www.cientificotecnologico.esy.es SOLUCIONES PROBLEMAS ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN Calcula área y volumen de: a) Prisma cuadrangular de altura 6 cm y lado de la base 3 cm Primero calculamos el área de la base, que al ser un cuadrado es: = ∙ = 3 ∙ 3 = 9 2 Después calculamos el área de un rectángulo lateral del prisma, que al ser un rectángulo se obtiene multiplicando sus dos lados, que son uno la altura del prisma y otro el lado de la base: á_ = 6 ∙ 3 = 18 2 Para calcular el área total, sumamos el área de la base dos veces (pues la figura tiene dos bases iguales), y cuatro veces el área de un rectángulo lateral, pues las caras laterales son cuatro y son todas idénticas: = 9 + 9 + 18 + 18 + 18 + 18 = Para calcular el volumen de un prisma, multiplicamos el área de su base por la altura del prisma: = ∙ ℎ = 9 ∙ 6 =
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SOLUCIONES PROBLEMAS ÁREAS Y … · 2019-11-30 · SOLUCIONES PROBLEMAS ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN Calcula área y volumen de: a) Prisma cuadrangular
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SOLUCIONES PROBLEMAS ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Calcula área y volumen de:
a) Prisma cuadrangular de altura 6 cm y lado de la base 3 cm
Primero calculamos el área de la base, que al ser un cuadrado es:
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝐿 ∙ 𝐿 = 3 ∙ 3 = 9 𝑐𝑚2
Después calculamos el área de un rectángulo lateral del prisma, que al ser un
rectángulo se obtiene multiplicando sus dos lados, que son uno la altura del prisma
y otro el lado de la base:
𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 6 ∙ 3 = 18 𝑐𝑚2
Para calcular el área total, sumamos el área de la base dos veces (pues la figura tiene
dos bases iguales), y cuatro veces el área de un rectángulo lateral, pues las caras
laterales son cuatro y son todas idénticas:
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 9 + 9 + 18 + 18 + 18 + 18 = 𝟗𝟎 𝒄𝒎𝟐
Para calcular el volumen de un prisma, multiplicamos el área de su base por la altura
del prisma:
𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ = 9 ∙ 6 = 𝟓𝟒 𝒄𝒎𝟑
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b) Prisma rectangular de altura 5 cm y lados de la base 2 y 3 cm
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙_1 𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙_2
Como hay tres tipos de rectángulos en la figura (base, rectángulo lateral 1 y
rectángulo lateral 2), calculamos las áreas de estos rectángulos:
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2 ∙ 3 = 6 𝑐𝑚2
𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙_1 = 2 ∙ 5 = 10 𝑐𝑚2
𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙_2 = 3 ∙ 5 = 15 𝑐𝑚2
Para calcular el área total, como esos rectángulos están repetidos dos veces,
sumamos sus áreas dos veces:
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6 + 6 + 10 + 10 + 15 + 15 = 𝟔𝟐 𝒄𝒎𝟐
Para calcular el volumen de un prisma, multiplicamos el área de su base por la altura
del prisma:
𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ = 6 ∙ 5 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎𝟑
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c) Prisma triangular cuya base es un triángulo isósceles en el que los lados iguales
miden 4 cm y el otro 3 cm, sabiendo que su altura es 7cm
4 4
4 3 4 En este caso, habrá que sumar para calcular el área
total dos veces el área de la base, que es un triángulo
7 isósceles, dos veces un rectángulo que tendrá por
lados la altura del prisma y el lado de 4 cm, y otro
rectángulo que tendrá como lados la altura del prisma
y el lado desigual del triángulo (3cm)
Como la base es un triángulo isósceles, debemos calcular la altura h de ese triángulo,
mediante el teorema de Pitágoras. Si partimos el triángulo en dos, obtenemos un
triángulo rectángulo donde los catetos son la altura del triángulo, que es el dato que
buscamos, y la mitad del lado desigual (3:2 = 1’5 cm). La hipotenusa sería uno de los
dos lados iguales (4cm). Por tanto, aplicando el teorema de Pitágoras queda que:
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜12 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜22
42 = ℎ2 + (1′5)2
16 = ℎ2 + 2′25
16 − 2′25 = ℎ2
13′75 = ℎ2
ℎ = √13′25 = 3′64 𝑐𝑚
Ahora que tenemos la altura del triángulo, podemos calcular el área de la base
usando la fórmula del área del triángulo, cogiendo como base el lado desigual (3cm)
y la altura que acabamos de calcular:
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 =𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2=
3 ∙ 3′64
2= 5′46 𝑐𝑚2
Calculamos ahora el área de los dos rectángulos de la superficie lateral que son
iguales, que son los que quedan debajo de los lados iguales del triángulo (4 cm):
𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙_1 = 4 ∙ 7 = 28 𝑐𝑚2
Calculamos ahora el área del otro rectángulo de la superficie lateral, que es el que
queda debajo del lado desigual del triángulo (3 cm):
𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙_1 = 3 ∙ 7 = 21 𝑐𝑚2
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Calculamos ahora el área total, sumando dos veces el área de la base, dos veces la
del rectángulo que queda por debajo de los dos lados iguales, y una vez la del
rectángulo que queda por debajo del lado desigual:
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5′46 + 5′46 + 28 + 28 + 21 = 𝟖𝟕′𝟗𝟐 𝒄𝒎𝟐
Para calcular el volumen de un prisma, multiplicamos el área de su base por la altura
del prisma:
𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ = 5′46 ∙ 7 = 𝟑𝟖′𝟐𝟐 𝒄𝒎𝟑
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d) Prisma triangular cuya base es un triángulo equilátero cuyos lados miden 2 cm,
sabiendo que su altura es 8 cm
2 2
2 2 2 En este caso, habrá que sumar para calcular el área
total dos veces el área de la base, que es un triángulo
8 equilatero, y tres veces un rectángulo que tendrá por
lados la altura del prisma y el lado del triángulo
Como la base es un triángulo equilatero, debemos calcular la altura h de ese
triángulo, mediante el teorema de Pitágoras. Si partimos el triángulo en dos,
obtenemos un triángulo rectángulo donde los catetos son la altura del triángulo,
que es el dato que buscamos, y la mitad de uno de los lados, que es la base (2:2 = 1
cm). La hipotenusa sería otro lado (2 cm). Por tanto, aplicando el teorema de
Pitágoras queda que:
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜12 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜22
22 = ℎ2 + 12
4 = ℎ2 + 1
4 − 1 = ℎ2
3 = ℎ2
ℎ = √3 = 1′73 𝑐𝑚
Ahora que tenemos la altura del triángulo, podemos calcular el área de la base
usando la fórmula del área del triángulo, cogiendo como base un lado (2 cm) y la
altura que acabamos de calcular:
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 =𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2=
2 ∙ 1′73
2= 1′73 𝑐𝑚2
Calculamos ahora el área de los tres rectángulos de la superficie lateral que son
iguales, multiplicando la altura del prisma por el lado de la base:
𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 8 ∙ 2 = 16 𝑐𝑚2
Calculamos ahora el área total, sumando dos veces el área de la base, y tres veces
la del rectángulo:
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1′73 + 1′73 + 16 + 16 + 16 = 𝟓𝟏′𝟒𝟔 𝒄𝒎𝟐
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Para calcular el volumen de un prisma, multiplicamos el área de su base por la altura
del prisma:
𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ = 1′73 ∙ 8 = 𝟏𝟑′𝟖𝟒 𝒄𝒎𝟑
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e) Prisma hexagonal cuyo lado mide 4 cm y de altura 10 cm
En un prisma hexagonal, tenemos dos bases que son hexágonos
y seis caras laterales que son rectángulos cuyas medidas
coinciden con el lado del hexágono y la altura del prisma.
Para calcular el área del hexágono, debemos calcular la apotema.
Y en este tipo de polígono, el hexágono, la distancia desde uno
de sus vértices hasta el centro del hexágono coincide con la
longitud del lado. Por tanto, esa distancia, junto con la apotema
del hexágono y la mitad del lado forman un triángulo rectángulo,
por lo que es posible calcular la apotema aplicando el teorema
de Pitágoras:
𝑙𝑎𝑑𝑜2 = 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎2 + (𝑙𝑎𝑑𝑜
2)
2
42 = 𝑎𝑝2 + (4
2)
2
42 = 𝑎𝑝2 + 22
16 = 𝑎𝑝2 + 4
16 − 4 = 𝑎𝑝2
12 = 𝑎𝑝2 → 𝑎𝑝 = √12 = 3′46
Ahora calculamos el área del hexágono, con la apotema calculada y sabiendo que
el perímetro se calcula sumando sus seis lados (es decir, será 4+4+4+4+4+4 =24):
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ∙ 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
2=
24 ∙ 3′46
2= 41′56 𝑐𝑚2
El área de los rectángulos es:
𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 4 ∙ 10 = 40 𝑐𝑚2
Calculamos el área total sumando dos veces el área de la base y seis la de los