Pág. 1 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE SOLUCION EXAMEN PRIMER PARCIAL MAT-101 1.- Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son: 1,1 ; 3, 6 1, 3 A B yC Solución. Las coordenadas de los vértices son: , ; , ; , x y x y x y Dd d Ee e F f f Por el punto medio se tiene: 2 2 1 2 2 x x x x x x x x x x d e c c d e d e d e I 2 23 6 2 x x x x x x x x x x d f b b d f d f d f II 2 21 2 2 x x x x x x x x x x e f a a e f e f e f III Reemplazando I en II 6 2 8 x x x x e f e f IV Resolviendo III y IV 8 10 2 5 2 x x x x x x e f f f e f
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Pág. 1 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE
SOLUCION EXAMEN PRIMER PARCIAL MAT-101 1.- Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos
medios de sus lados son: 1,1 ; 3,6 1,3A B y C
Solución.
Las coordenadas de los vértices son: , ; , ; ,x y x y x yD d d E e e F f f
Por el punto medio se tiene:
2 2 1 22
x xx x x x x x x x
d ec c d e d e d e I
2 2 3 62
x xx x x x x x x x
d fb b d f d f d f II
2 2 1 22
x xx x x x x x x x
e fa a e f e f e f III
Reemplazando I en II
6 2 8x x x xe f e f IV
Resolviendo III y IV
810 2 5
2
x x
x x
x x
e ff f
e f
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Reemplazando xf en II :
6 6 5 1x x x xd f d d
Reemplazando xd en I :
2 2 1 3x x x xd e e e
Resolviendo análogamente se tiene: 8 2 4y y yd e f
Las coordenadas de los vértices son: 1,8 ; 3, 2 ; 5,4D E F
Respuesta.
2.- Un arco tiene forma de semielipse con una luz de 15m , siendo su máxima altura de 5m . Hallar la
longitud de dos soportes verticales situados cada uno de tal forma que dividen en 3 la luz total.
Solución.
Del gráfico se tiene:
7.5
5
a
b
Reemplazando en la ecuación:
2 2
2 21
x y
a b
2 2 2
2
2 2 21 5 1
7.5 5 7.5
x y xy I
Reemplazando 2.5x en la ecuación I
2
2
2
5
1025 1 2
315
2
y
La longitud de los soportes es: 10
2 4.713
y m
Respuesta.
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3.- Resolver: a)1
2 3
x x
x x
b)
3 14 2
2 1
xx
x
Solución.
)a 1
2 3
x x
x x
1 3 21 10 0
2 3 2 3 2 3
x x x xx x x x
x x x x x x
2 2 24 3 2 2 2 30 0
2 3 2 3
x x x x x x
x x x x
La ecuación: 22 2 3 0x x tiene no tiene raíces reales.
13 0 3x x
22 0 2x x
Ubicando los puntos en una recta real:
Determinamos los intervalos del conjunto solución:
22
5
2 5 2 5 32 2 3 430 0 0
2 3 142 5 3 5
x
x xVerdadero
x x
22
0
2 0 2 0 32 2 3 30 0 0
2 3 62 0 3 0
x
x xFalso
x x
22
4
2 4 2 4 32 2 3 430 0 0
2 3 2 4 3 4 14
x
x xVerdadero
x x
Gráficamente tenemos el conjunto solución:
El sector sombreado es el conjunto solución:
: 3 ; 2Cs x x
Respuesta
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b) 3 1
4 22 1
xx
x
Solución.
3 1 3 1
4 2 4 2 4 2 4 22 1 2 1
x xx x x x
x x
Resolviendo: 1
3 1: 4 2
2 1
xI x
x
24 2 2 1 3 13 1 8 2 3 14 2 0 0 0
2 1 2 1 2 1
x x xx x xx
x x x
2 28 3 3 8 3 30 0
2 1 2 1
x x x x
x x
28 3 3 0x x
2 1
2
105 30.82
3 3 4 8 3 16 16
2 8 105 30.45
16 16
i
x
x
x
3
12 1 0
2x x
22
1
8 1 3 1 38 3 30 0
2 1 2 1 1
x
x xFalso
x
22
0.7
8 0.7 3 0.7 38 3 30 0
2 1 2 0.7 1
x
x xVerdadero
x
22
0
8 0 3 0 38 3 30 0
2 1 2 0 1
x
x xFalse
x
22
0.5
8 0.5 3 0.5 38 3 30 0
2 1 2 0.5 1
x
x xVerdadero
x
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1 : 0.82 0.5 ; 0.45CsI x x
Resolviendo: 2
3 1: 4 2
2 1
xI x
x
3 1 2 1 4 23 14 2 0 0
2 1 2 1
x x xxx
x x
2 2 23 1 8 2 8 3 1 8 3 10 0 0
2 1 2 1 2 1
x x x x x x
x x x
2
22
1
2
8 3 1 0
3 3 4 8 1 0.214 3 9 32 3 41
0.582 2 8 16 16i
x x
xb b acx
xa
3
12 1 0 0.5
2x x
22
1
8 1 3 1 18 3 10 0
2 1 2 1
x
x xFalso
x x
22
0.4
8 0.4 3 0.4 18 3 10 0
2 1 2 0.4 1
x
x xVerdadero
x
22
0
8 0 3 0 18 3 10 0
2 1 2 0 1
x
x xFalso
x
22
1
8 1 3 1 18 3 10 0
2 1 2 1 1
x
x xVerdadero
x
2 : 0.5 0.21 ; 0.58CsI x x
La solución final es la intersección de los dos: 1 2CsI CsI
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: 0.58Cs x
Respuesta
4.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los siguientes 3 puntos
4,5 ; 3, 2 ; 1, 4A B C
Solución.
Reemplazando los puntos en la ecuación general de la circunferencia I :
2 2 0x y Dx Ey F I
Reemplazando 4,5A
2 24 5 4 5 0 4 5 41D E F D E F II
Reemplazando 3, 2B
223 2 3 2 0 3 2 13D E F D E F III
Reemplazando 1, 4C
221 4 1 4 0 4 17D E F D E F IV
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
4 5 41
3 2 13
4 17
D E F II
D E F III
D E F IV
Resolviendo por Cramer:
Pág. 7 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE
41 5 1
13 2 1
17 4 1 847
4 5 1 12
3 2 1
1 4 1
D
4 41 1
3 13 1
1 17 1 605
4 5 1 12
3 2 1
1 4 1
E
4 5 41
3 2 13
1 4 17 52844
4 5 1 12
3 2 1
1 4 1
F
Entonces la ecuación de la circunferencia buscada es:
2 2 0x y Dx Ey F I
2 2 7 5 44 0x y x y
Respuesta.
5.- Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados:
1 2 3; 2 3 1 0 ; 4 17 0: 2 0 : :R x y R x yR x y
Solución.
1 2 3; 2 3 1 0 ; 4 17 0: 2 0 : :R x y R x yR x y
Resolviendo 1 2R y R :
Pág. 8 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE
2 0 2 2 4 02
2 3 1 0 2 3 1 0
x y x y
x y x y
Sumando ambas ecuaciones
5 5 0 1y y
Reemplazando 1y ; en 1R
2 0 1 2 0 1x y x x
Entonces el punto de intersección es: 1,1C
Resolviendo 1 3R y R :
2 0
4 17 0
x y
x y
Sumando las dos ecuaciones: 5 15 0 3x x
Reemplazando 3x en 1R :
2 0 3 2 0 5x y y y
Entonces el punto de intersección es: 3,5A
Resolviendo 2 3R y R :
2 3 1 0 4 6 2 02
4 17 0 4 17 0
x y x y
x y x y
Sumando ambas ecuaciones
5 15 0 3y y
Reemplazando 3y en 3R :
4 17 0 4 3 17 0 5x y x x
Entonces el punto de intersección es: 5, 3B
Reemplazando los puntos , ,A B C en la ecuación general de la circunferencia:
2 2 0x y Dx Ey F
2 23 5 3 5 0 3 5 34D E F D E F I
225 3 5 3 0 5 3 34D E F D E F II
2 21 1 0 2D E F D E F III
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
3 5 34
5 3 34
2
D E F
D E F
D E F
32
5D
8
5E
34
5F
Reemplazando en la ecuación 2 2 0x y Dx Ey F
2 2 32 8 340
5 5 5x y x y
Respuesta.
Pág. 9 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE
6.- Dada la parábola 2 20y x , hallar la ecuación de la cuerda que pasa por el punto 2,5A , de modo
que este punto divida a la cuerda en la mitad.
Solución.
1 1 1 2 2 2, ; ,P x y P x y
Reemplazando 1 2,P P en la ecuación de la parábola:
2
1 120y x
2
2 220y x
Restando las ecuaciones:
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 220 20 20y y x x y y y y x x
1 21 2
1 2
20y y
y y Ix x
Por el punto medio se tiene:
1 21 25 10
2
y yy y II
Reemplazando II en I
1 2 1 2
1 2 1 2
10 20 2 2y y y y
mx x x x
m pendiente
Aplicando la ecuación punto pendiente de la recta:
1 1 5 2 2 5 2 4y y m x x y x y x
: 2 1 0R x y
Respuesta.
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7.- Un cable forma una parábola con torres de 220 m de altura, separadas en 1500 m. El punto más bajo del cable está a 70 m de altura. Hallar la altura del cable a 150 m de la base de una torre. Solución.
1 2 3750,220 ; 0,70 ; 750,220P P P
Reemplazando los puntos en la ecuación general de la parábola: 2 0x Dx Ey F
2
750 750 220 0 750 220 562500 0D E F D E F I
20 0 70 0 70 0D E F E F II
2
750 750 220 0 750 220 562500 0D E F D E F III
Sumando ecuaciones I y III :
750 220 562500 0
440 2 1125000 0750 220 562500 0
D E FE F IV
D E F
Resolviendo ecuaciones :II y IV
70 0 140 2 02300 1125000 0
440 2 1125000 0 440 2 1125000 0
E F E FE
E F E F
3750E
Reemplazando E en la ecuación II
70 0 70 3750 0 262500E F F F
Reemplazando E y F en la ecuación I
0D
La ecuación de la parábola es: 2 0x Dx Ey F
2 3750 262500 0x y
Reemplazando 600x en la ecuación de la parábola:
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2 622500
600 3750 262500 0 3750 622500 1663750
y y y
Entonces la altura del cable a 150m de la base de una torre es de: 166H m
Respuesta.
8.- Hallar el dominio y condominio de la función: 2