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- 1 -
FLUIDOS I VISCOSIDAD DE LOS FUIDOS
1) En la figura se muestra un viscosmetro que contiene liquido
viscoso de espesor e = 2cm, esta rota con una velocidad angular w =
6rad/s y genera una potencia de 0.015Hp.Calcular el valor de la
viscosidad dinmica m del lquido viscoso.
30cm
e
15cm
10cm
Solucin: Para el casquete esfrico calculamos R.
30cm
e
15cm
10cm
R R
15
R-10b
cmRRR25.16
15)10( 222
=+-=
38.67=b qff dsenRdRdA .=
Pero
dAdF
er
==wm
t
q
dff
dqR
R
Rdf
RSenfdqRSenf
dA
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- 2 -
dAerdF wm=
qffwm ddsenR
erdF 2*=
rdFdTL = Pero fRsenr =
qffmw ddsene
RdT L3
4
=
Integrando
=38.67
0
32
00
4
qffmw p ddsene
RdTTL
L
--=38.67
0
22
0
4
)(cos)cos1( qffmwp
dde
RTL
)2(301.04
pmwe
RTL =
m65.11 =TL correccion Para la parte cilndrica.
dAdF
eR
==wm
t
dAeRdF wm=
RdhdA p2=
RdheRdF pwm 2*=
RdheRRdTL pwm 2*=
=hTL
L dheRdT
0
3
0*2pmw
he
RTL32pmw
=
3.002.0
)15.0(*6*2 3pm=CILINDROT
m91.1=CILINDROT Base del cilindro
dAerdF wm .=
rdrdA .2 p=
drre
dT b32 pmw=
R
r
dr
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- 3 -
Integrando se tiene
drre
dTRT
b = 03
0
2 pmw
4.2
Re
T bpmw=
2) De la figura encontrar la potencia consumida por efecto de la
viscosidad en el sistema, sabiendo que la holgura e=1pulg.,
R=4pulg. , velocidad angular =6rad/s y =0.05 poise
R
h
R
e
70 70
Solucin:
Se sabe: er
ev
dydv wmmmt ... ===
dxdy dl
xh
a
R
q q
LLL dAexxdAdFxdT ..... wmt ===
Por semejanza de tringulos
)( aRh
dxdy
-=
Donde:
qTanhRa -=
dxaR
hxe
dT L )(1.2
-+=
mwp
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- 4 -
Integrando
dxxaR
he
dTR
a
T
LL
-+= )(12
0
mwp
|4.)(12 4 R
aLx
aRh
eT
-+=
mwp
).()(12
44 aRaR
he
T L --+=
mwp
Para la semiesfera
q
dff
dqR
R
Rdf
RSenfdqRSenf
)).(.(. qff dSenRdRdA =
dAdF
er
==wmt
dAerdF wm=
dAerrdFrdT ewm.. ==
qffmw ddSeneRdT e ..
34
=
Integrando
qffmwp p
ddSeneRdT
T..
2
0
4/
0
34
0 =
qffmwp p
dCosdCoseRT e .)().1(
2
0
4/
0
24
--=
eRT e 3
4 4pmw=
Base hueca
dAerdF wm .=
rdrdA .2p=
R
r
dra
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- 5 -
drre
dT b32 pmw=
Integrando se tiene
drre
dTR
a
T
b = 302 pmw
).(2
44 aRe
T b -=pmw
totalTPot .w= )(* beL TTTPot ++= w
3) Para la siguiente figura determinar sabiendo que: R=30cm,
h=H=30cm, r=15cm, velocidad angular =5rad/s, e=3cm y potencia de
0.011HP.
R
h
H
r
e
Solucin:
LdAdF
er
==wmt .
LdAdF .t= Similar al problema anterior
d xd yd l
x
H
r
R
LLL dAexxdAdFxdT ..... wmt ===
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- 6 -
dxdxdyxdydxxdLxdA L
2
1..2)()(..2...2
+=+== ppp Por semejanza de
tringulos
)( rRH
dxdy
-=
Donde:
dxrR
Hxe
dT L2
1 1.2
-+=
mwp
Integrando
dxxrR
He
dTR
a
T
LL
-+= )(121
0 1mwp
|4.)(12 4
1
R
rLx
rRH
eT
-+=
mwp
).()(12
441 rRrR
He
T L --+=
mwp
Anlogamente para la parte inferior cnico
d xd y d l
x
h
R
dxRhx
edT L )(1.
22 +=
mwp
dxxRh
edT
RT
LL
+= 00 2 )(122 mwp
|04
2 4.)(12
R
Lx
Rh
eT += mwp
42 .)(12
RRh
eT L +=
mwp
Base menor del tronco de cono
dAerdF wm .=
rdrdA .2 p=
drre
dT b32 pmw=
R
r
dr
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- 7 -
Integrando se tiene
drre
dTRT
b = 03
0
2 pmw
4.2
Re
T bpmw
=
)(* 21 bLL TTTpot ++= w Rpta
4) En el sistema de la figura determinar , sabiendo que e=2cm,
R=20cm, h=50cm, =4rad/s y potencia de 0.015HP.
R
he
Solucin: Para la semiesfera.
q
dff
dqR
R
Rdf
RSenfdqRSenf
)).(.(. qff dSenRdRdA =
dAdF
er == wmt
dAerdF wm=
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- 8 -
dAerrdFrdT ewm.. ==
qffmw ddSeneRdT e ..
34
=
Integrando
qffmwp p
ddSene
RdTeT
e ..2
0
4/
0
34
0 =
qffmwp p
dCosdCose
RT e .)().1(2
0
4/
0
24
--=
eRT e 3
4 4pmw=
Para la parte cnica
d xd y d l
x
h
R
dxRhx
edT L )(1.
2+=
mwp
dxxRh
edT
RT
LL
+= 00 )(12 mwp
|04
4.)(12
R
Lx
Rh
eT += mwp
4.)(12
RRh
eTL +=
mwp
TTpot *w= )(* Le TTpot += w
ESTTICA DE LOS FLUIDOS
5) Para el sistema de la figura determinar la presin absoluta en
el punto A.
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- 9 -
A
BC
20cm40cm
15cm
40cm
50cm
g2 g1
g3
Agua
Agua
Agua
G as
45
60cm
lg/049.0,lg/034.0,lg/029.0 321 PulbfPulbfPulbf === ggg
Solucin:
A
BC
20cm40cm
15cm
40cm
50cm
g2 g1
g3
A gua
AguaAgua
G as
45
60cm
a
b
c h
)2.0(4.0)5.0106.0()()()2.0()4.0()5.0()(
321
321
gggggggggg
-+++-++=+-+-+++=
bcaPPCbhaPP
atmA
atmA
Pero de la figura se tiene:
mbcamSenhpero
cbhacbha
194.0106.04515.0
3.04.02.06.04.05.0
=-+\==
=+-+=+--+-++
)2.0(4.0)5.0106.0()( 321 gggg -+++-++= bcaPP atmA
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- 10 -
RtamkgfPmkgfPaP
mkgfPPPP
cbhamkgfmkgfmkgf
mpuykgflbfPero
A
atm
atmA
atmA
/969.79564.785329.10/329.10325.101
/64.785)338.1356(2.0)132.941(4.0731.802)5.0106.0()194.0(1000
3.0/338.1356/132.941/731.802
254.0lg14536.01
321
=+=
=+=
-++++==+-+
=====
ggg
6) Para el sistema determinar las presiones en los puntos A y B,
as tambin calcular el valor de h
A
Bh 2
0cm
12cm
12cm
14cm
10cm
Gas
Aceite
Petroileoagua
15cm30cm
30cm
10cm
P=20lbf/Pulg
aguaagua agua
agua
g5
g4g3g6
/5.16,/9500,/2.8,/1360092.0..82.0..
6543 cmgrfmkgfcmgrfmkgfRDRD Petroleoaceite
======
gggg
Solucin:
A
Bh 2
0cm
12cm
12cm14cm
10cm
Gas
AceitePetroileoagua
15cm30cm
30cm
10cm
P=20lbf/Pulg
agua
agua agua
agua
g5
g4g3g6
1 2
a b
c
mn
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- 11 -
)15.0()2.0()10.0()14.0()12.0()()15.0()()2.0()()10.0()14.0()12.0(
43
43
ggggg
gggggggg
--++++++=
+-+-++++=
cbaPPcbaPP
petroleoaceiteA
petroleoaceiteA
Pero
mcba
mkgfPulbfPmkgf
mkgfmkgf
mkgf
RDRD
Petroleo
aceite
OHSustOH
Sust
85.0:figura la de tambin As
/63.14061lg/20/16500
/8200/920
/8202.8*1000
.*.
5
4
22
=++
====
===\
==
gggg
gggg
/83.1128815.0*82002.0*13600)85.01.0(100014.0*92012.0*82063.14061
mkgfPP
A
A
=--++++=
Calculando Presin en B.
/83.138385.0
)(100083.13338)1.0(9500)(14.0*92012.0*82063.14061
)()1.0()()14.0()12.0( 5
mkgfPmmnpero
mnPmnP
nmPP
B
B
B
PetroleoaceiteB
==-
-+=--+++=
+--++=g
ggggg
Calculemos la altura h De la figura.
21 PP = hPP atmPetroleoaceite 6)4.0()14.0()12.0( gggg +=+++
cmhh
h
96.8816500329.1083.14688
16500329.10)4.0(1000)14.0(920)12.0(82063.14061
=+=
+=+++
7) Para el sistema de la figura calcular la diferencia de
presiones entre A y B. )8.0.( =AceiteRD
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- 12 -
CO2CO
Hg
Hg
Hg
Aire
AceiteD.R=0.8
Agua0.
25m
0.40
m
0.30
m
0.2m
15cm
N2
0.3m
20cm
Agua
CO
Hg
Hg
HgA B
Gas
0.2m
Gas 0.2m
0.1m
Solucin:
/84013600*2.01000*3.013600*2.0
1000*5.013600*2.0800*45.013600*3.013600*25.013600*4.02.03.02.05.02.045.03.025.04.0
22
mkgfPP
PPPP
AB
AB
HgOHHgOHHgaceiteHgHgHgAB
=--+
+-++--+=
-++-++--+= ggggggggg
rotacion 8) Los cilindros concntricos de 0.4m de dimetro
interior, 1.20m de dimetro exterior y 1.5m de altura. Si el
cilindro interior es hueco y el espacio entre los cilindros
concntricos est lleno de agua y hermticamente cerrado, determine la
fuerza que se produce en la tapa, en el fondo y en las superficies
medias cilndricas interior y exterior cuando estoa giran a 60rpm al
rededor de su eje vertical.
w
0.6m
h=1.5m
0.2m
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- 13 -
h
RoR
x
ZoZr
HrH
gXZ
2
22w=
Para Z = Z0 ; X = R0
gXZ
gRZ r 2
;2
2220
2
0ww
==
a) La fuerza que produce en la tapa es:
AF pdd = XdxHrd F pg 2.=
Donde 0ZZHr r -= XdxZZd rF pg 2)( 0-=
XdxgR
gXd F p
wwg 222
20
222
-=
Integrando:
XdXgR
gXd
R
r
F
F pwwg 2)
22(
20
222
0 0-=
R
R
XrXg
F0
24
2242
-=
pgw
220
22
)(4
RRg
F -= pgw
[ ]2222
2.060.04
)2)(100(-=
gF pp
kgfF 66.323= b) Fuerza que se produce en el fondo.
R
x
dxRo
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- 14 -
baseF hAF .66.323 g+= )2.06.0(5.100166.323 22 -+= pFF
kgfFF 63.1831= c) Fuerza que se produce en la pared lateral
exterior.
LHgAF g= 5.1)2.0(2)75.0(1000 p=F
kgfF 72.1413= d) Fuerza que se produce en la pared lateral
exterior.
0ZZH r -= rZ Para 6.0=X
ggH
22.0
26.0 222 ww-= Como srad /2pw =
mH 64.0= La fuerza en la pared lateral exterior ser: LG AHF
g=
5.1*6.0*2)64.075.0(100 p+=F kgfF 28.7860=
9) Un tanque de seccin transversal rectangular (6x1m) est lleno
de agua hasta los 4.0m de altura y est unido a un peso Q = 60000kg,
por medio de una cuerda flexible e inextensible que pasa por una
polea. El coeficiente de rozamiento entre el tanque y la superficie
horizontal es: f = 0.6 y todos los dems rozamientos son
despreciables. Hallar la presin en un punto del tanque situado 1.0m
sobre el punto A de la figura.
Q
4m
6m
Solucin:
a
T
Q
4m
6m
Ta
W
N f=m.N
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- 15 -
)1.......(....................* a
gQTQ
maFV
=-
=
)2.....(....................* ag
WfT =-
WNfkgfVW
**240001*6*4*1000*
mmg
=====
(1) + (2)
ag
WQfQ
+=-
ag
WQ
+=- )1000*1*4*6(6.060000
a)81.9
2400060000()24000(6.060000 +=-
2/32.5 sma =
4m
6m
a=5.32
g=-9.81
Zh
A
1
2
1mP
Aplicando ecuacin de Euler.
rP
ZZYYXXddadada =++
rP
ZXddd =- 81.932.5
=-52
1
2
1
2
1
181.932.P
P p
Z
Z Z
X
X XdPdd
r
||| 2106
0
181.932.5p
p
zZx
r=-
)(181.9632.5 12 PPxZx -=- r
Como 12 PP = atmosfricas 5.32 x 6 9.81 x Z = 0 Z = 3.254m
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- 16 -
Para el lquido se eleva respecto a la superficie libre inicial
2Z
o sea que:
mZh 627.12==
La presin a 1m sobre el punto A ser entonces:
2/4627)1627.14(1000 mkgP =-+= Rpta
10) En el sistema de la figura se tiene un cilindro cerrado de
1.20m de dimetro y 0.30m de altura. Contiene lquido de 0.10m de
altura, se hace girar alrededor de un eje vertical hasta que el
lquido tome la forma aproximada de un cilindro hueco con una
diferencia de 1% entre los dimetros d1 y d2 (d1 = 1.01d2). Calcular
la velocidad angular.
d1
d2
Solucin:
d1
w
d2
D=1.2m
h=0.10m
H=0.30m
Z0
D=1.2m
h=0.10m
H=0.30m
Antes del giro Con giro w
Se sabe:
gXZ
2
22w=
Para 0ZZ = 2/2dX =
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- 17 -
...(*)........................................8
22
2
0 gdZ w=
Para HZZ += 0 2/1dX =
..(**)..............................8
21
2
0 gdHZ w=+
(*) En (**)
gdH
gd
88
21
222
2 ww=+
*)*.......(*..............................8 222
21 w
gHdd =-
0
22
0
21
2
*4*2
)(4*2
)(4
ZdHZdhHD ppp -+=-
).....(....................2
)(2
)(2
1221
02 aHdddZhHD +-=-
(*) y (**) en (a )
28*
8*2)(
21
2
22
22 HdgH
gdhHD +=-
ww
)(2
)( 222
12 ddHhHD +=-
Por dato
21 01.1 dd =
[ ]22222 )01.1(2)( ddHhHD +=-
)02.2(2
)( 222 dHhHD =-
22
2 **01.1)( dHhHD =- Reemplazando datos. H = 0.30m h = 0.01m D =
1.20m 22
2 *30.0*01.1)10.030.0(20.1 d=- md 975.02 = md 985.01 =
En la ecuacin (***)
22
21
8dd
gH-
=w
srad /66.34=w Rpta
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- 18 -
11) Se tiene una tubera circular por donde fluye petrleo con un
peso especfico de 3/950 mkg .Si la distribucin de velocidades en
una seccin es
)/41( 22 drNVr -= donde: d = dimetro, r = radio variable "101 =d
y "62 =d , N = nmero de letras del apellido paterno: a) Calcular la
variacin de masa respecto al tiempo entre las secciones 1 y 2. b)
Calcular la fuerza total que ejerce la pared AB.
0.20mFuga 2
21
d1
d2
1
0.15mA
B
Solucin:
0.20mFuga 2
21
d1
d2
1
0.15mA
B
r
rF1
F2
FH
)41( 21
2
1 drNVr -=
a) Variacin de masa respecto al tiempo. 21 QQMt rr -=D Hallemos
caudales.
rdrdrNdAVrdQ p2*)41( 21
2
11 -==
rdrdrNdQ
dQ)41(2
2/
0 21
2
0 111
-= p
8
21
1NdQ p=
)41( 22
2
2 drNVr -=
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- 19 -
Anlogamente:
8
22
2NdQ p=
)( 21 QQMt -=D r
)(8
22
21 dd
NMt -=D rp
N = RAMOS = 5
0254.0*1010 ||1 ==d
md 254.01 = 0254.0*66 ||2 ==d
md 1524.02 =
81.9/950 3mkg
=r
./851.7 segkgMt =D b) Clculo de fuerza ejercida. * Calculamos
las presiones en el eje de la tubera.
211 /15.263)2
15.0( mkgdP =+= g
222 /39.262)2
20.0( mkgdP =+= g
kgdAPF 334.134
**15.2632
1111 === p
kgdAPF 786.44
**39.26222
222 === p
Por la ecuacin de la cantidad de movimiento. )( 1122 VQVQFex -=
r
)( 112221 VQVQFFF H -=-- r Como 222 AVQ =
2
21 A
QV = 1
12 A
QV =
)(1
21
2
22
21 AQ
AQFFFH ---= r
kgFH 177.28=
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- 20 -
12) En la figura se muestra una esfera de 2m de dimetro que
contiene agua bajo presin. Est construido por dos secciones
semiesfricas unidas mediante 50 pernos Cul es la fuerza total en
cada perno para mantener unida la seccin?
R=1m
2.5m0.25m
D.R=13.6
Agua
Agua
Agua
GasP=2000kgf/m
Solucin:
PbaPM ++++= 25.0*13600)1(g 200025.0*13600)1(1000 ++++= baPM
mbaba
25.25.225.0
=+=++
200025.0*13600)25.3(1000 ++=PM /8650 mkgfPM =
APMF *= 776.271741.8650 2 == pF
2)1(*
34*1000*
2
pg == OLVW
395.2094=W 17.2926=+= WFFT
F en cada perno = 50
17.29269=+= WFFT = kg38.585 Rpta
13) Se tiene un plano inclinado que forma un ngulo a y b con la
horizontal como se muestra en la figura, por donde se desliza un
depsito que contiene agua y cuyo peso total es 1w . El descenso de
dicho depsito produce el ascenso de otro igual pero cuyo peso total
es 2w . Calcular el valor del ngulo que hace la superficie libre
del primer depsito con el plano horizontal.
R=1m
2.5m0.25m
D.R=13.6
Agua
Agua
Agua
GasP=2000kgf/m
a
b
M
W
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- 21 -
a b
W1 W2m1
m2
Solucin:
aW1
bW2
a W1Cos
aW1
.sena
Tf=m
1.N
x'
z'
a
N
b
W2.
Cosb
W2.senb
aT
N
f'=m2.N
z'
x'
ag
WfTsenW 11 =--a
Donde Nf .m= ; acos1WN =
am cos11Wf =
).....(..............................cos 1111 aama agWWTsenW
=--
)....(..............................cos 2222 bbmb agWWsenWT
=--
Sumando ba +
ag
WWWWsenWsenW )(coscos 21221121+
=--- bmamba
[ ]21
2211 )cos()cos(WW
gsenWsenWa+
+--=
bmbama
Para a
aasenga
aa
Z
X
-=-= cos
Por ecuacin de Euler.
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- 22 -
qx
a
z
1
2
-x-z
ZZP daaxdxd +=r
- -
-+-=x Z
Z
P
PP dasengdXad
0 0)(cos2
1
aar
ZasengXa )(cos0 aa --+=
aaq
qa
a
asengaaseng
aXZ
-=
=-
=
costan
tancos
)cos(tan 1a
aqaseng
a-
= -
14) En el sistema de la figura N 02 se tiene una compuerta OA de
8m. De longitud (perpendicular a OA), y pesa 4200kgf, puede
pivotear en el eje O, R = 6m (radio de curvatura de OA) y a = 20.
Calcular h para que la compuerta inicie a levantarse.
h
1ma
AceiteD.R=0.8
Agua
Petroleo
0.5m 4m
Aire
D.R=0.95
RR
AguaAgua
Hg
w
Agua
e
1.5m
BloqueCampana cilindrico
Aire
1m
AguaA
O
D.R=
Solucin:
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- 23 -
0.5m 4m
Aire
Agua
Hg
w
Agua
e
1.5m
BloqueCampana cilindrico
Aire
D.R=
a
bM
5.0*13600)(10005.1*1000 +++= baPM
Pero de la figura. a + b = 3.5
2/11800 mkgfPM =
h
1m
a
Aceite
D.R=0.8
Agua
PetroleoD.R=0.95
R
R
M
N
A
a
b
FH2FV2d
c
h'
R.Sena
FH1FV1
O
=2.05m
1m
Agua
2m
H
2m
20
6
6A
10.1875m
O
2.05mb
O'
1.21m 4.43m
A1
Petroleo
AguaAceite
Aceite0.62m
h
5.64m
O'
A2A'
FIG. 1 FIG. 2
b
q
)1()1( 02 +=+ Hh HPet gg
05.095.01)1(95.0
-=+=+
hHHh
De la FIG. 2
55.47605.4cos 1 =
= -q
45.22=b
45.226*21
36045.22*6* 22
1 senA -=p
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- 24 -
21 18.0 mA =
22 21.1 mA = Area del triangulo (AAO)
Distancia de O a CG de A1 (FIG. 2)
18.0*3)2/45.22(6*2 33 send CG =
md CG 90.5= mx 62.0=
oyH hGAF Pr1 g= 8*2)1(10001 += HF H
)1(160001 += HFH
)1(311
8*2)1(12/2*81
3
1 +++=
+++=
HH
HHY P
a = HYP -1
a = )1(3
43++
HH
)21.1( 121 HAALFV +-= g )21.118.021.1(810001 HxFV +-=
)21.103.1(80001 HFV +=
HxxbH221.162.018.0
3221.1)21.103.1(
22 +-=+
)21.103.173.086.0(
HHb
++
=
De la figura 1 2800100005.2 xxPMPN --=
1600205011800 --=PN 2/8150 mkgPN =
mhhAceite
1875.108150
'
'
=
=g
8*2).11875.10(10002 +=FH kgfFH 1790002 =
mYP 22.112*8*1875.11
12/2*81875.113
2 =+=
)1875.10*21.118.021.1(8*100003.1
1875.10
2
2
+-==
-=
FVmC
mYC P
kgfFV 1068552 =
1875.10*221.162.0*18.0
32*21.136.13
22 +-=d
md 62.0=
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- 25 -
Centro de aplicacin del peso.
R
RA
O
b
O'
4.43m
dq
dl
q
0.67m
WAO=4200kgf
Lc=2p*b*R/360
Lc=2.35m
RCosq
=45.42
20
2 cos qqdRX
10.5098.5 =X m67.0=c
00 =M Falta verificar dFVcFHXWbFVaFH 2211 +=++
mH 06.8= Pero
mhhH54.8
05.095.0=
-=
15) Dada la funcin de lnea equipotencial 22. aybxyxa -+=f ,
donde a, b y c son valores constantes. a) Comprobar que el flujo es
irrotacional b) Hallar la funcin de la lnea de corriente c) Hallar
la aceleracin d) Hallar el gradiente de presiones Solucin Segn
gauchy riman a) Para que el flujo sea irrotacional se debe cumplir
0=w Pero se sabe que:
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- 26 -
( ) ( )
0)2()2(
22
0
2
2
.
.21
=--=+-=
--+-=
=
-=
+=
+
+
-=-=
=
wum
f
f
f
ffff
w
aybxbyax
jaybxibyaxVz
aybxy
byaxx
kz
jy
ix
V
V
=
wumzyx
kji
V
kyx
jxz
izy
V
-
-
-
-
-
=muwmuw.
0.21
0)(00.
==
=+-++=
V
kbbjiV
w
\ El flujo es irrotacional b) Segn Las ecuaciones de
xy
yx
-=
=
=
=
yfu
yfm
Entonces:
byaxx
+= 2f
byaxy
+= 2y Integrando
)(212 2 xfbyaxy ++=y -----------------(*)
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- 27 -
Derivando respecto a x
)(2 ' xfayx
+= y
(a)
Pero:
aybxyx
2-=
=
-fy
bxayx
-=
2y (b)
(b) en (a) )(22 ' xfaybxay +=-
bxxf -=)(' integrando respecto a x se tiene
2
21)( bxxf -= ..(g)
(g) en (*)
22
21
212 bxbyaxy -+=y Rta
c) Calculando la aceleracin
zV
yV
xV
tVa
+
+
+
= wum
0)2)(2()2)(2(0 +----+-= aaybxabyaxa yaabxabyxaa 4224 -++=
16) Si la funcin equipotencial axy=f para un flujo plano. a)
Verificar la ecuacin de la continuidad b) Hallar la funcin de la
lnea de corriente c) Qu flujo representa? d) Si a=20 seg. Calcular
las componentes de la velocidad en el punto de coordenadas x=8cm;
y=2cm. Solucin: a) la ecuacin de la continuidad obliga :
022
2
2
2
2
=
+
+
zyxfff
axy=f
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- 28 -
0
0
0
2
2
2
2
2
2
=
=
=
z
y
x
f
f
f
\ La funcin es continua b) funcin de la lnea de corriente:
axy=f Sabemos
)(
)(21
' xfx
xfay
ayxy
=
+=
=
=
y
y
fy
Pero
axyx
=
= fy
axxf =)(' Integrando 2
21)( axxf =
\ 221
21 axay +=y Rta.
c) Para saber el tipo de flujo se debe determinar 0.21
== Vw si esto se cumple
entonces el flujo es irrotacional si no es rotacional:
axy
ayx
kz
jy
ix
V
V
=
=
+
+
-=-=
=
f
f
ffff
w
.
.21
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- 29 -
0
0
=-=-=
--=
=
wum
f
axay
jaxiayVz
=
wumzyx
kji
V
kyx
jxz
izy
V
-
-
-
-
-
=muwmuw.
[ ] 00021
=+-+= aaw
\ Es un flujo irrotacional: d) Si a=20 seg. Calcular las
componentes de la velocidad en el punto de coordenadas x=8cm;
y=2cm.
0/4.002.0*20/6.108.0*20
==-=-==-=-=
wum
smaxsmay
17) En el sistema de la figura se muestra a tres reservorios y
una bomba de 153H.P. de potencia con una eficiencia del 100%, el
sistema de tuberas transporta agua, la presin en el punto p es
36.5m de agua, la vlvula V origina una prdida de 3.05m de agua y el
coeficiente de Hazem y Williams es 120pie/s. Calcular los caudales
en cada tubo y la cota B.
A
B
C
11.6m
Cota=??
30.5m
QP
Bomba
3.05m
D=24''D=24''
L=1220m
D=24
''
D=12''
L=620m
L=24
50m
L=3000m
V
Solucin:
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- 30 -
A
B
C
11.6m
Cota=??
30.5m
QP
M
3.05m
V
(1) (2)(3)
(4)
Q3
Q4
Q2
Q1
La cota piezomtrica P es 3.05+36.5=39.55m. y 30.5 cota del
reservorio A, entonces el flujo va de P hacia A, cuyo caudal lo
hallaremos: Sabemos que:
Q=0.00042654.0
63.2
L
hCD f
Q=0.000426 54.063.2 SCD
Lh
S f= m/Km.
85.1
63.242.2347
=
CDQLh f
Donde: Q=lts./s; L=Km.; D=Pulg. y ./ segpieC = Proseguiendo con
nuestro calculus
KmmS 02.3
35.3055.39
1 =-
=
1Q =0.000426*54.063.224*120 S
sltsQ /3961 = La bomba tiene una potencia:
nQhPot B76g
= Q
potnh B g.76
= pero
QPB EEh -=
396.0*100153*1*765.36 =- QE
mE Q 14.7= Tambin
sltsQQ /39621 == Calculemos 2fh
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- 31 -
85.1
63.22 24*120396*42.234722.1
=fh
mh f 68.32 = Cota piezomtrica en Q =3.05+7.14 =10.19m. Cota
piezomtrica en M=10.19 + 3.68 = 13.87m. El flujo va de M hacia C,
ya que la cota piezomtrica de M es mayor que la del reservorio C,
cuyo caudal es:
KmmS 66.3
62.06.1187.13
2 =-
=
=3Q 0.000426*54.063.212*120 S
sltsQ /713 = sltsQQQ /467324 =+=
85.1
63.24 24*120467*42.234745.2
=fh
mh f 104 = Cota Reservorio B = Cota piezomtrica de M + Pc.Vlvula
+ 4fh Cota Reservorio B = 13.87 + 3.05 + 10 Cota Reservorio B =
26.95m 18) En el sistema de la figura, se tiene una presa de
concreto cuyo peso especfico es 2400kgf/m y una longitud de 4m. Si
el valor de C=0.25 1-m , Calcular: a) Determinar el valor de h para
que la presa inicie su volteo. b) determinar la posicin de la
resultante de las fuerzas para h=10m. c) Determinar la mxima y
mnima tensin de compresin en la base (h=10m), despreciando la
fuerza ascensional hidrosttico.
3m 4m
hy=cxAgua
Solucin:
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- 32 -
3m 4m
hFH
A1
W1A2
A3
W2W3
FV
m
n
a O
a) 1) para 1w Donde
cg : Peso especfico de concreto. V: Volumen
ahA31
1 =
ahahw *32003
*424001 =
=
ax4171 += Centro de gravedad con respecto a o
2) para 2w hA 32 =
hhw *288003*4*24002 == 5.52 =x Centro de gravedad con respecto a
o
3) para 3w
hA 23 = hhw *192002*4*24003 ==
38
3 =x Centro de gravedad con respecto a o
Ahora calculemos FH y FV
oyG AhFH Prg=
22000*4*2
*1000 hhhFH ==
hm31=
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- 33 -
3*8000
32*4*1000 ahahFV ==
an857 +=
* Haciendo momento con respecto a o 0= oM
mFHnFVxwxwxw ..332211 =+++ 020960067.4106667.246667.41 24 =---
aaa
a = 12.88m pero
2cah = mh 47.41=\
b) Sabemos
cha = Para h=10m
a = 6.32m. kgfhFH 200002000 ==
kgfahFV 598.26154032*4*1000 ==
Falta calcular c)
3m 4m
h=10mFH
A1
W1A2
A3
W2W3
FV
3.33m
10.95m
Oq1
q2
6.32m
Con las ecuaciones de la parte a) calculemos, Para h=10m y
a=6.32m
kgfw 20224010*32.6*32001 == mx 58.81 =
kgfw 28800010*288002 == mx 5.52 =
kgfw 19200010*192003 == mx 67.23 =
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- 34 -
kgfFH 200000= mm 33.3=
kgfFV 33.168533= mn 95.10= 0= Fv
32.132
21321
+=+++
qqFVwww
74.12774721 =+ qq ----------------------------------------(a)
Sumatoria de momentos con respecto a O
0= oM
332.13*
2232.13*..
212
2
1332211
-++=+++
qqqmFHnFVxwxwxw
Remplazando valores y resolviendo, se tiene: 798.1694472 21 =+
qq ---------------------------------------(b)
Resolviendo (a) y (b) mkgfq /06.417001 = mkgfq /68.860472 =
19) En el sistema de la figura, suponiendo una distribucin
lineal de tenciones sobre la base de la presa de concreto,
calcular: a) La posicin donde la resultante de dicha fuerza de
tensiones corta a la base. b) La mxima y mnima tensin de compresin
en la base. Despreciar el empuje ascensional hidrosttico. 20) se
tiene un conducto conformado por un tubo circular de 3pulg de radio
y un cilindro macizo concntrico de 2pulg de radio, entre ellas
discurre agua con un caudal de 0.2pie/s. Calcular la mxima
velocidad de la distribucin de velocidades y el esfuerzo cortante
en las paredes.
0)(2)(2)(2 =++-++- dxdrrddxdxrdppdrrp ptttpp Simplificando,
obtenemos
drd
rdxdp tt
--=
Sustituyendo ,/ drdumt -= queda
)(
)1( 22
drdur
drd
r
drud
drdu
rdxdp
m
m
=
+=
Esto se integra para dar
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- 35 -
Ardxdp
drdur += 2
41m
Una segunda integracin produce
BrLnArdxdpru ++= 2
41)(m
Donde A y B son constantes arbitrarias cuyo valor se determina
haciendo 0=m en
1rr = y en 2rr = ; es decir
BrLnArdxdp
BrLnArdxdp
++=
++=
22
2
21
21
410
410
m
m
La solucin es
)/(41
12
22
21
rrLnrr
dxdpA -=
m
dxdprLnrAB
m4
22
2 --=
Entonces
-+-= )/(
)/(41)( 2
21
21
222
22 rrLn
rrLnrrrr
dxdpru
m
Esto se integra para dar la razn de flujo:
----=
=
)/()(
8
2)(
12
21
224
14
2
2
1
rrLnrrrr
dxdp
drrruQr
r
mp
p
21) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta AOB de 4m
de longitud y un peso de 100kgf/m y puede rotar en el eje O,
R=5m(radio de curvatura de OA) y a=20 Calcular h para que OB se
mantenga Horizontal.
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- 36 -
a
2m
h R
1.2m
0.8m
Agua
Aceite
D.R.=0.8
Agua
D.R.=0.8
petroleo
D.R.=0.
Hg
0.2m 1.2m
A
P=1141.06kgf/m2
Gas
Solucin: Figura de solucin baPAPM ggg +++= )2.0('
)2.0(*136001000*)(06.1141 +++= baPM Pero en la figura se puede
observar que: a+b=1
2/06.4861 mkgfPM =
0.2m 1.2m
a
b
AP=1141.06
Gas
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- 37 -
R=5m
20
FH1FH1
FV1
FV2
ca
d
bAceite
b
h0.8h
2m
Agua
Agua
Agua
0.8m
1.2m
F3
F4N
M
3.35m
1.7m
)4*2)(18.0(1 +== hAhFH proyG gg
)18.0(80001 += hFH
)18.0(31)18.0(
4*2*)18.0(12/2*4)18.0(
3
1 +++=
+++=
hh
hhYp
18.02 Ypha -+=
)18.0(324.2++
=h
ha
9.27=b
222
1 24.02360mSenRRA =-= bbp
Distancia de o a CG de 1A Distancia de o a CG de 1A
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- 38 -
A1
20
A2
b
3.35m0.68m
1.35m
2m
1.71mb /2 q
O'
20+b
R
R
CG
mA
SenRd CG 86.43)2/(2
1
33
==b
4*)35.124.008.1(4*)35.1*8.0( 211 ++=++= hAAhFv gg
)59.108.1(40001 += hFv
68.0*24.0335.1
235.1*8.0)59.108.1(
22
++=+ hbh
59.108.177.073.0
++
=hhb
kgfFH 7200)8(900)4*2)(1(22 === g
mc 67.0231
==
kgfFv 5724)35.124.0)(4(22 =+= g
)68.0(24.0335.159.1
2
+=d
md 48.0= kgfF 24120)35.3*2)(4(23 == g
)8.0()2.1( 'gg --= PMPN 2/06.2981)8.0(850)2.1(100006.4861
mkgfPNPN =--=
kgfFPNF 2.39946)4*35.3( 44 == Aplicacin del peso OA Figura peso
centro
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- 39 -
20b
3.35m0.76m
1.35m
q
O'
R
R
dq
dlwoB
A
B
= xdlxl'
| 9.472029.47
20
'43.2 qqq SenRRdRCosx == 11.4' =x mx 76.035.311.4 =-=
mx 76.0=
kgfwkgfw
OB
OA
1340100*4*35.3972100*4*43.2
====
0= oM
)48.0()67.0()76.0(235.3
235.3)( 224311 FvFHwFwFbFvaFH OAOB +++
=
+++
Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h= 2.62m 22) En
el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 5m de
longitud y un peso de 3150kgf y puede rotar en el eje O, R=6m
(radio de curvatura de OA) y a=25 Calcular h para que la compuerta
inicie a levantarse.
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- 40 -
h
2m
a
AceiteD.R=0.8
Agua
Petrolio
0.25m 1.40m
P=3020kgf/mGas
D.R=0.92
RR
AguaAgua
Hg
Solucin: Figura
baPAPM ggg +++= )25.0(' )25.0(*136001000*)(3020 +++= baPM Pero
en la figura se puede observar que: a+b=1.15m
2/7570 mkgfPM = )2()53.2( 'gg --= PMPN
/3440 mkgfPN = 113440 hg=
mh 3.41 = )5*2)(1('1 +== hAhFH proyG gg
10)1(9201 += hFH )1(92001 += hFH
5*2*)1(12/2*5)1(
3
1 +++=
hhYp
)1(31)1(1 +
++=h
hYp
hYpa -= 1
)1(343
++
=hha
0.25m 1.40m
P=3020kgf/mGas
Agua
Hgb
a
D.R=13.6M
h
2m
a
Aceite
D.R=0.8
Agua
Petrolio
D.R=0.92
RR
M
N
A
a
b
FH2FV2d
c
h1
R.Sena
FH1FV1
O
=2.53m
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- 41 -
h
2m
25
6
6A
h1
O
2.53mb
O'
1.5m 3.93m
g' g1
A1
02.24=b
222
1 23.02360mSenRRA =-= bbp
)tan)(5( 1'
1 AtrianguloAreagulorecAreaFv -+= g
)27.15.1(4600)23.05.15.1)(5(920 11 +=-+= hFvhFv
Distancia de o a CG de 1A
mA
SenRd CG 64.53)2/(2
1
33
==b
)57.0(23.02*35.1
25.1)23.05.15.1(
22
-+=-+ hbh
27.15.13.112.1
++
=h
hb
)1(8000)5*2)(1( 12112 +=+= hFHhFH g
)1(31)1(
5*2*)1(12/2*5)1(
11
1
3
12 +++=
+++=
hh
hhYp
)1(343
1
1
++
=hh
c
)27.15.1(4000)23.05.15.1)(5(800 112 +=-+= hFvhFv
27.15.13.112.1
1
1
++
=h
hd Como mh 3.41 = entonces:
kgfFH 424002 = y mc 06.1= kgfFv 308802 = y md 79.0=
Aplicacin del peso OA a x de O Figura peso centro Longitud de OA
( cl )
mRl c 52.23602
==bp
R
RA
O
b
O'
3.93m
dq
dl
q
0.82m
WAO
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- 42 -
= xdlxl c'
| 02.4925202.49
25
'52.2 qqq SenRRdRCosx == 75.4' =x mx 82.093.375.4 =-=
mx 82.0= kgfwOA 3150=
0= oM )()()82.0( 2211 dFvcFHwbFvaFH OA +=++
Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=0.73m 23) En el
sistema de la figura, se tiene una compuerta AOB de 8m de longitud
y un peso de 120kgf/m y puede rotar en el eje O, R=6m (radio de
curvatura de OA) y a = 25 Calcular h para que la compuerta se
mantenga en la posicin mostrada. D.R Hg = 13.6 Solucin: De la
figura.
Agua
Agua
Agua
Agua
AD.R=0.6
PetroleoD.R=0.8
AD.R=0.75
HgHg
O'
A
O
B
Rh
1m
2.2m
0.2m
0.3m
Gas
P= -1546kgf/m
1.4m
1m
Solucin:
2.22.03.0 =++-+ cba 7.1=+- cba
)2.03.0()(1546 +++-+-= HgcbaPM gg )5.0(13600)7.1(10001546
++-=PM
2/6954 mkgfPM =
Agua
Agua
HgHg
2.2m
0.2m
0.3m
Gas
P= -1546kgf/m
M
a
b
c
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- 43 -
Agua
A
D.R=0.6
PetroleoD.R=0.8
O'
A
O
B
Rh
1m
1m
a
b
d
c
f
e
AD.R=0.75
Agua 1.4m
a
M
FV1 FH1
FH2
FH3FV2
FV3
fq
b
65=f
84.53654.3
== qqCos
16.11= b a) Para la parte BOO |
750)4.1(1000 --= PMPB HHmkgfPB 10004804/4804 2 === g
mH 8.4= y mh 34.21 = )8*46.2)(23.1(1000 11 += hFH
kgfFH 6.702571 =
mh
hYp 71.346.2*8*)23.1(
12/46.2*8)23.1(1
3
11 =+++=
mahYpa 37.111 =-=
222
1 38.22360mSenRRA =-= qqp
95.52
84.4*46.22 mA ==
Distancia de o a CG de 1A
O'
O
B
R
1m
a
bAD.R=0.75
Agua 1.4m
M
FV1 FH1
q
R
CGA1
A2
h1=2.34m
H
2.3mAgua
4.84m
2.46m
3.54m
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- 44 -
Figura centro
mA
SenRd CG 61.53)2/(2
1
33
==q
)8)(34.2*84.4(1000 211 ++= AAFv kgfFv 8.1572441 =
234.2*84.4)84.4(
32*95.53.2*38.266.19 -+=b
mb 65.2= b) Para la parte ABO |
8*46.3*)73.1(8002 =FH kgfFH 12.383092 =
mYp 31.246.3*8*73.1
12/346*873.13
2 =+=
mc 31.1= 2
22
1| 12.4
2360mSenRRA =-= ffp
41.92| mA = Distancia de o a CG de 1|A Figura centro
mA
SenRd CG 42.53
)2/(21|
33| ==
f
)8)((800 2|1|2 AAFv += kgfFv 865922 =
)44.5(31*41.991.2*12.453.13 | +=d
md 15.2| = con respecto a B mdd 69.215.284.4 =-= Respecto a
O
c) Para la parte AOO | (Reemplazando aceite por agua)
)5.06.0(8000)8*1)(5.06.0(10003 +=+= hhFH )5.06.0(80003 +=
hFH
)5.06.0(121)5.06.0(
1*8*)5.06.0(12/1*8)5.06.0(
3
3 +++=
+++=
hh
hhYp
316.0 Yphe -+=
PetroleoD.R=0.8
O'
A
O
B
R
CG'
25
65
A'1A'2
1.93m
5.44m
3.46m
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- 45 -
)5.06.0(1226.3
++
=hhe
222
1|| 022.0
2360mSenRRA =-= bbp
3.02|| mA = Distancia de o a CG de 1|A Figura centro
mA
SenRd CG 02.63
)2/(21
||
33|| ==
b
)8)(6.0*6.0(1000 2||1||3 hAAFv ++= )322.036.0(80003 += hFv
3.0*36.03
6.0*3.034.0*022.0)322.036.0( hfh ++=+
322.036.0067.0108.0
++
=hhf
Aplicacin del peso AOB a x de O Figura peso centro Longitud de
OA ( cl )
mRl c 81.63602
==fp
= xdlxl c|
|650265
0
|81.6 qqq CosRRdRSenx -== mx 05.3| = mx 79.105.384.4 =-=
mx 79.1= kgfw AOB 6.6537120*8*81.6 ==
0= oM )()()()()()()( 3322
|11 fFveFHdFvcFHxwbFvaFH OA ++++=+
Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=66.26m 24) En
el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 7m de
longitud y un peso de 3420kgf y puede rotar en el eje O, R=5m
(radio de curvatura de OA) y a=20 Calcular h para que la compuerta
inicie a levantarse. D.R Hg = 13.6
O'
A
O
R
CG
25
A''1A''2
0.6m
R
0.34m
1m
0.6hAgua
Aceite
hb
O'
A
B
R65
WAB
Rq
dq
dl
O
1.79m
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Agua
Hg
1.6m 0.2m
GasP= 2800kgf/m
Petroleo
D.R=0.8
AceiteD.R=0.75
Agua2m
2m
R
Ra
h
A
O
O'
Solucin:
baPAPM ggg +++= )2.0(| )2.0(*136001000*)(2800 +++= baPM Pero en
la figura se puede observar que: a+b=1.4m
2/6920 mkgfPM = )2()2( 1gg --= PMPN
/3420 mkgfPN = Liberando a una superficie libre
Agua
HgHg
1.6m 0.2m
GasP= 2800kgf/m
a
b
M
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- 47 -
Petroleo
D.R=0.8
Aceite
D.R=0.75
Agua2m
2m
R
Ra
h
A
O
O'
FH1 FH2
FV1
FV2
b
a cd
M
N
h1=4.56mAceite
113420 hg=
mh 56.41 = )7*2)(1( 111 += hFH g
14)156.4(7501 +=FH kgfFH 583801 =
62.5)56.5(3
156.5
)1(31)1(
1
111
=+=
+++=
Yp
hhYp
11 hYpa -= ma 06.1= 9.27=b
222
1 24.02360mSenRRA =-= bbp
)tan)(5( 1
|1 AtrianguloAreagulorecAreaFv ++= g
kgfFvFv 5.40666)24.035.156.4*35.1)(7(750 11 =++= Distancia de o
a CG de 1A Figura centro
mA
SenRd CG 86.43)2/(2
1
33
==b
56.4*235.1)35.1(
32*35.167.0*24.0746.7
2
++=b
mb 714.0= )1(11200)7*2)(1( 2
|2 +=+= hFHhFH g
R
R
a
A
O
O 'b
A 1A2
CG
1 .35 m
2m
0.6 7m
3.35m
-
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- 48 -
)1(31)1(
7*2*)1(12/2*7)1(
3
2 +++=
+++=
hh
hhYp
)1(343
++
=hhc
)59.135.1(5600)35.124.035.1)(7(800 12 +=++= hFvhFv
59.135.138.191.0
++
=hhd
Aplicacin del peso OA a x de O Figura peso centro Longitud de OA
( cl )
mRl c 43.23602
==bp
= xdlxl c'
| 9.472029.47
20
|43.2 qqq SenRRdRCosx == 11.4| =x mx 59.011.47.4 =-=
mx 59.0= kgfwOA 3420=
0= oM )()()( 2211 xwdFvcFHbFvaFH OA++=+
Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=4.503m 25) En
el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 6m de
longitud y un peso de 3500kgf y puede rotar en el eje O, R=4m
(radio de curvatura de OA) y a=15, Presin relativa en PQ es
6035kgf/m. Calcular h para que la compuerta inicie a
levantarse.
R
R
a
A
O
O'b
dqq
dlWAO
0.59m3.35m
R.Cosq
-
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- 49 -
Petroleo
D.R=0.8
Agua A
O
Petroleo 1m
h
R
a
R
Solucin:
Petroleo
D.R=0.8
Agua A
O
Petroleo1m
h
R
a
R
FH2FV2
FV1
FH1
b
P Q
1.04m
d
a c
b
q
3.86m
N
h1=3.995m
34.59404.21 =
= -Cosq
66.15=b Pero en la figura se puede observar que:
2/6035 mkgfPQ = )04.2(g-= PQPN
A
O
1m
R
a
R
P
0.42m
A1CG
b
3.86m
h
0.24m
-
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- 50 -
/3995 mkgfPN = 13995 hg=
mh 995.31 =
)5.0(6000)6*1)(5.0( 1211 +=+= hFHhFH g kgfFH 269701 =
)1(92001 += hFH
11 hYpa -= ma 515.0= 66.15=b
222
1 027.02360mSenRRA =-= bbp
)tan)(6( 11 AtrianguloAreagulorecAreaFv -+= g kgfFvFv
4.11165)027.021.0995.3*42.0)(6(1000 11 =-+=
Distancia de o a CG de 1A Figura centro
mA
SenRd CG 99.33)2/(2
1
33
==b
mX 24.0=
995.3*242.024.0*027.0)42.0(
32*21.086.1
2
+-=b
mb 22.0= )5.0(4800)6*1)(5.0( 212 +=+= hFHhFH g
)5.0(121)5.0(
6*1*)5.0(12/1*6)5.0(
3
2 +++=
+++=
hh
hhYp
)5.0(623
++
=hhc
)183.042.0(4800)027.021.042.0)(6(800 12 +=-+= hFvhFv
A
R
a
R
P
b q
dq
O
dl
0.25m
R.cosq
W AO
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- 51 -
183.042.0052.009.0
++
=hhd
Aplicacin del peso OA a x de O Figura peso centro Longitud de OA
( cl )
mRlc 09.13602
==bp
= xdlxl c'
| 66.3015266.30
15
|09.1 qqq SenRRdRCosx == mx 69.3| = mx 25.044.369.3 =-=
mx 25.0= kgfwOA 3500=
0= oM )()()( 2211 xwdFvcFHbFvaFH OA++=+
Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=4.81m 26) En la
figura se muestra una compuerta AOB de 2m de ancho, OB es parbola
donde
125.0 -= mc Determinar el valor de h para que dicha Compuerta
inicie a levantarse desprecie el peso de la compuerta.
CO2CO
Hg
Hg
Hg
D.R=16
Aire
AceiteD.R=0.8
Agua
25cm
32cm
30cm
5.71cm
2.5cm
N2
1.5cm
20cm 30
cm
Agua
y=cx
Agua 40cm
h
O
A
B
Hg
Solucin:
1000*3.013600*2.0)0721.0(10000571.0*160004.0*80013600*3.013600*25.013600*32.0
-+-++--=PN/5.165 mkgfPN =
-
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- 52 -
Liberando presin
)(1000 || hhPN == g mh 1655.0| =
)2*4.0)(2.0(1000 | += hFH kgfFH 4.292=
mYp
Yp
402.04.0*2*)2.01655.0(
12/4.0*2)2.01655.0(3
=+
++=
1655.0-= Ypa ma 236.0=
Para la parte Parablico: y = cx Para y = h; x = b h = cb Ahora
calculemos FH y FV
oyG AhFH Pr1 g=
21 1000*2*2
*1000 hhhFH ==
hm31=
3*4000
32*2*10001
bhbhFv ==
bn45
=
Sumatoria de momentos con respecto a O 0= oM
mFHnFvaFH ..)( 11 +=
bbhhh45*
34000
31*1000236.0*4.292 2 +=
Pero chb =2 donde 125.0 -= mc
23 2000010003*69 hh += h=101.48mm 27) La presin a la salida de
la bomba es de 110000kgf/m para una potencia de 100HP co una
eficiencia de 70% la carga perdida a travs de la vlvula V es de 10m
los tubos son de hierro galvanizado con una rugosidad absoluta de
0.00015m., L1=150m., D1=0.3m., L2=300m., D2=0.15m., L3=200m.,
D3=0.2m., L4==300m. hallar la direccin del flujo y el caudal en
cada tubera, as tambin la cota del nivel de
y=cx
N
40cm
h
O
A
B
FH
h' FH1FV1
c
d
b
a
-
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- 53 -
agua en el reservorio R. La viscosidad cinemtica del lquido es
sm /10 26-=n .
Cota=??
R(1)
A
B
(2)(3)
(4)10m
30m
100m
N
Solucin:
Cota=??
R(1)
A
B
(2)(3)
(4)10m
30m
100m
N
Q
QQ
Q I S
Calculando la rugosidad relativa
0005.030.0
00015.0
1
==De
001.015.0
00015.0
2
==De .
00075.020.0
00015.0
3
==De
0006.025.0
00015.0
4
==De
Calculando el nmero de reynolds
DQR
DQDVDR ee
62 10*27.14/
===npn
26
216
1 10*46.810*23.4 QRQR ee ==
46
436
3 10*08.510*35.6 QRQR ee == Calculando fh Perdida por
friccin
5
2
0826.0:D
fLQhsabese f = por Darcy 2222
211 98.32632076.50981 QfhQfh ff ==
2444
2333 72.2537451625 QfhQfh ff ==
)_(
32.576
44
BSBERNOULLI
bombadeQ
hQ
potnh BB == g
42
2
10010)4/25.0(2 f
hg
QP+=++
pg
-
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- 54 -
20038.172.25374 24244 =-= QQfF -----------------(I)
-Asumiendo caudal 544 10*08.5/1.0 == eRsmQ Con 44 / DyR e e del
baco de Moody 0193.04 = f En (I) mF 68.4= -Asumiendo caudal 644
10*01.1/2.0 == eRsmQ Con 44 / DyR e e del baco de Moody 0179.04 = f
En (I) mF 405.18= -Asumiendo caudal 644 10*27.1/25.0 == eRsmQ Con
44 / DyR e e del baco de Moody 0178.04 = f En (I) mF 32.28=
Graficando Q VS F Del grfico: con F=20m de (I)
smQ /21.04 = Rpta. 0179.04 = f Pero smQQQ /21.0343 ==
63 10*33.1= eR
Con 33 / DyR e e del baco de Moody 0186.03 = f mh f 345.423
=
mmg
QPE SS 046.11010)4/25.0(2 2
24 =++=
pg
mE S 046.110=
mEQ
hEE IBIS 716.8432.5
4
===-
Bernoulli (A I) 223 345.42716.8430 fffI hhhEm ++=++=
mh f 061.972 -= El signo negativo indica que el sentido del
flujo asumido es contrario: mh f 061.972 = el flujo entra al
reservorio A
Pero 000297.098.326320 2222222 == QfQfh f
000297.0222 =Qf --------------------------------(II) -Asumiendo
caudal 522 10*46.8/1.0 == eRsmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody
02.02 = f Luego 0002.0222 =Qf -Asumiendo caudal 622 10*26.1/15.0 ==
eRsmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody 020.02 = f Luego
00045.0222 =Qf -Asumiendo caudal 622 10*423.0/05.0 == eRsmQ Con 22
/ DyR e e del baco de Moody 02.02 = f Luego 00005.0222 =Qf
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- 55 -
Graficando Q VS F Del grfico: con 000297.0222 =Qf obtenemos:
smQ /12.02 = Rpta. Por continuidad
smQQQQ /33.01321 =+= Rpta Luego 61 10*19.4=eR Con 11 / DyR e e
del baco de Moody 0182.01 = f
mh f 1.101 = Bernoulli (R I)
NffIR hhhEE +++= 31
RptamRCotaRCota
161.14710345.421.10716.84
=+++=
28) En el sistema de la figura las tuberas tiene una rugosidad
absoluta de 0.00025m y
sm /10*001.1 26-=n . Calcular el dimetro de las tuberas 2 y la
perdida de carga total.
11m
A
4m
B
(1)
(2)00
C
L1=400mD1=0.2m
L2=500mD2=?
Solucin:
11m
A
4m
B
(1)
(2)00m
C
Q
Q
00125.020.0
00025.0
1
==De
?00025.0
22
==DD
e
DQRe
610*27.1=
2
26
216
1 10*272.110*36.6 DQRQR ee ==
-
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- 56 -
5
2
0826.0:D
fLQhsabese f = por Darcy
5
22
22211 3.411032501 D
QfhQfh ff ==
Bernoulli (A B) LBLAfBA hhhEE +++= 1
( )BA KKDQQf +++= 4
1
212
11 0826.0103250411
744.77103250 212
11 =+= QQfF --------------------------(a) -Asumiendo caudal 511
10*18.3/05.0 == eRsmQ Con 11 / DyR e e del baco de Moody 0215.01 =
f En (a) mF 76.5= -Asumiendo caudal 511 10*816.3/06.0 == eRsmQ Con
11 / DyR e e del baco de Moody 0214.01 = f En (a) mF 24.8=
-Asumiendo caudal 511 10*498.3/055.0 == eRsmQ Con 11 / DyR e e del
baco de Moody 021468.01 = f En (a) mF 94.6= *) si al asumir caudal
y calculado f, reemplazamos en (a) esto no satisface entonces se
procede a graficar como en el problema anterior o interpolar con
programas de calculadora:
smQ /055.01 =\ Rpta Bernoulli (B C)
LBfCB hhEE ++= 2
52
22
52
22
2 *0826.03.4104 DQK
DQf B++=
Pero smQQQ /055.0221 == 5.0=BK
MDD
f=+= 5
252
2 0001249.01249.04 -----------------------(b)
-Asumiendo Dimetro 001.025.02
2 == DmD e
Como 279840/055.0 22 == eRsmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody
020667.02 = f En (b) mM 67.2=
-Asumiendo Dimetro 00083.030.02
2 == DmD e
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- 57 -
Como 23320030.0/055.0 222 === eRmDysmQ Con 22 / DyR e e del baco
de Moody 02014.02 = f En (b) mM 05.1=
-Asumiendo Dimetro 00125.020.02
2 == DmD e
Como 34980020.0/055.0 222 === eRmDysmQ Con 22 / DyR e e del baco
de Moody 021468.02 = f En (b) mM 5.8= De estos 3 valores se puede
concluir que solo el dimetro de 0.25m satisface, ya que es un
dimetro comercial de 10Pulg equivalente a 0.25m:
mD 25.02 = Rpta. Falta perdida de carga total 29) Dos
reservorios A y B como muestra la figura, estn conectados por una
tubera de 10 de dimetro y 3000pies de longitud, otros dos
reservorios C y D estn conectados por una tubera de 12 de dimetro y
6000pies de longitud. Para incrementar la cantidad de agua que
entra a D las dos tuberas se conectan por una tubera MN de 5500pies
de longitud. La distancia AM=1000pies y ND=2000pies. Calcular: a)
Los caudales que entran a los reservorios B y D Cuando por la
tubera MN discurren 1pie/s. b) El mnimo dimetro que debe tener MN
para transportar 1pie/s. (Considere solo perdidas por friccin).
A
B
C
D
50'
30'M
0'
40'
N
(1)(2)
(3)(4)
(5)
Solucin:
A
B
C
D
50'=15m
30'=9mM
0'
40'=12m
N
(1)(2)
(3)(4)
Q1
Q3Q4
Q2Q5 (5)
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- 58 -
?1650550030.0"126002000
30.0"1212004000
25.0"10600200025.0"103001000
5|
5
4|
4
3|
3
2|
2
1|
1
===
====
====
====
====
DmLmDmLmDmLmDmL
mDmL
smQ /027.05 = Calculando la rugosidad relativa
0008.025.0
0002.0
21
===DDee
00067.030.0
0002.0
43
===DDee
Calculando el nmero de reynolds
DQR
DQDVDR ee
62 10*27.14/
===npn
26
216
1 10*08.510*08.5 QRQR ee ==
46
436
3 10*23.410*23.4 QRQR ee == Calculando fh Perdida por
friccin
5
2
0826.0:D
fLQhsabese f = por Darcy
2444
2333
2222
2111
06.2039512.40790
44.5074972.25374
QfhQfh
QfhQfh
ff
ff
==
==
Las tuberas (1) Y (2) es la misma entonces.
21 ff = lo mismo Las tuberas (3) y (4) 43 ff = Bernoulli (A
B)
21 hhEE fBA ++=
221
211
222
211
44.5074972.253746
44.5074972.25374915
QfQfQfQf
+=
++=
Pero 027.021521 +=+= QQQQQ FQfQf =++= 221
221 44.50749)027.0(72.253746 ----------------(a)
-Asumiendo caudal 522 10*08.5/1.0 == eRsmQ Con 22 / DyR e e del
baco de Moody 0193.02 = f En (a) mF 69.17= -Asumiendo caudal 422
10*27.1/05.0 == eRsmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody 03036.02 =
f En (a) mF 42.8= -Asumiendo caudal 8128/04.0 22 == eRsmQ Con 22 /
DyR e e del baco de Moody 0337.02 = f En (a) mF 58.6= Interpolando
se tiene:
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- 59 -
smQ /039.02 = Rpta smQQQQ /066.01521 =+=
Bernoulli (C D) 43 hhEE fDC ++=
)()027.0(06.2039512.4079012027.0
06.2039512.40790012
233
233
34534
244
233
b------------++==
+=+=
++=
QfQfNQQQQQpero
QfQf
1 Asumiendo caudal 20727/07.0 33 == eRsmQ Con 33 / DyR e e del
baco de Moody 027.03 = f En (b) mN 612.10= 2 Asumiendo caudal
27072/08.0 33 == eRsmQ Con 33 / DyR e e del baco de Moody 0257.03 =
f En (b) mN 705.12= 3 Asumiendo caudal 32.25735/078.0 33 == eRsmQ
Con 33 / DyR e e del baco de Moody 0259.03 = f En (b) mN 27.12=
Interpolando se obtiene:
smQ /0779.03 = smQQQQ /105.04534 =+=
Calculemos 31 ff hyh Para smQ /066.01 = 027.048.22128 11 == fyR
e
mh f 98.21 = Para smQ /105.04 = 0233.075.46435 44 == fyR e
mh f 24.54 = Bernoulli (A D)
541 ffDA hhhEE +++=
)(24.68
1650*0826.024.598.215
55
5
55
255
g--------------------------=
++=
Df
DQf
-Asumiendo Dimetro 001.020.05
5 == DmD e
Como 171450/027.0 55 == eRsmQ Con 55 / DyR e e del baco de Moody
0212.05 = f
-
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- 60 -
En (g) mDf 25.665
5
5 =
Un dimetro comercial adecuado es mD 20.05 = =8pulg Rpta. 30)
Calcular los dimetros de las tuberas de la red de la figura, si los
caudales en E y F son respectivamente 20 y 30L/s y el agua se
libera con igual presin e igual velocidad en E y F spieC H /100=
para toda las tuberias presin, el dimetro del tramo CD deber ser
mayor que los dimetros DE y DF (D1=2D2).
(1)(2)
(4)
(5)
20m20m
10m
15m500m
500m
800m700m
700m
(3)
E
F
D2D1
Solucin:
(1 )(2 )
(4 )
(5 )
2 0 m2 0 m
1 0 m
1 5 m50 0 m
5 0 0 m
8 00m7 00 m
700m
(3 )
E
F
D 2D 1
Q
P
Q 4Q
QQ
Q 3
21 2 DD =
sLQsLQ /30/20 45 ==
FEFE PPyVV == sLQQQQ /503543 =+=
sLQQQQQ /5021321 =+=+ (1)
-
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- 61 -
.(*)..............................22.1)4/(
20)4/(
30542
524
DDDD
VV FE === ppEcuacin de la energa
).........(..................................................5
102
152
45
5
2
4
2
54
a
gg
=-==
+++=+++
+=+=
ff
EFEF
fEE
fFF
fEfFQ
hhVVyPPcomo
hg
VPhg
VP
hEhEE
De la ecuacin de Hazen y Williams 85.1
63.242.2347
=
CDQLh f
De (a) 5100
30*42.23475.0100
20*42.23477.085.1
63.24
85.1
63.25
=
-
DD
"6"8
:"09.7"81.5(**)(*)
..(**)........................................564.9273361319
54
45
86.44
86.45
==
\==
=-
DyDcomercialDiametro
esadecuadodimetroElDyDyDe
DD
mD 20.0"84 ==
smDQV /95.0
4/2.0*03.0
)4/( 2244
4 === pp
mh f 74.38*10030*42.23475.0
85.1
63.24 =
=
"8:
).(......................................................................25.16
).(......................................................................25.21)()2(
).....(..................................................3540:
)2..(......................................................................75.18
75.18
75.18
75.1874.381.9*2
95.015
343
32
31
21
3
33
2
4
>>
=+
=+
-=-=
+=
+=+=
=
=++=
+=
DDDPeromhhmhh
yDehhEPero
hmEhmhEE
mE
mE
hEE
ff
ff
ffP
fP
ffQP
Q
Q
fFQ
q
ba
a
Escogiendo dimetro comercial adecuado
-
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- 62 -
"103 =D
mh f 25.310*10050*42.23475.0
85.1
63.23 =
=
mh f 25.33 = En (b) mh f 181 =
63.221
86.42
85.11
21
85.1
63.21
11
52.1
1824.8
218*100
*42.23477.0:
DQ
mDQ
DDymD
Qhpero f
=
=
==
=
En (q) mh f 132 =
63.222
86.42
85.12
85.1
63.22
22
19.0
135.274
13*100
*42.23478.0:
DQ
mDQ
mD
Qhpero f
=
=
=
=
"2.72"6.3
5019.052.1
/50
221
2
63.22
63.22
21
===
=+
=+
DDDD
DD
sLQQ
\ los dimetros comerciales adecuados son: "6"8"10"4"8 54321
===== DDDDD Rpta.
31) Un oleoducto con una tubera aproximadamente horizontal de
30cm de dimetro, donde la rugosidad absoluta e=0.003cm tiene una
estacin de bombeo de 40HP de potencia cada 7 Km. La eficiencia de
los equipos de bombeo es 75% peso especfico del lquido es 850Kg/m
la viscosidad cinemtica es 610*4 - m/s a) Hallar el caudal b) si el
caudal se incrementa en 50% hallar la nueva potencia de la bomba c)
si con la nueva potencia la presin en el ingreso de la bomba es de
125kg/m hallar la presin en la salida de la bomba.
Solucin:
B B B B7km
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- 63 -
B B B B7km
I S S S SI I I
7km 7km
75.0
0001.030.0
00003.040
/10*400003.0/85030.0
6
=
===
==
==-
nD
HPpot
smmmkgmD
ene
g
)1....(..................................................76
)(n
EEQpot Is -= g
Ecuacin de la energa (S I)
032.075.0*76
4.1190*071.0*85040)1(
071.04
3.0*
4.119081.9*2*3.0
*7000*2
2
=
=
==
=
===-
fV
fVVen
VQVQ
fVh
Vfg
VDfLhEE
f
fIs
p
Asumiendo valores de velocidades
1 Asumiendo 46 10*5.710*43.0*1/1 === -eRsmV
Con DyR e /e del baco de Moody 0195.0= f 0195.0 = fV
2 Asumiendo 56 10*1.110*43.0*5.1/5.1 === -eRsmV
Con DyR e /e del baco de Moody 0185.0= f 062.0 = fV
Graficando fVVSV Del grfico: smV /17.1=
a) smQ /083.04
3.0**17.1==
p
b) smQQ f /124.05.1 ==
smV f /74.1071.0124.0
==
56 10*3.110*43.0*74.1 == - ee RR
Con DyR e /e del baco de Moody 018.0= f mh f 87.64=
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- 64 -
En (1) 75.0*76
87.64*124.0*850=pot
RptaHPpot 95.119= c) mhEE fIS 87.64==-
./51.55694
/51.5569487.64125
87.6422
22
RptamkgfP
mkgfPP
mg
VPg
VP
S
SS
IS
=
==-
=
+-+
gg
gg
32) En la figura se muestra un sistema donde se instala una
bomba entre las tuberas 3 y 4 con una potencia de 4HP y una
eficiencia de 70%, la presin en I es 65kgf/m (C=120) Calcular: a)
los caudales en cada tubera. b) Las presiones en el punto A y
salida de la bomba.
40m
R
B
B
A
I S
(2)
(4)(3)(5)
(1) 20m
D=12''L=1000mD=10''
L=1500m
L=700mD=8''
D=10''
L=600m
L=2000mD=12'' M
10m
Solucin:
40m
R
B
B
A
I S
(2)
(4)(3) (5)
(1) 20m
M
10m
Q1
Q2
Q3
Q4Q5
-
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- 65 -
"122000"10600
"8700"101500
"121000
55
44
33
22
11
====
======
DmLDmLDmL
DmLDmL
/65%704
mkgPn
HPPot
I ==
=
)......(............................................................2128.01000
76*7.0*76
*7676
)(
33
3
3
j
gg
QQEE
QPotnEE
nEEQPot
IS
ISIS
==-
=--
=
kmmL
hS f /20
12040
=-
==
54.063.2**000426.0: SDCQPero = 54.063.2
1 2012*120*000426.0=Q SLQ /58.1771 = Rpta.
De la figura se tiene: )(432 ISfff EEhhh --+=
Pero segn Hazme y Williams 85.1
63.242.2347
=
CDQLh f
).(........................................2128.0003.2923.6008.53
85.14
85.13
85.12 rQ
QQQ -+=
Pero por continuidad se tiene:
32143 QQQyQQ +==
).....(................................................................................58.177
23 lQQ -=
tieneseen )()( rl SLQySLQ /038.75/542.102 32 ==
./2901
/2901836.265
836.222
)(22
RptamkgfP
mkgfPmP
mg
VPg
VPEn
S
SS
IS
=
==-
=
+-+
gg
ggj
Ecuacin de energa entre (R A)
1fAR hEE +=
-
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)1.........(................................................................................202
40 12
fAA hg
VP+++=
g
mh f 94.1912*12058.177*42.23471
85.1
63.21 =
=
En (1) /8.261 mkgfPA -= Rpta 33) En la figura se tiene dos
reservorios A y B estn conectados por una tubera de 10 de dimetro y
2500pies de longitud, otros dos reservorios C y D estn conectados
por una tubera de 12 de dimetro y 4500pies de longitud. Para
incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberas se
conectan con una tubera MN de 3000 pies de longitud y 8 de dimetro.
Las distancias AM = 1000pies y ND = 2500pies, rugosidad de las
tuberas es 0.00015. y viscosidad cinemtica es 610 - m/seg. Calcular
los caudales en cada tubera (Considere flujo completamente
turbulento).
A
B
C
D
80m
50mM
20m
40m
N
(1)(2)
(3)(4)
(5)
Solucin:
A
B
C
D
80m
50mM
20m
40m
N
(1)(2)
(3)