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FSICA
Silvia Sokolovsky Mecnica Mru Mruv: El movimiento es el cambio
de la posicin en funcin del tiempo, y su explicacin (mediante
ejemplos y un anexo aplicando integrales). El ms simple es el
rectilneo . . . Movimiento en dos Dimensiones: Aproximndonos un
poco ms a los movimientos reales : tiro oblicuo y movimiento
circular. Dinmica: Hasta este momento hemos descrito al movimiento
de una partcula sin preguntarnos que lo causa; para mantener un
cuerpo en movimiento no hace falta una fuerza, entonces, qu se
necesita?. La respuesta es: nada... Trabajo Mecnico: El trabajo
mecnico es una magnitud escalar que depende del mdulo de una fuerza
aplicada sobre un punto material y el desplazamiento que esta le
produce . . . Ley de Gravitacin Universal: La fuerza de atraccin
gravitacional es la fuerza con que la Tierra nos atrae hacia el
suelo, es la culpable de que, al perder el equilibrio, nos vayamos
de bruces al piso... Gases Ideales: Ley de Boyle - Mariotte, Ley de
Gay-Lussac, Ley de Charles, ley universal de los gases, Teora
Cintica de los Gases, densidad de un gas, Hiptesis de Avogadro, Ley
de los Gases Generalizada. Termodinmica: calorimetra, calor
especfico, conduccin, conveccin y radiacin del calor, equivalente
mecnico del calor, relacin entre el calor y el trabajo mecnico,
ciclos termodinmicos - Carnot, leyes de termodinmica, entropa.
Ondas: ondas transversales, longitudinales, ecuacin onda, longitud
de onda, frecuencia, ondas armnicas. Ondas Electromagnticas:
Clasificacin segn longitud de onda, propiedades, ecuaciones de
Maxwell, vector de Poynting, Interferencia, Interferencia de ondas
electromagnticas. Luz: Marco histrico, Modelo ondulatorio,
corpuscular, electromagntico, velocidad de la luz, longitud de
onda, etc.
tomos: Historia de sus modelos: desde Demcrito hasta Schrdinger.
Explicacin del modelo Onda partcula. Fsica Cuntica: desde el
postulado de Plank hasta la teora de los Quarks pasando por las
mquinas que han permitido el descubrimiento de las partculas
elementales, los aceleradores.
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Movimientos Rectilneos
MovimientoAutora: Silvia Sokolovsky
Introduccin:
" Imaginemos una novela de misterio perfecta. Este tipo de
relato presenta todos los datos y pistas esenciales y nos impulsa a
descifrar el misterio por nuestra cuenta", as comienza Albert
Einstein su libro La evolucin de la fsica, y resulta vlido para
introducirnos en el tema. Si bien tu inters se halla muy alejado
del que impulsaba al genio del siglo XX, para poder resolver el
misterio que se encierra dentro de los problemas tendrs que hacer
de detective para encontrar los datos disponibles, hacerlos
comprensibles y coherentes por medio del razonamiento. Lo cual a
simple vista no resulta tan fcil.
Primeramente, nos introduciremos en el problema del movimiento,
sus causas y efectos.
" Nuestro concepto intuitivo del movimiento lo vincula a los
actos de empujar, levantar, arrastrar... ...Parece natural inferir
(deducir) que, cuanto mayor sea la accin ejercida sobre un cuerpo,
tanto mayor ser su velocidad ... (imagina empujar un auto, si lo
empujan dos personas ir ms rpido que si la empuja una) ...El mtodo
de razonar dictado por la intuicin result errneo y condujo a ideas
falsas respecto al movimiento de los cuerpos ".
Supongamos que deseamos patinar sobre el piso, evidentemente
recorreremos cierta distancia y despus nos detendremos. Si queremos
ir ms lejos deberemos engrasar o aceitar los ejes de las ruedas de
nuestros patines y alisar lo ms posible el camino. Qu estamos
haciendo realmente? Estamos reduciendo el roce con el piso, la
friccin.
Tericamente si imaginamos un camino perfectamente plano y unos
patines con ruedas sin ningn roce, no existira causa alguna que se
opusiera a nuestro movimiento, sera eterno.
Vemos claramente que si no se empuja o arrastra un cuerpo, o sea
se le aplica una fuerza externa, este se mueve uniformemente, es
decir, con velocidad constante y en lnea recta.
"A esta conclusin se ha llegado imaginando un experimento ideal
que jams podr verificarse, ya que es imposible eliminar toda
influencia externa" Einstein era principalmente un fsico terico,
pues se imaginaba las experiencias y aplicando leyes fsicas
conocidas y elementos matemticos intentaba resolver los problemas
que l mismo se planteaba. En tu caso, los problemas sern propuestos
por el profesor, pero si a Einstein le sirvi su "tcnica", Por qu no
a ti ? ...
En palabras de Einstein: " Todos los movimientos que se observan
en la naturaleza - por ejemplo, la cada de una piedra en el aire,
un barco surcando el mar, un auto avanzando por la calle - son en
realidad muy intrincados (difciles de comprender). Para entender
estos fenmenos es prudente empezar con los ejemplos ms simples y
pasar gradualmente a los casos ms complicados" . Hagmosle caso.
Movimiento :
Cmo nos damos cuenta que nos estamos moviendo?.
No toques el mouse (ratn) de tu computadora mientras observas el
segundero de tu reloj. A medida que
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Movimientos Rectilneos
pasa el tiempo el mouse no cambia de posicin, pero el segundero
si. El mouse est quieto y el segundero est en movimiento.
Sencillamente, nos damos cuenta que "algo" se mueve al ver como
cambia su posicin a medida que transcurre el tiempo.
El movimiento es el cambio de la posicin en funcin del
tiempo.
Supongamos que tenemos un cronmetro para medir "ese tiempo", a
cada instante podemos designarlo con una letra, usualmente suele
utilizarse la letra t. El instante en que comenzamos a medir es el
instante cero, as que podemos designarlo como t o (te sub-cero); y
asimismo se puede indicar en el subndice el instante en el que mvil
se encuentra. Por ejemplo: si transcurren 5 segundo podemos
indicarlo como t5.
Si tomamos dos instantes cualesquiera, la diferencia entre ambos
nos indicar el tiempo transcurrido entre ambos instantes: t = t ti
(el subndice i indica que es el instante inicial del
intervalo).
Este smbolo (diferencial) es un elemento matemtico que se
utiliza para indicar la resta, "diferencia" entre dos valores de
una variable.
Si el movimiento es horizontal podemos considerar al piso como
si fuera el eje de las abscisas (eje x), de esa manera cada posicin
se designar con la letra x. La posicin correspondiente al instante
cero (to) se designa, entonces, como xo . La diferencia entre dos
posiciones cualesquiera nos permite calcular el espacio existente
entre ellas: x = x xi
Movimiento Rectilneo Uniforme (MRU)
El movimiento ms sencillo es el movimiento en lnea recta
(lgicamente denominado rectilneo) Como todo movimiento puede
describirse por el espacio que se recorre en unidad de tiempo,
supongamos que recorremos siempre la misma cantidad de espacio por
cada unidad de tiempo. Imaginemos que por cada segundo recorremos
dos metros. En el primer segundo recorremos dos metros, al segundo
habremos hecho cuatro, al tercero seis y as sucesivamente...
Para facilitar an ms nuestro estudio imaginemos que partimos de
la posicin cero en el instante cero. Ubiquemos nuestra suposicin en
una tabla:
Instante (t) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Posicin
(x) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
El espacio y el tiempo matemticamente son directamente
proporcionales, eso implica que si dividimos cada posicin por el
instante en que se encuentra nos dar un valor constante.
Fsicamente ese valor constante, la razn entre el espacio
recorrido y el tiempo trascurrido, se denomina
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Movimientos Rectilneos
velocidad.
As que la velocidad en este tipo de movimiento es constante,
como se ve en el grfico de velocidad en funcin del tiempo (v(t))
donde est representada la velocidad. Si llevamos a un grfico la
posicin a cada instante que est indicada en la tabla, veremos que
encontramos una recta. Si observamos detenidamente el cuadro
podemos darnos cuenta de que la posicin a cada instante se puede
calcular multiplicando ese instante (t) por la velocidad (v), de
esa manera tenemos que: x = v . t
No tiene por que partirse de cero, as que las distintas
posiciones pueden determinarse sumando la posicin de donde
partimos, posicin inicial (xo), y lo que se avanza (t.v ).
Supongamos que partimos de la posicin 2, la xo = 2 m, como la
velocidad es 2m/seg. sumemos 2 m a la posicin anterior:
Instante (t) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Posicin
(x) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Es interesante destacar que obtenemos una recta cuya pendiente
es la velocidad (2) y la ordenada al origen es la velocidad inicial
(2): matemticamente la ecuacin obtenida es: x = 2t + 2. (utilizo
las variables indicadas en el grfico).
De esa manera la ecuacin del espacio en funcin del tiempo que a
partir de ahora la llamaremos ecuacin horaria, la escribiremos: x =
xo + v . t
Magnitudes vectoriales y escalares: Los nmeros son entes
abstractos que por s solos no representan nada. Esa es su mayor
virtud, pues podemos asignarle el significado que queramos. Un
simple tres, segn la ocasin, puede ser una cantidad de dinero, una
mala nota, lo que sea ... Todo lo que podemos medir puede ser
representado por un nmero. Todo lo medible se llamar, entonces,
magnitud. Y las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos:
escalares y vectoriales.
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Movimientos Rectilneos
Supongamos que estamos mirando los coches que transitan por una
avenida recta, todos los autos tendrn la misma direccin (la calle)
pero no tienen que ir hacia un mismo lado, pueden poseer distinto
sentido. Es importante en un movimiento indicar la direccin (recta
a la que pertenece) y el sentido en que se mueve. En matemtica
existe un elemento que indica sentido y direccin adems del mdulo
(cantidad de velocidad) es el vector. A toda variable que puede ser
representada por un vector la llamaremos "magnitud vectorial".
Lo que nos indica la lgica es utilizar el vector para indicar la
velocidad de un auto. La velocidad es una magnitud vectorial y su
mdulo seala su parte escalar, la cantidad que representa. Se indica
encerrando al vector entre dos lneas: |v|. El mdulo siempre es un
valor positivo.
Por supuesto que encontramos magnitudes que no pueden ser
representadas por un vector, ejemplo: el tiempo. Las variables de
las que slo podemos indicar su cantidad se denominan magnitudes
escalares. Para entender mejor su diferencia expliquemos un ejemplo
tpico:
Diferencia entre espacio recorrido y desplazamiento: Estuvimos
hablando de posiciones (x), espacio (x) y, aunque no lo nombramos,
de desplazamiento. Pero estas tres palabras tienen distinto
significado en
fsica. Supongamos que te encuentras en una esquina, sa ser tu
posicin inicial y para facilitar las cosas desde all empezaremos a
contar por lo que xo = 0 m. Ahora caminas dos cuadras sobre la
misma manzana. El espacio recorrido ser de 200 m, ya que cada
cuadra tiene 100 m, pero el desplazamiento, la lnea recta que une
ambas posiciones, si aplicamos Pitgoras (ver figura) ser de
141,42 m. Es ms, si das la vuelta manzana, el espacio recorrido
ha de ser de 400 m. pero el desplazamiento nulo.
El desplazamiento es un vector, el espacio recorrido una
magnitud escalar, slo un nmero.
Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado (M.R.U.V)
Aproximndonos un poco ms al movimiento en el mundo real, vemos
que la velocidad no es la misma durante todo el trayecto. Si bien
su mdulo cambia, no vara de cualquier manera, sino que depende de
una tercer variable, la aceleracin.
Aceleracin:
Imaginemos que estamos viajando con una velocidad v y la
duplicamos.Su variacin ser : v = 2v v = v (1). Esta variacin nos
lleva un determinado tiempo.Ahora bien, supongamos que triplicamos
la velocidad, la variacin ser: v = 3v v = 2v (2)
Si comparamos (1) y (2) vemos que la variacin de velocidad se ha
duplicado. Qu ha ocurrido con el intervalo de tiempo?.
Evidentemente necesitamos mayor cantidad de tiempo, exactamente el
doble.
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Movimientos Rectilneos
Recapitulemos, la variacin de la velocidad aumenta al doble y el
intervalo de tiempo requerido aumenta en la misma proporcin. La
explicacin es que existe una relacin entre ambas variables, son
directamente proporcionales. Por lo tanto si las dividimos
obtendremos una constante, la razn de proporcionalidad entre ambas
es la aceleracin.
Hay que remarcar que la relacin es entre la variacin de
velocidad y el intervalo de tiempo NO se relaciona con la
velocidad.
Siendo la velocidad una magnitud vectorial y el tiempo una
magnitud escalar, cualquier operacin matemtica entre ellos dar como
resultado un vector, por lo tanto podemos deducir que la aceleracin
tambin es un vector
Unidades de la aceleracin: Aplicando la definicin de aceleracin,
variacin de la velocidad en funcin del tiempo, analizaremos sus
unidades.
Podemos medir a la velocidad en m/seg, as que tomaremos la
unidad de tiempo en segundos para poder operar matemticamente sin
problemas.
Tambin puede expresarse como .
Obtencin de la funcin Primitiva: Para hallar las ecuaciones de
movimiento (funcin primitiva, matemticamente hablando) puede
procederse mediante integrales u obtencin del rea bajo la curva.
Como muchos de ustedes pueden desconocerlos mecanismos del anlisis
matemtico, utilizaremos la segunda opcin.
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Movimientos Rectilneos
En el M.R.U.V. la velocidad vara pero no de cualquier manera,
depende de la aceleracin y esta es constante. Si miramos
detenidamente la grfica de la aceleracin en funcin del tiempo
(grfico de la aceleracin) podremos darnos cuenta que, no importa el
instante elegido, "a" tendr siempre el mismo valor.
Supongamos que la aceleracin es de 2 m/s2 cuando partimos de la
posicin 1 m. con una velocidad de 1 m/sRecordemos: xo = 1 m y vo =
1 m/s.Si observamos detenidamente la zona que queda determinada
entre la grfica de aceleracin y el eje del tiempo, indicado por los
sucesivos intervalos de tiempo desde cero (lneas punteadas), vemos
tres figuras, es decir tres rectngulos.Primer Intervalo [0, 1]
Segundo Intervalo [1, 2]
Tercero Intervalo [2, 3]
rea = base. Altura
En un rectngulo, cualquier lado puede ser base o altura. Para
facilitar clculos posteriores tomaremos al intervalo de tiempo (t)
como altura base = a ;
altura = t rea = a. t
La aceleracin determina como vara la velocidad y el rea debajo
de su grfica indica la velocidad al final de ese intervalo de
tiempo: rea = v; de esta manera tenemos: v = a . t
No olvidemos que al comienzo de este movimiento la velocidad no
era nula v = vo + a. t (Ecuacin 1) (Esta ecuacin nos permites
calcular la velocidad a cada instante, o sea la velocidad
instantnea.)
Completemos el siguiente cuadro en base a los datos siguiendo la
ecuacin 1.
a t a t a t + vo v
2 0 2 . 0 = 0
2. 0 + 1 = 0 + 1 = 1 1
2 1 2 . 1 = 2
2 . 1 + 1 = 2 + 1 = 3
3
2 2 2 . 2 = 4
2. 2 + 1 = 4 + 1 = 5 5
2 3 2 . 3 = 6
2. 3 + 1 = 6 + 1 = 7 7
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Movimientos Rectilneos
Tomemos los puntos cuyas coordenadas estn determinados por (t;
vt) (columnas en color) y llevemos a cada uno a la grfica de la
velocidad. Vemos que la velocidad al variar en funcin del tiempo
nos da una recta.
Siempre que una variable dependa de una constante dar una recta
en su grfica.
Una vez ms tomemos los intervalos de tiempo [0,1]; [0,2] y
[0,3]. Debajo de la recta quedan determinados tres trapecios.
Nuevamente t ser la altura, las bases (el trapecio tiene dos)
van a ser las velocidades. La vo (velocidad inicial) ser la base
menor mientras que vt (velocidad instantnea) ser la base mayor.
Ya habamos visto que la velocidad seala cuanto espacio se
recorre por unidad de tiempo, por lo tanto al variar la velocidad
cambia la cantidad de espacio recorrido por cada intervalo de
tiempo de igual duracin. as el rea debajo de la grfica de vt indica
la posicin del cuerpo al final del intervalo horario. Teniendo en
cuenta que partimos de la posicin 1 m. (xo = 1 m.) tenemos que:
v vo v + vo (v + vo):2
t [(v + vo) : 2] . t
[(v + vo) : 2] . t + xo
xt
1 1 1 + 1 = 2
2 : 2 = 1 0 1 . 0 = 0 0 + 1 = 1
3 1 1 + 3 = 4
4 : 2 = 2 1 2 . 1 = 2 2 + 1 = 3
5 1 1 + 5 = 6
6 : 2 = 3 2 3 . 2 = 6 6 + 1 = 7
7 1 1 + 7 = 8
8 : 2 = 4 3 4 . 3 = 12 12 + 1 = 13
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Movimientos Rectilneos
Tomemos los puntos (t, x) (columnas en color). Llevndolas a la
grfica del espacio en funcin del tiempo vemos que se obtiene una
curva, una parbola.
Siempre que una variable dependa de otra variable obtendremos
una curva como grfica.
(no es la ecuacin que comnmente se utiliza para hallar xt,
reemplacemos vt por
la ecuacin 1), tendremos as:
(operando matemticamente)
Esta ecuacin, llamada ecuacin horaria, es la ms frecuentemente
utilizada para hallar xt. De la ecuacin 1 y de la ecuacin 2, por
operaciones matemticas que quedan por tu cuenta, obtenemos una
tercera ecuacin que facilitar bastante la resolucin de problemas:
2. x. a = v 2 vo 2 (Ecuacin 3)
Utilizando las ecuaciones 1, 2 y 3 puedes resolver cualquier
problema de M.R.U.V.
Cada Libre: Presumamos que estamos en lo alto de un puente a 30
metros de altura viendo el agua pasar. Por diversin dejamos caer
una piedra y medimos el tiempo de cada con un cronmetro. Cada vez
que la soltemos cada piedra trazar un camino recto desde nuestros
dedos hasta el agua. No importa cuantas veces hagamos este simple
experimento, siempre caer de la misma manera. Evidentemente la
piedra en cada produce un movimiento rectilneo.
Ahora cabe preguntarnos lo que sucede con la velocidad. Como
soltamos la piedra podemos suponer sin temor a equivocarnos que su
velocidad inicial es nula. Cuando la velocidad inicial es cero se
dice que el cuerpo parte del reposo. Indudablemente la velocidad de
la piedra no se mantiene constante, de lo contrario debera flotar
cuando la soltamos. As que queda descartado que el movimiento de
cada sea uniforme (M.R.U.). La velocidad cambia, intuitivamente nos
damos cuenta que acelera. Con todos estos datos podemos suponer que
la cada de cualquier objeto es un movimiento rectilneo acelerado
(M.R.U.V.).
Ya no utilizaremos la denominacin "x" para las distintas
posiciones que tome el cuerpo a lo largo de su trayectoria, sino
que al ser un movimiento vertical, utilizaremos a "y". La posicin
inicial (la altura desde donde soltamos la piedra) ser designada
yo, ya que en el instante inicial del movimiento nuestro cronmetro
debe estar en cero. de esa manera el espacio recorrido por el
cuerpo al caer (los 30 metros) sern designados como y (y = 30
m.).
Aceleracin de la gravedad: Es interesante destacar que cada vez
que la piedra cae, tomando el tiempo con nuestro cronmetro, esta
tarda 2,47 segundos en tocar la superficie del agua. Para verificar
que lo observado no sea efecto del tipo de elemento que dejamos
caer, tomemos un papel y hagamos con l un bollo (bien apretado) y
dejmoslo caer. Asimismo su cada tardar 2,47 segundos. Cmo es
posible?!. Sencillamente, como ya se dijo, la trayectoria de la
cada libre es recta, movimiento rectilneo y la variacin de la
velocidad que sufren ambos cuerpos es la misma. Tanto la piedra
como el papel, arrojados
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Movimientos Rectilneos
con la misma velocidad inicial y desde la misma altura, caen
mediante un movimiento rectilneo acelerado.
Hagamos los clculos para determinar el valor de la aceleracin
con que caen:
Reemplacemos por el valor de cada dato: vo = 0 m/seg.; t = 2,47
seg. y y = 30 m.
*
No importa la masa del cuerpo ni la altura desde donde caiga,
todo objeto dejado en cada libre experimenta la misma aceleracin la
que de ahora en adelante la llamaremos aceleracin de la gravedad y
se la designa con la letra g.
La aceleracin de la gravedad, como toda aceleracin, es un
vector. La direccin de este vector es vertical, y el hecho de que
al caer un cuerpo, este se acelere, nos indica que el sentido del
vector aceleracin de la gravedades hacia "abajo".
La aceleracin de la gravedad es la misma para cualquier cuerpo,
no importa su masa, desde una misma altura y con una misma
velocidad inicial, si dejamos caer una aguja, un balde lleno de
arena o un avin, los tres caern al mismo tiempo y llegarn con la
misma velocidad. Nada mejor que la propia experiencia para
comprobar que la variacin de la velocidad y el tiempo de cada, no
dependen del peso del cuerpo sino de la aceleracin de la gravedad
(g). Cronometra el tiempo en que tardan en caer varios objetos
(goma, lpiz, etc) y saca tus propias conclusiones ...
Tiro Vertical: Al tirar una piedra hacia arriba, tenemos dos
posibilidades: que la trayectoria sea rectilnea o que no lo sea.
Del segundo caso nos ocuparemos al llegar al movimiento en dos
dimensiones, mientras tanto razonemos lo que ocurre al tirar
"verticalmente" una piedra hacia arriba.
Primeramente analicemos si el tiro vertical es un movimiento
acelerado o desacelerado.
La velocidad con que arrojamos verticalmente hacia arriba una
piedra, velocidad inicial, tiene que ser distinta de cero, sino
caera. El cuerpo va subiendo hasta que se detiene en una posicin a
la que denominaremos altura mxima (ymax). En esta posicin, en la
que se detuvo el objeto, la velocidad debe ser cero. Estamos frente
a un movimiento desacelerado.
Por comodidad, coloquemos sobre el sentido de la velocidad
inicial el signo positivo. Dicho de manera ms fcil, la velocidad
inicial ser siempre positiva, por ende su sentido ser positivo.
Todo vector que tenga su mismo sentido que la velocidad ser
positivo y aquel que vaya en sentido contrario ser negativo.
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Movimientos Rectilneos
Este movimiento es desacelerado, la velocidad y la aceleracin
tienen distinto sentido, sus signos son opuestos, concluimos
entonces que la gravedad tiene signo negativo. g = 9,8 m/seg2.
*
Es importante destacar que cuando la piedra llegue a su altura
mxima y comience a caer, el signo de su velocidad (durante la cada)
ser tambin negativo.
As pues, para el tiro vertical y la cada libre puede utilizarse:
como ecuacin
horaria.
* En los problemas, para que resulte ms fcil su resolucin,
utilizaremos como valor de la gravedad " 10 m/seg2 ".
Cmo se resuelve un problema?
Para resolver un problema siempre hay que seguir tres pasos:
1. Buscar los datos del problema y distinguir los que sirven de
los que no.
2. Buscar la incgnita, no podemos resolver ningn problema si no
tenemos bien en claro lo que se busca.
3. Aplicar las leyes y ecuaciones que concuerden con los datos
recogidos.
Ejemplo de cmo se resuelve un problema:
F Un chico deja caer piedritas desde el bacn de su casa. El
portero, que esta en la vereda, observa que una de las piedritas
tarda 0,2 seg. en pasar frente a la puerta de entrada, que tiene 2m
de altura. Con esta informacin, hallar a que altura del piso parten
las piedritas. (sugerencia: tome un sistema de referencia con el
origen en el borde superior de la puerta).
El hecho que la puerta tenga 2 m (y), la aceleracin es la
gravedad (que al caer la piedra al piso puede tomarse positiva ya
que la velocidad del cuerpo y la gravedad tienen el mismo sentido),
con un intervalo de tiempo de 0,2 seg. (t). Podemos aplicar la
ecuacin horaria para calcular la velocidad que tiene al llegar al
principio de la puerta (v1)
Para calcular la altura del edificio (desde la puerta hasta la
terraza) utilizamos la velocidad inicial (como la deja caer, parte
del reposo), la velocidad que acabamos de hallar y la gravedad.
2. g. y = v2 vo2 y = [(9 m/s)2 (0 m/s)2] : [2 . 10 m/s2] y =
4,05 m
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Movimientos Rectilneos
Si sumamos la longitud de la puerta y la puerta 2 m + 4,05 m =
6,05 m
F El can de un fusil mide un metro de largo. Si se dispara el
arma verticalmente hacia arriba, el proyectil llega a una altura
mxima de 845 m desde la boca del fusil. Si se supone que el
proyectil dentro del can se movi con M. R. U. V., la velocidad de
salida del mismo fue (en m/seg.): a) 130 b) 845 c) 65 d) 65 e) 169
f) otro valor.
Solucin: lo fundamental es no dejarse confundir con los datos
que estn de ms. Los datos concernientes al fusil no nos interesa,
lo importante es que cuando la bala sale disparada en un tiro
vertical.
Datos: y = 845 m, g (gravedad), vf = 0m/seg.Incgnita: vo
Recordemos que en todo problema de tiro vertical y cada libre
cuando se llega a la altura mxima la velocidad, en ese punto, es
cero. Nos conviene, entonces, resolver el problema tomando en
cuenta slo el ascenso de la bala. La ecuacin que nos corresponde
usar por los datos que tenemos es: 2 g y = v2 vo2.
Reemplacemos por los valores. 2 (-10) 845 = 0 vo2 vo = 130.
La opcin correcta es la a).
Anexo:
Obtencin de la ecuaciones mediante integrales:
La aceleracin es un vector que depende de la variacin de la
velocidad en funcin del tiempo. Si el intervalo de tiempo tiende a
cero podemos hallar a la aceleracin instantnea, para ello
apliquemos el concepto de derivada.
Para hallar la ecuacin de la velocidad en funcin del tiempo
debemos aplicar integrales definidas, el lmite de la integracin
ser: t y to para el tiempo, v y vo para la velocidad.
v = a (t to) + vo (1)
La velocidad es otro vector que depende de la variacin del
espacio en funcin del tiempo. Cuando el intervalo tiende a cero
obtenemos la velocidad instantnea.
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Movimientos Rectilneos
Para hallar la ecuacin del espacio en funcin del tiempo, llamada
ecuacin horaria, debemos aplicar nuevamente integrales definidas.
El lmite de la integracin ser: t y to para el tiempo, x y xo para
las distintas posiciones.
Reemplacemos v por la ecuacin (1), donde para facilitar la
operacin matemtica supondremos que to = 0.
(Ecuacin horaria)
Octubre 2002
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Movimiento en Dos Dimensiones
Movimiento en dos dimensiones Autora: Silvia Sokolovsky
Aproximndonos un poco ms a los movimientos reales que ocurren
cotidianamente, comenzaremos a estudiar los que no son rectilneos.
En este caso no slo se debe tener en cuenta el desplazamiento
horizontal (eje x) el vertical (eje y) sino ambos a la vez. Como ya
se haba dicho, la velocidad es la mejor
representante del movimiento, por eso analizaremos que le sucede
en este caso. Toda velocidad que se mueva horizontalmente recibir
el nombre de vx
, mientras aquella que se mueva verticalmente ser llamada
vy.
Recordando lo que aprendiste en la escuela, si tenemos dos
vectores podemos sumarlos y hallar un tercero llamado resultante.
Para ello utilizaremos el mtodo del paralelogramo, en el cual
trazamos dos segmentos paralelos a la direccin de cada vector, por
los extremos de los mismos. Uniendo la interseccin de los vectores
y de los segmentos paralelos (puntos en color) obtendremos un
vector velocidad (resultante) que indica la direccin y sentido del
desplazamiento del objeto en dicho punto y en ese preciso
instante.
Por supuesto que si cambia vx vy , la direccin, sentido y mdulo
de V resultante no ser el mismo. Por lo tanto, todo movimiento en
dos dimensiones donde una de las velocidades vare no podr ser
rectilneo.
Tiro Oblicuo: Todo cuerpo que se halle suspendido en el aire, al
soltarlo, caer libremente en lnea recta al suelo, pues sobre l acta
la fuerza de gravedad acelerndolo. Si en ese preciso momento le
pegamos con direccin horizontal (figura) este cuerpo no se mover ni
horizontalmente ni verticalmente, sino que tomar una direccin
intermedia que podemos hallar aplicando el mtodo del
paralelogramo por que los dos desplazamientos (horizontal y
vertical) son vectores.
El cuerpo que se encuentra sometido a la accin de dos vectores
cae al mismo tiempo que se desplaza horizontalmente. El problema es
que a medida que cae su velocidad vertical aumenta a cada instante
(M.R.U.
V.) pero su velocidad horizontal, al no verse afectada por ningn
rozamiento, resistencia del aire, ni siquiera por la gravedad, no
vara en magnitud (M.R.U.)
Si tomamos dos posiciones cualesquiera durante una cada (no
vertical) podemos observar que la velocidad resultante en ambos
casos presenta distinta magnitud y direccin. Deja caer el capuchn
de tu birome o una goma y pgale horizontalmente para ver que la
trayectoria no es recta, siempre describir la misma trayectoria
curva, desacelerando cuando sube y acelerando al bajar.
Este tipo de tiro, llamado tiro oblicuo, es mucho ms complicado
que los movimientos que vimos
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Movimiento en Dos Dimensiones
anteriormente, pero puede ser descompuesto en un movimiento
vertical (acelerado o desacelerado) y un movimiento horizontal
rectilneo uniforme (M.R.U.), lo que puede facilitarnos su
estudio.
Velocidad Tangencial : En todo movimiento no rectilneo, la vm
(velocidad media) puede interpretarse geomtricamente como la medida
de inclinacin de la recta determinada por dos puntos cualesquiera
de la
trayectoria. Su valor depende del intervalo de tiempo (t)
escogido, de manera que cuanto mayor sea la inclinacin menor ser t.
Observando la figura vemos dos intervalos de tiempo, uno menor que
el otro. La velocidad media del ms chico est ms inclinada, su ngulo
es mayor, por lo tanto su mdulo tambin es mayor.
La velocidad aumenta su inclinacin cuando t se hace cada vez ms
chico (tiende a cero) pero la velocidad no puede dejar de tocar la
curva, entonces, cuando t sea tan pequeo como para suponer que nos
encontramos en un instante la velocidad ser tangente a la curva.
Una recta tangente es aquella que corta en un solo punto a una
curva. Esta velocidad, que no es otra que la velocidad instantnea,
siempre ser tangente en un punto a la trayectoria, por eso suele
llamrsela velocidad tangencial.
En el caso del movimiento rectilneo, la recta tangente a una
recta posee su misma direccin; por eso las velocidades son
colineales (nica direccin).
Vector Posicin : Cualquier objeto cuya posicin pueda describirse
localizando un solo punto puede denominarse partcula; no interesa
su tamao ni estructura interna. Esta partcula puede moverse dentro
de nuestro universo fsico en una, dos o tres dimensiones si se
desplaza sobre una recta, un plano o en el espacio. Podemos
describir la posicin de una partcula confinada a un plano mediante
sus coordenadas cartesianas (rx ; ry), o mediante un vector "r"
cuyo origen est en el centro de coordenadas. Pero puede
descomponerse (desdoblarse) en dos componentes, cada una sobre un
eje.
Llamaremos a la componente sobre las abscisas y a la componente
sobre las ordenadas. El vector posicin se relaciona con sus
componentes a travs de las funciones trigonomtricas del ngulo.
De esa manera tenemos:
Si operamos matemticamente resolviendo estas cuentas veremos que
el mdulo de cada componente es igual al valor de la coordenada
correspondiente al eje donde se encuentra:
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Movimiento en Dos Dimensiones
Un vector puede nombrarse indicando el mdulo de sus componentes
sealando sobre que eje estas se hallan. Para eso se utiliza a los
versores. El versor o vector unitario, es un vector cuyo mdulo
siempre es uno. Sobre el eje x encontramos al versor "i" y sobre el
eje y hallaremos al versor "j". Podemos describir al vector posicin
as:
En la figura a se hallan marcadas dos posiciones (P1 y P2) de un
objeto que cae en tiro oblicuo. Los vectores posicin de cada
punto
tienen sus respectivas coordenadas cartesianas: ; .
r es el desplazamiento desde P1 hasta P2. Hallamos su mdulo
simplemente restando los dos vectores:
Como ya determinamos el desplazamiento, calculemos la velocidad
media:
(distribuimos t.)
Ecuacin de la Trayectoria : La trayectoria en este movimiento
depende tanto del desplazamiento vertical como del horizontal. En
un momento dado podemos encontrar un punto en el cual hayamos
recorrido distancia x y hayamos alcanzado cierta altura y
empleando, por supuesto, el mismo intervalo de tiempo t.
As que utilizamos la ecuacin " x = vx . t " despejamos t
tendremos
Si reemplazamos en la ecuacin horaria:
operando matemticamente llegamos a:
Elementos para toma en cuenta al resolver un ejercicio:
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Movimiento en Dos Dimensiones
Ya habamos aclarado que un cuerpo arrojado en tiro oblicuo
presenta una trayectoria parablica. La parbola presenta un eje que
divide a la grfica en dos partes iguales (figura). Fsicamente, esto
implica que el tiempo empleado en el primer tramo (antes del eje)
ser igual al segundo. Adems, dos posiciones distintas x1 y x2
pueden tener la misma altura.
Un cuerpo desplazndose en tiro oblicuo se mueve en dos
dimensiones, una horizontal y otra vertical. Sobre el
desplazamiento horizontal no
acta ninguna fuerza por cuanto este movimiento es uniforme.
As que x = vx . t
La cosa cambia cuando consideramos el desplazamiento vertical,
aqu acta la fuerza de gravedad produciendo aceleracin (g), vector
cuya direccin perpendicular al suelo siempre apunta hacia abajo. Si
comparamos vemos que son colineales pero de sentidos opuestos. El
destino de este cuerpo es detenerse, pero est en el aire, entonces
cuando vy sea cero, l empezar a caer.
"En la altura mxima que un cuerpo puede alcanzar, en estas
condiciones, la componente vertical de la velocidad, es nula".
Ejercicios Explicados:
F Un can dispara una bala con una velocidad de 500 m/s con un
ngulo respecto al suelo de 30. Indica a que distancia puede
hallarse el blanco si la bala impacta a una altura de 5 m.
Solucin: " Un can dispara ... ", la velocidad de 500 m/seg.
corresponde a la velocidad inicial. Como el ngulo de disparo es de
30, suponemos (y con razn) que vo se halla inclinada 30. El disparo
se realiza desde el suelo, por lo tanto la posicin inicial en ambos
desplazamientos (horizontal y vertical) ser cero. La componente
vertical de la velocidad tiene sentido opuesto al de la gravedad,
entonces ser negativa.
Datos: vo = 500 m/s, = 30, y = 5 m, g
Incgnita: x = ?
En un tiro oblicuo puede hallarse al objeto ubicado a la misma
altura en dos instantes diferentes, uno cuando sube otro cuando
baja. Es lcito imaginar que las distancias recorridas en ambos
intervalos no sern las mismas. Encontramos que a una misma altura
el cuerpo se halla en dos posiciones horizontales diferentes x1
cuando sube y x2 cuando baja.
Nos conviene utilizar por lo tanto la ecuacin de la
trayectoria:
Suplantamos los datos correspondientes y despejamos x
(distancia, o sea el alcance).
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Movimiento en Dos Dimensiones
Resolvemos e igualamos a cero: 2,7.10 5 x 2 + tg 30 x 5 = 0
Aplicamos ecuacin cuadrtica:
x1 = 8,66 m. y x2 = 21374,7 m = 21,64 Km.
F Jaimito dispara una piedra desde el nivel del piso, con su
super honda, logrando que salga despedida con una velocidad 15 m/s
i + 20 m/s j, de manera que hace impacto sobre un loro malhablado
posado en la rama de un rbol que est a 45 m de distancia del punto
de lanzamiento a) Calcular a que altura estaba posado el loro b)
Determinar el vector velocidad de la piedra en el instante de
pegarle al loro, y, sobre un esquema de la trayectoria, representar
los vectores velocidad y aceleracin de la piedra en dicho
instante.
Solucin: Como la velocidad inicial est expresada vectorialmente
= 15 m/s i + 20 m/s j. podemos afirmar que: vx = 15 m/s y vy = 20
m/s. Hay que tener en cuenta que a vy tiene signo positivo, opuesto
al de la gravedad.
a) Calculemos la altura en que se encuentra el loro. Para ello
indiquemos los datos que nos da el problema: Datos: x = 45 m ; vx =
15 m/s ; vy = 20 m/s ; g = 10 m/s
2
En el problema x se relaciona con y , por lo tanto vamos a
utilizar la ecuacin de la trayectoria.
Como no tenemos al ngulo , busqumoslo.
Ahora pongamos los datos en esta ecuacin.
b) Para poder determinar el vector velocidad de la piedra en el
momento del impacto necesitamos hallar vx y vy en ese preciso
instante. . vx no cambia pues horizontalmente tenemos un M.R.U.
. Ahora, vy est sometida a la accin de la gravedad, podemos
calcular su mdulo:
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Movimiento en Dos Dimensiones
Segn la piedra suba o baje tendremos un signo "+" o "" para.
Como no sabemos si la piedra est subiendo o bajando hallemos las
dos posiciones horizontales (x) para la altura que est el loro (15
m)
Como se encontraba a los 45 m, estaba bajando, .
Movimiento Circular Uniforme (MCU):
Hemos visto que la aceleracin se produce cuando se manifiesta un
cambio de velocidad. En el tiro oblicuo la magnitud de la velocidad
vara tanto en mdulo como en direccin a medida que el cuerpo avanza.
En el movimiento circular uniforme la velocidad tambin cambia de
direccin pero su mdulo permanece constante.
Observemos la trayectoria circular de la figura, tenemos
posiciones con sus respectivos vectores en los instantes t1 y t2
(ambos distintos). Adems encontramos las correspondientes
velocidades tangenciales a la circunferencia en dichos puntos a las
que llamaremos v1 y v2. La variacin de la velocidad en el intervalo
de tiempo es la diferencia entre los dos vectores velocidad. La
variacin de velocidad respecto al tiempo sigue
dndonos valor de la aceleracin:
Si comparamos el tringulo formado por v1, v2 y v , y con el
tringulo compuesto por r1, r2 y r, nos damos cuenta que son
semejantes, ya que ambos
tringulos son issceles (radios y velocidades iguales; adems de
tener el mismo ngulo). As que hallamos
una proporcionalidad entre los lados de estas dos figuras:
(por MRU reemplazo r por v . t)
La aceleracin es un vector que, cuando t 0, tiene una direccin
perpendicular a la velocidad tangencial (la misma que la del radio)
apuntando siempre al centro del crculo. Es por eso que se la llama
aceleracin centrpeta.
Perodo y frecuencia : El sistema de medicin de ngulos que
solemos utilizar es el sexagesimal, divide a esta figura en seis
partes de 60 cada una, obteniendo un giro completo de 360. Cuando
se quiso utilizar este
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Movimiento en Dos Dimensiones
sistema para poder calcular el camino desarrollado por alguna
partcula en trayectoria circular se encontraron que este sistema no
los ayudaba pues, matemticamente, no est relacionado con el arco
que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "invent" otro
sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ngulo se
obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia hecha
por la trayectoria de la partcula.
En este sistema un ngulo llano (al dividir el arco por el radio)
mide 3,14 (que es el valor aproximado de "pi"). De esa manera un
giro completo (que es lo mismo que dos ngulos llanos) mide 2pi.
Este movimiento circular es peridico y constante, por lo tanto
una partcula describe, en estas circunstancias, las mismas
circunferencias en igual intervalo de tiempo. Este intervalo de
tiempo recibe el nombre de perodo y se representa con la letra
T.
Cuando una partcula gira en un mismo intervalo de tiempo, hace
la misma cantidad de giros por cada unidad de tiempo. Estamos
hablando de la frecuencia ( f ), de la cantidad de vueltas que da
un objeto por cada segundo, cada minuto, cada hora, por cada unidad
de tiempo.
La frecuencia y el perodo son inversamente proporcionales : T
=
Si el perodo est medido en segundos, la unidad de medida de la
frecuencia ser el Hertz (Hz) que es lo mismo que seg.-1 . Si el
perodo est medido en minutos, la unidad de medida de la frecuencia
ser r. p.m. (revoluciones por minuto)
Velocidad Angular : Si en vez de fijarnos en el punto que gira
analizamos el vector posicin, observaremos que este "barre" un rea
en funcin del tiempo. Ese rea barrida es un ngulo. As que podemos
medir este movimiento mediante el ngulo que describen estos
vectores durante el desplazamiento. Por lo tanto, existe una
velocidad angular () que establece la variacin del ngulo (desde una
posicin inicial) en funcin del tiempo.
= / t. Si medimos los ngulos en sistema circular (radianes) el
ngulo que se forma al dar una vuelta
(un giro) es 2pi, as pues
Donde T es el perodo, tiempo que tarda en dar una vuelta.
Ejercicios Resueltos:
Despreciando cualquier influencia externa, si dejamos un globo
suelto a 5000 m de altura Qu distancia recorrer en 5 hs.? Radio
terrestre 6357 km.
Solucin: evidentemente si dejamos un globo suelto y lo libramos
de toda influencia externa (incluso del viento y la atraccin
terrestre) se quedar all sin moverse, pero la tierra (que sigue
movindose) se desplazar en ese intervalo de tiempo. Lo que tenemos
que saber es cuanto se "correr" esa posicin de nuestro planeta para
que cualquier persona ubicada all perciba el movimiento aparente
del globo. El perodo de rotacin terrestre es de 24 hs y el radio de
6357 km sumndole a altura su radio de giro es de 6362 Km., podemos
calcular la velocidad tangencial con que rota el planeta.
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Movimiento en Dos Dimensiones
El tiempo transcurrido es 5 hs. as que la distancia recorrida
es:
x = 1665,57 km/h. 5h = 8327,84 km
F En un movimiento circular uniforme, con centro en el origen de
coordenadas, se observa que para cierto instante la posicin es r =
8 m i + 6 m j mientras que la velocidad angular tiene un valor de 2
seg-1. Calcular y representar sobre un esquema de la trayectoria :
a) el vector velocidad para ese instante, b) el vector aceleracin
en el mismo instante.
Como el problema lo pide, dibujemos la situacin indicando con un
color la velocidad (siempre tangente) y de otro la aceleracin
centrpeta.
Datos: = 2 seg-1; r = 8 m i + 6 m j
Incgnita: v = ?; ac = ?
a) Para hallar el vector velocidad basta con utilizar: v = . r
(reemplacemos por los datos)
v = 2 seg 1.( 8m i + 6m j ), distribuyamos la velocidad angular
y al operar matemticamente tendremos: v = 16 m/s i + 12 m/s j
b) Para encontrar la aceleracin procedemos del mismo modo la
ecuacin de la aceleracin, reemplazamos los datos y resolvemos: ac =
2.r = (2 seg 1)2. (8m i + 6m j) = 32 m/seg2 i + 24 m/seg2 j.
Octubre 2002
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
Dinmica Autora: Silvia Sokolovsky
Hasta este momento hemos descrito al movimiento de una partcula
sin preguntarnos que lo causa. Este problema fue un tema central
para la denominada Filosofa Natural que sostena la necesaria
influencia externa (una fuerza) para mantener un cuerpo en
movimiento. Cuando esta fuerza se acababa crean que el cuerpo se
detena volviendo a lo que consideraban su estado natural. De esta
suposicin se desprenda que un cuerpo ms pesado (mayor fuerza
interior) deba caer ms de prisa que un cuerpo liviano. Fue Galileo
Galilei (1564 1642) el primero en darse cuenta de lo falso de esta
hiptesis. Desde lo alto de la Torre de Pisa dej caer, desde la
misma altura, dos esferas de igual tamao pero de diferente peso,
ambas cayeron el mismo tiempo. (Si no lo crees toma dos objetos de
diferente peso y djalos caer desde una misma altura)
Galileo estudi las causas del movimiento pero fue Newton (1641
1727) quin les dio forma y las compil en tres principios a los que
hoy llamamos principios de Newton.
Principios de Newton
Si para mantener un cuerpo en movimiento no hace falta una
fuerza, entonces, qu se necesita?. La respuesta es: nada.
Si mueves el pi sobre el piso vas a sentir como "algo" se opone
a ese deslizamiento. Si el piso est encerado ese "algo" disminuye
en intensidad, hasta podramos imaginar una superficie tan encerada
que esa resistencia desaparecera por completo. En esta situacin,
luego de impulsarnos, nada nos detendra, seguiramos a velocidad
constante y en lnea recta.
Hagamos un pequeo experimento.
Toma un papel, un lpiz y colcalos como muestra la figura. Tira
fuerte del papel. Por qu no se mueve el lpiz del lugar?. Piensa que
ests haciendo fuerza sobre el papel, al lpiz no lo tocas, Por qu
debera moverse ?
Si no aplicamos una fuerza exterior a un cuerpo este permanece
quieto o movindose a velocidad constante y en lnea recta. (M. R.
U.)
Acabamos de enunciar el primer principio de Newton que se llama
principio de inercia. Es a causa de este principio que al arrancar
el colectivo sientes ese empujn hacia atrs.
Sigamos analizando el sistema papel - lpiz.
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
Vuelve a armar el dispositivo. Mueve el papel lentamente; esta
vez el lpiz se mueve tambin. A qu se debe este comportamiento?. Si
tiras fuerte del papel el lpiz se queda en un mismo lugar, pero si
tiras despacio el til de escritura acompaa al desplazamiento.
La clave de lo que sucede est en la fuerza que realizamos para
sacar al papel. Tomemos un libro y coloqumoslo sobre el papel y
repitamos la experiencia. Si tiramos con fuerza del papel el libro
no se mueve, si tiramos despacio se mueve con l. Si colocamos
varios libros sucesivamente sobre el papel llegar el momento en
que, tirando suavemente de l, no podamos mover el sistema. Existe
una interaccin entre la superficie de contacto del papel y la de
los libros, existe una fuerza que se opone a este movimiento, esta
fuerza se denomina friccin.
La friccin es la responsable que un cuerpo que est en movimiento
sobre el suelo se detenga.
" Ya sea para arrancar, detener, acelerar o desacelerar una
partcula siempre debemos aplicar una fuerza exterior a l ".
La fuerza y la aceleracin son dos magnitudes vectoriales
directamente proporcionales, F ~ a. Matemticamente se necesita una
magnitud constante para establecer una igualdad, fsicamente esa
constante es la masa del cuerpo: F = m . a
Por supuesto que no siempre que apliquemos una fuerza podremos
mover un cuerpo, si no trata de mover una pared . . .
Hagamos nuevamente un pequeo experimento.
Saluda a la persona que tengas al lado dndole la mano; el
sistema mano mano no se mueve en direccin derecha o izquierda, por
que en l intervienen dos fuerzas, una de cada mano. Estas fuerzas
tienen la misma direccin, la misma intensidad (mdulo) pero sus
sentidos son opuestos.
Tambin vemos este par de fuerzas (del mismo mdulo, igual
direccin y sentidos opuestos) al aplaudir.
Nuestras manos se mueven en sentidos opuestos, chocan. En el
momento del choque, cada mano hace fuerza sobre la otra. La
superficie de la piel "reacciona" a esa fuerza con otra de igual
intensidad, igual direccin y sentido opuesto. A una de ellas se la
denomina accin a la otra reaccin.
Otro ejemplo, cuando estamos parados, a nuestro peso (accin) se
opone la fuerza del piso que nos sostiene (reaccin), de otro modo
se rompera y caeramos.
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
Resumiendo, siempre tenemos dos opciones: podemos o no aplicar
una fuerza. Si no la aplicamos una fuerza exterior estamos frente
al principio de inercia. Si la aplicamos una fuerza exterior,
tambin tenemos dos posibilidades: el cuerpo puede moverse o
quedarse quieto. Si se mueve, estamos frente al segundo principio
de Newton, el principio de masa. En caso de que no se mueva estamos
frente al tercer principio de Newton, el principio de accin y
reaccin.
Al resolver un problema lo primero que debemos fijarnos es que
principio se cumple.
Peso y masa: El peso de un cuerpo no es otra cosa que la fuerza
de atraccin gravitacional ejercida por la Tierra; magnitud
vectorial cuya direccin siempre es perpendicular al suelo y su
sentido apunta hacia l. Si dejamos un cuerpo en el aire, el peso lo
har caer y la aceleracin que experimenta es la gravedad, lo que
implica que debemos aplicar el segundo principio de Newton para
poder calcular su magnitud.
La fuerza ejercida es el peso ( P) que suplantar a F en la
frmula, mientras que la aceleracin g har lo correspondiente con
a.
Entonces en vez de F = m . a tendremos P = m . g
La masa se mide en kilogramos y la fuerza tambin, pero aunque la
unidad de cada magnitud se escuche parecido resultan muy diferentes
una de otra, no debemos confundirlas.
Un kilo de masa (1 Kg.) pesa en nuestro planeta un kilo, pero en
el espacio su peso se reduce a medida que se aleja de la superficie
de la Tierra. El peso de un cuerpo depende de la distancia que se
encuentre de este planeta, de su masa y la masa terrestre, como lo
expresa Newton con su famosa ley de atraccin gravitacional
universal
En esta ecuacin m y m' representan a las masas de los cuerpos, d
a la distancia en que se encuentran y F a la fuerza de atraccin (el
peso en nuestro caso).
Si nuestro planeta variara en su cantidad de masa nosotros
variaramos en nuestro peso, de igual manera al aumentar o disminuir
nuestra masa corporal aumentamos o disminuimos de peso.
Para diferenciar el kilogramo masa del kilogramo fuerza se lleg
a un acuerdo, se escribe Kg. cuando se habla de masa y Kgr. al
referirnos al kilogramo fuerza.
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
Cunto pesa 1 Kg.?
Utilicemos el principio de masa con el valor de la aceleracin de
la gravedad 10 m/seg.2
P = m . g = 1 Kg. 10 m/seg 2 = 10 Kg. m. seg.- 1 N (Newton) (es
como se llama a esta unidad de fuerza.)
El sistema de medicin que utiliza al Newton como unidad de
fuerza se denomina M.K.S. (metros, kilogramos, segundos)
De esa manera queda establecido que 1Kgr. = 10 N
Fuerza: Todos tenemos una nocin intuitiva de fuerza. Sabemos que
para sostener un cuerpo debemos hacer un esfuerzo, al que llamamos
"fuerza" y admitimos que esa fuerza tiene por objetivo equilibrar
la que ejerce el cuerpo como consecuencia de su peso.
Ahora extiende tu brazo y presiona sobre la pared ms cercana;
hacer fuerza con el brazo extendido nos permite ver los elementos
que encontramos dentro de las fuerzas (por supuesto que estos
atributos son imaginarios). Con un color sealamos la recta a la que
pertenece la fuerza que hacen los brazos de este hombre (La recta
es la direccin de la fuerza que ejerce el hombre), la flecha indica
el sentido (hacia donde hace la fuerza). En el lenguaje cotidiano
direccin y sentido son sinnimos pero la fsica tiene sus propios
cdigos y aqu estos dos trminos son muy distintos.
Si pegamos a un objeto delicadamente hacemos menos fuerza que si
le pegamos con rabia, la cantidad de una fuerza vara. El mdulo
indica solamente la cantidad de fuerza que se hace sin importar el
sentido que ella tenga.
Entonces, qu elementos encontramos en una fuerza?
"Direccin, sentido y mdulo."Casualmente hay un elemento
matemtico que tiene esos mismos elementos, es el " vector ".Vemos
la relacin existente entre la matemtica y la fsica.
Hablemos de las fuerzas colineales: llevan ese nombre las
fuerzas que poseen igual direccin pero
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
no necesariamente el mismo sentido.
Deja en la mesa la birome y con el dedo ndice empjala desde un
extremo, vas a ver que se mueve. Ahora si la empujas con el dedo
ndice de cada mano sobre el mismo extremo. Cada dedos hace fuerza
con igual direccin y igual sentido, resultando, de ambos, una
fuerza mayor que antes. De esa manera podemos indicar que: "las
fuerzas de igual sentido se suman"
Coloca los dos dedos ndices en cada extremo y haz fuerza. La
fuerza resultante en este caso es menor que la hecha por cada dedo.
Si comparemos la direccin de cada fuerza, siguen siendo la misma ,
pero sus sentidos son opuestos. De esa manera podemos indicar que:
" las fuerzas de sentidos opuestos se restan "
Aqu necesitamos destacar un principio importantsimo en fsica
"los signos indican sentidos" .
As que si dos fuerzas van a la izquierda podramos decir que son
negativas y si van a la derecha, diremos que son positivas.
(Atencin, la eleccin positiva o negativa de los sentidos es
arbitraria)
En nuestra vida cotidiana las fuerzas pueden ser colineales,
paralelas o secantes (las que se cortan en un punto). Como son
fuerzas, pueden ser representadas por vectores.
Hay varias formas de hallar la resultante, veamos la forma
grfica:
Mtodo del Paralelogramo: Qu caractersticas tiene un
paralelogramo? Sus lados opuestos son paralelos y de igual
longitud.
Para hallar la resultante sigue los pasos siguientes:
1.- Traza las rectas paralelas a cada fuerza, por sus extremos
(con lneas punteadas )
2.- Une con una lnea el punto de interseccin de las paralelas y
el punto de origen de las fuerzas. (Esa es la resultante, no
olvidar que es una fuerza por consiguiente un vector)
3.- Calcula el valor de la resultante.
Mtodo Poligonal: Deriva del mtodo anterior, pero es ms fcil para
trabajar con varias fuerzas.
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
Para hallar la resultante sigue los pasos siguientes:
1.- Traza la rectas paralelas a F 2 desde el extremo de F 1 (con
lneas punteadas)
2.- Toma la medida de esa fuerza y desde su extremo (flecha del
vector) traza la siguiente
3.- Un con una lnea el extremo de la ltima fuerza con el punto
de origen de las fuerzas. (Esa es la resultante, no olvidar que es
una fuerza por consiguiente un vector)
4.- Calcula el valor de la resultante.
Si hay ms de dos fuerzas se traza una fuerza detrs de la otra
(ojo con la direccin de cada una); cuando se dibuj la ltima fuerza
se traza la resultante desde el punto de origen de las fuerzas
hasta el extremo de la ltima fuerza.
Mtodo Analtico: (sumatoria de fuerzas)
En este preciso instante existen fuerzas actuando sobre tu
cuerpo y no te das cuenta. Si intentas saltar la fuerza de gravedad
va obligar a volver al piso. No hay manera de escapar a su
influencia, al menor en cualquier punto de la superficie de nuestro
planeta. Toma una birome (cualquier objeto sirve), levntala con la
mano. Si sueltas la birome caer sobre la mesa (o alguna superficie
horizontal). El peso es el responsable de su cada pero por qu se
detuvo? qu la detuvo?. Al analizar los principios de dinmica vimos
que lo nico que puede acelerar o detener un cuerpo es una fuerza
externa al sistema. Por lo que debemos suponer que la mesa "hizo
fuerza" para detener la cada de la birome. Los slidos tienen la
capacidad de "hacer fuerza"!.
Hagamos un simple experimento, para ello necesitamos tres
monedas (pueden ser fichas). Pongamos un moneda sobre la mesa bajo
nuestro dedo ndice,
asegurndonos que no se pueda mover. Coloquemos otra moneda a su
lado de manera que estn en contacto. La tercera moneda sala para
golpear, de costado, a la que est sujeta a tu dedo. Su compaera
saldr disparada alejndose de tu ndice. Si le pegas a la moneda
que tienes en tu dedo, desde arriba, no sucede nada.
Por qu si pegas de costado la moneda se mueve y si pegas desde
arriba no? ...
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
Siempre que intervengan fuerzas en un sistema (sobre un cuerpo o
no) necesitaremos aplicar los principios de dinmica.
Si aplicamos una fuerza de costado (cuando la moneda choca la
que tu sostienes), la moneda que est bajo tu dedo no se mover
debido a la accin de fuerza de rozamiento que hay entre la moneda;
tu dedo y la superficie de la mesa (hay una fuerza de rozamiento en
cada cara de la moneda) este fenmeno es explicado por el principio
de accin y reaccin. Pero la otra moneda, la que est libre puede
moverse pues no hay fuerza que se oponga (el rozamiento entre la
moneda y la superficie de la mesa no es suficiente).
Es importante destacar que por ms fuerte que apretemos el dedo
contra la moneda, sta no se va a mover ( principio de accin y
reaccin ); debe existir una fuerza de la misma direccin, mismo
mdulo
que la suma de la fuerza de tu dedo y el peso de la moneda, pero
sentido contrario. sta fuerza siempre tendr direccin perpendicular
al suelo. Una recta perpendicular a otra se denomina "normal", es
por eso que a esta fuerza se la denomina "fuerza normal".
Fuerza de rozamiento: La fuerza de rozamiento, tambin llamada
friccin, surge de la relacin entre la naturaleza de la superficie
(del piso para poner un ejemplo) y la reaccin de esa superficie al
peso ( a la proyeccin del peso si es un plano inclinado).
Debemos hacer una distincin entre la fuerza de rozamiento de un
cuerpo esttico y la friccin de un cuerpo en movimiento. La fuerza
de rozamiento esttica (cuerpo quieto) es mayor que la que acta
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
sobre un cuerpo en movimiento. Se necesitan ms personas para
empujar un auto parado que para llevarlo una vez que arranc.
Matemticamente la fuerza de rozamiento y la reaccin del piso son
directamente proporcionales, para establecer una igualdad se
necesita una constante, el valor constante de la proporcin est
determinado por el coeficiente de rozamiento (). Por supuesto que
el coeficiente esttico (e) es mayor, numricamente, que el
coeficiente dinmico (d). e > d .
F r = . N(Se denomina normal (N) a la reaccin del piso a todas
las fuerzas que actan sobre esa superficie)
Cantidad de Movimiento: Al aplicarse una fuerza es evidente que
la velocidad de un cuerpo cambia, cambia "la cantidad de
movimiento" de ese cuerpo, y la cantidad de movimiento puede
medirse fsicamente.
Tenemos un cuerpo que tiene una masa m, (valor escalar) el que
adquiere una velocidad determinada al aplicrsele una fuerza
exterior. La masa y la velocidad resultan ser inversamente
proporcionales ya que, a igual magnitud de fuerza, si la masa
aumenta al doble su velocidad se reducir a la mitad. Expresado de
una manera ms sencilla, si empujamos al mouse adquirir mayor
velocidad que si empujamos, con la misma cantidad de fuerza, a la
CPU.
Al ser inversamente proporcionales, la masa y la velocidad se
multiplican para obtener un valor constante. La velocidad es un
vector mientras que la masa una magnitud escalar, matemticamente al
multiplicar un vector por un escalar obtendremos otro vector.
Fsicamente ese vector producto entre la masa y la velocidad se
denomina cantidad de movimiento y se lo designa con la letra p:
La segunda ley de Newton fue expresada en base a la variacin de
la cantidad de movimiento en funcin del tiempo, es decir que si se
aplica una fuerza exterior a un cuerpo este experimentar una
variacin de cantidad de movimiento a medida que transcurre el
tiempo.
F = p / t (como p = m . v) F = (m . v) / t (m es una constante,
por lo tanto slo la velocidad puede variar)
F = m . v / t (recordando que a = v / t ) tenemos que: F = m .
a
La variacin de la cantidad de movimiento se conoce con el nombre
de mpetu, que se designa con la letra I.
"I = p"
De esa manera tenemos que F = / t (despejando) I = F . t.
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
Colisin (Choque): Imaginemos a dos machos cabros con sus
imponentes cornamentas, enfrentados en un combate por un territorio
repleto de hembras. Los dos magnficos animales se levantan sobre
sus patas traseras "impulsndose" para descender a topetazos sobre
su oponente. Este violento encuentro ilustra perfectamente la
situacin de una colisin donde actan fuerzas externas relativamente
grandes durante un tiempo estimativamente corto.
Como podemos determinar la posicin de cada animal durante todo
el proceso, podemos tratarlos fsicamente como si fueran
partculas.
Si bien la idea bsica de una colisin es que, en movimiento o
quietas, dos o ms partculas (o por lo menos una de ellas) cambian
bruscamente su direccin, lo que es muy evidente es el cambio de
velocidad que experimentan las partculas involucradas antes y
despus del choque..
Durante la colisin la fuerza vara de una manera tan compleja que
resulta muy complicada medirla. Estas fuerzas, denominadas
impulsivas, actan durante un brevsimo instante.
Lo que hay que estacar es que la cantidad de movimiento se
mantiene constante.
La cantidad de movimiento, como se ha visto, es el producto
entre la masa y la velocidad. As que tendremos la cantidad de
movimiento de cada partcula antes y despus del choque, la cantidad
total de movimiento (la suma de las cantidades de movimientos de
ambos cuerpos) sern iguales antes y despus de chocar.
Si ambas partculas quedaran "adheridas" en un solo cuerpo en
movimiento, el choque se denominar plstico. Pero si rebotaran
separndose, el choque se designar con el nombre de elstico.
Choque plstico: ma .va + mb vb = v (ma + mb)
Choque elstico: ma .va + mb vb = ma .va + mb vb
Ejercicio Explicado:
F Una bala de 0,05 kg. masa se desplaza con una velocidad de 350
m/seg. cuando impacta sobre un bloque de madera, de 0,36 Kg. de
masa, incrustndose en l. a) Hallar la velocidad con que se mueve el
sistema luego del choque.
Solucin: Al impactar la bala queda incrustada dentro del bloque
de madera, por lo cual podemos suponer despus del impacto ambos
cuerpos se desplazan juntos. Estamos frente a un choque plstico, en
el cual, antes del choque, la bala se encuentra movindose mientras
que el bloque est quieto (velocidad inicial cero).
Datos: v bala = 350 m/seg, m bala = 0,05 kg, v madera = 0
m/seg., m madera = 0,36 Kg.
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
Incgnita: v.
= ?. (velocidad bala madera).
Apliquemos la ecuacin del choque plstico y reemplacemos por sus
respectivos valores.
m bala .v bala + m madera v madera = v (m bala + m madera) 350
m/seg . 0,05 Kg + 0 = v (0,41 Kg)
v = 42,683 m/seg.
Plano Inclinado: Los movimientos rectilneos en la vida real no
se producen sobre superficies planas; aunque el piso as lo parezca
no lo es pues pertenece a una superficie curva. Lo que sucede es
que esta porcin es tan pequea comparada con la de nuestro planeta
que la vemos plana.
Reduzcamos el problema analizando los movimientos sobre curvas y
rectas en vez de superficies.
Pequeos segmentos consecutivos (con distinta direccin), todos
juntos, darn la impresin de formar una curva. A la inversa, si
tenemos una pequea porcin de una curva la veremos recta, la
direccin de esta coincidir con la recta tangente en ese punto.
Si necesitamos analizar un movimiento sobre una superficie
inclinada (como la de una colina) podemos simplificar la dificultad
de nuestro trabajo considerando toda la superficie como plana, y
tomar una seccin transversal, de esa manera estudiamos lo que
sucede como si fuera un movimiento rectilneo. Para ello utilizamos
el plano inclinado que no es otra cosa que un tringulo rectngulo,
donde por el lado ms largo (la hipotenusa) se desplaza el
cuerpo.
Diagrama de Cuerpo libre : Al estudiar los distintos tipos de
movimientos hacamos coincidir al eje x con el suelo en movimientos
horizontales, mientras que para los verticales tombamos la lnea
perpendicular al piso, el eje y.
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
Como ya se haba explicado, el peso es la fuerza gravitacional
con que nos atrae la tierra hacia su centro. Esa direccin es
perpendicular a la recta tangente de su superficie en cualquier
punto, es por eso que el peso se dibuja como un vector
perpendicular al piso.
Como la recta perpendicular al suelo tiene la misma direccin que
el eje y, podemos superponer al vector peso con este eje de manera
que P se ubique sobre el eje y. Por supuesto que la reaccin de esta
superficie al peso, la fuerza normal, tambin la encontramos sobre
el eje y. Anlogamente, cualquier fuerza que desplace (acelerando o
frenando) horizontalmente al cuerpo puede ubicarse sobre el eje
x.
Todas las fuerzas que acten sobre un cuerpo pueden representarse
sobre un eje de coordenadas. Se denomina diagrama de cuerpo libre
al eje de coordenadas donde estn "dibujadas" todas las fuerzas que
actan sobre un cuerpo (sin ser necesario dibujar al cuerpo).
Si tenemos ms de un cuerpo en un sistema, tendremos que hacer un
diagrama de cuerpo libre para cada uno.
Supongamos que la fuerza aplicada sobre el cuerpo no tuviera la
misma direccin del eje x o del eje y. Tenemos una fuerza "F" que se
encuentra formando un ngulo con el suelo; como el eje x es paralelo
al piso, F y el eje x tambin forman un ngulo cuya amplitud es .
Hagamos el diagrama de cuerpo libre:
Tracemos rectas paralelas a los ejes que pasen por el pice
(extremo) de F, de esa forma tendremos los componentes de la fuerza
F sobre los ejes de coordenadas, Fx y Fy.
Entre los tres vectores (F, Fx y Fy) queda formado un tringulo
rectngulo donde F es la hipotenusa, Fx es el cateto adyacente
respecto de y Fy es el cateto opuesto, por lo tanto utilizando las
funciones trigonomtricas tenemos:
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
De esa manera podemos analizar la accin de una o ms fuerzas
sobre un cuerpo y ubicarlas en un diagrama de cuerpo libre para
estudiar sus efectos.
Cuerpos Vinculados: En un problema cualquiera se debe hacer el
diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos involucrados
indicando las fuerzas que actan en cada uno de ellos. Pongamos un
ejemplo para que podamos entender que es lo que ocurre.
Ac tenemos dos cuerpos de distintas masas. Slo con ver el
sistema sabemos que: m1 es el menor; sobre m2 acta una fuerza.
Como existe una cuerda que los une tendremos fuerzas a las que
denominaremos tensiones. Por supuesto que cada uno tiene su peso y
ste est
equilibrado por una normal. Dibujemos el sistema con todas las
fuerzas que actan en l.
Por el principio de masa tenemos que P = m . g (ver principio de
masa). La reaccin al peso de la superficie donde se mueve el
sistema es la normal de cada uno de los cuerpos. Aunque est de ms
decirlo, ambas normales tienen mdulos diferentes pues dependen del
valor del peso de cada cuerpo.
Sobre el cuerpo m2 acta una fuerza y la cuerda ejerce otra
fuerza sobre el cuerpo m1 a la que llamaremos tensin. El "tirn" de
la cuerda provoca una reaccin sobre m2 que posee la misma direccin,
el mismo mdulo pero sentido contrario que la tensin, por lo tanto
se anulan entre s. Como la reaccin a esta tensin tiene sentido
contrario su signo es negativo (signos indican sentidos).
Hagamos el diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo:
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
Analicemos las acciones de las fuerzas sobre cada eje:
Eje x: T = m1 . a * Eje x: F T = m2 . a *
Eje y: N1 P1 = 0 ^ Eje y: N2 P2 = 0 ^
* Como sobre el eje x pueden moverse aplicamos el principio de
masa (siempre y cuando no se muevan a velocidad constante)
^ Como sobre el eje y no pueden moverse la sumatoria de las
fuerzas es cero.
Tomemos las ecuaciones de los ejes que pueden desplazarse con
libertad (eje x en este caso) y summoslos miembro a miembro:
(se despeja lo que se deba despejar)
Ahora que ya has terminado con la parte terica puedes hacer
ejercicios del tema:
Ejercicios Explicados de Dinmica:
F Una persona est parada sobre una balanza ubicada sobre el piso
de un ascensor que se mueve hacia arriba con velocidad constante;
en esas condiciones la balanza indica 80 kilos. Cul ser la
indicacin de la balanza (en kilogramos) cuando el ascensor comienza
a frenar, para detenerse, con una aceleracin de 2 m/seg.2?
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Apuntes de todo tipo: Dinmica
Solucin: Consideramos que el peso de la persona es 80 kilogramos
ya que al moverse con velocidad constante la sumatoria de fuerzas
sobre el sistema hombre ascensor es nula; de esa forma es lcito
pensar que el peso (que es lo que marca la balanza) es
contrarrestado por la reaccin del piso (tercer principio de
dinmica).
En el momento en que empieza a frenar el sistema, el cuerpo
tiende a seguir en movimiento ya que frena el ascensor pero no la
persona (principio de inercia). La fuerza supuesta "impulsora" del
hombre est determinada por su masa y la aceleracin de frenado. Este
fenmeno se percibe en la balanza "pareciendo" que la persona "pesa"
menos, siendo el valor que aparece en el aparato la "resta" entre
ambas fuerzas.
F balanza = P Fac. Fb = P m ac Fb = P P/g ac
F b = 80 Kgf 16 Kgf = 64 Kgf.
P = m . g m = P/g
Ejercicios de Dinmica.
24 de Febrero 2002
http://soko.com.ar/Fisica/Dinamica.htm (14 de 14)22/01/2005
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Apuntes de Trabajo Mecnico
Trabajo Mecnico: Autora: Silvia Sokolovsky
El trabajo mecnico es una magnitud escalar que depende del mdulo
de una fuerza aplicada sobre un punto material y el desplazamiento
que esta le produce.
Tomemos una partcula de masa "m" la que se encuentra en reposo y
apliqumosle una fuerza exterior. Esta fuerza produce es una
variacin en la velocidad, una variacin en la cantidad de movimiento
de la partcula en funcin del tiempo.
Cada vez que se aplica una fuerza exterior sobre un cuerpo y
este vara su cantidad de movimiento en funcin del tiempo, este se
desplaza. De esta manera podemos buscar una relacin entre la fuerza
aplicada y el desplazamiento producido sin olvidarnos que
son vectores.
Para que podamos entender mejor lo que sucede presupongamos que
queremos detener un cuerpo que se halla en movimiento.
Presupongamos que al aplicar una fuerza de 10 N el cuerpo se
desplaza 100 m hasta detenerse. Si duplicamos la fuerza qu sucede
con la distancia recorrida ?
Al aumentar al doble la fuerza el desplazamiento se reduce a la
mitad por que la fuerza exterior aplicada y el desplazamiento son
inversamente proporcionales. Matemticamente implica que ambas
magnitudes deben multiplicarse. El producto escalar de ambos
vectores se denomina "trabajo mecnico."
Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una
transferencia de energa al mismo, por lo que puede decirse que el
trabajo es energa en movimiento. Las unidades de trabajo son las
mismas que las de energa.
La unidad de trabajo en el Sistema Internacional de Unidades es
el julio (suele conocerse como Joulle), que se define como el
trabajo realizado por una fuerza de 1 newton a lo largo de un
metro. El trabajo realizado por unidad de tiempo se conoce como
potencia. La potencia correspondiente a un julio por segundo es un
vatio (watt) " N. m = J "
Que sucede cuando el cuerpo se acelera debido a la fuerza
aplicada?. Sencillamente sumamos los trabajos parciales, lo que en
la realidad no es muy sencillo si ambos varan con frecuencia. Para
comprender mejor el procedimiento grafiquemos la variacin de "F .
cos " respecto a "r ".
Podemos calcular el trabajo mecnico en estas condiciones tomando
pequeas porciones de rea
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Apuntes de Trabajo Mecnico
rectangular donde la base est representada por r
(desplazamiento) y la altura corresponde a "f . cos " (la proyeccin
de la fuerza)
Como se ve en cada rectngulo posee un rea mayor, representado
por , y un rea menor El valor del trabajo correspondera
aproximadamente a un valor intermedio entre ambas superficies.
La sumatoria de esta reas elementales nos dar el valor del
trabajo mecnico.
El sumar reas elementales lleva implcito un proceso matemtico
denominado "integracin". Si tomamos r cada vez menor, tendiendo a
cero (r 0) aplicando lmite tendremos:
.
De all que al ser el trabajo (L) la sumatoria de las reas
elementales (A) tenemos que:
Energa Cintica: Al aplicar una fuerza exterior sobre un cuerpo,
este se acelera. F = m . a (1)
La aceleracin produce variacin de velocidad: (2)
Al variar la velocidad la "cantidad" de espacio recorrido (x) en
funcin del tiempo aumenta (si el movimiento es acelerado) o
disminuye (si es desacelerado) :
(3)
Si analizamos el trabajo mecnico (mximo) que realiza una fuerza
sobre un cuerpo tendremos:
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Apuntes de Trabajo Mecnico
suplantamos por (1) L = m a x
suplantamos por (2) y por (3)
simplificamos t y multiplicamos (mediante distributivas) las
velocidades
L = Esta expresin la denominaremos energa cintica
De esta manera se puede afirmar que si en el trabajo mecnico hay
variacin de velocidad tambin habr variacin de energa cintica:
Teorema de la variacin de energa: L = EC
En este teorema se expresa la relacin entre trabajo y energa, la
energa se mide en la misma unidad.
Fuerzas Conservativas y no Conservativas: Imaginemos que tenemos
un resorte de masa despreciable sujeto por uno de sus extremos a
una pared y un bloque de masa m; ambos en el piso de manera que si
impulsamos al bloque, este se dirigir hacia el resorte con una
velocidad constante v (ya que para facilitar nuestro anlisis
consideremos que la fuerza de rozamiento entre el bloque y el piso
es nula). As que la nica fuerza exterior que acta sobre el
movimiento de este cuerpo proviene del resorte.
A medida que el bloque va comprimiendo al resorte su velocidad
(y energa cintica) disminuye hasta detenerse. Aplicando la Ley de
Hooke (F = k. x) podemos calcular la compresin que se
produce. Despus de esto el bloque invierte el sentido de su
movimiento y, con igual direccin, va ganando velocidad a medida que
el resorte vuelve a su longitud original; en ese momento el bloque
tiene la misma velocidad (signo opuesto) que tena antes de
comprimir al resorte.
El bloque pierde energa cintica durante una parte de su
movimiento pero la recupera totalmente cuando regresa al punto de
partida. Hay que recordar que la variacin de la energa cintica
indica que existe trabajo mecnico; es claro que, al trmino de un
viaje de ida y vuelta, la capacidad del bloque para hacer trabajo
permanece igual; ha sido conservada.
La fuerza elstica ejercida por el resorte ideal y otras fuerzas
que se comportan de la misma manera,
http://soko.com.ar/Fisica/trabajo_mecanico.htm (3 de
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Apuntes de Trabajo Mecnico
se las denomina fuerzas conservativas.
La fuerza de gravedad es la tpica representante de las fuerzas
conservativas ya que si lanzamos un objeto hacia arriba (para el
cual la resistencia del aire sea despreciable), regresa a nuestras
manos con la misma energa cintica con la que parti.
Sin embargo, si una partcula sobre la que actan una o ms fuerzas
regresa a su posicin inicial con ms energa cintica o con menos de
la que tena inicialmente, resulta que en ese viaje de ida y vuelta
su capacidad de producir trabajo mecnico vara. Podemos suponer que
al menos una de las fuerzas actuantes es no conservativa. La fuerza
de rozamiento es el tpico ejemplo de una fuerza no
conservativa.
Resumiendo: Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado
por ella (en el viaje de ida y vuelta) es cero. Una fuerza es no
conservativa si el trabajo efectuado por ella (en el viaje de ida y
vuelta) es distinto de cero.
Energa Potencial: En nuestra experiencia cotidiana, al lanzar un
objeto verticalmente hacia arriba, por ejemplo una piedra,
observamos que a medida que va subiendo su velocidad disminuye
hasta
llegar a ser nula (cero) en el punto ms alto de su
trayectoria.
Como el sistema tierra piedra es un sistema conservativo, la
energa mecnica se mantiene constante durante el ascenso.
Tomemos dos posiciones cualesquiera a diferente altitud, y1 ms
bajo que y2. Si llamamos v1 a la velocidad del objeto en la posicin
y1 y v2 a la velocidad en y2 ; tenemos que v1 > v2 . Como la
energa cintica es directamente proporcional al cuadrado de la
velocidad podemos indicar que EC1 > EC 2.
Dijimos que el sistema es conservativo, entonces, dnde est la
energa faltante?.
Existe un principio llamado "principio de conservacin de la
energa" que nos indica que la energa no se crea ni se destruye. Es
evidente, entonces, que a medida que la energa cintica va
diminuyendo otra clase de energa tiene que aparecer para que la
energa del sistema se mantenga constante, a esa energa se la
denomina energa de configuracin, ms conocida con el nombre de
energa
potencial; designaremos a la energa potencial con la letra
U.
De esta manera podemos afirmar que la energa mecnica en la
posicin es y1 es EC1 + U y en la posicin y2 tenemos que EC2 + + U
=
Como el sistema es conservativo asumimos que:
EC1 + U = EC2 + U
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Apuntes de Trabajo Mecnico
Como v1 > v2 tenemos que EC < 0. teniendo en cuenta
que
adems EC = L. U = L.
Recordemos que: .
El desplazamiento, lgicamente, ser la diferencia entre las dos
posiciones:
La fuerza empleada depende de la masa del cuerpo y de la
aceleracin de la gravedad, as que podemos utilizar: m . g = P.
Tenemos que la fuerza actuante sobre el cuerpo es su propio
peso.
L p = P . Cos 180 (y2 y1) L P = P. (y2 y1)
Como tenemos que U = L p y L p = P. (y2 y1)
U = [ P.(y2 y1)]
U = P. (y2 y1)
U = P y2 P y1.
De esa manera podemos expresar a la energa potencial como: U = P
. y (quizs no sea necesario pero aclaro que y es la posicin
vertical del cuerpo)
Suele designarse a la energa potencial tambin de la siguiente
forma: E p.
Ejercicios
Octubre 2002
http://soko.com.ar/Fisica/trabajo_mecanico.htm (5 de
5)22/01/2005 12:13:55
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Apuntes de Ley de Gravitacin Universal
Ley de Gravitacin universalAutora: Silvia Sokolovsky
La fuerza de atraccin gravitacional es la fuerza con que la
Tierra nos atrae hacia el suelo, es la culpable de que, al perder
el equilibrio, nos vayamos de bruces al piso. Podemos medirla
sencillamente al pararnos en una balanza.
Esa extraa fuerza que retiene nuestros pies sobre la superficie
no es otra cosa que el peso.
Hasta el siglo XVII la tendencia de un cuerpo a caer al suelo
era considerada como una propiedad inherente a todo cuerpo por lo
que no necesitaba mayor explicacin.
A primera vista parecera que el girar de los planetas alrededor
del Sol y la cada de una manzana de un rbol poco tienen en comn,
sin embargo Isaac Newton intuy que se trataba de dos
manifestaciones de un mismo fenmeno fsico. A la edad de 23 aos, en
un receso escolar debido a una epidemia desatada donde l estudiaba,
se inspir al ver caer una manzana desde un rbol a la tierra. Se le
ocurri comparar la fuerza que atraa a la manzana y la que deba
atraer a la luna hacia la tierra; consider que las aceleraciones
producidas por dichas fuerzas deberan tener un mismo origen. La
simple idea de que los movimientos celestes y terrestres estuvieran
sujetos a leyes semejantes era un reto temerario a romper la
tradicin Aristotlica que
imperaba en aquella poca.
La aceleracin de la manzana al caer ya la sabemos, es la
aceleracin de la gravedad. As que ac (m) = g = 9,8 m/seg2
Si la misma fuerza de atraccin que hace caer la manzana acta
sobre la luna por qu no cae?. Simplemente por que la luna gira
produciendo una fuerza centrfuga que equipara a la fuerza de
atraccin gravitacional.
La aceleracin de la luna puede ser calculada conociendo su
perodo, y el radio de su rbita. Para tal fin consideremos a su
rbita como circular. La luna tarda 27,3 das (2,36.106 seg.) en dar
una vuelta completa y se encuentra a 378000 Km. de distancia de la
superficie de nuestro planeta, el radio de giro deber considerarse
sumando el radio terrestre (6360 Km. aproximadamente) y la
distancia antes mencionada r = 3,85.108 m. Utilicemos las
ecuaciones del movimiento circular uniforme.
"ac = 2.r" y " = 2pi/T " "ac = (2pi/T)2. r"
(suplantamos con los valores T = 2,36 . 106 seg. r = 3,85. 108
m)
http://soko.com.ar/Fisica/ley_de_grav.htm (1 de 4)22/01/2005
12:14:28
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Apuntes de Ley de Gravitacin Universal
ac (L) = (2pi/2,36.102 seg.)2 . 3,85 . 108 m = 2,722. 10 3
m/seg2.
Ahora que sabemos ambos valores comparemos la aceleracin de la
manzana con la aceleracin de la luna.
Quiere decir que la aceleracin de la gravedad es 3600 veces
mayor que la aceleracin que experimenta la luna.
Comparemos la relacin que hay entre los radios de rotacin de la
luna y la manzana.
Quiere decir que el radio de giro de la luna es 60 veces mayor
que el de la manzana.
Observando detenidamente vemos que 602 = 3600 (reemplazando
tendremos)
Lo que indica que "la aceleracin es inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia".
ac. r2 = Cte.
Basndonos en el segundo principio de dinmica "F = m . ac"
podemos (despejando y ac y suplantando en la ecuacin anterior)
afirmar que "la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia y directamente proporcional a la masa del cuerpo"
Tanto en el caso de la manzana como en el de la luna la masa de
la tierra juega un papel importante, ya que la interaccin de cada
uno de estos cuerpos con nuestro planeta produce la fuerza de
atraccin.
Imaginemos dos mundos paralelos, en el primero encontramos a la
Tierra y a la manzana, en el
http://soko.com.ar/Fisica/ley_de_grav.htm (2 de 4)22/01/2005
12:14:28
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Apuntes de Ley de Gravitacin Universal
segundo, en vez de la fruta est nuestro satlite natural
exactamente en la misma posicin que la manzana de manera que en
ambos casos las distancias son iguales. El objetivo de este
experimento imaginario es conseguir la misma fuerza de atraccin
para ambos casos; para ello la masa de los dos cuerpos quedar fija
mientras que la masa terrestre podr variar segn nuestra
voluntad.
Analicemos el sistema Tierra Luna (T L):
Si queremos lograr la misma fuerza de atraccin que en el sistema
manzana Tierra (T m), la Tierra (L T) deber achicarse. La masa
lunar obliga a disminuir la masa de nuestro planeta para que el
producto entre ambas masas, en ambos sistemas, sea la misma. "mT .
mL = mm . mT" ya que las masas son inversamente proporcionales
entre s.
Por lo que podemos afirmar que la fuerza de atraccin
gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia entre los dos cuerpos msicos que se atraen entre si; y es
directamente proporcional al producto de sus masas.
Para establecer matemticamente la igualdad debemos establecer un
valor constante, esa constante se la designa con la letra G cuyo
valor es 6,67.10-11 m3/kg. seg2.
Como G es tan pequea las fuerzas gravitacionales entre dos
cuerpos sobre la superficie de nuestro planeta son extremadamente
pequeas y por lo tanto su valor es despreciable para fines
prcticos.
La constante G no debe ser confundida con "g" que es la
aceleracin de la gravedad la cual es un vector y no es una
constante y mucho menos universal.
As que la fuerza de atraccin universal se expresa de la
siguiente manera:
En la ley de gravitacin universal est implcita la idea de que la
fuerza entre las dos partculas es independiente de la presencia de
otros cuerpos. Dicho de otra manera, la fuerza actuante se dar
entre cada dos partculas. De haber ms partculas debe calcularse las
fuerzas por pares y despus sumarlas vectorialmente.
La fuerza gravitacional sobre un cuerpo es proporcional a su
masa, una consecuencia importante de esta proporcionalidad es que
podemos medir una masa midiendo la fuerza gravitacional ejercida
sobre ella, o sea pesndola.
http://soko.com.ar/Fisica/ley_de_grav.htm (3 de 4)22/01/2005
12:14:28
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Apuntes de Ley de Gravitacin Universal
Octubre 2002
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Apuntes Gases Ideales: Fsica - Qumica
Gases IdealesAutora: Silvia Sokolovsky
La materia puede presentarse en tres estados: slido, lquido y
gaseoso. En este ltimo estado se encuentran las sustancias que
denominamos comnmente "gases".
Ley de los gases Ideales
Segn la teora atmica las molculas pueden tener o no cierta
libertad de movimientos en el espacio; estos grados de libertad
microscpicos estn asociados con el concepto de orden macroscpico.
Las libertad de movimiento de las molculas de un slido est
restringida a pequeas vibraciones; en cambio, las molculas de un
gas se mueven aleatoriamente, y slo estn limitadas por las paredes
del recipiente que las contiene.
Se han desarrollado leyes empricas que relacionan las variables
macroscpicas en base a las experiencias en laboratorio realizadas.
En los gases ideales, estas variables incluyen la presin (p), el
volumen (V) y la temperatura (T).
La ley de Boyle - Mariotte relaciona inversamente las
proporciones de volumen y presin de un gas, manteniendo la
temperatura constante: P1. V1 = P2 . V2
La ley de Gay-Lussac afirma que el volumen de un gas, a presin
constante, es directamente
proporcional a la temperatura absoluta: *
La ley de Charles sostiene que, a volumen constante, la presin
de un gas es directamente
proporcional a la temperatura absoluta del sistema: *
* En ambos casos la temperatura se mide en kelvin (273 K = 0C)
ya que no podemos dividir por cero, no existe resultado.
De las tres se deduce la ley universal de los gases:
Teora Cintica de los Gases
El comportamiento de los gases, enunciadas mediante las leyes
anteriormente descriptas, pudo explicarse satisfactoriamente
admitiendo la existencia del tomo.
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Apuntes Gases Ideales: Fsica - Qumica
El volumen de un gas: refleja simplemente la distribucin de
posiciones de las molculas que lo componen. Ms exactamente, la
variable macroscpica V representa el espacio disponible para el
movimiento de una molcula.
La presin de un gas, que puede medirse con manmetros situados en
las paredes del recipiente, registra el cambio medio de momento
lineal que experimentan las molculas al chocar contra las paredes y
rebotar en ellas.
La temperatura del gas es proporcional a la energa cintica media
de las molculas, por lo que depende del cuadrado de su
velocidad.
La reduccin de las variables macroscpicas a variables mecnicas
como la posicin, velocidad, momento lineal o energa cintica de las
molculas, que pueden relacionarse a travs de las leyes de la
mecnica de Newton, debera de proporcionar todas las leyes empricas
de los gases. En general, esto resulta ser cierto.
La teora fsica que relaciona las propiedades de los gases con la
mecnica clsica se denomina teora cintica de los gases. Adems de
proporcionar una base para la ecuacin de estado del gas ideal. La
teora cintica tambin puede emplearse para predecir muchas otras
propiedades de los gases, entre ellas la distribucin estadstica de
las velocidades moleculares y las propiedades de transporte como la
conductividad trmica, el coeficiente de difusin o la
viscosidad.
Densidad de un gas
En un determinado volumen las molculas de gas