-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
1/13
DE T E RMI NA C I O N
DE
E S T R U C T URA S
C RI S T AL I NA S
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
G
e om e t r í a d e un e x p e r i m e n t o d e s c a t t e r i n g
-L a r a d i a c i ó ni n c i d e n t e i n d u c e
a ni l l o s c i r c ul a r e s d e r a d i a c i ó n
q u e s a l e n d e c a d a á t om o
-L a r a d i a c i ó n d i s p e r s a d a
d e s d e l o s á t om o s s e s um a n
c on s t r u c t i v a m e n t e e n c i e r t a s
d i r e c c i on
e s .
C a m p o d e r a d i a c i ó nr e a l d e b i d o a un c r i s t a l c u a d r a d o d e 2 5 á t om
o s .E l r a n g o
a n g ul a r d e l a i n t e r f e r e
n c i a c on s t r u c t i v a e s m
u c h om a s a n g o s t o p a r a c r i s t a l e s
gr a n d e s
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
2/13
θ
K , 3 ,2 ,1
,
s i n
2
=
=
n
n
d h k l
λ
θ
θ
d h k l
d h k l s i n θ
θ θ
θ
θ θ
2 θ
E xi s t e nr e f l e xi on e s d e Br a g g s ol o p
a r a λ ≤ 2
d h k l
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
F or m ul a ci ó n
d eBr a g g
Intensity (%)
2 θ ( ° )
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
1 0 0
1 1 0
1 2 0
0 1 0 2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
1 0 0
λ =1 . 5 4 0 5 6 2 Å
o
2 θ
θ
1 ,1 ,1 2
, 0 , 0
2 ,2 , 0
2 ,2 ,2
4 , 0 , 0
4 ,2 , 0
4 ,2 ,2
4 ,4 , 0
6 , 0 , 0
4 ,4 ,2
a
l
k
h
2
2
2
s i n
2
+
+
= λ
θ
o
3 6 6
.2 7
2
= θ
6 4 . 5 =
⇒
a C l
a
Å
o
4 4 4 .
3
1
2
= θ
o
4 4 4 .
4
5
2
= θ
1 0 0 →1
1 1 0 →2
1 1 1 → 3
2 0 0 →4
2 1 0 → 5
2 1 1 → 6
2 2 0 → 8
2
2
2
2
2
2
2 2
s i n s i n
i
i
i
i
l
k
h
l
k
h
+
+
+
+
= θ θ
1 . 3 3 3
2 . 6 6 6 ∧∧∧∧∧∧∧∧
( 1 . 3 1 2 )
( 2 . 6 6 6 )
D
i f r a c ci ó n d eBr a g g d el N a C l
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
3/13
k
k ´
k
k ´
' k
k
d
r
r
r
−
⋅
m π2 =
I n t e r f e r e n c
i a c on s t r u c t i v a
d e l o s d o s d i s p e r s or e s :
I n t e r f e r e n c i a c on
s t r u c t i v a d e t o d o s l o s d i s p e r s or e s d e un a r e d d e
Br a v a i s :
R
m
k
k
R
r
r
r
r
∀
=
−
⋅
π2
'
E l e s p a c i o d e l o s
v e c t or e s G q u e c um pl e n c onl a c on
d i c i ó n a n t e r i or
s e l e c on o c e c om
oRE DRE C I P R O C A .
d
k d ̂ ⋅ r
' ̂ k d ⋅
− r
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
F or m ul a ci ó n d e
V onL a u e
)
(
2
3
2
1
3
2
1
a
a
a
a
a
b
r
r
r
r
r
r
×
⋅ ×
= π
)
(
2
3
2
1
1
3
2
a
a
a
a
a
b
r
r
r
r
r
r
×
⋅ ×
= π
)
(
2
3
2
1
2
1
3
a
a
a
a
a
b
r
r
r
r
r
r
×
⋅ ×
= π
D e m o s t r a c i ó n :
i j
j
i
a
b
δ π2 =⋅ r
r
S e a
3
3
2
2
1 1
b k
b k
b k
G
r
r
r
r
+
+
=
y
3
3
2
2
1
1
a n
a n
a n
R
r
r
r
r
+
+
=
E n t on c e s
m
n
k
n k
n k
R
G
π
π
2
)
( 2
3
3
2
2
1
1
=
+
+
=⋅
r
r
∈
⇒
i k
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
R e d R e cí pr o c a
-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
4/13
s c [ a ] ⇒
s c [ 2 π / a ]
⇔
b c c
[ a ] ⇒
f c c [ 4 π / a ]
f c c
[ a ] ⇒
b c c [ 4 π / a ]
h c p [
c
a
π
π
2 ,
3 4
] r o t a d o 3 0 º a l r e d e d or d e l e
j e c
h
c p [ a , c ]
⇒
E j em pl o s d eR e d
e sR e cí pr o c a s
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
-A t o d o pl an or e
t i c ul ar ( h k
l ) l e c
or r e s p on d e un v e c t or d e l e s p a c i o
r e c í pr o c o , d e c om p on e n t e s pr o p
or c i on al e s al o s í
n d i c e s h , k , l .
1 a r
2 a r
3 a r1
1 a n
r
3
3 a n
r
2
2 a n
r
)
( )
(
1
1
2
2
3
3
1
1
a n
a n
a n
a n q
r
r
r
r
r
−
×
−
=
r
)
(
1
3
1
3
2
3
2
3
2
1
2
1
a
a n n
a
a n n
a a
n n q
r
r
r
r
r
r
×
+
×
−
×
=
)
(
2
2
1
3
1
2
3
3
2 1
0
b
n n
b n n
b n n
q V
r
r
r
+
+
=
π
+
+
=
3 3
2 2
1 1
3
2 1
0
2
n b
n b
n b
n n n
q V
r
r
r
π
c on
s e t i e n e
3
2
1
0 2
n n n V
q
π
=
3
2
1
b l
b k
b h
G
r
r
r
r
+
+
=
( v e c t or r e c í pr o c on or m a l a l pl a n o )
) , , (
l k h
3 2 1 1 1 1 n
l n
k n
h = = =
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
P r o pi e d a d e s d el aR e d R e cí pr o c a
-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
5/13
d
-El e s p a c i a d o e n t r e pl an o s r e t i c ul ar e s c r i s t al i n o s v
i e n e d a d o p or l a
r e l a c i ó n
) , ,
(
2 l k h G
d h k l
r
π
=
r
G r
)
, , (
)
, , (
l k h G
l k h G
R
d
r r
r⋅
=
)
, , ( 2
l k h G
m
d
r π
=
⇒
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
L a d i s t a n c
i a m á s c or t a s e o b
t i e n e p a r a m=1
F
or m ul a c i ó n e q ui v a l e n t e :
G
k
k
k
r
r
r
r
=
−
=
∆
'
2
2 1 G
G
k
=⋅
⇒
r
r
I n t e r
f e r e n c i a c on s t r u c t i v a o c ur r i r á s i e l c
a m b i o e n e l
v e c t or d e on d a e s un v
e c t or d e l a r e d r e c
í pr o c a .
G
k
k
k
r
r
r
−=
=
⇒
'
G
k
r
r=∆
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
I n t er pr e t a ci ó n
d el a c on d i ci ó n
d eDi f r a c ci ó n d eV onL a u e
q u e e s l a e c u a c i ó n d e u
n pl a n o p e r p e n d i c ul a r a G
(
) e nl a p o s i c i ó n G / 2
0 =⋅ G
k
r
r
l a c on d i c i ó n d e L a u
e s e s a t i s f a c e s i y s o
l o s i e l e x t r e m o d e l
v e c t or d e on d a
i n c i d e n t e e s t á e n e l pl an o b i s e c t or q u e u
n e e l or i g e n c on un p un t o d e l ar e d
r e c í pr o c a
-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
6/13
θ
θ
d h k l
θ θ
k
k -k
G
/ 2 θ
θ
s
i n
2 /
k
G
=
h k l d
m
G
/
2 π
=
θ
λ
θ
π
s i n
2
s i n
2
/
2
d
m
k
d
m
=
⇒
=
⇒
E l m á xi m o d e d i f r a c c i ó n d e V onL a u e c or
r e s p on d e a un c a m b i o e n e l v e c t or d e
on d a d a d o p or e l v e c
t or d e l a r e d r e c í pr o c a G q u e c or r e s p on d e a un a r e f l e xi ó n d e
Br a g g d e s d e l a f a mi l i a d e pl a n o s d e l a r e d
d i r e c t a p e r p e n d i c ul a
r e s a G
G
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
E q ui v al en ci a
d el af or m ul a c
i ó n d eBr a g g y
d eV onL a u e
k
k ´
G θ
2 θ
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
C on s t r u c ci ó n
d eE w al d
-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
7/13
c u ar z o
M é t o d o s ex p er i m en t al e s: M é t o d o d
eL a u e
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
K2 Cr O4
c u ar z o
M é t o d o d e l c r i s t al r o t an t e
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
8/13
a Cl
al umi n a
M é t o d o d e p ol v o ( d e b y e - S c h e r r e r )
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
L a f or m a d e un a on d a d i s p e r s a d a q u e i n t e r a c
t ú a c on un s ol o á t om o e n e l or i g e n e s t á
d a d a ,l e j o s d e l á t om o , p or
+
≈
⋅
−
r e
r f
e
eA
r k i
r
k i
t i
0
0
) ˆ (
r
r
ω
ψ
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
T e or í a d el s c a t t
er i n g d e s d e cr i s t al e s 0 k r
r k
k
ˆ 0
= r θ
2
F
a c t or d e f or m a a t ó m
i c a
( c on t i e n e d e t a l l e s d e l a i n t e r a c c i ó n e n t r e e l p o t e n c
i a l d e s c a t t e r i n g yl a on
d a d i s p e r s a d a )
2 ) ˆ ( r f
d d
I
a t o m
a
=
Ω
≡
σ
r a z ó
n d e l a a m pl i t u d d i s p e r s a d
a p or un á t om o
yl a
d e un e l e c t r ó n a i s l a d o
∫
⋅
−=
) (
1
) (
3
r
er
d
e
k f
r k i
r
r
r r
ρ
P
a r a s c a t t e r i n g d e r a y o
s X , e l p o t e n c i a l e s pr o p or c i on a l a l a d e n s i d a d e l e c t r ó ni c a :
-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
9/13
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
P a
r a un e n s a m b l e d e d i s p e r s or e s ,l a d e p e n d e n c i a a n g ul a r d e l s c a t t e
r i n g e s e l pr o d u c t o
d e
2 p a r t e s :
1 .
C a d a d i s p e r s or e mi t e
r a d i a c i ó n c on d i f e r e n
t e s i n t e n s i d a d e s e n d i f e r e n t e s
d i r e c c i on e s , d e s c r i t o s p or f
2 .
E xi s t e i n t e r f e r e n c i a e
n t r e l a r a d i a c i ó n q u e l l e g a d e l o s d i s t i n t o s o b j e t o s y p or t a n t o
c o
n t i e n e i nf or m a c i ó n d e s u c or r e l a c i ó n e s p a c
i a l .
−
+
−
−⋅
⋅
−
R
r er
f
e
e
eA
R
r
k i
R
r
k i
R
k i
t i
r r
r
r
r
r
r
r
r
0
0
0
) ˆ (
~
)
(
ω
¿ c
ó m o c a m b i a l a on d a d i s p e r s a d a d e un a p a r t í c ul a q u e s e e n c u e n t r a e n
e nl u g a r
d e
l or i g e n ?
R r
R r r
k
r k
R
r k
r
r
r
r
⋅
−
≈
−
0
0
0
p a r a d i s t a n c i a s s
uf i c i e n t e m e n t e gr a n d
e s
⇒
+
⋅
+⋅
⋅
−
r
er
f
e
eA
R
q i r
k i
r
k i
t i
r
r
r
r
r
r
0
0
) ˆ (
~
ω
c on
k
k
q
r
r
r
−
= 0
(
)
θ
s e n
2 0 k
q=
d e s c r i b e l a t r a n s f e r e
n c i a d e m om e n t o e n t r e l a on d a i n c i d e n t e y
l a d i s p e r s a d a
q r h
+
≈
⋅
−
r e
r f
e
eA
r k i
r
k i
t i
0
0
) ˆ (
r
r
ω
ψ
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
C o
n s i d e r e m o s a h or a t o d a l a r e d , d e s pr e c i a n d om ú l t i pl e s s c a t t e r i n g
y s c a t t e r i n g
i n e l á s t i c o :
+ ∑
⋅
+⋅
⋅
−
n
R q i r
k i
n
r
k i
t i
r
er
f
e
e
A
n
r
r r
r
r
r
r
r
r
0
0
) ˆ (
~
ω
ψ
L a i n t e n s i d a d p or uni d a
d d e á n g ul o s ó l i d o d i vi d i d o p or l a i n t e n s i d a d i n c i d e n t e e s
(
)
∑ ′
−
⋅
′
′
= n n
R
R q i
n
n
n
n
e f f
I
r r
r
r r
r
r
r
r
,
*
P a
r a e l c a s o d e c r i s t a l e s
m on o a t ó mi c o s
2
∑
⋅
=
n
R q i
a
n
e
I
I
r
r r
r
M á xi m o s í
,i . e
. ,
m
GR
π2 =⋅
r
r
G
q
r
r=
-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
10/13
R r1 d r
2 d r
Am pl i t u d t o t a
l ∝ ∑ ∑
=
+
⋅
−
n
m j
d
R q i
j
j
n
e f
r
r
r r
r
1
)
(
∑
∑ =
⋅
−
⋅ −
= n
m j
d q i
j
R q i
j
n
e f
e r
r
r
r r
r
1
F
a c t or d e e s t r u c t ur a g e om é t r i c a :
∑ =
⋅
−
= m j
d G i
j
G
j
e f
S
1
r r
r
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
S c
a t t e r i n g d e s d e un ar e d c on b a s e
0 , 0
0 ,2
0 ,4
0 , 6
0 , 8
1 , 0
1 ,2
0
, 0
1 , 0
2 , 0
3
, 0
4 , 0
5 , 0
GR a t
f/Z
[
] )
c o s (
)
s i n (
3
) (
3
3
a t
a t
a t
a t
GR
GR
GR
R G
Z
G f
−
= r
F a
c t or d e f or m a a t ó mi c a p a r a un a d i s t r i b u c i ó n uni f or m e d e Z e l e c t r on e s e n un a e s f e r a
d e
r a d i oR
a t
2
) 2 (
c o s
1
2
4
2
2
4
0
θ
+
=
c mr
e
I
I
e
e
M o d e l o d e T
h om s on d e l a on d a
e s f é r i c a d i s p e r s a d a p or un e l e c t r ó n
∑ ∑ =
=
−
⋅
−
=
=
n j
n j
d
d
G i
j
j
G
S
j
j
e
f f
S
I
1
1 '
)
(
* '
2
' r
r
r
r
R e l a c i
on a d o a l f a c t or
d e e s t r u c t ur a
2
3
2
1 ∑
⋅
−
= n n n
R G i
R
e
I
r r
E f e c t o d e l a i n t e r f e r e n c
i a d e b i d o a l a
e s t r u c t ur a t r i d i m e n s i on
a l d e l a r e d
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
11/13
0
2 0 0
4 0 0
6 0 0
8 0 0
1 0 0 0
0 , 0
2 , 0
4 , 0
6 , 0
8 , 0
1 0 , 0
1 2 , 0
1 4 , 0
1 6 , 0
q / a
f 2
i a q
i a q
l
i l a q
R
n n n
R q i
R
e e
e
A
e
A
− −
−=
−
⋅
−
− −=
=
⇒
=
∑
∑
1 1
1 0
3
2
1
r r
E n un a c a d e n a un
i d i m e n s i on a l d e p
a r á m e t r o
: a
) 2
(
s i n
) 2
(
s i n2
2
2
a q
a q
A R
=
⇒
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
P l a n o s e x t r a s
s c
f c c
E nl a f c c s e e l i mi n a n c i e r t o s m á xi m
o s d e b i d o a l o s pl a n o s e x t r a s .
E
n e l c a s o d e un a b
c c :
i m p a r
s i
0
p a r
s i
2
=+
+
=
=+
+
=
l
k
h
S
l
k
h
f
S G G r r
E n e l c a s o d e un a f c c :
c o
n t r a r i o
c a s o
e l
e n
) , , (
s i
0
i m p a r e s
t o d o s
o
p a
r e s
s on t o d o s
) , , (
s i
2
l k
h
S
l k
h
f
S G G= = r r
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
12/13
Z on a s d eBr i l l o ui n
2
2
G
G k
=⋅
r
r
2
2 1
2 1
) (
)
(
G
G
k
=
⋅
⇔
r
r
C
on d i c i ó nL a u e p a
r a l a d i f r a c c i ó n
O
G r
2 G
' k r
L a s Z on a s d e Br i l l o ui n
e xh i b e n t o d
o s l o s v e c t or e s
d e on d ai n c i d e n t e s q u e
p u e d e n s e r r e f l e j a d a s
( Br a g g ) p or
e l c r i s t al
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
Z on a s d eBr
i l l o ui n
= c e l d a d e Wi gn e r - S e i t z e nl ar e
d r e c í pr o c a .
P
r i m e r a z on a d e Br i l l o ui n
d
e l b c c ( d o d e c a e d r
or ó m b i c o )
P r i m e r a z on a d e Br i l l o ui n
d e l f c c ( o c t a e d r
o t r un c a d o )
2
2
G
G k
=⋅
r r
2
2 1
2 1
)
(
)
(
G
G
k
=
⋅
⇔
r
r
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
-
8/19/2019 Solidos Clase Mery 2
13/13
Z on a s
d eBr i l l o ui n en
un ar e d c u a d r
a d a
J ML
f i z 3 6 0 0
J ML
f i z 3 6 0 0 --2 0 1 0
2 0 1 0
