SOLUCIONARIO PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMÁTICAS UNAB MA01-4M-2021 1. La alternativa correcta es D Como a y b son números reales positivos, 3 n ab es un número real. 2. La alternativa correcta es B Sea x: lado del triángulo equilátero e y = a + b; el lado del cuadrado, entonces se tiene que 3x = 4y + 2 4y+2 x= 3 4(a+b)+2 x= 3 3. La alternativa correcta es A 40 3 30 4 30 40 70 7 100 4 100 3 100 100 100 10 = 0,7 4. La alternativa correcta es E Si a = 3 23 , entonces a 3 = 2 3 ∙3 = 8∙3 =24 b = 3 3 3 , entonces b 3 = 3 3 3 3 27 9 3 ( 3) c = 3 12 , entonces c 3 = 12 d = 3 3 2 4 , entonces d 3 = 3 3 3 3 3 24 2 8 6 4 4 4 d < b < c < a
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SOLUCIONARIO
PRUEBA DE TRANSICIÓN
MATEMÁTICAS
UNAB MA01-4M-2021
1. La alternativa correcta es D
Como a y b son números reales positivos, 3 na b es un número real.
2. La alternativa correcta es B
Sea x: lado del triángulo equilátero e y = a + b; el lado del cuadrado, entonces se
tiene que
3x = 4y + 2
4y +2
x =3
4(a+b)+2x =
3
3. La alternativa correcta es A
40 3 30 4 30 40 70 7
100 4 100 3 100 100 100 10 = 0,7
4. La alternativa correcta es E
Si
a = 32 3 , entonces a3 = 23∙3 = 8∙3 =24
b =3
3
3, entonces b3 =
3
33
3 279
3( 3)
c = 3 12 , entonces c3 = 12
d = 33
24
, entonces d3 =
3
3 33 3 24
2 8 64 4 4
d < b < c < a
2
5. La alternativa correcta es B
Se tiene que
M = R
4 R =
3S
5
4M = R sustituyendo se tiene que 4M = 3
S5
de donde 20
M = S3
El 20% de S es 1 1 20 4 M
S = M=5 5 3 3
6. La alternativa correcta es B
El precio inicial de un artículo es x
La primera semana un 80% del valor de un artículo
La segunda semana un 70% del 80% del valor de un artículo, es decir
0,7 ∙ 0,8 x = 0,56 x, se debe pagar en consecuencia el 56% del valor
Descuento Real (100 - 56) % = 44%
7. La alternativa correcta es E
I) Verdadero ya que log a = 2, entonces 102 = a y como log c =3
entonces 103 =c, con lo cual a + c = 100 + 1.000 = 1.100
II) Verdadero ya que log(10ac) = log10 + log a + log c =
1 + 2 + 3 = 6 = log b
III) Verdadero ya que logab = log b 6
= = 3 = log clog a 2
8. La alternativa correcta es B
5 5 5 5
1 5 4
5
5 1 5 1 5: 5 2 5
2 2 5 52
9. La alternativa correcta es C
Si b = 2-a + a
I) Falso basta con que a = 0,1 y queda 2-0,1+0,1 0,1 0,01 .
II) Falso tomando el valor a = 0,1.
III) Verdadero ya que al ser a > 1, entonces siempre a2 > a, con lo cual la
Con lo cual una ecuación es: x2 - (2) x - 1 = 0, por lo tanto: x2 - 2x - 1 = 0
27. La alternativa correcta es C
Ya que la función que modela el peso P(B) = 200B + 500, 500 corresponde valor
fijo del peso es decir corresponde al peso de las 5 bolitas negras, por lo tanto,
cada bolita negra pesa 100 gramos, y por otro lado cada bolita blanca pesa 200
gramos. Entonces si se extraen 3 bolitas negras entonces el peso fijo sería 200
gramos, y como se colocan 3 blancas, el peso de las bolitas blancas total sería
600 gramos. Finalmente, la suma de ambas resulta 800 gramos.
9
28. La alternativa correcta es D
5 G=
x 4G
5 4Gx= =20
G
29. La alternativa correcta es C
3xy=
2x+1
2xy+y=3x
y=3x-2xy
y=x(3-2y)
-1y xx= f (x)=
3 2y 3 2x
30. La alternativa correcta es A
Si la función tiene un valor mínimo, entones la parábola se abre hacia arriba y por
lo tanto, siempre se cumplirá que a > 0.
31. La alternativa correcta es E
El volumen de un prisma de base hexagonal regular está dado por la siguiente
fórmula V A hbasal
. El área basal es igual a
2a 3
A =6basal 4
donde a es el
valor del lado del hexágono regular. Dado que V y h son conocidos, se encuentra
el valor del lado en función de dichas letras.
2a 3 2V 3
V =6 h a=4 9h
Y luego, el perímetro P de dicho hexágono regular es:
2V 3P =6hexágono 9h
10
32. La alternativa correcta es B
La función 2
f(x)=x -4x+7 se puede escribir como 2f(x) = (x 2) + 3 por lo
tanto el vértice es la coordenada (2,3).
Luego,
I) Falso. Dado que, se traslada 5 unidades hacia abajo, el nuevo
vértice es la coordenada (2,-2) y dicha coordenada se
encuentra en el cuarto cuadrante.
II) Verdadero. Dado que, se traslada 3 unidades hacia abajo, el nuevo
vértice es la coordenada (2,0), por lo que sí se encuentra
sobre el eje x.
III) Falso. Dado que, si se traslada 2 unidades hacia la izquierda en el
eje x, su nuevo vértice sería la coordenada (0,3) por lo que
se encontraría sobre el eje y.
33. La alternativa correcta es A
Para encontrar la función debemos reemplazar los ceros de la función como raíces
de la siguiente ecuación x2 – ( + )x + = 0, donde y son las raíces de la
ecuación, y luego vemos los cambios a realizar en la ecuación para lograr
encontrar la función.
2x - 2+5 x +2 5=0
2x -7x+10=0
Dado que la parábola es de concavidad negativa, y el punto de intersección al eje
y es el punto -20, entonces la ecuación se amplifica por -2, resultando la
siguiente ecuación:
2 2-2x +14x-20=0 f(x)=-2x +14x-20
34. La alternativa correcta es D
I) Verdadero. g(2) = 4(2 – 1)2 + 3 = 7
II) Falso. Dado que el 0 no pertenece al dominio de la función, no tiene
imagen.
III) Verdadero. El dominio de la función está acotado y corresponde a
Dom g = [1, +∞[ donde efectivamente la función es creciente.
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35. La alternativa correcta es C
(1) Insuficiente.
Dado que solo se tiene el par ordenado (3, 4) y para encontrar una función
lineal es preciso dos puntos.
(2) Insuficiente.
Dado que solo se tiene el par ordenado (5, 10) y para encontrar una función
lineal es preciso dos puntos.
Luego, al juntar la información (1) y (2) obtenemos dos pares ordenados de
manera en que podemos encontrar la pendiente y el punto de intersección al eje y.
36. La alternativa correcta es B
I) Falso. El resultado de la suma es distinto de cero, como se
representa a través del vector naranjo:
II) Verdadero. Tal como se observa en la figura anterior.
III) Falso. Si se pondera el vector C obteniéndose -3 C el resultado
será un vector con distinto módulo y sentido, pero con igual
dirección.
37. La alternativa correcta es A
De la traslación del punto P y del punto Q resulta: (2a,b)+(m,n)=(2a+m,b+n) es el punto P’.
(a,2b)+(m,n)=(a+m,2b+n) es el punto Q’.
Luego, realizar una rotación negativa en 90° respecto del origen es equivalente a
realizar una rotación positiva en 270° respecto del origen, por lo que se obtienen lo puntos P’’ (b+n,-2a-m) y Q’’ (2b+n,-a-m) . Y luego la resta de sus
coordenadas y: -2a-m-(-a-m)=-2a-m+a+m=-a
12
38. La alternativa correcta es B
Una rotación positiva respecto del punto (a, b) es equivalente a realizar una
rotación positiva respecto del origen si al punto (x, y) le restamos y luego le
sumamos el punto (a, b).
(x, y) – (a, b) = (x - a, y – b)
Ahora rotamos en sentido antihorario en 90° respecto del origen:
(x - a, y - b) → (b – y, x – a)
Ahora le sumamos el punto que se restó al inicio:
(b - y, x - a) + (a, b) = (b – y + a, x – a + b)
Y ahora sumamos las coordenadas x e y:
b – y + a + x - a +b = 2b + x – y
39. La alternativa correcta es D
Ya que los puntos A, B y C son colineales, se puede trazar la recta AB de modo en que se genera ΔAEC ΔBDCpor criterio ángulo – ángulo.
Si suponemos que DC=a , entonces:
DC EC a 3a= = AE=9a
3aBD AE AE
Luego, la razón AE
DCes:
AE 9a 9= =
a 1DC
A
B
C D E
13
40. La alternativa correcta es D
Se sabe que los triángulos ABC y DEC son semejantes en ese orden, por lo tanto
se puede establecer la relación entre sus lados como:
AB BC AC
DE EC DC
I) Falso. No se puede establecer si los puntos D, C y B son colineales,
solo se asegura el orden de la semejanza.
II) Verdadero. Al ordenar la relación entre los lados se tiene que
BC DEAB
EC
, y como AB 1 se segura que
BC DE1
EC
III) Verdadero. Por la semejanza establecida en el problema se tiene:
AB BC AC
DE EC DC , se tiene
DC
AC
DE
AB Al multiplicar cruzado se
tiene DE AC DC AB
41. La alternativa correcta es D
Usando el teorema de Thales
4x 1 x
15 5
4x 1 3x
x 1
Luego, al reemplazar en 4x 2 se tiene que es
2 cm.
42. La alternativa correcta es C
Al conocer que la pieza de mayor tamaño del mueble rectangular es 6 m2 y que el
lado menor es un divisor de 12, las únicas opciones es que las dimensiones sean:
Opción 1: Ancho 1 m y Largo 6 m
Opción 2: Ancho 2 m y Largo 3 m
Las razones de estas dos opciones son 1:6 y 2:3 respectivamente.
Dando como resultado solo la opción de 1,5 cm y 2,25 cm cuya razón es 2:3.
L1
L2
L3
x cm
15 cm
5 cm
4x 1cm
L4
L5
14
A
B
C
E
F
D
5
3
5
43. La alternativa correcta es C
2 2 3
ch ch m
1 1V r h r h 22,5 cm
3 3
2
ch m
1r (h h )
3 = 22,5
2
m m
1 3r h h
3 2
= 22,5
2 3
m
1 1r h 22,5 cm
3 2
2 3
m
1r h 2 22,5 cm
3
= 45 cm3
44. La alternativa correcta es C
Como la figura muestra al triángulo ABC, al cual se le
ha aplicado una homotecia de razón k y
obteniéndose el triángulo DEF, se puede deducir que
la razón de homotecia es -1.
Por otro lado, en cualquier homotecia los segmentos
homólogos son siempre paralelos, por lo que
BC //EF , AC //DE y AB //DE . Además, sus ángulos
correspondientes son de igual medida.
Con lo anterior lo único que no se puede deducir es
que AC > DE (son iguales)
45. La alternativa correcta es E
Se sabe solo que el cuadrado ABCD de la figura es homotético del cuadrado
EFGH, si se puede reconocer las diferencias de tamaño, pero la razón de
homotecia podría ser 2 o -2, por lo tanto al realizar el análisis de las opciones se
tiene que:
I) Verdadero. El perímetro del cuadrado ABCD es 16
y el perímetro del cuadrado EFGH es
8.
II) Verdadero. El área del cuadrado EFGH es 4 y el
área del cuadrado ABCD es 16.
III) Verdadero. La distancia desde el punto 3,3 al 1,1
es el doble de la distancia del punto
3,3 al 2,2.
chh
Manjar
Chocolate
mh
A
B
D
C
E
F
G
H
5
2
5
1
4
1
2
4
15
46. La alternativa correcta es E
Para responder a esta pregunta es necesario encontrar los perímetros de los
triángulos que se forman de las alternativas entregadas.
Recordar que la distancia entre dos puntos (x1, y1) e (x2, y2) es
2 2
2 1 2 1d x x y y , entonces
Perímetro del PQR: 5 3 5
Perímetro de SPT: 3 5 2 2
Perímetro de PSQ: 4 2 5
Con lo cual las I, II y III son correctas
47. La alternativa correcta es D
Como tenemos la ecuación ax b
ya b
con a 0, de la forma principal
(y = mx + n), la pendiente es el coeficiente que acompaña a x:
a b
y xa b a b
Quedando la pendiente m como a
a bcon b lR.
Al relacionar esa pendiente con las alternativas su equivalente es
1b
1a
.
48. La alternativa correcta es D
Se tiene que a y b son números reales positivos y la gráfica recta L que permite
conocer el signo de la pendiente, que en este caso es
negativa.
Para construir una ecuación de la recta de la forma
y = mx +n, es necesario encontrar la pendiente.
Cuando se conocen los puntos de intersección con sus
respectivos ejes coordenados la pendiente es:
b
ma
, con “a” la intersección con el eje x y “b” la
intersección con el eje y.
De esta manera al saber que la pendiente de la gráfica entregada es negativa y el
coeficiente de posición (intersección con eje y) es positivo, única opción dentro de
las alternativas es que la ecuación de la recta sea a
y x ab
.
L
x
y
.
Q
x 2
2
y
-3
P
R
S
-2
.
. -2
.
. T
16
49. La alternativa correcta es B
La recta entregada ax y b 0 tiene por pendiente 1
m a . La pendiente de la
recta perpendicular a la recta entregada tiene que cumplir que 1 2
m m 1 , de
esta manera la nueva pendiente 2
1m
a .
La nueva recta tiene que pasar por el punto (a, b) y tener pendiente 2
1m
a . Para
construir una ecuación de la recta con un punto y la pendiente se debe aplicar:
0 0y y m x x con (x0,y0) el punto conocido.
Entonces al reemplazar:
1
y b x aa
a y b x a
ay ab x a
0 x ay ab a
50. La alternativa correcta es D
La ecuación de la recta que se modela tiene como variable independiente “x” el
tiempo y como variable dependiente “y” la distancia recorrida.
Inicialmente el tiempo es 0 minutos y la distancia recorrida es 0 metros.
Después de un tiempo de 3 minutos ha recorrido 50 metros, por lo que la
pendiente de esta ecuación es 50
m3
.
Al construir la ecuación de la recta esta da 50
y x3
51. La alternativa correcta es B
(1) Insuficiente.
Si la intersección de L2 y L3 está en el eje x, el valor de a puede ser cualquier
número real formando muchos triángulos con distintos valores de sus perímetros.
(2) Suficiente.
Si la intersección de L1 y L3 está en el eje y, el valor de a = 0 y la coordenada de
intersección es (0,1). De esta manera se pueden conocer exactamente las
coordenadas de cada intersección y encontrar las distancias entre puntos para