-
Societatea de ŞtiinţeMatematice din România Ministerul
Educaţiei Naţionale
Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie
2014
CLASA a V-a
Problema 1. Determinaţi numerele de forma abc care verifică
relaţia
b · ac = c · ab+ 10.
Gazeta Matematică
Problema 2. Fie M mulţimea numerelor palindrom de forma 5n+4,
unden ∈ N. (Un număr natural se numeşte palindrom dacă este egal
cu răsturnatulsău. De exemplu, numerele 7, 191, 23532, 3770773
sunt numere palindrom.)
a) Dacă scriem ı̂n ordine crescătoare elementele mulţimii M ,
stabiliţi careeste al 50-lea număr scris.
b) Determinaţi cel mai mic şi cel mai mare dintre elementele
mulţimii Mcare se scriu cu cifre nenule şi au suma cifrelor
2014.
Problema 3. Se consideră mulţimea A = {1, 3, 32, 33, . . . ,
32014}. Spunemcă se realizează o partiţie a lui A dacă
mulţimea A este scrisă ca o reuniunede submulţimi nevide ale
sale, disjuncte două câte două.
a) Demonstraţi că nu există o partiţie a lui A astfel
ı̂ncât produsul ele-mentelor fiecărei submulţimi din partiţie
să fie pătrat perfect.
b) Arătaţi că există o partiţie a lui A astfel ı̂ncât suma
elementelor fiecăreisubmulţimi din partiţie să fie pătrat
perfect.
Problema 4. Un număr natural de 10 cifre se numeşte dichisit
dacă cifrelesale aparţin mulţimii {1, 2, 3} şi oricare două
cifre consecutive diferă prin 1.
a) Arătaţi că un număr dichisit conţine ı̂n scrierea sa
exact cinci cifre de 2.
b) Stabiliţi câte numere dichisite există.
c) Demonstraţi că suma tuturor numerelor dichisite se divide
cu 1408.
Timp de lucru 2 ore. Se acordă ı̂n plus 30 de minute pentru
ı̂ntrebări.
Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.
-
Societatea de ŞtiinţeMatematice din România Ministerul
Educaţiei Naţionale
Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie
2014
CLASA a VI-a
Problema 1. Arătaţi că:
a)
(
1
2
)3
+
(
2
3
)3
+
(
5
6
)3
= 1;
b) 333 + 433 + 533 < 633.
Gazeta Matematică
Problema 2. Spunem că mulţimea nevidă M de cardinal n are
propri-etatea P dacă elementele sale sunt numere naturale care au
exact 4 divizori.Notăm cu SM suma tuturor celor 4n divizori ai
elementelor lui M (sumapoate conţine termeni care se repetă).
a) Arătaţi că A = {2 · 37, 19 · 37, 29 · 37} are proprietatea
P şi SA = 2014.
b) În cazul ı̂n care o mulţime B are proprietatea P şi 8 ∈ B,
demonstraţică SB 6= 2014.
Problema 3. Pe laturile BC, CA şi AB ale triunghiului ABC se
con-sideră punctele M , N respectiv P astfel ı̂ncât BM = BP şi
CM=CN . Per-pendiculara din B pe MP şi perpendiculara din C pe MN
se intersectează
ı̂n I. Demonstraţi că unghiurile ÎPA şi ÎNC sunt
congruente.
Problema 4. Determinaţi numerele naturale a pentru care există
exact
2014 numere naturale b care verifică relaţia 2 ≤a
b≤ 5.
Timp de lucru 2 ore. Se acordă ı̂n plus 30 de minute pentru
ı̂ntrebări.
Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.
-
Societatea de ŞtiinţeMatematice din România Ministerul
Educaţiei Naţionale
Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie
2014
CLASA a VII-a
Problema 1. a) Arătaţi că pentru orice numere reale a şi b
are locrelaţia:
(
a2 + 1) (
b2 + 1)
+ 50 ≥ 2 (2a+ 1) (3b+ 1) .
b) Determinaţi numerele naturale n şi p care verifică
relaţia
(
n2 + 1) (
p2 + 1)
+ 45 = 2 (2n+ 1) (3p+ 1) .
Problema 2. Fie numerele reale a, b, c astfel ı̂ncât:
|a− b| ≥ |c|, |b− c| ≥ |a|, |c− a| ≥ |b|.
Arătaţi că unul dintre numerele a, b, c este suma celorlalte
două.
Problema 3. Se consideră triunghiul ABC ı̂n care m(Â) = 135◦.
Per-pendiculara ı̂n A pe dreapta AB intersectează latura [BC] ı̂n
punctul D, iarbisectoarea unghiului B intersectează latura [AC]
ı̂n punctul E. Determinaţimăsura unghiului BED.
Gazeta Matematică
Problema 4. Se consideră pătratul ABCD şi punctele K ∈ (AB),L
∈ (BC) şi M ∈ (CD) astfel ı̂ncât triunghiul KLM este
dreptunghicisoscel, cu unghiul drept ı̂n L. Demonstraţi că
dreptele AL şi DK suntperpendiculare.
Timp de lucru 4 ore.
Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.
-
Societatea de ŞtiinţeMatematice din România Ministerul
Educaţiei Naţionale
Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie
2014
CLASA a VIII-a
Problema 1. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C ′D′ cuAB =
12
√3 cm şi AA′ = 18 cm, se consideră punctele P ∈ [AA′] şi
N ∈ [A′B′] astfel ı̂ncât A′N = 3B′N.Determinaţi lungimea
segmentului [AP ] astfel ı̂ncât, pentru orice punct
M ∈ [BC] , triunghiul MNP să fie dreptunghic ı̂n N.Gazeta
Matematică
Problema 2. Pentru fiecare număr natural nenul a se notează cu
p (a)cel mai mare pătrat perfect cel mult egal cu a.
a) Determinaţi numărul perechilor de numere naturale nenule
(m,n), cum ≤ n, pentru care
p (2m− 1) · p (2n− 1) = 400.
b) Determinaţi mulţimea
{
n ∈ N∗∣
∣
∣
∣
n ≤ 100 şip (n+ 1)
p (n)/∈ N
}
.
Problema 3. În vârful A al hexagonului regulat ABCDEF de
latură ase ridică perpendiculara AS = 2a
√3 pe planul hexagonului. Punctele M, N,
P, Q, respectiv R sunt proiecţiile punctului A pe dreptele SB,
SC, SD, SE,respectiv SF.
a) Demonstraţi că punctele M, N, P, Q, R sunt coplanare.b)
Determinaţi măsura unghiului format de planele (MNP ) şi
(ABC).
Problema 4. Fie n ≥ 2 un număr natural. Determinaţi
mulţimeavalorilor pe care le poate lua suma
S = [x2 − x1] + [x3 − x2] + ...+ [xn − xn−1] ,
unde x1, x2, ..., xn sunt numere reale cu partea ı̂ntreagă 1,
2, ..., n.Prin [x] se notează partea ı̂ntregă a numărului real
x.
Timp de lucru 4 ore.
Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.
-
Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie
2014
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE – CLASA a V-a
Problema 1. Determinaţi numerele de forma abc care verifică
relaţia
b · ac = c · ab+ 10.
Gazeta Matematică
Soluţie. Relaţia din ipoteză revine la b(10a+ c) = c(10a+ b)
+ 10 ⇔ ab = ac+ 1. . . . 3 pObţinem că a(b− c) = 1, de unde a =
b− c = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .2 pNumerele căutate sunt 110, 121, 132, 143, 154,
165, 176, 187, 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Problema 2. Fie M mulţimea numerelor palindrom de forma 5n + 4,
unde n ∈ N. (Unnumăr natural se numeşte palindrom dacă este egal
cu răsturnatul său. De exemplu, numerele7, 191, 23532, 3770773
sunt numere palindrom.)
a) Dacă scriem ı̂n ordine crescătoare elementele mulţimii M ,
stabiliţi care este al 50-leanumăr scris.
b) Determinaţi cel mai mic şi cel mai mare dintre elementele
mulţimii M care se scriu cucifre nenule şi au suma cifrelor
2014.
Soluţie.
a) Numerele din mulţimea M au ultima cifră 4 sau 9. În
mulţimea M există două numerede o cifră (4 şi 9), două numere
de două cifre (44 şi 99), 20 de numere de trei cifre
(404,414,..., 494, 909, 919, ..., 999) şi 20 de numere de patru
cifre (4004, 4114, ..., 4994, 9009,9119, ..., 9999) . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Al 50-lea număr din M este al şaselea număr de cinci cifre,
anume 40504 . . . . . . . . . . .1 p
b) Pentru a obţine numere mici, ar trebui ca acestea să aibă
cât mai puţine cifre, prin urmarevom lua cât mai multe cifre de
9. Cel mai mic număr din M cu suma cifrelor 2014 este98 99 . . .
9
︸ ︷︷ ︸
220 de 9
89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .2 p
Pentru a obţine numere mari, ar trebui ca acestea să aibă
cât mai multe cifre. Prinurmare, vom lua numărul maxim de cifre
de 1, scriind cifra 4 pe prima şi ultima poziţie.Numărul cerut
este 4 11 . . . 1
︸ ︷︷ ︸
2006 de 1
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Problema 3. Se consideră mulţimea A = {1, 3, 32, 33, . . . ,
32014}. Spunem că se realizeazăo partiţie a lui A dacă
mulţimea A este scrisă ca o reuniune de submulţimi nevide ale
sale,disjuncte două câte două.
a) Demonstraţi că nu există o partiţie a lui A astfel
ı̂ncât produsul elementelor fiecăreisubmulţimi din partiţie să
fie pătrat perfect.
b) Arătaţi că există o partiţie a lui A astfel ı̂ncât suma
elementelor fiecărei submulţimi dinpartiţie să fie pătrat
perfect.
-
Soluţie
a) Presupunem că există o astfel de partiţie. Cum produsul
elementelor fiecărei submulţimidin partiţie este pătrat
perfect, deducem că produsul tuturor elementelor din mulţimeaA
este pătrat perfect.
Însă produsul elementelor lui A este 31+2+3+···+2014 =
32015·1007 şi acest număr nu estepătrat perfect, deoarece
exponentul lui 3 este impar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .3 p
b) Observăm că 32n + 32n+1 = (3n · 2)2. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .2 p
O posibilă partiţie este A = {1, 3} ∪ {32, 33} ∪ · · · ∪
{32012, 32013} ∪ {32014} . . . . . . . . . 2 p
Problema 4. Un număr natural de 10 cifre se numeşte dichisit
dacă cifrele sale aparţinmulţimii {1, 2, 3} şi oricare două
cifre consecutive diferă prin 1.
a) Arătaţi că un număr dichisit conţine ı̂n scrierea sa
exact cinci cifre de 2.
b) Stabiliţi câte numere dichisite există.
c) Demonstraţi că suma tuturor numerelor dichisite se divide
cu 1408.
Soluţie.
a) În scrierea unui număr dichisit, cifrele pare alternează
cu cele impare. Cum numerele au10 cifre, ele vor conţine exact
cinci cifre pare, deci exact cinci de 2. . . . . . . . . . . . . .
. . . 1 p
b) Există 2 ·2 ·2 ·2 ·2 = 32 numere dichisite de forma
2a2b2c2d2e şi 2 ·2 ·2 ·2 ·2 = 32 numerede forma a2b2c2d2e2. În
total, există 64 de numere dichisite. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 2 p
c) Dacă numărul a1a2 . . . a10 este dichisit, atunci şi
numărul (4− a1)(4− a2) . . . (4− a10)este dichisit şi distinct de
primul. Suma acestor două numere este 4444444444. . . . . 2 p
Grupăm numerele dichisite ı̂n 32 astfel de perechi. Prin
urmare, suma tuturor numereloreste 32 · 4444444444 = 27 · 11 ·
101010101 = 1408 · 101010101. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .2 p
2
-
Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie
2014
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE –CLASA a VI-a
Problema 1. Arătaţi că:
a)
(
1
2
)3
+
(
2
3
)3
+
(
5
6
)3
= 1;
b) 333 + 433 + 533 < 633.
Gazeta MatematicăSoluţie
a)
(
1
2
)3
+
(
2
3
)3
+
(
5
6
)3
=1
2+
8
27+
125
216=
27 + 64 + 125
216=
216
216= 1. . . . . . . . . . . . . . .3 p
b) Ar fi suficient să arătăm că333
633+
433
633+
533
633< 1, adică
(
1
2
)33
+
(
2
3
)33
+
(
5
6
)33
< 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
Cum1
2,2
3şi
5
6sunt subunitare, avem
(
1
2
)33
<
(
1
2
)3
,
(
2
3
)33
<
(
2
3
)3
şi
(
5
6
)33
<
(
5
6
)3
. Adunând cele trei relaţii şi ţinând cont de a), urmează
inegalitatea dorită. . . 2 p
Problema 2. Spunem că mulţimea nevidă M de cardinal n are
proprietatea P dacăelementele sale sunt numere naturale care au
exact 4 divizori. Notăm cu SM suma tuturorcelor 4n divizori ai
elementelor unei astfel de mulţimi M (suma conţine şi termeni
care serepetă).
a) Arătaţi că A = {2 · 37, 19 · 37, 29 · 37} are proprietatea
P şi SA = 2014.
b) În cazul ı̂n care o mulţime B are proprietatea P şi 8 ∈ B,
demonstraţi că SB 6= 2014.
Soluţie
a) Orice număr de forma p · q, unde p şi q sunt numere prime
distincte, are exact patrudivizori: 1, p, q şi pq. Cum 2, 19, 29
şi 37 sunt prime, rezultă că mulţimea A areproprietatea P . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
p
SA = 1+2+37+2 ·37+1+19+37+20 ·37+1+29+37+29 ·37 = 3 ·38+20
·38+30 ·38 =53 · 38 = 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) În afara lui 8, elementele lui B vor fi de forma p · q (cu
numere prime distincte) sau p3
(cu p număr prim impar). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 1 p
Cum măcar unul dintre numerele prime p şi q este impar, suma
divizorilor lui pq, 1 + p+q + pq = (1 + p)(1 + q), este număr par.
Rezultă că suma divizorilor numerelor de formap · q (cu p şi q
numere prime distincte) este pară. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Pentru p impar, suma divizorilor lui p3, 1 + p + p2 + p3, este
număr par. Astfel sumadivizorilor numerelor de forma p3 (cu p
număr prim impar) este pară. . . . . . . . . . . . . . 1 p
Suma divizorilor lui 8 este 15, număr impar. Rezultă că SB
este număr impar, prin urmareSB 6= 2014. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
-
Problema 3. Pe laturile BC, CA şi AB ale triunghiului ABC se
consideră puncteleM , N respectiv P astfel ı̂ncât BM = BP şi
CM=CN . Perpendiculara din B pe MP şi
perpendiculara din C pe MN se intersectează ı̂n I. Demonstraţi
că unghiurile ÎPA şi ÎNCsunt congruente.
Soluţie
Cum CM = CN şi CI ⊥ MN , rezultă că dreapta CI este
mediatoarea segmentului MN .De aici, IM = IN . Analog se arată că
IM = IP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 3 p
Triunghiurile IMC şi INC sunt congruente (L.L.L.), deci ÎMC ≡
ÎNC. Analog se arată
că ÎMB ≡ ÎPB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .2 p
Unghiurile ÎPA şi ÎMC sunt congruente, având suplemente
congruente. Deducem că
ÎPA ≡ ÎNC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Problema 4. Determinaţi numerele naturale a pentru care există
exact 2014 numere
naturale b care verifică relaţia 2 ≤a
b≤ 5.
Soluţie. Relaţia 2 ≤a
b≤ 5 este echivalentă cu
a
5≤ b ≤
a
2, adică 2a ≤ 10b ≤ 5a. . . . . .1 p
Înseamnă că ı̂n secvenţa 2a, 2a + 1, . . . , 5a trebuie să
se afle exact 2014 multipli ai lui 10,adică secvenţa trebuie să
conţină cel puţin 2013 decade de numere consecutive şi mai
puţin de2015 decade de numere consecutive. Deducem că 2013 · 10 ≤
5a − 2a < 2015 · 10. Obţinema ∈ {6710, 6711, . . . , 6716}. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 p
Convin numerele: 6710, 6712 şi 6713. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 p
Timp de lucru 2 ore. Se acordă ı̂n plus 30 de minute pentru
ı̂ntrebări.Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.
2
-
Societatea de ŞtiinţeMatematice din România Ministerul
Educaţiei Naţionale
Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie
2014
CLASA a VII-a
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE
Problema 1. a) Arătaţi că pentru orice numere reale a şi b
are locrelaţia:
(
a2 + 1) (
b2 + 1)
+ 50 ≥ 2 (2a+ 1) (3b+ 1) .
b) Determinaţi numerele naturale n şi p care verifică
relaţia:
(
n2 + 1) (
p2 + 1)
+ 45 = 2 (2n+ 1) (3p+ 1) .
Soluţie. a) Relaţia din enunţ este echivalentă cu(ab− 6)2 +
(a− 2)2 + (b− 3)2 ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 3pb) (np− 6)2 + (n− 2)2 + (p− 3)2 = 5 . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p(np− 6)2, (n−
2)2, (p− 3)2 ∈ {0, 1, 4} distincte . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 1pDiscutarea cazurilor şi găsirea soluţiilor:(n, p) ∈
{(2, 4), (2, 2)} . . . . . . 2p
Problema 2. Fie numerele reale a, b, c astfel ı̂ncât:
|a− b| ≥ |c|, |b− c| ≥ |a|, |c− a| ≥ |b|.
Arătaţi că unul dintre numerele a, b, c este suma celorlalte
două.
Soluţie. Ridicând la pătrat inegalităţile din enunţ
rezultă (a− b)2 ≥ c2
şi analoagele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2pDe aici rezult ă (a− b+ c)(b+ c− a) ≤ 0 şi analoagele . . . . .
. . . . . . . . 2pAtunci: (a+ b− c)2(b+ c− a)2(c+ a− b)2 ≤ 0, de
unde rezultă că unul
dintre numerele a, b, c este suma celorlalte două . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 3p
Soluţie alternativă. Fără a restrânge generalitatea, putem
presupunea ≥ b ≥ c. Atunci a− b ≥ |c| şi b− c ≥ |a| (∗) . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Adunând relaţiile, rezultă a − c ≥ |a| + |c| ≥ a − c,
deoarece |a| ≥ a şi|c| ≥ −c . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 2p
Ca urmare, ı̂n dubla inegalitate de mai sus are loc egalitatea,
ceea ce seı̂ntâmplă dacă a = |a| şi |c| = −c, adică a ≥ 0 şi
c ≤ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Relaţiile (∗) devin a− b ≥ −c şi b− c ≥ a, de unde b = a+ c .
. . . . . 2p
Problema 3. Se consideră triunghiul ABC ı̂n care m(Â) = 135◦.
Per-pendiculara ı̂n A pe dreapta AB intersectează latura [BC] ı̂n
punctul D, iarbisectoarea unghiului B intersectează latura [AC]
ı̂n punctul E. Determinaţi
m(B̂ED).Gazeta Matematică
-
Soluţie. Dacă I ∈ (BE) astfel ı̂ncât IA este bisectoarea
unghiului D̂AB,
de unde ID bisectoarea unghiului ÂDB . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Din m(ÂDB) +m(ÂBD) = 90◦ şi m(ÎDB) +m(ÎBD) = 45◦
deducem
că m(D̂IB) = 135◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p△ABE
∼ △IBD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
ImplicaţiaAB
IB=
BE
BD⇒
AB
EB=
BI
BD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.1p
△ABI ∼ △DBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
m(B̂ED) = m(B̂AI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
m(B̂ED) = 45◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p
Problema 4. Se consideră pătratul ABCD şi punctele K ∈ (AB),L
∈ (BC) şi M ∈ (CD) astfel ı̂ncât triunghiul KLM este
dreptunghicisoscel, cu unghiul drept ı̂n L. Demonstraţi că
dreptele AL şi DK suntperpendiculare.
Soluţie. △KLB ≡ △LMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pKB = LC . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1pDin AB = BC deducem AK = BL . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p△AKD ≡
△BLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pDin AK ⊥ BL şi AD ⊥ BA,
rezultă AL ⊥ KD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Timp de lucru 4 ore.
Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.
2
-
Societatea de ŞtiinţeMatematice din România Ministerul
Educaţiei Naţionale
Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie
2014
CLASA a VIII-a
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE
Problema 1. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C ′D′ cuAB =
12
√3 cm şi AA′ = 18 cm, se consideră punctele P ∈ [AA′] şi
N ∈ [A′B′] astfel ı̂ncât A′N = 3B′N.Determinaţi lungimea
segmentului [AP ] astfel ı̂ncât, pentru orice punct
M ∈ [BC] , triunghiul MNP să fie dreptunghic ı̂n N.Gazeta
Matematică
Soluţie. Deoarece BC ⊥ (ABB′) , rezultă BC ⊥ PN . . . . . . .
. . . . . . 1pCum PN ⊥ NM, rezultă PN ⊥ (NBC) , de unde PN ⊥ NB,
adică
triunghiul NBP este dreptunghic ı̂n N . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pNotând AP = x, se obţine
BP 2 = x2 + 432, PN2 = (18− x)2 + 243 şi
BN2 = 351. Întrucât BP 2 = PN2 +BN2, se obţine x = 13, 5 cm .
. . . . . 4p
Problema 2. Pentru fiecare număr natural nenul n se notează cu
p (n)cel mai mare pătrat perfect cel mult egal cu n.
a) Determinaţi numărul perechilor de numere naturale nenule
(m,n) , cum ≤ n, pentru care
p (2m+ 1) · p (2n+ 1) = 400.
b) Determinaţi mulţimea
{
n ∈ N∗∣
∣
∣
∣
n ≤ 100 şi p (n+ 1)p (n)
/∈ N}
.
Soluţie. a) Sunt posibile trei cazuri:Cazul 1: p (2m− 1) = 1, p
(2n− 1) = 400; se obţine 1 ≤ 2m − 1 < 4 şi
400 ≤ 2n− 1 < 441, de unde m ∈ {1, 2} şi n ∈ {200, 201, ...,
219} . . . . . . 1pCazul 2: p (2m− 1) = 4, p (2n− 1) = 100;
rezultă 4 ≤ 2m − 1 < 9 şi
100 ≤ 2n− 1 < 121, de unde m ∈ {3, 4} şi n ∈ {51, 52, ...,
60} . . . . . . . . . 1pCazul 3: p (2m− 1) = 16, p (2n− 1) = 25;
atunci 16 ≤ 2m − 1 < 25 şi
25 ≤ 2n− 1 < 36, de unde m ∈ {9, 10, 11, 12} şi n ∈ {13, 14,
..., 18} . . . . 1pÎn primul caz se formează 40 de perechi, ı̂n
al doilea caz se formează 20
de perechi, iar ı̂n al treilea 24 de perechi; ı̂n total sunt 84
de perechi ca ı̂nenunţ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1p
b) Fie n ∈ N. Notând p (n) = k2, rezultă k2 ≤ n ≤ (k + 1)2 −
1, de undek2 < n+ 1 ≤ (k + 1)2 . Ca urmare, p (n+ 1) ∈ {k, k +
1} . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Atuncip (n+ 1)
p (n)/∈ N dacă şi numai dacă p (n) = k2 6= 1 şi p (n+ 1)
=
(k + 1)2 , adică n = (k + 1)2 − 1, k ∈ N, k ≥ 2. Cum n ≤ 100,
rezultă k ≤ 9.
-
Mulţimea cerută este {8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99} . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 2p
Problema 3. În vârful A al hexagonului regulat ABCDEF de
latură ase ridică perpendiculara AS = 2a
√3 pe planul hexagonului. Punctele M, N,
P, Q, respectiv R sunt proiecţiile punctului A pe dreptele SB,
SC, SD, SE,respectiv SF.
a) Demonstraţi că punctele M, N, P, Q, R sunt coplanare.b)
Determinaţi măsura unghiului format de planele (MNP ) şi
(ABC).
Soluţie. a) Cu teorema celor trei perpendiculare, din SA ⊥
(ABC) şiAB ⊥ BD, rezultă SB ⊥ BD. Întrucât BD ⊥ AB şi BD ⊥ SB,
obţinemBD ⊥ (SAB) , de unde BD ⊥ AM . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Deoarece AM ⊥ SB, rezultă AM ⊥ (SBD) , deci AM ⊥ SD. De
aici,ţinând cont că SD ⊥ AP, rezultă SD ⊥ (AMP ) . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Analog, se arată că SD ⊥ (ARP ), SD ⊥ (ANP ) şi SD ⊥ (AQP )
.Din unicitatea planului perpendicular pe o dreaptă ı̂ntr-un
punct, rezultă căpunctele A, M, N, P, Q, R sunt coplanare . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
b) Folosind eventual faptul căMR ‖ BF, se arată că dreapta de
intersecţiea planelor (MNP ) şi (ABC) este paralela d dusă prin
A la BF . . . . . . . 1p
Cum d ⊥ SA şi d ⊥ AD, rezultă d ⊥ (SAD) , deci d ⊥ AP. Ca
urmare,măsura unghiului format de planele (MNP ) şi (ABC) este
egală cu măsuraunghiului PAD . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1p
Folosind teorema lui Pitagora, se obţine SD = 4a, de unde
rezultă
m(P̂DA) = 60◦ şi m(P̂AD) = 30◦ . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Problema 4. Fie n ≥ 2 un număr natural. Determinaţi
mulţimeavalorilor pe care le poate lua suma
S = [x2 − x1] + [x3 − x2] + ...+ [xn − xn−1] ,unde x1, x2, ...,
xn sunt numere reale cu partea ı̂ntreagă 1, 2, ..., n.
Soluţie. Fie a, b ∈ R. Atunci [a] ≤ a < [a]+1, de unde −
[a]−1 < −a ≤− [a] . Adunând cu [b] ≤ b < [b] + 1,
rezultă
[b]− [a]− 1 < b− a < [b]− [a] + 1,de unde se obţine [b]−
[a]− 1 ≤ [b− a] ≤ [b]− [a] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 2p
Atunci [xk] − [xk−1] − 1 ≤ [xk − xk−1] ≤ [xk] − [xk−1] , de unde
0 ≤[xk − xk−1] ≤ 1, pentru orice k = 2, 3, ..., n. Ca urmare, 0 ≤ S
≤ n− 1 . 2p
Vom arăta că mulţimea valorilor pe care le poate lua S este
{0, 1, 2, ..., n− 1} .Valoarea maximă S = n − 1 se obţine, de
exemplu, pentru xk = k,
k = 1, 2, ..., n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1pSuma S = p, unde 0 ≤ p ≤ n− 2, se obţine, de exemplu,
pentru:
xk =
{
k +1
k + 1, dacă 1 ≤ k ≤ n− 1− p
k, dacă n− p ≤ k ≤ n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2p
2