Soluciones a la Autoevaluación 3 Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas PÁGINA 79 ¿Identificas distintos tipos de ecuaciones y las resuelves con soltura? 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) √x + 1 – x = x – 7 4 b) 1 x – x + 1 x – 1 + 5 2 = 0 a) √x + 1 = x – 7 4 + x 8 4 √x + 1 = 5x – 7 Elevamos al cuadrado ambos miembros: 16(x + 1) = 25x 2 – 70x + 49 8 25x 2 – 86x + 33 = 0 x = 86 ± √7 396 – 3 300 50 = 86 ± 64 50 = 3 11/25 Comprobación: x = 3 8 2 = –1 + 3 8 válida x = 11 25 8 √36/25 ? –164 100 + 11 25 = – 120 100 8 no válida Solución: x = 3 b) 2(x – 1) – 2x(x + 1) + 5x (x – 1) = 0 8 8 2x – 2 – 2x 2 – 2x + 5x 2 – 5x = 0 8 3x 2 – 5x – 2 = 0 x = 5 ± √25 + 24 6 = 5 ± 7 6 = 2 –1/3 Las dos soluciones son válidas. Soluciones: x 1 = 2, x 2 = – 1 3 ¿Resuelves sistemas lineales y no lineales con eficacia? 2 Resuelve: a) ° ¢ £ √x = 4 – y y 2 = 4 + x b) ° ¢ £ xy = 15 4x 2 – y 2 = 11 a) √x = 4 – y y 2 = 4 + x ° ¢ £ x = 16 + y 2 – 8y y 2 = 4 + 16 + y 2 – 8y 8 8y = 20 8 y = 5/2 x = 16 + 25 4 – 20 = 9 4 Comprobación: √ 9 4 = 4 – 5 2 8 3 2 = 3 2 5 2 2 2 = 4 + 9 4 8 25 4 = 25 4 b) xy = 15 4x 2 – y 2 = 11 ° ¢ £ y = 15 x 4x 2 – 225 x 2 = 11 8 4x 4 – 225 – 11x 2 = 0 Pág. 1
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Soluciones a la AutoevaluaciónSoluciones a la Autoevaluación3
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
PÁGINA 79¿Identificas distintos tipos de ecuaciones y las resuelves con soltura?
¿Resuelves sistemas lineales y no lineales con eficacia?
2 Resuelve:
a) °¢£√x = 4 – yy 2 = 4 + x
b) °¢£
xy = 154x 2 – y 2 = 11
a) √x = 4 – yy 2 = 4 + x
°¢£ x = 16 + y 2 – 8yy 2 = 4 + 16 + y 2 – 8y 8 8y = 20 8 y = 5/2
x = 16 + 254
– 20 = 94
Comprobación: √94
= 4 – 52
8 32
= 32
52
22 = 4 + 94
8 254
= 254
b) xy = 154x 2 – y 2 = 11
°¢£ y = 15
x
4x2 – 225x 2
= 11 8 4x4 – 225 – 11x2 = 0
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Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Cambio: x2 = z
4z2 – 11z – 225 = 0 8 z = 11 ± √121 + 3 6008
= 11 ± 618
= 9–25/4 No vale.
z = 9 8 x = ±3 8 y = ±5Soluciones: x1 = 3, y1 = 5; x2 = –3, y2 = –5
¿Sabes resolver inecuaciones de primer y segundo grado?
3 Resuelve:
a) 3x 2 – 5x – 2 Ì 0 b) °¢£
2x – 3 < 44 – x Ó –1
a) 3x2 – 5x – 2 Ì 0
3x2 – 5x – 2 = 0 8 x = 5 ± √25 + 246
= 5 ± 76
= 2–1/3
–1 / 3 2
No NoSí Soluciones: [– 1
3, 2]; – 1
3 Ì x Ì 2
b) °¢£
2x – 3 < 4 8 2x < 7 8 x < 7/24 – x Ó –1 8 –x Ó –5 8 x Ì 5
7/2 5
Soluciones: (–@, 72 )
¿Ha aumentado tu capacidad de plantear y resolver problemas de enunciado?
4 Un inversor compra dos cuadros por 2 650 €. Al cabo de dos años, los vende por 3 124 € ganando en uno de ellos un 20% y en el otro un 15%. ¿Cuánto le costó cada cuadro?
El valor de los cuadros es de 1 530 € y de 1 120 €.
5 Halla las dimensiones de un jardín rectangular cuyo perímetro es de 60 m, y su área, de 221 m2.
2x + 2y = 60xy = 221
°¢£ x + y = 30 8 x = 30 – y(30 – y)y = 221 8 30y – y2 – 221 = 0
x
y
y2 – 30y + 221 = 0 8 y = 30 ± √900 – 8842
= 30 ± 42
= 1713
Si y = 17 8 x = 13Si y = 13 8 x = 17
Las dimensiones del jardín son 13 m y 17 m.
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Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
¿Has aprendido a plantear y resolver problemas con inecuaciones?
6 En una clase hay 5 chicos más que chicas. Sabemos que en total son algo más de 20 alumnos, pero no llegan a 25. ¿Cuál puede ser la composición de la clase?
Chicas 8 x
Chicos 8 y
y = x + 520 < x + y < 25
°¢£ 20 < x + x + 5 < 25 8 20 < 2x + 5 < 25 8
8 15 < 2x < 20 8 152
< x < 10
Es decir, las chicas pueden ser 8 o 9.
Hay dos soluciones: 8 chicas y 13 chicos o 9 chicas y 14 chicos.
7 ¿Cuántos litros de vino de 5 €/l se deben mezclar con 20 l de otro de 3,5 €/l para que el precio de la mezcla sea inferior a 4 €/l?