SOBRE O USO DA FUNÇÃO POLINÔMIO DERIVADO E AS FUNÇÕES POLINOMIAIS DE 1º, 2º E 3º GRAUS NO ENSINO MÉDIO. Eixo Temático 5 – I ENOPEM Daniel Felipe Neves Martins 1 Raphael Martins Gomes 2 Resumo O presente texto apresenta uma alternativa para o estudo de máximos e mínimos de funções polinomiais elementares no 1º ano do Ensino Médio, sem a abordagem tradicional por derivada vista como um limite. É apresentado aos alunos a definição de polinômio derivado definido num corpo K[x], de função polinômio derivado e uma breve demonstração de que a imagem da raiz do polinômio derivado corresponde a um ponto de máximo ou mínimo, tomando a função quadrática por ponto de partida. A metodologia aplicada foi a Inquiry Based Learning a fim de contemplar a competência específica 3 e a habilidade EM13MAT302 da BNCC do Ensino Médio. A pesquisa, iniciada em agosto do corrente ano está em curso por conta da pandemia de COVID-19 que modificou o calendário escolar diminuindo a quantidade e o tempo das aulas síncronas. Os resultados e comunicações dos mesmos serão apresentados futuramente, analisando possíveis ganhos pedagógicos no processo de ensino e aprendizagem da aplicação da temática via tecnologias digitais. Palavras-chave: Funções do 1º e 2º graus, Polinômio Derivado, Máximos e Mínimos, Tecnologia. 1. Introdução A construção desta comunicação foi estimulada pelas palavras do professor Nilson José Machado, professor da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, quando no site Imaginário Puro 3 , afirmou através de uma entrevista que, as ideias iniciais do cálculo podem ser trazidas para o Ensino Médio através de um estudo mais amplo das funções elementares, estudadas neste período de escolaridade da Educação Básica. O que foi pensado imediatamente, é se havia alguma maneira de não abordarmos o conceito de limites e a definição de função derivada como um limite, no Ensino Médio. Nossa intenção sempre esteve voltada para buscar uma definição matemática que não permitisse perder a riqueza do estudo das aplicações das funções que trata o cálculo diferencial, como por exemplo, o estudo de máximos e mínimos locais de uma função polinomial. Buscávamos 1 Professor do Colégio Pedro II, Campus São Cristóvão III. [email protected]2 Aluno da Pós Graduação em Educação Matemática, Colégio Pedro II. [email protected]3 Veja a entrevista em https://imaginariopuro.wordpress.com/2015/10/28/calculo-no-ensino-medio-ja-passou-da- hora/
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SOBRE O USO DA FUNÇÃO POLINÔMIO DERIVADO E AS
FUNÇÕES POLINOMIAIS DE 1º, 2º E 3º GRAUS NO ENSINO MÉDIO.
Eixo Temático 5 – I ENOPEM
Daniel Felipe Neves Martins 1
Raphael Martins Gomes2
Resumo
O presente texto apresenta uma alternativa para o estudo de máximos e mínimos de funções
polinomiais elementares no 1º ano do Ensino Médio, sem a abordagem tradicional por derivada vista
como um limite. É apresentado aos alunos a definição de polinômio derivado definido num corpo
K[x], de função polinômio derivado e uma breve demonstração de que a imagem da raiz do polinômio
derivado corresponde a um ponto de máximo ou mínimo, tomando a função quadrática por ponto de
partida. A metodologia aplicada foi a Inquiry Based Learning a fim de contemplar a competência
específica 3 e a habilidade EM13MAT302 da BNCC do Ensino Médio. A pesquisa, iniciada em
agosto do corrente ano está em curso por conta da pandemia de COVID-19 que modificou o
calendário escolar diminuindo a quantidade e o tempo das aulas síncronas. Os resultados e
comunicações dos mesmos serão apresentados futuramente, analisando possíveis ganhos pedagógicos
no processo de ensino e aprendizagem da aplicação da temática via tecnologias digitais.
Palavras-chave: Funções do 1º e 2º graus, Polinômio Derivado, Máximos e Mínimos, Tecnologia.
1. Introdução
A construção desta comunicação foi estimulada pelas palavras do professor Nilson
José Machado, professor da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, quando no
site Imaginário Puro3, afirmou através de uma entrevista que, as ideias iniciais do cálculo
podem ser trazidas para o Ensino Médio através de um estudo mais amplo das funções
elementares, estudadas neste período de escolaridade da Educação Básica.
O que foi pensado imediatamente, é se havia alguma maneira de não abordarmos o
conceito de limites e a definição de função derivada como um limite, no Ensino Médio. Nossa
intenção sempre esteve voltada para buscar uma definição matemática que não permitisse
perder a riqueza do estudo das aplicações das funções que trata o cálculo diferencial, como
por exemplo, o estudo de máximos e mínimos locais de uma função polinomial. Buscávamos
1 Professor do Colégio Pedro II, Campus São Cristóvão III. [email protected] 2 Aluno da Pós Graduação em Educação Matemática, Colégio Pedro II. [email protected] 3 Veja a entrevista em https://imaginariopuro.wordpress.com/2015/10/28/calculo-no-ensino-medio-ja-passou-da-
hora/
uma linguagem que não estivesse atrelada à geometria (no sentido de movimentação de retas
e pontos no plano), que não se apoiasse no fato de uma linha reta servir de aproximação à
uma linha que não necessariamente é reta, uma linguagem que não fosse da análise real e que
esta linguagem emergisse da álgebra. Estas condições foram intencionais, a fim de que
pudéssemos dar continuidade ao que já vinha sendo trabalhado com os alunos: o
reconhecimento do que caracteriza as funções polinomiais do primeiro e segundo graus, o
estudo das variações das imagens das funções a partir da analise gráfica e de valores
organizados em tabelas, uma melhor compreensão do comportamento destas funções
elementares através do uso de recursos computacionais que um software pode oferecer e por
fim, mas não menos importante, a possibilidade de realizarmos uma grande variedade de
problemas de aplicações do conceito de função de maneira diferente da tradicional, que em
geral é recheada de fórmulas decoradas pelos alunos.
Assim, a fim de concentrarmos nossos esforços nas aplicações, lançamos mão do
conceito de polinômio derivado e consequentemente da função polinômio derivado de uma
dada função polinomial do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎0𝑥0 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯, onde os
coeficientes de cada parcela e a variável x são números reais. Tais definições vêm da álgebra,
mais especificamente do estudo dos anéis dos polinômios sobre um corpo K[x]. Estas
definições aliadas à tecnologia digital, como o uso do software livre GeoGebra, e a uma
metodologia específica, o Inquiry Based Learning (IBL), nos permitem trabalhar uma série de
aplicações em diversas áreas do conhecimento matemático ou de outras áreas do
conhecimento, de maneira simples e investigativa, como sugere Brasil (2017). Assim, verbos
evocados ainda em Brasil (2017) como raciocinar, representar, argumentar e comunicar estão
presentes em todas as etapas desta pesquisa.
2. Fundamentação Teórica
Todas as atividades foram pensadas a partir da definição de materiais manipuláveis
encontrada em Lorenzato (2006) e também do conceito de materiais manipuláveis virtuais
apresentado por Santos e Escher (2019) que afirmam que “a tecnologia proporciona a
visualização e experimentação de conceitos matemáticos simultaneamente. Com isso, o
estudante consegue estabelecer e validar as suas conjecturas”.
Gonçalves (1979) contribui para o embasamento teórico-matemático que sustenta a
espinha dorsal do texto, assim como as propostas de atividades que são sugestões de como
trabalhar a modelagem de problemas que recaem em funções polinomiais simples e de como
interpretá-los fazendo uso das definições de polinômio derivado e da função polinomial
derivada. Machado (2008) e Molon e Figueiredo (2015) dialogam com esta temática
contribuindo com exemplos possíveis de atividades para sala de aula que não antecipam o que
é tradicionalmente feito nos cursos de cálculo em nível universitário. Ambos autores mostram
que o uso das tecnologias digitais aplicadas a problemas cujos modelos são funções
polinomiais em contextos diversos é uma excelente ferramenta pedagógica, indo ao encontro
do sugere Brasil (2017): construir e interpretar modelos e resolver problemas em diversos
contextos, analisando os resultados obtidos e adequando soluções auxiliam o aluno construir
argumentações consistentes.
3. Aspectos metodológicos
As propostas descritas como atividades no decorrer do presente texto são algumas
sugestões de como trabalhar a modelagem de problemas que recaem em funções polinomiais
simples e de como interpretá-los fazendo uso das definições de polinômio derivado 𝑝′(𝑥) e
da função polinômio derivado 𝑓’(𝑥).
Inicialmente, procuramos fazer a relação entre os estudos analíticos das funções
polinomiais do primeiro e do segundo graus já abordadas previamente, com aquelas funções
que modelam efetivamente os problemas propostos. A questão reside, mais especificamente,
na compreensão da necessidade de partição do maior domínio de definição de uma função já
estudada pelo aluno para então partirmos para a resolução do problema proposto levando em
consideração sobre qual domínio, a função que modela o problema está definida. Saber
determinar o domínio da função e fazer um estudo mais geral e cuidadoso do gráfico obtido
em classe, entendendo que o uso dos recursos computacionais é uma ferramenta de apoio ao
processo de ensino e de aprendizagem, é de suma importância tanto por parte dos alunos
quanto dos professores. Já a análise da função polinomial derivada de uma dada função 𝑓(𝑥)
entra como elemento de auxílio que permite encontrar soluções de uma maneira alternativa
para uma determinada classe de problemas, além de possibilitar discutir se houve ou não,
ganhos reais em relação a aquisição e consolidação de conhecimentos matemáticos em
problemas que envolvem, por exemplo, taxas de variação, estudo da variação do sinal da
função ou problemas que buscam valores do domínio que conduzem a valores máximos ou
mínimos num dado intervalo.
As quatro primeiras atividades foram divididas em dois momentos. No primeiro
momento buscamos incentivar a modelagem dos problemas, assim como o uso de softwares
que permitem explorá-los mais, como interpretar os dados e analisar valores encontrados a
partir da construção de gráficos. O segundo momento tem por objetivo entender como o
polinômio derivado se relaciona com a função original e com conceitos previamente
estudados pelos alunos. O simples uso de uma tabela permite relacionar a taxa de variação das
imagens de uma função polinomial do 1º grau com a função polinômio derivado constante. A
mesma possibilidade de estabelecimento de relação se dá com as funções polinomiais do 2º
grau, onde os alunos percebem que, o que caracteriza este tipo de função é a taxa de variação
se dar em função de uma função afim; e que a taxa de variação da taxa de variação é
constante. São resultados muito poderosos para a compreensão do comportamento de funções
polinomiais de grau maior que dois e mesmo para o traçado de seus gráficos a partir do
conhecimento dos gráficos de funções polinomiais derivadas associadas a elas.
A quinta atividade leva o debate para as funções polinomiais do 3º grau, cujos estudos
em sala de aula possuem um espaço diminuto no Ensino Médio brasileiro, nos arriscando
dizer, inexistente, como sugere Machado (2015). A análise gráfica da função polinomial do
3º grau e da função polinômio derivado atrelado a ela é vista como um recurso rico por
permitir compreender a variação no comportamento da função, além de permitir encontrar
pontos de máximo e/ou mínimos locais a partir da observação conjunta ente 𝑓(𝑥) e 𝑓′(𝑥) ,
que definiremos mais adiante.
Mas, como abordar esta questão nas salas de aula? A metodologia escolhida é a
Inquiry Based Learning (IBL). Trata-se de um modelo de ensino-aprendizagem onde a
resolução de problemas de maneira colaborativa é sempre a atividade disparadora, isto é, o
‘start’ para os primeiros passos na construção de conceitos através de descobertas. O aluno é o
centro do processo de aprendizagem e através de incentivos constantes à não memorização de
fatos, fórmulas ou decorebas de macetes, se vê sempre em atuação. Através da metodologia
IBL o conhecimento do aluno se constrói e se consolida através da leitura, da interpretação, da
exploração, da experimentação, da testagem, da checagem e da discussão em grupo antes de
uma tomada de decisão. Os alunos são encorajados a buscar diferentes formas de encarar um
problema e as respostas não são entregues ou facilitadas pelo professor, que na figura de
mediador do processo, auxilia o aluno na exploração do material que recebeu. Além disso, o
professor deve procurar fomentar discussões, propiciar condições para que os alunos
formulem questões e principalmente valorizar a divisão de ideias com seus pares em
pequenos grupos de trabalho.
Muito utilizada desde a segunda metade do século XIX como metodologia ativa
própria das Ciências Naturais, o IBL é adequado às atividades que requerem investigação,
estabelecimento de conjecturas oriundas de observações, da formulação de hipóteses, das
trocas de ideias entre os agentes resolvedores de um dado problema, da especulação sobre a
veracidade dos fatos e, sobretudo da possibilidade de generalização de resultados. Este último
aspecto caracteriza bastante o ofício de um matemático e no universo da educação básica
permite que o aluno ‘faça matemática’. Este “fazer matemática” em sala de aula permite
compreender melhor os processos de construção do conhecimento pelos alunos que têm na
figura do professor, um fio condutor.
Trazer esta metodologia para o estudo das funções polinomiais elementares no Ensino
Médio e das funções polinômios derivados sob a ótica da álgebra e da tecnologia, permite
ampliar o raciocínio lógico-dedutivo dos alunos e o convida aos primeiros exercícios de
categorização de comportamentos de determinadas classes de funções, sem perceber que está
fazendo uma tarefa complexa a partir do ato de investigar e explorar. A observação de
comportamentos regulares, a exploração do tópico estudado por si mesmos e a
estabelecimento de conexões do que está aprendendo com outros assuntos já estudados
permitem a construção do pensamento crítico dos alunos e o aumento de suas capacidades
argumentativas.
4. O polinômio derivado e um resultado importante
Vamos apresentar quatro definições e um resultado que servirão de base para a
compreensão e resolução de todas as atividades.
Definição 1:
Seja K um corpo qualquer. Chamamos de um polinômio sobre o corpo K em uma