Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks Teknik Riset Operasi- GRR Page 14 a 11 a 12 …. a 1n a 21 .. a 22 .. …. a 2n .. .. .. .. am1 am2 …. amn BAB III SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS A. Metode Simpleks Metode simpleks yang sudah kita pelajari, menunjukkan bahwa setiap perpindahan tabel baru selalu membawa semua elemen yang terdapat dalam tabel. Dalam metode simpleks yang diperbaiki, setiap perpindahan tabel baru tidak semua elemen diperlukan. Informasi yang sangat diperlukan untuk berpindah dari satu tabel ke tabel berikutnya adalah : (1) Nilai pada baris Z j – C j . (2) Kolom kunci (variabel yang akan masuk basis). (3) Variabel basis. (4) Nilai konstanta ruas kanan (b i ) yang berkorespondensi dengan variabel basis. Selain keempat informasi tersebut, sebenarnya yang lain tidak diperlukan (tidak memiliki peran) dalam proses perpindahan tabel simpleks. Jika persoalan linier program cukup besar, hal ini akan menjadi tidak efisien jika membawa semua elemen ke dalam tabel berikutnya. Cara yang lebih efisien yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan seperti diatas adalah dengan metode simpleks yang diperbaiki atau simpleks multiplier. Matriks dari bentuk standar linier program adalah sebagai berikut : Maksimum Z = c x dk Ax x = ≥ bi 0 di mana, A = (m x m) b1 x1 b 2 x = x 2 bi = (m x 1) .. (n x 1) .. .. .. b i x n dan, c = (1 x n) [ c 1 , c 2 , …….c n ]
20
Embed
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleksgalihrakacita.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks Teknik Riset Operasi- GRR Page 18 8 1 8 Sehingga
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Teknik Riset Operasi- GRR Page 14
a11 a12 …. a1n
a21
..
a22
..
…. a2n
..
.. .. ..
am1 am2 …. amn
BAB III
SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS
A. Metode Simpleks
Metode simpleks yang sudah kita pelajari, menunjukkan bahwa setiap perpindahan
tabel baru selalu membawa semua elemen yang terdapat dalam tabel. Dalam metode
simpleks yang diperbaiki, setiap perpindahan tabel baru tidak semua elemen
diperlukan. Informasi yang sangat diperlukan untuk berpindah dari satu tabel ke tabel
berikutnya adalah :
(1) Nilai pada baris Zj – Cj. (2) Kolom kunci (variabel yang akan masuk basis). (3) Variabel basis.
(4) Nilai konstanta ruas kanan (bi) yang berkorespondensi dengan variabel basis.
Selain keempat informasi tersebut, sebenarnya yang lain tidak diperlukan (tidak
memiliki peran) dalam proses perpindahan tabel simpleks. Jika persoalan linier
program cukup besar, hal ini akan menjadi tidak efisien jika membawa semua elemen
ke dalam tabel berikutnya.
Cara yang lebih efisien yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan seperti
diatas adalah dengan metode simpleks yang diperbaiki atau simpleks multiplier.
Matriks dari bentuk standar linier program adalah sebagai berikut :
Maksimum Z = cx
dk Ax
x
=
≥
bi
0
di mana,
A = (m x m)
b1 x1
b2 x = x2
bi = (m x 1)
.. (n x 1) ..
.. ..
bi xn
dan, c =
(1 x n)
[ c1, c2, …….cn]
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Teknik Riset Operasi- GRR Page 15
a11 a12 …. a1m
a21 a22 …. a2m
.. .. ..
.. .. ..
am1 am2 …. amm
..
Misalkan kolom yang berkorespondensi dengan matriks (A) dinyatakan dengan : Y1,
Y2, …, Yn, di mana,
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
Y1 = (m x 1) .. ;
..
Y2 = (m x 1) .. ;
..
Y3 = (m x 1)
..
am1 am2 amn
Misalkan kita memiliki variabel basis x1, x2, …, xm, maka matriks basisnya adalah :
B = Y1, Y2, …Ym = (m x n)
B invers = B-1
B11 B12 …. B1m
B21 B22 …. B2m
.. .. ..
.. .. ..
Bm1 Bm2 …. Bmm
Misalkan vektor (B) dipecah
menjadi
B = B1
(n x 1)
BN
di mana B1 berkorespondensi dengan variabel basis, dan BN merupakan variabel nonbasis, maka :
b1 xm+1
b2 xm+2
B1 = (m x 1)
.. dan
..
BN = (n - mx1) ..
..
bm xm+n
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Teknik Riset Operasi- GRR Page 16
B11b1 + B12b2 + …. + B1mbm
B21b1 + B22b2 + …. + B2mbm
.. .. ..
.. .. ..
Bm1b1 + Bm2b2 + …. + Bmmbm
bi
dengan demikian solusi basis optimum adalah :
BI = B-1
=
Misalkan CB merupakan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis, maka fungsi tujuan
dari variabel basis adalah :
Z = Cx = CB BI = c1b1 + c2b2 + … + cmbm
Untuk menguji apakah solusi telah optimum, perlu dihitung simpleks multiplier (π) =
CBB-1
. Koefisien fungsi tujuan yang baru = ĉj = πYi – cj.
Oleh karena fungsi tujuan berbentuk maksimum, maka solusi optimum akan dicapai
apabila ĉj ≥ 0.
Jika solusi belum optimum, maka pilih salah satu nilai ĉj yang memiliki negatif
terbesar, sebagai variabel masuk basis. Sedangkan variabel yang akan keluar basis
perlu ditentukan kolom pivot dengan menggunakan rumus berikut :
Yjn = B-1
Yjn =
â1n
â2n
..
..
âmn
Setelah itu uji perbandingan minimum untuk menentukan variabel yang akan
keluar basis dengan rumus :
b2 b2
= Minimum , untuk , i = 1,2, …, m.
â2n â2n
Proses ini diulangi sampai solusi optimum tercapai.
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Teknik Riset Operasi- GRR Page 17
Contoh 1 :
Penyelesaian LP dengan Rivised Simpleks, pada prinsipnya sama dengan metode
simpleks terdahulu. Akan tetapi kita hanya menghitung informasi yang penting
saja pada setiap perpindahan tabel baru.
Maksimum Z = 40X1 + 25X2 + 0S1 + 0S2
Dk. [1] 3X1 + 2X2 + S1 =
150 [2]
[3]
8X1 + 2X2 + S2 =
200
X1, X2, S1, S2 ≥ 0 Untuk melihat hasil perhitungan dengan Rivised Simpleks, terlebih dahulu kita akan
selesaikan dengan metode simpleks biasa, sebagai perbandingan.
CB
Basis Cj
bi
40 25 0 0
Indeks X1 X2 S1 S2
0 S1 150 3 2 1 0 150:3=50
0 S2 200 8 2 0 1 200:8=25
Zj-Cj 0 -40 -25 0 0
CB
Basis Cj
bi
40 25 0 0
Indeks X1 X2 S1 S2
0 S1 75 0 5/4 1 -3/8 75:1,25=60
40 X1 25 1 ¼ 0 1/8 25:0,25=100
Zj-Cj 1000 0 -15 0 5
CB
Basis Cj
bi
40 25 0 0
Indeks X1 X2 S1 S2
25 X2 60 0 1 0,8 -0,3
40 X1 10 1 0 -0,2 0,2
Zj-Cj 1900 0 0 12 0,5
Solusi optimum permasalahan diatas adalah X1 = 10, X2 = 60 dengan nilai Z = 1.900.
Dalam rivised simpleks, tidak semua angka yang terdapat dalam tabel diatas kita
perlukan. Jika, kolom X1, X2, S1 dan S2 kita kita sebut Y1, Y2, Y3 dan Y4. Konstanta
nilai kanan kita sebut bi, dan koefisien fungsi tujuan kita sebut C1, C2, C3, dan C4,
maka angka-angka tersebut dapat dibuat sebagai berikut :
Y1 =
3 , Y2 =
8
2 , Y3 =
2
1 0 , Y4 = .
0 1
bi =
150
200
; C1 = [40], C2 = [25], C3 = [0], C4 = [0].
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Teknik Riset Operasi- GRR Page 18
8
1
8
Sehingga tabel awal metode rivesed simpleks adalah :
basis B-1
bi
S1 1 0 150
S2 0 1 200
Dalam tabel 1 variabel basis adalah S1 dan S2 dengan koefisien fungsi tujuan C3
dan C4. Simpleks multiplier = π = CBB-1, dimana CB = [C3,C4] = [0,0].
1 Simpleks multiplier = π = [0,0]
0
0 = [0,0]
1
C1 = π Y1 – C1 = [0,0] 3
- 40 = - 40. 8
C2 = π Y2 – C2 = [0,0] 2
- 25 = - 25. 2
Oleh karena C1 memiliki angka negatif terbesar, maka X1 masuk basis (menjadi
kolom kunci). Untuk menentukan variabel yang akan keluar basis (baris kunci)
adalah memilih angka terkecil dari (aturan perbandingan minimum) bi : Y1.
bi Y1
Minimum =
150 3 50 : =
200 8 25
S1
S2 Keluar basis
Pada tabel berikutnya, variabel basis menjadi S1 dan X1, oleh karena itu matriks basis
berubah menjadi :
1 3 B = [Y3,Y1] =
0 8
Invers matriks basisnya adalah :
B-1
=
1x8
1 8 3 1 3 8
= 0x3 0 1 0 1
Berdasarkan teori matriks, setiap nilai pada tabel berikutnya dapat diperoleh
dengan mengalikan kolom persamaan asal dengan invers matriks basisnya.
bi = B-1
bi = 0
3 8 150 75 S1
= 1 200 25 X 1
Perhitungan diatas menghasilkan tabel kedua simpleks yang diperbaiki berikut :