Page 1
SOLUSI NUMERIK MODEL ARUS LALU LINTAS JALAN SATU JALUR
MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA SKEMA LAX-FRIEDRICHS DAN
SKEMA UPWIND
Numerical Solutions Of Traffic Flow Problem For One Lane Roadway Using Finite
Difference Methods Up To Lax-Friedrichs And Upwind Schemes
Sri Mulyani, Universitas Hasanuddin, Makassar
(E-mail : [email protected] )
ABSTRAK
Pada penelitian ini, model matematika digunakan untuk mempelajari model arus lalu lintas
jalan satu jalur dengan asumsi bahwa kendaraan tidak saling mendahului. Masalah tersebut
diselesaikan menggunakan metode beda hingga dengan dua skema, yaitu skema Lax-
Friedrichs dan skema Upwind. Solusi dari metode tersebut akan dibuat simulasi pada
perangkat lunak Matlab R2009a©
. Berdasarkan hasil simulasi numerik diperoleh bahwa
pergerakan kepadatan kendaraan dari skema Lax-Friedrichs dan skema Upwind selalu
beriringan dan hampir sama serta akan semakin menuju kepadatan nol dalam waktu
pengamatan yang semakin lama.
Kata Kunci: Arus Lalu Lintas, Model Matematika, Metode Beda Hingga, Skema Lax-
Friedrihcs, Skema Upwind
ABSTRACT
In this study, a mathematical model is used to study the model of one-way road traffic with
the assumption that the vehicle does not overtake one another. The problem is solved using
the finite difference method with two schemes, namely the Lax-Friedrichs scheme and the
Upwind scheme. The solution of the method will be simulated in the Matlab R2009a©
software. Based on the numerical simulation results, it is found that the movement of vehicle
density from the Lax-Friedrichs scheme and the Upwind scheme is always in tandem and
almost the same and will go towards zero density in the longer observation time.
Keywords: Traffic Flow, Mathematical Model, Difference Between Methods, Lax-Friedrichs
Scheme, Upwind Scheme
Page 2
PENDAHULUAN
Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika memberikan peranan dalam
membantu menganalisa permasalahan yang timbul di bidang kesehatan, kimia, fisika, biologi,
dan bidang lainnya. Banyak kejadian-kejadian yang ada di sekitar yang dapat diamati dan
dianalisa dengan menggunakan model matematika. Model matematika merupakan
representasi matematika yang dihasilkan dari pemodelan matematika. Pemodelan matematika
merupakan suatu proses mempresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata
ke dalam pernyataan matematis (Widowati 2007). Salah satu model pembahasan pada model
matematika adalah masalah transportasi, termasuk salah satunya adalah masalah lalu lintas
jalan raya.
Masalah transportasi telah dihadapi manusia jauh sebelum kemunculan mobil. Namun,
dalam beberapa tahun terakhir, kemacetan lalu lintas menjadi sangat istimewa. Beberapa
masalah lalu lintas yang mungkin bisa dianalisis secara ilmiah, seperti tempat memasang
lampu lalu lintas atau tanda berhenti, bagaimana mengembangkan sistem lampu lalu lintas,
dimana untuk membangun pintu masuk, pintu keluar, dan jalan layang, serta berapa banyak
jalur untuk membangun jalan raya baru. Secara khusus, tujuan akhirnya adalah untuk
mengerti fenomena lalu lintas agar akhirnya membuat keputusan yang bisa meringankan
kemacetan, memaksimalkan arus lalu lintas, meminimalkan polusi, dan tujuan lain yang
diinginkan (Haberman 1998).
Masalah lalu lintas dapat diselesaikan dengan penyelesaian analitik atau penyelesaian
numerik. Penyelesaian analitik adalah penyelesaian model dengan menggunakan teori atau
metode analisis matematika yang telah ada sedemikian sehingga hasil yang diperoleh
merupakan penyelesaian eksak, sedangkan penyelesaian numerik adalah penyelesaian model
matematika yang diperoleh menggunakan pendekatan diskrit sehingga hasil dari penyelesaian
numerik bukan merupakan penyelesaian eksak (Canale 2010).
Masalah lalu lintas telah dimodifikasi dalam berbagai model, seperti pada artikel yang
ditulis oleh Alkhazraji (2008) berfokus pada memodifikasi model mobil non-linear dan
umumnya ditujukan untuk meningkatkan validitas model; Sohrweidee dkk. (2001)
membandingkan antara jalan empat jalur dan jalan tiga jalur untuk mengidentifikasi jalur
mana yang menyediakan lalu lintas jauh dari kemacetan; Nurassikin (2014) yang dijadikan
sebagai artikel rujukan pada skripsi ini berfokus pada memodelkan arus lalu lintas jalan satu
jalur kemudian menyelesaikan masalah tersebut menggunakan metode karakteristik dan
metode beda hingga, yaitu skema FTCS (Forward Time Central Space) (Puzi 2014). Dalam
tulisan ini akan dibuat pengembangan penyelesain model arus lalu lintas jalan satu jalur
Page 3
menggunakan skema beda hingga yang berbeda, yaitu skema lax-friedrichs dan skema
upwind. Kemudian akan dilihat pergerakan kepadatan kendaraan dari kedua skema dengan
melihat simulasi hasil dari solusi yang diperoleh menggunakan Matlab R2009a©.
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Kecepatan Lalu Lintas
Kecepatan yang diukur pada waktu 𝑡 oleh pengamat pada posisi 𝑥 adalah kecepatan
sebuah mobil yang berada pada posisi tersebut (𝑥) dan pada waktu tertentu (𝑡). Sehingga
dalam istilah matematika adalah bidang kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡) pada posisi mobil 𝑥𝑖(𝑡) haruslah
kecepatan mobil 𝑢𝑖(𝑡),
𝑢 𝑥𝑖 𝑡 , 𝑡 = 𝑢𝑖 𝑡 . (2.1)
2.2 Kepadatan Lalu Lintas
Ukuran dasar kedua yang berpengaruh dalam arus lalu lintas adalah kepadatan lalu
lintas. Dengan membayangkan bahwa pada jalan satu jalur, mobil tersebar di sepanjang jalan.
Kepadatan lalu lintas dengan posisi tertentu 𝑥 dan waktu 𝑡 adalah jumlah rata-rata kendaraan
per satuan panjang 𝜌 𝑥, 𝑡 .
2.3 Fluks Lalu Lintas
Ketika mobil melintas pada jalan satu jalur maka mobil akan memiliki kecepatan dan
kepadatan pada jalan raya. Kedua hal tersebut merupakan kunci umum pada fluks lalu lintas.
Misalkan 𝜌0 adalah banyaknya kendaraan per kilometer dan 𝜏𝑢0 adalah jarak pergerakan
kendaraan, maka 𝜌0𝜏𝑢0 adalah banyaknya kendaraan yang melewati pengamat setelah waktu
𝜏 jam. Jumlah kendaraan per jam disebut arus lalu lintas atau sering disebut fluks lalu lintas
(𝑞). Secara matematis arus lalu lintas didefinisikan oleh
𝑞 = 𝜌0𝑢0. (2.2)
2.4 Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Fluks Lalu Lintas
Persamaan (2.2) digunakan untuk menunjukkan hukum dasar dari masalah lalu lintas
bahwa arus lalu lintas sama dengan kepadatan lalu lintas dikalikan dengan kecepatan
kendaraan. Jika variabel pada lalu lintas bergantung pada 𝑥 dan 𝑡 seperti
𝑞 𝑥, 𝑡 ,𝜌 𝑥, 𝑡 , 𝑢(𝑥, 𝑡) maka dapat ditunjukkan bahwa,
𝑞 𝑥, 𝑡 = 𝜌 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑥, 𝑡 . (2.3)
Persamaan (2.3) adalah persamaan yang menunjukkan hubungan antara kecepatan,
kepadatan, dan arus lalu lintas.
Page 4
2.5 Model Deterministik Arus Lalu Lintas
Misalkan kondisi awal untuk kepadatan lalu lintas (𝜌 𝑥, 𝑡 ) dan kecepatan kendaraan
(𝑢 𝑥, 𝑡 ) diketahui pada panjang jalan yang tak terhingga. Oleh karena itu, hukum konservasi
kendaraan dapat ditulis sebagai berikut
𝜕𝜌
𝜕𝑡+
𝜕
𝜕𝑥 𝜌𝑢 = 0. (2.4)
Persamaan tersebut merupakan persamaan differensial parsial untuk masalah lalu
lintas yang berhubungan dengan kepadatan lalu lintas dan kecepatan kendaraan.
2.6 Masalah Arus Lalu Lintas Jalan Satu Jalur
Berdasarkan asumsi bahwa kendaraan memiliki kecepatan konstan 𝑣 > 0, kemudian
dari hubungan kepadatan, fluks dan kecepatan, maka fluks 𝑞 = 𝜌𝑣 sehingga dari Persamaan
(2.24) menghasilkan persamaan kontinuitas yaitu
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ 𝑣
𝜕𝜌
𝜕𝑥= 0. (2.5)
Persamaan (2.5) merupakan persamaan differensial parsial orde pertama yang linear
disebut persaman adveksi. Pada masalah ini, kecepatan merupakan fungsi terhadap kepadatan
yang ditulis sebagai berikut
𝑣 = 𝑣 𝜌 . (2.6)
Dengan mensubstitusi Persamaan (2.6) ke Persamaan (2.5), sehingga diperoleh
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕 𝜌𝑣(𝜌)
𝜕𝑥= 0, (2.7)
yang juga merupakan persamaan differensial parsial orde pertama namun non-linear di 𝜌
sehingga dapat ditulis sebagai berikut
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ 𝑣
𝜕𝜌
𝜕𝑥+ 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑥= 0,
atau
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ 𝑣 + 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝜌 𝜕𝜌
𝜕𝑥= 0, (2.8)
yang linear pada turunan namun non-linear di 𝜌 disebut sebagai persamaan quasi-linear.
Kemudian, dengan menggunakan hubungan kecepatan dan kepadatan yang non-linear
sehingga diperoleh
Page 5
𝑣 𝜌 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
𝜌
𝜌𝑚𝑎𝑥
2
. (2.9)
Dengan bantuan Persamaan (2.9) memberikan hubungan untuk fluks lalu lintas sebagai
fungsi kepadatan yang diberikan dalam bentuk berikut
𝑞 𝜌 = 𝜌𝑣 𝜌 ,
= 𝑣𝑚𝑎𝑥 𝜌 −𝜌3
𝜌𝑚𝑎𝑥2 . (2.10)
Dengan mensubstitusi Persamaan (2.9) ke Persamaan (2.10), maka persamaan differensial
parsial non-linear diperoleh dalam bentuk sebagai berikut :
𝜕𝜌
𝜕𝑡+
𝜕
𝜕𝑥 𝜌𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
𝜌
𝜌𝑚𝑎𝑥
2
= 0, (2.11)
dengan nilai awal 𝜌 𝑥0, 𝑡 = 𝜌0(𝑥). Persamaan (2.11) merupakan model arus lalu lintas
jalan satu jalur (Puzi 2014).
2.7 Metode Karakteristik
Diberikan persaman linear adveksi satu dimensi yang disebut persamaan gelombang
sebagai berikut :
𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑎
𝜕𝑢
𝜕𝑥= 0, (2.12)
dengan
𝑢 𝑥, 0 = 𝐹 𝑥 , (2.13)
dan 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah fungsi yang tidak diketahui dari (𝑥, 𝑡) dan 𝑎 adalah kecepatan seragam
persamaan adveksi. 𝐹 𝑥 adalah syarat awal (𝑡 = 0) dan Persamaan (2.13) adalah kondisi
awal.
Masalah persamaan differensial parsial pada Persamaan (2.12) akan direduksi menjadi
persamaan differesial biasa dengan mengambil kurva 𝑥(𝑡) pada bidang (𝑥, 𝑡) dengan gradien
𝑑𝑡 𝑑𝑥 sehingga diperoleh kurva 𝑥 𝑡 sedemikian sehingga,
𝑑𝑢(𝑥 𝑡 , 𝑡)
𝜕𝑡=𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑎
𝜕𝑢
𝜕𝑥= 0. (2.14)
Berdasarkan aturan rantai, maka
𝑑
𝜕𝑡𝑢 𝑥 𝑡 , 𝑡 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥∙𝜕𝑥
𝜕𝑡+𝜕𝑢
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡=𝜕𝑢
𝜕𝑡+𝜕𝑢
𝜕𝑥∙𝜕𝑥
𝜕𝑡. (2.15)
Page 6
Perbandingan Persamaan (2.14) dan (2.15) menunjukkan bahwa
𝜕𝑥
𝜕𝑡= 𝑎. (2.16)
Kemudian jika Persamaan (2.13) diturunkan terhadap 𝑡 maka akan diperoleh,
𝜕𝑢
𝜕𝑡= 0. (2.17)
Persamaan differensial parsial pada Persamaan (2.12) adalah kurva pada bidang (𝑥, 𝑡)
yang diberikan oleh 𝑥 = 𝑥(𝑡) dengan 𝑥(𝑡) adalah solusi dari Persamaan (2.16). Dari
Persamaan (2.17) terlihat jelas bahwa 𝑢 konstan. Dengan demikian, solusi Persamaan (2.12)
direduksi menjadi solusi dari sepasang persamaan differensial biasa yaitu pada Persamaan
(2.16) dan Persamaan (2.17). Kemudian diperoleh solusi dari Persamaan (2.16) adalah
𝑥 𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝜉.
Karena 𝑢 adalah konstan sehingga dapat dengan mudah ditentukan dari data awal bahwa
𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑢 𝜉, 0 = 𝐹 𝜉 .
Namun 𝜉 = 𝑥 − 𝑎𝑡, sehingga solusi dari Persamaan (2.12) dengan menggunakan metode
karakteristik diberikan oleh (Salih 2016),
𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝐹 𝑥 − 𝑎𝑡 .
2.8 Metode Beda Hingga
2.8.1 Skema Upwind
𝑈𝑗𝑛+1 = 𝑈𝑗
𝑛 −𝑎∆𝑡
∆𝑥 𝑈𝑗
𝑛 −𝑈𝑗−1𝑛 . (2.18)
Persamaan (2.18) adalah metode beda hingga skema upwind persamaan hiperbolik
untuk 𝑎 > 0.
Skema upwind untuk 𝑎 < 0 diperoleh dengan menerapkan Persamaan (2.48) dan
Persamaan (2.62) pada Persamaan (2.63) sebagai berikut
𝑈𝑗𝑛+1 = 𝑈𝑗
𝑛 −𝑎∆𝑡
∆𝑥 𝑈𝑗+1
𝑛 − 𝑈𝑗𝑛 . (2.19)
2.8.2 Skema Lax-Friedrichs
𝑈𝑗𝑛+1 =
1
2 𝑈𝑗−1
𝑛 + 𝑈𝑗+1𝑛 −
𝑎∆𝑡
2∆𝑥 𝑈𝑗+1
𝑛 − 𝑈𝑗−1𝑛 . (2.20)
Sehingga Persamaan (2.20) merupakan metode beda hingga skema lax-friedrichs (LeVeque
2007).
Page 7
2.9 Konsistensi, Stabilitas, dan Konvergensi
2.9.1 Konsistensi Persamaan Beda Hingga
Sebuah PBH dari sebuah PDP dikatakan konsisten dengan PDP yang didekati jika
selisih antara PBH dengan PDPnya (suku-suku truncation error) menuju nol jika lebar grid
menuju nol, yaitu (∆𝑥,∆𝑡) ⟶ 0 (Noye 1983).
2.9.2 Stabilitas Persamaan Beda Hingga
Persamaan beda hingga akan stabil jika (Noye 1983),
𝐺 ≤ 1 (2.21)
2.9.3 Konvergensi Persamaan Beda Hingga
Teorema 2.2 Ekuivalensi Lax
Diberikan sebuah persamaan differensial parsial linear dan masalah nilai awal yang
well-posed dan suatu metode beda hingga yang konsisten terhadap persamaan differensial
tersebut, maka kestabilan merupakan syarat perlu dan syarat cukup agar metode beda
hingga tersebut konvergen.
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Metode Karakteristik
Model arus lalu lintas pada Persamaan (2.11) akan diselesaikan dengan menggunakan
metode karakteristik, yaitu dengan menulis Persamaan (2.11) menjadi
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑞(𝜌)
𝜕𝑥= 0,
(3.1)
dengan
𝑞 𝜌 = 𝜌𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2 . (3.2)
Akan dicari turunan Persamaan (3.2) terhadap 𝜌, yaitu
𝑑𝑞
𝑑𝜌= 𝜌𝑣𝑚𝑎𝑥
−2𝜌
𝜌𝑚𝑎𝑥2 + 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2 ,
=−2𝜌2𝑣𝑚𝑎𝑥
𝜌𝑚𝑎𝑥2+ 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2 ,
= 𝑣𝑚𝑎𝑥 −2𝜌2 − 𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2+ 1 ,
Sehingga diperoleh,
Page 8
𝑑𝑞
𝑑𝜌= 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
3𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2 . (3.3)
Selain itu, Persamaan (3.1) dapat ditulis sebagai berikut,
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝑑𝑞
𝑑𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑥= 0. (3.4)
Substitusi Persamaan (3.3) ke Persamaan (3.4) sehingga diperoleh,
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
3𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2 𝜕𝜌
𝜕𝑥= 0 (3.5)
Dengan menerapkan konsep aturan rantai Persamaan (2.36) diperoleh,
𝑑𝜌
𝑑𝑡=𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝜌
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 0, (3.6)
dan menerapkan konsep metode karakteristik, yaitu membandingkan Persamaan (3.6) dengan
Persamaan (3.5) diperoleh,
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
3𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2 . (3.7)
Kemudian diperoleh,
𝑑𝑥 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −3𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2 𝑑𝑡,
𝑑𝑥 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −3𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2 𝑑𝑡,
𝑥 𝑡 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −3𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2
𝑡 + 𝑐.
Berdasarkan nilai awal pada Persamaan (2.11), yaitu 𝜌 𝑥0 , 𝑡 = 𝜌0(𝑥) diperoleh solusi
khusus Persamaan (3.7) sebagai berikut,
𝑥 𝑡 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
3𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2 𝑡 + 𝑥0 . (3.8)
Dari persamaan (3.6) diperoleh bahwa,
𝑑𝜌
𝑑𝑡= 0,
𝑑𝜌 = 0 𝑑𝑡,
𝑑𝜌 = 0 𝑑𝑡,
𝑑𝜌 = 0,
𝜌 𝑥, 𝑡 = 𝑐.
Page 9
Berdasarkan konsep metode karakteristik yang melalui (𝑥, 𝑡) juga melalui (𝑥0, 0) dan
𝜌 𝑥, 𝑡 = 𝑐 adalah konstan pada suatu kurva, sehingga dengan nilai awal seperti pada
Persamaan (2.11) diperoleh,
𝑐 = 𝜌 𝑥, 𝑡 = 𝜌 𝑥0 , 0 , 𝑐 = 𝜌0 𝑥
0 . (3.9)
Sehingga dapat ditulis bahwa,
𝜌 𝑥, 𝑡 = 𝜌0 𝑥0 . (3.10)
Dari Persamaan (3.8) diperoleh,
𝑥0 = 𝑥 𝑡 − 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
3𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2 𝑡. (3.11)
Dengan mensubstitusi Persamaan (3.11) ke Persamaan (3.10) diperoleh,
𝜌 𝑥, 𝑡 = 𝜌0 𝑥 − 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
3𝜌2
𝜌𝑚𝑎𝑥2 𝑡 . (3.12)
Persamaan (3.12) merupakan solusi analitik menggunakan metode karakteristik dari model
arus lalu lintas jalan satu jalur. Berdasarkan artikel yang ditulis oleh Hasan M. dkk.. (2015)
dan Kabir dkk. (2010) bahwa solusi pada Persamaan (3.12) merupakan persamaan implisit
yang sulit untuk diselesaikan. Sehingga, digunakan metode numerik untuk menyelesaikan
masalah arus lalu lintas jalan satu jalur.
3.2 Metode Beda Hingga
Persamaan (2.32) dapat ditulis sebagai berikut,
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑓(𝜌)
𝜕𝑥= 0, 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, (3.13)
dengan syarat awal
𝜌 𝑥, 𝑡0 = 𝜌0 𝑥 ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,
dan syarat batas
𝜌 𝑎, 𝑡 = 𝜌𝑎 𝑡 ; 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇,
𝜌 𝑏, 𝑡 = 𝜌𝑏 𝑡 ; 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇,
dengan
𝑓 𝜌 = 𝜌. 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 − 𝜌
𝜌𝑚𝑎𝑥
2
.
Page 10
3.2.1 Skema Lax-Friedrichs
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑓 𝜌
𝜕𝑥= 0,
𝜌𝑗𝑛+1 − 𝜌𝑗
𝑛
∆𝑡+𝑓𝑗+1𝑛 − 𝑓𝑗−1
𝑛
2∆𝑥= 0,
𝜌𝑗𝑛+1 − 𝜌𝑗
𝑛
∆𝑡= −
𝑓𝑗+1𝑛 − 𝑓𝑗−1
𝑛
2∆𝑥,
𝜌𝑗𝑛+1 − 𝜌𝑗
𝑛 = −∆𝑡
2∆𝑥 𝑓𝑗+1
𝑛 − 𝑓𝑗−1𝑛 ,
𝜌𝑗𝑛+1 = 𝜌𝑗
𝑛 −∆𝑡
2∆𝑥 𝑓𝑗+1
𝑛 − 𝑓𝑗−1𝑛 , 𝑓 = 𝑓 𝜌 ,
𝜌𝑗𝑛+1 = 𝜌𝑗
𝑛 −∆𝑡
2∆𝑥 𝑓 𝜌𝑗+1
𝑛 − 𝑓 𝜌𝑗−1𝑛 .
(3.14)
Jika 𝜌𝑗𝑛 =
1
2 𝜌𝑗−1
𝑛 + 𝜌𝑗+1𝑛 , Persamaan (3.14) menjadi
𝜌𝑗𝑛+1 =
1
2 𝜌𝑗−1
𝑛 + 𝜌𝑗+1𝑛 −
∆𝑡
2∆𝑥 𝑓 𝜌𝑗+1
𝑛 − 𝑓 𝜌𝑗−1𝑛 , (3.15)
dengan 𝑗 = 1,2,⋯ ,𝑁 dan 𝑛 = 0,1,2,⋯ ,𝑀 − 1 dan
𝑓 𝜌𝑗
𝑛 = 𝜌𝑗𝑛 . 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
𝜌𝑗𝑛
𝜌𝑚𝑎𝑥
2
. (3.16)
Persamaan (3.15) adalah solusi numerik dari metode beda hingga skema Lax-Friedrichs
model arus lalu lintas jalan satu jalur.
𝑛 + 1
𝑛
𝑛 − 1
𝑗 − 1 𝑗 𝑗 + 1
Gambar 3. 1 Grid Komputasi Skema Lax-Friedrichs
Page 11
3.2.2 Skema Upwind
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑓 𝜌
𝜕𝑥= 0,
𝜌𝑗𝑛+1 − 𝜌𝑗
𝑛
∆𝑡+𝑓𝑗𝑛 − 𝑓𝑗−1
𝑛
∆𝑥= 0,
𝜌𝑗𝑛+1 − 𝜌𝑗
𝑛
∆𝑡= −
𝑓𝑗𝑛 − 𝑓𝑗−1
𝑛
∆𝑥,
𝜌𝑗𝑛+1 − 𝜌𝑗
𝑛 = −∆𝑡
∆𝑥 𝑓𝑗
𝑛 − 𝑓𝑗−1𝑛 ,
𝜌𝑗𝑛+1 = 𝜌𝑗
𝑛 −∆𝑡
∆𝑥 𝑓𝑗
𝑛 − 𝑓𝑗−1𝑛 , 𝑓 = 𝑓 𝜌 ,
𝜌𝑗𝑛+1 = 𝜌𝑗
𝑛 −∆𝑡
∆𝑥 𝑓 𝜌𝑗
𝑛) − 𝑓(𝜌𝑗−1𝑛 ,
(3.17)
dengan 𝑗 = 1,2,⋯ ,𝑁 dan 𝑛 = 0,1,2,⋯ ,𝑀 − 1 dan
𝑓 𝜌𝑗
𝑛 = 𝜌𝑗𝑛 . 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
𝜌𝑗𝑛
𝜌𝑚𝑎𝑥
2
. (3.18)
Berdasarkan konsep skema upwind, Persamaan (3.13) memiliki nilai 𝑎 = 1 atau 𝑎 > 0,
sehingga Persamaan (3.22) merupakan solusi numerik dari metode beda hingga skema
upwind model arus lalu lintas jalan satu jalur.
𝑛 + 1
𝑛
𝑛 − 1
𝑗 − 1 𝑗 𝑗 + 1
Gambar 3. 2 Grid Komputasi Skema Upwind
Kasus 1
Pada kasus ini dipilih nilai awal,
𝜌 𝑥, 0 = sin 𝜋𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 10,
dan syarat batas
𝜌 0, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0,
𝜌 1, 𝑡 = 0 𝑡 > 0.
Page 12
Kasus 2
Pada kasus ini dipilih nilai awal,
𝜌 𝑥, 0 = sin 𝜋
5𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 10,
dan syarat batas
𝜌 0, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0,
𝜌 1, 𝑡 = 0 𝑡 > 0.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
rho(
t,x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
rho(t
,x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
xrh
o(t
,x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
rho(
t,x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
rho(t
,x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
rho(t
,x)
Page 13
KESIMPULAN
Perbedaan kepadatan dari masalah arus lalu lintas jalan satu jalur skema lax-friedrichs dan
skema upwind dipengaruh oleh nilai awal. Semakin kecil frekuensi dari nilai awal maka
perbedaan kepadatan dari kedua skema juga akan semakin kecil dan semakin terlihat bahwa
kedua skema memiliki kecenderungan solusi yang hampir sama. Jika kecepatan maksimum
kendaraan diperbesar maka pergerakan kepadatan kendaraan akan semakin cepat dan
semakin lama waktu pengamatan maka kepadatan kendaraan kedua skema akan menuju nol.
Page 14
DAFTAR PUSTAKA
Alkhazraji, Abdul Salam A. “Traffic Flow Problem with Differential Equation.” AL-Fatih
Journal No 35, 2008: 38-45.
Anderson, John D. Computational Fluid Dynamics The Basiic and Applications First
Edition. New York: McGraw-Hill, 1995.
Bachrun, Rezki Setiawan. Solusi Numerik Persamaan Gelombang Dua Dimensi
Menggunakan Metode Alternating Direction Implicit dan Central Time Central
Implicit. Makassar: Jurusan Matematika FMIPA Unhas, 2015.
Canale, S.C. Chapra dan R. P. Numerical Methods for Engineers Sixth Edition. New York:
McGraw-Hill Companies, Inc, 2010.
Doboszczak, Stefan, dan Virginia Forstall. Mathematical Modeling by Differential Equation.
USA: University of Maryland, 2013.
Haberman, Richard. Mathematical Models "Mechanical Vibration, Population Dynamics,
dan Traffic Flow". Texas: siam (Society for Industrial and Applied Mathematics
Philadelphia), 1998.
Hasan Mahmudul, Shirin Sultana, Sazzad Laek Andallah, Azam Tauhedul. “Lax-Friedrichs
Scheme for the Numerical Simulation of A Traffic Flow Model Based On A
Nonlinear Velocity Density Relation.” American Journal of Computational
Mathematics, 2015: 186-194.
Hoffman, Klauss A, dan Steve T Chiang. Computational Fluid Dynamics Volume II. USA:
Engineering Education System, 2000.
Kabir M.H, Gani M.O., Andallah L.S. “Numerical Simulation of A Mathematical Traffic
Flow Model Based On A Nonlinear Velocity-Density Function.” Journal of
Bangladesh Academy of Sciences, Vol. 34, No. 1, 2010: 15-22.
LeVeque, Randal.J. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential
Equation. United Kingdom: SIAM (Society for Industrial and Applied
Mathematics), 2007.
Mingham, Professor D.M.Causon & Professor C.G. Introductory Finite Difference Methods
for PDEs. United Kingdom: Ventus Publishing ApS, 2010.
Page 15
Noye, John. Computational Techniques for Differential Equation. Australia: Faculty of
Mathematical Sciences The University of Adelaide, 1983.
Puzi, Nurassikin binti Sahain & Dr. Shazirawati binti Mohd. “A Numerical Solution of
Traffic Flow Problem for One Lane Roadway.” Prosiding PSM, 2014: 46-53.
Qingling Li, Zhong Chen, Ulrich Flechtner, and Hans-Warnecke Joachim. “Heat Transfer
and Pessure Drop Characteristics In Reactangular Channels with Elliptic Pin Fins.”
International Journal of Heat and Fluid Flow, 1998: Volume 19, 245-250.
Ribal, Agustinus. Modul Kuliah Metode Beda Hingga. Makassar: Jurusan Matematika
FMIPA Unhas, 2008.
Salih, A. Method of Characteristics. Thiruvananthapuram: Indian Institute of Space and
Technology, 2016.
Smith, G D. Numerical Solution of Partial Differential Equation : Finite Difference Method.
United Kingdom: Clarendon Press Oxford, 1985.
Sohrweide, P. E. T. A., B. P. T. O. E. Buck, dan P. E. R. Wronski. “Arterial Street Traffic
Calming with Three-Lane Roads.” 2001.
Widowati, Sutimin. Buku Ajar Pemodelan Matematika. Semarang: Universitas Diponegoro,
2007.