Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno 2016 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (Continuação) PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO étodos uméricos
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SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS … · • Resultados obtidos por Euler, ... Sistemas de EDO 1 –Equações diferenciais de segunda ordem: • Uma equação diferencial
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Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
2016
SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
(Continuação)
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
étodos
uméricos
Comparação de Métodos para EDO1 – Métodos de Runge-Kutta:
Vantagens:
1. São auto-iniciáveis, ou seja, não dependem do auxílio de outrosmétodos.
2. É fácil fazer a alteração do incremento h, de modo que ele possaser aumentado para reduzir o esforço computacional.
Desvantagens:
1. O numero de vezes que a função f(x, y) necessita ser avaliada,por passo, é elevada.
2. Para limitar o erro de discretização é necessário escolher um hpequeno, o que pode causar um aumento do erro dearredondamento.
Comparação de Métodos para EDO2 – Métodos de Adams:
Vantagens:
1. O número de vezes que f(x, y) é avaliada, a cada iteração i, épequeno, uma vez nas fórmulas explícitas e i+1 vezes nasimplícitas.
2. As fórmulas são simples, podendo ser utilizadas até mesmo comuma calculadora.
Desvantagens:
1. Não são auto-iniciáveis, dependendo de um outro método.
Comparação de Métodos para EDO3 – Comparação de Métodos para EDO:
• Ilustrar, numericamente, o desempenho de alguns métodos.• Resultados obtidos por Euler, Dormand-Prince e Adams-
Bashforth-Moulton.• Solução exata do j-ésimo PVI dada pela expressão de yj(x).
Comparação de Métodos para EDO
Comparação de Métodos para EDO
Erro : diferença em valor absoluto entre soluções numérica e exata
Comparação de Métodos para EDO
Comparação de Métodos para EDO
Comparação de Métodos para EDO
Comparação de Métodos para EDO
Sistemas de EDO• Na modelagem de um problema real, é muito comum o uso de
sistemas de EDO.• Uma equação diferencial de ordem n > 1 pode ser resolvida por
meio de um sistema de ordem n.• Sistema de p equações diferenciais ordinárias com p incógnitas:
sendo fi e yi(a) = i, i = 1, 2, ..., p, as funções dadas do problema e as condições iniciais.
p
Sistemas de EDOExemplo: Resolver o sistema de EDO a seguir com y1(0) = 0 e y2(0) = -1no intervalo [0, 2] com 10 subintervalos.
Sistemas de EDO1 – Equações diferenciais de segunda ordem:
• Uma equação diferencial ordinária de ordem n > 1 pode serreduzida a um sistema de EDO de primeira ordem com nequações.
• Utiliza-se transformação por mudança de variáveis.
• Por exemplo, o PVI de segunda ordem:
• É equivalente ao sistema de equações de primeira ordem:
• Feitas as mudanças de variáveis:
Sistemas de EDOExemplo: Resolver o PVI de 2ª ordem a seguir com y(0) = 1 e y’(0) = 0,intervalo [0, 1] com 10 subintervalos.
• Mudanças de variáveis y1 = y e y2 = y’1• Sistema de ordem dois de EDO de primeira ordem
Sistemas de EDO• Valor exato dado por
Sistemas de EDOExemplo: Resolver o PVI de 2ª ordem a seguir com y(0) = 1 e y0(0) = -1, x [0, 2] usando 8 subintervalos.
• Mudanças de variáveis y1 = y e y2 = y’1• Sistema