solucionario español eisberg fisica

Dept. Física Fundamental, UNEDApartado de Correos 60.14128080 Madrid Tel: 91 398 7140

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

Departamento de Física Fundamental

Madrid, 14 de noviembre de 2002.

Estimado/a alumno/a:

Con esta carta le adjuntamos el material complementario de la Primera Prueba Personal de la asignaturade Física Cuántica (3º curso de Ciencias Físicas), opción A. Esta opción es la recomendada para los alumnos quese propongan cursar la especialidad de Física Industrial. Después de los exámenes de febrero recibirá otro envío,correspondiente a la Segunda Prueba Personal. Debe usted trabajar debidamente este material complementario, asícomo las propuestas de ejercicios y los ejercicios resueltos.

Además de la presente carta, el envío consta de:- Una pequeña guía de estudio, en la que se recalcan los puntos más importantes de los temas de esta parte de laasignatura. Se incluyen complementos que debe usted estudiar.- Una colección de problemas resueltos, algunos de ellos del texto-base (Física Cuántica, de Eisberg y Resnick,Editorial Limusa).- Un examen modelo, mezcla de varios propuestos en cursos anteriores, resuelto con bastante detalle para que ustedvea cómo debe explicar los pasos que realiza en un examen. Además, se le incluye la solución del examen de laprimera prueba personal de septiembre de 2000.- Una pequeña lista de términos habituales de Física Cuántica en inglés, junto con los términos utilizados en latraducción del texto-base y otras posibles alternativas a dichos términos que también se usan en español.- Una pequeña lista de términos que, en nuestra opinión, están mal traducidos en el texto. Tenga en cuenta esta listaal estudiar los temas, porque puede ayudarle a entenderlos mejor.

Quisiéramos comentarle una serie de puntos que nos parecen de interés para ayudarle a estudiar laasignatura.

MATERIAL DE ESTUDIOLos textos-base sirven para fijar los contenidos y el nivel del temario de la asignatura, pero no son los

únicos textos que usted puede y debe consultar en los casos de duda o en caso de necesitar ampliación de algúntema. Le recomendamos que utilice más de un libro para asegurar sus conocimientos, pues cada alumno sueleencontrar más útil un libro que todos los demás, incluyendo los recomendados en la guía del curso.

Para estudiar la Relatividad que usted necesita para el curso, una buena elección es el libro de Mecánicade la colección de Berkeley (texto-base de la asignatura Mecánica y Ondas de segundo curso). También puedeconsultar el nuevo libro de Alonso y Finn, en único volumen (Física, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995; eninglés tiene el título de Physics). Como mínimo, debe usted estudiar el apéndice A del libro de Eisberg y Resnickpara tener las nociones básicas de Relatividad que se van a utilizar en el curso.

En particular, además de los textos-base y de los textos mencionados en la Guía del curso, son librosrecomendables para trabajar con ellos durante el estudio de toda la asignatura:1.- Como libro de apoyo, cualquier buen libro de Física que incluya tanto temas de Relatividad como de FísicaCuántica. Este libro de consulta debe tenerlo siempre a mano para resolver dudas o puntos que no recuerda conprecisión. Un texto que incluye estos temas es el conocido libro de Alonso y Finn Física en tres volúmenes(Addison-Wesley Iberoamericana o Fondo Educativo Interamericano): la Relatividad está tratada en el primervolumen y la Física Cuántica en el tercero. Note que este último volumen es texto-base de la asignatura. Tambiénpuede utilizar como libro de consulta el nuevo texto de los mismos autores en único volumen (Alonso y Finn,Física, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995), aunque profundiza menos en los distintos temas.

2.- Para completar la discusión del texto-base, con un enfoque alternativo de la Física Cuántica y una buenacolección de problemas (no resueltos, pero muchos con la solución al final del libro), puede utilizarse el texto de

French y Taylor, Introducción a la Física Cuántica (Editorial Reverté) y quizás el libro de Wichmann Física

Cuántica (Curso de Física de Berkeley, vol. 4, editorial Reverté)En todo caso, antes de decidirse a comprar algún libro le recomendamos que lo consulte en alguna de las

bibliotecas de las que estén a su alcance.

Los libros de problemas resueltos pueden ser de ayuda para iniciarse en los temas, pero creemos que lacolección que le enviamos, junto con los ejemplos resueltos que están intercalados en los capítulos de los textos-base, es suficiente. Sin embargo, queremos resaltar la importancia que en nuestra opinión tiene la dedicación delalumno a la resolución personal de problemas no resueltos. Resolver problemas de manera independiente (perono estudiar solamente la solución) es la única manera de asegurarse que se dominan los conceptos y permite,además, prepararse adecuadamente para las pruebas presenciales.

Las soluciones que se envían (excepto la del examen modelo) son en general muy breves y poco detalladas;nuestro interés es recalcar la importancia de los principios físicos básicos, siendo usted el que debe desarrollar conmás cuidado cada uno de los pasos que se dan en dichos problemas.

EXÁMENES: INSTRUCCIONES PARA SU REALIZACIÓNComo es habitual en esta asignatura, los problemas de los exámenes serán de nivel similar a los de los

libros de texto. Como ya le hemos comentado, en los problemas que nosotros le enviamos se omiten a veces pasosintermedios, bien porque ya se han explicado en otros problemas o bien porque son suficientemente sencillos paraque el alumno pueda hacerlos por sí mismo. Evidentemente, estos pasos deberán detallarse en un examen. Debeusted resolver tanto los problemas que le enviamos como los que están propuestos en los libros de texto (incluyendolos ejemplos resueltos) sin la ayuda de la solución; posteriormente es cuando debe hacer la comprobación de queel resultado (que podría haber obtenido de modo distinto al que nosotros sugerimos) coincide con dicha solución.

Nuestra experiencia es que una gran parte de los alumnos apenas explican los razonamientos y pasos queexponen en sus exámenes, siendo en ocasiones imposible saber qué es lo que está haciendo el alumno. En unexamen se deben explicar las hipótesis y detallar todos los pasos que se realicen en cada problema o cuestión.Por eso, debe usted acostumbrarse a redactar cuidadosamente los problemas que resuelva en su casa (éstos que lemandamos u otros de los que encuentre usted propuestos en los libros de texto o en cualquier otro libro), puestoque cuando le corrijamos sus exámenes ese detalle es fundamental para poder calificarle adecuadamente.

Una parte de los exámenes de esta asignatura consiste en responder breve y razonadamente a algunascuestiones. No se trata, pues, de exponer todo lo que sabe sobre el tema, sino que debe responderse concretamentea lo que se pregunta. Además, debe usted tener en cuenta que la principal diferencia entre cuestiones y problemasreside fundamentalmente en que éstos requieren cálculos matemáticos más extensos, que el alumno debe realizar(y no sólo indicar), pero no hay diferencias esenciales en cuanto a los contenidos físicos.

Recuerde que, al ser su examen una comunicación directa con el profesor (que no le conoce), debe ustedexplicar los pasos lo más detalladamente posible, definiendo las variables que use y explicando la notación y lasfórmulas que utilice. No es suficiente poner la solución: si Vd. conociera la solución directa de algún apartado, debeexponerla y explicarla con claridad, detallando los pasos intermedios. Es muy importante que no sustituya losvalores numéricos hasta el final, después de haber obtenido una expresión algebraica; si se le pide algúncálculo numérico hágalo solamente en la expresión algebraica que haya obtenido finalmente (en este caso, debecomo mínimo estimar en órdenes de magnitud los resultados que se le pidan).

EXÁMENES: CALIFICACIÓNLe recordamos que, al ser las pruebas presenciales de febrero y junio independientes (y éstas respecto a

las de septiembre), no se podrá compensar la calificación de una de ellas con la otra.Los exámenes se califican globalmente y los errores graves cuentan de forma negativa en esa

calificación. Además, la nota de un examen se obtendrá del promedio de las calificaciones de la parte de lascuestiones y la parte de los problemas. En cualquier caso se requerirá una calificación mínima de 4 puntos (sobre10) en cualquiera de las dos partes de cada examen (así, un examen con calificaciones de 9 puntos en cuestionesy 3 puntos en problemas da lugar a un NO APTO en la prueba presencial).

EXÁMENES: FECHAS Y HORARIOS

Como está indicado en la Guía del Curso, en febrero los exámenes de las dos semanas corresponden a laprimera Prueba Presencial (primer parcial) mientras que los exámenes de las dos semanas de junio correspondena la segunda Prueba Presencial (segundo parcial). En junio, pues, no hay examen de la primera Prueba Personal.

En el mes de septiembre los exámenes de la asignatura son dos: el de las 9:00 corresponde a la primeraPrueba Presencial mientras que el examen de las 11:30 corresponde a la segunda Prueba Presencial. Usted deberárealizar el examen correspondiente a la(s) parte(s) que le quede(n) pendiente(s) de los exámenes de febrero y dejunio.

FORMA DE TRABAJO DURANTE EL CURSOComo ya le hemos comentado, nuestra experiencia nos demuestra que una gran parte de los alumnos

apenas explican los razonamientos y pasos que exponen en sus exámenes, siendo en ocasiones imposible saber quées lo que está haciendo el alumno y, como consecuencia, la calificación de dichos alumnos no puede ser positiva.Por esa razón, una de las mejores manera de enfocar la asignatura, esto es, de llevar adelante el trabajo durante elcurso, es que usted se haga una colección propia de problemas de los que no tenga la solución; los problemaspueden ser estos que le mandamos (sin que usted consulte la solución) u otros que encuentre usted propuestos enlos libros de texto o en cualquier otro libro. Los objetivos básicos de hacer esa colección de problemas son:- que usted se acostumbre a elegir aquellos problemas que son más relevantes, que no es lo mismo que resolverinfinidad de problemas triviales; intente resolverlos aunque le lleven mucho tiempo. - que usted se dé cuenta de sus fallos en la preparación de la asignatura, sus lagunas de conocimiento (de ésta uotra asignatura) y que sepa afrontar y resolver dichas dificultades.- que usted redacte finalmente la solución de los problemas con cuidado y claridad, haciendo hincapié en losconceptos importantes y explicando los pasos que lleva a cabo.Si usted es capaz de hacer esa colección, el trabajo realizado le será de suma utilidad para las pruebas presenciales.

Finalmente le agradeceríamos que nos comunique los errores y omisiones que encuentre en este envío, asícomo también cualquier otra sugerencia para mejorar su contenido o su presentación.

Reciba un cordial saludo del equipo docente:

El equipo docente de Física Cuántica (Tercer curso de CC. Físicas):Dra. Emilia Crespo del Arco. Teléfono: 91 398 71 23Dr. José E. Alvarellos Bermejo. Teléfono: 91 398 71 20Dr. Javier García Sanz. Teléfono: 91 398 71 25

- Dirección postal (para cualquier comunicación con los profesores):Nombre de un Profesor (póngalo para que la carta llegue más rápidamente)Departamento de Física Fundamental. Apartado de Correos 60.141. 28080 Madrid.

- Dirección de correo electrónico (ponga sus datos en el mensaje, indicando la asignatura y la opción)Dra. Emilia Crespo del Arco. [email protected]. José E. Alvarellos Bermejo. [email protected]. Javier García Sanz. [email protected]

EQUIVALENCIAS

Inglés Traducción Alternativasbinding energy energía de amarre energía de ligadura, energía de enlaceeigenfunction eigenfunción autofunción, función propiaeigenstate eigenestado autoestado, estado propioeigenvalue eigenvalor autovalor, valor propiolinear momentum impulso lineal cantidad de movimiento,

momento lineal, impulsoangular momentum impulso angular momento angular, momento cinéticotorque impulso rotativo par de fuerzas, torquestopping potential potencial de frenamiento potencial de frenadoground state estado base estado fundamentalrecoil speed rapidez de retroceso velocidad de retrocesocross section sección transversal sección eficaz (de dispersión)vacuum chamber cámara evacuada cámara de vacío

bremsstrahlung radiación de frenadovelocidad de onda velocidad de fase (p.e. en pág. 98)

expectation value valor de expectación valor medio, valor esperadospin spin espínphase space espacio fase espacio de fasesphase diagram diagrama fase diagrama de fases

arreglo experimental montaje experimentalarreglo (de átomos, electrones) distribución (de átomos, electrones)

transition rates razones de transición probabilidades o ritmo de transición(por unidad de tiempo)

overlapping traslape solapamiento, solaperazón de radiación potencia de radiación qué tan ... cuán ...fierro hierro

MALAS TRADUCCIONESAdemás de los términos que se han citado anteriormente, que pueden tener distintas versiones en español, el texto-base adolece de términoso expresiones mal traducidas. Como en algunas partes del libro aparecen estas malas traducciones y en otras no, nos queda la impresión deque han sido varios los traductores y que la labor del revisor científico de la traducción ha sido muy escasa. He aquí algunos ejemplos:

Traducción en el libro Traducción adecuadatremendo despreciable (al principio de la página 344)sugestivo sugerente (en múltiples páginas)en seguida ahora (ej. en página 97)definitiva(mente) (con) valor bien definido (ej. en página 99)impulso relativo impulso rotativo (par de fuerzas, torque) (en página 319)desconocida deslocalizada (ej. página 222)del al cuadrado nabla al cuadrado (ej. página 281)discretamente cuantizada cuantizada discretamente (ej. página 287)desvanecimiento (smearing off) desaparición (ej. página 223)deflectadas desviadas (ej. página 323)precederse preceder (ej. página. 332)torcas externas torques externos (ej. página 332)niveles menores de energía niveles de menor energía (ej. página 340)sección cortada sección eficaz (o transversal) (en página 72).

Además hay que estar atentos a las múltiples veces en que la tipografía parece indicar un uno (1) cuando se quiere indicar una ele (l).Finalmente, conviene hacer notar que en la página 341 se alterna, en el texto, la “P” mayúscula con la “p” minúscula en las fórmulas paradenotar el momento dipolar eléctrico.

EXTRACTO DE LA INFORMACIÓN SUMINISTRADA EN LA GUÍA DEL CURSO

Programa de la Opción A. El programa de esta opción es el siguiente, donde se indican los apartados de los libros de Eisberg y Resnick(texto-base del programa) y de Alonso y Finn (texto complementario) que corresponden a cada tema:

A) Primera Prueba Presencial

TEMA 1. Radiación térmica y postulado de Planck.Eisberg y Resnick: capítulo 1.Alonso y Finn: apartado 1.3

TEMA 2. Aspectos corpusculares de la radiación.Eisberg y Resnick: capítulo 2.Alonso y Finn: apartados 1.4 a 1.6.

TEMA 3. Aspectos ondulatorios de la materia.Eisberg y Resnick: apartados 3.1 y 3.2.Alonso y Finn: apartados 1.10 y 1.11.

TEMA 4. Principio de indeterminación.Eisberg y Resnick: apartados 3.3 a 3.6.Alonso y Finn: apartado 1.12.

TEMA 5. Modelos atómicos clásicos.Eisberg y Resnick: apartados 4.1 al 4.4.

TEMA 6. Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld.Eisberg y Resnick: apartados 4.5 al 4.12.Alonso y Finn: apartados 1.7 a 1.9

TEMA 7. Ecuación de Schrödinger; interpretación estadística de la función de ondas; estados cuánticos estacionarios.Eisberg y Resnick: capítulo 5.Alonso y Finn: apartados 2.2, 2.3, 2.7, 2.9, 2.10, 2.12.

TEMA 8. Problemas unidimensionales: estados de colisión Eisberg y Resnick: apartados 6.1 al 6.6.Alonso y Finn: apartados 2.4 y 2.8.

TEMA 9. Problemas unidimensionales: estados ligados; el oscilador armónico.Eisberg y Resnick: apartados 6.7, 6.8 y 6.9.Alonso y Finn: apartados 2.5 y 2.6.

B) Segunda Prueba Presencial

TEMA 10. Ecuación de Schrödinger para átomos hidrogenoides; propiedades de los niveles ligados.Eisberg y Resnick: apartados 7.1 al 7.7.Alonso y Finn: apartados 3.1, 3.2, 3.3 y 3.5.

TEMA 11. Momento angular orbital.Eisberg y Resnick: apartados 7.8 y 7.9.Alonso y Finn: apartado 3.4 y ejemplo 3.4.

TEMA 12. Momento magnético. Espín.Eisberg y Resnick: apartados 8.1 al 8.3 y 8.5.Alonso y Finn: apartados 3.6, 3.7

TEMA 13. Ritmos de transición y reglas de selección.Eisberg y Resnick: apartado 8.7.Alonso y Finn: apartado 2.11.

TEMA 14. Partículas idénticas. Principio de exclusión.Eisberg y Resnick: apartados 9.1, 9.2 y 9.3.Alonso y Finn: apartados 4.1 a 4.3.

TEMA 15. Moléculas. Espectros moleculares.

Alonso y Finn: apartados 5.1 a 5.4 y 5.7 a 5.9.Eisberg y Resnick: apartados 12.4 a 12.7.

TEMA 16. Estadísticas cuánticas.Eisberg y Resnick: apartados 11.1 a 11.11.Alonso y Finn: capítulo 13.

TEMA 17. Sólidos: conductores y semiconductores.Eisberg y Resnick: capítulo 13.Alonso y Finn: capítulo 6.

4. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

EISBERG, R. y RESNICK, R.: Física Cuántica (Ed. LIMUSA). Texto-base de este programa. El libro discute completamente todos lostemas del programa. Tiene buenos ejemplos resueltos (que el alumno debería estudiar con detalle) y muchos problemas al final de cadacapítulo.

ALONSO, M. y FINN, E. J.: Física, vol III: Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. (Ed. Fondo Educativo Interamericano). Este texto noes el texto-base, pero complementa al anterior: no discute todos los temas del programa de manera completa, pero puede ser de utilidad queel alumno consulte aquellos temas que se indican anteriormente, en el apartado 3. También contiene ejemplos con resolución, así comomuchos problemas al final de cada capítulo.

5. OTROS MATERIALES DIDÁCTICOS

A los alumnos que hayan enviado la ficha del Departamento de Física Fundamental se les hará llegar desde la Sede Centralinstrucciones para el estudio de los temas, material complementario (que el alumno también debe estudiar) y tanto propuestas de ejercicioscomo ejercicios resueltos.

5. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA.

Damos aquí una lista de libros con el espíritu de ayudar a aquellos alumnos que necesiten explicaciones alternativas a las del texto-base en algunos puntos del programa.

ALONSO, M. y FINN, E. J.: Física, vol III: Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. (Ed. Fondo Educativo Interamericano). Como ya hemoscomentado, este texto complementa al libro de Eisberg y Resnick, y sugerimos que el alumno consulte aquellos apartados que se indican enel apartado Contenidos de la asignatura. Tiene bastantes ejemplos con resolución detallada y muchos problemas al final de cada capítulo.

FRENCH, A. P. y TAYLOR, E.: Introducción a la Física Cuántica. (Ed. Reverté). Excelente introducción tanto al formalismo como a los conceptos fundamentales, a partir de la fenomenología de los sistemas con un númerofinito de estados. Tiene una buena colección de problemas al final de cada capítulo.

WICHMANN, E. H.: Física Cuántica. (Curso de Física de Berkeley, vol. IV) Ed. Reverté.Es el libro que se utiliza como texto-base en la opción B de la asignatura. Excelente discusión física de los principios de la Mecánica Cuántica.

SÁNCHEZ DEL RIO, C. (coordinador): Física Cuántica (2 vol.): (Ed. Paraninfo, Madrid).Es un libro colectivo, con varias secciones que cubren todo el espectro de la Física Cuántica a un nivel introductorio. Cada sección secompleta con una colección de problemas resueltos. Las secciones más interesantes para nuestro curso se encuentran en el volumen 1.

Libros de Problemas.

El alumno debe seguir la buena costumbre de resolver los problemas de los libros recomendados (muchos de los problemas, aunque no esténresueltos, tienen la solución al final de cada libro), especialmente de los libros de EISBERG, R. y RESNICK, R.: Física Cuántica (Ed.Limusa), de ALONSO, M. y FINN, E. J.: Física, vol III: Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. (Ed. Fondo Educativo Interamericano) yde FRENCH, A. P. y TAYLOR, E.: Introducción a la Física Cuántica. (Ed. Reverté). Por otra parte, en el material complementario quese enviará a los alumnos que hayan enviado su ficha, hay ejercicios resueltos (con problemas propuestos en exámenes de cursos anteriores).

Como libros de problemas resueltos, en castellano, se pueden citar dos.

R. FERNÁNDEZ ÁLVAREZ-ESTRADA y J.L. SÁNCHEZ GÓMEZ: 100 problemas de Física Cuántica. (Alianza Editorial, 1996)Es el único libro de problemas en castellano con problemas para todo el curso. Su nivel es intermedio entre las asignaturas de tercero y decuarto cursos.

R. GAUTREAU y W. SAVIN: Teoría y problemas de Física Moderna. Colección Schaum. (Ed. McGraw-Hill). Libro de problemas resueltos, recomendable para la primera parte del curso y, en general, para los problemas que no requieren el uso de la

teoría formal de la Mecánica Cuántica. Cada capítulo tiene una introducción teórica. La edición en castellano de este libro (hecha en México)

está agotada, pero se puede consultar en las bibliotecas. Los datos de la edición más reciente en inglés son: R. GAUTREAU y W. SAVINSchaum's Outline of Theory and Problems of Modern Physics (Ed. McGraw-Hill, 1996).

7. EVALUACIÓN

7.1 PrácticasEsta asignatura no tiene prácticas por el momento.

7.2 Pruebas presenciales

Las Pruebas Presenciales constarán de una parte teórica y una parte práctica. La parte teórica consistirá en responder de forma clara,concisa y razonada a una serie de cuestiones que apenas requerirán cálculos numéricos. La parte práctica consistirá en resolver problemasque serán de un nivel similar a los enunciados en el libro de texto-base y a los que figuren en la colección de problemas resueltos que seenviará a los alumnos como material complementario.

La nota del examen se obtendrá del promedio de las calificaciones de la parte de cuestiones y de la parte de problemas. En cualquiercaso, se requerirá una calificación mínima de 4 (sobre 10) en cualquiera de las dos partes de un examen. Las dos Pruebas Presenciales sonindependientes, por lo que la calificación de una no compensa la de la otra.

En las Pruebas Presenciales no se podrán utilizar ni libros ni ningún tipo de material auxiliar. Si para la resolución de algúnproblema se necesitara alguna fórmula o valor numérico que no sea evidente o fácil de recordar, dicho dato figurará en la hoja de enunciados.

8. CONSULTAS

Consulta telefónica o personal:

Miércoles de 16,00h. a 20,00h, excepto en las semanas de exámenes. Cuando un miércoles sea festivo, el horario de consulta pasa al siguiente día lectivo.

Dra. Emilia Crespo del Arco. Despacho 211-A. Teléfono: (91) 398 71 23Dr. José E. Alvarellos Bermejo. Despacho 206. Teléfono: (91) 398 71 20Dr. Javier García Sanz. Despacho 203. Teléfono: (91) 398 71 25

Los despachos están en el edificio de la Facultad de Ciencias de la UNED, calle Senda del Rey, nº 9 (Madrid).

Otras consultas (para cualquier comunicación con los profesores):

Dirección de correo ordinarioNombre de un Profesor (póngalo para que la carta llegue más rápidamente)Departamento de Física Fundamental.Apartado de Correos 60.14128080 Madrid.

Dirección de correo electrónico:

(recuerde poner sus datos en el mensaje, indicando la asignatura y la opción elegida por usted)

Dra. Emilia Crespo del Arco. [email protected]

Dr. José E. Alvarellos Bermejo. [email protected]

Dr. Javier García Sanz. [email protected]

Primera Prueba Personal: Teoría

En esta pequeña guía de estudio de la primera parte de la asignatura Física Cuántica del tercer curso deCiencias Físicas (opción A), le resaltamos los puntos que, a nuestro entender, son más importantes en cadatema. Al mismo tiempo, le presentamos algunos complementos de interés para comprender mejor la físicaque se discute en los textos. Quiere esto decir que este material es para añadir a los textos-base (Eisberg yResnick, Alonso y Finn vol. III) y no es para sustituir al texto.

Recibirá usted dos envíos, correspondientes a las dos Pruebas Personales.

El esquema de los contenidos del programa de la Primera Prueba Personal es como sigue:

• Resumen y estudio de algunos de los problemas que la Física de principios del siglo XX no era capazde resolver.

• Discusión de los aspectos corpusculares de la radiación (1905) y de la idea de los aspectos ondulatoriosde la materia (1924).

• Éxitos y dificultades de los distintos modelos atómicos que se fueron proponiendo desde 1910 a 1916.• Ecuación de Schrödinger (dependiente e independiente del tiempo) e interpretación de las funciones deonda.

• Solución de la ecuación de Schrödinger para sistemas unidimensionales sencillos.

La física de principios del siglo XX tenía planteados un conjunto de problemas no resueltos, que seconsideraban fundamentales, entre los que destacan:(1) El problema de la ley de radiación del cuerpo negro.(2) El problema de comprender el efecto fotoeléctrico.(3) El problema de cómo interpretar los espectros atómicos, así como de entender la estabilidad y tamaño

de los átomos.

El primer tema del curso trata de la radiación del cuerpo negro y de la introducción por Planck de lacuantización de la energía de los osciladores.

En el tema 2 se discute el problema del efecto fotoeléctrico, al que Einstein dio una solución cuantizandola energía de la radiación electromagnética. En los temas 3 y 4 se estudiará la manera de compatibilizar losaspectos corpusculares de la radiación y los aspectos ondulatorios de la materia.

El problema atómico se tratará en el tema 5, mientras que en el tema 6 se expondrán los modelos quepaliaron durante algún tiempo la falta de una explicación consistente de los fenómenos atómicos.

A partir del tema 7 se entra a discutir la formulación de la mecánica cuántica, así como su interpretacióny aplicación a distintos sistemas unidimensionales. Posteriormente, y ya en la segunda paret de la asignatura,se estudiarán sistemas tridimensionales.

1

1 Tema 1. Radiación térmica y postulado de Planck.

Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: capítulo 1.Alonso y Finn vol. III: apartado 1.3

El esquema de este tema es el siguiente:

• Resultados empíricos de la radiación térmica.Ley de Stefan (o de Stefan-Boltzmann): la radiancia de un cuerpo negro es proporcional a la cuarta

potencia de su temperatura absoluta T , esto es, proporcional a T 4.

Ley del desplazamiento de Wien: la frecuencia para la que ocurre el máximo de la radiancia espectrales proporcional a T .

• Teoría clásica de la cavidad radiante.Para una discusión de la distribución de Boltzmann, véase el apéndice C del libro de Eisberg y Resnick.

Ejemplo 1-3 del libro de Eisberg y Resnick: el resultado importante es que la densidad de estadosresulta ser proporcional a ω2 (o a ν2) en tres dimensiones.Esto está directamente relacionado con la dimensionalidad del sistema físico; para una discusiónquizás más esclarecedora véase la sección 3.1 del libro de Reif Física Estadística, volumen 5 delBerkeley Physics Course (Editorial Reverté), que es el texto-base de la asignatura de Termologíay Mecánica Estadística del tercer curso de CC. Físicas. Se pueden también consultar los ejemplos(2.3) y (2.4) del libro de Alonso y Finn (volumen III).Nota: esta relación entre la forma de la densidad de estados y la dimensionalidad del sistema lavolveremos a encontrar más adelante, en el tema 16 de la segunda Prueba Personal (EstadísticasCuánticas).

Relación de Rayleigh-Jeans para la densidad de energía: la densidad de energía emitida por un cuerponegro a una cierta frecuencia ν es proporcional a T y al cuadrado de la frecuencia

ρT (ν) ∝ ν2 T.

• Teoría de Planck de la cavidad radiante: La relación de Planck (1900) nos dice que la energíatotal de un oscilador1 tiene necesariamente la forma E = nhν, con n = 0, 1, . . .; por tanto, el osciladorsólo puede tomar o ceder energía en porciones de magnitud hν.

Posteriormente, después de las ideas de Einstein para el efecto fotoeléctrico (véase el tema 2), seinterpreta que las paredes de un cuerpo negro (que se suponen compuestas de electrones que oscilanalrededor de sus posiciones de equilibrio) emiten radiación electromagnética con múltiplos de dichaenergía.

Como resultado importante de este tema, debe usted recordar que el postulado de Planck nos permiteafirmar que la emisión de energía de un oscilador armónico viene dada por un múltiplo de hν.

• COMPLEMENT O Pequeña nota histórica sobre el descubrimiento de la constante dePlanck.

Algunas características generales de la radiación del cuerpo negro se conocían con bastante anterioridada la formulación de Planck. Por ejemplo, mediante razonamientos termodinámicos muy generalesaplicados a la radiación, W. Wien dedujo que la densidad de radiación del cuerpo negro debía tener laforma general2

ρT (ν) = ν3f³ νT

´1En el caso de la discusión del cuerpo negro, el oscilador es un oscilador cargado, ya que la partícula que oscila es un electrón.2La demostración puede encontrarse, por ejemplo, en Atomic Physics de Max Born (Dover Publications).

2

siendo f una función que depende de ν y de T solamente a través del cociente ν/T . A partir deesta expresión pueden demostrarse la ley de desplazamiento de Wien y la ley de Stefan-Boltzmann, yacomentadas.

Lo anterior es válido cualquiera que sea la función f (ν/T ) (lo único que cambia son las constantes deproporcionalidad). Para avanzar un poco más, Wien sugirió que la función f debía ser de la forma

f³ νT

´∝ exp

³−ανT

´⇒ ρT (ν) ∝ ν3 exp

³−ανT

´,

donde α es una constante.

Por su parte, lord Rayleigh, mediante un razonamiento basado en el principio de equipartición de lamecánica clásica, obtuvo una expresión completamente diferente, ya comentada antes:

ρT (ν) =8πν2

c3kT.

La fórmula de Wien y la de Rayleigh son claramente incompatibles. Además, ninguna de ellas ajustalos valores experimentales en todo el intervalo de frecuencias. La fórmula propuesta por Planck es

ρT (ν) =8πh

c3ν3

exp¡hνkT

¢− 1 ,de la que las fórmulas de Wien y de Rayleigh son casos límite.

3

2 Tema 2. Aspectos corpusculares de la radiación.

Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: capítulo 2.Alonso y Finn vol. III: apartados 1.4 a 1.6.

• Efecto fotoeléctrico (1905). La idea de Einstein fue admitir que la energía radiante está con-stituida por cuantos de magnitud hν; la radiación electromagnética está por tanto cuantizada enpulsos de energía electromagnética discretos, con su correspondiente cantidad de energía. Estos pulsosrecibieron posteriormente el nombre de fotones.

Note que una suposición importante que se hace en el tratamiento del efecto fotoeléctrico es que elcátodo absorbe completamente el fotón que llega a la superficie del metal. Además, para este estudiosólo se necesita conservar la energía.

Al unir la idea de Planck con la de Einstein encontramos que:

- la energía de las partículas que oscilan en las paredes del cuerpo negro (electrones que oscilan alrededorde sus posiciones de equilibrio, suponemos oscilaciones en una dimensión) es E = nhν y, por tanto,dichas partículas sólo puede absorber o ceder energía en cantidades proporcionales a hν.

- la energía de la radiación electromagnética que esos osciladores emiten es un múltiplo de la frecuenciade oscilación, esto es hν.

Nótese que un fotón de frecuencia ν tiene exactamente la energía hν, no una energía múltiplo de hν.Sin embargo, es posible que haya un número n de fotones, siendo entonces la energía de todos esosfotones nhν.

Debe usted recordar y entender la relación (que viene de la anteriormente citada conservación de laenergía en el proceso de interacción de un fotón con un electrón del metal) entre la energía cinéticade salida K del fotoelectrón emitido, la energía hν del fotón incidente y la función de trabajo W0 delmetal:

Kmax = hν −W0.

• Efecto Compton (1923). Para la explicación de este efecto, se supone que la radiación electromag-nética está cuantizada, con energía y momento bien definidos. Por tanto, los fotones son partículasque colisionan con los electrones.

En este caso aplicamos los conceptos de la dinámica relativista3 y necesitamos conservar tanto la energíacomo el momento lineal del sistema. Como resultado de aplicar ambas leyes de conservación, seobtiene la siguiente fórmula para la diferencia entre las longitudes de onda del la radiación incidente ysaliente:

∆λ = λC (1− cos θ)donde λC ≡ h/m0c = 0.0243 Å es la llamada longitud de onda de Compton del electrón.

Le recordamos que debe manejar con soltura conceptos básicos de la relatividad especial, como lasfórmulas:

E =moc

2p1− v2/c2

E2 = p2c2 +¡moc

2¢2,

así como los conceptos fundamentales de mecánica, como son las leyes de conservación.

• Naturaleza dual de la radiación electromagnética.• Otros efectos: rayos X, producción y aniquilación de pares de partículas.

3Los conceptos mínimos que debe usted conocer de Relatividad son los que se exponen en el apéndice A del libro de Eisbergy Resnick. También puede consultar los textos que le citamos en la carta que acompaña a este envío.

4

• COMPLEMENT O ¿Pueden dividirse los fotones?

En los textos-base se tratan los fotones como entidades indivisibles. Quizá sea una cuestión interesanteplantearse la pregunta de si es posible dividir un fotón de frecuencia ω en dos partes, tales que cada unatransporte una fracción de la energía hν (o ~ω, con ~ = h/ (2π) la constante de Planck racionalizada)pero conservando cada parte la frecuencia ω. Esta pregunta parte de que sabemos que la teoríaelectromagnética clásica es capaz de describir con excelente precisión un gran número de experimentoscon luz, y establece además una relación entre la energía y el impulso de la onda electromagnética.¿No podría decirse que un fotón es, simplemente, un paquete de ondas de radiación, regido por lasleyes de la teoría electromagnética clásica? Obviamente, son los experimentos los que deben ayudarnosa responder a esta pregunta.

(1) Supongamos un tren de ondas, construido por un dispositivo que emite radiación a una frecuenciabien determinada ω durante un cierto tiempo, y lo hacemos incidir sobre una célula fotoeléctrica (unsistema que presenta el efecto fotoeléctrico). Si nosotros interponemos un divisor de haz de tal maneraque las intensidades de los haces transmitidos y reflejados por el divisor sean las mismas, resultaque podemos disminuir a la mitad la intensidad luminosa que incide sobre la célula fotoeléctrica. Sillamamos Emin a la energía mínima o umbral necesaria para hacer saltar un electrón de la célula,encontraremos que la célula emitirá electrones cuando la radiación sea tal que ~ω > Emin.Supongamos que se cumple, por ejemplo, que ~ω > Emin > 2

3~ω; al dividir el haz como se ha comentadoantes no cabría esperar que se emitieran electrones si se hiciera un análisis clásico; pero se sabe a cienciacierta que esto no es así: se siguen emitiendo electrones, aunque sólo la mitad de ellos. Esto indicaque los paquetes de energía siguen teniendo energía ~ω. Nótese que no es posible justificar el procesocomo un efecto acumulativo, de forma que cuando se sumaran un número suficiente de paquetes deenergía fraccionados, con energía total mayor que Emin, se logra emitir un electrón: en efecto, si estofuera así también ocurriría emisión de electrones si ~ω < Emin y esto no se ha observado nunca.Por lo tanto, los fotones, cuando se les hace interactuar con un metal en el efecto fotoeléctrico, no secomportan como trenes de onda clásicos.

Debemos también recordar, por otra parte, que para entender tanto los experimentos relativos al efectoCompton como la emisión de rayos X y la creación y aniquilación de pares hay que suponer que larelación E = ~ω (que es la correspondiente a un fotón de frecuencia ω) es siempre válida, sin queexistan los fotones fraccionados.

(2) Es interesante plantearse si el análisis sobre los resultados experimentales del efecto fotoeléctricoque hemos hecho anteriormente (esto es, para paquetes de radiación electromagnética interaccionandocon los electrones del metal de la célula fotoeléctrica) pudiera hacerse también para experimentos mástradicionales de óptica. Ya a principios del siglo XX se realizaron medidas de las figuras de difracciónproducidas por focos luminosos extraordinariamente débiles (en alguno de los experimentos el tiempode exposición fue de unos tres meses), y resultaron ser iguales a las figuras de difracción que se obtienencon focos intensos.

Supongamos un experimento en el que la luz emitida por un foco luminoso atraviesa una lámina enla que hay dos rendijas (difracción de Young)4 y llega a una célula fotoeléctrica situada lejos de dichalámina (que únicamente sirve para contar si llegan o no fotones). Hay dos preguntas que nos podríamoshacer5:

(a) ¿Por cuál rendija ha pasado un fotón que acaba de contar la célula? La respuesta es: en parte poruna de las rendijas y en parte por la otra, pues hay que interpretar que el flujo de radiación que pasapor una rendija debe ser proporcional a la probabilidad de que el fotón sea detectado por la célulacolocada justo detrás de la rendija.

(b) ¿Podemos modificar el dispositivo experimental de forma que sepamos por cuál rendija ha pasadoun fotón que acaba de contar la célula? La respuesta es: si tapamos una de las rendijas es claro quetodos los fotones detectados habrán pasado por la otra. El problema es que entonces no habrá figurasde difracción debidas a dos rendijas, sino sólo las debidas a una rendija.

4La configuración experimental es idéntica a la que se dicute en el complemento sobre ¿Pueden dividirse las ondas materi-ales?, que se discute más adelante.

5Para más detalles, véase el capítulo primero del libro Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica, cuyos autoresson P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (Cuadernos de la UNED, 2000).

5

¿Pero no podemos imaginar algún dispositivo ingenioso que permita preservar la figura de difracciónde dos rendijas, pero sabiendo por dónde ha pasado cada fotón? Esta pregunta carece de sentido yveremos ahora por qué. Si suponemos que podemos marcar a los fotones que pasan por cada una de lasrendijas entonces podemos construir las figuras de difracción debidas a cada una de ellas (teniendo encuenta sólo los fotones de cada marca al hacer la figura de difracción). Pero al sumar ambas figuras dedifracción no obtenemos, como es bien sabido, la figura de dos rendijas, pues las figuras de difracción noson aditivas. Por tanto si queremos que la figura de difracción sea como la obtenida por un dispositivode dos rendijas no podemos preguntarnos por cuál de ellas pasó el fotón.

Todo lo anterior lo podemos resumir de la siguiente manera: la amplitud de la onda asociada a unfotón puede tratarse como en la teoría electromagnética clásica (que es la que nos da las figuras dedifracción) pero el cuadrado de dicha amplitud debe interpretarse en términos de la probabilidad dedetectar un fotón con algún dispositivo. De esta manera cuando usamos un divisor de haz dividimosel haz de luz, y también la probabilidad de detectar a un fotón después del divisor de haz, pero nodividimos al fotón en el sentido de encontrar algo que tenga una cierta parte de la energía ~ω.

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3 Tema 3. Aspectos ondulatorios de la materia.

Contenido de los texto-base:Eisberg y Resnick: apartados 3.1 y 3.2.Alonso y Finn vol III: apartados 1.10 y 1.11

• Comportamiento dual de la materiaComportamiento dual de la materia, longitud de onda de De Broglie (1924): λ = h/p

Ejemplos:

(a) Difracción de electrones (Davisson-Germer(1926), Thomson (1927)).

(b) Difracción de átomos de helio y de neutrones.

(c) Rejilla de átomos en un sólido: propiedades ondulatorias de los rayos X y propiedades ondulatoriasde neutrones y electrones.

• La dualidad onda-partícula ya había sido establecida por Einstein (1905) para la radiación elec-tromagnética (esto es, para los fotones). La idea de De Broglie amplía dicha dualidad a cualquierpartícula material, esto es, a cualquier partícula con masa en reposo no nula.

Como se verá en el tema 7, la interpretación de Born (1926) afirmando que es más probable encontraruna partícula material en aquellas regiones en las que el módulo de la función de onda toma val-ores grandes, permite cerrar la dualidad onda-partícula. Tanto la radiación como las partículasmateriales están descritas de manera simétrica:

- la radiación tiene energía y momento en forma de cuantos

- las partículas materiales tienen una distribución espacial continua que les hace tener propiedadesondulatorias.

• COMPLEMENT O La constante de Planck es única.

La suposición fundamental de De Broglie es que la energía y el momento lineal de cualquier ente físico(bien sea radiación o bien sea una partícula material) se expresan como

E = ~ω p = ~k,

en función de la frecuencia y longitud de onda (o vector de onda) asociados.

Debido a que el modelo de partícula-onda satisface el principio de relatividad especial6, en el sistemade referencia en el que la partícula está en reposo la energía de la partícula se puede escribir

Eo =moc2 = ~ωo,

donde Eo es la energía en reposo de la partícula y ω0 la podríamos llamar ”frecuencia en reposo”.De aquí obtenemos que la constante de Planck es una constante característica para cada partículamaterial, que se puede definir como Eo/ωo. En principio, no existe razón alguna por la que estaconstante Eo/ωo sea la misma para todas las partículas materiales. Todas las medidas experimentalesdirectas (del tipo los experimentos de Davisson y Germer) apoyan la creencia en la universalidad delas relaciones E = ~ω y p = ~k, independientemente del tipo de partícula. Ahora bien, el número demedidas directas de ~ es muy pequeño, por lo que la base real de creer en estas relaciones es el éxitogeneral de la mecánica cuántica. En este sentido, podemos afirmar que tenemos una comprobaciónexperimental de las relaciones E = ~ω y p = ~k de la misma forma que la tenemos de la expresiónEo = moc

2 (de la que tenemos muy pocas medidas experimentales directas). Suponemos que todasestas ecuaciones son exactas y constituirán las piedras angulares de nuestra teoría física.

6Esto no está explícito en el texto-base, pero es así como De Broglie lo formuló. Por tanto, la relación entre el vector y lafrecuencia de onda con el impulso y la energía de la partícula, respectivamente, debe ser la misma en cualquier sistema inercial.

7

• COMPLEMENT O ¿Pueden dividirse las ondas materiales?

De igual manera que se ha tratado el tema de la indivisibilidad de los fotones, se podría hacer unadiscusión similar con las ondas materiales. La discusión podría ser sobre un experimento de difracciónde electrones (por ejemplo, la configuración de Davisson-Germer, véase el apartado 3.1 del libro deEisberg y Resnick). Aquí pasa una cosa parecida al caso de los fotones y las rendijas: se observa queel flujo de carga que llega a un contador de electrones se ha dispersado por el cristal, pero lo que se hadispersado son electrones que llevan consigo toda su carga y toda su energía.

Por consiguiente, al igual que cuando hablamos de los fotones, la amplitud de la onda asociada alelectrón es la que nos da las figuras de difracción, pero es el cuadrado de dicha amplitud la que debeinterpretarse como la probabilidad de detectar un electrón. De esta manera no dividimos al electróncuando se dispersa o difracta por la red cristalina y no encontramos partes de electrones con parte desu energía.

La onda de De Broglie y la partícula son la misma cosa: la partícula material tiene propiedadesondulatorias, de forma que podemos hablar de la onda de De Broglie de la partícula, pero no de quela onda de De Broglie viaje junto con (o guiando a) la partícula.

• Vamos ahora a mencionar algunos resultados experimentales de interés sobre este tema y el anterior.7Por ello, resulta más interesante e instructivo un experimento en el que la estructura periódica “infinita”(en realidad, basta con que sea mucho mayor que la anchura del haz de partículas) queda reducida a unpar de rendijas paralelas8. Una fuente de partículas lanza un haz de partículas en el mismo estado (esdecir, preparadas de la misma forma) sobre una pared en la que hay dos rendijas paralelas separadasuna distancia a. (La anchura de las rendijas también es importante pero, por simplicidad, supondremossimplemente que es mucho menor que a). Tras atravesar las rendijas, las partículas inciden sobre unapantalla situada a una distancia d, donde son registradas por detectores distribuidos por la misma(ver Figura 1). Cuando sólo está abierta la rendija 1, el registro de las partículas que llegan a losdiferentes puntos de la pantalla corresponde a la curva P1, que tiene un único máximo frente a dicharendija. Esto parece lógico, puesto que todas las partículas que llegan a la pantalla han tenido quepasar necesariamente por la rendija 1; el ensanchamiento de la curva (mayor cuanto más estrecha esla rendija) no sería difícil de explicar teniendo en cuenta que los bordes de la rendija pueden afectara algunas de las partículas que la atraviesan. Una curva similar se obtiene cuando sólo está abierta larendija 2.Ahora bien, desde el punto de vista clásico parece claro que la trayectoria de una partículaque pasa por la rendija 1 no debería verse afectada por el hecho de que la rendija 2 esté abierta ocerrada. Por consiguiente, cabría esperar que cuando están abiertas las dos rendijas, la curva que dala distribución de los puntos de llegada de las partículas fuera la suma de las curvas 1 y 2 (para unamisma duración del experimento). Sin embargo, no es esto lo que se observa cuando ambas rendijasestán abiertas; lo que se observa realmente es una figura con varios máximos y mínimos, similar a lospatrones de interferencia de las ondas. Lo más destacable es que existen puntos en la pantalla a losque pueden llegar partículas cuando está abierta sólo la rendija 1 o sólo la rendija 2, pero a los queapenas llegan partículas cuando están abiertas ambas rendijas. Asimismo, existen puntos para los queel número de partículas que llegan cuando ambas rendijas están abiertas es mayor que la suma de lasque llegaban atravesando la rendija 1 (cuando la 2 estaba cerrada) y las que llegaban atravesando larendija 2 (cuando la 1 estaba cerrada).

La forma de estas curvas puede explicarse, una vez más, a partir de un formalismo tomado de la teoríaondulatoria. En efecto, supongamos que p = ~k es el módulo del momento lineal de las partículasincidentes. Si suponemos que la interacción de las partículas con las rendijas es una colisión elástica,cada rendija se convierte en la fuente de una onda cilíndrica, siendo coherentes ambas ondas emergentes,es decir que tienen una misma fase bien definida. Para un instante t, las amplitudes de la onda 1 y laonda 2 en un punto (0, z) de la pantalla serán respectivamente

ψ1(0, z) =A√r1exp (ikr1) ψ2(0, z) =

A√r2exp (ikr2) ,

siendo r1 y r2 las distancias desde cada rendija al punto de la pantalla. Las intensidades de dichas

7Para más detalles, véase el capítulo primero del libro Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica, cuyos autoresson P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (Cuadernos de la UNED, 2000).

8Una exposición de dicho experimento puede encontrarse en el capítulo primero del volumend tercero de las Lecciones deFísica , de Richard Feynman y colaboradores (editorial Fondo Educativo Interamericano). Véase también el capítulo quintodel libro Física Cuántica de E. Wichman, volumen 4 del Curso de Física de Berkeley (editorial Reverté).

8

Figura 1: Experimento de la doble rendija. Arriba, las probabilidades de llegada cuando está abierta una u otrarendija (no las dos). Abajo, en línea de trazos la suma de las probabilidades P1+P2; en línea continua la probabilidadde llegada cuando ambas rendijas están abiertas simultáneamente.

ondas en dicho punto son

I1(0, z) = |ψ1(0, z)|2 =|A|2r1

=|A|2p

d2 + (z − a/2)2

I2(0, z) = |ψ2(0, z)|2 =|A|2r2

=|A|2p

d2 + (z + a/2)2.

Ambas curvas presentan un único máximo (centrado en z = ±a/2) y decrecen a medida que nosalejamos de él. Éstas expresiones describen a las curvas 1 y 2 que, recordémoslo, son las que se obtienencuando sólo la rendija 1 o sólo la rendija 2 está abierta. Por su parte, cuando ambas rendijas estánabiertas la amplitud de la onda en (0, z) sería la suma de las amplitudes de las dos ondas procedentesde 1 y de 2

ψ12(0, z) = ψ1(0, z) + ψ2(0, z) =A√r1exp ikr1 +

A√r2exp ikr2

y su intensidad

I12(0, z) = |ψ12(0, z)|2 = |ψ1(0, z) + ψ2(0, z)|2

= |ψ1(0, z)|2 + |ψ2(0, z)|2 +2 |A|2√r1r2

cos [k(r1 − r2)] .

Si dÀ a podemos aproximar r2 − r1 ' za/d. Además, a/d ' θ, siendo éste el ángulo subtendido porlas rendijas desde el centro de la pantalla. Así pues

I12(0, z) = I1(0, z) + I2(0, z) + 2pI1(0, z)I2(0, z) cos (kθz) .

Vemos así que, superpuesto a la suma de las intensidades de ambas ondas, hay un término oscilanteque da lugar a varios máximos y mínimos en la curva. La distancia ∆z entre dos máximos sucesivosviene dada por9

kθ∆z = 2π ⇒ ∆z =2π

kθ=h

p

d

a.

9Cuando se tiene en cuenta también la anchura finita de las rendijas, hay que introducir algunas correcciones; la expresiónexacta puede encontrase en cualquier libro de óptica.

9

Lo realmente notable es que el formalismo de la teoría ondulatoria explica exactamente los resultados.Por ejemplo, la figura 2 muestra una comparación de la teoría con los resultados de un experimentocon neutrones fríos (de baja energía) correspondientes a λ = 2 nm. Las rendijas tienen 22 µm deanchura y están separadas 104 µm (es decir, la separación entre rendijas es 50000 veces mayor que lalongitud de onda asociada a los neutrones). La distancia de las rendijas a la pantalla es de 5 m.

Figura 2: Figura de difracción por una doble rendija para neutrones fríos con una longitud de onda de 2 nm,correspondiente a una velocidad de 200 m/s. Las rendijas tienen una anchura de 22 µm y están separadas unadistancia de 104 µm. Los ángulos de difracción resultantes son del orden de 10 microrradianes, de modo que elplano de observación está situado a 5 m de la doble rendija para poder resolver esta figura de interferencia (de unexperimento de Zeilinger et al Rev. Mod. Phys. 60 (1988) 1067).

• Lo único que hemos hecho hasta aquí es utilizar un artificio matemático basado en ondas para calcularla distribución de puntos de llegada en la pantalla. ¿Podemos ir más allá y dar algún significado físicoadicional a estas funciones de onda? ¿Quiere esto decir que las partículas se comportan en todos losaspectos como ondas? Evidentemente, no. Una onda es un objeto extenso y continuo, mientras quelas partículas se detectan de una en una y en un punto concreto de la pantalla.

Una posible solución consistiría en decir que la onda describe a un conjunto de partículas que actúancolectiva y simultáneamente, pero esta interpretación queda fácilmente refutada si podemos asegurarque sólo hay una partícula en vuelo entre la fuente y la pantalla. Consideremos, por ejemplo, unexperimento llevado a cabo por Tonomura et al. en 1989. En este experimento, las partículas sonelectrones en un microscopio electrónico y la doble rendija es lo que se denomina un biprisma deMollendstat. La particularidad de este experimento es que el ritmo de emisión de los electrones esmuy lento (1000 por segundo), aunque la velocidad de los electrones en vuelo es de 0.4 c. Por lotanto, cada electrón tarda aproximadamente 10−8 s en llegar a la pantalla. Después de eso, hay queesperar un tiempo aproximadamente 105 veces mayor hasta que sea emitido el siguiente electrón. Esdecir, sólo durante un cienmilésima parte del tiempo total del experimento hay electrones en vuelo. Esmás, si los electrones no fueran frenados por la pantalla, un electrón se habría alejado cien kilómetrosantes de que saliera el siguiente. (A modo de analogía, esto es similar a una etapa ciclista contra relojque se recorriera aproximadamente en 1 hora y en la que los corredores salieran con intervalos de 10años). En estas circunstancias resulta difícil pensar en que cada electrón puede transmitir a los quele siguen alguna información de por dónde ha pasado. Gracias a este ritmo de emisión relativamentelento, puede registrarse la llegada de cada electrón a la pantalla. Así, las fotografías de la figura 3muestran de arriba a abajo los impactos acumulados tras la emisión de 10, 100, 1000,... electrones. Enla primera fotografía podemos ver que los electrones inciden en la pantalla de una forma aleatoria. Noaparece ninguna pauta discernible y no hay forma de predecir dónde irá a parar el próximo electrón.

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Figura 3: Evolución temporal de la figura de interferencia de los electrones que atraviesan una doble rendija. Elnúmero de electrones registrados en cada placa es: (a) 10, (b) 100, (c) 3000, (d) 20000 y (e) 70000. De un experimentode Tonomura et al (Am. J. Phys. 57 (1989) 117). Nótese que las fotografías están giradas y las franjas aparecenverticalmente.

No obstante, a medida que aumenta el número de electrones aparece una pauta clara en la pantalla,y cuando el número de electrones acumulado es muy grande, aparece una pauta de interferencia biendefinida que se mantiene estable. En otras palabras, cuando el número de electrones emitidos es muyalto, el cociente entre el número de electronesN(z) que inciden en un punto determinado de coordenadavertical z en la pantalla y el número total de electrones emitidos NT tiende a un valor constante, esdecir

limNT→∞

N(z)

NT= Prob(z).

Ésta es precisamente la llamada definición frecuencial de la probabilidad. Nótese que la existencia deeste límite y, por lo tanto, de una probabilidad definida, sólo se manifiesta cuando se acumulan muchossucesos (impactos en la pantalla), pero la probabilidad se asigna a cada suceso individual. Esto escaracterístico de las teorías probabilistas, del mismo modo que se habla de la probabilidad de obteneruna determinada cara de un dado cuando lo lanzamos sobre una mesa.

En resumen, el experimento nos dice lo siguiente: i) los electrones se emiten de uno en uno y sedetectan en puntos concretos de la pantalla, es decir, se detectan como partículas puntuales; ii) no esposible predecir el punto de impacto de cada electrón individual; iii) pese a todo, cuando el númerode electrones emitidos es suficientemente alto existe una probabilidad definida de detectar un electrónen un punto; iv) la figura global muestra una pauta de interferencia, aunque ésta sea el resultadode sucesos independientes; esto quiere decir que existe coherencia entre las diferentes partículas en elmismo estado de preparación.

El experimento nos sugiere también la interpretación que hay que dar a la función de onda. A cadaestado de preparación de una partícula le corresponde una función ψ(~r), en general compleja, de lascoordenadas espaciales; la probabilidad de encontrar la partícula en un volumen infinitesimal d3r entorno a un punto ~r es

Prob(~r) d3r = |ψ(~r)|2 d3r.

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4 Tema 4. Principio de indeterminación.

Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: apartados 3.3 a 3.6.Alonso y Finn vol III: apartado 1.12.

La introducción de la dualidad onda-partícula lleva a poner en entredicho la posibilidad de que la posicióny el impulso de una partícula puedan determinarse completamente de manera simultánea. Esto ya se hacomentado al hablar de los experimentos de las dos rendijas: no podemos preservar la figura de difracciónde dos rendijas si queremos saber por dónde ha pasado cada fotón.La dualidad onda-partícula cambia la posibilidad de determinar completa y simultáneamente la posición

y el impulso por una limitación en la precisión de dichas medidas: este es el principio de incertidumbrede Heisenberg, que en una dimensión puede escribirse como:

∆x ·∆p ≥ ~/2.

• Origen matemático.El principio de incertidumbre tiene un claro origen matemático, que se puede ver con facilidad mediantela teoría de la integral de Fourier (puede interesarse por el tema en un libro de Métodos Matemáticospara la Física o en un curso de Mecánica Cuántica más avanzado).

Una demostración matemática, basada en otro tipo de argumentos, se expone con más extensión eneste material complementario (véase más adelante, en la parte correspondiente al tema 7).

• Interpretación física (Heisenberg, 1927).En los procesos de medida se puede medir con total precisión, por ejemplo, el momento lineal deuna partícula pero eso impide que se pueda determinar a la vez la posición de dicha partícula. Elprincipio de indeterminación nos da una guía acerca de cuál puede ser el valor mínimo delproducto de las incertidumbres ∆x y ∆p al hacer una medida simultánea de la posicióny del momento lineal.

• Propiedades de las ondas de materia: velocidad de fase y velocidad de grupo (para estos conceptos,recuérdese lo aprendido en la asignatura de Mecánica y Ondas acerca de ellos).

Debe comprender el alumno que la velocidad de grupo de un paquete de ondas determina el momentolineal de la partícula asociada (es la discusión de las págs. 98 y 99 del Eisberg y Resnick; vea tambiénel apartado 1.11 del Alonso y Finn vol III).

• Algunas consecuencias del principio de incertidumbre.

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5 Tema 5. Modelos atómicos clásicos.

Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: apartados 4.1 a 4.4.

• Descubrimiento del electrón (1897).Modelos atómicos de Thomson (1910) y Rutherford (1911): debe usted adquirir una idea cualitativade ambos modelos, sin que sea necesario que entre en excesivos detalles.

• Espectros de emisión y absorción de los átomos: son espectros discretos en ambos casos. Parael caso del átomo más sencillo (el hidrógeno) estos espectros son relativamente simples y regulares.

6 Tema 6. Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld.

Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: apartados 4.5 a 4.12.Alonso y Finn vol III: apartados 1.7 a 1.9.

• Modelo atómico de Bohr (1913).(a) Niveles de energía del átomo de hidrógeno (estado fundamental y estados excitados). Órbitasestables. Número cuántico n.

La energía de los estados ligados de un electrón en un átomo hidrogenoide, en el caso en que se supongaque la masa del núcleo es infinita (comparada con la del electrón), viene dada por la expresión:

En = −13.6Z2

n2eV.

Como se ve, las energías de ligadura de los átomos hidrogenoides son del orden de decenas o centenasde eV.

Es conveniente que el alumno conozca el valor aproximado (unos 0.5 Å) del radio de Bohr (que es elradio de la trayectoria circular que corresponde al nivel más bajo del electrón). Este radio nos da unaidea del orden de magnitud de las dimensiones atómicas en general.

(b) Espectros de emisión y de absorción. Al pasar de una órbita permitida a otra, el electrón cede oabsorbe energía electromagnética.

Si hablamos de la longitud de onda de la radiación emitida en una transición entre dos niveles diferentespodemos escribir10

1

λ= R∞Z2

Ã1

n2f− 1

n2i

!

(c) Experimento de Franck y Hertz (1914).

10En el caso en que la masa del núcleo no se considere infinita hay que utilizar Rµ en vez de R∞, donde µ es la masareducida del sistema núcleo-electrón (vea en el apartado 4.7 del libro de Esiberg y Resnick una discusión completa de los efectosde considerar la masa del núcleo finita).

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• Modelo de Wilson y Sommerfeld (1916).

Este modelo generaliza la regla de cuantización de Bohr a las variables dinámicas conjugadas(repase las nociones que sobre ello se han estudiado en Mecánica y Ondas):I

pq dq = nq h,

donde h es la constante de Planck.

Note que en un sistema unidimensional estas variables son la posición x y el momento lineal p; pero enun sistema con simetría central se puede, como hace el libro de Eisberg y Resnick, usar las variablesangulares θ y el momento angular L para cuantizar el átomo de hidrógeno.

Esta generalización introduce nuevos números cuánticos (el número cuántico principal y el númerocuántico azimutal), así como el concepto de degeneración.

• Principio de correspondencia (1923). Nos permite enunciar cómo podemos pasar de una descrip-ción cuántica a su límite clásico.

• Crítica a la teoría cuántica antigua.

• COMPLEMENT O Número entero de ondas de De Broglie en una órbita circular.

La expresión para los niveles de energía de un átomo hidrogenoide se puede justificar usando conceptosprovenientes de las ondas estacionarias. En efecto, supongamos un electrón describiendo una órbitacircular de radio r. Para que la órbita corresponda a un estado estacionario parece lógico que debapermitir la existencia de ondas estacionarias de De Broglie en el recorrido de la órbita; esto es, quequepan un número entero de ondas en la órbita que estemos considerando. Como la longitud de ondaes λ = h/p, debe cumplirse que 2πr = nλ = nh/p ⇒ rp = mvr = nh/2π = n~ (que es el momentoangular del electrón). Por otra parte, para que la trayectoria sea circular, la fuerza centrífuga debe serigual a la culombiana entre núcleo y electrón: mv2 = Ze2/(4π²or). Eliminando la velocidad de ambasecuaciones se obtiene el valor del radio de la órbita

r =n2h2²oπmZe2

=n2

Zao.

La energía total del electrón es (usando las ecuaciones para la velocidad y para el radio de la órbita)

E =1

2mv2 − Ze2

4π²or= − Ze2

4π²o (2r)= − me

4Z2

8²2oh2n2

= −R∞hcZ2

n2.

Recuerde que esto es sólo una justificación, no una explicación rigurosa.

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7 Tema 7. Ecuación de Schrödinger. Interpretación estadísticade la función de ondas. Estados cuánticos estacionarios.

Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: capítulo 5.Alonso y Finn vol III: apartados 2.2, 2.3, 2.7, 2.9, 2.10 y 2.12.

• Construcción de la ecuación de Schrödinger.Al estudiar la forma de construir la ecuación de Schrödinger, el texto de Eisberg y Resnick hace dosaproximaciones fundamentales (en esencia, ambas aproximaciones significan lo mismo que decir que ladeducción de la ecuación es para un sistema no relativista):

I. Se ignoran los fenómenos de creación y destrucción de partículas materiales.

II. Se supone que todas las velocidades de las partículas materiales son suficientemente pequeñas paraque sea válida la aproximación no relativista (hay una discusión interesante sobre la estimación deenergía relativista en el ejemplo 6.6 del Eisberg y Resnick).

Partiendo de dichos puntos, se desarrollan un conjunto de suposiciones para la construcción de laecuación de Schrödinger (1926), cuya plausibilidad se discute en detalle en el texto. El resultadoresulta ser

− ~2

2m∇2Ψ (~r, t) + V (~r, t)Ψ (~r, t) = i~ ∂

∂tΨ (~r, t) .

COMPLEMENT O: Ecuación de Schrödinger: linealidad y principio de superposición.Dado que una dimensión la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal (repase lo quesignifica eso) y en general una ecuación en derivadas parciales lineal, sus soluciones satisfacen el prin-cipio de superposición: cualquier combinación lineal de (dos) soluciones de la ecuación estambién una solución. La amplitudes de las ondas materiales pueden sumarse, de igual maneraque se pueden sumar las amplitudes de las ondas electromagnéticas (pues las ecuaciones de Maxwelltambién son lineales). Nótese que ya hemos supuesto implícitamente la linealidad, cuando hablamosde sumar las amplitudes de las ondas materiales al discutir las figuras de difracción de los experimentosdel tipo Davisson y Germer.

Se sabe que una onda plana es solución de la ecuación de Schrödinger en zonas donde la energíapotencial es constante (véase el tema 8), por lo que una combinación cualquiera de ondas planastambién será solución de dicha ecuación de Schrödinger. Dada una función compleja cualquiera Q (k),podemos escribir la combinación lineal más general como una integral

Ψ (x, t) =

Zdk Q (k) ei(k·r−ωt).

Por lo tanto, podemos concluir que cualquier onda material Ψ (x, t) se puede considerar como unasuperposición de ondas materiales planas.11

• Interpretación estadística de la función de onda.El postulado de Born (1926) establece la relación entre la densidad de probabilidad (esto es, laprobabilidad por unidad de volumen de encontrar la partícula en la vecindad de un punto ~r en uninstante t) y la función de onda como

P (~r, t) = Ψ∗ (~r, t) Ψ (~r, t) .11Nota matemática: la teoría de la integral de Fourier (véase algún libro de Métodos Matemáticos para la Física) nos dice

que la integralRdk Q (k) ei(k·r−ωt) existe siempre y cuando la función Q (k) se comporte razonablemente bien; además, nos

demuestra que cualquier función de onda Ψ (x, t) puede expresarse como superposición de ondas planas.

15

Por tanto, la densidad de probabilidad es el cuadrado complejode la función de onda.

COMPLEMENT O: Como ya hemos discutido al hablar de la posible divisibilidad de fotones y ondasmateriales, lo que debe interpretarse como la probabilidad de detectar una partícula es el cuadrado dela amplitud (del campo para un fotón, de la onda material para el electrón). La extensión formal deestos comentarios, que hicimos en los temas 2 y 3, constituye la base de la interpretación estadísticade la función de onda por Born (1926). Vamos a dar algún argumento más para justificar dichainterpretación.

Como ya es sabido (véase el complemento anterior), la ecuación de Schrödinger es una ecuación difer-encial lineal, con lo que sus soluciones satisfacen el principio de superposición. Dado que una ondaplana es la solución de la ecuación de Schrödinger para un partícula en el espacio libre, la solución másgeneral de dicha ecuación para una partícula que se mueve libremente en el espacio será la combinaciónlineal más general de ondas planas, esto es

Ψ (x, t) =

Zdk Q (k) ei(k·r−ωt),

donde Q (k) es una función en general compleja. Si elegimos adecuadamente la función Q (k) podemosconstruir paquetes de ondas que estén localizados en una cierta región del espacio en un instante dado;ese paquete de ondas representará una partícula confinada en dicha región finita del espacio (esto es,representará cualquier partícula que se quiera estudiar experimentalmente). Parece natural afirmarque es más probable encontrar la partícula en aquellas regiones del espacio en que la función de ondaes grande. Por eso, dado que la función de onda es en general compleja, se asocia el cuadrado de sumódulo (la densidad de probabilidad) a la probabilidad de encontrar la partícula .

La dualidad onda-partícula queda, pues, cerrada en base a las dos interpretaciones que ya se handiscutido:

(1) el tratamiento por Einstein (1905) para la radiación electromagnética (fotones).

(2) la interpretación estadística de la función de onda (Born, 1926) para las partículas materiales.

Más adelante, en el tema de Estadísticas Cuánticas se verá que los cuantos de las vibraciones de unared cristalina (los fonones) también cumplen esta dualidad.

• Valores esperados, de expectación o valores medios(apartado 5.4 del libro de Eisberg y Resnick).

La interpretación estadística de la función de onda permite definir los valores medios o valores esperadoscomo los que obtendríamos de una medida sobre un gran número de sistemas, en cada uno de los cualesla partícula tuviera la misma función de onda. Esto es el significado de calcular el valor medio mediantela densidad de probabilidad.

Sólo para una partícula en un estado de energía bien definida (esto es, para un estado estacionario;véase más adelante las propiedades de las autofunciones) la densidad de probabilidad es independientedel tiempo.

En general, en una dimensión el valor medio de cualquier función de la posición vendrá dado por

f (x, t) =

Z +∞

−∞f (x, t) P (x, t) dx =

Z +∞

−∞f (x, t)Ψ∗ (x, t)Ψ (x, t) dx =

Z +∞

−∞f (x, t) |Ψ (x, t)|2 dx.

Como observará, el valor medio f (x, t) es una función que en general depende del tiempo (aunque node x, pues ya se ha integrado en esa variable).

Como puede ver usted discutido en el complemento sobre las variables cuánticas (vea más abajo), engeneral una variable cuántica es un operador lineal, cuyo valor medio podemos calcular mediante elprocedimiento acabado de esbozar.

16

• Variables dinámicas en mecánica cuántica(apartado 5.4 del Eisberg y Resnick).

La relación entre las variables dinámicas en mecánica cuántica y los operadores que actúan sobre lasfunciones de onda viene discutida en el complemento. Los operadores más comunes pueden expresarsecomo

xop ↔ x

px, op ↔−i~ ∂

∂x

y de igual manera para las otras coordenadas cartesianas. El operador hamiltoniano o energía se escribecomo

Hop =p2op2m

+ Vop (x, t) =⇒ Hop ↔ i~ ∂∂t

COMPLEMENT O.Nota: haremos el tratamiento en una dimensión, pero lo aquí explicado se generaliza sin ningunadificultad a más dimensiones.

Sea Ψ (x, t) una función de onda normalizada a la unidad. Llamaremos Ψ (x, t0) a dicha función de ondaen un instante de tiempo determinado to. Si aceptamos la interpretación probabilística de la funciónde onda, dado que |Ψ (x, t0)|2 es una densidad de probabilidad que define la distribución probabilísticadel observable físico x, los valores medios de x y x2 deben venir dados por

x ≡ hxi =Z ∞−∞

dxΨ∗ (x, t0) xΨ (x, t0) =Z ∞−∞

dxx |Ψ (x, t0)|2

x2 ≡ ­x2® = Z ∞−∞

dxx2 |Ψ (x, t0)|2 ,

donde x o hxi es el valor esperado, valor de expectación o valor medio de x en el estado ψ. Estoes, claro está, generalizable para cualquier función de x, de forma que el valor media de la energíapotencial de una partícula será:

V =

Z ∞−∞

dxV (x) |Ψ (x, t0)|2 .

Definimos ahora la indeterminación en x como la desviación cuadrática media de x, esto es,

(∆x)2 = (x− x)2 =D(x− hxi)2

E=

Z ∞−∞

dx (x− hxi)2 |Ψ (x, t0)|2 =­x2®−2 hxi hxi+hxi2 = ­x2®−hxi2 ;

de manera que cuando más concentrada se encuentre la función de onda en torno a su posición media,hxi = x, tanto menor es ∆x.Pregunta: ¿se imagina el alumno qué tipo de función de onda sería necesario para un estado en el quese conozca exactamente la posición, con ∆x = 0?

Ahora bien, sabemos calcular, por ejemplo, el valor medio de la variable cuántica de posición x, ¿perocuál es valor numérico de la propia variable cuántica x? La respuesta es: una variable cuántica NO tieneun valor numérico, sólo podemos definir procedimientos mediante los que se pueden calcular valoresmedios para cualquier función de onda (esto es, para cualquier estado cuántico).

Lo anteriormente dicho es válido para variables cuánticas que dependan de la posición, pero el problemaestá en cómo definir otras variables cuánticas que no dependen de x. Para intentar avanzar, supongamosuna función de onda normalizada que tiene la forma Ψ (x, t0) = C exp (ixep/~) en un intervalo muygrande de la recta real; fuera de ese intervalo la función de onda tiende a cero. Dado que la función deonda es prácticamente una onda plana en una zona muy grande, podemos decir que aproximadamentetiene un vector de onda muy bien definido, de valor k ' ep/~. Por tanto, el valor medio del momentolineal debe ser muy cercano a ep, esto es p ' ep. Dentro del citado intervalo se cumple que

−i~ ∂

∂xΨ (x, t0) = epΨ (x, t0) .17

De esta manera, y dado que Ψ (x, t0) está normalizada, podemos multiplicar la ecuación anterior porΨ∗ (x, t0) e integrarZ ∞

−∞dxΨ∗ (x, t0)

µ−i~ ∂

∂x

¶Ψ (x, t0) =

Z ∞−∞

dxΨ∗ (x, t0) epΨ (x, t0) ' ep ' p,donde se ha tenido en cuenta que la parte importante de la integración proviene del intervalo antesdefinido. En definitiva, para una función de onda como la utilizada aquí, podemos calcular el valormedio del momento lineal mediante esta integral.

POSTULAMOS entonces que esto es cierto para cualquier función de onda, esto es, que el valor mediop del momento lineal de un estado cuántico definido por una función de onda cualquiera Ψ (x, t0) vienedado por:

p = hpopi =Z ∞−∞

dxΨ∗ (x, t0)µ−i~ ∂

∂x

¶Ψ (x, t0) .

Este postulado nos permite entonces afirmar que la variable cuántica de momento lineal es el operadordiferencial (que denotamos por pop)

pop = −i~ ∂

∂x,

cuyo valor medio hemos calculado. De esta manera podemos definir el operador cuadrado del momentolineal como el resultado de operar dos veces con dicho operador

p2op =

µ−i~ ∂

∂x

¶µ−i~ ∂

∂x

¶= −~2 ∂2

∂x2,

cuyo valor medio se calcula también como

p2op =­p2op®=

Z ∞−∞

dxΨ∗ (x, t0)µ−~2 ∂2

∂x2

¶Ψ (x, t0) .

La indeterminación del momento lineal la podemos evaluar pues como

(∆p)2 =D(pop − hpopi)2

E=

Z ∞−∞

dxΨ∗ (x, t0) (pop − hpopi)2 Ψ (x, t0) =­p2op®− hpopi2 .

El postulado se puede extender en general a cualquier variable cuántica Q, para que suvalor medio se pueda calcular mediante la integración

hQopi =Z ∞−∞

dxΨ∗ (x, t0) QopΨ (x, t0) ,

donde Qop es un operador lineal adecuado a la variable cuántica, que actúa sobre la función de ondade su derecha.

Ejemplo: Si llamamos m a la masa de la partícula que queremos estudiar, la energía cinética vendrárepresentada por el operador diferencial

p2op2m

= − ~2

2m

d2

dx2.

Por otra parte, en mecánica clásica, la energía total puede expresarse en función de las variablesde momento y de posición mediante la función de Hamilton (recordar los conceptos aprendidos enla asignatura de Mecánica y Ondas). Por ello, en mecánica cuántica podemos obtener el operadorhamiltoniano correspondiente, Hop, al escribirlo como un operador diferencial suma de los operadoresde energía cinética y energía potencial. En una dimensión esto es simplemente:

Hop =p2op2m

+ Vop (x) = − ~2

2m

d2

dx2+ V (x)

y en tres dimensiones

Hop =p2op2m

+ Vop (x) = − ~2

2m

∂2

∂x2− ~2

2m

∂2

∂y2− ~2

2m

∂2

∂z2+ V (x) .

18

• Separación de la variable temporal y las variables espaciales: laecuación de Schrödinger independiente del tiempo(apartado 5.5 del Eisberg y Resnick).

En el caso en que la energía potencial del sistema no dependa de manera explícita del tiempo, es posibleencontrar para todo instante de tiempo t soluciones en las que las variables espacial y temporal estánseparadas, de forma que la función de onda Ψ (x, t) tenga dos partes: una puramente espacial ψ (x)y otra puramente temporal T (t), de manera que la función de onda total será Ψ (x, t) = ψ (x)T (t).Cuando se introduce esta expresión en la ecuación de Schrödinger, nos queda una ecuación diferencialpara la parte espacial de la función de onda en términos de un operador diferencial Hop:

Hop ≡ − ~2

2m∇2 + V (x)⇐⇒ Hopψ (x) = Eψ (x) ,

que se denomina ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. De lo anterior resulta que lafunción de onda puede escribirse como:

Ψ (x, t) = ψ (x) exp (−iEt/~) .

En estas expresiones la constante E es la energía total de la partícula.

Note que en este caso los valores medios no dependen del tiempo y por eso a estos estados se les llamaestados estacionarios.

• Propiedades de las autofunciones (apartado 5.6 del Eisberg y Resnick).Aunque existan soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, pero sólo podemosadmitir las que sean aceptables para el sistema físico que queremos describir. Es, por consiguiente,parte esencial de la búsqueda de las soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempoel incluir las condiciones que hacen que una determinada solución sea admisible desde un punto devista físico para el sistema que se está estudiando. Esas condiciones están explicitadas, hablando enlenguaje matemático, por las llamadas condiciones de contorno de la ecuación diferencial. Aquellosvalores de E para los que la ecuación de Schrödinger tiene una solución aceptable (esto es, que lasolución cumpla las condiciones físicas impuestas por las condiciones de contorno) son los autovaloreso valores propios o eigenvalores del operador Hop (o de la ecuación diferencial). Las correspondientesoluciones ψ (x) son las autofunciones o funciones propias o eigenfunciones del operador y cosntituyenla parte espacial ψ (x) de la función de onda total, Ψ (x, t) = ψ (x) exp (−iEt/~).

• Cuantización de la energía (apartado 5.7 del Eisberg y Resnick).

Al estudiar la solución del problema de la cuerda vibrante entre dos extremos fijos12 se obtienensoluciones discretas de la ecuación diferencial que describe dicho problema (por ejemplo, la longitudde onda de los posibles modos de vibración de la cuerda tiene soluciones discretas, sin que los valoresposibles constituyan un contiunuo). Esa discretización de los valores que se obtienen en el caso de lacuerda que vibra corresponde justamente al mismo problema matemático que se nos plantea al resolverla ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

En mecánica cuántica debemos resolver habitualmente la ecuación diferencial (ecuación de Schrödingerindependiente del tiempo)·

− ~2

2m

µ∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

¶+ V (x, y, z)

¸ψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)

con las condiciones físicas de contorno adecuadas para nuestro problema. Esta es una ecuación difer-encial llamada de valores propios (o autovalores13), que sólo tiene solución para algunos valores deter-minados de la constante E; para cada uno de ellos, por tanto, se corresponde una determinada función

12Tratada, por ejemplo, en la asignatura de Mecánica y Ondas.13En la traducción del libro de Eisberg y Resnick recibe el nombre de ecuación de eigenvalores, que respeta (al igual que en

inglés) el prefijo alemán eigen.

19

ψ (x). Esto es debido a que como es una ecuación diferencial en derivadas parciales, hay que definir lascondiciones de contorno de cada problema en particular que se quiera resolver; para un sistema deter-minado sólo existirán soluciones de dicha ecuación diferencial para algunos valores de E, que recibenel nombre de valores propios de la ecuación diferencial. Como ya hemos comentado, las solucionesψ (x) que corresponden a dichos valores propios se llaman funciones propias (o autofunciones; en latraducción del libro de Eisberg y Resnick se llaman eigenfunciones) de la ecuación diferencial.

Por tanto, si la partícula está representada por una función de onda que corresponde a un valor propioEn, entonces la función propia viene etiquetada por dicho valor propio n y la escribimos como ψn (x).Por tanto, si queremos hallar los niveles de energía de un sistema físico descrito por la energía potencialV (x, y, z), debemos solucionar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo correspondiente aese potencial.

Por otra parte, podemos afirmar que si la partícula está representada por una función de onda que esun autoestado n del hamiltoniano con autovalor14 En, este valor En es el valor esperado (o valor deexpectación o valor medio) del operador hamiltoniano. (¡demuéstrelo!; ¿hace falta alguna condiciónmás para obtener ese resultado?)

• El apartado 5.8 del texto-base (Eisberg y Resnick) es muy importante, debe estudi-arse con especial atención.

Como complemento, se presenta aquí una discusión sobre las diferencias que se pueden establecerentre soluciones estacionarias y no estacionarias de la ecuación de Schrödinger. Consideremos una cajaunidimensional (o pozo cuadrado infinito, véase el apartado 6.8 del libro de Eisberg y Resnick paralas soluciones) de longitud a, situada entre x = 0 y x = a. Las soluciones estacionarias de la ecuaciónde Schrödinger tienen la forma

Ψ (x, t) = ψ (x) e−iEt/~ ,

donde la energía E toma los valores discretos

En =n2π2~2

2ma2,

siendo n = 1, 2, 3, . . . La autofunción ψ (x) que corresponde a la n-ésima energía es

Ψn (x, t) =

r2

asin³nπxa

´exp

µ− iEnt

~

¶= ψn (x) exp

µ− iEnt

~

¶dentro del pozo, esto es en el intervalo (0, a), y nula fuera de él (verifíquese que está normalizada). Ladensidad de probabilidad es entonces

Pn (x, t) = |Ψn (x, t)|2 = Pn (x) = |ψn (x, t)|2 =2

asin2

³nπxa

´dentro del intervalo (0, a) y cero fuera de él. Esta densidad de probabilidad no depende del tiempo,como debe ser para una solución estacionaria.

Consideremos ahora la combinación lineal (normalizada) de cualesquiera dos soluciones:

Ψ (x, t) =

r1

2[Ψn (x, t) +Ψm (x, t)] ,

con n 6= m. La densidad de probabilidad asociada es

P (x, t) = |Ψ (x, t)|2 = 1

a

·sin2

³nπxa

´+ sin2

³mπx

a

´+ 2 sin

³nπxa

´sin³mπx

a

´cos

µ(En −Em) t

~

¶¸que depende del tiempo, con un término oscilatorio en el tiempo (proveniente de los términoscruzados del cuadrado) cuya frecuencia es

2πνnm = ωnm =(En −Em)

~14Esto es, es una de las posibles soluciones ψn (x) de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo con autovalor En

y por tanto cumple que Hopψn (x) = Enψn (x) .

20

(véase también el ejemplo 5.13 del libro de Eisberg y Resnick). Se obtendrá este tipo de resultado (contérminos oscilatorios dependientes del tiempo) siempre que se utilice cualquier combinación lineal desoluciones estacionarias: el resultado es no estacionario.

NOTA: Se puede demostrar (haga usted un intento) que cualquier solución físicamente aceptablede la ecuación de Schrödinger se puede escribir de manera única en la forma

Ψ (x, t) =Xn

cnΨn (x, t)

donde las Ψn (x, t) son las funciones de onda estacionarias que corresponde a la n-ésima energía y lascn son constantes complejas. Sólo aquellas soluciones de la ecuación de Schrödinger cuya densidadde probabilidad es independiente del tiempo son soluciones estacionarias (esto es, que corresponden aun único autovalor de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo). Utilizando el argumentoque se acaba de usar, para los estados no estacionarios, la densidad de probabilidad muestra unadependencia oscilatoria en el tiempo con un conjunto de frecuencias dadas por ωnm = (En − Em) /~,en función de las diferencias entre las energías de los niveles estacionarios. Estas frecuencias son, portanto, características del sistema y cabe esperar que sean las frecuencias de absorción y emisión deradiación del sistema15. La existencia de los niveles discretos de energía puede determinarse de maneraexperimental observando la energía emitida o absorbida cuando el sistema hace una transición de unestado a otro.

Debe aquí recordarse que en mecánica clásica una partícula cargada irradia energía electromagnéticacuando se acelera; en particular, si la partícula cargada oscila con una frecuencia dada, la frecuenciade la radiación electromagnética emitida es igual a la frecuencia de la oscilación. Sin embargo, unadistribución estacionaria de carga no emite radiación. En efecto, supongamos un sistema cuánticoformado por una partícula con carga q en un estado cuántico estacionario n:

Ψn (x, t) = ψn (x) exp (−iEnt/~)donde En es la energía del estado y ψn (x) es la n-ésima solución de la ecuación de Schrödinger indepen-diente del tiempo para una energía potencial V (x). Podemos identificar la cantidad qΨ∗n (x, t)Ψn (x, t)como la densidad de carga del sistema, que resulta ser independiente del tiempo, con lo que el sistemano radiará energía (explíquese usted ahora el por qué del postulado de Bohr acerca de las órbitas queno radian).

Pero nosotros sabemos que existen transiciones experimentales entre estados cuánticos: estas transi-ciones pueden estar inducidas por una acción externa, por ejemplo por la interacción entre un campoelectromagnético externo y la partícula cargada. En un curso posterior de mecánica cuántica se estu-diará en detalle esta interacción, ahora sólo vamos a hacer alguna discusión cualitativa. Escribamosla función de onda de un sistema cuántico que está haciendo una transición como una mezcla de dosestados Ψn y Ψm:

Ψ (x, t) = cnΨn (x, t) + cmΨm (x, t)

Como ya hemos comentado antes, la densidad de probabilidad (y, por tanto la distribución de carga)asociada a este sistema mezclado oscila con el tiempo, con una frecuencia es

2πνnm = ωnm =(En −Em)

~,

que coincide con la frecuencia de transición de Bohr entre órbitas distintas. Este es el argumento quese usará en el tema 13, cuando se hable de las probabilidades de transición entre niveles de un sistemacuántico.

• COMPLEMENT O: Propiedades generales de los sistemas cuánticos.Para simplificar, vamos a suponer un sistema cuántico constituido por una única partícula. Supongamosque el conjunto de coordenadas lo denotamos por16 ~r.

15Estas frecuencias son, por así decirlo, las frecuencias para las que el sistema entra en resonancia: ¿rememora ahora las ideasde Bohr acerca de las frecuencias de absorción y emisión de radiación?16Así, si tenemos una partícula sin spin, las coordenadas designadas por ~r son las tres coordenadas espaciales pero si la

partícula tiene spin entonces podemos representarla por las tres coordenadas espaciales y la de spin (el spin se tratará en eltema 12).

21

El elemento básico del tratamiento cuántico es que cada estado de este sistema cuántico puede de-scribirse por una función (en general, compleja) de las coordenadas Ψ (~r, t), llamada función de onda.El cuadrado del módulo de dicha función nos da la densidad de probabilidad P (~r, t) = Ψ (~r, t)∗ Ψ (~r, t)(véase Eisberg y Resnick, apartado 5.3), que representa la distribución de probabilidad de encontrarla partícula cuántica en un punto del espacio..

Si Ψ (~r, t) es la función de onda, llamaremos ψ (~r) a dicha función de onda en un instante de tiempodeterminado to. Veamos alguna de las propiedades que debe cumplir Ψ (~r, t).

1. La densidad de probabilidad debe estar normalizada y por lo tanto para todo valor de t se cumpleque

R |Ψ (~r, t)|2 d~r = 1. Esta es la condición de normalización de la función de onda.2. Como el valor esperado (o valor de expectación) de cualquier función de ~r y t (apartado 5.4 delEisberg y Resnick) viene dado por

f (~r, t) =

ZΨ (~r, t)∗ f (~r, t) Ψ (~r, t) d~r,

que es únicamente una función de t, es claro que la función de onda normalizada está definidasalvo un factor constante de fase del módulo unidad (esto es, del tipo eiα, siendo α un númeroreal cualquiera). Esta falta de unicidad no tiene importancia alguna, dado que no se refleja enningún resultado físico (en particular, en ninguna medida).Pregunta para el alumno: ¿por qué no se refleja ese factor de fase en ningún resultado físico?

3. Supongamos, por ejemplo, que al efectuar unamedida de la energía de un sistema caracterizadopor el estado ψm (~r) se obtiene el resultado Em y que al efectuar la medida con otro estado ψn (~r)se obtiene el resultado En. Entonces (por el principio de superposición) cualquier combinaciónlineal de esos estados ψ (~r) = cnψn (~r) + cmψm (~r), representa un estado cuya medida puede darel resultado o bien Em o bien En. Esto se debe a que las ecuaciones que deben satisfacer lasfunciones de onda son lineales respecto de ψ (~r) pues si se calcula el valor esperado de la energíaen ese estado combinado resulta que ese valor medio da como resultado |cn|2En+ |cm|2Em (hagael cálculo el alumno). Por tanto, el cuadrado complejo de cada constante cn nos da la probabilidadde encontrar la energía correspondiente al autoestado n.

4. Consideremos una magnitud física A que caracteriza el estado de un sistema cuántico (por ejemplo,puede ser la energía, el momento lineal, el momento angular, etc.). Los valores que puede teneruna magnitud física en mecánica cuántica se llaman sus valores propios, sus autovalores o suseigenvalores. El conjunto de estos valores es el llamado espectro de la magnitud física. Enmecánica clásica los valores suelen tomar una sucesión continua, pero en mecánica cuántica losvalores propios puede tener una sucesión continua de valores (espectro continuo) o una sucesióndiscreta (espectro discreto) o ambas a la vez. Para simplificar, supondremos que nuestra magnitudA tiene espectro discreto. Sus valores propios los denotamos por A0, A1,...Si llamamos a lasfunciones correspondientes a cada uno de esos autovalores ψn (~r), con n = 0, 1, . . ., el principiode superposición nos dice que la función de onda más general que sea solución de nuestro sistemafísico será la combinación lineal de estas ψn (~r)

ψ (~r) =X

cnψn (~r) ,

con constantes cn complejas y se dice que el conjunto de funciones ψn (~r) es un sistema completo.

5. Asociamos a cada magnitud física (como se ha hecho anteriormente) un operador lineal Aop detal manera que el valor medio de la magnitud física A lo podamos calcular mediante la integral

A =

Zψ (~r)∗ (Aopψ (~r)) d~r

siendo Aop un operador lineal. Como los valores medios que pueden tomar las magnitudesfísicas son reales, al hacer la conjugación compleja de la ecuación anterior se verifica la igualdadZ

ψ (~r)∗ (Aopψ (~r)) d~r =Z

ψ (~r)¡A∗opψ

∗ (~r)¢d~r,

siendo A∗op el operador conjugado complejo del operador Aop. Pero esta ecuación no se cumplepara cualquier operador lineal: sólo aquellos operadores llamados hermíticos la verifican. Por ello,

22

los operadores correspondientes a las magnitudes físicas deben ser hermíticos (por ejemplo, pop,Hop, Lop, etc.).17

Además, si a partir de la ecuación de autovalores hacemos las operaciones algebraicas siguientes:

Aopψn = AnψnAopψm = Amψm

¾⇒ ψ∗m Aopψn − ψn A

∗opψ∗m = (An −Am)ψnψ∗m

e integrando, y teniendo en cuenta que el operador Aop es hermítico, se llega a

(An −Am)Z

ψn (~r)ψ∗m (~r) d~r = 0

con lo que se encuentra que las funciones de onda correspondientes a valores propiosdistintos de una magnitud física son ortogonales, esto es, que

Rψn (~r)ψ

∗m (~r) d~r = 0. Si,

además, las autofunciones están normalizadas se tendrá que el conjunto de funciones propias deuna magnitud física constituye un sistema completo de funciones normalizadas y ortogonales dosa dos (esto es, un conjunto de funciones de onda ortonormales):Z

ψn (~r) ψ∗m (~r) d~r = δmn =

½= 1 si n = m= 0 si n 6= m

6. Sea un sistema constituido por dos partes (que llamaremos 1 y 2), de manera que podamosdescribir cada una de las partes separadamente de manera completa, cada una con su conjuntode coordenadas ~r1 y ~r2. Podemos entonces afirmar que la distribución de las probabilidades dela parte 1 es completamente independiente de la de la parte 2 y, por tanto, que la distribuciónde probabilidades para el sistema total es el producto de las probabilidades de cada una de suspartes. En el lenguaje de las funciones de onda:

Ψ12 (~r1, ~r2, t) = Ψ1 (~r1, t)Ψ2 (~r2, t)

Esto significa que un sistema de, por ejemplo, dos partículas independientes tiene una función deonda que es el producto de las funciones de cada partícula por separado (se verá esto más adelantecuando se discutan los sistemas de partículas idénticas: tema 14).

• COMPLEMENT O:Resumenmuybreve de los postulados de lamecáni-ca cuántica.181. Para un sistema de una partícula hay una función de onda que determina todo lo que se puedeconocer del sistema. Esta función de onda de la partícula es una función compleja de las coorde-nadas y del tiempo.

2. Con cada observable físico (la energía, la posición de la partícula, etc.) hay asociado un operador.Este operador asociado debe ser hermítico, pues todos los valores propios de un operador hermíticoson números reales.

3. Si llamamos Aop al operador asociado al observable A, una medida de A da como resultado unode los valores propios (o autovalores) de la ecuación de valores propios siguiente:

Aopψn = anψn

Por consiguiente, si la función de onda de la partícula antes de la medida es ψn se obtendráexactamente an como resultado de medir A. Sin embargo, si la función de onda de la partículaantes de la medida no es una de las autofunciones es imposible predecir con seguridad cuál de losresultados posibles se obtendrá.

4. La evolución temporal de la función de onda Ψ se determina mediante la ecuación de Schrödinger

HopΨ (~r, t) = i~∂

∂tΨ (~r, t)

donde el operador hamiltoniano Hop corresponde al observable energía total del sistema.

17 Sería conveniente que usted repase los conceptos de matriz hermítica, etc., de Álgebra elemental.18Para un estudio más profundo de este tema, véase el libro Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica, cuyos

autores son P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (UNED, colección Cuadernos de la UNED).

23

5. El conjunto de funciones propias (o autofunciones) de un observable, esto es, aquellas que cumplenla ecuación

Aopψn = anψn,

forman un conjunto infinito de funciones linealmente independientes, que puede usarse para desar-rollar cualquier función de onda del sistema. Se supondrá siempre que ese conjunto de funcionesestá normalizado, con lo que forma un conjunto ortonormal completo de funciones.Por tanto, cualquier función de onda Ψ puede desarrollarse como combinación lineal de esasautofunciones:

Ψ (~r, t) =Xi

ciψi (~r, t) .

En el caso de que estemos hablando de las autofunciones del operador hamiltoniano (o energía),si llamamos ψi (~r) a sus autofunciones, esto es si se verifica que Hopψi (~r) = Eiψi (~r), sabemosque la función de onda correspondiente a esas autofunciones es Ψi (~r, t) = ψi (~r) exp (−iEit/~).Por consiguiente, una función de onda cualquiera se podrá escribir como

Ψ (~r, t) =Xi

ciΨi (~r, t) =Xi

ciψi (~r) exp (−iEit/~) =Xi

Ci (t)ψi (~r)

6. El valor esperado de un observable A cuando el sistema está descrito por una función de onda Ψviene dado por

A =

ZΨ∗ (~r, t) Aop Ψ (~r, t) d~r.

Esto significa que si la función de onda está normalizada a la unidad, y dado el carácter ortonormalde las funciones propias, que el valor esperado de ese observable se puede escribir (¡demuéstrelocon detalle!) como

A =Xi

ai |ci|2 ,

de manera que el número real |ci|2 puede interpretarse como la probabilidad de encontrar alsistema en el estado designado por el subíndice i. Para un ejemplo sencillo, véase la solución a losproblemas 5.33 y 5.34 del libro de Eisberg y Resnick en el apartado de problemas de este envío.

• COMPLEMENT O: Relaciones de incertidumbre posición-impulso (aparta-do 3.3 del libro de Eisberg y Resnick)

Nota: haremos el tratamiento en una dimensión, pero lo aquí explicado se generaliza sin problemas amás dimensiones.

Veamos cómo demostrar con toda generalidad que ∆x ·∆p ≥ 12~. Sea Ψ (x, t) una función de onda de

Schrödinger, normalizada a la unidad. Llamaremos ψ (x) a dicha función de onda en un instante detiempo determinado to.

Elegimos hxi = 0 y hpi = 0, sin que esto merme la generalidad de la demostración. Primeramente,tómese la integral I (λ) siguiente, que es mayor o igual a 0 (para todo valor del parámetro real λ):

I (λ) ≡Z ∞−∞

dx

¯xψ (x) + λ~dψ (x)

dx

¯2.

Al integrarla por partes, nos da

I (λ) =

Z ∞−∞

dx |xψ (x)|2 + λ~Z ∞−∞

dx

µdψ∗ (x)dx

xψ (x) + xψ∗ (x)dψ (x)

dx

¶+ λ2~2

Z ∞−∞

dx

¯dψ (x)

dx

¯2.

El primero de los sumandos lo podemos reescribir comoR∞−∞ x

2 |ψ (x)|2 dx, de manera que si la funciónde onda ψ (x) está normalizada ese sumando es

­x2®. El segundo sumando podemos escribirlo como

λ~µZ ∞−∞

dxdψ∗ (x)dx

xψ (x) +

Z ∞−∞

dx xψ∗ (x)dψ (x)

dx

¶= λ~

µZ ∞−∞

dxdψ∗ (x)dx

xψ (x) + [xψ∗ (x)ψ (x)]∞−∞ −Z ∞−∞

xψ (x)dψ∗ (x)dx

dx− 1¶= −λ~

24

si suponemos que ψ(±∞) = 0. Por último, si escribimos el valor medio del cuadrado del momentolineal como ­

p2®= −~2

Z ∞−∞

ψ∗ (x)d2ψ (x)

dx2dx,

e integramos por partes

­p2®= −~2

Z ∞−∞

ψ∗ (x)d2ψ (x)

dx2dx = −~2

·ψ∗ (x)

dψ (x)

dx

¸∞−∞+~2

Z ∞−∞

dψ∗ (x)dx

dψ (x)

dxdx = ~2

Z ∞−∞

dx

¯dψ (x)

dx

¯2después de usar que ψ(±∞) = 0. Por tanto, la integral nos queda como un polinomio de segundogrado en λ,

I(λ) =­x2®− λ~+ λ2

­p2®.

Pero la integral es definida positiva, I(λ) ≥ 0, por lo que no puede cumplirse que la ecuación I (λ) = 0tenga dos soluciones reales: eso significa que el discriminante del polinomio ha de ser negativo19; portanto, obtenemos que

­x2® ­p2® ≥ 1

4~2.

Como se ve, esta ecuación es menos restrictiva que la que buscamos. Queda, sin embargo, como trabajopara el alumno ver que si utilizamos la integral

I 0 (λ) =Z ∞−∞

dx

¯(x− hxi)ψ (x) + λ

µ~ ∂

∂x− i hpi

¶ψ (x)

¯2≥ 0

entonces el polinomio de segundo grado en λ resulta ser

I 0 (λ) = (∆x)2 − λ~+ λ2 (∆p)2 ≥ 0

y como su discriminante debe ser negativo

∆x ·∆p ≥ 12~

que es lo que se quería demostrar.

Nótese que en esta demostración NO se ha utilizado ninguna suposición acerca de la forma de la funciónde onda, de manera que la relación de indeterminación es una propiedad completamentegeneral de los sistemas cuánticos, pues lo único que se ha usado en la demostración es que eloperador momento está asignado a un operador diferencial proporcional a d/dx (además, obviamente,que ψ(±∞) = 0).

19En efecto, si el discriminante fuera positivo y no nulo, entonces existirían dos soluciones reales λ1 y λ2 de la igualdadI (λ) = 0. Por tanto, si por ejemplo λ1 > λ2, para aquellos valores de λ entre λ2 y λ1 se cumpliría que I(λ) = (λ− α) (λ− β) < 0.

25

8 Tema 8. Problemas unidimensionales: estados de colisión.

Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: apartados 6.1 a 6.6 (resumen en el apartado 6.10).Alonso y Finn, vol. III, apartados 2.4 y 2.8.

Hay al menos dos razones para estudiar sistemas unidimensionales en mecánica cuántica:

1.- los modelos unidimensionales son modelos sencillos, que permiten poner de manifiesto algunas de laspropiedades cuánticas que aparecen posteriormente en sistemas físicos más complicados.

2.- algunos problemas, después de ser elaborados adecuadamente, quedan reducidos a ecuaciones en unadimensión (por ejemplo, en el estudio del átomo de hidrógeno, que se hará en el tema 10 y siguientes de laSegunda Prueba Personal, la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones, utilizando el método de separaciónde variables, se puede reescribir como un conjunto de tres ecuaciones, cada una en una dimensión).

En el libro de Eisberg y Resnick se estudian varias aplicaciones concretas a sistemas unidimensionales.

• Región con energía potencial constante• Escalón de potencial.• Barrera de potencial. (transmisión resonante).

Hay un resumen muy gráfico de todo lo tratado en este tema (y en los dos siguientes) en el apartado 6.10del Eisberg y Resnick, pág. 270.

Para completar el estudio que el texto hace de algunos ejemplos, nos gustaría exponerle algunos puntosque resumen propiedades importantes de los sistemas cuánticos unidimensionales.

• COMPLEMENT O Comportamiento de la función de onda en regiones de energía poten-cial constante.

Supongamos que la energía potencial V (x) sea constante, V (x) = Vo. La ecuación de Schrödinger será

d2ψ

dx2+2m

~2(E − Vo)ψ = 0.

(a) Si la energía verifica que E > Vo, definiendo k =p2m (E − Vo)/~, se obtiene la solución

ψ (x) = A eikx +A0 e−ikx

donde A y A’ son constantes, en general complejas. Esta solución es oscilatoria, siendo uno de lossumandos una onda viajando hacia la izquierda y el otro viajando hacia la derecha.

(b) Si la energía verifica que E < Vo, definiendo q =p2m (Vo −E)/~, la solución es

ψ (x) = B eqx +B0 e−qx

donde B y B0 son constantes, en general complejas. En este caso, debe usted notar que el primersumando de la solución crece con el valor de x (diverge cuando x → ∞), mientras que el segundo seanulará rápidamente al aumentar x (pero converge cuando x→−∞).(c) Si E = Vo, entonces ψ (x) es una función lineal de x.

Cuando en el el apartado 6.2 del texto de Eisberg y Resnick se discute el caso de la energía potencialconstante (o cero, si se iguala el origen de energías a ese valor), después de calcular cómo es laautofunción de una partícula libre de autovalor de la energía E, calcula el valor del momento linealcorrespondiente a esa autofunción. Al final se comenta de pasada el llamado teorema de Ehrenfest, queaquí detallamos un poco más.

26

• COMPLEMENT O Teorema de Ehrenfest.

El postulado introducido en el material complementario del tema 7, donde se postula la forma decalcular el valor medio de una variable cuántica, viene apoyado por el teorema de Ehrenfest :20

Los valores medios de las variables de la mecánica cuántica satisfacen las mismas ecuaciones delmovimiento que las variables clásicas correspondientes (cuando se hace una descripción clásica delsistema físico), de forma que la ley cuántica de evolución de los valores medios es formalmente idén-tica a las ecuaciones de la mecánica clásica.

En concreto, el teorema afirma que la evolución de los valores medios (o de expectación) de la posicióny del momento lineal es

d hxopidt

=hpopim

d hpopidt

= −¿dV (x)

dx

À,

siempre que la función de onda Ψ (x, t) respecto a la que se calculan los valores medios h· · ·i satisfagala ecuación de Schrödinger

HopΨ (x, t) = i~∂Ψ (x, t)

∂t,

siendo

Hop = − ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x) .

Nótese que la función de onda Ψ (x, t) depende del tiempo y, por lo tanto, así lo harán los valoresmedios hxopi y hpopi.Como se ve, este teorema permite ver cómo la mecánica clásica puede considerarse como un caso límitede la mecánica cuántica, siempre que pueda ignorarse la indeterminación de las variables21.

• COMPLEMENT O Propiedades generales del movimiento en una dimensión.

(vea también el apartado 2.7 del Alonso y Finn, vol. III).

Supongamos que la energía potencial V (x) es una función que cumple las siguientes condiciones:

+`-`

V(x)

Vmin

Figura 4: Energía potencial con las propiedades (i) y (ii).

(i) V (x) tiende a límites constantes en ±∞.(ii) Definimos V (∞) = 0 y V (−∞) = V∞ > 0. El mínimo de la energía potencial lo llamamosVmin < 0.

Se tienen entonces las siguientes propiedades:

(a) Para valores de la energía que cumplan que Vmin < E < 0 los autovalores de la energía tienenuna distribución discreta. Como vemos, este espectro discreto corresponde al intervalo de energíaspara las que la partícula no puede escapar al infinito, pues la función de onda se anula rápidamentetanto para x→∞ como para x→−∞ (por eso se llaman también estados ligados).

20Véase, por ejemplo, el final del apartado 6.2 y el problema 7.8 del libro de Eisberg y Resnick o el apartado 3.13 del libroIntroducción al formalismo de la Mecánica Cuántica de P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (UNED, colecciónCuadernos de la UNED, 2001). También puede consultarse el apartado 4-5c del libro de D.T. Gillespie Introducción a laMecánica Cuántica. Ed. Reverté.21El lector interesado puede leer la discusión de las páginas 105 a 107 del citado libro de Gillespie.

27

Todos los niveles de energía de este espectro discreto son no degenerados.

(b) Para autovalores de la energía que verifiquen que 0 < E < V∞, entonces el espectro escontinuo, pudiendo escapar la partícula hacia x = ∞, pero no hacia x = −∞ (pues la función deonda se anula rápidamente, vea el complemento sobre el comportamiento de la función de onda enregiones con energía potencial constante). En esta parte del espectro también los niveles de energíason no degenerados.

Para x→∞, la ecuación de Schrödinger se reduce ad2ψ

dx2+2m

~2Eψ = 0 =⇒ ψ (x→∞) = A cos (kx+ δ)

siendo A, δ y k =√2mE/~ constantes. Nótese que el efecto neto del potencial que queda a la izquierda

de la partícula es únicamente el defasaje δ de la función de onda.

Para x→−∞, la ecuación de Schrödinger se reduce en cambio ad2ψ

dx2+2m

~2(V∞ −E)ψ = 0 =⇒ ψ (x→−∞) = B exp (qx)

siendo B y q =p2m (V∞ −E)/~ constantes, de forma que la función de onda se amortigua exponen-

cialmente cuando se penetra en la región en que E < V (x).

(c) Si la energía verifica que E > V∞, entonces el espectro es continuo, y el movimiento será infini-to en x = ±∞. En esta parte del espectro todos los niveles de energía son doblemente degenerados,pues la partícula puede viajar tanto hacia la derecha como hacia la izquierda.

(d) Nota: Para los estados ligados se tiene además la siguiente propiedad:

Si colocamos los estados propios por orden creciente de energías (E1, E2, . . . , En, . . .), entonces lafunción propia n-ésima tiene (n − 1) nodos, entre los que hay al menos un nodo de cada una de lasfunciones propias de mayor energía. En otras palabras, la autofunción del estado fundamentalno tiene nodos, la función de ondas del primer estado excitado posee un nodo, y asísucesivamente.

• COMPLEMENT O Comportamiento de la función de onda en los puntos en los que haydiscontinuidades finitas del potencial (condiciones de empalme de la función de onda).

En estos puntos de discontinuidad finita, por propiedades matemáticas de la ecuación diferencial deSchrödinger (que es una ecuación de segundo orden), se debe verificar las condiciones de contorno:

(a) ψ (x) es continua.

(b) dψ (x) /dx es también continua.

Además, se cumple que la segunda derivada d2ψ (x) /dx2 es discontinua en el punto de discontinuidadde V (x).

Para calcular la función de onda de cualquier sistema físico descrito por un potencial constante a trozos,esto es con valores distintos en zonas diferentes del espacio (es decir, con discontinuidades en la energíapotencial), se procederá de la manera que sigue:

(1) La función de onda se escribirá como combinación de exponenciales reales o imaginarias, de algunade las maneras que se han descrito anteriormente.

(2) Se aplican condiciones de empalme de las funciones de onda en cada punto de discontinuidad,exigiendo la continuidad de ψ (x) y de dψ (x) /dx o, lo que es lo mismo, de la derivada logarítmica deψ (x).

Nota importante: en los puntos en los que hay una discontinuidad infinita (por ejemplo, en losque el potencial pasa de∞ a 0 de manera súbita, como en un pozo de potencial infinito) no se verificala continuidad de la derivada primera de la función de onda. Sin embargo, note que cuando el potenciales infinito la función de onda tiene que ser necesariamente nula Ψ (x, t) = 0, lo que nos da una nuevacondición de contorno.

28

9 Tema 9. Problemas unidimensionales: estados ligados; el os-cilador armónico.

Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: apartados 6.7 a 6.9.Alonso y Finn vol III: apartados 2.5 y 2.6.

• Pozo cuadrado finito(véase el apéndice G del libro de Eisberg y Resnick para la solución exacta de este problema).

Fíjese en la figura 6.26 del Eisberg y Resnick, que muestra las características más importantes de losautoestados de este potencial:

(i) el número de nodos de cada autoestado depende de la energía del mismo, aumentando con ella (notiene nodos el primer nivel, el segundo nivel tiene uno, tiene dos el tercero, ...).

(ii) hay una probabilidad no nula de encontrar la partícula más allá de las paredes del pozo de potencial(la función de onda penetra en la barrera).

• Pozo cuadrado infinito.Ahora es la figura 6.31 del Eisberg y Resnick la que muestra algunas características de los autoestadosde este potencial:

(i) el número de nodos de cada autoestado depende de la energía del mismo, aumentando con ella (sino contamos los valores de ψ (x) en los extremos del pozo, la primera autofunción no tiene nodos, tieneuno el segundo nivel, tiene dos el tercero, ...).

(ii) en este caso, no existe probabilidad de encontrar la partícula más allá de las paredes del pozo depotencial, ya que el pozo tiene profundidad infinita y la función de onda se anula en los extremos delpozo y en el exterior del pozo. Esa condición simplifica notablemente el problema y, de una maneramuy sencilla, se puede calcular la energía de los estados ligados de este pozo de potencial. El valor delas energías varía inversamente con el cuadrado de la anchura del pozo, En ∝ n2/a2.

• El oscilador armónico.(i) Estudie la solución de la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico en el apéndice H dellibro de Eisberg y Resnick.

(ii) La energía de un oscilador cuántico viene dada por la expresión

En =

µn+

1

2

¶hν =

µn+

1

2

¶~ω.

Un resultado importante de la solución cuántica del oscilador armónico es que la energía mínima es 12~ω,que se llama energía del punto cero porque corresponde a n = 0. Este resultado está relacionado con elprincipio de indeterminación. En efecto, el primer nivel de energía del sistema (el estado fundamental oestado base) tendrá aproximadamente la mínima energía compatible con dicho principio. Este sistemaes un sistema localizado (la partícula no se va al infinito) y, por simetría, el valor medio de la posiciónde la partícula es el centro del potencial. Si en este nivel la amplitud máxima es xo podremos estimaresta amplitud diciendo que es aproximadamente la mitad de la dispersión de la variable x, esto es,que xo ' 1

2∆x. El mismo argumento se puede aplicar a la amplitud del momento lineal po ' 12∆p.

Clásicamente un oscilador con esa amplitud tiene una energía E = 12mω2x2o =

12mxopo donde hemos

tenido en cuenta que po = mωxo. De ahí E ' 18 ω∆x∆p ' 1

2~ω, que es lo que se quería demostrar.Por lo tanto, se puede estimar la energía del punto cero de un sistema utilizando el principio deindeterminación.

(iii) Ejercicio: hágase la estimación anterior para el nivel de mínima energía de un pozo cuadra-do,basándose en el principio de incertidumbre, y compárelo con el resultado exacto.

Otro ejercicio: estime el orden de magnitud del número cuántico n en un péndulo macroscópico. ¿Sepuede describir el movimiento macroscópico del péndulo con un único autoestado de un osciladorcuántico?

29

Primera Prueba Personal. Problemas.

1 Problemas del tema 1.• ¿A qué longitud de onda, una cavidad a 6000 K radiará más por unidad de longitud deonda? (Problema 1.1 del libro de Eisberg y Resnick)

La ley de Wien nos dice que

λmaxT = CW .

El valor experimental de la constante de Wien es CW = 2.898× 10−3 m K. Como la temperatura es 6000 K,sustituyendo tenemos:

λmax =CWT

= 4830 Å.

Esta longitud de onda está comprendida en el intervalo de luz visible y corresponde al color azul, que el ojopercibe cuando la longitud de onda está entre 4550 y 4920 Å.

• Demuestre que la relación entre la radiancia espectral RT (ν) y la densidad de energíaρT (ν) es RT (ν) dv = (c/4) ρT (ν) dν. (Problema 1.2 del libro de Eisberg y Resnick)

Por simplicidad consideraremos una caja cúbica de dimensiones Lx, Ly, Lz. El campo electromagnéticodentro de esa cavidad se puede descomponer como una suma de modos armónicos. Cada modo es una ondaelectromagnética estacionaria, descrita por un vector de ondas k, de componentes, kx, ky, kz. Consideremosel número de modos que están caracterizados por un vector de ondas entre k y k + dk. Llamemos a lacomponente en la dirección x del campo eléctrico Ex = sin (kxx) sin (2πνt). Para que este campo eléctricocumpla las condiciones de contorno en x = 0 y en x = Lx ha de verificarse que Ex = 0 en ambos puntos.Entonces sin (kxLx) = 0, y

kx =2π

Lxnx,

donde nx = 1, 2, 3, .... Por tanto

∆nx =Lx2π∆kx.

Si llamamos ∆N (k) el número de modos (u ondas) cuyo número de ondas k tiene componentes entre kx ykx +∆kx, ky y ky +∆ky y kz y kz +∆kz, entonces

∆N (k) =LxLyLz

(2π)3∆kx∆ky∆kz

y dado que el volumen de la cavidad es V = LxLyLz

dN (k) = Vd3k

(2π)3.

Por tanto, para longitudes de onda del orden del tamaño de la cavidad, el número de modos en una cavidades proporcional al volumen V de la caja y al volumen en el espacio k.1

Consideremos ahora en la figura los fotones que llegan a una pared de la caja con un vector de ondaentre k y k + dk. Hay 2f (k)V −1dN (k) fotones de este tipo por unidad de volumen, (2 porque son doslas polarizaciones posibles, y f (k) es la función de distribución; véase el texto si se considera conveniente).Como los fotones viajan con la velocidad de la luz c, los fotones contenidos en un volumen cilíndrico (queson los que chocan con el área dA en el tiempo dt, véase la figura 1) son (cdt cos θ) f (k) dN (k).

1Aunque no lo hemos probado, este resultado es independiente de la forma de la cavidad.

1

k

cdt

area dA

θ

z

Figura 1: Fotones que llegan a una pared de la caja con un vector de onda k

Como cada fotón lleva energía hω se obtiene que la potencia incidente de radiación por unidad defrecuencia y de ángulo sólido es

Rinc (k) dω dΩ = (hω) 2c cos θ f (k)d3k

(2π)3.

Expresando el elemento de volumen d3k en coordenadas esféricas se tiene

d3k = k2 dk dΩ =8π3ν2

c3dν dΩ

y por tanto

Rinc (k) =2ν3h

c2f (k) cosθ.

Determinemos ahora la potencia total emitida por unidad de área en el intervalo de frecuencias ν y dν.Para ello es preciso integrar en todas las direcciones posibles de emisión, es decir, para todos los ángulossólidos en el intervalo de ángulos polares 0 < θ < π/2 y en el de ángulos azimutales 0 < ϕ < 2π. ComodΩ =senθ dθ dϕ se obtiene

RT (ν) dν =

ZΩ

Rinc (k) dΩ dν =2ν3h

c2f (k)

Ã2π

Z π/2

0

cosθ senθ dθ

!dν

Como 2πR π/20

cos θ sin θ dθ = π, tenemos:

RT (ν) dν =2πν3h

c2f (k) dν.

Vemos que el segundo miembro es proporcional a (hv) f (k)d3k, esto es, a la densidad media de la energíade radiación ρ (v) dv dentro de la cavidad. Por tanto, RT (ν) dν puede expresarse explícitamente en funciónde ρ (ν) como veremos a continuación:

1. el número de valores permitidos de la frecuencia ν en el intervalo ν y ν + dν es dN (k),

dN (k) = Vd3k

(2π)3

y sustituyendo d3k = k2dkdΩ =¡8π3v2/c3

¢dvdΩ e integrando en el ángulo sólido

RΩdΩ = 4π, se

obtiene

N (ν) dν = 2× V

(2π)3

ZΩ

8π3v2

c3dvdΩ =

8πV

c3ν2dν

donde se ha multiplicado por un factor dos, ya que para cada frecuencia permitida hay dos ondasindependientes que corresponden a dos estados de polarización (véase también el apartado 1-2 del librode Eisberg y Resnick).

2

2. la energía de los fotones es hv. Por tanto, la densidad media de energía, es decir la energía por unidadde volumen en el intervalo de frecuencias entre ν y ν + dν es:

ρT (ν) dν = (hν)8πν2

c3f (k) dν

y entonces se obtiene el resultado pedido

RT (ν) dν =c

4ρT (v) dv.

• (a) Suponiendo que la temperatura en la superficie del Sol es 5700 K, utilice la ley deStefan, ecuación (1-2), para determinar la masa en reposo que se pierde por segundo enla radiación del Sol. Tome el diámetro del Sol como 1.4× 109 m. (b) ¿Qué fracción de lamasa en reposo del Sol, se pierde cada año en radiación electromagnética? Suponga quela masa en reposo del Sol es 2.0× 1030 kg. (Problema 1.5 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:(a) La ley de Stefan nos dice que la radiación total emitida por unidad de tiempo y unidad de área

RT = σ T 4, donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann y T la temperatura. La superficie de una esfera,en este caso el Sol, es: S = 4πr2, donde r es el radio de la esfera. La potencia radiada por el Sol es P = RTS.Sabemos que la energía y la masa en reposo están relacionadas por la fórmula de Einstein, E = m0c

2, ypor otra parte, P = E/t, donde t es el tiempo y E la energía. Así, podemos escribir que

mo

t=P

c2=

σT 44πr2

c2= 4.1× 109 kg/seg

(b) Si en un segundo se pierde 4.1× 109 kg, en un año se perderán esa misma cantidad multiplicada porel número total de segundos que tiene un año, con lo que se perderán en total 1.3 × 1017 kg. La masa enreposo del Sol es aproximadamente 2.0× 1030 kg, por lo que anualmente se pierde un tanto por ciento igualal 6.46× 10−12, una cantidad realmente pequeña.

• En una explosión termonuclear, la temperatura en la bola de fuego es, momentánea-mente, 107 K. Encuentre la longitud de onda para la cual la radiación emitida es máxima.(Problema 1.6 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:Como en el problema (1.1), utilizamos la relación:

λmaxT = CW

Como sabemos que la temperatura es 107 K, sustituyendo los valores correspondientes en la ecuación anterior,tenemos:

λmax =CWT

' 2.9 Å.

Esta longitud de onda, 2.9× 10−10 m, se encuentra en la región del espectro correspondiente a rayos ultra-violeta. La región ultravioleta cubre desde 6× 10−10 m hasta 3.8 ×10−7 m, que es el límite del intervalo deluz visible (donde empieza el color violeta).

• Para una cavidad de cuerpo negro a una temperatura dada, la máxima radiación se dapara λmax = 6500 Å ¿Cuál será λmax si la temperatura de las paredes de la cavidad aumentade modo que la razón de emisión de radiación espectral se duplica? (Problema 1.7 dellibro de Eisberg y Resnick)

3

Solución:Según la ley de Stefan, RT = σT 4, así 2RT = σT 04, por lo que el cociente entre ambas expresiones nos

relaciona las temperaturas T y T 0, según la ley:

T 04 = 2T 4.

Por otro lado,

λmaxT = CW λ0maxT0 = CW ,

con lo que el cociente de ambas expresiones, relaciona las longitudes de onda y las temperaturas según:

λmaxT

λ0maxT 0= 1.

Sustituyendo la expresión de T 0 por su valor en la ecuación anterior, se obtiene que:

λ0max =λmax4√2= 5465 Å.

• ¿A qué longitud de onda emite el cuerpo humano su radiación térmica máxima? Hagauna lista de las hipótesis que utilice para llegar a su respuesta. (Problema 1.8 del librode Eisberg y Resnick)

Solución:Si suponemos que el cuerpo humano es un cuerpo negro, la radiación térmica máxima del cuerpo humano,

según la ley del desplazamiento de Wien, correspondería a una temperatura corporal de aproximadamente37oC. Por tanto, la temperatura absoluta sería T = 310 K, partiendo de la ecuación

λmaxT = CW =⇒ λmax =CWT

' 105 Å = 10−5m,

habiendo usado que CW ' 3×10−3 m K = 3×107 Å K. La longitud de onda encontrada está en el infrarrojo.

• Supongamos que el color rojo del espectro corresponde a la menor longitud de onda delinfrarrojo cercano (esto es 7.8 × 10−7 m o 7800 Å), y que el color azul corresponde a lamayor longitud de onda del ultravioleta cercano (esto es 3.8×10−7 m o 3800 Å). A partir dela ley del desplazamiento de Wien, utilizando como λmax dichas longitudes de onda ¿a quétemperatura aproximadamente corresponderá el color rojo?¿y el color azul? (Problema1.9 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:La ley de Wien nos dice que, para una temperatura dada T , la radiancia alcanza su valor máximo en

una longitud de onda λmax tal que:

λmaxT = CW ,

donde CW es la constante de Wien.Tomando para el color rojo y azul las longitudes de onda que nos dice el enunciado, esto es λmax = 7800 Å

y λmax = 3800 Å y despejando la temperatura de la ecuación anterior se tienen las temperaturas aproximadasque podemos asignar a los dos colores citados:

Trojo =CWλmax

= 3715 K Tazul =CWλmax

= 7626 K.

4

• La radiación que incide sobre la tierra por unidad de área es 338 W m−2.

(a) Explique la consistencia de este número con la constante solar (energía solar que llegaa la tierra por unidad de tiempo incidiendo normal a una unidad de área de la superficieterrestre) cuyo valor es 1340 W m−2.

(b) Considere la tierra como un cuerpo negro que radia energía al espacio en esta mismarazón. ¿Cuál sería la temperatura de la superficie de la tierra bajo estas circunstancias?(Problema 1.10 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:(a) La constante solar es 1340 W/m2. La energía que incide sobre la cara de la tierra por unidad de

tiempo será:

1340 W m−2 × πR2

donde R es el radio de la tierra (véanse dibujos adjuntos, figura 2).

R

S= π R2

Vista frontalVista lateral

Figura 2: Radiación incidente sobre una esfera.

Para calcular la radiación solar media en toda la Tierra, hay que considerar toda la superficie, S = 4πR2,luego:

Q =1340 W m−2 × πR2

4πR2= 338W m−2

que coincide con el valor que nos da el enunciado de la radiación por unidad de área.(b) Según la ley de Stefan, RT = σT 4, donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann, y T , la temperatura.

Despejando la temperatura de dicha ecuación se tiene:

T = 4pRT/σ = 278 K.

• Demuestre que la ley de radiación de Rayleigh-Jeans, ecuación (1-17), no es consistentecon la ley de desplazamiento de Wien νmax ∝ T o bien λmaxT = cte. (Problema 1.11 dellibro de Eisberg y Resnick)

Solución:

5

El valor de la densidad de energía de la radiación de cuerpo negro ρT (ν) según la fórmula de Rayleigh-Jeans es :

ρT (ν) =8πν2kBT

c3.

Para una temperatura dada, esta función es siempre creciente con ν. No tiene ningún máximo, y esto no esconsistente con la ley de Wien.Sin embargo la ley de radiación de Planck es:

ρT (ν) =8πν2

c3hν

exp (hν/kBT )− 1Esta función se comporta como ρT (ν) → 0 para ν → 0 y para altas frecuencias también tiende a cero:ρT (ν) ∼ ν3 exp(−hν/kT )→ 0 (realice el cálculo de estos límites con detalle). Para frecuencias intermedias,tendrá, por lo tanto, un máximo ya que la función es definida positiva. Este comportamiento sí está deacuerdo con los experimentos.

• A partir del espectro del cuerpo negro, νmax se puede obtener de dρT (ν)/dν = 0 y λmaxde dρT (λ)/dλ = 0. ¿Por qué a partir de λmaxT = cte o νmax ∝ T no es posible obtenerlassi se utiliza simplemente λmax = c/νmax? Es decir, ¿por qué es erróneo suponer queνmaxλmax = c, donde c es la velocidad de la luz? (Problema 1.12 del libro de Eisberg yResnick)

Solución:La cantidad ρT (λ) se define como ρT (λ) dλ = −ρT (ν) dν. Como dλ = −(c/ν2)dν se tiene,

ρT (λ) = ρT (ν)c

λ2

dρT (ν)

dν=d

dλ

·ρT (λ)

λ2

c

¸· dλdν= − c

ν2

·2λ

cρT (λ) +

λ2

c

dρT (λ)

dλ

¸dρT (ν)

dν= −2λ

3

c2ρT (λ)−

λ4

c2dρT (λ)

dλ.

Para que ρT (ν) tenga un máximo ha de cumplirse que dρT (ν)/dν = 0. Se ve por la ecuación anterior queesto no equivale a dρT (λ)/dλ = 0.

• Utilizando la relación RT (ν) dν = (c/4) ρT (ν) dν entre la radiación espectral y la densidadde energía, junto con la ley de radiación de Planck, derivar la ley de Stefan. Es decir,demuestre que:

RT =

Z ∞0

2πh

c2ν3 dν

exp (hν/kBT )− 1= σT 4,

donde σ = 2π5k4B/15c2h3. (Problema 1.16 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:Sabemos que la densidad de energía es

ρT (v) dv =8πhν3

c31

exp (hν/kT )− 1dv

(ecuación 1-27 del Eisberg y Resnick) y la energía total RT =R∞0 RT (ν)dν (ecuación 1-1 del Eisberg y

Resnick) , con lo que tendremos:

RT =

Z ∞0

(c/4) ρT (ν) dν = (c/4)

Z ∞0

8πhν3

c31

exp (hν/kBT )− 1dν.

Haciendo el cambio de variable: x = hν/kBT e integrando se tiene que:

RT =

Z ∞0

RT (ν) dν =2π5k4BT

4

15c2h3= σT 4.

6

2 Problemas del tema 2.

• La energía necesaria para extraer un electrón del sodio es 2.3 eV. ¿Presentará el sodioefecto fotoeléctrico para luz amarilla con λ = 5890 Å?, (b) ¿Cuál es la longitud de onda decorte para emisión fotoeléctrica de sodio? (Problema 2.1 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:(a) La energía cinética del electrón emitido desde la superficie de un metal es cero cuando la frecuencia

del fotón incidente en el metal es hν0 = W0. Por tanto, la frecuencia umbral o frecuencia mínima a partirde la cual hay emisión fotoeléctrica es ν0 =W0/h = 5.56× 1014 Hz. Dado que con λ = 5890 Å la frecuenciacorrespondiente es ν = c/λ = 5.09× 1014 Hz, el sodio no presentará efecto fotoeléctrico.(b) La longitud de onda pedida es λ0 = c/ν0 = hc/W0 = 5398 Å, correspondiente a luz verde en el

intervalo del espectro de radiación electromagnética.

• Sobre una superficie de aluminio incide luz de longitud de onda 2000 Å. Se requieren4.2 eV para extraer un electrón del aluminio.

(a) ¿Cuál será la energía cinética del más rápido de los fotoelectrones emitidos?

(b) ¿Cuál será la energía cinética del más lento de los fotoelectrones emitidos?

(c) ¿Cuál será el potencial de frenado?

(d) ¿Cuál es la longitud de onda de corte para el aluminio?

(e) Si la intensidad de la luz incidente es 2.0W/m2, ¿cuál es el número promedio de fotonespor unidad de tiempo por unidad de área que inciden sobre la superficie? (Problema 2.2del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:(a) Como sabemos, la máxima energía cinética de los electrones emitidos es

Kmax = eV0 = hν −W 0,

Por lo tanto

Kmax = hc/λ−W0 = 2 eV.

(b) La energía cinética del electrón emitido es K = hν −W , donde W es el trabajo necesario para sacarel electrón del metal. Por otra parte no todos los electrones requieren la misma energía para escapar de unmetal, sino que ésta depende del nivel de energía que ocupa el electrón. Los fotoelectrones que se emitendesde el metal provienen de un continuo de niveles, que se llama banda de conducción (sección 2.4, pág. 53).Si no hay pérdidas por colisiones durante el trayecto, los electrones que ocupan los estados superiores

de la banda de conducción, cercanos a la energía de Fermi, necesitan menos energía para ser emitidos. Laenergía cinética máxima sólo depende de la función de trabajo, como se ve en el apartado anterior. Laenergía cinética mínima depende además del valor de la energía de Fermi del metal, esto es, de la anchuraen energías de la banda de conducción (para entender mejor la idea de la energía de Fermi, lea las secciones11.11 y 11.12 del libro de Eisberg y Resnick y también la sección 13.3).(c) Como eV0 = 2 eV, se tiene que

V0 = 2 V

(d) De la expresión hν0 = W 0, se deduce que hc/λ0 = W 0, con lo que, despejando el valor de λ0,obtenemos:

λ0 =hc

W 0= 2956 Å

(e) Por último, si a un fotón tiene una energía hν, igual a 6.2 eV, entonces, el número de fotonescorrespondientes a una intensidad igual a I = 2 W/m2 = 2 J m−2s−1, se obtiene mediante una simple reglade tres:

n =I

hν= 2× 1018 fotones

m2seg,

donde se ha utilizado que 1 eV=1.602× 10−19 J y que 1 W=1J/s.

7

• La función trabajo para una superficie limpia de litio es 2.3 eV. Haga una gráfica es-quemática del potencial de frenado V0 en función de la frecuencia de la luz incidente paraesta superficie, indicando los puntos importantes (Problema 2.3 del libro de Eisberg yResnick)

Solución:La conservación de la energía nos permite escribir que

Kmax = eV0 = hν −W0.

En este caso, tenemos W 0 = 2.3 eV, y supongamos V0 = 0, con lo que la expresión anterior queda reducidaa:

0 = hν0 −W0.

Así, despejando ν0 de la anterior expresión, tenemos la frecuencia de corte, ν0 = 5.56× 1014 Hz.Si hacemos ahora, por ejemplo, V0 = 2 V , la frecuencia obtenida es 10.4× 1014 Hz, y para el caso en

que V0 = 4 V, obtenemos ν = 15.2× 1014 Hz.

ν (Hz)

V0 (eV)

2

-2.35.56 x10 14 10.4 x10 14

Figura 3: El potencial de frenado V0 en función de la frecuencia de la luz incidente

La gráfica de la figura 3 representa el potencial de frenado V0 en función de la frecuencia ν de la luzincidente siendo la intersección con el eje horizontal la frecuencia de corte y la intersección con el eje verticalla función trabajo W0, característica de la superficie. La pendiente de la recta es la constante de Planck, h.

• El potencial de frenado para fotoelectrones emitidos desde una superficie iluminada conluz de longitud de onda λ = 4910 Å es 0.71 V. Cuando se cambia la longitud de ondaincidente, se encuentra que el potencial de frenado es 1.43 V ¿Cuál será la nueva longitudde onda? (Problema 2.4 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:Tengamos en cuenta, como en los problemas anteriores la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico:

En cada caso λV0 y λ0V 00 están relacionados en la forma

eV0 = hc/λ−W0, eV 00 = hc/λ0 −W0.

De estas dos ecuaciones, se puede despejar λ0, obteniéndose:

λ0 =hc

hc/λ+ e(V 00 − V0),

con lo que sustituyendo cada variable por su valor, se obtiene:

λ0 = 3820 Å.

8

• En un experimento fotoeléctrico en el cual se utiliza luz monocromática y un fotocátodode sodio, se encuentra un potencial de frenado de 1.85 V para λ = 3000 Å y 0.82 V paraλ = 4000 Å. A partir de estos datos determine:

(a) un valor para la constante de Planck.

(b) la función trabajo en electrón-volts para el sodio

(c) la longitud de onda umbral para el sodio. (Problema 2.5 del libro de Eisberg yResnick)

Solución:Para resolver el problema podemos plantear tres ecuaciones con tres incógnitas (h, W0 y ν0):

Kmax = eV0 = hν −W0

K0max = eV0

0 = hν0 −W0

K = 0 = hν0 −W0

(a) Operando con las dos primeras ecuaciones, podemos obtener un valor para h,

h =e(V0 − V 00)c(1/λ− 1/λ0) = 6.6× 10

−34 J seg.

(b) Una vez obtenido el valor de h, podemos calcular fácilmente el valor de la función de trabajo W0,con sólo despejar de la primera ecuación:

W0 = hν − eV0 = 2.28 eV.(c) Por último, de la última ecuación se obtiene la longitud de onda umbral

λ0 =hc

W0= 5437 Å.

• Considere luz incidiendo sobre una placa fotográfica. La luz es registrada si disocia unamolécula de AgBr en la placa. La energía mínima para disociar esta molécula es delorden de 10−19 J. Evaluar la máxima longitud de onda de corte para la cual la luz no seríaregistrada. (Problema 2.6 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:Para disociar la molécula de AgBr se necesita que la luz tenga una longitud de onda menor que

Emin =hc

λmax,

donde Emin es la energía de disociación de la molécula. Por tanto,

λmax =hc

Emin= 19878 Å = 1.99× 10−6 m,

que está en la región del infrarrojo en el espectro electromagnético.

• En condiciones normales el ojo humano registrará una sensación visual a 5500 Å si cuandomenos se absorben 100 fotones por segundo. ¿Cuál es el nivel de potencia equivalente?(Problema 2.10 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:Sea λ = 5500 Å. La energía de un fotón con esta longitud de onda es

E = hν = hc/λ = 3.6× 10−19 J.De esta forma la potencia equivalente de 100 fotones incidiendo por segundo con esa energía E será:

PT = 3.61× 10−19 × 100W = 3.61× 10−17 W.

9

• ¿Cuáles son la frecuencia, longitud de onda e impulso de un fotón cuya energía es iguala la energía de masa en reposo de un electrón? (Problema 2.12 del libro de Eisberg yResnick)

Solución:La energía de la masa en reposo de un electrón es E = m0c

2 = 8.19× 10−14 J= 0.511 MeV. Como paraun fotón la energía es E = hν = hc/λ, se tendrá que la frecuencia del fotón del enunciado es ν = E/h =1.23× 1020 Hz.La longitud de onda λ es λ = hc/E =⇒ λ = 0.024 Å= 2.4× 10−12 m, que está en la región de los rayos

X en el espectro electromagnético.La energía relativista total es E2 = c2p2 + (m0c

2)2, donde p es el impulso. La masa en reposo de unfotón es cero, y por tanto la energía relativista total puede ser escrita como E = cp. Despejando el impulso,se obtiene:

p = E/c = 2.73× 10−22 kg×m/s.

• Derivar la ecuación cot (θ/2) = (1+hν/m0c2) tanφ entre la dirección de movimiento del fotón

dispersado y el electrón de retroceso en el efecto Compton. (Problema 2.14 del libro deEisberg y Resnick)

Solución:

y

xθ

φ

E0=cp0

E1=cp1

E, p

e-

e-

Figura 4: Efecto Compton

Sabemos que la conservación tanto del momento lineal como de la energía en el efecto Compton nos llevana la ecuación: λ1 − λ0 = h(1 − cos θ)/m0c. Las proyecciones de los momentos sobre los ejes coordenados(véase dibujo adjunto, figura 4):

p0 = p1 cos θ + p cosφ 0 = p1 sin θ − p sinφ.Por lo tanto, tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas; tomamos como incógnitas por ejemplo λ1, θ y

p. Por otra parte, como p = h/λ, podremos escribir

(h/λ0) = (h/λ1) cos θ+ p cosφ 0 = (h/λ1) sin θ − p sinφ.

10

Operando

p sinφ = (h/λ1) sin θ p cosφ = (h/λ0)− (h/λ1) cos θ = hλ1 − hλ0 cos θλ0λ1

y por tanto

tanφ =λ0 sin θ

λ1 − λ0 cos θ.

Como ya se ha comentado, además tenemos:

λ1 − λ0 = h(1− cos θ)/m0c,

de manera que si introducimos este valor en la expresión de la tangente, resulta:

tanφ =λ0 sin θ

(λ0 +hm0c

)(1− cos θ) .

Utilizando la relación trigonométrica

cot (θ/2) =sin θ

1− cos θ =⇒ cot (θ/2) =£1 +

¡hν0/m0c

2¢¤tanφ.

• Se hacen incidir fotones de una longitud de onda de 0.024 Å sobre electrones en reposo.

(a) Encontrar la longitud de onda de un fotón que es dispersado a 30 grados de la direcciónincidente y la energía cinética suministrada al electrón.

(b) Repetir el cálculo si el ángulo de dispersión es 120 grados (Problema 2.16 del librode Eisberg y Resnick).

Solución:

y

xθ

φ

E0=cp0

E1=cp1

E=m 0 c2+ K

e-

e-

Figura 5: Problema 2.16 del Eisberg y Resnick

Sabemos que la conservación de energía y momento lineal en el proceso nos llevan a la relación deCompton

λ1 − λ0 = λC(1− cos θ) con λC = h/m0c

11

la longitud de onda de Compton.a) Para el caso de 30 grados, con2 λ0 = 0.024 Å, se tiene:

λ1 = λ0 + λC(1− cos θ) = 0.02725 ÅLa energía total relativista en el choque se escribe como

m0c2 + cp0 = cp1 +m0c

2 +K,

donde K es la energía de retroceso del electrón. De aquí podemos obtener que

K = c (p0 − p1) = hcµ1

λ0− 1

λ1

¶.

b) Para el caso de 120 grados, con λ0 = 0.024 Å, se tiene:

λ1 = λ0 + λC(1− cos θ) = 0.06039 Å.e igualmente para la energía cinética del electrón

K = hc

µ1

λ0− 1

λ1

¶.

• Un fotón de rayos X de energía inicial 1 × 105 eV que viaja en la dirección positiva deleje x, incide sobre un electrón libre y en reposo. El fotón es dispersado en ángulo recto,a lo largo de la dirección positiva del eje y. Encontrar las componentes del impulso delelectrón de retroceso. (Problema 2.17 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:

y

xθ =90 ο

φ

E0=cp0

E1=cp1

E, p

e-

e-

Figura 6: Problema 2.17 del Eisberg y Resnick.

De la relación de Compton (que se obtiene conservando la energía y el momento lineal en el proceso) larelación entre las longitudes de onda es:

2Esta es la longitud de onda Compton, λC = h/m0c, del electrón.

12

λ1 − λ0 = λC(1− cos θ).

Las ecuaciones de conservación del momento son:

p0 = p1 cos θ + p cosφ ⇒ p0 = p cosφ = pxp1 sin θ = p sinφ ⇒ p1 = p sinφ = py

donde hemos usado que θ = 90. Como la energía es E0 = cp0, el momento p0 será:

p0 = E0/c = 5.344× 10−23 kg×m/s = pxEl momento p1 se puede escribir como p1 = h/λ1; sustituyendo λ1 en función de λ0 se tiene:

p1 =h

λ0 + λC(1− cos θ) =p0m0c

m0c+ p0= 4.469× 10−23 kg×m/s = py.

• ¿Cuál es la energía cinética máxima posible de un electrón de retroceso de Compton entérminos de la energía hν0 del fotón incidente y de la energía en reposo del electrón m0c

2?(Problema 2.19 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:La ley de conservación de la energía nos dice:

E0 +m0c2 = E1 +K +m0c

2

por lo que K = E0 −E1.A partir de la conservación del momento y de la energía relativista se obtiene la relación de Compton

λ1 − λ0 = h(1− cos θ)/m0c.

x

E0=cp0

E, pe-

e-

E0=hν0

e-

E1=hν1

Después

Antes

p

Figura 7: Energía cinética máxima en el efecto Compton.

La máxima energía se obtiene cuando θ = 180 y φ = 0 (demuéstrelo), que es la situación que muestrael dibujo (figura 7). En este caso nos da

λ1 − λ0 =2h

m0c.

13

Ahora bien, las energías de los fotones pueden ser expresadas en términos de los momentos como:

E1 = cp1 = hc/λ1 = hν1 E0 = cp0 = hc/λ0 = hν0.

Sustituyendo en la ecuación que nos daba la diferencia entre las dos longitudes de onda se tiene:

1/E1 = 2/(m0c2) + 1/E0 =

2E0 +m0c2

E0m0c2.

Dado que K = E0 −E1, operando se encuentra que:

K = hν0

µ1− m0c

2

2hν0 +m0c2

¶.

• (a) Demostrar que la longitud de onda de corte en la parte baja del espectro continuode rayos X está dada por λmin = 12.4/V0 Å, donde V0 es el voltaje aplicado expresado enkilovolts.

(b) ¿Cuál es la λmin si el voltaje a través de un tubo de rayos X es 186 kV? (Problema2.21 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:(a) El examen de los datos experimentales ha llevado a la conclusión de que existen dos mecanismos

diferentes responsables de la emisión de rayos X.El primero de esos mecanismos de emisión de rayos X son las transiciones de los electrones internos (los

más fuertemente ligados) de los átomos. Por tanto, esta radiación presenta unos picos pronunciados en elespectro y se debe a la emisión de radiación por un átomo, que ha sido excitado por un choque.La otra fuente de rayos X (en este caso continua) es el bremsstrahlung o radiación de frenado o de-

saceleración, que está descrita en la Figura 2-11 del libro: un electrón incidente de energía cinética K esdesacelerado durante una colisión con un núcleo pesado y la energía que pierde aparece en forma de radiación,como un fotón de rayos X. Si llamamos K0 a la energía cinética del electrón después del choque, se tiene que

K −K0 = hν,

donde hν es la energía del fotón emergente. Esta parte del espectro de rayos X es, claro está, continua.

El fotón de longitud de onda más corta (o energía más grande) debería emitirse cuando el electrónincidente pierde toda su energía cinética en el proceso de desaceleración, de manera que K0 = 0, por lo quela expresión inicial se transforma en:

K = hν =hc

λmin.

La energía adquirida por el electrón al acelerarse mediante la diferencia de potencial V0 aplicada al tubo derayos X es K = eV0. Entonces sustituyendo, se podrá escribir:

λmin =hc

eV

Por lo tanto, operando tendremos:

λmin =12.4

V0Å,

donde el voltaje V0 está expresado en kiloVoltios(b) En este caso, utilizando la fórmula anterior

λmin = 0.0666 Å.

En el espectro electromagnético los rayos X tienen longitudes de onda entre 10−9 hasta 6 × 10−12 m; laparte baja corresponde por tanto a una longitud de onda de λ = 6× 10−12 m, tal como se ha obtenido enel apartado (b).

14

Nota: algún detalle sobre la teoría subyacente a este problema. En primer lugar, un electrónen movimiento uniforme no puede emitir radiación3. Pero cuando el electrón atraviesa el intenso (y rápida-mente variable) campo eléctrico de un núcleo, es posible la transferencia de momento y energía al núcleo,cumpliéndose las ecuaciones de conservación. Si el núcleo está originalmente en reposo y llamamos ~pi almomento lineal del electrón antes de la emisión, ~pf a su momento lineal después de la emisión, ~pnucleo elmomento lineal del núcleo después del proceso, las ecuaciones de conservación son

~pi = ~pf + ~pnucleo + ~pfoton

Ei +mc2 = Ef +Enucleo + hω.

Para más detalles de cómo llegar a la expresión para energía máxima del fotón emitido, puede verse losapartados 4.23-4.25 del libro de Wichmann Física Cuántica, vol.4 del Curso de Física de Berkeley (editorialReverté).

• (a)¿Cuál es el voltaje mínimo a través de un tubo de rayos X que producirá un rayo Xcon la longitud de onda de Compton? ¿Y una longitud de onda de 1 Å?

(b) ¿Cuál es el voltaje mínimo necesario a través de un tubo de rayos X si la radiaciónbremsstrahlung resultante es capaz de producir pares? (Problema 2.22 del libro de Eisbergy Resnick)

Solución:(a) La longitud de onda de Compton es

λC =h

m0c= 0.02426 Å.

Vimos en el problema anterior (2.21) que K = eV0 = hc/λc = 8.18× 10−14 J, por lo que despejando el valorde V0, se obtiene:

V0 =K

e= 511 kV.

Cuando λ = 1 Å, se tendrá igualmente el valor del voltaje mínimo siguiente:

K = eV 0 = hc

λ= 1.98× 10−15 J =⇒ V 0 =

K

e= 12.4 kV.

(b) La energía mínima para crear un par electrón-positrón es 2m0c2, por lo que

K = eV0 = 2m0c2 = 1.63× 10−13 J

y así, V0 = K/e = 2m0c2/e = 1.02× 106 V.

• Se produce un par positrón-electrón al chocar un fotón con un núcleo. El positrón estáen reposo y el electrón tiene una energía cinética de 1.0 MeV moviéndose en la direcciónde vuelo del fotón productor.

(a) Despreciando la energía transferida al núcleo del átomo cercano, encuentre la energíadel fotón incidente.

(b) ¿Qué porcentaje del impulso del fotón se transfiere al núcleo? (Problema 2.25 dellibro de Eisberg y Resnick)

Solución:La conservación de la energía relativista total es

hν = E− + E+ = 2moc2 +K− +K+.

Si el positrón que resulta se queda en reposo, K+ = 0, y la energía cinética del electrón es K− = 1 MeV,entonces la energía del fotón incidente es hν = 2.02MeV.

3Esto se ve con facilidad usando el sistema de referencia en que el electrón esté en reposo antes de cualquier emisión quepudiera producirse: en ese sistema la energía total es mc2 y la emisión de un fotón no conservaría la energía total.

15

La conservación del impulso viene dado por hν/c = pe+P , donde hν/c es el momento del fotón incidente,pe es el impulso del electrón resultante, y P el impulso transferido al núcleo (el impulso del positrón eslógicamente cero). El impulso del electrón viene dado por la expresión relativista, E2e = c

2p2e +¡moc

2¢2=¡

K− +moc2¢2. Entonces

pe =1

c

qK2− + 2K− moc2.

Sustituyendo valores se obtiene pe = 1.42 MeV/c y hν/c = 2.02MeV/c. Entonces el porcentaje de momentotransferido al núcleo es (hν/c− pe)/(hν/c) que da un resultado del 29.7%.

3 Problemas de los temas 3 y 4.

• Una bala de 40 gramos viaja a 1000 m/seg.(a) ¿Qué longitud de onda se le puede asociar?

(b) ¿Por qué no se revela la naturaleza ondulatoria de la bala por medio de efectos dedifracción? (Problema 3.1 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:(a) La longitud de onda asociada a la bala se puede escribir como4:

λ =h

p=

h

mv= 1.66× 10−35 m = 1.66× 10−25Å.

(b) Los efectos de la difracción son despreciables cuando λ/a tiene a cero, siendo a la dimensión carac-terística de la rendija.Sin embargo, los comportamientos ondulatorios son observables si λ/a es del orden de uno. Para utilizar

una rejilla de difracción, el valor típico de a en física atómica y sólidos (distancia interatómica) es alrededorde 1 Å. En ese caso, utilizando a = 1 Å, resulta que λ/a es de orden de 10−25, con lo que será imposible verefectos de difracción.

• La longitud de onda de emisión amarilla del sodio es 5890Å. ¿Qué energía cinética tendríaun electrón con una longitud de onda de De Broglie igual? (Problema 3.2 del libro deEisberg y Resnick)

Solución:La longitud de onda, en función del momento, viene dada por la expresión λ = h/p. Si suponemos que la

dinámica del electrón es no relativista, entonces la energía cinética es K = mv2/2, podemos reescribir estaenergía cinética en función de λ:

K =p2

2m=

1

2m

µh

λ

¶2' 4× 10−6 eV,

que es una cantidad pequeña.5

• Sea una partícula libre que se mueve en una dimensión. Supongamos que la imprecisiónen su localización es ∆x. Encontrar una imprecisión en la medida del tiempo de maneraque se verifique que ∆E ·∆t > h.

Sea una partícula libre, cuya imprecisión en la posición es aproximadamente ∆x (vea la figura 8; elpaquete de ondas tiene una anchura aproximada de 2∆x). La imprecisión en el momento lineal la llamamos∆p y, de acuerdo con el principio de incertidumbre, cumple que:

∆p∆x ≥ h/2.4La velocidad de la bala es aproximadamente del orden de 10−5 c.5Nota importante: Dado que la velocidad de un electrón con esta longitud de onda es v ≈ h/(meλ) ' 1.2 × 103 m

s−1 << c, está justificado no haber tomado en cuenta aproximaciones relativistas

16

∆ x

Figura 8: Paquete de ondas de una partícula libre.

Como la posición de la partícula se conoce con una imprecisión ∆x, y la velocidad de grupo es v, el tiempo∆t que debe ser observada la partícula al pasar por una posición determinada es entonces ∆t ∼ 2∆x/v, quepodemos considerar como la imprecisión en la medida del tiempo.Veamos que se verifica la relación ∆E · ∆t > h. Dado que la partícula es libre, la energía total de la

partícula E es igual a su energía cinética. Entonces la imprecisión en la energía es

E =p2

2m⇒ ∆E =

p∆p

m.

Como el momento es p = mv, tendremos

∆E∆t ≈ p∆pm

2∆x

v≈ 2∆p∆x > h.

• Un electrón y un fotón tiene cada uno una longitud de onda de 2.0 Å.¿ Cuáles sonsus impulsos y energías totales? Compare las energías cinéticas del fotón y el electrón.(Problema 3.3 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:Como λ = h/p, despejando el momento de esta ecuación, se obtiene:

p =h

λ= 3.31× 10−24 kg×m/s,

que es el impulso para cada una de las dos partículas.La energía del fotón es E = cp = 9.93× 10−16 J= 6200 eV, mientras que la energía total relativista del

electrón es:Ee =

qm20c4 + c2p2 = 512 keV.

La energía cinética del fotón es 6200 eV, puesto que E = K +m0c2 y su masa en reposo es m0 = 0.

Para calcular la energía cinética del electrón, no utilizaremos la fórmula relativista, ya que el término cp esmucho menor que el término m0c

2 y por tanto m0c2 ' Ee. Podemos obtener su energía cinética mediante

la expresión clásica,

K =p2

2m= 37.6 eV.

Note que la energía cinética del fotón es mucho mayor que la energía cinética del electrón (en realidad, estolo único que refleja es que cualquier fotón debe ser tratado relativísticamente).

• Un neutrón térmico tiene una energía cinética de (3/2)kBT donde T es la temperaturaambiente (300 0K). Tales neutrones están en equilibrio térmico.

(a) ¿Cuál es la energía en electrón-volts de un neutrón térmico?

(b) ¿Cuál será su longitud de onda de De Broglie? (Problema 3.4 del libro de Eisberg yResnick)

17

Solución:(a) La energía cinética media es idéntica a la de las moléculas de un gas ideal a la misma temperatura:

K =3

2kBT = 0.0388 eV,

donde kB es la constante de Boltzmann cuyo valor es kB = 1.38× 10−23 J /K. Entonces:

E = K = 0.0388 eV.

(b) Como

K =1

2mv2 =

p2

2mn=

h2

2mλ2

donde hemos usado que p = h/λ. La masa del neutrón es mn = 1.675 × 10−27 kg, por lo que podemosescribir:

λ =h√2mK

= 1.45 Å.

Nota: Dado que la separación de los planos de un cristal puede ser de ese orden (por ejemplo para elClNa es d = 2.82 Å) vemos que haciendo incidir un haz de neutrones procedentes de un reactor nuclear(con un amplio rango de energías) en un cristal, el cristal actúa como monocromador: los neutrones quese observan en la dirección de salida tienen energía bien definida, que corresponde a la longitud de ondadada por la condición de Bragg (ecuación 3-3 del libro de Eisberg y Resnick). Este haz de neutrones esmonocromático y puede utilizarse, a su vez, para estudiar otros materiales o para el análisis de reaccionesnucleares con neutrones.

• Supongamos una partícula de masa en reposom0 y carga emoviéndose libremente a veloci-dades relativistas, habiendo sido acelerada previamente por un potencial de aceleraciónV . Demuestre que su longitud de onda de De Broglie viene dada por

λ =h√

2m0eV

µ1 +

e V

2m0c2

¶−1/2,

donde e es la carga, y la masa en reposo de la partícula.

Demuestre que la expresión anterior concuerda con la relación de De Broglie, λ = h/p, enel límite no relativista. (Problema 3.5 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:La energía total se escribe como

E =m0c2 +K =

qm20c4 + c2p2 = m0c

2 + e V.

Elevando al cuadrado ambos miembros de la anterior expresión, obtenemos:

m20c4 + (eV )2 + 2m0c

2eV = m20c4 + c2p2,

de donde podemos despejar el valor de p2 como:

p2 =2m0c

2eV + (e V )2

c2.

Por otra parte, como λ = h/p, sustituyendo en la expresión anterior y despejando λ, se tiene finalmente:

λ =h√

2m0eV

·1 +

eV

2m0c2

¸−1/2.

En el límite no relativista, e V = K = (1/2)mv2 y la energía m0c2 es muy grande comparada con

K = e V , luego el quebrado del paréntesis se hace prácticamente cero, de donde se deduce que:

λ =h√2m0K

,

18

que es la expresión no relativista, donde p =√2m0K.

Note que la relación de De Broglie es válida tanto para la mecánica relativista como para la no relativista.En el texto se obtiene la ecuación de Schrödinger usando tanto dicha relación como la energía total norelativista (E = p2/2m + V ), además de otras condiciones: por tanto la ecuación de Schrödinger es sóloválida en el límite no relativista.

• Determine la energía, en electrón-volts, para la cual la expresión no relativista para lalongitud de onda de De Broglie dará un error de un uno por ciento, para

(a) un electrón

(b) un neutrón. (Problema 3.6 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:Como vimos en el problema anterior, en el caso no relativista, la longitud de onda de De Broglie es:

λnr =h√2m0K

=h

p.

Para el caso relativista, y utilizando el resultado del problema (3.5), sabemos que la longitud de onda deDe Broglie era:

λr =h√

2m0eV

µ1 +

eV

2m0c2

¶−1/2.

Para calcular la energía cinética a partir de la cual se deben utilizar expresiones relativistas, expresamosel cociente entre ambas longitudes de onda como:

λnrλr

=

r1 +

K

2m0c2.

En el caso del enunciado, el error máximo permitido es λnr − λr = 0.01λr, con lo que λnr = 1.01λr. Comomec

2 = 0.511MeV para un electrón y mnc2 = 939.6MeV para el neutrón, se obtienen los valores:

Ke = 20.5 keV Kn = 37.77MeV.

• La distancia entre los planos principales de un cristal de cloruro de potasio es 3.14 Å(esto quiere decir que los planos cristalinos más separados del cristal lo están por dichadistancia). Para una reflexión de Bragg de primer orden en estos planos, compare elángulo de reflexión en el caso

(a) de usar electrones con energía cinética de 40 keV

(b) y en el caso de que se usen fotones de 40 keV. (Problema 3.11 del libro de Eisberg yResnick)

Solución:(a) De acuerdo con la ley de Bragg, las ondas se reflejan por los planos cristalinos como por un espejo,

si se satisface la condición de Braggnλ = 2d sinϕ,

donde n es un entero que nos da el orden de la difracción, d = 3.14 Å y ϕ es el ángulo que forma la direcciónde la onda incidente con el plano cristalino. Por lo tanto, para primer orden tendremos la siguiente ecuación:

λ = 2d sinϕ.

Además, como vimos en el problema 3.6, la expresión para la longitud de onda de una partícula materialera:

λ =h√

2m0eV

·1 +

eV

2m0c2

¸−1/2.

19

Al igualarla a 2d sinϕ tendremos que

λ =h√

2m0eV

·1 +

eV

2m0c2

¸−1/2= 2d sinϕ,

de donde podemos despejar el valor del seno de ϕ

sinϕ = 9.57892× 10−3 =⇒ ϕ = 0.54880

para electrones, donde se ha tomado mec2 = 0.511MeV.

(b) Para los fotones, se tiene E = hν, con lo que la longitud de onda correspondiente será:

λ =hc

E

e igualando esta expresión a la ecuación inicial para n = 1, tendremos:

2d sinϕ =hc

E.

Despejando sinϕ, nos queda:sinϕ = 0.04935 =⇒ ϕ = 2.8290.

La relación entre ambos ángulos vendrá dada por el cociente entre dichos ángulos, que vale 5.15.

• Supongamos que la indeterminación en la longitud de onda de un fotón es ∆λ/λ = 10−7.¿Cuál es el valor medido simultáneamente de ∆x en los siguientes casos?

(a) λ = 5.0× 10−4 Å (rayos γ)

(b) λ = 5.00 Å (rayos X)

(c) λ = 5.0× 103 Å (luz visible) (Problema 3.16 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:La relación de incertidumbre se puede reescribir para una partícula como:

∆λ∆x ≥ λ2

4π

(véase problema 3.15). Dividiendo ambos lados de la igualdad por λ, tenemos:

∆λ

λ∆x ≥ λ

4π

En el caso en que ∆λ/λ = 10−7,(a) Rayos γ:

10−7∆x ≥ 5× 10−4

4π=⇒ ∆x = 398 Å

(b) Rayos X

10−7∆x ≥ 5.04π

=⇒ ∆x = 0.398 mm(c) Luz visible

10−7∆x ≥ 5× 103

4π=⇒ ∆x = 0.398 m

• Demuestre que si la incertidumbre en la posición de una partícula, es aproximadamenteigual a su longitud de onda de De Broglie, entonces la incertidumbre en su velocidad esaproximadamente igual a su velocidad. (Problema 3.19 del libro de Eisberg y Resnick)

20

Solución:Según el enunciado, supongamos que ∆x ≈ λ. La relación entre longitud de onda y momento viene

dada por h = pλ. Si escribimos p = mv, entonces ∆p = m∆v, y al sustituir en la ecuación del principio deincertidumbre, tendremos:

∆p ∆x = m∆v ∆x ≥ pλ4π.

Si operamos se tiene que:∆v ≥ v

4π,

que nos dice que ∆v ≈ v.

• (a) Considere un electrón cuya posición está en algún lugar de un átomo de 1 Å dediámetro. ¿Cuál es la incertidumbre en el impulso del electrón? ¿Es esto consistente conla energía de ligadura de electrones en átomos?(b) Imagine que un electrón se encuentra en algún lugar dentro de un núcleo de diámetro10−12 cm. ¿Cuál será la incertidumbre en el impulso del electrón?(c) Considere ahora un protón o un neutrón en ese núcleo. ¿Cuál será la incertidumbreen el impulso del neutrón o del protón? ¿Es esto consistente con la energía de ligadurade los constituyentes nucleares? (Problema 3.22 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:(a) El principio de incertidumbre nos dice que:

∆p∆x ≥ h/4π =⇒ ∆p = 5.27× 10−25 kg×m/sdonde hemos usado que ∆x = 1 Å.Por otra parte, dado que el electrón está en un sistema ligado (y, por tanto, que el electrón está confinado

en una región finita del espacio) podemos pensar que el valor medio del momento es nulo y que, por ello, elvalor de la energía cinética del electrón viene dado por el cuadrado de la incertidumbre del momento

K ≈ (∆p)2

2me= 0.95 eV,

donde hemos utilizado la expresión clásica, dado que p¿m0c. Nótese que la energía de ligadura del electrónen el átomo es del mismo orden que K (como demuestra el teorema del virial) por lo que la incertidumbredel impulso del electrón es consistente con que los átomos liguen electrones.

(b) En el caso de que el electrón esté confinado a un núcleo, la incertidumbre del momento será

∆p ≥ h

∆x4π=

h

4× 10−14π = 5.27× 10−21 kg×m/s.

Utilizando el mismo argumento que antes, pero usando en este caso la energía cinética relativista y la masam0 del electrón,

E =m0c2 +K =

qm20c4 + c2p2 =⇒ K ≈

qm20c4 + c2(∆p)2 −m0c

2 = 9.37MeV.

(c) En este caso hay que usar la masa del protón (o del neutrón), que es mp = 1.675 × 10−27 kg. Portanto la energía cinética nos queda

K ≈ (∆p)2

2mp= 0.052MeV.

La energía que liga las partículas nucleares es del orden de algunos MeV. En el resultado del apartado (b)se observa que la energía cinética del electrón en una región restringida del tamaño de un núcleo es mayorque dicha energía de ligadura, por lo que es muy difícil que el electrón se encuentre en el núcleo en un estadoligado.En el apartado (a) el valor de la energía cinética es menor, pero del mismo orden de magnitud, que la

energía de ligadura (que es la energía de ionización, 13.6 eV), por lo que el electrón puede permanecer enuna región del espacio de un tamaño del orden de un radio atómico en un estado ligado; por eso no hayninguna inconsistencia. Ese mismo razonamiento se aplica al apartado (c), lo que justifica que en el núcleohaya protones y neutrones, pero no electrones.

21

• La vida media de un estado excitado de un núcleo es, generalmente, 10−12 s. ¿Cuál serála incertidumbre en la energía del fotón de rayos γ emitido? (Problema 3.23 del libro deEisberg y Resnick)

Solución:Como ∆E∆t ≥ h/4π, podemos estimar ∆t mediante la vida media del estado excitado, τ = 10−12 s, y

así escribir:

∆E ≥ h

4πτ= 3.291× 10−4 eV.

Comentario: la energía de los estados ligados nucleares es del orden de varios MeV y las diferenciastípicas entre esas energías son mayores que 10−3 MeV= 103 eV. Por eso, los núcleos en estados excitadosrealizan transiciones a su estado base emitiendo fotones de una energía superior a esos 103 eV, por tantoemiten rayos X o γ. La incertidumbre encontrada, del orden de 10−4 eV, es pues muy pequeña.

4 Problemas de los temas 5 y 6.

• Demostrar que la constante de Planck tiene dimensiones de impulso angular. (Problema4.11 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:Si E = hν, h = E/ν, por lo tanto,

[h] =[E]

[ν]=

Js−1

= J-s = kg m/s2 m s = kg m2/s.

Si L =mvr, siendo L el impulso angular, tendremos de igual manera:

[L] = kg (m/s) m=kg m2/s

resultado que coincide con el correspondiente a h.

• ¿Cuáles son la energía, el impulso y la longitud de onda de un fotón emitido por unátomo de hidrógeno que sufre una transición directa desde un estado excitado con n = 10al estado fundamental o estado base, con n = 1? Encontrar la velocidad de retroceso delátomo de hidrógeno en este proceso. (Problema 4.16 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:A partir de la energía del nivel n podemos encontrar la expresión para la energía del fotón emitido:

En = −13.6n2

=⇒ ∆E = Ei −Ef = E10 −E1 = 13.464 eV,

que es la energía pedida. Como ∆E = hν = h cλ = cp, se deducen el momento lineal y la longitud de ondadel fotón emitido:

p =E

c=13.464

c= 7.2× 10−27 kg.m/s =⇒ λ =

h

p= 920.8 Å

La conservación del momento se expresa como, dado que el fotón está emitido por un átomo que inicial-mente suponemos en reposo,

patomo +∆E

c=MHv +

E

c= 0 =⇒ v = − E

cMH.

Como MH = 1.672 × 10−27 kg, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos la velocidad de retrocesodel átomo

|v| = 4.30 m/s.

22

• (a) Demuestre que cuando se tiene en cuenta la energía cinética de retroceso del átomo,P 2/2M (P es el momento transferido al núcleo y M es la masa del núcleo) la frecuencia deun fotón emitido en una transición entre dos niveles atómicos cuya diferencia de energíaes ∆E se reduce por un factor que es aproximadamente (1−∆E/2Mc2).(b) Compare la longitud de onda de luz emitida cuando un átomo de hidrógeno sufre unatransición 3→ 1, teniendo en cuenta el retroceso y sin tenerlo en cuenta. (Problema 4.24del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:(a) Llamemos hνo = ∆E = Ei−Ef a la energía de un fotón emitido en una transición sin tener en cuenta

el retroceso del átomo. Si se tiene en cuenta la energía cinética transmitida al núcleo, la energía del fotónemitido será distinta: hν = ∆E − P 2/(2M), donde M es la masa del núcleo. La conservación del momentoexige que el momento de dicho fotón sea igual al momento transferido al núcleo, hν/c = P .Suponiendo que la corrección de la frecuencia x, es muy pequeña | x |<< 1, escribimos la frecuencia

como ν = νo(1 + x); sustituyendo en las expresiones anteriores se obtiene:

hνo(1 + x) = ∆E − P 2

2M= hνo − h2ν2

2Mc2=⇒ νo + νox = νo − hν

2o(1 + x)

2

2Mc2.

Despreciando el término de orden superior, x2 (dado que | x |<< 1) nos queda,

νox ∼= −hν2o

2Mc2− 2x hν

2o

2Mc2=⇒ x = −1

2

hνoMc2 + hνo

= − ∆E

2(Mc2 +∆E),

con lo que podemos escribir

ν ∼= νo

µ1− ∆E

2(Mc2 +∆E)

¶,

que es la expresión del enunciado si Mc2 À ∆E. Dado que Mc2 = 938.3 MeV, se satisface en efecto queMc2 À ∆E.(b) En el caso de una transición en el átomo de hidrógeno 3→ 1, el modelo de Bohr predice una diferencia

de energías entre dichos niveles: ∆E = E3 − E1 = −13.6(1/n2f − 1/n2i ) eV= 12.1 eV (vea el ejemplo 4-6del libro de Eisberg y Resnick). Dado que ν0 = ∆E/h, el valor de la longitud de onda del fotón emitido esλo = c/ν0 = 1025.7 Å.La corrección de la longitud de onda debida al retroceso es muy pequeña,

λ

λo=c/ν

c/νo=

1

1−∆E/(2Mc2)∼= 1 + ∆E

2Mc2= 1 + 6.5× 10−9.

• Suponga que el impulso angular de la Tierra, debido a su movimiento alrededor de Solcon un radio de R = 1.5 × 1011 m, está cuantizado según la relación de Bohr L = nh/2π.¿Cuál es el valor del número cuántico n? ¿Podría detectarse esta cuantización? Nota:tómese la masa de la Tierra igual a 6.0 × 1024 kg. (Problema 4.35 del libro de Eisberg yResnick)

Solución:(a) Suponiendo que el movimiento es circular, el momento angular L, tiene la siguiente expresión:

L = mvR = mR2ω =nh

2π,

siendo v la velocidad lineal de la Tierra y ω su velocidad angular constante, v = ωR. Si ahora suponemosque ω = 2πν = 2π/T , donde T es el periodo de rotación de la Tierra (un año), y sustituyendo en la primeraecuación se tiene:

n =4π2R2m

hT= 2.55× 1074.

(b) Al ser el número cuántico tan elevado no podría detectarse la cuantización y estaríamos en el límiteclásico.

23

• Utilice las reglas de cuantización de Wilson-Sommerfeld para calcular los niveles de en-ergía y el espectro de emisión de una partícula de masa m que se mueve dentro de una cajarectangular de lado a y que choca elásticamente con las paredes (considere el problemaunidimensional)

Solución:Supongamos que la partícula se mueve con momento ±p0 entre las paredes de la caja. Clásicamente,

la partícula podría moverse con cualquier velocidad, por lo que los espectros de impulso y energía seríancontinuos; veremos que la solución cuántica genera espectros discretos para ambas variables. La figura 9clarifica el cálculo de la integral de fase para el movimiento de la partícula dentro de la caja, que resulta ser:

L =

Ipx dx = p0

Idx = 2ap0

` `

x=0 x=a

px

-p0

p0

x

Espacio de las fasesCaja

Figura 9: Izquierda: caja de potencial. Derecha: espacio de las fases de una partícula en la caja.

Por otro lado, las reglas de cuantización nos dicen que L = 2πhn. Igualando ambas expresiones ydespejando, queda

p0 =πh

an.

La energía de la partícula es

E =p202m

=π2h2

2ma2n2.

El espectro de emisión también es discreto, con frecuencias

ωn2→n1 =π2h

2ma2(n22 − n21),

con n2 > n1.

En el caso de grandes números cuánticos, podemos escribir la siguiente expresión aproximada, obtenidahaciendo n22 − n21 = (n1 + n2)(n2 − n1) ≈ 2n∆n:

ωn→n+∆n ≈ π2h

ma2n∆n =

πp

ma∆n,

en donde∆n puede tener cualquier valor entero mayor que cero. Para comparar este resultado con la frecuen-cia clásica que caracteriza al movimiento periódico dentro de la caja, notamos que el periodo fundamentalde este movimiento es T = 2a/v0, donde v = p0/m. Por tanto, se tendrá:

ωc =2π

T=

πv0a=

πp0ma

,

24

de manera que las frecuencias de emisión son las armónicas de ωc:

ωn,∆n = ωc∆n.

• Haga lo mismo que en problema anterior, pero para un oscilador armónico unidimensional.Solución:El diagrama en el espacio de las fases es el representado en la figura 10

px

x0

b

a

Figura 10: Espacio de las fases de una oscilador armónico.

La energía asociada a un oscilador armónico tiene la expresión:

E =p2x2m

+1

2mω20x

2.

Dividiendo esta ecuación por el valor de la energía E, obtenemos en el espacio de fases (x, px) la ecuaciónde una elipse (ver figura 10):

x2

a2+p2xb2= 1,

en donde a =p2E/m/ω0 y b =

√2mE.

Por lo tanto, de las reglas de cuantización se sigue que:

L =

Ipx dx = abπ =

2πE

ω0= 2πhn =⇒ E = nhω0

que es la regla de cuantización de la energía y coincide con la hipótesis de Planck. El espectro de radiaciónes

ω∆n = ω0∆n.

Vemos que, igual que en el caso anterior, si tomamos ∆n = 1 el espectro de emisión cuántico se reduceal clásico (clásicamente, un oscilador armónico cargado emite radiación cuya única frecuencia es igual a lafrecuencia de vibración del oscilador). Si ∆n 6= 1 entonces la frecuencia de emisión cuántica resulta ser unmúltiplo de la clásica.

5 Problemas del tema 7.

• (a) Determinar la frecuencia ν de la parte dependiente del tiempo de la función de ondapara el estado de energía más bajo de un oscilador armónico simple.

ψ(x, t) = A exp

Ã−√Cm

2hx2

!exp

Ã−i/2

rC

mt

!

25

(b) Utilice este valor de ν y la relación de De Broglie-Einstein E = hν para evaluar laenergía total E del oscilador.

(c) Utilice este valor de E para demostrar que los límites del movimiento clásico deloscilador x = ±p2E/C se pueden escribir como x = ±h1/2/(Cm)1/4 (Problema 5.3 del librode Eisberg y Resnick).

Solución:(a) Sea una partícula de masam ligada en el potencial de oscilador armónico simple V (x) = 1

2Cx2, donde

C es la constante restauradora lineal. Como sabemos, eiθ = cos θ + i sin θ, por lo tanto, podemos escribir eltérmino dependiente del tiempo como

exp

Ã−i/2

rC

mt

!= cosωt− i sinωt,

donde hemos escrito

ω =1

2

rC

m=⇒ ν =

1

4π

rC

m.

(b) Como la energía total de la partícula E = hν = (h/4π)pC/m, se tendrá:

E =h

2

rC

m.

(c) En el caso clásico, la conservación de la energía nos dice que E = 12m

¡dxdt

¢2+ 1

2Cx2. Como E =

(1/2)Cx2max,min, los puntos en los que la energía potencial se hace igual a la total son:

xmax,min = ±r2E

C= ± h

12

(Cm)1/4.

• (a) Verificar que la función de onda

Ψ(x, t) = A sin

µ2πx

a

¶exp(− iEt

h) para −a/2 < x < a/2

Ψ(x, t) = 0 cuando x < −a/2 o x > +a/2es una solución a la ecuación de Schrödinger en la región −a/2 < x < a/2 para una partículaque se mueve libremente a través de la región, pero que se encuentra estrictamenteconfinada en ella.

(b) Determine también el valor de la energía total E de la partícula en dicho estado, quees el primer estado excitado del sistema y compárela con la energía total del estado baseo fundamental E1 = π2h2/2ma2. (Problema 5.9 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:(a) y (b) Si en la región no hay fuerzas que actúen sobre la partícula, la energía potencial V (x) se puede

tomar como cero. Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se escribe como

− h2

2m

∂2Ψ(x, t)

∂x2= ih

∂Ψ(x, t)

∂t.

Sustituyendo Ψ(x, t) por la función del enunciado, tenemos

∂Ψ(x, t)

∂x=

2π

aA cos(2πx/a) e−

iEth

∂2Ψ(x, t)

∂x2= −2π

aA2π

asin(2πx/a) e−

iEth .

Operando se obtiene la siguiente expresión

h2

2m

hA (2π/a)2 sin(2πx/a) e−

iEth

i= E A sin(2πx/a) e−

iEth =⇒ E =

h2

2m

µ2π

a

¶2=2h2π2

ma2.

26

La energía del estado fundamental es:

E1 = π2h2/2ma2 =E

4.

Sugerencia: Realice el problema 5.15 del libro de Eisberg y Resnick.

• Demostrar por sustitución directa en la ecuación de Schrödinger que la función de ondaΨ(x, t) = ψ(x) e−iEt/h

satisface la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo si la autofunción ψ(x) satisfacela ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial V (x). (Problema5.16 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es

− h2

2m

∂2Ψ(x, t)

∂x2+ V (x)Ψ(x, t) = ih

∂Ψ(x, t)

∂t.

Sustituyendo la función de ondaΨ(x, t) = ψ(x) e−iEt/h

tendremos

∂Ψ(x, t)

∂x= e−iEt/h

∂ψ(x)

∂x∂2Ψ(x, t)

∂x2= e−iEt/h

∂2ψ(x)

∂x2

∂Ψ(x, t)

∂t= ψ(x)

µ− iEhe−iEt/h

¶,

con lo que

− h2

2m

∂2ψ(x)

∂x2e−iEt/h + V (x)ψ(x) e−iEt/h = ψ(x)(ih)

µ− iEh

¶e−iEt/h.

El término exp (−iEt/h) puede eliminarse, y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es

− h2

2m

∂2ψ(x)

∂x2+ V (x)ψ(x) = Eψ(x).

Comentario: Los estados en los que la energía tiene valores bien determinados se llaman estadosestacionarios del sistema. Estos estados se describen mediante funciones de onda que son funciones propiasdel operador de Hamilton, es decir, que satisfacen la ecuación (de Schrödinger independiente del tiempo)HopΨn = EnΨn, donde En son los valores propios de la energía. Además, este estado estacionario debe sersolución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo,

HopΨn = ih∂Ψn(x, t)

∂t= EnΨn(x, t).

Si el operador Hop es independiente del tiempo (para la energía sea una constante) entonces la ecuaciónanterior puede integrarse respecto del tiempo de manera directa mediante separación de variables, dandolugar a

Ψn(x, t) = ψn(x) e−iEnt/h,

donde ψn(x) sólo depende de la coordenada espacial (ver apartados 5.4 y 5.5 del libro de Eisberg y Resnick).

• Sean Ψ1(x, t) y Ψ2(x, t) las dos primeras funciones de onda normalizadas para una partículaque se mueve libremente en una región de longitud L , pero estrictamente confinada aesa región. Construyendo la combinación lineal Ψ(x, t) = c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t), derive unarelación que incluya las constantes c1 y c2 de manera que se asegure que Ψ(x, t) tambiénesté normalizada. Utilizando la función de onda Ψ(x, t) = c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t), calcule elvalor esperado o de expectación de la energía total E de la partícula en términos de lasenergías E1 y E2 de los dos estados y de los valores c1 y c2. (Problemas 5.33 y 5.34 dellibro de Eisberg y Resnick)

27

Solución:La condición de normalización de la función Ψ(x, t) = c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) se escribe como

1 =

Z +L/2

−L/2[c∗1Ψ

∗1(x, t) + c

∗2Ψ∗2(x, t)] [c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t)] dx.

Como sabemos que las funciones de onda correspondientes a las partículas de energías E1 y E2 son de laforma ψ1(x)e

−iE1t/h y ψ2(x)e−iE2t/h y, dado que Ψ1(x, t) y Ψ2(x, t) están normalizadas, la ecuación anteriornos queda

1 =| c1 |2 + | c2 |2 +c∗1c2e−i(E2−E1)t/hZ +L/2

−L/2ψ∗1(x)ψ2(x)dx+ c

∗2c1e

i(E2−E1)t/hZ +L/2

−L/2ψ∗2(x)ψ1(x)dx.

Sabemos también que las funciones de onda correspondientes a partículas en una caja son ortogonales(vea el problema 6-26 del Eisberg y Resnick), entoncesZ +L/2

−L/2ψ∗1(x)ψ2(x)dx = 0,

Z +L/2

−L/2ψ∗2(x)ψ1(x)dx = 0,

y la relación pedida es 1 =| c1 |2 + | c2 |2. El valor esperado de la energía es el correspondiente al valormedio del operador cuántico asociado a la energía,

E = ih

Z +L/2

−L/2[c∗1Ψ

∗1(x, t) + c

∗2Ψ∗2(x, t)]

∂

∂t[c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t)] dx

=

Z +L/2

−L/2[c∗1Ψ

∗1(x, t) + c

∗2Ψ∗2(x, t)] [c1E1Ψ1(x, t) + c2E2Ψ2(x, t)] dx

y obtenemosE =| c1 |2 E1+ | c2 |2 E2.

Sugerencia: calcule el valor esperado de la variable x. ¿Depende este valor del tiempo?

• Estudiar el comportamiento asintótico de la función de onda de un problema unidimen-sional bajo la hipótesis de que V (x) tiende a una constante finita cuando x→ ±∞. (Nóteseque esta condición corresponde a la situación física real). Dar una interpretación física alresultado.

Solución:Basta estudiar el caso x →∞, pues para x → −∞ la situación es enteramente análoga. Llamemos V∞

al valor de V (x) en el infinito; dado un valor de E pueden ocurrir dos casos, según sea el signo de E − V∞;estudiaremos cada uno por separado.(a) E < V∞. En la región asintótica podemos aproximar la ecuación de Schrödinger mediante la ecuación

ψ00 − q2ψ = 0,en donde q es esencialmente una constante con valor dado por

q2 =2m

h2(V∞ −E).

Las soluciones generales de la ecuación diferencial dada son las exponenciales eqx y e−qx. Para que la soluciónsea finita para x→∞, debemos escoger la solución e−qx, esto es, una exponencial decreciente.Este resultado se puede interpretar geométricamente notando que si ψ > 0, también ψ00 = q2ψ > 0, y la

curva de ψ resulta cóncava hacia arriba; análogamente si ψ es negativa la curva es cóncava hacia abajo. Lasexponenciales poseen evidentemente estas propiedades (su pendiente crece o decrece monótonamente).(b) E >V∞. Procediendo como en el caso anterior, aproximamos la ecuación de Schrödinger en la región

asintótica mediante la expresiónψ00 + k2ψ = 0,

en donde la constante k se determina de la expresión

k2 =2m

h2(−V∞ +E) > 0.

28

ψ(x)

eqx -q2eqx

ψ(x)

e-qx

-q2e-qx

ψ>0ψ´<0

ψ<0ψ´>0

ψ''(x)

x x

ψ(x)

E>V `

Figura 11: Comportamientos asintóticos.

Las soluciones de esta ecuación son funciones periódicas de la forma general A cos(kx+ θ).Podemos interpretar geométricamente el resultado notando que en este caso, ψ00 = −k2ψ > 0; por lo

tanto, cuando ψ es positiva, ψ00 es negativa y ψ tiende a decrecer hasta hacerse negativa, pero cuando ψ esnegativa, ψ00 es positiva y ψ tiende a crecer, hasta hacerse positiva; esto produce oscilaciones acotadas.Nota: En el caso más realista, k será una función que varía lentamente en vez de una constante (pues el

potencial es una función de la coordenada x) y eso modifica los detalles (la longitud de onda de De Broglievaría con la posición) pero no las conclusiones generales.

• Demostrar que cuanto mayor sea el número de nodos de una autofunción, mayor es suenergía y viceversa.

Solución:Consideremos dos autofunciones, ψ1 y ψ2, que se intersectan en un punto P. El valor de la energía

potencial en P es VP . Supongamos que ψ2 tiene un número mayor de nodos que ψ1. Dado que ambasfunciones satisfacen la ecuación de Schrödinger podemos escribir

ψ001 + (E1 − VP )ψ1 = 0 ψ002 + (E2 − VP )ψ2 = 0.

Como en el punto P la autofunción ψ2 tiene mayor curvatura que ψ1, se cumple que¯ψ002¯>¯ψ001¯=⇒ |(E2 − VP )ψ2| > |(E1 − VP )ψ1| .

Además, como ψ1 y ψ2 toman el mismo valor en P, la desigualdad anterior se reduce a E2 > E1. Como estomismo habrá de suceder en cualquier punto de intersección P, tenemos el resultado solicitado.

6 Problemas de los temas 8 y 9.

• Considere la región interior de un pozo de potencial cuadrado finito. Verifique por susti-tución que la solución general de ondas estacionarias satisface la ecuación de Schrödingerindependiente del tiempo. (Problema 6.11 del libro de Eisberg y Resnick)

Solución:

29

Sea el pozo de potencial

V (x) =

½V0 x < a

2 o x > a2

0 −a2 < x < a2

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, en la región interior del pozo es:

− h2

2m

d2ψ(x)

dx2= E ψ(x).

La solución general de ondas planas estacionarias es:

ψ(x) = A0 sin kx+B0 cos kx para − a/2 < x < a/2Para sustituir ψ(x) en la ecuación de Schrödinger calculamos sus derivadas,

d2ψ(x)

dx2= −A0k2 sin kx−B0k2 coskx = −k2ψ(x)

Vemos que para que ψ(x) sea una solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se requiereque el vector de onda k sea:

h2

2mk2 = E.

Entonces, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo posee soluciones cuya forma es la de ondasplanas estacionarias,

ψ(x) = A0 sin kx+B0 cos kx,

donde A0, B0 son constantes y el vector de onda k =√2mE/h.

• En la figura (12) se muestran dos posibles autofunciones para una partícula que se muevelibremente en una región de longitud a pero que está confinada estrictamente a estaregión. Cuando la partícula está en el estado que corresponde a la autofunción ψI , suenergía total es 4 eV.(a) ¿Cuál es la energía total correspondiente al estado ψII?

(b) ¿Cuál es la energía total más baja posible para la partícula en este sistema? (Problema6.19 del libro de Eisberg y Resnick).

-a/2 a/2

Ψ Ι ΨΙΙ

-a/2 a/2

Figura 12: Posibles autofunciones para una partícula que se mueve libremente en una región de longitud a.

Solución:(a) Si se mueve libremente V (x) = 0, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en la región

−a/2 < x < a/2 es:− h

2

2m

d2ψ(x)

dx2= Eψ(x).

La solución general es ψ(x) = A sin kx + B cos kx. La partícula está confinada en esta región, por lo quela función de onda se anulará para x ≥ a/2 y x ≤ −a/2 . Entonces para calcular las constantes A y Butilizamos las condiciones de contorno: ψ(x) = 0 en la frontera de la región x = ±a/2. De manera que seobtienen dos tipos de soluciones:

30

• Soluciones en coseno:A = 0

B cos (ka/2) = 0 =⇒ kna/2 = nπ/2 para n = 1, 3, 5, . . .

• Soluciones en seno:B = 0

A sin (ka/2) = 0 =⇒ kna/2 = nπ/2 para n = 2, 4, 6, . . .

Sustituyendo cualquiera de las soluciones anteriores en la ecuación de Schrödinger independiente deltiempo se obtiene la energía:

En =h2

2mk2n =

π2h2

2ma2n2 para n = 1, 2 . . .

(Esta es la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial de pozocuadrado infinito, vea la sección 6.8 del libro de Eisberg y Resnick).

Observando la figura nos podemos dar cuenta que ψI corresponde a ψ2(x) = A2 sin (nπx/a) es decir conn = 2, y su energía será:

E2 =π2h2

2ma222 = 4 eV.

De aquí obtenemos el valor de la constante que multiplica a las energías:

π2h2

2ma2= 1 eV.

A la autofunción ψII corresponderá a ψ3(x) = B3 cos (nπx/a) con n = 3, y la energía será

E3 =π2h2

2ma232 = 9 eV,

donde se ha sustituido π2h2/(2ma2) por su correspondiente valor.

(b) De entre todos los estados posibles de este pozo, el de energía total más baja es:

E1 =π2h2

2ma212 = 1 eV.

• Estimar la energía del punto cero para un neutrón en un núcleo; para ello calcule laenergía del estado fundamental de un neutrón en un pozo cuadrado infinito cuya anchurasea igual a un diámetro nuclear ' 10−14 m (Problema 6.20 del libro de Eisberg y Resnick).

Solución:Conocida la masa del neutrón aproximadamente igual a 10−27 kg y sustituyendo en la expresión obtenida

en la solución del problema 6.19 del Eisberg y Resnick en esta colección:

En =π2h2

2ma2n2 =⇒ E1 = 3.4MeV.

• Aplicar la condición de normalización para demostrar que el valor de la constante mul-tiplicativa para la autofunción n = 3 del pozo de potencial cuadrado infinito ψn(x) =Bn cosknx es B3 =

p2/a. (Problema 6.23 del libro de Eisberg y Resnick)

31

Solución:Como la autofunción general es

ψn(x) = Bn cos knx = Bn cosnπ

ax,

la expresión para ψ3(x) será:

ψ3(x) = B3 cos3π

ax.

Entonces, usando la condición de normalización es:Z a/2

−a/2ψ∗(x)ψ(x)dx =

Z a/2

−a/2|B3|2 cos2

µ3π

ax

¶dx = 1.

Sacando factor común |B3|2, e integrando se tiene:

|B3|2 a3π

3π

2= 1 =⇒ B3 =

r2

a.

• (a) Determinar las autofunciones y autovalores de la energía para el caso de un pozorectangular infinito tridimensional. (b) Determinar bajo qué condiciones los niveles deenergía son degenerados.

Solución:(a) Sean a1, a2, a3 los lados x, y, z, respectivamente del pozo rectangular infinito definido de la siguiente

manera: x ∈ [−a1/2, a1/2], y ∈ [−a2/2, a2/2], z ∈ [−a3/2, a3/2]. La ecuación de Schrödinger en un sistemade coordenadas rectangulares es:

− h2

2m

·d2ψ(x, y, z)

dx2+d2ψ(x, y, z)

dy2+d2ψ(x, y, z)

dz2

¸ψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z) .

Utilizando el método de separación de variables, es decir suponiendo: ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z), se obtienela solución:

ψn1,n2,n3(x, y, z) =

r8

a1a2a3cos

µn1π

a1x

¶cos

µn2π

a2y

¶cos

µn3π

a3z

¶y una expresión para la energía:

En1,n2,n3 =π2h2

2m

µn21a21+n22a22+n23a23

¶,

en donde cada uno de los números cuánticos n1, n2, n3 pueden tomar valores enteros 1, 2, 3, ...

(b) Observe que si la relación entre dos lados es un entero k, de forma que a2 = ka1, entonces existeuna degeneración para la pareja de números cuánticos n1, n2, es decir siempre que n2/k sea un entero. Enefecto, sustituyendo n1 por n2/k y n2 por n1k, se obtiene la misma energía que con n1 y n2. En particular,basta que dos lados del pozo sean iguales para que exista degeneración.

• Determinar los niveles de energía que cumplan E < U1 para el pozo de potencial definidopor:

V (x) =

U1, −∞ < x < 00, 0 < x < aU2, (U1 < U2) a < x <∞

Solución:Cuando E < U1 (el caso que nos piden) el espectro de energías es discreto.

32

U1

U2

x

Figura 13: Pozo de potencial.

1. En la región x < 0, la función de onda es:

ψ1(x) = C1eκ1x donde κ1 =

r2m

h2(U1 −E).

2. En la región con x > a, se tiene:

ψ2(x) = C2e−κ2x donde κ2 =

r2m

h2(U2 −E).

3. Dentro del pozo (0 < x < a), escribiremos ψ de la forma siguiente:

ψ3(x) = C3 sin(kx+ δ) donde k =

r2m

h2E.

(Note que poner ψ3(x) = C3 sin(kx+ δ) es equivalente a escribir ψ3(x) = A sin(kx) + cos(kx)).

La condición de continuidad de ψ y ψ0 en las fronteras del pozo da las siguientes ecuaciones:

k cot δ = κ1 =

r2m

h2U1 − k2 k cot(ka+ δ) = −κ2 = −

r2m

h2U2 − k2

o biensin δ = kh

p2mU1 sin(ka+ δ) = −kh

p2mU2.

Eliminando δ, obtenemos la ecuación trascendente:

ka = nπ − arcsinµ

kh√2mU1

¶− arcsin

µkh√2mU2

¶(1)

(donde n = 1, 2, 3.... y los valores de arcsin se toman entre 0 y 2π), cuyas raíces determinan los niveles deenergía E = k2h2/2m. Para cada valor de n se tiene, en general, una raíz; los valores n numeran los nivelesen orden creciente de energías.

Dado que el argumento del arcsin no puede ser mayor que la unidad y U2 > U1, está claro que los valores

de k pueden pertenecer sólo al intervalo entre k ∈·0,q2mU1/h

2

¸. Como el primer miembro de la ecuación

(1) es una función monótona creciente de k y el segundo miembro una función monótona decreciente. Por

consiguiente, para que exista una raíz de la ecuación (1) es necesario que para k =q2mU1/h

2 el segundomiembro sea menor que el primero. En particular, la desigualdad:

a

q2mU1/h

2 ≥ 12π − arcsin

pU1/U2, (2)

que se obtiene para n = 1 es la condición para que en el pozo exista por lo menos un nivel energético. Vemosasí que si U1 6= U2 existen siempre valores de la anchura a del pozo tan pequeños que no existirá ni un solonivel discreto de la energía.

Cuando U1 = U2, la condición (2) se cumplirá siempre, evidentemente. Si tomamos en efecto U1 = U2 =U0 (pozo simétrico) la ecuación (1) se reduce a:

33

arcsin

µkh√2mU0

¶=1

2(nπ − ka) .

Introduciendo la variable ξ = ka/2, obtenemos para n impar la ecuación:

cos ξ = ±γξ, (3)

dondeγ = (h/a)

p2/mU0,

de la que hay que tomar aquellas raíces para las que tan ξ > 0. Para n par, obtenemos la ecuación:

sin ξ = ±γξ, (4)

y hay que elegir las raíces para las que tan ξ < 0. De las raíces de estas dos ecuaciones (3) y (4) se deducenlos niveles energéticos E = 2ξ2h2/ma2, y el número de niveles es finito (para γ 6= 0).En particular, para un pozo poco profundo, en el que U0 ¿ h2/ma2, tenemos γ À 1 y la ecuación (4)

no tiene ninguna raíz. La ecuación (3), en cambio, tiene una raíz (para el signo superior en el segundomiembro), ξ ≈ 1/γ(1− 1/2γ2). En este pozo de potencial se tiene así únicamente un nivel energético

E0 ≈ U0 − (ma2/2h2)U20 = U0(1−ma2/2h2U0),situado muy cerca del borde del pozo.

• Considere una partícula que pasa sobre una barrera de potencial rectangular. Escriba lasolución general que da la forma de ψ en las distintas regiones del potencial.

(a) Encuentre cuatro relaciones entre las cinco constantes arbitrarias acoplando ψ y dψ/dxen las fronteras entre las regiones.

(b) Utilice estas relaciones para evaluar el coeficiente de transmisión T .

(c) Encuentre una condición sobre la energía total de la partícula que haga que el coefi-ciente de transmisión sea igual a uno.

ψ1(x) ψ

3(x)

ψ2(x)

x=0 x=L x

V0

V(x)

Figura 14: Barrera de potencial rectangular.

Solución(a) En la mecánica cuántica, el movimiento de la partícula está descrito por la función de onda Ψ(x, t) =

ψ(x) exp(−iEt/h). La eigenfunción ψ(x) satisface la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo parala energía potencial, que en este caso es:

V (x) =

0, x < 0V0, 0 < x < L0, x > L

En la región x < 0 la solución general es ψ1(x) = Aeik1x +Be−ik1x donde k1 =

√2mE/h. En la región

x > L la solución general es ψ3(x) = Ceik1x +De−ik1x donde k1 =√2mE/h. La partícula pasa sobre la

barrera de potencial, luego tenemos E > Vo y la solución es en este caso ψ2(x) = Feik2x +Ge−ik2x, donde

k2 =

p2m(E − V o)

h

34

Si suponemos que la partícula se desplaza en la dirección positiva del eje X, entonces no hay nada a partirde x > L que pueda reflejar la onda, por lo que D = 0. (Esto no se cumple para x < L ya que lasdiscontinuidades del potencial hacen que la onda se pueda reflejar y como consecuencia la función de ondapuede tener una parte que viaje hacia la izquierda, e−ikx).

Las condiciones de contorno que se deben cumplir son:

x = 0⇒ ψ1(0) = ψ2(0), ψ01(0) = ψ02(0)x = L⇒ ψ2(L) = ψ3(L), ψ02(L) = ψ03(L)

De ellas se obtienen las siguientes relaciones:

A+B = F +G (1)

k1(A−B) = k2(F −G) (2)

Feik2L +Ge−ik2L = Ceik1L (3)

k2¡Feik2L −Ge−ik2L¢ = k1Ce

ik1L (4)

Tenemos cuatro relaciones y cinco incógnitas, A,B,C, F y G. Necesitaríamos una condición más, que esprecisamente la condición de que la solución esté normalizada entre ∞ ≤ x ≤ ∞. Sin embargo, comoveremos más abajo, no es necesario obtener dicha constante para obtener los resultados correspondientes ala reflexión y transmisión.(b) El coeficiente de trasmisión está determinado por

T =v3 | C |2v1 | A |2 ,

donde v1 y v3 son las velocidades de la partícula en las regiones x < 0 y x > L . Pero v1 = v3 dado que elpotencial en ambas regiones es el mismo, V = 0, y por consiguiente: v1 = p1/m = hk1/m = hk3/m = v3. Apartir de las ecuaciones (1-2) obtenemos la expresión

2k1A = F (k1 + k2) +G(k1 − k2)y a partir de las ecuaciones (3-4) obtenemos las relaciones

2k2Feik2L = (k2 + k1)Ce

ik1L (5)

2k2Ge−ik2L = (k2 − k1)Ceik1L (6)

Sustituyendo ahora F y G de las ecuaciones (5) y (6) en la ecuación (1) se obtiene la expresión para C enfunción de A:

4k1k2A

eik1L=(k1 + k2)2C

eik2L− (k1 − k2)

2C

e−ik2L.

Despejando C,

C = A4k1k2e

−ik1L

e−ik2L[(k1 + k2)2 − ei2k2L(k1 − k2)2] .La expresión conjugada de ésta es

C∗ = A∗4k1k2e

ik1L

eik2L[(k1 + k2)2 − e−i2k2L(k1 − k2)2]y utilizando cos(2k2L) = 1− 2 sin2(k2L) se llega a la expresión

| C |2=| A |2 4k21k22

(k21 − k22)2 sin2(k2L) + 4k21k22.

Entonces

T =

"1 +

¡k21 − k22

¢24k21k

22

sin2(k2L)

#−1(c) El coeficiente de transmisión es uno cuando se cumple que sin2(k2L) = 0, y esto sucede si k2 = nπ/L

siendo n un entero n = 0, 1, 2.... Sustituyendo el valor de k2 vemos que esta situación es la de una partículacuya energía es uno de los valores discretos siguientes:

E = Vo +h2

2m

³nπL

´2= Vo +

n2π2h2

2mL2para n = 0, 1, 2...

(puede leer en el ejemplo 6-4 del libro de Eisberg y Resnick el significado físico de esta condición, por la quelas partículas con esta energía pasan la barrera sin ninguna reflexión, T = 1, como si la barrera no existiera)

35

Examen tipo de MECANICA CUANTICA. Opción A. Primera Prueba Personal.No se permite usar ni calculadora ni material auxiliar.

Cuestiones: conteste breve y razonadamente, ajustándose a la pregunta que se le hace.Problemas: hay que resolverlos, no sólo decir cómo se harían, definiendo todas las variables que use y explicando lanotación y las fórmulas que utilice. No es suficiente poner la solución: si Vd. conoce la solución directa de algún apartado,debe exponer dicha solución y explicarla con claridad.No haga números hasta el final, una vez tenga una expresión algebraica (haga una estimación en órdenes de magnitud).

h = 6.63× 10−34 J s, mp = 1.67× 10−27 kg, me = 9.11× 10−31 kg, R∞ = 109737 cm−1, e = 1.6× 10−19 CkB = 1.38× 10−23 J K−1, 1eV=1.6× 10−19 J, µb = 9.27× 10−24 J T−1, c = 3× 108 m s−1ao = 4π²o~2/me2 ' 0.52 Å, 1/ (4π²o) = 9× 109 m3 kg s−2 C−2R∞0e−ax

2

dx = 12

pπ/a

R∞0xe−ax

2

dx = 1/(2a)R∞0x2e−ax

2

dx = 14

pπ/a3R∞

0x3e−ax

2

dx = 1/¡2a2¢ R∞

0x4e−ax

2

dx = 38

pπ/a5

R∞0x5e−ax

2

dx = 1/a3R∞0rne−ardr = n!/an+1 Lz = −i~

³x ∂∂y − y ∂

∂x

´= −i~ ∂

∂ϕ

Nota: en el examen habrá sólo dos cuestiones y dos problemas; aquí se ponen más ejemplos para que el alumnopueda disponer de más material.

CUESTIONES

1.- En un instante determinado, una partícula se encuentra en un estado descrito por la funciónde onda Ψ(x) = Ax exp(−x2/2Γ) en un sistema en una dimensión e infinito. Calcule la posición másprobable de la partícula.La densidad de probabilidad, por unidad de longitud en el eje x, especifica la probabilidad de encontrar la partícula

en la coordenada x en el instante t. Según el postulado de Born (1926), la densidad de probabilidad en ese instantees: P (x) = Ψ∗(x)Ψ(x). Por tanto:

P (x) = |Ψ(x)|2 = |A|2 x2 exp(−x2/Γ)La probabilidad máxima viene determinada por un máximo de esa densidad de probabilidad:

dP (x)

dx= 0 =⇒

µ2x− 2x

3

Γ

¶exp(−x2/Γ) = 0

cuyas soluciones son x = 0,±√Γ. De ellas, x = 0 es un mínimo. Las posiciones más probables son entonces x = ±√Γ.

2.- Demuestre que si se quiere asignar (relativísticamente) una onda de de Broglie a un fotón, éstedebe viajar con la velocidad de la luz y tener una masa en reposo nula.Suponemos que sabemos que los fotones son cuantos del campo electromagnético y su energía es por tanto E = hν.

Sin embargo supondremos que no conocemos la relación p = E/c, es decir que no sabemos que la velocidad del fotónes c ni que su masa en reposo es nula . Si llamamos mo a la masa en reposo del fotón

m = m0γ, donde γ ≡ 1p1− v2/c2

Para una onda de de Broglie asociada a una partícula de masa en reposo m0, la longitud de onda asociada es

λ =h

p=

h

mv=

h

m0γv

Para un fotón de masa en reposo m0 la energía relativista total es E = m0c2/p1− v2/c2 = m0c

2γ. La velocidad deuna onda monocromática es v = λν

λ =v

ν=hv

hν=

hv

m0c2γ

igualando ambas relaciones nos da v = c, lo que nos da una masa no infinita m0γ sólo si m0 = 0.

3.- En un pozo cuadrado infinito, calcular la relación entre la diferencia de energías del nivel n+ 1y el nivel n y la energía En. Cuando se usan números cuánticos grandes (esto es, para n → ∞) ¿seexplica usted que en el límite clásico la distribución de valores de la energía resulte ser prácticamentecontinua?Como en cualquier otros sistema, en un pozo cuadrado infinito x ∈ [−a/2, a/2], las vienen determinadas por las

condiciones de contorno sobre la función de onda, que en esta caso son

ψ (−a/2) = ψ (a/2) = 0

Los autoestados del pozo infinito cumplen que

nλ

2= a =⇒ λ =

2a

ny como

p =h

λ=nh

2a=n~πa

nos queda que la energía de los autoestados es

En =~2

2mp2n =

π2~2n2

2ma2, n = 1, 2, 3, . . .

Por tanto

En+1 −EnEn

=2n+ 1

n2

Esto significa que, para valores grandes de n, aun cuando la separación entre los niveles de energía aumenta con n[pues En+1 −En ∝ (2n+ 1)], la separación relativa a En de dichos valores se hace cada vez más pequeña y tiendea cero (distribución prácticamente continua).

4.- Una partícula se puede mover libremente a lo largo del eje x desde x = −1 hasta x = 1, pero leestá estrictamente prohibido encontrarse fuera de esta región. Se encuentra en un estado descrito porla función de onda ψ(x) = A cos(πx/2). Normalice la función y represéntela. Calcule la probabilidad deencontrar la partícula en el rango −0.5 ≤ x ≤ 0.5.Solución:La densidad de probabilidad da la probabilidad, por unidad de longitud del eje x, de encontrar la partícula en la

coordenada x en el instante t. Según el postulado de Born es: P (x, t) = Ψ∗(x, t)Ψ(x, t). La función de onda dada esun autoestado del sistema; por tanto la parte temporal de esa función de onda desaparece al calcular la P (x, t) y éstaresulta ser independiente del tiempo. La normalización se hace teniendo en cuenta que la partícula se puede moverentre x = ±1, de manera que R +1−1 P (x)dx = 1. Por tanto:

A2Z +1

−1cos2(πx/2)dx = A2 = 1

de manera que A = 1. Represente usted la función de onda o la densidad de probabilidad.La probabilidad de encontrar la partícula en el rango especificado es la integral de la densidad de probabilidad en

el intervalo dadoZ +0.5

−0.5P (x)dx = 2A2

Z +π/4

0

cos2(u)du =1

π

·u

2+sin(2u)

4

¸π/40

=(π + 2)

8π= 0.64

PROBLEMAS

1.- Pruebe que si se conservan simultáneamente la energía y el momento lineal del sistema, no seríaposible la creación de pares mediante el proceso hν −→ e+ + e− si no hay alguna materia (por ejemplo,un núcleo) presente.La conservación de la energía relativista total se escribe:

hν = E+ +E− = 2m0c2 +K− +K+

donde K± es la energía cinética de cada una de ellas y estando la energía total (E±) y el momento de cada partícula(p±) relacionados por las ecuaciones:

E2± = (K± +m0c2)2 = p2±c

2 + (m0c2)2 ⇒ p2±c

2 = K2± + 2m0c

2K±

Supongamos que elegimos el eje OX a lo largo de la dirección de propagación del fotón inicial (vea la figura 1). Lasuma de los momentos de salida de las partículas en la dirección OY debe ser nula. Además, por ser el electrón y elpositrón partículas idénticas, excepto en que son una la antipartícula de la otra, el módulo de p+ y el de p− coinciden.Llamaremos p a dicho módulo y K a la energía cinética que tiene cada partícula. El valor absoluto del ángulo queforman los momentos de las partículas e+ y e− con el eje OX es el mismo.Por tanto, la conservación del momento nos dice entonces que hν = 2pc cos θ y

(hν)2 = 4p2c2 cos2 θ =¡4K2 + 8Kmoc

2¢cos2 θ

Si se conservara la energía, tendríamos

(hν)2 =¡2m0c

2 + 2K¢2= 2p2c2 + 4K2 + 8Km0c

2

x

θ

hν /c

p

p

θ

Figura 1: Creación de pares mediante el proceso hν −→ e+ + e−.

y esta expresión no coincide con la anterior.Por tanto, para que se produzca el par e+ y e− a partir del fotón debe haber algo que permita conservar a la vez

el momento lineal y la energía total en la colisión: por ejemplo, un núcleo que intervenga en el proceso, absorbiendola energía y el impulso necesarios para la conservación de ambos.

2.- Sea una partícula en un pozo cuadrado de profundidad infinita del anchura x ∈ (0, L). LlamamosEn a los autovalores de la energía de la partícula. La función de onda de la partícula es una combinaciónde dos autoestados

Ψ(x, t) = A sin³πxL

´exp (−iω1t) +A sin

µ2πx

L

¶exp (−iω2t)

(a) Calcule la constante de normalización A ¿Depende del tiempo la constante de normalización?Nótese que los dos sumandos que dan lugar a Ψ(x, t) son autofunciones del hamiltoniano del pozo cuadrado. Eso

significa que son ortogonales la una a la otra. Escribimos

Ψ1(x, t) =

r2

Lsin³πxL

´exp (−iω1t) , Ψ2(x, t) =

r2

Lsin

µ2πx

L

¶exp (−iω2t)

La constante de normalización se calcula haciendo uno la probabilidad de encontrar la partícula en todo el sistema,esto es, que la integral de la densidad de probabilidad en todo el pozo sea la unidadR L

0 Ψ∗(x, t) Ψ(x, t) dx = 1

|A|2 R L0[Ψ∗1(x, t) +Ψ∗2(x, t)] [Ψ1(x, t) +Ψ2(x, t)] dx = 1

|A|2hR L0Ψ∗1(x, t) Ψ1(x, t) dx+

R L0Ψ∗2(x, t) Ψ2(x, t) dx+

R L0Ψ∗1(x, t) Ψ2(x, t) dx+

R L0Ψ∗2(x, t) Ψ1(x, t) dx

i= 1

Pero, dado que Ψ1,2(x, t) son autofunciones del hamiltoniano en el pozo se verifica queZ L

0

Ψ∗i (x, t) Ψj(x, t) dx = δij

que es la condición de ortonormalidad (esto es, que son ortogonales y que están normalizadas). Esto quiere decir quela expresión anterior de normalización para Ψ(x, t) nos queda

|A|2 [1 + 1 + 0 + 0] = 1 =⇒ A =1

2

(b) Calcule la probabilidad de que la partícula esté localizada en la mitad izquierda del pozo,0 ≤ x ≤ L/2.La probabilidad de encontrar la partícula en esa zona es la integral de la densidad de probabilidad en esa zonaZ L/2

0

Ψ∗(x, t) Ψ(x, t) dx

= |A|2"Z L

2

0

Ψ∗1(x, t) Ψ1(x, t) dx+Z L

2

0

Ψ∗2(x, t) Ψ2(x, t) dx+Z L

2

0

Ψ∗1(x, t) Ψ2(x, t) dx+Z L

2

0

Ψ∗2(x, t) Ψ1(x, t) dx

#Nota: Ahora ya no se verifica que las integrales de los términos cruzados sean nulas (sólo son cero en el pozo de

potencial, entre 0 y L). El cálculo de las integrales se deja como ejercicio.

(c) Calcule el valor esperado x(t) de la posición de la partícula en ese estado.

El valor medio de la posición se calcula mediante la densidad de probabilidad

x =

Z L

0

Ψ∗(x, t) x Ψ(x, t) dx

∝"Z L

0

Ψ∗1(x, t) x Ψ1(x, t) dx+Z L

0

Ψ∗2(x, t) x Ψ2(x, t) dx+Z L

0

Ψ∗1(x, t) x Ψ2(x, t) dx+Z L

0

Ψ∗2(x, t) x Ψ1(x, t) dx

#Tampoco ahora se verifica que las integrales de los términos cruzados son nulas y también se deja como ejercicio

el cálculo de las integrales.

(d) ¿Cuál es la relación entre En y ωn ? ¿Por qué?Si hacemos actuar el operador energía i~∂/∂t sobre cada uno de las autofunciones Ψ1(x, t) y Ψ2(x, t) se ve que hay

una relación inmediata entre los autovalores En y las frecuencias ωn:

i~ ∂∂tΨi(x, t) = ~ωiΨi(x, t) = EiΨi(x, t)

la última igualdad viene de la definición de la energía asociada a un autoestado.

(e) Calcule y dibuje la densidad de probabilidad de la partícula para t = π~ [2 (E2 −E1)].Hágalo.

(f) Demuestre que la densidad de probabilidad en x = L/2 es independiente del tiempo.Sustituya y verifíquelo.

(g) Si se realiza una medida de la energía, ¿cuáles son los posibles resultados de esta medida, ycuál es la probabilidad asociada con cada una de ellas?; ¿varían con el tiempo dichos resultados yprobabilidades?Los posibles resultados de la medida son los valores asociados a cada autofunción, esto es, ~ω1 y ~ω2. Como el

peso de cada autofunción en la función de onda total es el mismo, la probabilidad de encontrar uno u otro autovalores 1/2 para cada uno.Estos valores no varían con el tiempo pues la energía es

E =

Z L

0

Ψi(x, t) i~∂

∂tΨ(x, t) dx

= |A|2"E1

Z L

0

|Ψ1(x, t)|2 dx+E2Z L

0

|Ψ2(x, t)|2 dx+E2Z L

0

Ψ∗1(x, t)Ψ2(x, t) dx+E1Z L

0

Ψ∗2(x, t)Ψ1(x, t) dx

#=

1

2E1 +

1

2E2

(h) ¿Es Ψ(x, t) un estado estacionario?No es un estado estacionario, pues la densidad de probabilidad (y otras magnitudes, como por ejemplo el valor

medio de la posición) no son constantes en el tiempo.

3.- Queremos describir una partícula que se mueve en un sistema unidimensional (el eje OX) por

Ψ (x, t) = A exp

Ã− (x− xo)2

4a2

!exp

µipox

~

¶exp (iωot)

(a) Calcular los valores medios x, x2 y la incertidumbre en la posición de la partícula ∆x.La función de ondas debe estar normalizada de manera queZ ∞−∞Ψ∗(x, t)Ψ(x, t)dx = A2

Z ∞−∞

e−(x−x0)/(2a2)dx = 1

Haciendo el cambio de variable u = x− x0, dx = du, la constante de normalización es

1 = A2Z ∞−∞

e−u2/(2a2)du = a

√2π =⇒ A2 = 1/(a

√2π)

x = A2Z ∞−∞

ue−u/(2a2)du+ x0

µA2Z ∞−∞

e−u/(2a2)du

¶= x0

Note en el primer término que la integral de una función impar en un intervalo simétrico x ∈ [−∞,∞] , da cero.

x2 = A2Z ∞−∞(u2 + x20 + 2x0u) e

−u/(2a2) du = 2A2Z ∞0

u2 e−u/(2a2)du+ x20

ComoR∞−∞ ue

−u/(2a2)du = 0, y utilizando la integralR∞0 u2 e−u/(2a

2)du de los datos

x2 = x20 + a2

∆x =¯x2 − x2

¯1/2= a

(b) Calcular los valores medios p, p2 y la incertidumbre en el momento lineal de la partícula ∆p.

pop =~i

∂

∂x, p2op = −~2

∂2

∂x2

popΨ(x, t) =

·p0 − ~

i

(x− x0)2a2

¸Ψ(x, t)

p2opΨ(x, t) =

·p20 +

~2

4a2− 2p0~

i

(x− x0)2a2

¸Ψ(x, t)

y comoR∞−∞(x− x0) e−(x−x0)/(2a

2)dx = 0

p =R∞−∞Ψ

∗(x, t) ∂∂xΨ(x, t)dx = p0

p2 = −~2 R∞−∞Ψ∗(x, t) ∂2

∂x2Ψ(x, t)dx =³p20 +

~24a2

´ )⇒ (∆p)2 =~2

4a2

(c) ¿Son consistentes los resultados con el principio de incertidumbre? ¿Qué significa eso física-mente?

∆x ·∆p = ~2

Como se ve, es plenamente consistente. Esto quiere decir que la función de onda que se da en el enunciado tiene sentidofísico, es decir, puede describir el estado de una partícula porque es compatible con el principio de incertidumbre.

4.- Supongamos la función de energía potencial descrita en la figura (2)

` `

V(x)

x

-V0

0 L/2 L

Figura 2: Pozo de potencial.

a) Escriba la forma de la función de onda en las distintas regiones del potencial.

a1) En las regiones x < 0, y x > L, el potencial es infinito, de manera que ψ(x) = 0.

a2) La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se escribe:

− ~2

2m

d2ψ(x)

dx2− V0ψ(x) = Eψ(x), 0 < x < L/2

− ~2

2m

d2ψ(x)

dx2= Eψ(x), L/2 < x < L,

de forma que sus soluciones son:

• En la región I la solución será una función oscilatoria,

0 < x < L/2, ψI(x) = A cos(kIx) +B sin(kIx), kI =q

2m(V0+E)~

En la región II hay dos posibilidades:1.- si E < 0 (en el caso de la mecánica clásica la partícula no podría entrar en la región I):

L2 < x < L, ψII(x) = C exp(kIIx) +D exp(−kIIx), con kII =

q−2mE~

2.- si E > 0, la solución será una función oscilatoria,L2 < x < L, ψIII(x) = C

0 cos(kIiIx) +D0 sin(−kIIIx), con kIII =q

2mE~

b) Dibuje esquemáticamente la densidad de probabilidad ψ∗ψ en cada zona del potencial. Hágalo.

c) ¿Qué condiciones debe cumplir la función de onda en x = 0, x = L/2 y x = L?Las constantes arbitrarias se escogen de modo que las funciones satisfagan las condiciones siguientes:c1) la función debe anularse en la fronteras del pozo donde el potencial es infinito, esto es,

ψI(0) = 0 y ψII(L) = 0

c2) las funciones y sus derivadas deben ser continuas en L/2, esto es,

ψI(L/2) = ψII(L/2) y ψ0I(L/2) = ψ0II(L/2).

d) Considerando sólo los estados con E < 0, escriba las ecuaciones que nos permitan calcular losniveles de energía.Las cuatro condiciones anteriores determinan las cuatro constantes arbitrarias (A,B,C,D o A,B,C0,D0). Si E < 0,

las expresiones que nos pide el enunciado son las siguientes:

A = 0

C exp(kIIL) +D exp(−kIIL) = 0

B sin(kIL/2) = C exp(kIIL/2) +D exp(−kIIL/2)kIB cos(kIL/2) = kII [C exp(kIIL/2)−D exp(−kIIL/2)]

A continuación escribiremos estas expresiones de forma algo más simplificada. Dado queD = −C exp(2kIIL),podemos escribir ψII(x) = C exp(kIIL) [exp[kII(x− L)] + exp[−kII(x− L)]] = F cosh [kII(x− L)].La solución nos queda finalmente como ψI(x) = B sin(kIx), y ψII(x) = F sinh [kII(x− L)] habiendo una relación

entre las constantes

B sin(kIL/2) = −F sinh [kII(L/2)]BkI cos(kIL/2) = kIIF cosh [kII(L/2)]

que proviene de las condiciones de empalme.Estas ecuaciones son las que nos piden. Sólo pueden ser resueltas numéricamente, dado que llevan a expresiones

transcendentes, y su solución nos llevaría a los valores de B y F que cumplieran las ecuaciones de empalme y a lacuantización de la energía.

Nota: Para ver que la solución de estas dos últimas ecuaciones llevan a la cuantización de la energía podemosreescribirlas como:

B2 = F 2

"sinh2

µkIIL

2

¶+

µkIIkI

¶2cosh2

µkIIL

2

¶#

−kII tanµkIL

2

¶= kI tan

µkII

L

2

¶

MECANICA CUANTICA (ADAPTACION) MECANICA CUANTICA (3o curso)Opción A (la otra opción figura al dorso de la hoja; indique su opción en el examen).

Primera Prueba Personal. Original. Septiembre de 2000.No se permite usar ni calculadora ni material auxiliar.

Cuestiones: conteste breve y razonadamente, ajustándose a la pregunta y explicando lo que haga.Problemas: hay que resolverlos, no sólo decir cómo se harían, definiendo todas las variables que use yexplicando la notación y las fórmulas que utilice. No es suficiente poner la solución: si Vd. conoce la solucióndirecta de algún apartado, debe exponer dicha solución y explicarla con claridad.No haga números hasta el final, una vez tenga una expresión algebraica (haga una estimación en órdenes de magnitud).1

CUESTIONES

1.- Sea una partícula de masa en reposo mo. Si su energía es E, sabemos que es posibleasignar una frecuencia ω a la energía, mediante la relación E = hω = hν. También se puedeasignar una longitud de onda λ a cualquier partícula con momento lineal p. En base a loanterior, calcúlese la velocidad de fase Vf correspondiente a esas λ y ν de la partícula enfunción de λ. Comparar el resultado con c si mo > 0.

Solución:Una partícula que posee una energía determinada E y un impulso determinado p se puede representar

mediante una onda en la forma:

ψ = cte× exp(−i/h)(Et−px) .Esta función describe una onda plana que se propaga en la dirección x y posee una frecuencia E/h y

una longitud de onda λ = h/pLa definición de velocidad de fase es Vf = λν, entonces

Vf = νλ =E

h× hp=E

p.

Utilizando la expresión de la energía total relativista:

E2 = p2c2 +³m0c

2´2

E

p=

sp2c2 +m20c

4

p2= c

s1 +

m20c2

p2

Vfc

=E

cp=

s1 +

λ2m20c2

h2

Por tanto obtenemos como resultado que las fases de las ondas de materia se propagan con una velocidadque excede la de la luz, lo cual es una indicación más de que la velocidad de fase no tiene significado físico.

2.- Clásicamente, un electrón que interacciona con un protón situado en el origen tiene suenergía mínima cuando se encuentra en el origen de coordenadas. Sin embargo, cuánticamentela energía mínima será cuando el electrón se encuentra a una distancia a0 del protón ¿Por quésucede esto último?

Solución:1Datos:

h = 6.63× 10−34 J s, mp = 1.67× 10−27 kg, me = 9.11× 10−31 kg, R∞ = 109737 cm−1, e = 1.6× 10−19 CkB = 1.38× 10−23 J K−1, 1eV=1.6× 10−19 J, µb = eh/ (2me) = 9.27× 10−24 J T−1, c = 3× 108 m s−1,ao = 4π²oh

2/me2 ' 0.52 Å, 1/ (4π²o) = 9× 109 m3 kg s−2 C−2R∞0 e−ax

2

dx = 12

pπ/a

R∞0 xe−ax

2

dx = 1/(2a)R∞0 x2e−ax

2

dx = 14

pπ/a3R∞

0x3e−ax

2

dx = 1/¡2a2¢ R∞

0x4e−ax

2

dx = 38

pπ/a5

R∞0x5e−ax

2

dx = 1/a3R∞0 rne−ardr = n!/an+1

R t0 exp(−x2)dx = 1

2

√π erf (t)

L2op = −h2h

1sin θ

∂∂θ

¡sin θ ∂

∂θ

¢+ 1

sin2 θ∂2

∂ϕ2

i; Lz,op = −ih

³x ∂∂y − y ∂

∂x

´= −ih ∂

∂ϕ

La energía total no relativista de un electrón en un campo electrostático es

E =p2

2m− Kr

La energía del estado fundamental es la menor energía del sistema y sabemos que ha de ser negativa,ya que de lo contrario no habría enlace. Ahora bien, el primer término es positivo y el segundo negativo.Clásicamente podemos hacer que la energía de enlace sea tan grande como queramos simplemente eligiendouna órbita con un radio pequeño. Para un estado del movimiento de este tipo la indeterminación en laposición sería pequeña, y si intentamos ahora tratar el problema dentro de la mecánica cuántica llegamosa la conclusión de que la indeterminación en el valor del momento debe ser grande en virtud del principiode incertidumbre, lo cual a su vez significa que la cantidad p2/2m será a su vez grande. Cabe imaginar quehabrá cierto radio óptimo para el cual la energía total tome su mínimo valor.

Se puede estimar, al menos en orden de magnitud, la energía mínima y la distancia mínima, que resultaser a0. El valor de r que vamos a suponer es del orden de ∆r. Dado que ∆r∆p ∼ h tenemos quep ∼ ∆p ∼ h/∆r ∼ h/r, y

E =p2

2m− Kr∼ h2

2mr2− Kr

Calcularemos el valor de la distancia que haga la energía más estable, que denominaremos R,µdE

dr

¶r=R

= − h2

mR3+

Ze2

4πε0R2= 0⇒ R =

4πε0h2

µZe2= a0

PROBLEMAS

1.- El radio de la órbita del estado de energía más baja del átomo de hidrógeno (radio deBohr) es ao. Un átomo de uranio neutro tiene 92 electrones, que rodean a un núcleo con 92protones.

(a) Explicando claramente las suposiciones que haga, estime un valor numérico aproximadopara el radio de la órbita más pequeña de los electrones del átomo de uranio alrededor de sunúcleo.

(b) Suponga ahora que el átomo se desprende de todos sus electrones y que posteriormentecaptura un único electrón. Calcule la energía mínima que debe tener un fotón que sea capazde desprender a ese electrón, ligado al núcleo de uranio.

(c) Calcule el valor de la velocidad del electrón del apartado (b) y compárelo con el valorde la velocidad de la luz; ¿debe tratarse ese electrón de forma relativista?

Solución:(a) Para hacer una estimación del radio de la órbita más pequeña utilizaremos el modelo de Bohr.

Por ello supondremos un átomo hidrogenoide, es decir, con un núcleo con carga Ze y un electrón en elestado de energía más baja, de manera que lo que se supone es que la trayectoria de los demás electroneses suficientemente lejana como para que el electrón en la trayectoria más cercana al núcleo apenas tieneinteracción con ellos. En ese estado el momento angular es L = rp = nh. La ecuación de la energía paraeste electrón en su órbita interna, n = 1, es:

E =p2

2m+ V =

h2

2mr2− Kr

dE

dr= − 2h2

2mr3+

Ze2

4πε0r2= 0⇒ a =

4πε0h2

mZe2

donde hemos despreciado el efecto del resto de los electrones en el potencial.Comparando el radio obtenido con el radio del átomo de hidrógeno:

a =a092

es mucho más pequeña la órbita.

(b) Con este modelo, la energía de este estado

En =−13.61

Z2 eV=−13.6× 922

1× 1.6× 10−19 J = −1.84× 10−14 J

que comparando con m0c2 = 9.11×10−31× ¡3× 108¢2 J=8. 199 × 10−14 J, vemos que es del mismo ordende magnitud. (c) Si queremos comparar la velocidad, como según el teorema del virial en valor medioE = −Ec, donde Ec es la energía cinética, la velocidad ses

v =

s2E

m=

s2×1.84× 10−149.11× 10−31 = 2× 108 m s−1

v

c∼ 2

3

Por tanto se deberían tener en cuenta los efectos relativistas2.- Sabiendo cuáles son los valores posibles de la energía de una partícula en un pozo

de potencial armónico, y usando argumentos de simetría, demostrar que en el caso de unpotencial

V (x) =

½ ∞ x < 012Kx

2 x > 0

los valores son E =³2n+ 3

2

´hω con n = 0, 1, 2, . . . Dar una razón, basada en el principio de

incertidumbre, que justifique el por qué la energía del estado fundamental de este potenciales mayor que en el caso del oscilador armónico.

Solución:En el caso del potencial armónico el término de la energía potencial es V = Kx2/2 en −∞ ≤ x ≤ ∞ y

la energía E =³n+ 1

2

´hω con n = 0, 1, 2, . . . . Dado que V (x) = V (−x) las autofunciones tienen paridad

bien definida: son simétricas (n = 0, 2, 4, ....) o antisimétricas (n = 1, 3, 5..) .Ahora bien, en el caso que nos ocupa las autofunciones del oscilador armónico satisfacen la ecuación

de Schroedinger pero no las condiciones de contorno. En el presente caso deberán cumplir la condiciónψ (x = 0) = 0, lo cual implica que solo las autofunciones antisimétricas, ψ (x) = −ψ (x), son solucionesválidas. Las energías correspondientes a estas autofunciones son E =

³n+ 1

2

´hω con n = 1, 3, 5 . . . o lo que

es lo mismo E =³2n+ 3

2

´hω con n = 0, 1, 2, . . . .

Para estimar la energía del punto cero, E∗0 , supondremos que el valor de la indeterminación de la posición∆x es aproximadamente x. Entonces, el valor ∆p más pequeño posible viene dado por la relación

∆p ∼ h/∆x

Como ∆p =qp2 porque p = 0 en un estado ligado, se tiene que la energía mínima o de punto cero es

E0 = Ec +Ep =(∆p)2

2m+1

2K (∆x)2 .

Sin embargo observamos que las dimensiones del pozo del enunciado son más pequeñas, ∆x∗ ∼ ∆x/2,de manera que

∆x∗ ∼ ∆x/2,

∆p∗ ∼ h/∆x∗ ∼ 2h/∆x ∼ 2∆ppor tanto la energía mínima del sistema del enunciado se puede comparar con la anterior

E∗0 ∼∆p∗2

2m+1

2K (∆x∗)2 = 4

∆p2

2m+1

4K (∆x)2 = 4Ec +

Ep4≈ 178E0 > E0

en la estimación hemos utilizado que según el teorema del virial, para el pozo de potencial armónico enpromedio Ec = Ep = E/2

Nota: Para comprender mejor que ∆x∗ ∼ ∆x/2 se puede pensar los siguiente: en el estado fundamental(que no tiene nodos) la función de onda ha de ser nula para x = 0, puesto que el potencial es infinito enese valor; por lo tanto la zona con mayor probabilidad de encontrar a la partícula será aproximadamente lamitad que en el caso del potencial armónico.