16to Concurso Nacional De Matemtica CONAMAT 2013Eliminatoria
1Solucionario de Primer ao1. Calcule el permetro de la regin
limitada por un polgono regular, en donde el nmero de diagonales
excede en 3 al nmero de vrtices y las longitudes de sus diagonales
mayores es d.1. 2d B) 3d C) 4d D) 6d
SolucinSi el nmero de diagonales excede en 3 la nmero de vrtices
entonces:n(n-3)/2 = n + 3 de donde n2 5n 6 = 0 entonces (n-6)(n+1)
= 0, luego n solo puede ser 6 (n=6).
Sea la longitud del lado del hexgono regular y un hexgono
regular presenta dos tipos de diagonales, 3 mayores de longitud
igual a 2 y 6 menores de longitud .El permetro de la regin
hexagonal es 6, siendo por dato 2 = d, por lo tanto 2p = 6 =
3d.
Respuesta B.
1. Dos segmentos que tienen un extremo comn, tienen longitudes
17 cm y 6 cm, si el producto de sus pendientes es -1, calcule la
longitud del segmento que une sus extremos.1. 18 B) 19 C) 20 D)
21
SolucinSi el producto de pendientes de dos rectas es -1 entonces
dichas rectas son perpendiculares, entonces en el problema los
segmentos son perpendiculares y al unir sus extremos se forma un
tringulo rectngulo cuya hipotenusa es lo que se pide
calcular.Entonces 172 + (6)2 = x2Luego 289 + 72 = 361 = x2, de
donde x = 19
Respuesta B.
1. Un ngulo de 120 es dividido en n ngulos consecutivos, si la
suma de sus complementos es 29 veces la suma de las medidas de los
n ngulos, calcule el valor de n.
1. 30 B) 29 C) 58 D) 40
Solucin
Del dato Sms = 1 + 2 + + n-1 + n = 120Tambin C1 + C2 + + Cn-1 +
Cn = 29(Sms) = 29(120) De donde n(90) _ (1 + 2 + + n-1 + n) =
29(120)Luego n(90) = 30(120), por lo tanto n = 40
Respuesta D.
1. Calcule el rea de la superficie lateral del cilindro inscrito
en un prisma regular de 12 aristas todas congruentes entre s. Si la
longitud de una de las diagonales del prisma es 2.
1. 2 B) 3 C) 4 D) 6
Solucin
El prisma de doce aristas congruentes, es el cubo (hexaedro
regular). Si su arista tiene longitud , entonces la diagonal tiene
longitud = 2.Si = 2, entonces el radio de la base del cilindro
inscrito es 1.Luego el rea de la superficie lateral del cilindro
inscrito es 2(1)() = 4.
Respuesta C.Solucionario de Segundo ao1. En el grfico las rectas
m y n son paralelas, calcule el valor de .
1. 30 B) 36 C) 45 D) 60Solucin Por D trazamos la recta p // n
entonces p // m
Como p // m: la m CDP = 3 por la propiedad de los ngulos
alternos internos.En p // n: la m PDE = 180 - 2, por propiedad de
ngulos conjugados.Finalmente en D: 3 + 3 + 180 - 2 = 360, de donde
= 45.
Respuesta C.
1. Segn el grfico calcule m + n.
1. 100 B) 80 C) 90 D) 120
Solucin Prolongamos convenientemente los lados del polgono
tratando de obtener una figura de propiedad conocida, entonces por
tringulos opuestos por el vrtice la mBAD = .Adems se forma el
cuadriltero ABCD: en donde se cumple la propiedad:m + n = (100 - )
+ , de donde se obtiene lo que nos piden calcular.
Por lo tanto; m + n = 100
Respuesta A.
1. En un rectngulo ABCD, en BC se ubica el punto P, de manera
que AP y AC trisecan el ngulo BAD e intersecan a BD en M y N
respectivamente. Calcule el rea de la regin MNCP si el rea de ABCD
es 24u2.1. 4 u2 B) 5u2 C) 6 u2 D) 8u2Solucin
Si AP y AC trisecan el ngulo recto BAD. Entonces la mBAP = mPAC
= mCAD = 30, adems en el tringulo rectngulo ABP: BD AP. Entonces AM
= 3(MP) y en el rectngulo ABCD, las diagonales AC y BD se bisecan
en N.Sea 2S el rea de la regin MPC, entonces el rea de la regin AMC
es 6S, por lo tanto las reas de AMN y NMC es 3S, respectivamente.El
tringulo ABN es equiltero, entonces el rea de ABM tambin es 3S. De
donde el rea de ABCD es 24S.Del dato 24S = 24u2. Entonces S = 1u2 y
el rea de la regin pedida es 5S = 5u2.Respuesta B.
1. En un cono equiltero, la mitad de los vrtices del hexaedro
regular (cubo) inscrito, son puntos medios de las generatrices que
las contienen. Si dicho cubo tiene aristas de longitud , calcule la
longitud de la generatriz del cono.1. 2 B) 2 C) 2 D) 3
Solucin
Como el cono es equiltero las generatrices diametralmente
opuestas forman con la diagonal de la base superior del cubo un
tringulo equiltero.Entonces si la diagonal de la base superior del
cubo es , entonces las generatrices tienen longitudes 2 . Respuesta
B.
Solucionario de Tercer ao
1. En un tringulo ABC, se traza la ceviana interior BD de modo
que AB = CD, la mBDC = 30 y la mBCA = 2(mBAC). Calcule la mABD.
1. 10 B) 15 C) 20 D) 18
Solucin En la prolongacin de AC ubicamos el punto H, de modo que
CH = BC = a, entonces la mBHC = mHBC = , luego el tringulo ABH es
issceles de lado (AB = BH = ).Del dato CD = AB = , si se construye
el tringulo equiltero DGC, los tringulos GBD y CBD son congruentes
(caso L.A.L.)
Entonces BG = BC = a, luego los tringulos BGC y BCH son
congruentes (caso L.L.L.), por lo tanto la mBCG = mCHB =
.Finalmente en el tringulo equiltero DGC: 3 = 60 y = 20, entonces
en el tringulo ABD, la m ABD = 10.
Respuesta A.
1. En un cuadrado de centro O, sean M y N puntos medios de BC y
CD respectivamente, donde la interseccin de AM y BN es el punto P y
la prolongacin de PO interseca a AD en Q. Calcule AQ/QD.1. 2 B) 2,4
C) 3 D) 3,6
Solucin
Si prolongamos BN y AD hasta que se intersequen en G, los
tringulos GDN y BCN son congruentes,( caso A.L.A.) entonces DG = 2a
= AD.En el tringulo APG: PQ es bisectriz, entonces AQ/QG =
AP/PG.Como la mBGA = 53/2, en el tringulo APG; AP/PG = .Por lo
tanto AQ/QG = , entonces si AQ= y QH = 2.Ahora: + m = 2a y m + 2a =
2, entonces = 2aLuego / a = 2
Respuesta A.
1. En el grfico AM=MC= a y MN=NP=BP. Calcule el rea de la regin
BNP.
1. a2 B) a2 C) a2 D) a2
Solucin
En el tringulo rectngulo ABC trazamos la mediana relativa a la
hipotenusa, entonces BM = AM = MC = a y la m MBC = m MCB = Como
MN=NP=BP= , entonces la m PBN = m MNC = 90-, por lo tanto la m MBP
= 90 y en el tringulo rectngulo MBP; BN = .Por todo ello concluimos
que el tringulo PBN es equiltero y con ello = 30, siendo la mBAM =
60 y el tringulo ABM es equiltero, de lado a y el rea de la regin
que limita es 3S, siendo S el rea de la regin pedida BNP.Entonces
3S = a2(/4) y S = a2
Respuesta B.
1. El desarrollo de la superficie de un poliedro est formado por
tres cuadrados iguales a los que se muestra en el grfico, cortados
por las lneas punteadas.
Y colocadas alrededor de un hexgono regular, como se muestra a
continuacin.
Calcule el volumen de dicho poliedro.
1. 33 B) 43 C) 53 D) 63
Solucin Reconstruyendo el slido se observa que se forma la mitad
de un cubo de arista 2, entonces el volumen del slido resultantes
es (2)3 = 43.
Respuesta B.
16to Concurso Nacional De Matemtica CONAMAT 2013Eliminatoria
2Primer ao1. Desde dos vrtices consecutivos de un polgono se trazan
como mximo dos diagonales ms que el nmero de lados de dicho
polgono. Calcule el nmero de diagonales que se pueden trazar desde
3 vrtices consecutivos.1. 10 B) 14 C) 15 D) 20
Solucin
Debemos recordar que el nmero de diagonales trazados desde 2
vrtices consecutivos es 2(n-3) y esto por dato es igual a n + 2,
luego 2n - 6 = n + 2, de donde n = 8Ahora desde 3 vrtices
consecutivos, en un polgono de n lados, se pueden trazar 3n
(4)(5)/2 = 24 10 = 14 diagonales.
Respuesta B.
1. Los vrtices A, B, C de un tringulo ABC tienen coordenadas (6;
0), (0; 0) y (0; 8). Calcule el permetro de la regin triangular
cuyos vrtices son los puntos medios de ABC.1. 6 B) 8 C) 10 D)
12
Solucin
Sean M, N y Q los puntos medios de AB, BC y AC respectivamente,
entonces M = (A + B)/2 = ((6,0)+(0,0))/2 = (3,0), anlogamente N =
(0,4) y Q = (3,4).Luego MN = = 5, NQ = = 3 y MQ = = 4, por lo tanto
el permetro de la regin triangular MNQ es 5 + 3 + 4 = 12
Respuesta D.
1. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD. Si la
medida del ngulo AOC mas la medida del ngulo BOC es el triple de la
medida del ngulo BOC, calcule la medida del ngulo COD, sabiendo que
las bisectrices de los ngulos AOB y COD son perpendiculares.
1. 45 B) 30 C) 60 D) 36
Solucin
Del dato; mPOQ = 90 y mAOC + mBOC = 3(mCOD), entonces
reemplazando valores, 2 + + = 3(2) = 6, de donde + = 3 adems + + =
90, entonces 4 = 90.Por lo tanto la mCOD = 2 = 45
Respuesta A.
1. Calcule el rea de la superficie lateral del cilindro de
revolucin inscrito en un prisma hexagonal regular cuyas bases son
respectivamente coplanares y la altura del prisma es igual a la
diagonal de un cubo de arista 2, adems la arista bsica del prisma
tiene longitud 2.1. 6 B) 8 C) 12 D) 16
Solucin El rea de la superficie lateral de un cilindro es 2r.h,
donde r es el radio de la base y h es su altura.Como el cilindro
est inscrito en un prisma hexagonal regular y sus bases son
coplanares entonces el crculo de la base del cilindro est inscrito
en la base hexagonal del prisma.Entonces el radio del crculo es ya
que la arista bsica del prisma es 2 (lado del hexgono regular).Como
la altura del prisma es igual a la diagonal de un cubo de arista 2
entonces h = 2.Por lo tanto el area de la superficie lateral del
cilindro inscrito es 2()() = 12.
Respuesta C.
Segundo ao1. En el grfico las rectas m y n son paralelas,
calcule el valor de x.
A) 30 B) 36 C) 45 D) 60
Solucin
En el grfico colocamos letras a algunos vrtices y por los puntos
A y C trazamos rectas paralelas a m y n.Luego p//q: 4x -90 + 2x =
90, luego 6x = 180, entonces x = 30
Respuesta A.
1. Del grfico calcule el valor de .
1. 45 B) 60 C) 40 D) 50Solucin Prolongamos algunos lados
convenientemente para forma el cuadriltero cncavo como se muestra
en la figura.
En ABCD, la mADC = 3, luego en D: 4 = 180 de donde = 45
Respuesta A
1. En un tringulo rectngulo ABC recto en B, se ubican los puntos
medios M y N de AB y BC respectivamente, en AC se ubican los puntos
P y Q, de modo que el rea de la regin convexa MNPQ es la mitad del
rea de ABC. Calcule MN/PQ.
1. 0,5 B) 0,75 C) 0,6 D) 1
Solucin
Para cualquier tringulo el rea de la regin MBN es la cuarta
parte de ABC (4S).Ubicamos el punto P en AC de manera arbitraria
(P, punto cualquiera de AC)entonces el rea de la regin MPN tambin
es S. Si por M trazamos una paralela MQ a NP, resulta que el rea de
la regin MQP tambin es S.Por lo tanto el rea de la regin MNPQ es la
mitad de ABC y como MNPQ es un paralelogramo PQ = MN = b, luego
MN/PQ = 1
Respuesta D
1. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de
revolucin, es la tercera parte de un crculo de radio R. calcule la
altura de dicho cono.
1. B) C) D)
Solucin
El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolucin
es un sector circular, si adems el desarrollo es la tercera parte
de un crculo, el sector circular es uno de 120 radianes. si R es el
radio del crculo, entonces R es la generatriz del cono (g = R).La
longitud el arco del sector circular de 120 es 2R/3 siendo esta, la
longitud del permetro de la base del cono. De donde r = R/3, siendo
r el radio de la base del cono.Con r y g conocidos podemos calcular
la altura del cono.
h = = = 2R/3
Respuesta C.
Tercer ao1. En el grfico las rectas m y n son paralelas, calcule
el valor de x. Si = 40.
A) 20 B) 30 C) 40 D) 50
Solucin
Prolongamos adecuadamente los lados, buscando el ngulo ABC, de
donde observamos que la mABC = x.Entonces por ngulos entre
paralelas, x = = 40
Respuesta C
1. Los cuadrados EFGH y JKLM estn inscritos en los tringulos ABC
y EBH, si AC = b y LM = a. Calcule el lado del cuadrado EFGH.
1. B) C) 2 D)
Solucin Como EH//AC entonces los tringulos EBH y ABC son
semejantes y los cuadrados son elementos homlogos de dicha
semejanza (cuadrados inscritos en tringulos semejantes), entonces
a/x = x/b de donde x = .
Respuesta B
1. En el grfico AB = 2(MN), BM=MC, AN= AB + NC. Calcule el rea
de la regin ABC si (MN)2 + (MN)(NC) = .
1. B) 2 C) 3 D) 4
Solucin Sea MN = a/2 y NC = b entonces del dato AB = a y AN = a
+b
Desde B trazamos BQ//MN, entonces QN = NC = b y AQ= aEn el
tringulo QBC del teorema de los puntos medios BQ = a, por lo tanto
el tringulo ABQ es equiltero de lado a y la mBAQ = 60.Calculemos el
rea de la regin ABC en funcin de a y b.Entonces: = (a)(a+2b)sen 60
= (a2/4 + ab/2) = ((MN)2 +(MN)(NC)) = 3
Respuesta C.
1. Un prisma recto est circunscrito a un cilindro de revolucin,
cuyo radio de su base es 2u. Si el volumen del prisma es mnimo,
calcule el permetro de la base sabiendo que es un nmero entero y
las bases de los slidos son coplanares.
1. 12 B) 13 C) 14 D) 15
Solucin Como el prisma est circunscrito al cilindro, el volumen
del prisma es mayor que el volumen del cilindro, adems las bases
son coplanares por lo que sus alturas son iguales, entonces la razn
de volmenes solo depende de las reas de sus bases, entonces el rea
de la base del prisma es mayor que el rea de la base del
cilindro.
Luego: p.r > r2, de donde p > r = (3,1416)(2) = 6,28322p
> 12,5664 entonces el permetro mnimo es 13
Respuesta B.
1. En un tringulo equiltero ABC, se traza la altura AM, desde M
se traza MN perpendicular a AC (N en AC). Si Q es punto medio de
MN, calcule la medida del ngulo que forman BN y AQ.
1. 45 B) 60 C) 90 D) 75
Solucin Graficando segn el enunciado, ABC es tringulo equiltero
y nos piden calcular x.
Trazamos la altura BH, entonces los tringulos CBH y MAN son
semejantes de 30 y 60 Y en dichos tringulos, las medianas BN y AQ
respectivamente son homlogas.Como las hipotenusas de dichos
tringulos son perpendiculares, sus medianas tambin sern
perpendiculares.Por lo tanto x = 90
Respuesta C.
1. En una pirmide cuadrangular regular, se inscribe un cilindro
de revolucin (cilindro recto de base circular) de modo que dos
caras laterales opuestas son tangentes a la superficie lateral del
cilindro. Si la altura de la pirmide es el triple del radio de la
base del cilindro, calcule la medida del ngulo diedro que forman
estas dos caras laterales.
A) 30 B) 45 C) 53 D) 60
Solucin
Para poder apreciar a las dos caras laterales del prisma
tangentes a la superficie lateral del cilindro es necesario
observar la pirmide, proyectada en un plano perpendicular a las
aristas bsicas AB y CD, siendo las caras VAB y VDC, las caras
tangentes a la superficie cilndrica, entonces el cilindro se
observa como un crculo y la pirmide como un tringulo.
Es en esta vista en donde aprovechamos el dato (la altura es el
triple del radio de la base del cilindro)Segn el grfico podemos
apreciar que el ngulo que forman estas caras laterales opuestas de
la pirmide es 60.
Respuesta D.