ³ /. !�#10 ��2 Ú ³ ��!�#30 �54 !76¾ Ú ³ 5� ( !76 Ë/Ì2à Ý â ²Pä ã Ú ³ !76 à����98 ã�-òE÷$��ò:& ó�ÿQö��4ü�ò/ÿ1üy÷kü-÷��-ÿ�����û���ò þ��Eö���ü÷�ûLö

Ì�� 1à Ý ã ¾ ( !*# ËIÌ"à Ýtâ ² ³�ã Ú ³ !�# Ù à���� ¢ ãñPòEó;�Oÿ<�'ü�ú�ó'�OÿQü÷�û�ö�ø�÷3="ó��.ü�ò�ó;����û���òÂþ��Eö���ü�÷�ûLö���÷kö�ü�ógú5&;�.ûQþ��|ÿQöEöE÷kó!ú�þ���ö���ü�÷kû�ö�� �ñSûTõ/ö/ô�ü�òEó,ó'>"ù/ÿ1ö��'÷kû�öðû1þKÿ��>ÿQöEö�÷�ó!ú4þ��Eö���ü÷�û�ö�÷�ö�ü�ógú5&;�4ûQþ?���kû���ò þ��Eö���ü�÷�ûLö��@�-ó&:�A��ü�÷kù�� ýaüòE÷��-ú�ó'�OÿQü÷�û�ö�BEý Ú 0 ³ !76 ÿ1ö/ô ÷�öEüó!ø�úÒÿQü�ó�û<="ó!ú C �

Ì�� 1à Ý ã ¾ ( !�# ËIÌ"à Ý â ² ³Cã Ú ³ !*#D ÛFE'G �0 E'G � Ü C Ú 0 ³ !76 Ì�� 1à Ý ã ¾ ( !*# Ë/ÌEà ÝTâ ² ³Cã ÛFEHG

�0 E'G � Ú ³ /. !�#30I!�6 2 Ü C à����3JHK ã

Page 99: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

LIMONQP�RSRST�UWV�PYX[Z]\�^`_aZ�U%^WRbRST�cWd�_aZ%XecWN fhgi�j�k

l�mHnpoq mHn[osret�uwv9x�y q x7z|{�}I~ � r t�u/v1x�y q x7z|{���p� t�� ���H�������mHnpoq mHn[o ���W�p�������s���

�p� t � � � ���� t�� ���� � t � �<�����A�3�����

�@���'�5� �3�k �����$� �

k�k �'�;�@� j � �� 

k ��� ka� t � � � �¢¡ ��£ � �k � ¡¥¤§¦ ��¨I©lFmHnpoq m'n[oQ}I~ªr q t«upx7z­¬s®�¯ u �-°±� �³² x�y

´ ® �-° � � t � � t � �<��µ ´ ® �-° � � t � � ����l mHn[oq m'n[o r q t�u[x�y ¬ ®�¯ u ��°¶� }I~ ���A�3�

��

¨I©�j�p����·

k ��� © � k � © �© ��¸;��� �

k�¹ ��� © �ª�H� k � � �©�º»k ��� i � ©�¼ � º�j �

¼½k�©���l } ° ´¿¾À ��° � � t � ´ ® ��° � � � �

� lÁl:l ��Â��<�� ret�upx�y�¬

¾À ¯ u�-°±� r q t«u5ÃÄx7z­¬ ®�¯ u à �-°±� }I~�}I~�Å�} °

� lÁl �7Â����� r t«upx�y

q t�u à x7z l ¬ ¾À ¯ u��°¶� ¬ ®�¯ u à �-°±� } ° }I~�}I~ Å

� lÁl � Â����� r½t«upx�y

q t�u�ÃÆx7z­� À ® � � ~ � ~7Å � }I~A}I~7Å� ��Â�

�<�� �À ® l�m'n[oq mHnpoQret�uwv9x�y q x7z|{�}I~:� ��<� �

À ®�� t �HÇ ���A�3�HÈh�

ÉQÊ3ÉÌ˶Í`ÎsÎ Ï�Ð'ÑÓÒÓÐHÎsÔ�ÕsÖ�Ñ�Ð'Ð×Î`Ò�Ø'Ù�Ô�ÚIÖ�ÑOÔ�Ð×Û ÏªÍ`Õ`ÜÝÙ�ÏÞÒÓß`à`Ñ7Ü]ÚIÑ�Õ±Ù�Ñ�Ø×Û±á]ÒÎâÏ�Ù�Ñ�Õ±Ù�Ô�Ò�Öäã ��å°±� Ð'ÏOÒ�Ð'нá`æçÑIÙ�Ø�Ô�ÚIÒAÖâÙ�è`Ò7ÙSÕ`ÏYÑ�Õ`Ñ7Ø'é�áÓÖ�ÑIêQÑ�Ö�Ô�Ð"Ü`ÑIé±Ñ�Õ`Ñ7Ø�Ò7Ù�Ñ�Êë ÐHÔ�ÕQéìÙíèsÑ;Ù�Ô�æçÑIî/Ø�ÑIê±Ñ�Ø�Ð'Ò�Ö`Ô�Õ±ê¿Ò�Ø�Ô�Ò�Õ`ÚIÑ:ÎsØ�Ï7ê¶Ñï åð�ñ �¢òó Ï�Ø"ÒAÕ±áOÑ�ÕsÑ�Ø'éªáôÑ7Ô�é¿Ñ7Õ`нÙ�Ò�Ù�ѪÊöõ5÷øèsÔ�Ð:Ô�Ð:ùQÕ`Ï7úÁÕûÒAÐSü�ýWþ�ÿ������pÿ��SÏ ó Ï�Ø�ÛsÔ�Ù�Ò�ÖÒ�Õ é¿Í`Ö�ÒAØ%æçϪæçÑ�æÙ�Í`æYÊ�� ó Ù�è`Ñ ú�ÒIêQÑ ó Í`Õ`Ú<Ù�Ô�Ï�ÕSÏ ó Ð'Í`Ú<èöÒ:Õ`ϪÕ`Ü`Ñhé¿Ñ�ÕsÑ�Ø�Ò7Ù�ÑÑ7Ô�é¿Ñ7Õ`нÙ�Ò7ÙíÑ"Ô�Ð�ÑIà`ÎsÒ�Õ`Ü`Ñ7Ü Ò�Ð

² �² À � � À ���<��� À� ����� ´ ���

Page 100: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

� �������� ��!#"%$'&�(*)��%�,+.-0/1-�+2�1/1!435�6!4&7"�+8$�&9�:-;&=<��1��!#">&7"@?�ACBEDGF5HJI

KMLN7OQPSRJT�PVUSW1XYLZ[RJ\ N�L]W1N^L`_aLN�bcWedJL`WeN�Rgf�N7h�P.diRjLXYPkdJPlb�P.d�_JW1Zm0npoqn*mYr D#s�tuQs�H

KM\�LwvyxCz�{|L]_iW1N0P.N�PldJ}5~�P.L} P.N7_�R�WeRjP��iL[RJT P.L[}5P.N�bcWeZ[f�PS�a�:�iPy�iLZZ�T7Web�Pm0n xCz�{ oqn*m xCz�{ o ��� n xCz�{ r D#s�tul��H

� v|RjT�P.dJP*L`_�N�\�h�P.}5PlN�P.d�W O2~�x z�{kW1N7h n xCz�{�O.W1N�h�L���PldSW1REXY\c_�Rk��~�W^��T7W _�P�vGW O2RJ\ d tUEPlN7O2Px�z�{�� n xCz�{ oq�Q��� xCz�{ r D#s�tul��H

� \5diRJT,P8W1N�}5f,Z]Wed���X�\5XYP.N,RJf�X�\5�7P.d�W1RJ\ dE�iPST�Web�P�v#dj\5X D K5� s,t s,t¡�5¢MH£ z�xj¤¥ x z�{ oq¦ £ �zaxj¤¥ x[�z�{|§¡¨�©Cª#«j¬o ¦ £ z|xJ¤¥ xCz�{�­

£ z�xj¤¥ x z�{ o¯® r D#s�tu1°5H± PyT7Web�P

n xCz�{ o n�²>³5´Qµ x ¤µ { £ ¤µ xCz�{ o¶²>³5´Qµ £ ¤µ xCz�{�· n x ¤µ {o ² ³ ´ µ £ ¤µ xCz�{ · x ¤µ { §¡¨�©Cª#«j¬o �Q��� xCz�{|­

£ ¤µ�¸ x n xCz�{ o £ ¤µ�¸ xCz�{ · o@�Q��� £ ¤µ�¸ xCz�{ r D#s�tu � HKM\�Lwvg�iPSf7_�P £ ¤µ xCz�{ o¶¹ A ¹ B ?�AºBkDGFcH¼» BA D�½�¾�¿�H

À B�A ? ·ACB D�F5H�» B ·A DG½�¾�¿�H o@�Q��� À B�A ?�ACBiD�F5H�» BA DG½�¾�¿�H§ÂÁ5ÃM¨�© ¨Ä© Å�Æ�¬­ À B�A ? ·ACB D�F5H�D ¦ u1H B » à BA D�½�¾�¿�H oq�Q��� À BgA ? ACB D�F5H�» BA D�½�¾�¿�H­ ² » B�Ç ·A Ç À BgA ? ·AºB DGFcH�D ¦ ueH B » à BA D�½�¾�¿�H ³Mȶoq�Q��� ² » BgÇ ·A Ç À BgA ? AºB DGFcH¼» BA D�½�¾�¿�H ³MÈ­ À B�A ? ·ACB D�F5H�D ¦ u1H B�É B ÇÂÊ Ã B É A Ç A oq�Q��� À B�A ? ACB D�F5H É B Ç¡Ê B É A Ç A­ ? ·A Ç Ê Ã B Ç DGF5H�D ¦ ueH à B Ç oq� ��� ? A Ç B Ç D�F5H ­ ? ·A Ç Ê Ã B Ç D�F5H o D ¦ ueH B Ç ? A Ç B Ç D�F5H � �Â� r D#s�t[u � H

Page 101: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ËMÌ>Í�ÎaÏ�Ï�ÐkÑ�ÒkÎÔÓ�Õ×Ö:Ø�Ù�Õ:ÑSØ�ÏÚÏ�ÐkÛ�ÜkÙ�ÕSÓQÛ�Í Ý5ÝÞ�ß]à�áVâ%ã;ä0å�æèç#éëê1ì7í�ç4å,íïî�ì=ð�å9ñ.ò�ç#í@ó�ñ2ô�ñ2ê1ã�æ ç#ñ8õ�ç]ö�ã�íè÷�ô

øúù¯û�ügýþiÿ���� ügý��� ügý���� ì7é]ö�ã ê6â%ç#ñ�ò�ðeì7÷�é4ã�æ �����������Ôê1ì��gí�� ê6â%ã¯í%ì7ð1æèå�é#ç��Mã�� ã�í%ã�ð.õ7ô×ã�çëõ�ã�í �ñ2ê1å�ê1ã�ñiå�í!��ã�ç]õ�ã�í�ö�å�é�"�ã�ñ5ß$#&%×ñ.ò%ç#í'����ã�ò|ã�í���ã�í�ê�ä;å�æèç4é]ê1ì7í%ç#å�íYì�îgê1â�ç4ñ)(�ç#í��å+*5ê,"�å�é4é]ô'å�ò�ò�ã�å�ð1ñ�ç4í-*Mð.ô�ñ2ê1å,éaò�â�ô�ñ.ç�*Mñ ß/.10Qñ:ê1â%ç#ñ�ä0å�æèç#éëê1ì7í�ç4å,í ç#í�ö�å�ð1ç4å,í�ê"%í!�%ã�ð ê6ç4æèã�ð1ã�ö ã�ð1ñ.å,é32 ä0ì546��ìÔê1â%ãïí%ì7ð1æèå�é4ç7�Mã��>ã�ç]õ�ã�í�ñ2ê1å�ê6ã�ñ:ô�ì8"qì7÷'�ê1å�ç#í%ã�� ê1ð1å�í�ñÄîjì7ð1æ "�í���ã�ð�ê1ç4æèãYð1ãMö�ã�ð1ñ.å�é92:8;=<?>A@CB+DFE ó @�G+@�HJILKNMEù ó >OEQPSR ù � óUT�V5T ÿ óUW :8;=<$H&X+IY;=B8IL<Z>OH&;=<^ü þ\[ IX8>O]�Iü þ^ M T R`_�ùbac R ^ M T R`_ed fgM�h ^ ü þ^ M T R`_�ùiac Rjfgh ^ Rk_ld � ü þ �gmon ù�ac Rqp moni��r WtsUV �u ;

ü þ-vù�ac wxy ó V VV V VV V � óz9{| d ügýþ vù�ac ý wxy ó V VV V VV V ó

z9{|:�;=<}HJX+I?;UB�I~<�>OH&;=<*ü ��[ I�X8>O]�Iü � ^ M T R`_ ù ü�� ÿ ü'�s ^ ó=T R`_|ù��ý ü � ^ óUT R`_ ÿ �ý ü � ^ óUT R`_��f ó=T h ^ ü ��^ ó=T Rk_ ù �ý f ó=T h ^ ü�� ^ óUT R`_ ÿ �ý f óUT h ^ ü'� ^ óUT R`_��� ���� �J� ���&�ù �ý ac'� � ó � R ��� s ÿ R � p m,� n � � ÿ �ý ac � � ó ÿ R �Z� s � R � p mO� n � � u ;

ü � vù ac s wxy V � s VV V � sV V V z9{| ÿ ac s wxy V V V� s V VV � s V z9{|ù ac s wxy V � s V� s V � sV � s V z9{| d

ü ý� ù ac ýr wxy s V sV r Vs V s z9{| ù�ac�ý wxy �ý V �ýV ó V�ý V �ýz9{| ��r Wts�ó �

Page 102: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

�~�=��9���J�+���&�O�Y�?���,�+�+�L�l�7 =�)�J���¡ U¢8�L���,�J =��£8¤¦¥�§©¨Qª«§­¬®9¯ ° �¦±8�Q²

£8³ ´¥ µ¶·=¸ ¹º» � ¼ · �½ ¼ · � ¼ ·� ½ ¼ · � ¾9¿À�Á£ ®³ ´¥ ½ µ¶ ®Â ¹º» ½ · � ·� ½  �· � ½ ·

¾ ¿À ¥ µ¶ ® ¹º» î � ½ î� � �½ î � î¾ ¿ÀÅÄ Æ Â+Çt·U·«È

ÉÊ�+ËQ�Ê�J�+��Ì$�,�YÍÏÎF�J =��Í��O�ÑÐL�,�`Ò8�?�J�L¢+�&�,�C�~�+�J�,²\Ò+Ó��J�+�?���,�J�&ÍÏÔÕ ´¥ µ¶ ® ¹º» Ö � ×� � �× � Ö ¾ ¿ÀÅÄ Æ Â+Çt·UØ«ÈÉ� �±Q�8²q�&�+�?�L�+�L�&Ù=ÓY�LÍFÙ=�L��Ú�OÎFË+�~� ° �Û�8�OÚ��)�J Ñ�C UÎÏÚ��¦�&�+���C�,ÐoË�Î��O�)�­Ü«Ë8�,�JÍF =�

²��L� Æ Õ ½ÞÝ�ß È ¥ � Á ²5�L� ¹º» Ö µ¶ ® ½ÞÝ � × µ¶ ®� ½?Ý �× µ¶ ® � Ö µ¶ ® ½Sݾ9¿À ¥ �

Á Æ Ö µ¶ ® ½ÞÝ È ® Æ ½?Ý È'à Æ × µ¶ ® È ® Ý ¥ � Á ÝÑá Æ Ö µ¶ ® ½SÝ È ® ½ Æ × µ¶ ® È ®Jâ ¥ �Á Ý Æ Ö µ¶ ® ½ÞÝ�½ × µ¶ ® È Æ Ö µ¶ ® ½ÞÝ à�× µ¶ ® È ¥ �Á Ý Ã ¥ �5ã Ý ® ¥ µ¶ ® Æ Ö àÞ×\ÈZã Ý�ä ¥ µ¶ ® Æ Ö ½ ×\È Ä Æ Â+Çt·,Â5ÈÉ� ?±8�8²å�&�+���LÍÏÙU�L�8�C�Z�O�&�Yæèç�éoêCël�&�8�O�ìÐo =�&�J�,��¢8 =�8²+�Ê�& ��&�+�¦�~ÍÏÙ=�~�+Ú�,ÎÏË+� Ý+í ° �)�8�,Ú5�}�J �� =ÎÏÚ��$�&�+�$�7 =ÎÏÎF  ° ÍF�+Ù��,ÜË8�,�JÍÏ U�µ¶ ® ¹º» Ö � ×� � �× � Ö ¾ ¿À ¹º»ïî ðñ ¾ ¿À ¥ Ý+í ¹º»ïî ðñ ¾ ¿ÀòÄ Æ Â+Çt·Uó«È

ô8 =� Ý Ã ¥ �µ¶ ® ¹º» Ö � ×� � �× � Ö ¾ ¿À ¹º»ïî ðñ ¾ ¿À ¥ � Á õ î Ö à ñ × ¥ �

î ×-à ñ Ö ¥ �Á õ î ¥ ½ ñö ÷½ ñ öùø÷ à ñ Ö ¥ � Á õ î ¥ �ñ ¥ � Æ Â+Çt·Uú«È

Page 103: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ûü-ý'þÊÿ ÿ ����� þ���� ����� � �eÿ ÿ ����� ����� � ý ��������

� ����� ! "#$ � %� &(')+*-,/.(021! "#$ � �� &(')43� ����� ! � ��� �65 7/8:9<;�=?>@BADCFEHGJILKNMOG�P�KNQSR �UT�V !4WXZY 7\[^]`_ >"#$ [ � _� � �_ � [ &(') "#$ba %c&(') ! 7([�]�_ > "#$da %c

&(') 3 efg fh a [i] c _ ! a 7([�]�_ >� ! % 7([�]�_ >a _j] c [ ! c 7([�]�_ >

3 k a ! c% ! � 7/8:9<;Ulm>���

�n�ZoHprqs� ! "#$ c� c&(') *-,/.(021! �t ; "#$ �� � &(')43�n�ZoHprqs� ! �t ; � �Uu ] � ��] �t ; � �?u-vS� �65 7/8:9<;Uwm>

x �?T�V !4WX Y 7\[ v _ > PyG�EZK{z�G"#$ [ � _� � �_ � [ & ') "#$ a %c& ') ! 7([ v _ > "#$ a %c

& ') 3 efg fh a [i] c _ ! a 7([ v _ >� ! % 7([ v _ >a _j] c [ ! c 7([ v _ >

3 k a ! v c% ! � 7/8:9<| � >���

�n�ZoHp�q2� ! "#$ c�v c&(')j*�,}.(0s1! �t ; "#$ ��vJ� &(') 3�n�Zo�~�q2� ! �t ; � �?u ] � � v �t ; � �Uu�vS� ��5 7/8:9<| � >

Page 104: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

�-�?����U�b�y�y�{�L�y�U�?���:���F�����H���������Z�L�:�����N�������F�?�H���N���������H ��{�L���N�r�¢¡H�Z£r�����L�����2�L�� r���6�L�N�¤�¥¦¤�§:¨ª© «�¤�¬®­¯ ¤�§H¨�°�±³²¤�¬�­´ ¤�§H¨�µ�¤�¬®­¶ ¤�§H¨�·© «�¤�¬ ¯ ¤ §:¨ ¤�¬ ¯ ¤ §H¨ °�±³²¤�¬ ´ ¤ §H¨ ¤�¬ ´ ¤ §H¨ µ�¤�¬ ¶ ¤ §H¨ ¤�¬ ¶ ¤ §:¨ ·© «�¬®­¯ °`±³²¸¬®­´ µi¬®­¶ ·2©4¥O¹ ²}ºH»<¼ � ·½��S¾¿�Z£��L�H���F���{�Z�B�}�U�L�D�{�L���U�D�N�®�L�H�������?���Z����{�L�{�2¡H�Z£����y�F�������L�- ����6�L�{�H�y��¡Z����F�H��F�����{�L���U� ²¸À?Á\ºH»ÂºH»<ÃUÄm· ¤³ÅnÆÇ�ÈÊÉ�©Ë²Fµ � ·(Ì�ÅnÆÇ�µ�ÈÊÉ6¹ ²}ºH»<¼U¼m·À � ¤ÍÅ Î�Ï�É © ¤³Å ��� ÉÑÐ<Ò�Ó ÔÔFÕ© Å ��� É© Å Î Ï É ²}ºH»<¼{º�·²}ºH»<¼UÃm·¤³ÅnÎZÖH×rØsÉ © �Ù � ¤³Å � Ç�° � É�° �Ù � ¤ÍÅ � Ç�µ � ÉÐ<Ò�Ó ÔÔFÕ© µ �Ù � Å � Ç�µ � É�µ �Ù � Å � Ç�° � É© µ³ÅnÎ ÖH×�Ø É ²}ºH»<¼UÚm·²}ºH»<¼�Û?·¤³ÅnÎ Ö § Ø É © �Ù � ¤³Å � Ç�° � É®µ �Ù � ¤³Å � Ç�µ � ÉÐ<Ò�Ó ÔÔFÕ© µ �Ù � Å � Ç�µ � ÉÜ° �Ù � Å � Ç�° � É© Å Î Ö § Ø É�¹ ²}ºH»<¼UÄm·

Page 105: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Ý�Þ`ß�à2àsáJâ2ãSäåDß�æ�äçâyè�åêé�æ�ë âyì�í î�ï?ðñ òôóêóêõ2ö�÷êø{ù ú�û2ø-öÍü ý þ�û2ÿ¦ö������������ ������������� ������������������! �����"�� ����!�����#��$�$����%�&�'�� )(+*-,.����"�/ ������� ��0�1 ��323�4"5��$6���� ����� 7���98��6:;�/ <>=

?-@BA C�DEFHGJI C DKFHGJI GML DF NPO D IRQ DTSU �&VXWY ����������M�� ��M�/ ��/��8����/�Z��[\�� ��]�� ������^$��/_]�/�T��`a$6=��� b8c�T�����%���edgfh�Z�� �������� >=g���#8��� ��������H=idU <jV-Wk�' ���_l������$6=m���n�/�%�%o���<��������& p�Arq GcL D O�Q_^ ��/��� q ���s�.����"�/ ��t���� �$��/���^�e�/��$Z ;o�"7<n�/�u"7o��H m��"��$�$��/�u�� ��� �o� ��v�h=��w �� ��x�� ��7y#�/�e���� ;`a���������'�/ ��/��8&=z�/�v8��/ �{��|�^�� ��}�� ��7�#���e���/���n�� ����� ;8m�/ ;`����8�=7����~i���T�^���������s���% ����������% ��so� ��n������o���<��/��� ��/�%8�=��<;������ ��/�.�� U �&V��$�o��]�� ���~����T��`a���������u�/ �����8�=g�� ���[+���n[����'�����0 .��[-�� ����% ����/��$���_����h��`a$6=��6 b8�T�������/�H�U ��V-�;��$6:;�]�� �� ?-@ I p ������<�$��/" �#���>�&(��6������&"�������9_^�6�� 7�� ��u�n������o���<��/`������ g�e�/��o�$v�%�]�&<;������ ����g�� U <jV%���� ��o."�|=�o����7������� O ���;� A}� ���� FHGML N � � I î qh¡�¢¤£ ¡�¥�¦ I � � qT¡t¢§£ ¡�¨�¦ Sa©«ª

¬®­T¯�°�­�±+²³­�´'µH´�­�¶¸·e²�µH¶a±h¹º E » ¼ GcLF �� N�O9IY½ C EGML Sa¾º�¿E » ¼ GcLF �� N�OMÀ ½ C EGML S¸¾º K » ¼ GcLF �� N�QÁI ½ C KGcL Sa¾º ¿K » ¼ GcLF �� N�Q�À ½ C KGML Sa© NPÂ�à î SÄ&¶³µ0ÅƲ�Ç�­ZÈ�É�°�Ê�·�Åu­�°�²¸·eË�ÌhµHÅuÅ^É�²a·�²³ÍεH°^¶³­�ËÏ·e²³ÍεH°�±ÑÐX­ÒÌ�·e°s± ­t­Á²�Ç�·e²� º E ¾ º�¿Ehª A � º K ¾ º/¿Kaª A î ©

Page 106: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ÓtÔeÕÖ®×hØ�Ù�Ú�Ù4ÛMÜ�Ý�×-Ù�Þ�ß^à&×táiâHã�×�á¸äeܳâ0áaå

æZç-èzé�êç é#ç#ë æZìBèzé�êì é#ìí ×®ØîÙ�ï

æ è æ çXð æ ìZñ)ò-óôõ|öø÷ ÓÒùò-ó ñ ôõ�öBú æ ð Óeûaü ú�ý�þ ÿ û

� þ × þ ×�Ù�×tá³Û��c×�Ú�Û0×�Ù��/×�Üaånäeá�×�ä��6å+âM×tÚ�ÛH×tÙ���×tÜaåiâ��Xææ ç��� �ë���� ñ ��� ë����aëæ ì �� �ë���� ñ ���� �ë���� ùæ��� �ë���� ñ ú ð � û �� �ë���� ú�ý�þ�� û

å+âMÜ�Ý�äeÜò-ó �� �ë���� ñ������ �� �ë���� ñ ôõ|öBú ð � ð Óeû �� �ë��!� ü

ú ä û#" Ý�×!��â í ×%å Ü$�%�/Ú�Ù�Û�å Ü¸äeܳ×%å®ä�á³×å Ü¸äeÜ�× ï�×�ÛH×tÙ�×�áaä'&(�� ó � ó ñ ôõ�ö Ó�*)+� ó ñ,� ó �-)nñ ÿ ôõ�ö ÿ�#.�� ó ñ,� ó � .Ññ��/)��-)nñ � ôõ4ö �

ú à û�0 ã�ã��%�^ܳÝ4×Áã�×�á�ܳÞ�á�à�äeÜ�Ú�â0Ù21 ñ43 ö .6587 þ9&Þ:�%�>ã4á³âHà:��×�ß; ú ò-ó ð 1 û ��<=� ñ�� ��<=�>®Ù�ã�×�á�ܳÞ�á�à�×�ï�ã�á�âHà��Î×�ß; ò-ó ��< ó � ñ�� ó ��< ó �?A@/ã�äeÙ�ï'ܳÝ�×-×�Ù4×�á³Û'�B��×DC/×D�ÏåiäeÙ�ï'ܳÝ�×-×�ÚÎÛH×�Ù:��×�ܸånäHå

� ñ � ó ðFE ) ðGE . ð ü�ü�ü��<H� ñ ��< ó � ð ��< ) � ð ütü�ü ú�ý�þ Õ�ûå+âMÜ�Ý�äeÜBܳÝ�×I��Þ��J�>ã�á�âHà��Î×�ß)à�×K&Tâ0ßu×�åú � ó ÷ò-ó ûML ��< ó � ð ��< ) � ð ü�ütüON ñ ú 1 ÷ E ) ÷ E . ütü�ü¤û$L ��< ó � ð ��< ) � ð ü�ü�ü-N�ü

Page 107: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

PHQSR�T$T�UWV$XZY�[\RI]AY^V�_`[;a*]AbcV�dIe fDg�hikj f'lnm+o j�p�qsrDput

v�wIx�y`z xD{}|�~����$� v��4yF� ��{�|�~ x ��� v hs��h {����� o6�%� �J�c� �%o���� ~ x | o jZ�8�8q

� ~ x | w x y`z x |�~ � ��� g � � ~ x | �4yF� � |�~ x ���� � � ~ x |�~ x ��� � ��� � ~ x | � |�~ x � v hs��� {��� o�� r#qsrD�'rD��rDp�� o r*�u� m r o6����m qsjHr m ��j o ��j�p6� m+� �8�(r���r l p6r��:j o � m�� ��� o�� r�p � � �:o}  � m���m�sr o�m(�}¡¢� �£q   ���(� o j v h¤�nh { �K�8q¦¥§��� o6�¨� �%� �Jo � �%o6� �K��j o6� rDp©qsrD�'rD��rDp�� o r   � m+�ªm �sr o

�H« x | w©x¬y`z x |�~��8��� g � �H« x | �4yF� �­|�~ x �¬�� � �H« x |�~ x ��� �H« x | � |�~ x ��� v hs�¯® {°/j��!± �²« x |�~ x � �ªm �:j o �:rK�(r m6m ��p � �J�´³Dµ�¶ m�� �8�^r/j'���%� m�o � o r m �^j�p�p6r m+� j'�8q � �:� o jWq �¨· rDp�¸rD� o r � �'rD��¹²���%�:r mk� �K¹sr o j   r�j'p o6� j��'j��8�K��º��� m rDp o �B»8t ¼

µ¾½D¿ �²« x | � |�À x � � À x |�~ x �$� � � �H« x |�~ x ���i ����mI��mIo6� rBr � ��rD��¹²���J��r!rKÁ=�£� o�� j���� ��� � � � � ¹¤r m/o6� r§�(j�p6p�rK� o! rup�j o6� j'p�qsrupZr � ��rD�s¸¹srK� o j�p m ºÃ8r o � m � m rW���J� o����ªm tf�� i � r!��p6j����8q m+o � o r ��m ��j'�s¸�qsrD��ru��rDp�� o r �� �x�x � �HgsÄ�g | � | g¤Ä�g ��� ³ «�Å�Æ^�HgsÄ�g |�Ç8ÈÉ| g¤Ä�g ��Ê �²gsÄ�g | v�ËHÌ=ͩˤÎÌ { v�ËHÏ�ͩˤÎÏ {}| g¤Ä�g �¬� g

Ðs�©Ñk� p m+o rDÒ�� �%o rÓq m�o � o r ��m q¤rD��rD�:rDp�� o r | f'Ä�g � ± | gsÄDf � �Ô¡ r´��rDrKq o6� rB¥\� o p � ÒrD�%ru¥BrD� o�m���f'Ä�g | � | f�Ä�g � ± ��f�Ä�g | � | g¤ÄDf � ± �Hg¤ÄDf | � | f�Ä�g � ± �Hg¤ÄDf | � | gsÄuf � �� � ³ «§Å�Æ Ç8È�� ³ «�Å�Æ�ÕÖÐ'«§Å v�ËHÌ�Í©ËsÎÌ { v×Ë=ÏKÍ©ËsÎÏ {$� ³ ÕÖ ÅÐ v�ËHÌuË=ÏDͩˤÎÌ Ë=ÏDÍ©ËHÌKˤÎÏ ÍIˤÎÌ Ë¤ÎÏ {���8qËHÌ | «;Ä�Ø ���,Ù « | « y f'Ä�Ø � ˤÎÌ | «;Ä�Ø �$� Ù « Í f | « Í f�Ä�Ø � Ú^Û�ÜK�

Page 108: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ÝuÞ�ßà­á�â�ãuä�å�ãDæ�ä6å�ç�è¬â'ç%é¤ãKè

ê8ëíì�î-ëíì ï êsì�ë�î ì�ë$ï Þsðê8ëíì�î ì�ë�ï ñ=òó=ôõ÷ö Ý�ð�Þ/ø�ù=ú²ùsûü ø�Þ¤ðDÝký ï�ñ=òó=ôõ ðê¤ì�ë�î-ëíì ï ñ=òó=ôõ ö Ý�ð�Þ/ø�ù ûú ù ü ø�Þ¤ðDÝký ï ñ=òó=ôõ÷þ ÿ�� �����à¬å:ã�ê����Kä�æ�ç� ��8ã��^á�BãKè

ñ=òó=ôõ � Þ ÝÝ Þ��������è�á�ä6å�ã!ãDç%â'ã���é������:ãKè ÿ ï! ë � �Kæ�ã ë ï#" ñHòó=ôõ þà­ácâ�ãDä�ä6å�ã!ãDç%â'ã���é¤ã��(ä6á�æ�è%$�ã è+á��Jésã� Þ ÝÝ Þ � �'&( � ï#" �'&( ������¦â'ãDäø*)+)�)(ý-, ï Ý. õ ÿ ø�ÞsðuÝký0/ ø�Ý'ð�Þ�ý � ð 12, ï òósô

ÿ õ�/ ñõ � ðø*)+)�)(ý43 ï Ý. õ ÿ ø�ÞsðuÝký65 ø�Ý�ð�Þ�ý � ð 173 ï òó=ô

ÿ õ85 ñõ � þ ÿ�� ��9��: � à¬å:ã�è�ã��(á;���2ã� <�(ç%ä6ã���è+ä=�Kä�ãBçªè>����è+á'�¤ãDâ�ã��:ãDæ=�Kä�ã ø�õ¤ð�Þ�ý=?Ôø�Ý�ðDÝký@?2ø�Þ¤ð�õ�ý@? è+á$�ãA��ãuã��¦ä6å�ãB�(á'æ�æ6ãKèDC8á��E�sç���â 9 F��ä�æ6ç� ´ã��%ã+Bã��¤ä�è �HG á;$�ãDéHãDæ$ä�å�ãWá��I��J���á��K�é�����çªè+å�ç���âcá��:ãKè��Kæ�ãMLê8ë�ë�î N�ì�ï�ê<N�ì�î-ë�ë$ï�ê8ë�ë+î ìON�ï êsìON�î-ë�ë$ï ñ=òó=ô. õ ÿ� � ÝuÞ �ÿ $�å�ãDæ6ã�ä6å�ã . õ ����§ãQPíæ6á� â'á�ç��:â>Píæ�á�R�%ãDé¤ã�� Ý ä�á õ ç��\ãDçJä�å�ãuæ�á�PAä6å�ã!áHèO�(ç��S��T��ä6á�æ�è � �����¦ä6åI�8è$ä�á´â�ãDä�ä6å�ã!ãDç%â'ã���éM������ãÓèU$�ãIãDé������E��ä�ã

Þ ïWVKXZY\[]^ 58_ Ý ÞÝ 5A_ ÝÞ Ý 58_a`�bc ï 58_ ÿ _ N 5¢Ý � /d_ ï _ ÿ õA5d_ N �

Page 109: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

eMfhg8i6ikjml6n>o-p�grq0oZl2sdput7q0vBl2wrx y�z�{|2}I~��Z}B�������E�%�O}����H�4}I�\��~��;���I�M�����I���U���4�>� z����A�M����2���0��� �4}<�r�O�����7�����O}I������2�����;�K�\|2���;�����O}I�A��~��;���I�M���=�4�;�=� �¡+¡�¡�¢-£ ¤ ¥¦�§  -¨ �=z ¢0©hª ¨r  y;��y ¢0©«  zK� ¨k¢O¬ � ­ £�¤ ��K� §® © � ¬ � �¡+¡�¡�¢�¯ ¤ yª ¨ §4°  -¨ �=z ¢0©±  zK� ¨6¢4¬ � ­ ¯7¤ ® ��K� � �¡+¡�¡�¢4² ¤ ¥¦ §  -¨ �=z ¢ ° ª ¨r  y���y ¢U©³  z�� ¨k¢4¬ � ­ ²�¤ ���� §®8° � ¬=´§ � ¬¶µ �m�D�;�������O}I�r·I�O���I�����¸��¹<���Z�4� � |2�2|2~����I�F��º��2�r�M���4~����I���\��}����I��� � µ }<�r·����4�+�K»�4~����*~T� ¼ � ¦2½ ¥¦M§�¾ ¦ ©À¿ ¦ ¬Á© � ¾ ¿�Â�¤¤ ¼ � ¦rà yÄ §O§�¾ ©À¿I¬ ¦ © §¾�° ¿I¬ ¦ ¬Á© �Ä §¾ ©Å¿E¬ ¦ °h§�¾�° ¿I¬ ¦ ¬ÇÆ\´ §�È � y;y ¬É ��|W~���~����E���4�<�=���Ê�4�Ë~��<�4�4���������¾EÌ�Í yª ¨ §�¾ ©À¿I¬ � Î ÌÏ>Í yª ¨ § Î ÌÏ © Î ÌÐ ¬ �¿ Ì Í yª ¨ §¾�° ¿I¬ � Î ÌÐ Í yª ¨ § Î ÌÏ ° Î ÌÐ ¬@´ §�È � y ¨�¬É ���O�MÑ'Ò ¾ Ì ��Î ÌÏ�Ó ¤ Ò ¿ Ì ��Î ÌÐZÓ ¤ÕÔ ��*Ö �D�'�4}���� §�¾ Ì Ö Î ÌÏ ¬ ����� § ¿ Ì Ö Î ÌÐ ¬ ���4�×�����I���<~�������� �������Ø4�<�M���O� �Ù ���O}I���D�\�I��|#�����4~T���I�����k�O}I�A·I�4�;�I���+�Ú�=��ºK���0�O}I�rÛÜ���4�Ý ¤ y¨ ¼ § Î Ì ¦Ï © Î Ì ¦Ð ¬Á© ¼ � ¦¨ Ò § y © � ¬ ¾ Ì ¦ © § y ° � ¬-¿ Ì ¦ Ó ´Þ �A|2�����+�k�;�I�7�M�4�Z~����T���O���0|2~��4} � ÌÏ ¤ � ª y © � ���������I���O}I���6|2~��O} � ÌÐ ¤ � ª y ° � �µ }I�A���I���O� � �����K�+���6���4�MÑ­ ¯àß ¯ ¤ ��K� �­ ¥ ß ¯ ¤ ��K� © ��K� ÌÏ ¤ ���� § y © ª y © � ¬6¤¤ ��K� § y © y ©¸¥¦ � ©á´�´�´â¬6¤ ��K� § ¨�©ã¥¦ � ¬*©hä § � ¦ ¬ �

Page 110: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

å+æ�ç è é=êìëîí ïð<ñ'ò ïð<ñ%óô íöõ�õ�õ�í#ïðKñ7÷�ørù ëú�û�ü òdým÷ û ú ü=þè ú4ê é í ïð<ñ'òÅø ïðKñ óÿ í õ�õ�õKí#ïðMñ7÷ � ò ûMü òdým÷ û ú ü=þè ë-êìëîí ïð<ñ'ò ïð<ñ%óÿ ò ïð�ñ6óô íöõ�õ�õ�í � ïðKñ'òdým÷ û ú ü=þè é=ê ú í ïð<ñ'òÅø ïðKñ óô íöõ�õ�õ�í ïðKñ7÷ � ù û�ü òdým÷ û ú ü õ ÷���� å�� ü��� ����������������������������� ����� ��!"�$#%�&�'�$(*)��'�$+��,�.-/1032547698:6<;�=�>?;,@BA�;C@:A%6D;,@BE�=F=�G:HBIJ=FE,;,GBE�KJ=�LM69;�A�;,=�6ONA%HPKJ=�E�=FIBE�=F6&=�H.;,=�LK.8Q;�@:="IJ=FE,;,GBE�KJ=�LQRMA%>QSUTV;�W HBSXA%HQ>QA�;�E�SVYZ[\

è ë æ ]æ è ë ^]F_ ^ _è ú `bacd @:=�E�=

è úfeè ë 0"gh@B=jikGBA�H.;�S3;,SU=F6 ] A%H:L ^ A%E�=l;�WmKJ=nE�=o.A�EpL:=FLqA%6rIs=FE&t;�G:E�KBAF;�SUW H:6u;�@BAF;�A�Ep=vW�wx;�@B=v6&A%>Q=vW EpL:=FEyA�HBLzA�Ep=r6&>QA%TUTkNW >QI:A%E�=�L d SV;�@è ú ù è ë 0|{}6&=";�@:=P6&=�NW H:L~t�W EpL:=FE�H:W HBL:=�o1=FHB=FE�A�;�=MIs=FE&;�G:EpK:A�;�SXW H�;�@:=FW�E&8;�WrNA%TUNG:TXA�;�=�;�@:=�IJ=FE,;,GBE�KJ=�LM=�SVo1=�H.�1A%TVG:=F6'0u�$�96�;�@:SU6OIBE�WkN=FLBG:E�=�NW E�E�=�N';'�F�gh@B=FHQLBSXA�o1W HBA%TXSX�=�;�@:=�>QA�;,EpSVY";,W"��H:L�;�@:=*=Y:A%N';h=�SVo1=�H.�1A%TXG:=6'0���SXHBA%TXTV8.�G:6&=�;�@:=�6&=FNW�H:Lkt�W E�LB=FEQLB=o1=�H:=�E�A�;,=qIJ=FE,;,GBE�K:A�;�SXW�H�;�@B=FW E&8.0��hW >QI:A%E�=;�@:=";�@:E�=�=}E�=�6�GBTV;�6|W K~;,A%SUH:=FLs0

÷�� ü�� � �����&� ! �}��#%�f�&���'�9���$������� ����(*�����p���'! ��� � ��� !%�|�$#%�h�u�p�*��� �$�'!%���p!k æ í ¡¡¡¡¡¡¡

è ë ù è æ ]æ è ë ù è ^]F_ ^ _è ú ù è ¡¡¡¡¡¡¡

íí ÷ è ë ù è üJ¢ ÷è ë ù è ü ÷

è ú ù è ü ù�£ ^ £ ú�¤ ò ]u¥ìæ ù ] _ ÷ è ë ù è üb¦ íí ÷ è ë ù è ü ú ÷è ú ù è ü ùW÷

è ë ù è ü ÷<£ ^ £ ú ò�£ ] £ ú ü õ ÷���� å<§ ü����è í è ë �'�m÷ è ë ù è ü ÷

è ú ù è ü ùW÷9£ ^ £ ú ò�£ ] £ ú ü í æ ���¨��è ú ù ÷ è ë ò è ú üè ò è ë è ú ùW÷9£ ] £ ú ò©£ ^ £ ú ü í æ5ªè í

è ë ò è úø «­¬è ë ò è úø ú ù è ë è ú ò©£ ] £ ú ò©£ ^ £ ú í

Page 111: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

®¯m°y±J±s²h³J´�µ�¶}°u·�µ<³�¸¹¶PºO·�»|³�¼u½ ¾&¿'ÀÁ Â�Ã:ĹÂ�ÅÆ ÇÉÈ ÂOÃ�ʹÂ�ÅÆ Å Ä�Ë Ì~Ë Å Ä�Ë Í�Ë Å9Î ÏbÐFÑ ¾ Ð�ÒÓÔ Õ Ö<× Ë Ì~Ë Å Ä©ËØÍË Å ÔVÙOÙ�Ú}Û�Ü ÜkÝ�×hÖ&Û�Õ"×&ÞFß ÛpÕáà�â�ã�×|Ù�äå Û�æ�×|æ�çç�âfÛpÕáà"Ý�æ�Ô â$×fâ�ã%×hâ�ã%æ$×&××&Õ%×&æ$è'évÜ ×&êF×&ÜVÙJÛ�Ù9ë

 Á Â�Ã<ì Á Â�Ã:ĹÂ�ÅÆ Ä Â�ÃíÊ�Â�ÅÆ î ¾ Ä ÃÅ Ï ËØÌkË Å Ä©ËØÍË Å Ò�Ï ÆÂOÃíʹÂ�Å Ò Å Ä Î&Î&ÎØï ÁÁ Â�Ã:Ä Ë Ì~Ë Å Ä�ËØÍË ÅÂ�ÃíʹÂ�Å ì Á Â�Ã:ĹÂ�ÅÆ Ê ÂOÃ:ʹÂ�ÅÆ Ï�Î&Î&ÎðÒ Á Â Å Ê Ë Ì~Ë Å Ä�Ë Í�Ë Å à ʹ ŠΠÏbÐFÑ ¾�ñ ÒÏUò.Òxó ç�ÕMà�×&è'×�Õ%×&æ�Û�â�×fß ×&æ�â$å%æ ò Ûpâ�Ô�ç'ÕMâ�ã%×&ç�æ�é*â$ç ÆFô Õ à*ç�æ�à�×&æ ÑJõ ã%× ò Û'Ù�Ô�Ù�Ý�×uå Ù�×yÔ�Ù

Ë ¾Bö Áø÷ùú ¾¿¿"ûbüý ì Ë Æsö Áø÷ùú ¿ ¾¿"ûbüý ì Ë�þ ö Áÿ÷ùú ¿¿ ¾*ûbüý Îõ ã%×fÚ}Ûpâ$æ�Ô Þ|×�Ü ×&Ú*×�Õ�â�Ù ç���â$ã%×fß ×&æ�â$å%æ ò Û�â�Ô�ç'Õ�� Áø÷ùú ¿ ¿ Ì¿ ¿ ÍÌ � Í � ¿"ûbüý Û�æ�×

� ¾ Ë � Ë�þ ö Á Ì ì � Æ Ë � Ë�þ ö Á Ípì � ¾ Ë � Ë Æsö Á ��� Ë � Ë � ö Á ¿ ÎÓÔ Õ Ö<×�� Ã� � Á ��� Ë � Ë � ö Á ¿z¾�ô Ù�â|ç'æ�àF×&æ|è'Ô�ê�×�ÙfÕ%ç'â$ã%Ô Õ�è Ñ�� å%âhâ�ã%× Æ�ô Õ àzç'æ�à�×&æÙ�ã%Ô��Xâ�Ù�Ûpæ$× � Å� à Á ����� Ã Ë � � Ã�Ë ÅÂ��à ʹÂ��� Á Ë � þ�Ë � Ë ¾Bö Ë ÅÂOÃ�ʹÂ�Å Á ËØÌkË ÅÂ�ÃíʹÂ�Å ì � Å� Å Á ����� Å Ë � � ÅË Å �Šʹ �� Á Ë � þ�Ë � Ë Æsö Ë Å à ʹ ŠÁ ËØÍË Å à ʹ Šì � Å� � Á ����� � Ë � � � Ë Å �� ʹ �� Á ËØÌkË ÅÂ�ÅJÊ�ÂOÃ Ä ËØÍË ÅÂ�ÅJʹÂOà Á Ê ËØÌkË Å Ä©ËØÍË ÅÂOÃíʹÂ�Å Î ÏbÐFÑ ¾�� Ò

Page 112: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

��� �!#"%$'&)(%*+$ ,.-/&%,.0+$�1�*%,.2�0%34$ 5 "+6�78-.9:2<;=1>$�?@$ (%$�,A6B-/$@CD7E-A6�-.$�7GF �IH 6B(+1JF�K H 9:L4-."$ ()$ ,.?�MONQPSR+6B(T1U2@(%$V;W(%2�(>X�1Y$ ?@$ ()$ ,A6�-.$@CZ7E-[6B-.$\F�] H 9:L4-/"^$�(%$ ,.?�M'N:_ `:a�7EL4()?b(%2@(>X1>$�?@$ (%$�,A6B-/$c*d$�,.-.&),.0+6�-.L42�(e-/"%$ 2@,/Mf9:$g$ hY*d$jik-l2�(%34M�-/"%$mik2@,/,.$�iS-.L42�(f-.2fN _ ;WL�`n$�`porq _�st C-/28?�L4uY$v-/"%$wik2@,/,.$�ik-:,/$�7E&)34- R)6B(+1L4(+1Y$ $�18-/"%Lx7:-.&%,/(+7#2@&)-v-/2b0d$w-."%$wi 6�7E$�`;�iBC�!I2ry+(+1�-/"%$riS2@,.,/$�ik-f$ (%$�,.?@Mz7�"%L|{}-[7v{}2@,e-/"%$~-.9:2V1>$ ?@$�(%$ ,A6�-.$V7E-[6B-.$j7�9:$b"+6�u>$-/2�&T7E$z1>$ ?�$ (%$ ,[6B-/$'*d$�,.-.&),.0+6�-.L42�(�-/"%$ 2�,.MY`�!#"%$��vX�56�-.,.L�h�{}2@,-."%$z1Y$ ?@$ ()$ ,A6�-.$7�&%0+7E*T6@ik$:L�7e� � �� �U� R�7E2 �@� 7�-I2�,A1>$�,I*+$ ,/- `n-/"%MY`d9:L�343Y6�?�6BL�(b?@L�u>$g()2@-.")L4(%?)`I��$c"+6�u>$-/2r?@2r-/2K � (+1U2@,[1>$ ,�`v!#")$b*%,.2�0%34$ 5�9:$�9Q6�(%-:-.2�7E2@3�u>$�Lx7f;E�f�#���wCpF�� H:� N�F�� H&+7�L4(%?~-.")$�$�h>*+6�(+7EL�2@(F�� Hc� F�� � H ��F�� P H ��� � � N � N � ��o q P�s ��o q _�s ��� � � ;��>` ��� C9:"%$�,.$e�f�mF�� � Hc� N � F�� � H `#�Q2@-.$�-."+6�-:-."%$f7�&%*+$ ,A7/ik,.L�*%-#L�(+1>$ h~L4(�6e0%,A6e2�,:�>$ -�1>$kX(%2�-.$�7g9:"%L�ik"f2@,[1>$ ,gL�-g"+6@7gL�(e-.")$:*d$�,.-.&),.0+6�-.L42�(8$�h>*+6�(+7EL�2@(p`��vL|��$ ,/$ (%- 7�2@34&)-.L42�(+7g-.2-/"%$¡{}&)343%*%,/2@0%3�$ 5¢6�,.$�1>$ (%2�-.$�1e0)Mb1>L��l$�,.$ (%- � � 7S`¤£�L�(+ik$:-/"%$f;=7�&%0>X/Cg*%,/2@0%3�$ 5G9:$Z6B,.$(%2�9¥7E2@3�u>L�(%?rL�7�KjX�1>L45V$ (+7EL�2@(+6�3I9:$f$ hY*+$�ik-�-/28y+(+1'-.9:2~7�2@3�&%-.L�2@(+7�iS2@,.,/$�7E*+2�(+1>L4()?-/2r� ���@¦ KY`#§=(+7�$ ,.-/L4(%?b-/"%$f$ hY*+6B(+7�L42�(+7¡L�(z;=�>` � � Cc34$�6�u>$�7 &+7¡9:L�-.";�N �m¨ �f��Cc©�F�� � H �ªF�� P H ��� ���¬« �;�� ¨ o q P�s ¨ o q _�s � � �­C © F�� � H �®F�� P H ����� � « � ;��>` ��¯ C° -cy+,A7�-:2@,[1>$ ,QL4(-."%$f*+$ ,/-.&%,/0+6B-/L42@(-/"%Lx7Q7.6�M%7S±;�N �m¨ �f� CpF�� P Hc� ;�� ¨ o q P�s CpF�� � H[¦9:"%$�,.$e2�{mik2�&%,A7�$bo q P�s ��� 6�7¡(%2�-.$�1²6B0+2@uY$�`c³U&%3�-.L�*%34M~-."%L�7Z{},/2@5´-.")$�3�$k{}-:9:L4-/"'60%,[6^µ�¶ � Fg{},.2�5·2@&)-A7EL�1>$e-/"%$w1>$ ?)`c7E&%0+7�*+6@iS$µ�¶ � F.N �#¨ �f�mF�� P H#� µ�¶ � F/��F�� � H¸ F�� P H#�º¹» ¼½Y¾ F�¶ � H µ�¶ � F.��F�� � HN � ¨ N » � ;��>`­K � C!#"%L�7¡$�h>*%,/$�7.7�L42�(�{}2�,�F�� P H 9:$�9:L43�3l&+7�$fL4(-."%$wK � (+1r2@,[1>$ ,Q$�¿�&+6B-/L42@(r{},/2@5À;��>` ��¯ C;�N � ¨ �f� CpF�� _ H¤� ��F�� P H ¨ o q _�s F�� � H �!I2�?�$ -z,.Lx1Á2�{r-/"%$�34$k{}-'"+6�(+1G7�Lx1>$�Re5r&%3�-.L�*%34MÂ9:L4-/"G6�1>$ ?�$ (%$ ,[6B-/$�0),A6�µ�à � F;��f�#F�à � Hc� N � F�à � H Cµ�à � F.N � ¨ �f�cF�� _ Hc���e� µ�à � F.��F�� P H ¨ o q _Es µ�à � F�� � H �

Page 113: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Ä�ÅÂÆ�ÇcǤÈwÉcÊeË�ÌÆ�ÍgËSÉ:ÎÏÌ'ÐQÍgÑbÉ:Ò�Ó Ô@Ô@ÔÕ�ÖT×EØ Ù/Ú.Û4Ö)ÜeÚ.Ý)Ø�Ø�Þ>ß%Ù/Ø�×.×�Û4à�Ö�á�â>ãåä@æèçcé}à@ÙÂê�ë=ìdícî:Ø�Ü@Ø Ú

ïð ñò>ó<ô�õrö ê/÷�ê�ø ö í ô ø ö ê.÷�ê�ë ö íù ö#ú ù ð û�ürý�þ�ÿ ô�õ ö ê�ë ö í���Ià������>ØQÚ.Ý)Ûx×4à�à���4Û��YØ �BÖ²Ø Û4Ü�Ø Ö�������)Ø:Ø������BÚ.Û�à@Öî:Ø�Ý����>Ø:Ú/à8Û�Ö+×EØ�Ù.Ú������ï��� ó ïð ñò>ó<ô�õrö ê/÷�ê�ø ö í ô ø ö ê.÷�ê�� ö íù ö ú ù ð ô � ö ê�ë ö í û�ü ý�þ�ÿ ô�õ ö ê�ë ö í��� ��!#"dØQÛ4Ú��à�à$�)×%�Và@Ù.ØQé&���rÛ'4Û(��ÙcÛ4Ö����BÚ/Ù.Û�Þ é}à�Ù)�ï��� ó * + �-,�� û�ü ý�þ�ÿ , +î:Ý%Ø Ù.Ø

* + � û ïð ñòYó ô�õ ö ê.÷�ê�ø ö í ô ø ö ê.÷�ê�� ö íù ö ú ù ð ., + û ö ô�õ ê�ë ö í�BÙ.ØVØ Þ>ß)Ù.Ø�×/×EØ�/'Û4Ö�Ú/Ý%Ø0"���×EÛ�×1/>Ø32+Ö%Ø4/5"�!´ê�ë ö íAã 67��������BÚ.Ø8* Û4Ö�Ú/Ý%Ø�/>Ø�Ü@Ø Ö%Ø�Ù��BÚ/Ø×9��"+×�ß��$:SØ;"��@×EÛ�×=< û > ê Ô í . ê�ä¤í)?* ì�ì û ÷ ìA@ ÷ @ ìù ì ú ù ö@ û êCBpê þù ì ú ù þ . * ì þ û ÷ ìA@ ÷ @ þù ì ú ù ö@ û B#D3Eù ì ú ù þ .* þ ì û ÷ þ @ ÷ @Aìù ì ú ù ö@ û BFEGDù ì ú ù þ . * þEþ û ên÷ þ @ ê þù ì ú ù ö@ û êCD�ê þù ì ú ù þ �H�Û4Ú.Ý�Ú/Ý%Ûx×eØ ÞYß��Û(:kÛ�ÚeØ ÞYß%Ù.Øj×.×EÛ�à@Ö�é}à@Ù�*JI:×�à$'�>ØrÚ/Ý%ØØ Û4Ü�Ø Ö�������)ØbØ������BÚ.Û�à@Ö\áK/>Ø32TÖ%ØL û�ü ý�þ�ÿ á�ù ì ú ù þ ç�I��BÖ�/Ú����>ØQà$�%ÚM�N:kà$�0�Và@Öbé&�$:kÚ/à@Ù ìO�PKQ-O#R çæ û SFTVU W ê B ê þ ú L B#DVEBFEGD êCD�ê þ ú LYX ûû áSêCBpê þ ú L çAáSêCD�ê þ ú L ç ú ê B ê þ ê Dèê þ ûû L þ ú ákêCBpê þ[Z êCD�ê þ ç L\ L û æ . ê B ê þ Z êCD�ê þ\ ü ý�þ�ÿì û æ ü ý�þ�ÿþ û êCBpê þ Z êCD�ê þù ì ú ù þ � á=âYã­ä Ô ç

Page 114: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

]�]_^`�a)b$cedgfVhib$a)fkj�fmlFn�fojqpGr�f�n�b�nFsutFf_v$fon�f_a�w�p)fkf_n�f_aGv$x8y9r�z{hip_|�w�n�t}n�b$j~j�fmy�f_f�pGr�w�ptFfov$f_n�foa�w�pGf1��f_a)pG��a)d�w�p)z'b$n p)r�f_b$aGx}��f4w$t�y�p)b�p)r�f1�3b�a)a)f4�3p�y�r�z�hip�y%hib$aMp)r�f1b�p)r�f_a p)j�b�'f_�Ffo�(y3���7�#f_a)x#p)r�z'n�vmz(y�w�y%j�f�j�b����(tNr�w��#f�f_�#�gf4�3p)f�t�����'�q� ���[�-�����A�Y�#�[�o�A���������������Y���[�i�����_�-�i�i�A�F�4�g� �i� �i� �(���¢¡�����£[���¤�3���F�4�¥ ���m¦§©¨#�mª[����¦�«©¨1�(�m�i���_£�¬®­_�#�$���#�������0���i�¯�-�����#°7�F�����F��� ¬[£±�m�_°��F���i���i�³²£��[� ¥ ����� ´#µ�¶�·F¸0¹G�[���N°º�����F�®�4�A���G»³¼8�i�¯�����¢½±���[�i���F�$�4�A���º¾¿1À ¦�Á7 ¿±ÃVÄ�Å�Æ�ÇKȹ)��¼ÊÉ¢�o�A�±¡Ë�4�A�Y�-�����F°º�#�[���-�®�º°º�F�_��£���¬[�#���A���0�����F���_²0���1ÌÍ���V� �g�����F�-¾��g¬±�����i������}°�����¬[��¬��i�A�(�3²Î� ¥ ÌÍ�[���i�Ï¡Î�����¢���_�-�i�i�A�F�4�g�k�A�Ð�³�4�;ÌÍ���V�1�-½��-�³���#�Ñ�3�4�F��� ¥ ���¦1ÒÓ¨#�qÔ±���FÕ �����F�}�4�[�Ѧ�Ö × ¹GدÌÍ�[�(����¼��i�A�Y�(�0� ¥ ²±��£��}�-½�°[���#�_�_�i���Ù�i��i�[���#°Ú�#���[�#�®�1� ¥ ���A�Y��� Û3�������i�Ë���#���_���[��¬[�i�}���N�_£[��°����A�_�i�±¡Ïܹ)¬Ý¼1Þk���ßÕ1�}ÌÍ�[�©���³¡����F�N�-½��-�³���#�Ñ�3�4�F���#��ÜàCá ��£Ð�¯�-²Y£��_�ÑâKã�äKåCæ7å ãÏç7ÂJè éêgë ^�ìîí À�ï ãËð ]�ñ3ò_óõô òoög÷ ð ï ã ñVò_óõô ò Å ÷ Á�øúùÀ&w Áüû r�fm��a)b�d���f_cez(y�tFf3ý�n�f�t0d�xþmà  ÿ��^$ì ð ìËíÊ^ æ �^ � À ¦�Á7Â�� ¿±Ã æ Ä Å-Æ'ÇKÈ À9¿ Â���� �� æ Á� p ¦ºÂ~¨ pGr�f�y�x�y�p)f_cJz yÏz'n�z�p�yÏv�a)b���n�t1y9p�w�pGf å���¨ºç å�¨Úç � �Ñfºj w�n�p±pGb��ow��(�V���(w�p)få���)¦�ç  � ò�� ò À ¦ Á Ä Å����)Æ'Ç��� å�ã;ç� Ãò  éê í À ãËð ÷� Áj�r�foa)fmj�f�v$fop � ò À ¦�Á hia)b�c z�p�y�tFz��Í�7f��-n±��À���� �F�!�#� ] � Á#"$ éê �� ¦ � ò À ¦ Á  �&% � ò % Ä('!) �+* Æ � % À ¦�Á� ò %  â-ãËå � å ì çí�ò %  � ò � � %éê  í À ã,� ì Á À-�F� ^�^ Á�ÑfMn�f_f�t0p)r�f;c w�p)aGz��Nf_��foc0f_n#p�y�� ò %� ò %  â�ãËå � ¿±Ã æ Ä Å-Æ'ÇKÈ å ì çºÂ�� ¿ Ã3Ä Å-Æ'ÇKÈ â-ãNå�æ å ì çÊ � ¿±Ã3Ä Å-Æ'ÇKÈ/. éê^$ìËí À ï ì�ñ3ò�ô % Å ÷ ð ï ì ð ]�ñ3ò�ô % ö�÷ Á�ø

Page 115: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

0�13254�4�687�9;:�<=2?> :(7A@B<DCE> FG7AH?I JKJMLNPORQAS&QAT U/VXWYS[Z�Q]\�^`_ba!cKc�de�fgihhkj�l#m ^ j d�nporqtsXu�v�w[x`yKz fgcK{Y|�}#~ �Y� J u�v��!��w l�m��k� ^ j d � ~ � u(�!��w l#m v � ^ j d`�E�NP���]Q]OR�]T U�Q]S&\/Z,Q]�R�M\K�+�Y�,��U�Z ���M�b� U�Z ��S&ZR� l�m ^ j d�n l�� s]�m � lM� � �m � �M�M��� U�Z �,Q+\Y�M���]\KQ+�\K�#�b�M�AQ]��S���S�� hh j l � s+�m ^ j d n��   l � s+�m n�¡ m s¢£\5¤ �¥��QE\K�¥���M�A¦A�?�/�MQl � � �m ^ j d§n Je�fgG¨ ws=© j�ª(«�¬®­ m ¬ ^ j�ª d+u �¯��°]± w&² l � s+�¬ n

n o qtse�fg z fgc/{Y| ¨ ws © j ª u v³w&x`y }#~ �Y� J u v³�!��w ² l � s+�mM� � ^ j d � ~ � u �!��w ² l � s+�m v � ^ j d �´µ�?�K��Q?\KZ��8Z�\KZb¶`·³U�Z�S�����S[Z��YQ+�M�]�¹¸º\/� � n J � S`a»��aAU�Q¼¤ �¥��Q?\/�#�����½S[Z¾� �M�]Q+O��]T¿U�Q]S[\KZQ]���M\/�]�,¦AS[Q]�=Q]�R�;À8a�Á8a�S[ZÂQ+���r�K�+\KO�Z �D��Q#U�Q]�8U�Q j n��GQ]�����]�rS��tÃ]O ��QA\KZ��8Z�\KZb¶`�M���]\�M���¿U�Z ��S&\KZÄVX\��(Å=VXS[�MZ�Ql � � �� ^ j d§n o qtse�fg z fgcK{Y| ¨ ws © j ª u �!��w&²Æv³w&²¯xy ~ J ¡ � v ��Ç s�nn o qtse�fg z fgcK{Y|®È JeÉ|Êo �y u � �¯�Ëv�ÌÍ � w ²ÆÎ wsn qÏse�fg z fgc/{�| JeÉ|Ðo �y } J oBu � �!��v ÌÍ � w �U�Z � Ñ�Ò�Ó j Ô n « m l � � �m ^ j d]u Õ�ÖØ× °(ÙÚÛ Ñ � Ô n l � � �� ^ j d+u Õ�ÖØ× Ì ÙÚÛ Ñ J Ô �¢����r���]\/T U�T�S[Ü&S[Q]�G\�¸Ý¤ Z ��S[Z��GQ]���8À;a�Á8a�S&Z Ñ J Ô S��Ñ!Þ J ÑÒ�Ó j Ô Ñ ß n Ñ l � � �� ^ j d Ñàß �á � j�â ã l � � �� â q se�fg z fgcK{Y| JeÉ|Êo �y n l(ä �æå j �¢���S��YS��Y\�¸çVX\/O��#���D�]��U/��\/Z U�T�Ü[�µ��S&Z V(�DU��R��Ü&�bS&Z��èUµ��Q¥U�Q]S�V¸º\K�¥VX�D�,��U�Z �éQ+� U�Q=Q+������R��Q]���¹U/���b�,��Q]\/Q]S�VMU�Ü[Ü&�;¤ Z �R�½UGZ��M¦���ê�O�S&Ü[S&T��+S&O��Da

Page 116: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

ë/ëXìíºîæïEð?ñAò]óMôöõ�ò]÷bó�øGó�õ�ò+ù&ú[óMòAû]ü�ó�ò]óGõ�ò]ó8ý�þ,þKû+ü�óMòEý�þKýbÿ��³õ�ý�ú�ñ�ü�ú[ý�������¯ñ½õ�û� ò¥ñ�û?þ/ò#ø�óMò �ñ�þ,ý�þiü�ú��/ü�óMòEó����(ú&û]ó�ø,ñ�û¥õ�û]ó�ñ��Mõ�ý¾î ó��ºþ���ý ø����½þ��Aó��Kó�ò����/þKú&ý��,û]þiü�ú��/ü�óMòEþKò¥ø�óMòEú&ý� óMò+û���ò+î õ�û+ú&þKýÄû]ü�ó�þKò��öñ �!�Xüöñ�û#õ�û]ó�ñ"�Aú&ù[ùæî ó;ó ���Xú[û]ó�ø#�$�%'&)(+*!,.-�/1032465879*!:<;=*!-�/?>@2A-CB3-C>@2: :<5�032ED3;F*G+>IHJ*<-�;3/K,MLN *!O�P 27�>Q-�%GR*!4TS�UWVXY>QZ.2\[65�:</K]^>Q*!,3/K5�,_0.*`2a-b,.*�>c0.2a;=2,30d*!,e-�;3/1,d5�,.0f795�,fO=2>Q5�g�2a,8>Q*TO=2Eh92a4Q*iO�Bj-�D./^>Q5�O3]^B)5�0P�D3-C>Q/1,`k8>@Z.262,324�k!Bl-�795�]12m%on.*!4JS�pjVX>QZ32E[A5�:8/1]^>Q*!,./15�,T/1-qk#/?rs2,<O�Btvuvw ì9xyz N={}|~ L�� |~ N��� D.;3;=*!-�28>QZ32)-IB3-C>Q2a: /1-A/1,��9���Y�JGR*!4�S��MVa%�n"/1,.0=XY5�-E58GRD3,37�>Q/K*!,_*�G>Q/1:<2mX�>@Z.2�;.4Q*!O35�O./1]1/?>IB�GR*!4qO=2/1,`k�GR*!D.,30T/1,T2a5�7�ZE*G�>QZ32oGR*!]1]K*aH�/K,`k6-C>Q5>Q2a-���l����X����\�Y��X��Q�)�Y��X��Q�\������ 5m�+�qBl-�*!]?r3/1,`ki>QZ32A;34Q*!O.]12: 29�35�7�>Q]^B#%� O��o�qB\- *m]^r3/1,�kb>QZ32E;.4Q*!O.]12a: 5�- -�D.:</1,�kb>QZ32�r#5�]1/10./^>�BT*GY��4Q-C>���*m4Q0324>Q/1:<2���0.2a;=2,30329,�>�;=2a4@>@D.4QO35>Q/1*m,�>QZ32a*m4�B�H�/?>@Z t 5�-"5J;=24�>QD34QO.5>@/K*!,�-CH�/^>Q7�Z.2a0*!,b5>�S u V%���,30324�H�Z35>Y79*!,.03/^>Q/K*!,60.*`2a- � O��"k#/^r`2�>QZ32J79*!4�4Q2a7�>�4Q2a-�D3]?>Q-Q í-õËïY¡�üRóYî õ/ñ�ú�ñ��Aóiõ�ò+ó��¿ñ�ú&ý��¾ú�ñ?þQ���Xþ���ò#ñ�ó � ~ L1¢�£ ~ N ¢ � �¥¤�� � õ�ý ø û]üRóYú[ý�û]óMò¥õ��Xû+ú&þ/ý� þKû+óMý�û+ú�õ�ù ú&ý=û]üRú�ñ�î õ/ñ�ú�ñI¦|~ L�� |~ N u ~ L1§ ~ N § � ~ L1¨ ~ N ¨ � ~ L1¢ ~ N ¢ uª© ú&ý=û]ü�ú�ñ�î õKñ�ú�ñC«u yz Nì­¬ í ���i��®��)���¯���i��®�l� ï L í ���b��®��l���¯���i��®�)� ï N �� ° N í �)���b��®��)���¯���i��®�l� ï L í �)�R�i��®��)���¯���b��®�l� ï N �� í ���i��®�l�±�¯���i��®��)� ï L í ���i��®�l�=�²���i��®��l� ï N�³ u

u yz Nì­¬ �`�)�b��®��´�¯���µ�.�\�b��®��\�¯����)�3�)�b��®�´�¯�.�µ�.�\�b��®�\�¯�3�� ° N í �`�)�b��®��´�¶�3�¯�`�\�i��®��·�µ����)�3�)�i��®�´�¯���¸�3�\�i��®�\�¯� ï �

Page 117: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

¹9ºl»�¼=¼¾½+¿=ÀqÁÃÂ�»�Ä�ÁI¿"Å)ÂEÆ�Ä�ÇJ¿"È�É Ê�Ê�ËÌ Í�ÌlÌiÎ�ÏÌ\̸Í3вÍ`ÌjÐiÎ�Ï̴иÍ`ÌÐlÍ.Ð)ÌbÎ�Ï�з̯Í3̯Í3Ð\ÐiÎ�Ï�Ð}ЯÍ�Ñ�ÒÓÕÔ�Ö�×QØ�ÙRÚ�ÛqÜ1Ý�ÙRÖMØ�Þ�Ú^ß±Ú^ß�à1á!ß Ú'Ô�â Í Ê Î±Ò Í3Ì)ÌbÎ ÍÃã¾Î±Ò Í`ÌjÐiÎÍÃä¾Î±Ò Í3Ð)ÌbÎ Í�å±Î�Ò Í.Ð\ÐbÎ�æ

ç Ò·è­éêêêëÊ ì ì ìì Ð Ê ã ìì ã Ð Ê ìì ì ì Ê

í�îîîïTð à Ëañ ã�ä�æò±Þ�Ú^ß±ó!×�ß Úôß±Ú^ß±Ô�ÚôõCö�Ø�Ý�á!ßÃö9÷�ßÃÚ�Ô!õCöYö�øaö�Ô�Ø�Þ�Ý�á�â�Þ6Ø�Þ�öYù�ÙRÝ�ó�ú'ö�ÖfÚ^ß å�ûÕü Ú'Ö�ö�Ô!ßÃÚ�Ý�Ôý×�ú�þ"öâ�ö�Ø�× ã@ûÕü Ú�Ö¥ö�Ô!ß Ú'Ý�Ô!×Qú�Ö�×QØ�ÙRÚ�Û�Ø�Ý ü Ú^×Qâ�Ý�Ôý×�ú�Ú'ÿ�ö ñ�� á!õ�����á!ß���à�"Ü�õIÝ�á�Ù�ß öYØ�Þ�Úôß±ú�á!õ���Úôßü á�öYØ�ÝJØRÞ�öYÙ�Ý�Ø�×�ØRÚ�Ý�Ôý×�ú3Ú�Ô�ø ×�Ù�Úô×�Ô!õIö�ÝQÜ�ØRÞ�öYù�Ù�Ý�ó�ú�ö�Ö ñ æ�Ý�þ ü Úô×�â�Ý�Ô!×Qú�Ú�ÿ ö�ØRÞ�ö ã��6ã Ö ×�Ø�ÙRÚ�ÛJØRÝ� !Ô ü ØRÞ�öYö�Ú�â�ö�Ô�ø ×�ú�á�öQß�×�Ô ü ö�Ú'â�ö�Ô��aö�Ø�ßì Ò ����� � Ð Ê Ð�� ãã Ð Ê Ð���� Ò à Ð Ê Ð��!æ��¾ÐTåJÒ�����Ì<ã���Ð<ä

� ��Ò Ê�� Ð�ä��Ò Ê! � Ð Ê ãã Ð Ê � �#"$ � Ò �#"$ �� Ð " Ì ã $ Ò " � " Ò $ Ò Ê% ã��Ò Ð�ä � Ð Ê ãã Ð Ê � � " $ � ÒªÐ�ä � " $ �� Ð " Ì<ã $ Ò Ð�ä " � " Ò�Ð $ Ò Ê% ã& Ý�÷�ØRÞ�ö+õCÝ�Ö�ù�ú�ö�ØRö�ßÃùmö@õCØ�ÙRá�ÖMÚ^ß '(() ((* Í�ÌlÌiÎ � Í3Ð\ÐiÎ ��+, � à Í3Ì\ÐiÎ`̵Í�Ð8ÌbÎ þ"Ú'Ø�Þ�ö�Ô�ö�ÙRâ�� è+, � à Í`Ì\ÐbÎ�ЯÍ3Ð)ÌiÎ þ"Ú'Ø�Þ�ö�Ô�ö�ÙRâ�� Ðcä�è

Page 118: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

-.-0/1�2�3547698.4:8<;�=�>@?BADCE4F.>�A9?�=�GH4GICE8J3LK�2�GMNF�CI698OCQP�698OR<GSF@;08OT5;�=�T58OGSAHGS2�AU4VWAJ;�GICS=�>YXZ 4>[8OCSGIA0C�698JR\6]F�=�T5P�2W8J^�A9?WA0A0_`GSF<=W4Abac�d acfehg acji GSF\kW_WPac i d c i dlac ie gmac ii gon7ac eqp ac i r ac esp ac i d eiut ac iwv ac ie v ac ii0xy�AHz�_�F.6{GI2W8OG|ac ie d ac ii d~}� i ei t ei g - x d��S���� 4F

ac esp ac i d ei�� c isv�� }� in��Z T54F���6]A]z�_�F.6�GS2�8OG�GI6]Fu4�V�3L_ ei 4R�4GIA0>`4s8.P�P�=�V�GIF�F._�AuGSCI3LV�T�A0G]��4V�3�_ -J� 8O_�P�F�_�A4�3L_�K.TLA0G!��4V�3�_�� � ��3�X�A�Xc�d - � � 4GQ8OGIAJ4 � r ac esp ac i d ei � }� i - � - g -J� v �I� ���i � d e� }� ic�d ��� - 4GQ8OGIA � r acfe p acji]d ei � v �I� � �i � d v �� }� i � ����X nJ� �� 3�_W;�A\� d �I�� � � acfe p acji 6]AuK�ADG ]�¡4�V�3L_ d -J� d ��¢}� i - }� i� d£¢¥¤ ]�¡4�V�3L_ d � � d ��¢}� i v � }� i� d v � ¢ � ����X n � �¦WCSF�>¨§©TLAD?W4S;�2�ªS«9F�CQP�8O_¬P�A­;�F�>�VWF®43LGI3LF._¥6]A9z�_�F�6¯GS2W8JG�°u± g�g³²E¤ ± v�v ²Q¤e´ i �j± g v ²fg ± v g³² �¶µ 8OCIA\4V�3L_ - �W8J_WP e´ i �j± g v ² v ± v g³² � 3·4]4�V�3L_¬��¸¹WA0GDº»4¼K.A0Gs?W8.;�zuF._\GSCE8.;�z!8J_WP½kW_WP�GI2�A�¾�¿�À�Á�Â\÷ÄEÅ�XsÆ¡_�GI2�A�_�AD6Ç?�8�4354w�È354¼P�358OK.F�_W8JT8J_WP¥GI3L>�A�ª�3L_�P�A0VWA0_WP�AD_�G0��4�F�6]AÉ;08O_`=W4�A�GS2�A�4�3L>�V�TLA]MNF�CS>ÊFOM©GIGS2�A!GS3�>�A�ª�A0^�F�T�=�GS3�F�_F.VBADCE8OGIF�CDË Ì �NÍ ¤ Í�Î � d{ÏDÐ�Ñ!Ò v�Ó}� �Y�NÍ v Í�Î �ÕÔ �1�2�A�3L_�3�GS358OTf4�GE8JGSA!698�4�± g v ² X�Æ¡_`GS2�A½_�A06{?�8�4354°¯± - ²�d ± g�g³²E¤ ± n©²�d ± vÖv ²E¤ ± � ²¶d -× n �ر g v ²hg ± v g#² � ¤± ��²�d -× n �ر g v ² v ± v g#² �¶µ

Page 119: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

Ù�ÚÜ۽ݩÝwÞ�ß©à�á�â`Ûuãsá�ß]ä�âYå9ãsæ\ß]çuè é�éOêëSì�í!îLï�îLëSî5ðOñjòëQðOëIí�î·ò óõôbö#÷©ø éù úhû ó�üw÷hôýó¡þ�÷Sÿ����� ëSî�ï����]î�ëSì û��� �� ÿ � ï�ëIìWðOë��]í���íDëó � �� ÷ ø éù ú������ � ö����! ��"!û ó�üw÷sômó¡þ�÷Sÿ¶øø éù ú$# ����� � ö ���&% �'" ó�üw÷hô ����� � ü ���(% ��" ó¡þ¶÷�)�øø * ���+� � ö � % ��� " éù úsû ófôÖö#÷hô óhö�ô#÷IÿSôô ����� � ü � % ��� " éù ú û ófôÖö#÷qö óhö�ô#÷Iÿ�,<øø -.0/ û �21�35426 ô ��78394:6 ÿfó¼ôbö#÷fô û �21�35426 ô ��78394:6 ÿfósö�ô³÷<;�]ì�í'=Ií

> ? % �� � û<@BA úDC ÿE ì�íGF�= �DH ð H î�ñLî�ëJI\ë �LK ïNM�ëIì�í�ò8I�òëSí�O îLï`ëSì�í�ò�ëEðJëSí ó<P\÷ î·ò]ð.òRQWòSQWðOñ ó5TDP�ó � J� ÷0ó .UVVVVVVW VVVVVVXT�ôÖô ó � J� ÷�øYT�ö¯ö ó � J� ÷©ø �ó5T�ô¯ö ó � J� ÷0ó . ø -Z û ú ô � Z 35426 ô � 1 Z 394:6 ÿ©ø -. û é ô\[^]2_0þ > � ÿa` é ö�þ û > � ÿ . �'�'�ó5T�öÖô ó � J� ÷0ó . øb-Z û ú ö � Z 35426 ö � 1 Z 35426 ÿsøb-. û é öc[�]:_0þ > � ÿd`Öþ û > � ÿ . �'���

û H ÿfe îg=Eò�ë � =�M�í'=hFWí'=Së�Q�= H ðJëSî � ï�ëIì�í � =JI û QWòíLi AN@BA C A éOê ÿ�j['k5l�mn ø o n 3 [ k - mn û�� ÿ ø ö ���qp 66srut �Sv � 354xwJy56gz|{ n 3 û��Sv ÿ�� û<@BA ú ê ÿ} í'=Sí~�]íuìWð:��í û Q�òîLï���ëIì�í � =Sîg��î�ïWðOñ H ð.òî5ò ÿ l ø ���u{ ��î���í0ï H I û<@�A ú ü�ÿó � ÷ýø ófôbö#÷

Page 120: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

�D�'� �S����

����

������� � � � � � ��� ��� � � ��������� ���� � � �D� �� ��� � � � �c��� ¡<¢N£S¤'¥J¦�§�¢�¨L¦�©�§ª£d§g¢�¦J«­¬<®�¯ �+°D±d² §�¤'³|´�£µ'¶5·�¸� � µx¶9·J¸¹�ºN»&¼ � � �µ ¶�½¾¸� � µ ¶g½<¸¹¿»+º!¼ � �ÁÀ��LÂÄ÷ÆÅÈÇ �È�É� � � À � Ç   ¬¾®�¯ � � ±Ê £�¦J©�¤«È¢�³ ² ¢�«È¢�Ë¾Ì Ê ¢�§ª£S©�§�¢�¨ÎÍ^«�¤^ÏÐÍ^§�¤�¢�¦�£hÑ�ÒÁ¦�«ÔÓN¥�£8¦�«D¥�´�¤�¥'¯ÖÕd©�¤ÄÒ�¥J«È× Ê ×�§g³�§�¦ ² «2ØÓN¢Ù´�§�¢�¨­¦J©�¤Ú£ ² £8¦J¤�Ûܧg¢ �

���� «D¥ �

�Ý�� §|£R¦�©�ÑN£h«È×�ÌB§�«DÑN£8³ ²ßÞ ¤'¥�«�à�áh©�¤�¥J¤ Ê £RØâ«È¥¦�©�¤G«È¦J©�¤'¥ã¦�áh«(£8¦ Ê ¦J¤2£ä(¬ � �Ý�

�±å� �ä(¬ � �æ��±ç�

�µ'¶�½¾¸� ¬ Ç ± � µx¶éè8¸� ¬ Ç ± �  � ' 

�è �

�� À � Ç

�è �Ýê ¬ � Ç ± è¦�«ëÓN¥�£8¦�«È¥�´�¤'¥'àB§�¢ÖÍ^«D¥J¥J¤x£8ÒN«È¢N´B¤'¢NÍ^¤(áh§�¦J©Æ¦�©�¤G¤'ì Ê Í^¦d¥�¤2£8Ñ�³�¦'¯Õd©�¤ Ê Ò�Ò�¥J«Dì�§gÛ Ê ¦�§�«È¢L×�¥J¤ Ê2í £h´�«Dáh¢ßáh©�¤'¢ � Çdî � §ª£a¢�«L³�«D¢�¨È¤'¥fÌ Ê ³�§ª´ïà�£S«�Øâ«È¥ ʨD§�ÌB¤'¢ß¦'ð � Çaî ��ñ � î �� Ç  òïóªòÖô�õ�öÄ÷ïø:ùNú�ûýücþ^ÿ���ÿ2öÆù���� õ���ü�ø2ù�÷uöBû���ÿxù� � � ���� ������� þ(þ'ú����'ö��Èÿ2öBüÿ2ù�� ÿ � �cö���üýö��&öBûýü�öBû ÿ��aùÙÿxö�ûuÿ � ������þ���ù �!��ù�"þ$#�Ú¬$%& � Ç ±&� � · Í^« £'¬('�) � � Ç ±  * þ � û�÷ ÿ � �cö���üýö��&öBûýü�öBû ÿ+�aöBø'ÿ2úýø,����ÿ � ùNû ÿ2õ�ö�ùNø-� � ù� ÿ,� � û.��û ö�/���ø2ö�þ�þ � ùNû��ùNø ÿ2õ�ö ÿ2ø,��û�þ � ÿ � ùNû ø,��ÿ2ö0��ÿ1"õ � �Èõ�ÿ2õ�öæö��âö��Èÿ2ø2ùNû � þÖö�� � ÿ'ÿ2öBü2" � ÿ2õ3�cù4��cöBûuÿ2ú5� %6 ó87 õ�ù�" � � û�����ø'ÿ � ��ú5�!��ø � õ�ù�"9� ùNú:�0�;�<��ù �=��ú ÿ2ö�ÿ2õ�ö>��û ÷uú��!��øü � þ�ÿ2ø � ��ú�ÿ � ùNûqù��ßÿxõýöÝö?�'ö��Èÿ2ö�ü ö��âö��Èÿ2ø2ù û@ � û ÿ2ö�ø,�cþ ù��BA0��û�üDC üýö;E&û�öBü" � ÿ2õcø2ö�þ-�aö��ÈÿGÿ2ù ÿ2õ�ö ) �F��/ � þ � ó�G � þ-��ú�þ'þIH�J;KMLONQPëÿ2õ�öÆþ � � � �!��ø � ÿ � öBþ���ûýücÿ2õ�öü �SR öBø2ö�û���ö�þB�aö+ÿ?"LöBö�û�ÿ2õ � þ1��ø2ù �5�âö�� ��ûýü ÿ2õýöTM�cùNø:ö�ø:ö���� � þ�ÿ � � � ��õýù�ÿ2ù��ö���ö��Èÿ2ø � �ßö R ö��Èÿ�óUWV�XZY[L \^]ýùNøLÿ2õýö � û � ÿ � �_�`"���a öb��úýû��Èÿ � ùNûÝúýþ'öc �Wd ½fe g d · ¬$%& ±&� �h ibjlkm ·�n oprq »�s;tfufvxw  

Page 121: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

y;z|{8}~}����~���f�I{����?�����+�����U����� �$�-��F����� ���5�;���B���5� �,�0�� !¡£¢;��¤�¡£� ��¥��,� ¦5 !���¨§�¤,���ª©«���� ­¬����®�¯�[����°$¤,¡£� �¨�0�;�¦��I¤,��±²����¤,�<¦~� ³�´;µ$¶·�¸�¹»º �¼�½¾�¿~ÀÂÁÄÃÅOÆ ÃÇ?ÈfÉ Ê¬Q¡S¤,�0¼0�������< !���-˲�§®¦5��¤��®���Ì-�5� �� £Í0¦~�>��¦� !�¯¤��1Ì-����¬Î¤,����¤�¤,�5�Ï�¦�Ì-���-��Ð��¦5 !�1�;ÑÒ��°$¤�Ì����,�1¡!��Í5��¥~����Í5����¤U����¼ÒÓSÔÕ5ÖØ× Ù-Ú�Û�ÜUÝ�ÛßÞMà�Þ[à�Ù�áâÞ[Ö$ãäÛrå5ÛßÜ�ÞMà_Ù�æ ¹ �$çFè ¹�é åxÞFáâÞ[Ù;ê�ëØÞ�ì ¹�é Þ[à�Ù�í Ù-îMÞ[ï�îM×4áâÞMÛßÖ$Üð ¹ ð�ñ�ò?ó,ô µöõ�÷^ø:ù ì ¸Ûrå�ÞMï�î[Ü�Ù,ú:Ö�Ü�ê1û�ÙUÝ�á,Ü�Þ�Þ[Ö1ü Ü ú:Þ[à�Ù>ÞMîFáâÜ åfÛ�Þ[Û�Ö$Ü�îOáâÞ[ÙIáâÞ�Ý�à�Ûrý?à+ÞMà�Ù>ÙWþ�Ù,ýÂÞ[îMÖ�Ü:ÛÿåÙ-ã>Û�Þ[ÞMÙ,ú�Ý�ÛßÞMàIã>Ö�ã>Ù-Ü�Þ[ï�ã ¶� ´ ê~Õlà_Ù8ÛßÜ�Û�Þ[Ûrá,þ�Ý�á��;Ù����!ï�Ü4ýÂÞMÛßÖ$ÜUÛrå³ Á µ�¶·®¸~¹ �� � º � ñ ¿ È�� À� �� È����áâÜ ú>ÞMà_Ù�ü4Ü áâþ�Ý�á��;Ù����!ï�Ü ý?ÞMÛ Ö$ÜQÛrå³�´$µ�¶·®¸~¹ º �¼ È�� ¿ À ÁfÃÅOÆ ÃÇ?ÈfÉ Ê��Õlà�Ù^íÙWîMÞMï_îM× á,ÞMÛ�Ö�Ü1Ûÿå ð ¹ ð�ñ�� À Á������� ��� "!$# À Á"�����% ��� �!'&¹ ( À Á)�� *# (,+ À ;Á)�� � µ.- ê)/ � ¸ÕlÛ�ã>Ù��Äú�Ù-í Ù-Ü4ú�Ù-Ü�Þ�í Ù-î[ÞMï�î[× áâÞ[Û�Ö�Ü1ÞMà_Ù-Ö$î�0 µ�1 ê - ê32�ê5464 ¸ Ú�Û"��Ù,å�ï ålÞ[à�Ù^ÞMîFáâÜ åfÛ�ÞMÛßÖ$ÜBîOáâÞ[ÙÝ Á�798 ¹ / �:;=<<< ( +8ÂÁ <<< �?>

µ�@8ø¨µ�@ Á # :; ù ¸M¸×Ù�ý-áâï åfÙ^ÞMà�Ù�áâÞ[Ö$ã áâ×4åxÖ$î[× å�á í�à_Ö$ÞMÖ�Ü :; ù ê~Õlà�Ù^ãIá,ÞMî[Û"AQÙ-þ�Ù-ãÏÙ-Ü�Þ«Ûrå

<<< ( +8?Á <<< � ¹ ð �ñ4 <<< B À Á����%C 8?Á <<< �áâÜ úB À Á���� C 8?Á ¹ D ¶õ ´FE À ÁG��� E æ ¹ �$çFè ¹�éIHl¹KJML ·ND ¶õ ´FE À Á���� E ·OHPD;· E æ ¹ �$çFè ¹�éIHÒ¹¹ J L · À ;Á Ã�%Q Æ ÃǼ È�� À?Á�� Ç ½ �� � º � ñ ¿ È�� À� �� È���� ¹¹ �¼ È�� � � È��ñ JRL · À Á"� Ã�%Q Æ ÃÇ S� Ç ½ !T �� È���� � µ.- ê)U é�¸

Page 122: Solutions to sakurai's probls. in quantum mechanics   b. brinne

VXWZY[�\^]`_�a�b�c`dZe agfihkj%lnm�oZpRq \6r*s f�m s j s`t�u hwv \6s%xy\ v$j�l*m,f u f"j%f t�zS{�t�| m�}�v r*u?~ j%f \Zu��.t�u?� h \6x m~�\6u h�j t�u j�� { f�j%l����� �������� �_ cX�F� l t j ~�t�u^� m�mX��j s`tZ~ j%m � v s%\6x���[St���r*sPt f�� s%\6�*z m x� � oZ��� ]`_ a�b�c d6e a �������N� �¡�¢S£¤ V¥*¦§�¨©«ª � �� � ��� �_ c � ��¬`­� l*m®j s`t�u h�f�j%f \Zu¯s`t j%m�fih r*u?� m s h�j \�\S� j \�� m�f u j%m�° s`t j%m �±\Z| m s j%l*m � m u h�f�j%² \ v³h�j t j�m�h �´ m u mXm � j \ °Zm�j,j�l t j t h t v rnu?~ j%f \Zuµ\ v��¶ � �¸·¹ �� � �9º h,f u»��[ � � �½¼�� o V �`¾*j%lnm |S\Zz"rnx mm z m x m u j¿fTh À �`Á À Á� � À ��Á� Á ÀÁ ¶ � Á ¶ ��ÃÄ h�f u ° � �� � ¶ ��·¹ � �

À � � W � � �  �{ m�°6m�j Á ÀÁ ¶ � �VW À W   � ¶ �� W � ·¹ � � �

W � ·¹  ¶ �   � ¶ �� W � ·¹ � � � W � ·¹{ l*f ~ l z m t�| m�h À �`Á À Á� �   ¡ � ��� W � � ¡ ·¹ Á�Â,Á ¶ � �

  ¡ ¶ ��� W � ·¹ � ¡ Á�Â,Á ¶ �t�u?� j�l*fTh9fih9j%l*mÅh \6r °Zlnj � m u h�f"j%² �qkf u?t�z�z ²S¾ { aGƱÇÈ�É � W �·¹¸Ê �¤� ����� �  ¡ ¢�£¤ V¥ ¦§ ¨© ª � �� � �Ë� �_ c � � ¬%­  ¡ ¶ ��� W � ·¹ � ¡ Á�Â,Á ¶ �SÃÌ \ j%mÍj%l t j�j%l*m  ÏÎ h ~�t�u?~ m z �Ð� l*m t�u ° r*zTt�s�� m��?m u?� m uÑ~ m�fTh9f u j%l*m � m un\Zx f u?t j \Zs�Ò] �� � ��� �_ c d � � Ó ��Ô � � ÔÖÕ�×�Ø�Ù���� �³�_ c ª Ô � � ÔÖØ�Ú À ÙÏ�.Õ�×�Ø�Û �_�Ü ª Ø�Ú À Û �_�Ý �.Þ � �� Ô � � Ô � Õ�×�Ø � Ù ª � � � W �kÔ � � Ô Õ�×�Ø�Ù ª ÔÖ� � Ô � Ø�Ú À � Ù �� � �� ª � � � W �kÔÖ� � ÔÖÕ�×�Ø�Ù Ã � � � o V �ß uàt^~�\Zx � t�s fTh \6u�� mXj { m�m u j�l*fTh�� s%\Z�nz m xát�u?� j�l*m¯�*l \ j \ m z m ~ j s f ~ m�âãm ~ j t h � fihw}~�r h%h�m � f uä��[ � � �½¼ � { m u*\ j�m�j%l t j�h�f u?~ m�j%l*m s m�fTh u*\ � \6zTt�s f"å t j%f \Zu¯| m ~ j \6s f u*|S\Zz�| m � ¾{ l t h u*\¯� m��?m u?� m uÑ~ m \6u j�l*m t å�f xær j%l t�z�t�u ° z m�ç ��è u j�l*m \ j%l*m s l t�u?�^{ m � f �u*\ j xét�� m t�u ² � f"� \Zz m t �*� s�\ �Sf x¯t j%f \6uæ�nr j,�?m s v \6s%x m � j%l*mÅê�}.f u j%mX° s`t�z m�� tZ~ j z ² �